Đề ( có ĐA) luyện thi ĐHCĐ số 21

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
_____________________________________________________
__________
Câu I.
1) Cho hàm số
y=
4+mx-3x
4x + m
2
.
Với nhỷọng giá trị nào của m thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độx=0vuông góc với tiệm cận ?
2) Tìm tất cả các giá trị h sao cho phỷơng trình
X
4
+hx
3
+x
2
+hx+1=0
có không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau.
Câu II.
1) Xác định a để phỷơng trình sau có nghiệm.
sin cos
66
xx+
= a | sin2x| .
2) Tìm những điểm cực đại của hàm số
y=
3
sinx + cosx +
2x + 3

2
.
Câu III.
1) Giải bất phỷơng trình
(x-3)
x-4
2
Ê
x
2
-9.
2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
y=
x-2 + 4-x
.
Sỷó dụng kết quả đã tìm đỷợc để giải phỷơng trình
x-2 + 4-x
=
x
2
-6x+11.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng

___________________________________________________________________

Câu I.
1)
22
2
12x 6mx m 16

y'
(4x m)
+
=
+
;
2
2
m16
y'(0) (m 0)
m

=
.
Muốn tiếp tuyến tại x = 0 vuông góc với tiệm cận đứng thì y' (0) = 0
2
m160 =
m = 4.
Tiệm cận xiên có hệ số góc
3
k
4
=
. Muốn tiếp tuyến tại x = 0 vuông góc với tiệm cận xiên thì
k. y' (0) = 1
2
2
m16
k. 1
m

=



2
2
3m 16
.1
4
m

=
,
phơng trình này vô nghiệm.
Vậy tiếp tuyến tại x = 0 chỉ vuông góc với tiệm cận đứng khi m =

4.
2) Xét phơng trình :
432
xhxxhx10+ +++=
.
Đặt
=+
1
tx (*)(|t|2)
x

thì sẽ có phơng trình
2

tht10+ =
Phơng trình này luôn có hai nghiệm
12
t,t
thỏa mãn
12
t0t< <
.
Để có không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau thì cần và đủ là
1
t2<
(do (*)). Điều đó dẫn đến f(2) < 0 h
>
3
2
.
(Đặt
2
f(t) t ht 1)=+

Câu II.
1)
66 2322
sin x cos x (sin x) (cos x)+= + =

2232222
(sin x cos x) 3sin x cos x(sin x cos x)=+ + =

22 2
3

13sinxcosx1 sin2x
4
= =
.
Đặt t = sin2x, | t | = | sin2x|

1, ta đợc :
2
3t 4a|t| 4 0 (|t| 1)+ =

2
43t
a
4|t|

=
với | t | 1 . (1)
Hàm số (1) là hàm chẵn. Đồ thị đối xứng qua trục Oy.
y (1) =
1
4
, vậy đờng thẳng y = a chỉ cắt đồ thị hàm số
trong [1 ; 1] khi a
1
4
.
Vậy khi a
1
4
thì phơng trình đã cho có nghiệm.

2)
y' 3cosx sinx 1
=+
.
Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phơng trình y' = 0
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng

___________________________________________________________________

phải có nghiệm
3cosx sinx 1 0
+=


=
131
sin x cos x
22 2


1
cos sin x sin cosx sin x sin
33 326


===

1
x2k2k
36 2

=++=+

và

=+ += +
2
57
x2k2k
36 2

y" 3sinx cosx=




= +


1
y"(x ) 3sin 2k
2
cos 2k 3 0
2


+=<

.
Vậy tại
1
x2k
2

=+
hàm số đạt cực đại :
1
3 2 2 (1 4k)
y(x )
22
++
=+
với k


Z

2
(y"(x ) 3 0=>
tại
2
x
hàm số đạt cực tiểu).
Câu III.
1) Đáp số
13

x
6

, x 3.
2)
yx24x=+

(Chú ý rằng y 0, 2 x 4)


2
y x 2 4 x 2 (x 2)(4 x) 2 2 (x 2)(4 x)=++=+
,
Vì (x 2) + (4 x) = 2 nên (x 2)(4 x) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi x 2 = 4 x x = 3 ;
2
x24x
y 22(x2)(4x) 22 4
2
+

=+ + =


.
Vậy 0 y 2 ; tức là giá trị lớn nhất của hàm số là 2 và đạt tại x = 3.
Phơng trình
2
x2 4x x 6x11+ = +
tơng đơng với
2

x2 4x (x3) 2 +=+
.
Vế trái luôn 2, còn vế phải luôn 2 nên để phơng trình có nghiệm thì phải có

2
x2 4x 2
(x 3) 2 2

+=


+=




x = 3
thỏa mãn điều kiện 2 x 4.
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phơng trình.

Câu Iva.
1) x
2
+y
2
-2m(x-a)=0 (x-m)
2
+y
2
= m(m - 2a).

Để có phỷơng trình đ ờng tròn C
m
(tâm (m ; 0)), phải có
m(m - 2a) > 0
m < 0
m > 2a
2) Ta tính phỷơng tích của các điểm O, A đối với đỷờng tròn C
m
:
P
O/
C
m
= F (0, 0) = 2ma,
P
A/
C
m
= F(2a, 0) = 2a(2a - m) ,
ị
P
O/
C
m
ì
P
A/
C
m
=4a

2
m(2a - m) < 0 (vìm<0,m>2a).
Vậy trong hai điểm O, A, có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài C
m
, thành thử đoạn OA cắt C
m
.
3) Lấy hai đỷờng tròn C
m
1
và C
m
2
bất kì (m
1
ạ m
2
).
Trục đẳng phỷơng của hai đỷờng tròn này có phỷơng trình
F
m
1
(x, y) = F
m
2
(x, y)
ị x
2
+y
2

-2m
1
(x-a)=x
2
+y
2
-2m
2
(x-a)
ị 0=2(m
1
-m
2
)(x-a) x=a.
Đỷờng thẳngx=akhông phụ thuộcm:nólàtrục đẳng phỷơng cho tất cả
các đỷờng tròn C
m
.
Câu IVb.1)Ta có EF ^ P. Theo định lí ba đỷờng vuông góc :FN MC.
FC là đoạn thẳng cố định.
Gọi I là chân đỷờng vuông góc kẻ từ F xuống AC, ta có EI ^ AC (theo định lí
ba đỷờng vuông góc).
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
________________________________________________________________________________
Khi điểm M vẽ nên đoạn AB, tập hợp điểm N là cung BNFI của đỷờng
tròn đỷờng kính FC cố định.
2) MO là trung tuyến trong tam giác ECM:
MO
2
=

2(EM +MC )-EC
4
222
;
EM
2
=FM
2
+EF
2
=(a-x)
2
+3a
2
=x
2
-2ax+4a
2
;MC
2
=4a
2
+x
2
;
EC
2
=EB
2
+BC

2
=4a
2
+4a
2
=8a
2
.
Từ đó, ta có MO
2
=x
2
-ax+2a
2
ị MO =
x-ax+2a
22
.
3) Gọi K là trung điểm của FC. Ta có : OK//EF,
OK =
EF
2
=
a3
2
;
OM
2
=OK
2

+MK
2
(vì OK (P) ị OK KM) . MK nhỏ nhất khi MK FB.
Lúc đó MK//BC và x=
a
2
;
OM
min
=
3a
4
+a =
a7
2
2
2
.
Lại có MK đạt giá trị lớn nhất khi M trùng với A tức là x = 2a.
OM
max
=
2a
.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
________________________________________________________________________________