Một số bài toán tính dãy pso viết theo quy luật

MỘT SỐ BÀI TỐN

TÍNH DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Ngày … / … / 201…

Bài 1: Tính A =

Học sinh: ….……………………………..

Lớp: ……

1
1
1
1
1
+
+
+...+
+
1x2 2x3 3x4
98x99 99x100

Bài giải:
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
Có:
.
=  ;

=  ; …;
= 
=  ;
nx(n+1) n n+1
1x2 1 2 2x3 2 3 3x4 3 4
1 1 1 1 1
1
1
1
1
Do đó:
A = 1    +   ...   

2 2 3 3 4
98 99 99 100
1
A 1
100
99
A
100
Bài 2: Tính B 

2
2
2
2
2
+
+

+ ... +
+
11x13 13x15 15x17
95x 97 97 x 99

Bài giải:
2
1
1
2
1 1
2
1 1
2
1 1
=  ;
=  ;
=  ; …;
Có:
.
= 
11x13 11 13 13x15 13 15 15x17 15 17
nx(n+2) n n+2
1 1 1 1 1 1
1
1
B =    +   ... 

Do đó:
11 13 13 15 15 17

97 99
1 1
B 
11 99
8
B
99
Bài 3: Tính C 

1 1
1
1
1
1
1
1
+ + + +
+
+
+
15 35 63 99 143 195 255 323

Bài giải:
2
2
2
2
2
+
+

+ ... 
+
3x 5 5x 7 7 x 9
15x17 17 x19

1

Xét: 2 x C 

Giáo viên: Nguyễn Hoàng Long
Địa chỉ: ngõ 144 Quan Nhân – Thanh Xuân
ĐT: 0963 669 826
Fb: www.facebook.com/KhangBros.KMath


1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
    +   ...    
3 5 5 7 7 9
15 17 17 19
1 1
 
3 19
16

57
16
8
Do đó: C  : 2 
57

57

Bài 4: Tính D 

7
7
7
7
7
+
+
+
+
1x 5 5x 9 9 x13 13x17 17 x 21

Bài giải:
4
4  7
7
7
7
7 
xD  x 
+
+
+
+
Xét:

7

7  1x 5 5x 9 9 x13 13x17 17 x 21 
4
4
4
4
4
=
+
+
+
+
1x 5 5x 9 9 x13 13x17 17 x 21
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
=    +     
1 5 5 9 9 13 13 17 17 21
1 1
20
=  =
1 21 21
20 4 5
Do đó: D 
: 
21 7 3
Bài 5: Tính E 

10 10
10
10
+
+

+ ... +
56 140 260
1400

Bài giải:
5
5
5
5
+
+
+ ... +
28 70 130
700
1
1
1 
 1
E  5x 
+
+
+ ... +

25x28 
 4x7 7x10 10x13
5  3
3
3
3 
E  x

+
+
+ ... +

3  4x7 7x10 10x13
25x28 

E

2

5 1 1 1 1 1 1
1
1 
E  x   +  +  + ... +
 
3  4 7 7 10 10 13
25 28 
5 6
5
E x 
3 28 14
Giáo viên: Nguyễn Hoàng Long
Địa chỉ: ngõ 144 Quan Nhân – Thanh Xuân
ĐT: 0963 669 826
Fb: www.facebook.com/KhangBros.KMath


1 1
1

1
1
1
Bài 6: Tính F  +
+
+
+
+
5 20 44 77 119 170
Bài giải:
3
3
3
3
3
3
3
Cách 1: Xét: xF  +
+ +
+
+
2
10 40 88 154 238 340
3
3
3
3
3
3
3

xF 
+
+
+
+
+
2
2x5 5x8 8x11 11x14 14x17 17x20
3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
xF   +  +  +  +  + 
2
2 5 5 8 8 11 11 14 14 17 17 20
3
1 1
xF  
2
2 20
3
9
xF 
2
20
9 3 9 2 3
Do đó: F  :  x 
20 2 20 3 10

1   1
1 

1 1   1
F + + + +
+

 5 20   44 77   119 170 
5
11
17
F
+
+
20 4x7x11 17x7x10
1
1
1
F
+
+
1x4 4x7 7x10
3
3
3
Xét: 3xF 
+
+
1x4 4x7 7x10
1 1 1 1 1 1
3xF   +  + 
1 4 4 7 7 10
1 1 1 1 1 1

3xF   +  + 
1 4 4 7 7 10
1 1
9
3xF   
1 10 10
9
9 1 3
Do đó: F  : 3  x 
10
10 3 10

3

Cách 2:

Giáo viên: Nguyễn Hoàng Long
Địa chỉ: ngõ 144 Quan Nhân – Thanh Xuân
ĐT: 0963 669 826
Fb: www.facebook.com/KhangBros.KMath


Bài 7: Tính G 

1 1 1 1
1
+ + + + ... 
2 4 8 16
1024

Bài giải:
Cách 1:

1 1 1 1
1
+ + + + ... 
2 4 8 16
1024
1 
 1 1 1 1 1 1 1 
 1
G  1   +    +    +    + ...  


 2   2 4   4 8   8 16 
 512 1024 
1 1 1 1 1 1 1
1
1
G  1  +  +  +  + ... 

2 2 4 4 8 8 16
512 1024
1
1023
G 1

1024 1024
G

1 
1 1 1 1
Cách 2: Xét: 2 x G = 2 x  + + + + ... +

1024 
 2 4 8 16
1 1 1
1
 1   + + ... 
2 4 8
512
1  1 1 1 1
1 
 1 1 1
Do đó: 2 x G – G  1  + + + ... 
 –  + + + + ... +

512   2 4 8 16
1024 
 2 4 8
1 1 1
1
1 1 1 1
1
G  1  + + + ... 
     ... 
2 4 8
512 2 4 8 16
1024
1

1023
G 1

1024 1024
1
1 1 1 1 1
1 
x G = x  + + + + ... +

2
2  2 4 8 16
1024 
1 1 1
1
1
= + + + + ... 
4 8 16 32
2048
1  1 1 1
1
1 
1
1 1 1 1
Có: G – x G =  + + + + ... 
 –  + + + + ... 

1024   4 8 16 32
2048 
2
 2 4 8 16

1
1 1 1 1
1
1 1 1
1
1
–     ... 
x G = + + + + ... 
2 4 8 16
1024 4 8 16 32
2048
2
1
1
1
1023
=
xG = 
2 2048 2048
2
1023
1023
x2 
Do đó: G 
2048
1024
Giáo viên: Nguyễn Hoàng Long
Địa chỉ: ngõ 144 Quan Nhân – Thanh Xuân
ĐT: 0963 669 826
Fb: www.facebook.com/KhangBros.KMath

4

Cách 3: Xét:


Bài 8: Tính H 

1
1
1
1
+
+
+...+
1x2x3 2x3x4 3x4x5
7x8x9

Bài giải:
1
1
2
1
1
2
1
1
2
Xét:
;

;
;…






1x 2 2 x 3 1x 2 x 3 2 x 3 3x 4 2 x 3x 4 3x 4 4 x 5 3x 4x5
1
1
2
Tổng quát:


n x(n  1) (n  1)x(n  2) n x(n  1)(n  2)
2
2
2
2
Xét : 2 x H 
+
+
+...+
1x2x3 2x3x4 3x4x5
7x8x9
1
1
1
1

1
1
1
1






 ... 

1x 2 2 x 3 2 x 3 3x 4 3x 4 4 x 5
7 x8 8x 9
1
1


1x 2 8x 9
35

72
35
35
Do đó: H  : 2 
72
144
Bài 9: Tính Y  1 

1

1
1
1
+
+
+...+
1+2 1+2+3 1+2+3+4
1+2+3+...+99

Bài giải:
1 1 1
1
Y  1  + + +...+
3 6 10
4950
1 
1 1 1 1
Y  2x   + + +...+

9900 
 2 6 12 20

5

1
1
1
1 
 1
Y  2x 


+
+
+...+

99x100 
 1x2 2x3 3x4 4x5
1
1
1
1 
1 1 1 1 1 1
Y = 2 x     +   ...    

98 99 99 100 
1 2 2 3 3 4
99
Y = 2x
100
99
Y=
50

Giáo viên: Nguyễn Hoàng Long
Địa chỉ: ngõ 144 Quan Nhân – Thanh Xuân
ĐT: 0963 669 826
Fb: www.facebook.com/KhangBros.KMath


1 

1  
1 
 1  1 
Bài 10: Tính I  1   x 1   x 1   x 1   x 1  
 4   9   16   25   36 
Bài giải:
3 8 15 24 35
I x x x x
4 9 16 25 36
I

1x3 2x4 3x5 4x6 5x7
x
x
x
x
2x2 3x3 4x4 5x5 6x6

I

1x2x3x4x5 x  3x4x5x6x7 
 2x3x4x5x6  x  2x3x4x5x6 

I

1x7
6x2

I

7
12

1 1 1
1
1
Bài 11: Tính J = 1 x1 x1 x1 x...x1
3 8 15 24
99
Bài giải:
4 9 16 25
100
J = x x x x...x
3 8 15 24
99
2 x 2 3x3 4x4 5x5
10x10
x
x
x
x...x
1x 3 2x4 3x5 4x6
9x11

J

 2 x 3x 4 x...x10  x  2 x 3x 4 x...x10 
1x 2 x 3x...x 9  x 3x 4 x 5x...x11

J

10x 2
1x11

J

20
11

6

J=

Giáo viên: Nguyễn Hoàng Long
Địa chỉ: ngõ 144 Quan Nhân – Thanh Xuân
ĐT: 0963 669 826
Fb: www.facebook.com/KhangBros.KMath


Bài 12: Tính K = 1

3
1 8 1 3 26 9 3
x10 x x2 x x x1 x
34
12 9 8 13 37 11 4

Bài giải:
37 121 8 17 3 26 20 3
x

x x x x x x
34 12 9 8 13 37 11 4
37 x11x11x 8 x17 x 3 x13 x 2 x 4 x5x 3
K=
17 x 2 x 3 x4x 3 x3x 8 x13 x37 x11x 4

K=

K=

55
12

1  
1  
1 
1 


Bài 13: Tính L = 1   x 1   x 1   x...x 1 

 97   98   99 
 1000 

Bài giải:
96 97 98
999
x x x...x
97 98 99
1000

96x97 x98 x...x999
L=
97 x98 x99 x...x1000
96
12
L=

1000 125
L=

2  
2  
2 
2



x
1

x
1

x...x
1

Bài 14: Tính M = 1 
 
 




 2x3   3x4   4x5 
 101x102 

Bài giải:
4
10 18
10300
x
x
x...x
2x3 3x4 4x5
101x102

M=

1x4 2x5 3x6
100x103
x
x
x...x
2x3 3x4 4x5
101x102

M=

1x 2 x 3 x...x100 x  4 x 5 x 6 x...x103
 2 x 3 x 4 x...x101 x 3x 4 x 5 x...x102 

M=

103
303

7

M=

Giáo viên: Nguyễn Hoàng Long
Địa chỉ: ngõ 144 Quan Nhân – Thanh Xuân
ĐT: 0963 669 826
Fb: www.facebook.com/KhangBros.KMath


1 1
1
1
1    ... 

3 5
97 99
Bài 15: Tính N =
1
1
1
1
1



 ... 

1x99 3x97 5x95
97x3 99x1

Bài giải:
1 1
1
1
= 1    ... 

3 5
97 99

TS

1  1 1  1 1 
1

 1
= 1            ...    
 99   3 97   5 95 
 49 51 

=

100
100
100
100



 ... 
1x99 3x97 5x95
49x51

1
1
1 
 1


 ... 
= 100 x 

49x51 
 1x99 3x97 5x95

MS

=

1
1
1
1
1


 ... 


1x99 3x97 5x95
97x3 99x1

1
1
1 
 1


 ... 
=2x 

49x51 
 1x99 3x97 5x95
1
1
1 
 1
100 x 


 ... 

1x99 3x97 5x95
49x51 

Vậy N =
= 50
1

1
1 
 1
2 x


 ... 

49x51 
 1x99 3x97 5x95

Bài 16: Tính O =

1 5 11
89 109
   ...  
2 6 12
90 110

Bài giải:
1
1  
1 
 1  1 

O = 1    1    1    ...  1    1 

 2   6   12 
 90   110 
1

1
1 
 1


 ... 
= 1  1  ..  1  

10x11 
 1x2 2x3 3x4
10SH

10 100
=
11 11

8

= 10 

Giáo viên: Nguyễn Hoàng Long
Địa chỉ: ngõ 144 Quan Nhân – Thanh Xuân
ĐT: 0963 669 826
Fb: www.facebook.com/KhangBros.KMath


Bài 17: Tính P =

1 13 33 61
9601 9997

    ... 

3 15 35 63
9603 9999

Bài giải:
2 
2
2  
2 
 2 

P = 1    1    1    ...  1 
  1 

 3   15   35 
 9603   9999 
2
2
2
2 
 2


 ... 

= 1  1  ..  1  

97x99 99x101 
 1x3 3x5 5x7

50SH

= 50 

100
1
= 49
101
101

1 1 1
1
1
   ... 

99 100
Bài 18: Tính Q = 2 3 4
99 98 97
2
1
 
 ...  
1
2
3
98 99

Bài giải:
MS

=

99 98 97
2
1
 
 ...  
1
2
3
98 99

=

100  1 100  2 100  3
100  98 100  99


 ... 

1
2
3
98
99

100 100   1 2 3
98 99 
 100 100 100



 ... 

=
      ...   
2
3
98 99   1 2 3
98 99 
 1
1
1 
1 1
= 100  100x    ...     99
98 99 
2 3
1
1 
1 1
= 1 + 100 x    ...   
98 99 
2 3

= 100 x

1
1 
1
1 1
+ 100 x    ...   

98 99 
100
2 3

1
1
1 
1 1
= 100 x    ...   

98 99 100 
2 3
1
100

9

Vậy Q 

Giáo viên: Nguyễn Hoàng Long
Địa chỉ: ngõ 144 Quan Nhân – Thanh Xuân
ĐT: 0963 669 826
Fb: www.facebook.com/KhangBros.KMath