Phản Xạ Toán Học

Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Tốn Học
GIẢI ĐỀ THI
Bài 1: Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn:
128221
≤++
cabcab
Tìm GTNN của
cba
S
321
++=
Bài 2: Cho phương trình:
0145
2
1
2345
=−++−− xxxxx
(1)
1. Chứng tỏ phương trình (1) có đúng 5 nghiệm
2. Với x
i
(i=
5,1
) là nghiệm của phương trình (1). Tính tổng
∑
=
−−
+
=
5
1

45
2.2
1
i
ii
i
xx
x
S
Bài giải:
1. Chứng tỏ phương trình (1) có đúng 5 nghiệm
Xét hàm số
145
2
1
)(
2345
−++−−= xxxxxxf
trên R
Do f liên tục trên R và
















>=
<−=
>=
<−=
>=−
<−=−
0
2
175
)3(
0
2
1
)1(
0
8
5
)
2
1
(
01)0(
02)
2
3

(
05)2(
f
f
f
f
f
f
nên phương trình f(x)=0 có các nghiệm
54321
,,,, xxxxx
thỏa


31
2
1
0
2
3
2
54321
<<<<<<<<−<<−
xxxxx
Mặt khác vì f(x) = 0 là phương trình bậc 5 nên có không quá 5 nghiệm
Vậy phương trình trên có đúng 5 nghiệm.
f(x)=x^5-1/2*x^4-5*x ^3+x^2+4 *x-1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6

-4
-2
2
4
6
8
x
y
Trần Hồng Tuấn
Trang 1
Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Tốn Học
2. Với x
i
(i=
5,1
) là nghiệm của phương trình (1). Tính tổng
∑
=
−−
+
=
5
1
45
2.2
1
i
ii
i
xx

x
S
Vì x
i
là nghiệm của phương trình (1) nên:

)45(2220145
2
1
23452345
iiiiiiiiii
xxxxxxxxxx
−−=−−⇔=−++−−
Do đó:
∑∑
==
−−
+
=
−−
+
=
5
1
23
5
1
45
)4.(2
1

2.2
1
i
iii
i
i
ii
i
xxx
x
xx
x
S
Xét biểu thức:
451)45)(1(
1
45
1
)(
23
+
+
−
+=
+−
+
=
−−
+
=

x
C
x
B
x
A
xxx
x
xxx
x
xg
Đồng nhất hai vế ta được:
36
5
,
9
2
,
4
1
==−=
CBA
nên

)45(36
5
)1(9
2
4
1

)(
+
+
−
+−=
xxx
xg
Do đó:
∑ ∑ ∑∑∑
= = ===
+
+
−
+−=
−−
+
=
−−
+
=
5
1
5
1
5
1
5
1
23
5

1
45
5
4
1
72
1
1
1
9
11
8
1
)4.(2
1
2.2
1
i i i
i
ii
i
iii
i
i
ii
i
x
xx
xxx
x

xx
x
S
Mặt khác hàm f(x) được viết lại là:
))()()()(()(
54321
xxxxxxxxxxxf
−−−−−=
Đạo hàm của f(x) là:

))()()((
))()()((
))()()((
))()()((
))()()(()(
4321
5321
5421
5431
5432
'
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxf
−−−−+
−−−−+
−−−−+
−−−−+

−−−−=





Suy ra:
∑
=
−
=
5
1
'
1
)(
)(
i
i
xxxf
xf
với
i
xx
≠
(i=
5,1
)
Ta lại có:
421525)(

234'
++−−=
xxxxxf
nên ta suy ra được:

∑∑
∑∑
∑∑
==
==
==
−=
−
−
−=
+
⇒
−−
=
−
−
=−=⇒
−
=
−=−=
−
⇒
−
=
5

1
'
5
1
'
5
1
'
5
1
'
5
1
'
5
1
'
4789
12900
)
5
4
(
)
5
4
(
5
4
1

5
4
1
)
5
4
(
)
5
4
(
4
)0(
)0(11
)0(
)0(
12
)1(
)1(
1
1
1
1
)1(
)1(
i
i
i
i
i

i
i
i
i
i
i
i
f
f
xxf
f
f
f
xxf
f
f
f
xxf
f
Vậy
4789
8959
−=
S

Bài 3: Cho dãy số (u
n
) xác đònh như sau:
,...2,1,61561224;
6

3
23
11
=−+−==
+
nuuuuu
nnnn
Tìm công thức số hạng tổng quát u
n
của dãy số trên
Bài 4: Giải phương trình :
)sin91(logsin312
2
sin31
xx
x
−=++
−

Bài giải:
Trần Hồng Tuấn
Trang 2
Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Tốn Học
Xét phương trình :
)sin91(logsin312
2
sin31
xx
x
−=++

−
(1)
Điều kiện:
9
1
sin10sin91
<≤−⇔>−
xx
Đặt ẩn phụ:
2
sin31 x
t
−
=
với
]2;
3
1
(
∈
t
thì phương trình (1) trở thành:

(2)

)13(log122
)26(log2112
2
2
−=+−⇔

−=−++
tt
tt
t
t

Giải (2) tìm t
Đặt:
u
ttu 213)13(log
2
=−⇔−=
ta được hệ phương trình:






=+−
+=+
⇔





=+−
=+−
0132

22
0132
122
t
ut
t
ut
u
ut
u
t
Hàm số:
xxf
x
+=
2)(
tăng trên R ( do
),012ln.2)(
'
Rxxf
x
∈∀>+=
nên hệ:




=+−
=
⇔






=+−
+=+
0132
0132
22
t
ut
t
ut
t
u
ut
(2)
Hàm số:
132)(
+−=
ttg
t
giảm trên
]2;
3
1
(
∈
t

( do
])2;
3
1
(,032ln.2)(
'
∈∀<−=
ttg
t
và g(1) = 0 nên có nghiệm u = t = 1
Suy ra:



+−=
+=
⇔−=
παπ
πα
2
2
3
1
sin
kx
kx
x
(k
Z
∈

,
)0
2
,
3
1
sin
<<−−=
α
π
α
Vậy nghiệm của phương trình (1) là



+−=
+=
παπ
πα
2
2
kx
kx
(k
Z∈
,
)0
2
,
3

1
sin
<<−−=
α
π
α
Trần Hồng Tuấn
Trang 3
Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Tốn Học
f(x)=2^x- 3x+1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y

Bài 5: Giải hệ phương trình:










+=++
=++
=++
xyzzxyzxy
zyx
zyx
2
27
2
1
33
111
Bài 6: Cho







=
≤≤
>≥≥
6
26
0
xyz
z

y
x
zyx
. Tìm GTNN của
222
12
5
3
4
4
9
zyx
A
++=
Bài 7: Giải hệ phương trình:





=++++
+=−−+
0)2ln(14
)1()12(2
23
23
xyxy
yxyxx
Bài 8: Cho dãy (u
n

) xác đònh như sau:







∈∀+=
==
++
Nn
nnn
uuu
uu
4
3
4
1
2
1
,
3
1
2
12
10
. Tính limu
n
Trần Hồng Tuấn

Trang 4
Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Tốn Học
Bài 9: Cho dãy số thực (x
n
) xác đònh bởi:





∈−+=
=
+
Nnx
ax
n
,2006)1ln(
2
1
2
1
1n
x
số) là hằng (a
Chứng minh rằng dãy (x
n
) hội tụ
Bài 10: Cho dãy số thực (u
n
) xác đònh bởi:

NnuuRau
n
nn
∈∀−+=∈=
+
,20061ln,
2
11
và n
1
≥
Chứng minh rằng dãy (u
n
) hội tụ
Bài 11: Giải phương trình:
1)
1
1ln()
1
1ln(
2
1
1
2
3
1
1
++=++
+
+

xx
x
xx
x
x
(x > 0)
Bài 12: Cho hàm số f xác đònh trên khoảng
);0(
+∞
và lấy giá trò trên R và thỏa mãn điều kiện sau:







∈∀+=
4
;0,
1
)2(
4
4
π
x
xtg
xtgxtgf
Tìm GTNN của hàm :







∈∀+=
2
;0),(cos)(sin)(
π
xxfxfxh
Bài 13: Tìm GTLN của
1,11319
4242
≤−++=
xxxxxP
Bài 14: Cho phương trình bậc ba:
0q 0, pvới
>>=−+−
0
23
pqxpxx
Chứng minh rằng nếu phương trình có ba nghiệm đều lớn hơn hay bằng 1 thì
).3)(
8
2
4
1
(
++≥
qp

Bài 15: Cho dãy (u
n
) xác đònh như sau:





∈∀
++
=
=
+
*
Nn
21
1
2
1
1
n
n
n
u
u
u
u
. Xác đònh công thức số hạng u
n
theo n

Bài 16: Giải phương trình:
( ) ( )
xx
xx
xx
coslogsinlog
sincos
sin1cos1 +=+
Bài 17: Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn điều kiện:
6
326
=++
zxyxxy
Tìm GTNN của biểu thức:
z
z
y
y
x
x
P
116
226
336
2
2
2
−+
+
−+

+
−+
=
Bài 18: Chứng minh rằng với x,y,z
0
≥
ta có:
0)()()()()()(
222
≥−+−+−+−+−+−
yxzxzxzyzyzyxyx
Bài 19: Giải hệ phương trình:







+=+++
−=+++
+=+++
7)(
21)(
14)(
233
233
233
xyzyxzxz
xyzxzyzy

xyzzyxyx
Trần Hồng Tuấn
Trang 5