Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

§6

<b>BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LƠGARIT</b>

<b>A</b>

<b>TĨM TẮT LÝ THUYẾT</b>

<b>1</b> <b>BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN</b>

Định nghĩa. Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ax > b (hoặc ax ≥ b, ax _{< b, a}x _{≤ b) với}
a > 0, a 6= 1.

a) Xét bất phương trình dạng ax _{> b. (dạng a}x _{≥ b giải tương tự)}
• Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R.

• Nếu b > 0, khi đó

Với a > 1, ta có ax > b ⇔ x > log_ab.
Với 0 < a < 1, ta có ax > b ⇔ x < log_ab.

b) Xét bất phương trình dạng ax _{≤ b. (dạng a}x _{< b giải tương tự)}
• Nếu b ≤ 0, bất phương trình vơ nghiệm.

• Nếu b > 0, khi đó

Với a > 1, ta có ax _{≤ b ⇔ x ≤ log}
ab.
Với 0 < a < 1, ta có ax _{≤ b ⇔ x ≥ log}

ab.

<b>2</b> <b>BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT</b>

a) Bất phương trình logarit cơ bản

Định nghĩa. Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log_ax > b (hoặc log_ax ≥ b, log_ax < b,
log_a≤ b) với a > 0, a 6= 1.

Xét bất phương trình log_ax > b. (1)
• Trường hợp a > 1: (1) ⇔ x > ab_.

• Trường hợp 0 < a < 1: (1) ⇔ 0 < x < ab_.
b) Một số bất phương trình logarit đơn giản

Một số cách giải bất phương trình logarit đơn giản.
• Đưa về bất phương trình logarit cơ bản.
• Đặt ẩn phụ.

• Mũ hóa.

• Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, đánh giá, bất đẳng thức.

<b>B</b>

<b>CÁC DẠNG TOÁN</b>

<b>| Dạng 1. Bất phương trình mũ cơ bản</b>

a) Xét bất phương trình dạng ax _{> b. (dạng a}x_{≥ b giải tương tự)}
• Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Với a > 1, ta có ax _{> b ⇔ x > log}
ab.
Với 0 < a < 1, ta có ax _{> b ⇔ x < log}

ab.

b) Xét bất phương trình dạng ax _{≤ b. (dạng a}x _{< b giải tương tự)}
• Nếu b ≤ 0, bất phương trình vơ nghiệm.

• Nếu b > 0, khi đó

Với a > 1, ta có ax ≤ b ⇔ x ≤ log_ab.
Với 0 < a < 1, ta có ax ≤ b ⇔ x ≥ log_ab.

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 1 ccc</b>

Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau

a) 3x ≥ 9.
b) 3x > −1.

c) Å 1
2

ãx
≤ 4.

d) 2x _{< −1.}
e) 2x < 3.

Lời giải.

a) 3x ≥ 9 ⇔ x ≥ log₃9 ⇔ x ≥ 2. Vậy tập nghiệm là S = [2; +∞).
b) Tập nghiệm của bất phương trình là S = R.

c) Å 1
2

ãx

≤ 4 ⇔ x ≥ log1

2 4 ⇔ x ≥ −2. Vậy tập nghiệm là S = [−2; +∞).

d) Bất phương trình vơ nghiệm, tập nghiệm là S = ∅.
e) 2x _{< 3 ⇔ x < log}

23. Vậy tập nghiệm là S = (−∞; log23).



Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau

a) Å 1
5

ãx2−5x+3

> 125.

b) 3x+2 + 3x−1 ≤ 28.
c) Å 4

7

ã2x2−3x
< 7

4.

Lời giải.

a) Å 1
5

ãx2−5x+3

> 125 ⇔ x2− 5x + 3 < −3 ⇔ x2 _{− 5x + 6 < 0 ⇔ 2 < x < 3.}
Tập nghiệm S = (2; 3).

b) 3x+2+ 3x−1 ≤ 28 ⇔ 3x₍₃2_{+ 3}−1_{) ≤ 28 ⇔ 3}x _{≤ 3 ⇔ x ≤ 1.}
Tập nghiệm S = (−∞; 1].

c) Å 4
7

ã2x2−3x
< 7

4 ⇔ 2x

2_{− 3x > log}
4
7

7
4 ⇔ 2x

2_{− 3x > −1 ⇔ 2x}2_{− 3x + 1 > 0 ⇔}



x < 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Tập nghiệm S =
Å

−∞;1
2

ã

∪ (1; ∞).



Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau

a) 5|x2−2x| > 125.

b) 2x+1 + 2x+2 _{< 3}x_{+ 3}x+1_.
c) 2x_.3x−1 _{< 4.}

Lời giải.

a) 5|x2−2x|> 125 ⇔ |x2− 2x| > log₅125 ⇔ |x2− 2x| > 3 ⇔
"

x2− 2x > 3
x2− 2x < −3 ⇔

"

x < −1

x > 3 .
Tập nghiệm S = (−∞; −1) ∪ (3; +∞).

b) 2x+1_{+ 2}x+2 _{< 3}x_{+ 3}x+1 _{⇔ 2}x_{(2 + 2}2_{) < 3}x_{(1 + 3) ⇔ 6.2}x _{< 4.3}x _⇔Å 2
3

ãx
< 2

3 ⇔ x > 1.
Tập nghiệm S = (1; +∞).

c) 2x.3x−1 _{< 4 ⇔ 2}x_.3x _{< 4.3 ⇔ 6}x _{< 12 ⇔ x < log}

612 ⇔ x < 1 + log62.
Tập nghiệm S = (−∞; 1 + log₆2).



Ví dụ 4. Giải bất phương trình 4x2+ x.2x2+1+ 3.2x2 > x2.2x2 + 8x + 12.

Lời giải.

Ta có 4x2+ x.2x2+1+ 3.2x2 > x2.2x2 + 8x + 12 ⇔Ä4 − 2x2ä(x2 − 2x − 3) > 0

⇔









(

4 − 2x2 > 0
x2− 2x − 3 > 0
(

4 − 2x2 < 0
x2− 2x − 3 < 0











(√

2 > x > −√2

x < −1 ∨ x > 3

(

x < −√2 ∨ x >√2

− 1 < x < 3

⇔" −
√

2 < x < −1
√

2 < x < 3
.

Tập nghiệm S = (−√2; −1) ∪ (√2; 3). _

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Giải các bất phương trình sau

a) 2x _{≥ 8.}
b) 2x _{> −3.}

c) Å 1
3

ãx
≤ 27.

d) 5x < −1.
e) 4x < 3.

Lời giải.

a) 2x _{≥ 8 ⇔ x ≥ log}

28 ⇔ x ≥ 3. Vậy tập nghiệm là S = [3; +∞).
b) Tập nghiệm của bất phương trình là S = R.

c) Å 1
3

ãx

≤ 27 ⇔ x ≥ log1

3 27 ⇔ x ≥ −3. Vậy tập nghiệm là S = [−3; +∞).

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

e) 4x < 3 ⇔ x < log₄3. Vậy tập nghiệm là S = (−∞; log₄3).



Bài 2. Giải các bất phương trình sau

a) Å 1
2

ã|2x−1|
> 1

4.

b) 2x+2_{− 2}x+3_{− 2}x+4 _{> 5}x+1_{− 5}x+2_.

Lời giải.

a) Å 1
2

ã|2x−1|
> 1

4 ⇔ |2x − 1| < 2 ⇔
(

2x − 1 < 2

2x − 1 > −2
⇔








x < 3
2

x > −1
2
.

Tập nghiệm S =
Å

−1
2;

3
2

ã
.

b) 2x+2− 2x+3_{− 2}x+4 _{> 5}x+1_{− 5}x+2 _{⇔ −20.2}x _{> −20.5}x _{⇔ 2}x _{< 5}x _⇔Å 2
5

ãx

< 1 ⇔ x > 0.

Tập nghiệm S = (0; +∞).


<b>| Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số</b>

a) Với a > 1, af (x) _{≤ a}g(x)_{⇔ f (x) ≤ g(x).}
b) Với 0 < a < 1, af (x) _{≤ a}g(x)_{⇔ f (x) ≥ g(x).}

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 2 ccc</b>

Ví dụ 1. Giải bất phương trình 5x2+x ≤ 25x+1_.

Lời giải.

5x2+x ≤ 25x+1 _{⇔ 5}x2_+x

≤ 52x+2 _{⇔ x}2_{+ x ≤ 2x + 2 ⇔ x}2_{− x − 2 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 2.}

Tập nghiệm S = [−1; 2]. _

Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau

a) e2x_{> e}1−x_.
b) Å 2

3

ã2x2+4x
≤Å 3

2
ãx+3

Lời giải.

a) e2x> e1−x ⇔ 2x > 1 − x ⇔ x > 1
3.

Tập nghiệm S =Å 1
3; +∞

ã
.

b) Å 2
3

ã2x2+4x
≤Å 3

2
ãx+3

⇔Å 2
3

ã2x2+4x

≤Å 2

3
ã−x−3

⇔ 2x2 _{+ 4x ≥ −x − 3}
⇔ 2x2_{+ 5x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≤ −}3

2 ∨ x ≥ −1.

Tập nghiệm S =
Å

−∞;−3
2

ị

∪ [−1; +∞).

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau

a) Å 2
3

ãx2+3x−4
>Å 9

4
ã1−x

.

b) Ä√2 + 1äx+1 ≥Ä√2 − 1ä
x
x−1

Lời giải.

a) Ta cóÅ 2
3

ãx2+3x−4
>Å 9

4
ã1−x

⇔Å 2
3

ãx2+3x−4
>Å 2

3

ã2(x−1)
⇔ x2_{+ 3x − 4 < 2x − 2 ⇔ x}2_{+ x − 2 < 0 ⇔ −2 < x < 1.}
Tập nghiệm S = (−2; 1).

b) Điều kiện x 6= 1. Ta có Ä√2 − 1ä=Ä√2 + 1ä−1. Do đó
Ä√

2 + 1äx+1 ≥Ä√2 − 1ä
x
x−1

⇔Ä√2 + 1äx+1 ≥Ä√2 + 1ä−
x
x−1

⇔ x + 1 ≥ − x
x − 1 ⇔

x2+ x − 1

x − 1 ≥ 0 ⇔

−1 −√5

2 ≤ x ≤

−1 +√5

2 hoặc x > 1.

Tập nghiệm S =đ −1 −
√

5

2 ;

−1 +√5
2

ơ

∪ (1; +∞).



BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Giải các bất phương trình sau

a) 2x2+3x−4 > 4x−1.
b) Å 1

2
ã2x2+1

≤ (0,125)3x+2_.

Lời giải.

a) 2x2+3x−4 > 4x−1 ⇔ 2x2_+3x−4

> 22x−2⇔ x2_{+ 3x − 4 > 2x − 2}
⇔ x2_{+ x − 2 > 0 ⇔ x < −2 ∨ x > 1.}

Tập nghiệm S = (−∞; −2) ∪ (1; +∞).

b) Å 1
2

ã2x2+1

≤ (0,125)3x+2_⇔Å 1
2

ã2x2+1
≤Å 1

8
ã3x+2

⇔Å 1
2

ã2x2+1
≤Å 1

2
ã9x+6

⇔ 2x2_{+ 1 ≥ 9x + 6 ⇔ 2x}2_{− 9x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≤ −}1

2∨ x ≥ 5.

Tập nghiệm S =

Å

−∞; −1
2
ò

∪ [5; +∞].



Bài 2. Giải các bất phương trình sau

a) e3x+1< 1
e5x+8.

b) Ä√5 + 2äx−1 ≥Ä√5 − 2ä
x−1
x+1
.

Lời giải.

a) e3x+1_< 1

e5x+8 ⇔ e

3x+1_{< e}−5x−8_{⇔ 3x + 1 < −5x − 8 ⇔ x < −}9
8.
Tập nghiệm S =

Å

−∞; −9
8

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

b) Điều kiện x 6= −1. Ta có Ä√5 − 2ä=Ä√5 + 2ä−1. Do đó
Ä√

5 + 2äx−1 ≥Ä√5 − 2ä
x−1
x+1

⇔Ä√5 + 2äx−1 ≥Ä√5 + 2ä−
x−1
x+1

⇔ x − 1 ≥ −x − 1
x + 1 ⇔

x2+ x − 2

x + 1 ≥ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ −1 hoặc x ≥ 1.
Tập nghiệm S = [−2; −1] ∪ [1; +∞).


<b>| Dạng 3. Giải bất phương trình logagit dạng cơ bản</b>

• log_au < b ⇔
"

0 < u < ab nếu a > 1
u > ab nếu 0 < a < 1
• log_au > b ⇔

"

u > ab nếu a > 1

0 < u < ab nếu 0 < a < 1

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 3 ccc</b>

Ví dụ 1. Giải bất phương trình log_0,5(2x − 3) > −4.

Lời giải.

Ta có log_0,5(2x − 3) > −4 ⇔ 0 < 2x − 3 < (0, 5)−4 ⇔ 0 < 2x − 3 < 16 ⇔ 3

2 < x <
19

2 .

Vậy tập hợp nghiệm S = Å 3
2;

19
2

ã

. _

Ví dụ 2. Giải bất phương trình log√

3(x

2_{− 3x + 11) ≤ 4.}

Lời giải.

Ta có log√
3(x

2_{− 3x + 11) ≤ 4 ⇔ 0 < x}2 _{− 3x + 11 ≤ 9 ⇔}
(

x2 _{− 3x + 11 > 0 (đúng với ∀x ∈ R)}
x2 − 3x + 11 ≤ 9

⇔ x2_{− 3x + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2.}

Vậy tập hợp nghiệm S = [1; 2]. _

Ví dụ 3. Giải bất phương trình log1

2

x − 11
x + 4 ≤ 4.

Lời giải.

Ta có log1
2

x − 11

x + 4 ≤ 4 ⇔

x − 11
x + 4 ≥

1
16 ⇔

15x − 180

16(x + 4) ≥ 0 ⇔ x ≤ −4 hoặc x ≥ 12.

Vậy tập hợp nghiệm S = (−∞; −4] ∪ [12; +∞). _

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Giải bất phương trình log₅(−2x2_{+ x + 6) > 1.}

Lời giải.

Ta có log₅(−2x2_{+ x + 6) > 1 ⇔ −2x}2_{+ x + 6 > 5 ⇔ −2x}2_{+ x + 1 > 0 ⇔ −}1

2 < x < 1.
Vậy tập hợp nghiệm S =

Å
−1

2; 1
ã

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Bài 2. Giải bất phương trình log₂x + log₄x + log₈2x > 13
6 .

Lời giải.

Ta có log₂x + log₄x + log₈2x > 13

6 ⇔ log2x +
1

2log2x +
1

3log22x >
13

6
⇔ log₂x +1

2log2x +
Å 1

3 +
1
3log2x

ã
> 13

6 ⇔
11

6 log2x >
11

6 ⇔ x > 2.

Vậy tập hợp nghiệm S = (2; +∞). _

Bài 3. Giải bất phương trình log₂(1 − 2 log₉x) < 1.

Lời giải.

Ta có log₂(1 − 2 log₉x) < 1 ⇔ 0 < 1 − 2 log₉x < 2 ⇔







log₉x > −1
2

log₉x < 1
2

⇔




x > 1

3
x < 3
.

Vậy tập hợp nghiệm S = Å 1
3; 3

ã

. _

Bài 4. Giải bất phương trình logx

5(x

2_{− 8x + 16) ≥ 0.}

Lời giải.

Điều kiện : x > 0, x 6= 5.

Ta có:logx
5(x

2_{− 8x + 16) ≥ 0. (1)}
• Với x > 5.

(1)⇔ x2 _{− 8x + 16 ≥ 1 ⇔ x}2_{− 8x + 15 ≥ 0 ⇔ x ≤ 3 hoặc x ≥ 5.}
• Với x < 5.

(1)⇔ 0 < x2− 8x + 16 ≤ 1 ⇔
(

x2− 8x + 16 > 0
x2− 8x + 15 ≤ 0 ⇔

(
x 6= 4

3 ≤ x ≤ 5.

Vậy tập hợp nghiệm S = [3; +∞) \ {4; 5}. _

Bài 5. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: log_0,5(x2− 2x + m) > −3

Lời giải.

Ta có log_0,5(x2_{− 2x + m) > −3 ⇔ 0 < x}2_{− 2x + m < 8.}

Vậy bất phương trình đã cho chỉ vơ nghiệm khi x2_{− 2x + m ≤ 0 với ∀x ∈ R (1) hoặc x}2_{− 2x + m ≥ 8}
với ∀x ∈ R (2).

• (1) khơng thể xảy ra.

• (2) ⇔ x2_{− 2x + m − 8 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ 9 − m ≤ 0 ⇔ m ≥ 9 .}

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm khi m < 9. _

Bài 6. Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm: log₃(−x2+ 2(m + 3)x − 3m − 4) > 1

Lời giải.

Ta có log₃(−x2_{+ 2(m + 3)x − 3m − 4) > 1 ⇔ −x}2_{+ 2(m + 3)x − 3m − 4 > 3}
⇔ −x2_{+ 2(m + 3)x − 3m − 7 > 0.}

Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi −x2_{+ 2(m + 3)x − 3m − 7 ≤ 0 với ∀x ∈ R}
⇔ (m + 3)2_{− 3m − 7 ≤ 0 ⇔ m}2_{+ 3m + 2 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ −1.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>| Dạng 4. Giải bất phương trình logagit bằng cách đưa về cùng cơ số</b>

Dùng biến đổi logarit để đưa về cùng cơ số.

log_au < log_av ⇔
"

0 < u < v nếu a > 1

u > v > 0 nếu 0 < a < 1

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 4 ccc</b>

Ví dụ 1. Giải bất phương trình log₃(x − 3) > log₃(2x + 7).

Lời giải.

Ta có log₃(x − 3) > log₃(2x + 7) ⇔
(

x − 3 > 2x + 7

2x + 7 > 0 ⇔





x < −10

x > −7
2

.

Vậy tập hợp nghiệm S = ∅. 

Ví dụ 2. Giải bất phương trình log₅(1 − 2x) < 1 + log√

5(x + 1).

Lời giải.

Điều kiện:
(

1 − 2x > 0

x + 1 > 0 ⇔




x < 1

2
x > −1

.

Ta có log₅(1 − 2x) < 1 + log√

5(x + 1) ⇔ log5(1 − 2x) < 1 + 2 log5(x + 1)
⇔ log₅(1 − 2x) < log₅5(x + 1)2 _{⇔ 1 − 2x < 5(x + 1)}2 _{⇔ 5x}2_{+ 12x + 4 > 0}
⇔ x < −2 hoặc x > −2

5.

Vậy tập hợp nghiệm S =

Å

−2
5;

1
2

ã

. 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Giải bất phương trình log1

2

(x2_{− 3x + 3) ≤ log}
1
2

(2x − 3).

Lời giải.

Ta có log1
2

(x2− 3x + 3) ≤ log1

2

(2x − 3) ⇔
(

x2 − 3x + 3 ≥ 2x − 3
2x − 3 > 0 ⇔

(

x2− 5x + 6 ≥ 0
2x − 3 > 0

⇔





x ≤ 2 hoặc x ≥ 3

x > 3
2

.

Vậy tập hợp nghiệm S = Å 3
2; 2

ò

∪ [3; +∞). _

Bài 2. Giải bất phương trình 2 log₈(x − 2) + log1
8

(x − 3) > 2
3.

Lời giải.

Điều kiện:
(

x − 2 > 0

x − 3 > 0 ⇔
(

x > 2

x > 3.

Ta có 2 log₈(x − 2) + log1(x − 3) >
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

⇔ log₈ (x − 2)
2
x − 3 >

2
3 ⇔

(x − 2)2

x − 3 > 4 ⇔ x

2_{− 8x + 16 > 0 ⇔ x 6= 4.}

Vậy tập hợp nghiệm S = (3; +∞) \ {4}. _

Bài 3. Giải bất phương trình log₂(x + 3) ≥ 1 + log₂(x − 1).

Lời giải.

Điều kiện:
(

x + 3 > 0

x − 1 > 0
⇔

(

x > −3

x > 1
.

Ta có log₂(x + 3) ≥ 1 + log₂(x − 1) ⇔ log₂(x + 3) ≥ log₂2(x − 1) ⇔ x + 3 ≥ 2(x − 1) ⇔ x ≤ −1.

Vậy tập hợp nghiệm S = ∅. 

Bài 4. Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm: log_x−m(x2− 1) > log_x−m(x2+ x − 2).

Lời giải.

Điều kiện x 6= m + 1; x > m. Ta có log_x−m(x2_{− 1) > log}

x−m(x2+ x − 2). (1)
• Với x > m + 1.

(1) ⇔
(

x2− 1 > x2_{+ x − 2}
x2+ x − 2 > 0 ⇔

(
x < 1

x < −2 hoặc x > 1 ⇔ x < −2.
• Với 0 < x < m + 1.

(1) ⇔ 0 < x2_{− 1 < x}2_{+ x − 2 ⇔}
(

x2− 1 > 0
x > 1

⇔
(

x > −1

x > 1

⇔ x > 1.

Bất phương trình (1) vơ nghiệm khi
(

m + 1 ≥ −2

m + 1 ≤ 1

⇔ −3 ≤ m ≤ 0.

Vậy −3 ≤ m ≤ 0. _

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 5. Giải bất phương trình log_x3x − 1

x2_{+ 1} > 0.

Lời giải.

Điều kiện : x > 0, x 6= 1.

Ta có:log_x 3x − 1

x2_{+ 1} > 0. (1)
• Với x > 1.

(1)⇔ 3x − 1

x2_{+ 1} > 1 ⇔ x

2_{− 3x + 2 > 0 ⇔ x}2_{− 3x + 2 < 0 ⇔ 1 < x < 2.}
• Với x < 1.

(1)⇔ 0 < 3x − 1

x2_{+ 1} < 1 ⇔ 0 < 3x − 1 < x

2_{+ 1 ⇔}
(

3x − 1 > 0

x2− 3x + 2 > 0 ⇔




x > 1

3

x < 1 hoặc x > 2
.

Vậy tập hợp nghiệm S = Å 1
3; 2

ã

\ {1}. _

Bài 6. Giải bất phương trình log1

3
Ä

log₅Ä√x2_{+ 1 + x}ää_{> log}
3

Å
log1

5
Ä√

x2_{+ 1 − x}ä
ã

.

Lời giải.

Điều kiện:
(√

x2_{+ 1 + x > 0}
√

x2_{+ 1 − x > 0} (Đúng với ∀x ∈ R).
Đặt t =√x2_{+ 1 + x, t > 0. Suy ra} √_x2_{+ 1 − x =} 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Bất phương trình đã cho trở thành:

log1
3

(log₅t) > log₃
Å
log1
5
1
t
ã

⇔ log₃
Å ₁

log₅t
ã

> log₃
Å
log1
5
1
t
ã
⇔ 1

log₅t > log15
1
t > 0

⇔ 1

log₅t > log5t > 0 ⇔
(

(log₅t)2 < 1
log₅t > 0

⇔
(

log₅t < 1
log₅t > 0

⇔
(

t < 5

t > 1
⇔

(√

x2_{+ 1 + x < 5 (1)}
√

x2_{+ 1 + x > 1 (2)}
Giải (1) ta được x < 12

5 .

Giải (2) ta được x > 0. Vậy tập hợp nghiệm S =
Å

0;12
5

ã

. _

Bài 7. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:

1 + log₅(x2+ 1) ≥ log₅(mx2+ 4x + m).

Lời giải.

Ta có 1 + log₅(x2_{+ 1) ≥ log}

5(mx2+ 4x + m) ⇔ log55(x2+ 1) ≥ log5(mx2 + 4x + m)
⇔

(

5(x2+ 1) ≥ mx2+ 4x + m
mx2+ 4x + m > 0

⇔
(

(5 − m)x2− 4x + 5 − m ≥ 0 (1)
mx2+ 4x + m > 0 (2)

.

Bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x khi cả (1) và (2) đúng với mọi x.
• Với m = 0 hoặc m = 5. Không thỏa mãn đề bài.

• Với m 6= 0 hoặc m 6= 5.

Để thỏa mãn đề thì















5 − m > 0

4 − (5 − m)2 ≤ 0
m > 0

4 − m2 < 0

⇔














m < 5

m ≤ 3 hoặc m ≥ 7

m > 0

m < −2 hoặc m > 2

⇔ 2 < m ≤ 3.

Vậy 2 < m ≤ 3 .


<b>| Dạng 5. Bất phương trình mũ và logarit bằng phương pháp đặt ẩn</b>

<b>phụ</b>

Khi giải bất phương trình mũ và logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ ta thường sử dụng một

số phương pháp sau:

• Dùng ẩn phụ chuyển bất phương trình thành một bất phương trình với một ẩn phụ.
(Ở đây ta coi các bất phương trình có dạng f (x) ≥ 0, các trường hợp khác tiến hành tương

tự).

* Các phép đặt ẩn phụ với bất phương trình mũ thường gặp:

+) Bất phương trình có dạng: Ananf (x)+ An−1a(n−1)f (x)+ ... + A1af (x)+ A0 ≥ 0.

Đặt t = af (x)(t > 0), ta thu được bất phương trình: Antn+An−1tn−1+...+A1t+A0 ≥ 0.
+) Bất phương trình có dạng: Aa2f (x)+ B(ab)f (x) + Cb2f (x)_{≥ 0.}

Chia cả hai vế cho b2f (x) rồi đặt t =
a

b
f (x)

ta được: A.t2+ B.t + C ≥ 0.
+) Bất phương trình có dạng: Aaf (x)_{+ Bb}g(x)_{+ C ≥ 0 trong đó, a}f (x)_bg(x) _{= k.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Ta thu được bất phương trình mới: At +Bk

t + C ≥ 0.
* Các phép đặt ẩn phụ thường gặp với bất phương trình logarit:
+) Đặt t = log_ax(x > 0).

+) Khi bất phương trình xuất hiện alogbx, ta đặt t = log
bx.

• Dùng ẩn phụ chuyển bất phương trình thành một bất phương trình với một ẩn phụ và hệ
số vẫn chứa x.

Trong trường hợp này, ta thường thu được một bất phương trình bậc hai theo ẩn phụ (hoặc

vẫn theo x) có ∆ là một số chính phương.

• Dùng ẩn phụ chuyển bất phương trình thành một hệ bất phương trình với hai ẩn phụ.

Bằng việc sử dụng hai ẩn phụ, ta đưa bất phương trình đã cho về một hệ gồm có:

+) Bất phương trình có được từ bất phương trình đầu bài.

+) Phương trình (hoặc bất phương trình) có được từ việc đánh giá mối quan hệ của hai
ẩn phụ.

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 5 ccc</b>

Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau:

a) Äp6 +√35äx− 12Äp6 −√35äx ≥ 1.
b) 1

4. log

2_{(x − 1)}2_{+ log(x − 1)}3 _{< 4.}

Lời giải.

a) Đặt t =Äp6 +√35äx(t > 0) ⇒Äp6 −√35äx = 1
t.
Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành:

t − 12
t ≥ 1
⇔ t2 _{− t − 12 ≥ 0}
⇔

"

t ≥ 4

t ≤ −3

Kết hợp với điều kiện t > 0 ta có: t ≥ 4.
⇒Äp6 +√35äx ≥ 4 ⇔ x ≥ log√

6+√354.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S =hlog√

6+√354; +∞


.

b) ĐK: x > 1.

Đặt t = log(x − 1) ⇒ log2(x − 1)2 = 4t2; log(x − 1)3 = 3t.

Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành: t2+ 3t < 4 ⇔ −4 < t < 1.
⇒ −4 < log(x − 1) < 1 ⇔ 10−4 _{< x − 1 < 10 ⇔ 1, 0001 < x < 11.}
Kết hợp điều kiện x > 1 ta có: 1, 0001 < x < 11.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = (1, 0001; 11).

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Ví dụ 2. Giải bất phương trình sau: plog₂x3 _{− 2 ≥ log}
2x.

Lời giải.

ĐK: x ≥√3
4.

Đặt
(

u =plog₂x3_{− 2 =} _p3log

2x − 2 (u ≥ 0)
v = log₂x

Khi đó, ta có:
(

u ≥ v

u2 _{− 3v = −2} ⇔





3u ≥ u2_{+ 2}
v = u

2_{+ 2}
3

⇔






1 ≤ u ≤ 2

v = u
2_{+ 2}

3

Mà u ≥ 0 nên





1 ≤ u ≤ 2

v = u
2_{+ 2}

3

⇔
(

1 ≤ u ≤ 2

1 ≤ v ≤ 2

⇒
(

1 ≤p3log₂x − 2 ≤ 2

1 ≤ log₂x ≤ 2 ⇔ 1 ≤ log2x ≤ 2 ⇔ 2 ≤ x ≤ 4.
Kết hợp điều kiện ta có: 2 ≤ x ≤ 4.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = [2; 4] . _

Ví dụ 3. Giải bất phương trình sau: 9x_{− 2(x + 5).3}x_{+ 9(2x + 1) ≥ 0} ₍₁₎

Lời giải.

Xét phương trình V T (1) = 0 (2).

Đặt t = 3x(t > 0).

Khi đó, (2) trở thành: t2_{− 2(x + 5).t + 9(2x + 1) = 0} _(∗).
Giải phương trình: V T (1) = 0 (2).

Ta có: ∆0 = (x + 5)2_{− 9(2x + 1) = (x − 4)}2_.
Do đó, (∗) ⇔ (t − 9)(t − 2x − 1) = 0 ⇔

"
t = 9

t = 2x + 1 ⇒

"

3x _{= 9}

3x _{= 2x + 1} ⇔
"

x = 2

3x_{− 2x − 1 = 0}
Xét hàm số f (x) = 3x_{− 2x − 1 liên tục trên R.}

Ta có: f0(x) = 3x_{. ln 3 − 2 ⇒ f ”(x) = 3}x_{. ln}2

3 > 0∀x ∈ R.
⇒ Phương trình f (x) = 0 có tối đa hai nghiệm trên R.

Mà f (0) = 0; f (1) = 0 nên phương trình f (x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 1; x = 0.

Vậy phương trình (2) có đúng ba nghiệm x = 0; x = 1; x = 2.

Bảng xét dấu V T (1):

x

V T (1)

−∞ 0 1 2 +∞

− 0 + 0 − 0 +

Vậy, (1) ⇔ x ∈ [0; 1] ∪ [2; +∞).

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S = [0; 1] ∪ [2; +∞) . _

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Lời giải.

Đặt t = 2x (t > 0). Khi đó bất phương trình đã cho có dạng

t3− 7t2_{+ 14t − 8 < 0 ⇔ (t − 4)(t − 2)(t − 1) < 0 (1)}

Bảng xét dấu của f (t) = (t − 4)(t − 2)(t − 1) trên (0; +∞).

t

f (t)

0 1 2 4 +∞

− 0 + 0 − 0 +

Tập nghiệm của bất phương trình (1) là (0; 1) ∪ (2; 4).

Do đó tập nghiệm của bất phương trình ban đầu là (−∞; 0) ∪ (1; 2). _

Bài 2. Giải bất phương trình sau: 32x_{+ 3}−2x _{+ 3}x_{+ 3}−x _{≤ 0.}

Lời giải.

Đặt t = 3x_{+ 3}−x _{(t ≥ 2). Ta có 3}2x_{+ 3}−2x _{= (3}x_{+ 3}−x₎2
− 2.
Khi đó bất phương trình đã cho có dạng

t2+ t − 2 ≤ 0 ⇔ (t + 2)(t − 1) ≤ 0
⇔ −2 ≤ t ≤ 1

Vì t ≥ 2 nên bất phương trình đã cho vơ nghiệm. _

Bài 3. Giải bất phương trình sau: (7 + 4√3)x− 2(2 −√3)x− 3 ≥ 0.

Lời giải.

Đặt (2 +√3)x _{= t (t > 0).}

Nhận xét rằng 7 + 4√3 = (2 +√3)2 _{và 2 −}√_{3 =} 1

2 +√3 nên ta có





(7 + 4√3)x _{= t}2
(2 −√3)x ₌ 1

t.
Do đó phương trình đã cho có dạng

t2− 2

t − 3 ≥ 0 ⇔ t

3_{− 3t}2_{− 2 ≥ 0}
⇔ (t + 1)2(t − 2) ≥ 0
⇔ t ≥ 2

Vì vậy (2 +√3)x ≥ 2 ⇔ x ≥ log₂₊√
32.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là log₂₊√

32; +∞
. 

Bài 4. Giải bất phương trình 16x+1 + 9x+1 _{≥ 25.12}x_.

Lời giải.

Chia cả hai vế của bất phương trình cho 9x _{ta có} _

16Å 16
9

ãx

+ 9 ≥ 25Å 4
3

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Đặt Å 4

3

ãx

= t (t > 0) thì Å 16
9

ãx

= t2_{. Khi đó phương trình (1) có dạng}

16t2+ 9 ≥ 25t ⇔ 16t2− 25t + 9 ≥ 0
⇔ (t − 1)(16t − 9) ≥ 0

⇔




t ≤ 9
16
t ≥ 1

Thay t bởi Å 4
3

ãx

ta được x ≤ −2 hoặc x ≥ 0.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (−∞; −2] ∪ [0; +∞).

Bài 5. Giải bất phương trình sau Älog1
3 x

ä2

− 2 log₃x − 3 ≤ 0.

Lời giải.

Điều kiện: x > 0.

Đặt log₃x = t. Ta có log1

3 x = − log3x. Khi đó bất phương trình có dạng
(−t)2− 2t − 3 ≤ 0 ⇔ (t − 3)(t + 1) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ t ≤ 3

Từ đó suy ra 1

3 ≤ x ≤ 27. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
ï 1

3; 27
ị



Bài 6. Giải bất phương trình log_3x27 + 2 log_x29 ≥ 2.

Lời giải.

Điều kiện: x > 0 và x 6= 1.

Bất phương trình đã cho tương đương

1
log₂₇3x +

2

log₉x2 ≥ 2
⇔ ₁ 1

3 +
1
3log3x

+ 2

log₃x ≥ 2
Đặt t = log₃x. Bất phương trình trên trở thành

3
1 + t+

2

t ≥ 2 ⇔

2t2_{− 3t − 2}
t(t + 1) ≤ 0

⇔ (t − 2)(2t + 1)
t(t + 1) ≤ 0

Bảng xét dấu của hàm số f (t) = (t − 2)(2t + 1)
t(t + 1) .

t

f (t)

−∞ −1 −1

2 0 2 +∞

+ − 0 + − 0 +

Suy ra




−1 < t ≤ −1
2
0 < t ≤ 2

⇔




−1 < log₃x ≤ −1
2
0 < log₃x ≤ 2

⇔



1

3 < x ≤
1
√
3
1 < x ≤ 9

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là Å 1
3;

1
√
3

ị

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Bài 7. Giải bất phương trình plog_x7x − log₇x > 1.

Lời giải.

Điều kiện:











x > 0

x 6= 1

log_x7x > 0
⇔













x > 0

x 6= 1

log_x7 > −1

Đặt log_x7 = t (t > −1). Khi đó bất phương trình đã cho có dạng
√

1 + t − 1

t > 1 ⇔
√

1 + t > 1 + 1
t (1)

TH1: Nếu 1 + 1

t ><⇔
t + 1

t < 0 ⇔ −1 < t < 0 thì bất phương trình (1) ln đúng.
Khi đó −1 < log_x7 < 0 ⇔ log₇x < −1 ⇔ x < 1

7.
TH2: Nếu 1 + 1

t > 0 ⇔ t > 0 thì bất phương trình (1) tương đương

1 + t > 1 + 2
t +

1
t2 ⇔ t

3_{− 2t − 1 > 0}

⇔ (t + 1)(t2 _{− t − 1) > 0}
⇔ (t + 1)

Ç

t − 1 +
√

5
2

å Ç

t − 1 −
√

5
2

å

> 0

Vì t > 0 nên bất phương trình trên có nghiệm t > 1 +
√

5
2 .

Khi đó ta có log_x7 > 1 +
√

5

2 ⇔ 0 < log7x <
2

1 +√5 ⇔ 1 < x < 7
2
1+√5.

Vây tập nghiệm của bất phương trình là
Å

−∞;1
7

ã

∪1; 71+2√5


. _

Bài 8. Giải bất phương trình sau e2x+ (1 − 2x)ex+ x2− x ≥ 0.

Lời giải.

Đặt ex = t (t > 0). Khi đó bất phương trình đã cho có dạng t2+ (1 − 2x)t + x2− x ≥ 0.
Xét tam thức bậc hai f (t, x) = t2+ (1 − 2x)t + x2_{− x với tham số x.}

Ta có ∆ = (1 − 2x)2_{− 4(x}2_{− x) = 1.}

Do đó ta có thể phân tích f (t, x) = (t − x)(t + 1 − x). Vì vậy bất phương trình f (t, x) ≥ 0 tương đương

với t ≥ 1 − x hoặc t ≤ x.

Thay t = ex _{ta đưa về giải bất phương trình e}x _{≤ x hoặc e}x_{> x − 1.}

Mặt khác ex _{≥ x + 1 với mọi x ∈ R nên bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x.} _
BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 9. Tìm m sao cho bất phương trình log₂√x2− 2x + m + 3plog

4(x2− 2x + m) ≤ 4 đúng với mọi
x ∈ [0; 1].

Lời giải.

Để bất phương trình có nghĩa






x2_{− 2x + m ≥ 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Đặt log₂√x2_{− 2x + m = t (t ≥ 0). Bất phương trình đã cho có dạng}
t + 3√t ≤ 4 ⇔ (√t + 4)(√t − 1) ≤ 0

⇔√t − 1 ≤ 0

⇔ 0 ≤ t ≤ 1

Để bất phương trình ban đầu đúng với mọi t ∈ [0; 1] thì

0 ≤ log₂√x2_{− 2x + m ≤ 1 ∀x ∈ [0; 1]}
⇔ 1 ≤ x2_{− 2x + m ≤ 4 ∀x ∈ [0; 1] (1)}

Xét hàm số f (x) = x2_{− 2x + m trên [0; 1].}
Ta có f0(x) = 2x − 2, f0(x) = 0 khi x = 0.

Nhận xét f0(x) < 0 với mọi x ∈ (0; 1) nên f (x) nghịch biến trên [0; 1].
Vì vậy min

[0;1] f (x) = f (1) = m − 1, max[0;1] f (x) = f (0) = m.
Bất phương trình (∗) đúng khi





m ≤ 4

m − 1 ≥ 1

⇔ 2 ≤ m ≤ 4. _

Bài 10. Xác định giá trị của a > 0 sao cho acos 2x _{≥ 2 cos}2_{x với mọi x ∈ R.}

Lời giải.

Đặt cos2_{x = t (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó bất phương trình tương đương với}

at≥ t + 1 ∀t ∈ [−1; 1] ⇔ at_{− t ≥ 1 ∀t ∈ [−1; 1] (1)}

Xét hàm số f (t) = at− t trên [−1; 1].
Ta có f0(t) = at_{ln a − 1.}

TH1: Nếu 0 < a < 1 thì f0(t) < 0 với mọi t ∈ [−1; 1].
Do đó min

[−1;1]f (t) = f (1) = a − 1.

Để bất phương trình (1) đúng thì a − 1 ≥ 1 ⇔ a ≥ 2 (trái với a < 1).

TH2: Nếu a = 1 thì f (t) = 1 − t khơng thỏa mãn f (t) ≥ 1 với mọi t ∈ [−1; 1].

TH3: Nếu a > 1 thì f0(t) = 0 khi t = ln 1

ln a = − ln(ln a).

a) Nếu −1 ≤ − ln(ln a) ≤ 1 ⇔ ee _{≥ a ≥ e}1_e _{thì ta có bảng biến thiên}
t

f0(t)

f (t)

−1 − ln(ln a) 1

− 0 +

1
a + 1
1

a + 1 ₁

ln a + ln(ln a)
1

ln a + ln(ln a)

a − 1
a − 1

Đặt ln a = u, ta cần chứng minh rằng g(u) = 1

u + ln u ≥ 1 với mọi e ≥ u ≥
1

e.
Ta có g0(u) = 1

u −
1
u2 =

u − 1
u2 , g

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

u

g0(u)

g(u)

1

e 1 e

− 0 +

e − 1
e − 1

1
1

1
e + 1

1
e + 1

Từ bảng biến thiên ta suy ra g(u) ≥ 1 với mọi u ∈ ï 1
e; e

ò
.

b) Nếu −1 > − ln(ln a) ⇔ ee < a thì ta có bảng biến thiên
t

f0(t)

f (t)

−1 1

+

1
a + 1
1
a + 1

a − 1
a − 1

Để bất phương trình (1) đúng thì 1

a + 1 ≥ 1 ⇔ a ≥ 0. Do đó a > e
e_.
c) Nếu 1 < − ln(ln a) ⇔ e1e > a thì ta có bảng biến thiên

t

f0(t)

f (t)

−1 1

−

1
a + 1
1
a + 1

a − 1
a − 1

Để bất phương trình (1) đúng thì a − 1 ≥ 1 ⇔ a ≥ 2 (trái với a < e1e)

Vậy để bất phương trình ban đầu đúng với mọi x thì a ≥ e1e. 

<b>| Dạng 6. Phương pháp đặt ẩn phụ trong bất phương trình logarit</b>

Tìm một log_af (x) chung, đặt làm ẩn phụ t để đưa bất phương trình về bất phương trình theo
ẩn t, giải bất phương trình này tìm t sau đó tìm x.

Chú ý: Nếu đặt t = log_ax thì log1

a x = −t, loga
2x =

1
2t, log

2

ax = (logax)2 = t2, logxa =
1
t.

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 6 ccc</b>

Ví dụ 1. Giải bất phương trình log2₂x + log₂4x − 4 ≥ 0.

Lời giải.

Điều kiện: x > 0.

Ta có: log2₂x + log₂4x − 4 ≥ 0 ⇔ log2₂x + log₂x − 2 ≥ 0.

Đặt t = log₂x. Bất phương trình trở thành t2_{+ t − 2 ≥ 0 ⇔ t ≤ −2 ∨ t ≥ 1.}
Do đó ta có: log₂x ≤ −2 ∨ log₂x ≥ 1 ⇔ 0 < x ≤ 1

4 ∨ x ≥ 2.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =

Å
0;1

4
ị

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Ví dụ 2. Giải bất phương trình: log2_0,2x − 5 log_0,2x < −6.

Lời giải.

Điều kiện: x > 0.

Đặt t = log_0,2x. Bất phương trình trở thành: t2_{− 5t + 6 < 0 ⇔ 2 < t < 3.}
Do đó ta có 2 < log_0,2x < 3 ⇔ 1

125 < x <
1
25.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S =
Å ₁

125;
1
25

ã

. _

Ví dụ 3. Giải bất phương trình: 2 log3₂x + 5 log2₂x + log₂x − 2 ≥ 0.

Lời giải.

Điều kiện: t > 0.

Đặt t = log₂x. Bất phương trình trở thành: 2t3+ 5t2+ t − 2 ≥ 0 ⇔ −2 ≤ t ≤ −1 ∨ t ≥ 1
2.

Do đó ta có:




−2 ≤ log₂x ≤ −1
log₂x ≥ 1

2

⇔



1

4 ≤ x ≤
1
2
x ≥√2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ï 1
4;

1
2
ị

∪ỵ√2; +∞ä. _

Ví dụ 4. Giải bất phương trình: log_x3 − logx

3 3 < 0.

Lời giải.

Điều kiện:











x > 0

x 6= 1

x 6= 3

Ta có: log_x3 − logx

3 3 < 0 ⇔ logx3 −
1

log₃ x
3

< 0 ⇔ 1
logx₃ −

1

log₃x − log₃x < 0.
Đặt t = log₃x.

Bất phương trình trở thành: 1
t −

1

t − 1 < 0 ⇔
−1

t(t − 1) < 0 ⇔ t(t − 1) > 0 ⇔ t < 0 ∨ t > 1

Do đó ta có:
"

log₃x < 0
log₃x > 1 ⇔

"

0 < x < 1

x > 3 .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (0; 1) ∪ (3; +∞). _

Ví dụ 5. Giải bất phương trình: log2₂(2 + x − x2_{) + 3 log}
1

2(2 + x − x

2_{) + 2 ≤ 0.}

Lời giải.

Điều kiện: 2 + x − x2 > 0 ⇔ −1 < x < 2.

Đặt t = log₂(2 + x − x2_{). Bất phương trình trở thành: t}2_{− 3t + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ t ≤ 2.}
Do đó ta có: 1 ≤ log(2 + x − x2_{) ≤ 4 ⇔}






−x2_{+ x ≥ 0}

−x2_{+ x − 2 ≤ 0} ⇔





0 ≤ x ≤ 1

x ∈ R

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [0; 1]. _

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Giải bất phương trình log2₂(2 − x) − 8 log1

4(2 − x) ≥ 5.

Lời giải.

Điều kiện: 2 − x > 0 ⇔ x < 2.

Ta có: log2₂(2 − x) − 8 log1

4(2 − x) ≥ 5 ⇔ log

2

2(2 − x) − 8 · log2−2(2 − x) ≥ 5
⇔ log2₂(2 − x) + 4 log₂(2 − x) − 5 ≥ 0.

Đặt t = log₂(2 − x). Bất phương trình trở thành: t2+ 4t − 5 ≥ 0 ⇔ t ≤ −5 ∨ t ≥ 1.
Do đó ta có:

"

log₂(2 − x) ≤ −5
log₂(2 − x) ≥ 1 ⇔

"

0 < 2 − x ≤ 2−5
2 − x ≥ 2 ⇔




63

32 ≤ x < 2
x ≤ 0

.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (−∞; 0] ∪ï 63
32; 2

ã

. 

Bài 2. Giải bất phương trình: log2₅(6 − x) + 2 log_√1
5

(6 − x) + log₃27 ≥ 0.

Lời giải.

Điều kiện: 6 − x > 0 ⇔ x < 6.

Ta có: log2₅(6 − x) + 2 log_√1

5(6 − x) + log327 ≥ 0 ⇔ log
2

5(6 − x) + 2 log₅− 1

2(6 − x) + 3 ≥ 0
⇔ log2

5(6 − x) − 4 log5(6 − x) + 3 ≥ 0.

Đặt t = log₅(6 − x). Ta có: t2 _{− 4t + 3 ≥ 0 ⇔ t ≤ 0 ∨ t ≥ 3.}
Do đó ta có:

"

log₅(6 − x) ≤ 1
log₅(6 − x) ≥ 3 ⇔

"

0 < 6 − x ≤ 5

6 − x ≥ 53 ⇔
"

1 ≤ x < 6

x ≤ −119

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (−∞; −119) ∪ [1; 6). _

Bài 3. Giải bất phương trình: log_2x64 + log_x213 ≥ 3.

Lời giải.

Điều kiện:












x > 0

x 6= 1

x 6= 1
2

Ta có: log_2x64 + log_x216 ≥ 3 ⇔ log_2x26+ log_x224 ≥ 3 ⇔ 6 log_2x2 +
1

2 · 4 logxx ≥ 3
⇔ 6

log₂2x+
2

log₂x ≥ 3 ⇔
6

1 + log₂x +
2

log₂x ≥ 3
Đặt t = log₂x, bất phương trình trở thành: 6

1 + t+
2

t ≥ 3 ⇔

6t + 2(1 + t)

(1 + t)t − 3 ≥ 0

⇔ 8t + 2 − 3t(t + 1)

(1 + t)t ≥ 0 ⇔

−3t2_{+ 5t + 2}

(1 + t)t ≥ 0 ⇔




−1 < t ≤ −1
3
0 < t ≤ 2

Do đó ta có:




−1 < log₂x ≤ −1
3
0 < log₂x ≤ 2

⇔



1

2 ≤ x ≤
1
3
√

2
1 < x ≤ 4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ï 1
2;

1
3
√

2
ị

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Bài 4. Giải bất phương trình: 3 log_x4 + 2 log_4x4 + 3 log_16x4 ≤ 0.
Lời giải.
Điều kiện:



















x > 0

x 6= 1

x 6= 1
4
x 6= 1

16

Ta có: 3 log_x4 + 2 log_4x4 + 3 log_16x4 ≤ 0 ⇔ 3
log₄x +

2

1 + log₄x+
3

2 + log₄x ≤ 0
Đặt t = log₄x, bất phương trình trở thành: 3

t +
2
1 + t+

3
2 + t ≤ 0

⇔ 3(1 + t)(2 + t) + 2t(2 + t) + 3t(1 + t)

t(t + 1)(2 + t) ≤ 0 ⇔

8t2+ 16t + 6

t(t + 1)(t + 2) ≤ 0 ⇔







t < −2

−3

2 ≤ t < −1
−1

2 ≤ t < 0

Do đó ta có:







log₄x < −2
−3

2 ≤ log4x < −1
−1

2 ≤ log4x < 0
⇔







0 < x < 1
16
1

8 ≤ x <
1
4
1

2 ≤ x < 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S =
Å

0; 1
16

ã
∪ï 1

8;
1
4

ã
∪ï 1

2; 1
ã

. _

Bài 5. Giải bất phương trình: logx

3(3x) + log
2

3x < 11.

Lời giải.

Điều kiện:




x > 0

x 6= 3

Ta có: logx

3(3x) + log
2

3x < 11 ⇔ logx₃ 3 + logx₃ x + log
2

3x − 11 < 0
⇔ 1

log₃ x
3

+ 1
log_x x

3

+ log2₃x − 11 < 0 ⇔ 1

log₃x − 1 +
1

1 − log₃x+ log
2

3x − 11 < 0

⇔ 1

log₃x − 1+
1

1 − 1
log₃x

+ log2₃x − 11 < 0 ⇔ 1

log₃x − 1 +

log₃x

log₃x − 1+ log
2

3x − 11 < 0

Đặt t = log₃x. Ta có: 1
t − 1+

t
t − 1 + t

2_{− 11 < 0 ⇔} 1 + t + (t

2_{− 11)(t − 1)}
t − 1 < 0

⇔ t

3_{− t}2_{− 10t + 12}

t − 1 < 0 ⇔

(t − 3)(t2_{+ 2t − 4)}

t − 1 < 0 ⇔
"

−1 −√5 < t < 1
−1 +√5 < t < 3

Do đó ta có:
"

−1 −√5 < log₃x < 1
−1 +√5 < log₃x < 3 ⇔

"
3−1−

√

5 _{< x < 3}
3−1+

√

5 _{< x < 27}
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (3−1−

√

5_{; 3) ∪ (3}−1+√5_{; 27).} _

<b>| Dạng 7. Phương pháp sử dụng hàm số và bất đẳng thức</b>

• Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 7 ccc</b>

Ví dụ 1. Giải bất phương trình x + log₂x > 1.

Lời giải.

Điều kiện của bất phương trình là x > 0. Khi đó xét hàm số f (x) = x + log₂x trên (0; +∞). Ta có
f0(x) = 1 + 1

x ln 2 > 0 với mọi x > 0 nên hàm số f (x) đồng biến trên (0; +∞). Mặt khác f (1) = 1 nên

x + log₂x > 1 ⇔ f (x) > f (1) ⇔ x > 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (1 : +∞). _

Ví dụ 2. Giải bất phương trình 3x+ 4x > 5x.

Lời giải.

Bất phương trình đã cho tương đương Å 3
5

ãx
+Å 4

5
ãx

> 1. Đặt f (x) =Å 3
5

ãx
+Å 4

5
ãx

, ta có

f0(x) = Å 3
5

ãx
ln3

5 +
Å 4

5
ãx

ln4

5 < 0, ∀x ∈ R.

Do đó f (x) là hàm số nghịch biến trên R. Mà f (2) = 1 nên

3x+ 4x > 5x ⇔ f (x) > f (2) ⇔ x < 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (0; 2). _

Ví dụ 3. Giải bất phương trình log₂(x2+ 1) + 2 log_x2₊₁(2x2+ 1) + 4 log_2x2₊₁2 ≥ 6.

Lời giải.

Điều kiện của bất phương trình là x 6= 0. Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số thực dương
log₂(x2_{+ 1), 2 log}

x2₊₁(2x2+ 1), 4 log_2x2₊₁2 ta có

log₂(x2+ 1) + 2 log_x2₊₁ 2x2+ 1
+ 4 log_2x2₊₁2
≥ 3»3

8 log₂(x2_{+ 1) · log}

x2₊₁(2x2+ 1) · log_2x2₊₁2
= 6.

Do đó bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = R \ {0}. 

Ví dụ 4. Giải bất phương trình 3x2−1+ (x2− 1) 3x+1 _{≥ 1.}

Lời giải.

Nếu x2− 1 < 0 hay −1 < x < 1, thì
(

3x2−1 < 1

x2− 1
3x+1 < 0

⇒ 3x2₋₁

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Do đó bất phương trình đã cho vơ nghiệm. Suy ra x2− 1 ≥ 0 hay |x| ≥ 1. Suy ra
(

3x2−1 ≥ 1

x2− 1
3x+1 ≥ 0 ⇒ 3
x2₋₁

+ x2− 1
3x+1 ≥ 1, ∀|x| ≥ 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (−∞; −1) ∪ (1; +∞). _

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Giải bất phương trình Å 1

6
ãx

+ 2Å 1
3

ãx

+ 3Å 1
2

ãx
< 1.

Lời giải.

Đặt f (x) = Å 1
6

ãx

+ 2Å 1
3

ãx

+ 3Å 1
2

ãx

. Ta có f0(x) = Å 1
6

ãx
ln1

6 + 2
Å 1

3

ãx

ln1
3 + 3

Å 1
2

ãx
ln1

2 < 0 với
mọi x ∈ R. Do đó hàm số f (x) nghịch biến trên R. Mặt khác f (2) = 1 nên phương trình đã cho tương
đương

f (x) < f (2) ⇔ x > 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (2; +∞). _

Bài 2. Giải bất phương trình log₇x < log₃(√x + 2).

Lời giải.

Điều kiện của bất phương trình là x > 0. Đặt t = log₇x suy ra x = 7t_{. Khi đó bất phương trình trở}
thành

t < log₃Ä√7t_{+ 2}ä _⇔√₇t_{+ 2 > 3}t_⇔Ä√₇ätđÅ 3_√
7

ãt

− 1

ơ

< 2. (1)

Ta xét các khả năng sau

• Nếu t ≤ 0 thì do √3

7 > 1 nên
Å

3
√
7

ã

≤ 1, suy ra Ä√7ätđÅ 3√
7

ãt
− 1

ơ

≤ 0. Do đó (1) ln đúng

khi t ≤ 0.

• Nếu t > 0 thì f (t) = Ä√7ätđÅ 3√
7

ãt
− 1

ơ
có

f0(t) =Ä√7ätln√7đÅ 3√
7

ãt
− 1

ơ

+Ä√7ätđÅ 3√
7

ãt
− 1

ơ
ln√3

7 > 0, ∀t > 0.

Do đó f (t) đồng biến trên (0; +∞). Mà f (2) = 2 nên

Ä√

7ätđÅ 3√
7

ãt
− 1

ơ

< 2 ⇔ f (t) < f (2) ⇔ 0 < t < 2.

Kết hợp hai khả năng trên ta được log₇x < 2 ⇔ 0 < x < 49. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã

cho là S = (0; 49). _

Bài 3. Giải bất phương trình log₂ √x2<sub>− 5x + 5 + 1
+ log</sub>

3(x2− 5x + 7) ≤ 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Đặt t =√x2_{− 5x + 5 ≥ 0, bất phương trình đã cho trở thành}

f (t) = log₂(t + 1) + log₃ t2 + 2
≤ 2.

Do f0(t) = 1

(t + 1) ln 2 +

2t

(t2_{+ 2) ln 3} > 0, ∀t ≥ 0 nên f (t) là hàm số đồng biến trên [0; +∞). Mà
f (1) = 2 nên

f (t) ≤ 2 ⇔ f (t) ≤ f (1) ⇔ t ≤ 1.

Do đó

√

x2 _{− 5x + 5 ≤ 1 ⇔}





x2− 5x + 5 ≥ 0
x2− 5x + 5 ≤ 1

⇔






1 ≤ x ≤ 5 −
√

5

2
5 +√5

2 ≤ x ≤ 4
.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S =
đ

1;5 −
√

5
2

ơ
∪

đ

5 +√5
2 ; 4

ơ

. 

Bài 4. Giải bất phương trình 2−|x−2|log₂(−x2+ 4x − 2) ≥ 1.

Lời giải.

Điều kiện của bất phương trình là −x2+ 4x − 2 > 0 ⇔ 2 −√2 < x < 2 +√2. Đặt t = |x − 2|, 0 ≤< 2,
bất phương trình đã cho trở thành

f (t) = log₂(2 − t) − 2t≥ 0. (1)

Do f0(t) = − 1

(2 − t) ln 2 − 2

t_{ln 2 < 0, ∀0 ≤ t < 2 nên f (t) nghịch biến trên [0; 2). Mà f (0) = 0 nên}
(1) ⇔ t = 0. Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. _

Bài 5. Giải bất phương trình 3

√

x+4_{+ 2}√2x+4 _{> 13.}

Lời giải.

Điều kiện của phương trình
(

x + 4 ≥ 0

2x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2. Xét hàm số f (x) = 3
√

x+4_{+ 2}√2x+4_{, với x ≥ −2.}

Ta có

f0(x) = 3
√

x+4_{ln 3}
2√x + 4 +

2
√

2x+4_{ln 2}
√

2x + 4 > 0, ∀x ≥ −2.

Do đó f (x) là hàm đồng biến trên (−2; +∞). Mà f (0) = 13, suy ra

3
√

x+4_{+ 2}√2x+4_{> 13 ⇔ f (x) > f (0) ⇔ x > 0.}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (0; +∞). _

Bài 6. Giải bất phương trình 3

2−x _{+ 3 − 2x}
4x_{− 2} ≥ 0.

Lời giải.

Điều kiện của bất phương trình x 6= 1

2. Đặt f (x) = 3

2−x_{+ 3 − 2x và g(x) = 4}x_{− 2. Ta có}

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

Do đó f (x) là hàm số nghịch biến trên R và g(x) là hàm số đồng biến trên R. Mà f (2) = 0 và gÅ 1
2

ã
= 0

nên ta có

32−x+ 3 − 2x

4x_{− 2} ≥ 0 ⇔
f (x)

g(x) ≥ 0 ⇔










(

f (x) ≥ 0

g(x) > 0

(

f (x) ≤ 0

g(x) < 0
⇔

















x ≥ 2

x < 1
2




x ≤ 2

x > 1
2

⇔ 1

2 < x ≤ 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S =Å 1
2; 2

ò

. _

Bài 7. Cho bất phương trình

2(m2−1)x− 2x−4m+3 _{< 2 − m}2_{x + 3 − 4m.}

a) Giải bất phương trình với m = 2.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình vơ nghiệm.

Lời giải.

Bất phương trình đã cho tương đương

2(m2−1)x+ m2− 1
x < 2x−4m+3_{+ x − 4m + 3.}

Đặt f (t) = 2t_{+ t. Ta có f}0_{(t) = 2}t_{ln 2 + 1 > 0, ∀x ∈ R nên f (t) là hàm số đồng biến trên R. Do đó}

2(m2−1)x+ m2 − 1
x < 2x−4m+3_{+ x − 4m + 3}
⇔ f 

m2− 1
x < f (x − 4m + 3)
⇔ m2− 1
x < x − 4m + 3

⇔ m2− 2
x < −4m + 3. (1)

a) Với m = 2, bất phương trình trở thành 2x < −5 ⇔ x < −5
2.

b) Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình (1) vơ nghiệm hay

(

m2− 2 = 0

− 4m + 3 ≤ 0 ⇔ m =
√

2.

Vậy m =√2 là giá trị cần tìm.



Bài 8. Giải và biện luận bất phương trình x2− (m + 3)x + 3m < (m − x) log₂x.

Lời giải.

Điều kiện của bất phương trình x > 0. Khi đó bất phương trình tương đương

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Đặt f (x) = x − 3 + log₂x, với x > 0. Dễ thấy f (x) là hàm số đồng biến trên (0; +∞) và f (2) = 0 nên

(1) ⇔









(

x − m > 0

f (x) < 0

(

x − m < 0

f (x) > 0
⇔










(
x > m

x < 2

(
x < m

x > 2


Kết hợp với điều kiện ta có

• Nếu m ≤ 0 thì bất phương trình có tập nghiệm là (0; 2).

• Nếu 0 < m < 2 thì bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (m; 2).
• Nếu m = 2 thì bất phương trình đã cho vơ nghiệm.

• Nếu m > 2 bất phương trình có tập nghiệm là (2; m).

Bài 9. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình

2(m+1)x+4− 2m2−m−2 > ln m2− m − 2
− ln [(m + 1)x + 4]
nghiệm đúng với mọi x ∈ [0; 1].

Lời giải.

Điề kiện của bất phương trình
(

m2− m − 2 > 0

(m + 1)x + 4 > 0. Khi đó bất phương trình đã cho tương đương

2(m+1)x+4+ ln [(m + 1)x + 4] > 2m2−m−2+ ln m2− m − 2
. (1)

Đặt f (x) = 2t+ ln t. Dễ thấy f (t) là hàm số đồng biến trên (0; +∞). Do đó
(1) ⇔(m + 1)x + 4 > m2 − m − 2

⇔g(x) = (m + 1)x − m2_{+ m + 6 > 0.} ₍₂₎

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ [0, 1] khi và chỉ khi bất phương trình (2) nghiệm

đúng với mọi x ∈ [0; 1] hay

(

m2− m − 2 > 0
g(x) > 0, ∀x ∈ [0; 1]

⇔











"
m > 2

m < −1

min

[0;1] g(x) > 0
⇔










(
m > 2

g(0) > 0

(

m < −1

g(1) > 0

⇔









(
m > 2

m2− m − 6 < 0
(

m < −1

m2− 2m − 7 < 0
⇔

"

1 −√8 < m < −1

2 < m < 3 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Bài 10. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình

2sin2x+ 3cos2x ≥ m · 3sin2_x

có nghiệm.

Lời giải.

Bất phương trình đã cho tương đương

Å 2
3

ãsin2x

+ 3cos2x−sin2x ≥ m

⇔Å 2
3

ãsin2x

+ 31−2 sin2x ≥ m

⇔Å 2
3

ãsin2x

+ 3Å 1
9

ãsin2x
≥ m.

Đặt t = sin2x, 0 ≤ t ≤ 1, khi đó bất phương trình đã cho trở thành

f (t) =Å 2
3

ãt

+ 3Å 1
9

ãt
≥ m.

Dễ thấy f (t) là hàm số nghịch biến trên [0; 1] nên max

[0;1] f (t) = f (0) = 4. Do đó bất phương trình đã
cho có nghiệm khi và chỉ khi m ≤ max

[0;1] f (t) ⇔ m ≤ 4. 

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

m · 9x− 3x+ 1 ≥ 0
nghiệm đúng với mọi x.

Lời giải.

Đặt t = 3x_{, t > 0. Phương trình đã cho trở thành}

mt2− t + 1 ≥ 0 ⇔ t − 1

t2 ≤ m. (1)

Phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi (1) nghiệm đúng với mọi t > 0.

Đặt f (t) = t − 1

t2 , t > 0. Ta có f

0_{(t) =} 2 − t

t3 , suy ra f

0_{(t) = 0 ⇔ t = 2. Bảng biến thiên của hàm số}
f (t)

x

f0(x)

f (x)

0 2 +∞

− 0 +

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Từ đây ta thấy bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi t >) khi và chỉ khi m ≥ 1
4.
Vậy m ≥ 1

4 thỏa mãn u cầu bài tốn. 

Bài 12. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

Å 3
4

ãlog4(−x2−2x+3)

< m

nghiệm đúng với mọi x ∈ (−2; 0).

Lời giải.

Điều kiện của bất phương trình −x2_{− 2x + 3 > 0 hay −3 < x < 1.}
Xét hàm số f (x) =Å 3

4

ãlog4(−x2−2x+3)

, −3 < x < 1. Ta có

f0(x) = Å 3
4

ãlog4(−x2−2x+3)

· −2x − 2

(−x2_{− 2x + 3) ln 4} · ln
3
4.

Bảng biến thiên của f (x)

x

f0(x)

f (x)

−3 −2 −1 0 1

− − 0 + +

3
4
3
4
−2

Å 3
4

ãlog43

0

Å 3
4

ãlog43

Từ bảng biến thiên ta thấy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ (−2, 0) khi và chỉ khi

m ≥ Å 3
4

ãlog43

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

<b>1</b> <b>MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT</b>

Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình log₂(3x + 1) < 2 là
A

ï
−1

3; 1
ã

. B

Å
−1

3;
1
3

ã

. C

Å

−1

3; 1

ã

. D (−∞; 1).

Lời giải.

ĐK: x > −1
3

log₂(3x + 1) < 2 ⇔ 3x + 1 < 4 ⇔ x < 1.
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là −1

3 < x < 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình
Å

−1
3; 1

ã
.

Chọn đáp án C _

Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình log₂(3 − x) < 2 là

A (−∞; 1). B (−1; 3). C (1; 3). D (3; +∞).

Lời giải.

Điều kiện 3 − x > 0 ⇔ x < 3.

log₂(3 − x) < 2 ⇔ 3 − x < 4 ⇔ x > −1.
Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm S = (−1; 3) .

Chọn đáp án B _

Câu 3. Tìm tập nghiệm của bất phương trìnhÅ 3

4
ãx−1

>Å 3
4

ã−x+3
.

A (2; +∞). B (−∞; 2). C [2; +∞). D (−∞; 2].

Lời giải.

Å 3
4

ãx−1

>Å 3

4
ã−x+3

⇔ x − 1 < −x + 3 ⇔ x < 2.

Chọn đáp án B _

Câu 4. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log₃(2x − 3) > 1.
A S = (1; +∞). B S =Å 1

6; +∞
ã

. C S = (2; +∞). D S = (3; +∞).

Lời giải.

Bất phương trình tương đương với 2x − 3 > 3 hay x > 3.

Chọn đáp án D _

Câu 5. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A log x ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. B log₅x ≤ 0 ⇔ 0 < x ≤ 1.

C log1

5 a > log

1

5 b ⇔ a > b > 0. D log

1

5 a = log
1

5 b ⇔ a = b > 0.

Lời giải.

log1

5 a > log
1

5 b ⇔ b > a > 0 (do
1
5 < 1).

Chọn đáp án C _

Câu 6. Nghiệm của bất phương trình 3x−2 ≤ 243 là

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

Lời giải.

Ta có 3x−2 ≤ 243 ⇔ 3x−2 _{≤ 3}5 _{⇔ x − 2 ≤ 5 ⇔ x ≤ 7}

Chọn đáp án B _

Câu 7. Nghiệm của bất phương trình 32x+1 _{> 3}3−x _là
A x > −2

3. B x <
2

3. C x >

2

3. D x >

3
2.

Lời giải.

Ta có 32x+1 > 33−x ⇔ 2x + 1 < 3 − x ⇔ x > 2
3.

Chọn đáp án C _

Câu 8. Cho hàm số f (x) =Å 1

2
ãx

· 5x2

. Khẳng định nào sau đây là sai?

A f (x) > 1 ⇔ x2_{+ x log}

25 > 0. B f (x) > 1 ⇔ x − x2log25 < 0.

C f (x) > 1 ⇔ x2_{− x log}

52 > 0. D f (x) > 1 ⇔ −x ln 2 + x2ln 5 > 0.

Lời giải.

Dễ thấy x = −1 là nghiệm của bất phương trình f (x) > 1 nhưng khơng là nghiệm của bất phương

trình x2+ x log₂5 > 0.

Chọn đáp án A _

Câu 9. Tập nghiệm của bất phương trình Å 1

2
ãx

< 8 là.

A S = (−∞; −3). B S =
Å

−∞;1
3

ã

. C S = (−3; +∞). D S =Å 1

3; +∞
ã

.

Lời giải.

Å 1
2

ãx

< 8 ⇔ x > log1

2 8 ⇔ x > −3.

Chọn đáp án C _

Câu 10. Tập nghiệm của bất phương trình 32x−1_{> 27 là}

A Å 1
2; +∞

ã

. B (3; +∞). C Å 1

3; +∞
ã

. D (2; +∞).

Lời giải.

32x−1 > 27 ⇔ 2x − 1 > 3 ⇔ x > 2.

Chọn đáp án D _

Câu 11. Bất phương trình log₂(3x − 2) > log₂(6 − 5x) có tập nghiệm là
A (−3; 1). B

Å

1;6

5
ã

. C Å 1

2; 3
ã

. D (0; +∞).

Lời giải.

Ta có log₂(3x − 2) > log₂(6 − 5x) ⇔
(

6 − 5x > 0

3x − 2 > 6 − 5x
⇔





x < 6

5
8x > 8

⇔




x < 6

5
x > 1.

Chọn đáp án B _

Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình log₂x > log₂(8 − x) là

A (8; +∞). B (−∞; 4). C (4; 8). D (0; 4).

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

Điều kiện 0 < x < 8.

Do 2 > 1 nên bất phương trình đã cho tương đương với
x > 8 − x ⇔ 2x > 8 ⇔ x > 4.

Kết hợp với điều kiện 0 < x < 8 ta được tập nghiệm của bất phương trình là (4; 8)

Chọn đáp án C _

Câu 13. Nghiệm của bất phương trình 32x+1 > 33−x là
A x > −2

3. B x >
3

2. C x >

2

3. D x <

2
3.

Lời giải.

Ta có 32x+1 _{> 3}3−x _{⇔ 2x + 1 > 3 − x ⇔ x >} 2
3.

Chọn đáp án C _

Câu 14. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 32x _{> 3}x+4_.

A S = (0; 4). B S = (−∞; 4). C S = (4; +∞). D S = (−4; +∞).

Lời giải.

Ta có 32x _{> 3}x+4 _{⇔ 2x > x + 4 ⇔ x > 4.}

Chọn đáp án C _

Câu 15. Xét phương trình: ax > b (1). Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Nếu 0 < a < 1, b > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình (1) là S = (−∞; log_ba).

B Nếu a > 1, b _{6 0 thì tập nghiệm của bất phương trình (1) là S = R.}

C Nếu 0 < a < 1, b_{6 0 thì tập nghiệm của bất phương trình (1) là S = R.}

D Nếu a > 1, b > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình (1) là S = (log_ab; +∞).

Lời giải.

Nếu 0 < a < 1, b > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình (1) là S = (−∞; log_ab).

Chọn đáp án A _

Câu 16. Tập nghiệm của bất phương trình log₂x < 0 là

A (0; 1). B (−∞; 1). C (1; +∞). D (0; +∞).

Lời giải.

Điều kiện: x > 0.

Phương trình đã cho tương đương với x < 1.

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm 0 < x < 1.

Chọn đáp án A _

Câu 17. Tập nghiệm bất phương trình (0, 5)3 <Å 1
2

ã3x
là

A (1; +∞). B (−∞; 1). C (−∞; −1). D (−1; +∞).

Lời giải.

Ta có (0, 5)3 <Å 1
2

ã3x

⇔ 3x < 3 ⇔ x < 1.

Vậy tập nghiệm là (−∞; 1).

Chọn đáp án B _

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

A x < 1. B x > 1. C x < −1. D x > −1.

Lời giải.

Ta có √10 + 3 =Ä√10 − 3ä−1, vậy bất phương trình trên trở thành
Ä√

10 − 3äx >Ä√10 − 3ä−1
⇔ x < −1.

Chọn đáp án C _

Câu 19. Bất phương trình log1

5 f (x) > log
1

5 g(x) tương đương với điều nào sau đây?

A f (x) < g(x). B g(x) > f (x) ≥ 0. C g(x) > f (x) > 0. D f (x) > g(x).

Lời giải.

Do cơ số là 1

5 < 1 nên ta phải đổi chiều bất phương trình, đồng thời chú ý đến điều kiện xác định.

Chọn đáp án C _

Câu 20. Tập nghiệm của phương trình 2x+2 _<Å 1

4
ã−x

là

A S = (−∞; 2). B S = (1; +∞). C S = (2; +∞). D S = (−∞; 1).

Lời giải.

2x+2 <Å 1
4

ã−x

⇔ 2x+2 < 22x

⇔ 2x > x + 2 ⇔ x > 2.

Chọn đáp án C _

Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình log1

2

(x − 3) ≥ log1
2

(9 − 2x) là

A S = (3; 4). B S =
Å

3;9
2

ã

. C S = (3; 4]. D S =

ï
4;9

2
ã

.

Lời giải.

log1

2

(x − 3) ≥ log1
2

(9 − 2x) ⇔
(

x − 3 ≤ 9 − 2x

x − 3 > 0

⇔ 3 < x ≤ 4.

Chọn đáp án C 

Câu 22. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình loge

π

(x + 1) < loge
π

(3x − 1).

A S = (−∞; 1). B S = (1; +∞). C S =Å 1

3; 1

ã

. D S = (−1; 3).

Lời giải.

Điều kiện: x > 1
3·
Vì cơ số 0 < e

π < 1 nên logπe (x + 1) < log
e

π (3x − 1) ⇔ x + 1 > 3x − 1 ⇔ x < 1.
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S = Å 1

3; 1
ã

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Câu 23. Bất phương trình 3x < 9 có nghiệm là

A x < 2. B x < 3. C 0 < x < 2. D 0 < x < 3.

Lời giải.

Ta có 3x _{< 9 ⇔ x < 2.}

Chọn đáp án A _

Câu 24. Tập nghiệm của bất phương trình 3x > 9 là

A (2; +∞). B (0; 2). C (0; +∞). D (−2; +∞).

Lời giải.

Ta có 3x > 9 ⇔ 3x > 32 ⇔ x > 2.

Chọn đáp án A 

Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình 32x−1_{> 27 là}

A (2; +∞). B (3; +∞). C Å 1

3; +∞
ã

. D Å 1

2; +∞
ã

.

Lời giải.

Ta có 32x−1 _{> 27 ⇔ 2x − 1 > 3 ⇔ x > 2.}

Chọn đáp án A _

Câu 26. Tập nghiệm của bất phương trình 2x+1 > 0 là

A x ∈ R. B x > −1. C x > 1. D x > 0.

Lời giải.

Ta có 2x+1 _{> 0 với mọi x ∈ R.}

Chọn đáp án A _

Câu 27. Tập nghiệm của bất phương trình log₂(2x + 1) ≤ 1 là

A
Å

−∞;1
2
ò

. B

Å
−1

2; +∞
ã

. C

Å

−1

2;

1
2
ò

. D

Å

−∞;1
2

ã
.

Lời giải.

Điều kiện xác định: 2x + 1 > 0 ⇔ x > −1
2.

Bất phương trình đã cho tương đương với 2x + 1 ≤ 2 ⇔ x ≤ 1
2.

Do đó tập nghiệm của bất phương trình là
Å

−1
2;

1
2
ị

.

Chọn đáp án C _

Câu 28. Tập nghiệm của bất phương trình log1

2

x > 0 là

A (0; 1). B (−∞; 1). C (1; +∞). D (0; +∞).

Lời giải.

Điều kiện xác định x > 0.

Ta có log1

2 x > 0 ⇔ x < 1. Kết hợp với điều kiện xác định ta có tập nghiệm của bất phương trình là
S = (0; 1).

Chọn đáp án A _

Câu 29. Tập nghiệm của bất phương trình Å 2

3
ã4x

≤Å 3
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

A
Å

−∞; −2
3
ò

. B

Å
−∞;2

5
ò

. C Å 2

5; +∞
ò

. D

ï

−2

3; +∞

ã
.

Lời giải.

Å 2
3

ã4x
≤Å 3

2
ã2−x

⇔Å 3
2

ã−4x
≤Å 3

2
ã2−x

⇔ −4x ≤ 2 − x ⇔ x ≥ −2

3.

Chọn đáp án D _

Câu 30. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log₃_{(x − 2) > 2.}

A (−∞; 11). B (2; +∞). C [11; +∞). D (11; +∞).

Lời giải.

Điều kiện: x − 2 > 0 ⇔ x > 2.

Vì 3 > 1 nên log₃_{(x − 2) > 2 ⇔ x − 2 > 3}2 _{⇔ x > 11.}
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [11; +∞).

Chọn đáp án C _

Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình Å 1

3
ã3x

>Å 1
3

ã2x+6
là

A (0; 6). B (−∞; 6). C (0; 64). D (6; +∞).

Lời giải.

Ta có Å 1
3

ã3x
>Å 1

3
ã2x+6

⇔ 3x < 2x + 6 ⇔ x < 6.

Chọn đáp án B _

Câu 32. Bất phương trình

π

2
x−1

≤π
2

2x+3

có nghiệm là

A x > −4. B x ≥ −4. C x ≤ −4. D x < −4.

Lời giải.

Vì π

2 > 1 nên bất phương trình tương đương x − 1 ≤ 2x + 3 ⇔ x ≥ −4.

Chọn đáp án B _

Câu 33. Tập hợp nghiệm của bất phương trình 2x2 < 26−x là

A (2; +∞). B (−∞; −3). C (−3; 2). D (−2; 3).

Lời giải.

Ta có 2x2

< 26−x _{⇔ x}2 _{< 6 − x ⇔ x}2_{+ x − 6 < 0 ⇔ −3 < x < 2.}

Chọn đáp án C _

Câu 34. Mệnh đề nào sau đây sai ?

A ln x > 0 ⇔ x > 1. B log a > log b ⇔ a > b > 0.

C log a < log b ⇔ 0 < a < b. D ln x < 1 ⇔ 0 < x < 1.

Lời giải.

Mệnh đề ln x < 1 ⇔ 0 < x < 1 sai vì cơ số e là cơ số lớn hơn 1 nên ln x < 1 ⇔ x < e.

Chọn đáp án D _

Câu 35. Tập nghiệm của bất phương trình Å 1

3
ãx

> 9 là

A (−∞; 2). B (2; +∞). C (−2; +∞). D (−∞; −2).

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

Ta có: Å 1
3

ãx

> 9 ⇔ x < log1

3 9 ⇔ x < −2.

Chọn đáp án D _

Câu 36. Tập nghiệm S của bất phương trình log₂(x + 2) ≤ 0 là

A S = (−∞; −1]. B S = [−1; +∞). C S = (−2; −1]. D S = (−2; +∞).

Lời giải.

Bất phương trình log₂(x + 2) ≤ 0 ⇔ 0 < x + 2 ≤ 1 ⇔ −2 < x ≤ −1.

Chọn đáp án C _

Câu 37. Tập nghiệm của bất phương trình 33x_{≤ 3}x+2 _là

A (−∞; 1). B [1; +∞). C (−∞; 1]. D (0; 1].

Lời giải.

33x≤ 3x+2 _{⇔ 3x ≤ x + 2 ⇔ x ≤ 1.}

Chọn đáp án C _

Câu 38. Tìm tất cả các giá trị x thỏa mãn bất phương trình log₂(3x − 1) > 3.

A x > 3. B 1

3 < x < 3. C x < 3. D x >
10

3 .

Câu 39. Tập nghiệm của bất phương trình 4x > 2x+8 là

A [8; +∞). B (−∞; 8). C (0; 8). D (8; +∞).
Lời giải.

Ta có 4x _{> 2}x+8 _{⇔ 2}2x _{> 2}x+8 _{⇔ 2x > x + 8 ⇔ x > 8.}

Chọn đáp án D _

Câu 40. Tập nghiệm của bất phương trình 22x< 2x+4 là

A (0; 4). B (−∞; 4). C (0; 16). D (4; +∞).

Lời giải.

Ta có 22x < 2x+4 _{⇔ 2x < x + 4 ⇔ x < 4.}

Chọn đáp án B _

Câu 41. Tập nghiệm của bất phương trình log_0,5(x − 3) ≥ −1 là

A (−∞; 5). B [5; +∞). C (3; 5]. D (3; 5).

Lời giải.

Bất phương trình tương đương

0 < x − 3 ≤Å 1
2

ã−1

⇔ 3 < x ≤ 5.

Chọn đáp án C _

Câu 42. Tập nghiệm S của bất phương trình log1

5

(3x − 5) > log1
5

(x + 1) là

A S = (2; +∞). B S =Å 5

3; 3

ã

. C S = (−∞; 3). D S =Å 3
5; 3

ã
.

Lời giải.

Điều kiện 3x − 5 > 0 ⇔ x > 5

3. Khi đó

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S = Å 5
3; 3

ã
.

Chọn đáp án B _

Câu 43. Tập nghiệm của bất phương trình log(x + 1) < 0 là

A (−1; 0). B (−∞; 9). C (−1; 9). D (−∞; −1).

Lời giải.

Ta có log(x + 1) < 0 ⇔ 0 < x + 1 < 1 ⇔ −1 < x < 0.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (−1; 0).

Chọn đáp án A _

Câu 44. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 2x+1 > 3x+2_.
A

Å

−∞; log3
2

9
2

ã

. B

Å

−∞; log2

3

9
2

ã

. C

Å

−∞; log2
3

9
2
ò

. D

Å
log2

3
9
2; +∞

ã
.

Lời giải.

Bất phương trình đã cho tương đương với

Å 2
3

ãx
> 9

2 ⇔ x < log23
9
2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Å

−∞; log2
3

9
2

ã
.

Chọn đáp án B _

Câu 45. Tập nghiệm của bất phương trình Ä√3

5äx−1 < 5x+3 là

A (−∞; −5). B (−5; +∞). C (0; +∞). D (−∞; 0).

Lời giải.

Ä√₃

5äx−1 < 5x+3 _{⇔ 5}x−1₃ _{< 5}x+3 _⇔ x − 1

3 < x + 3 ⇔ x > −5.

Chọn đáp án B _

Câu 46. Nghiệm của bất phương trình log1

2(x − 3) > 2 là

A 3_{6 x 6} 13

4 . B 3 < x6

13

4 . C x6

13

4 . D x>
13

4 .

Lời giải.

Ta có log1

2(x − 3) > 2 ⇔ 0 < x − 3 ≤
1

4 ⇔ 3 < x ≤
13

4 .

Chọn đáp án B _

Câu 47. Tìm tập nghiệm của bất phương trình Å 1

2
ãx

≥ 2.

A (−∞; −1]. B [1; +∞). C (−∞; −1). D (−1; +∞).

Lời giải.

Xét bất phương trình Å 1
2

ãx

≥ 2 ⇔Å 1
2

ãx
≥Å 1

2
ã−1

⇔ x ≤ −1 ⇒ tập nghiệm S = (−∞; −1].

Chọn đáp án A _

Câu 48. Bất phương trình Ä√2äx

2_−2x

≤Ä√2ä3 có tập nghiệm là

A (−2; 1). B (−1; 3). C [−2; 1]. D [−1; 3].

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

• Ta có Ä√2äx
2_−2x

≤Ä√2ä3 ⇔ x2_{− 2x ≤ 3 ⇔ x}2_{− 2x − 3 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 3.}

Chọn đáp án D _

Câu 49. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình loge

3 2x < log
e

3(9 − x).

A S = (3; +∞). B S = (−∞; 3). C S = (3; 9). D S = (0; 3).

Lời giải.

Ta có

loge

3 2x < log
e

3(9 − x)
⇔ 0 < 9 − x < 2x

⇔ 3 < x < 9.

Vậy S = (3; 9).

Chọn đáp án C _

Câu 50. Tập nghiệm của bất phương trình

1 − log1
2

x
√

2 − 6x < 0 là

A
Å

0;1
6

ã

. B Å 1

3;
1
2

ã

. C

Å

0;1

3
ã

. D

Å
0;1

2
ã

.

Lời giải.

Điều kiện: 0 < x < 1
3.

Bất phương trình đã cho tương đương với 1 − log1
2

x < 0 ⇔ 0 < x < 1
2.

Kết hợp điều kiện, suy ra bất phương trình có nghiệm 0 < x < 1
3.

Chọn đáp án C _

Câu 51. Giải bất phương trình Å 3

4
ã2x−4

>Å 3
4

ãx+1
.

A S = (−∞; 5). B S = (−1; 2). C S = [5; +∞). D (−∞; −1).

Lời giải.

Bất phương trình tương đương với 2x − 4 < x + 1 ⇔ x < 5.

Chọn đáp án A _

Câu 52. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.

A ln x > 0 ⇔ x > 1. B log x < 0 ⇔ x < 10.

C log1

2 a < log
1

2 b ⇔ a > b > 0. D log2a = log2b ⇔ a = b > 0.

Lời giải.

• Ta có ln x > 0 ⇔ x > e0 _{= 1 do đó khẳng định ln x > 0 ⇔ x > 1 là đúng.}

• Ta có log x < 0 ⇔ x < 100 _{⇔ x < 1 do đó khẳng định log x < 0 ⇔ x < 10 là sai.}
• Ta có log1

2 a < log
1
2 b ⇔

(
a > b

a > 0, b > 0 ⇔ a > b > 0 do đó khẳng định log
1

2 a < log
1

2 b ⇔ a > b >

0 là đúng.

• Ta có log₂a = log₂b ⇔
(

a = b

a > 0, b > 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

Chọn đáp án B _

Câu 53. Tập nghiệm của bất phương trình 32x−1_{> 27 là}

A (3; +∞). B Å 1
3; +∞

ã

. C Å 1

3; +∞
ã

. D (2; +∞).

Lời giải.

Ta có 32x−1 _{> 27 ⇔ 2x − 1 > log}

327 ⇔ 2x − 1 > 3 ⇔ x > 2.

Chọn đáp án D _

Câu 54. Tập hợp nào sau đây là tập hợp nghiệm của bất phương trình 4x < 2x+1+ 3?

A (log₂3; 5). B (−∞; log₂3). C (1; 3). D (2; 4).

Lời giải.

Bất phương trình đã cho tương đương với (2x₎2_{− 2 · 2}x_{− 3 < 0. Đặt t = 2}x_{, t > 0, bất phương trình}
đã cho trở thành

t2− 2t − 3 < 0 ⇔ −1 < t < 3.
Từ đó ta được 2x< 3 ⇔ x < log₂3.

Chọn đáp án B _

Câu 55. Giải bất phương trình 3x+2 ≥ 1

9.

A x > 0. B x < 0. C x < 4. D x ≥ −4.

Lời giải.

Ta có 3x+2 _≥ 1
9 ⇔ 3

x+2 _{≥ 3}−2 _{⇔ x + 2 ≥ −2 ⇔ x ≥ −4.}

Chọn đáp án D _

Câu 56. Giải bất phương trình log₂(3x − 1) > 3.

A x > 3. B 1

3 < x < 3. C x < 3. D x >
10

3 .

Lời giải.

ĐKXĐ: 3x − 1 > 0 ⇔ x > 1
3.

Ta có log₂(3x − 1) > 3 ⇔ 3x − 1 > 23 ⇔ 3x > 9 ⇔ x > 3 (thỏa mãn).
Vậy bất phương trình có nghiệm x > 3.

Chọn đáp án A _

Câu 57. Tập nghiệm của bất phương trình 22x_{< 2}x+6 _là

A (0; 6). B (−∞; 6). C (0; 64). D (6; +∞).

Lời giải.

Ta có 22x < 2x+6 ⇔ 2x < x + 6 ⇔ x < 6.

Chọn đáp án B _

Câu 58. Tập nghiệm của bất phương trình log(2x − 1) ≤ log x là

A ï 1
2; 1

ò

. B (−∞; 1]. C Å 1

2; 1

ò

. D (0; 1].

Lời giải.

log(2x − 1) ≤ log x ⇔ 0 < 2x − 1 ≤ x ⇔ 1

2 < x ≤ 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là Å 1
2; 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

Chọn đáp án C _

Câu 59. Tập nghiệm của phương trình Å 1

2
ãx

> 22x−1 _là
A (−∞; 1). B (1; +∞). C

Å

−∞;1

3
ã

. D Å 1

3; +∞
ã

.

Lời giải.

Ta có Å 1
2

ãx

> 22x−1 _{⇔ 2}−x _{> 2}2x−1 _{⇔ −x > 2x − 1 ⇔ x <} 1
3.

Chọn đáp án C _

Câu 60. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log1

2 x > −2.

A S = (4; +∞). B S = [0; 4). C S = (−∞; 4). D S = (0; 4).

Lời giải.

Điều kiện x > 0.

Ta có log1

2 x > −2 ⇔ − log2x > −2 ⇔ log2x < 2 ⇔ x < 4.
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm S = (0; 4).

Chọn đáp án D _

Câu 61. Tập nghiệm của bất phương trình log_0,3(3x − 2) ≥ 0 là

A Å 2
3; +∞

ã

. B Å 2

3; 1
ã

. C Å 2

3; , 1

ị

. D (2; +∞).

Lời giải.

Ta có: log_0,3(3x − 2) ≥ 0 ⇔
(

3x − 2 > 0

3x − 2 ≤ 1
⇔





x > 2

3
x ≤ 1

⇔ 2

3 < x ≤ 1.

Tập nghiệm của bất phương trình là Å 2
3; 1

ị

.

Chọn đáp án C _

Câu 62. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log1

2(x − 3) ≥ log
1
2 4.

A S = (−∞; 7]. B S = [7; +∞). C S = (3; 7]. D S = [3; 7].

Lời giải.

Điều kiện x > 3.

Ta có

log1

2(x − 3) ≥ log
1

2 4 ⇔ x − 3 ≤ 4 ⇔ x ≤ 7.

Kết hợp với điều kiện ta được S = (3; 7].

Chọn đáp án C _

Câu 63. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log1

2

(x + 1) < log1
2

(2x − 1).

A S = (2; +∞). B S = (−1; 2). C S = (−∞; 2). D S =Å 1

2; 2

ã
.

Lời giải.

Điều kiện xác định
(

x + 1 > 0

2x − 1 > 0

⇔ x > 1

2. Ta có

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

Kết hợp với điều kiện xác định, ta có tập nghiệm của bất phương trình là S =Å 1
2; 2

ã
.

Chọn đáp án D _

Câu 64. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình Å 1

2
ãx

> 8.

A S = (−3; +∞). B S = (−∞; 3). C S = (−∞; −3). D S = (3; +∞).

Lời giải.

Vì cơ số 1

2 < 1 nên
Å 1

2
ãx

> 8 ⇔ x < log1

2 8 ⇔ x < −3.

Chọn đáp án C _

Câu 65. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình Å 1

2

ã−x2+3x
< 1

4.

A S = [1; 2]. B S = (−∞; 1). C S = (1; 2). D S = (2; +∞).

Lời giải.

Ta có

Å 1
2

ã−x2+3x
< 1

4

⇔ Å 1
2

ã−x2+3x
<Å 1

2
ã2

⇔ −x2 + 3x > 2
⇔ x2_{− 3x + 2 < 0}
⇔ 1 < x < 2.

Vậy S = (1; 2).

Chọn đáp án C _

Câu 66. Tập nghiệm của bất phương trình 4x+1 _{≤ 8}x−2 _là

A [8; +∞). _{B ∅.} C (0; 8). D (−∞; 8].

Lời giải.

Ta có 4x+1 ≤ 8x−2 _{⇔ 2}2x+2_{≤ 2}3x−6 _{⇔ 2x + 2 ≤ 3x − 6 ⇔ x ≥ 8.}
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [8; +∞).

Chọn đáp án A 

Câu 67. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ln x2 _{< 0.}

A S = (−1; 1). B S = (−1; 0). C S = (−1; 1) \ {0}. D S = (0; 1).

Lời giải.

Ta có ln x2 < 0 ⇔ 0 < x2 < 1 ⇔
(

x 6= 0

− 1 < x < 1. Vậy S = (−1; 1) \ {0}.

Chọn đáp án C _

Câu 68. Tập nghiệm của bất phương trình log_0,5(x − 1) > 1 là
A

Å
−∞;3

2
ã

. B

Å

1;3

2
ã

. C Å 3

2; +∞
ã

. D

ï
1;3

2
ã

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

log_0,5(x − 1) > 1 ⇔ 0 < x − 1 < 0,5 ⇔ 1 < x < 3
2.

Chọn đáp án B _

Câu 69. Tập nghiệm của bất phương trình

e

π
x

> 1 là

A R. B (−∞; 0). C (0; +∞). D [0; +∞).

Lời giải.

Vì 0 < e

π < 1 nên
e

π
x

> 1 ⇔ x < 0.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (−∞; 0).

Chọn đáp án B _

Câu 70. Tập nghiêm S của bất phương trình log₂(x − 1) < 3 là

A (1; 9). B (−∞; 9). C (−∞; 10). D (1; 10).

Lời giải.

Điều kiện xác định x > 1.

Ta có log₂(x − 1) < 3 ⇔ x − 1 < 23 _{⇔ x < 9.}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (1; 9).

Chọn đáp án A _

Câu 71. Số nghiệm nguyên của bất phương trình log1

2

(x − 3) ≥ log1
2

4 là

A 6. B 5. C 3. D 4.

Lời giải.

Ta có: log1
2

(x − 3) ≥ log1
2

4⇔
(

x − 3 > 0

x − 3 ≤ 4
⇔

(
x > 3

x ≤ 7.
Tập nghiệm của bất phương trình là S = (3; 7].

Từ đó suy ra bất phương trình có 4 nghiệm ngun.

Chọn đáp án D _

Câu 72. Tập nghiệm cuả bất phương trình 2x2_+2x

≤ 8 là

A (−∞; −3]. B [−3; 1]. C (−3; 1). D (−3; 1].

Lời giải.

Bất phương trình 2x2+2x _{≤ 8 ⇔ 2}x2+2x _{≤ 2}3 _{⇔ x}2_{+ 2x − 3 ≤ 0 ⇔ x ∈ [−3; 1].}
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là [−3; 1].

Chọn đáp án B _

Câu 73. Tập nghiệm S của bất phương trình 3x _{< 9 là}

A S = (−∞; 2]. B S = (2; +∞). C S = (−∞; 2). D S = {2}.

Lời giải.

Ta có 3x _{< 9 ⇔ x < 2.}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (−∞; 2).

Chọn đáp án C _

Câu 74. Tập nghiệm của bất phương trình Å 3

4
ã−x2

> 81
256 là

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

C R. D (−∞; −2).

Lời giải.

Ta có

Å 3
4

ã−x2
> 81

256 ⇔
Å 3

4
ã−x2

>Å 3
4

ã4

⇔ −x2 < 4 ⇔ x2_{+ 4 > 0 (nghiệm đúng ∀x ∈ R).}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là R.

Chọn đáp án C _

Câu 75. Tập nghiệm của bất phương trình 2x > 4x+6 là

A (6; +∞). B (12; +∞). C (−∞; −12). D (−∞; −6).

Lời giải.

Ta có 2x _{> 4}x+6 _{⇔ 2}x _{> 2}2x+12 _{⇔ x > 2x + 12 ⇔ x < −12.}
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −12).

Chọn đáp án C _

Câu 76. Cho bất phương trình Å 2

3

ãx2−x+1

> Å 2
3

ã2x−1

có tập nghiệm S = (a; b). Giá trị của b − a

bằng

A −2. B −1. C 1. D 2.

Lời giải.

Bất phương trình đã cho tương đương

x2− x + 1 < 2x − 1 ⇔ x2_{− 3x + 2 < 0 ⇔ 1 < x < 2.}
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (1; 2).

Do đó a = 1, b = 2 ⇒ b − a = 1.

Chọn đáp án C 

Câu 77. Tập nghiệm của bất phương trình 2x _{> 8 là}

A (−∞; 3). B [3; +∞). C (3; +∞). D (−∞; 3].

Lời giải.

Ta có 2x _{> 8 ⇔ 2}x _{> 2}3 _{⇔ x > 3. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (3; +∞).}

Chọn đáp án C _

Câu 78. Tập nghiệm của bất phương trình 2

√

x _{< 2 là}

A [0; 1). B (−∞; 1). C (−∞; 1]. D (0; 1).

Lời giải.

Điều kiện x ≥ 0.

Bất phương trình đã cho tương đương với √x < 1 ⇔ 0 ≤ x < 1.

Chọn đáp án A _

Câu 79. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 32x > 3x+4.

A S = (−∞; 4). B S = (0; 4). C S = (−4; +∞). D S = (4; +∞).

Lời giải.

Ta có 32x > 3x+4 _{⇔ 2x > x + 4 ⇔ x > 4. Do đó tập nghiệm của bất phương trình là S = (4; +∞).}

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

Câu 80. Giải bất phương trình log₂(3x − 2) > log₂(6 − 5x) được tập nghiệm là (a; b). Hãy tính tổng
S = a + b.

A S = 31

6 . B S =

28

15. C S =

8

3. D S =

11

5 .

Lời giải.

Điều kiện 2

3 < x <
6
5.

Bất phương trình đã cho tương đương với 3 − 2x > 6 − 5x ⇔ x > 1.

Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là S =
Å

1;6
5

ã

, khi đó S = a + b = 11
5 .

Chọn đáp án D _

Câu 81. Tập nghiệm của bất phương trình log(x2− 4x + 5) > 1 là?

A (−1; 5). B (−∞; −1).

C (5; +∞). D (−∞; −1) ∪ (5; +∞).

Lời giải.

Ta có

log(x2− 4x + 5) > 1 ⇔ x2_{− 4x + 5 > 10 ⇔ x}2_{− 4x − 5 > 0 ⇔ x < −1 ∪ x > 5.}

Chọn đáp án D _

Câu 82. Bất phương trình log₂x < 3 có nghiệm là

A (8; +∞). B (−∞; 8). C (0; 8). D (−∞; 6).

Lời giải.

Ta có log₂x < 3 ⇔ 0 < x < 23 _{⇔ 0 < x < 8.}

Chọn đáp án C _

Câu 83. Giải bất phương trình log1

2(3x − 1) > 0.

A x > 1

2. B x <
2

3. C x >
2

3. D

1

3 < x <

2

3.

Lời giải.

Ta có log1

2(3x − 1) > 0 ⇔ 0 < 3x − 1 < 1 ⇔
1

3 < x <
2
3.

Chọn đáp án D _

Câu 84. Tìm tập nghiệm của bất phương trình Å 1

2
ãx

≥ 2.

A (−∞; −1]. B [−1; +∞). C (−∞; −1). D (−1; +∞).

Lời giải.

Ta có Å 1
2

ãx

≥ 2 ⇔ 2−x _{≥ 2 ⇔ −x ≥ 1 ⇔ x ≤ −1.}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (−∞; −1].

Chọn đáp án A _

Câu 85. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 16 − 22x+1 _{≥ 0.}

A S =ï 3
2; +∞

ã

. B S =
Å

−∞;3
2

ã

. C S =

Å

−∞;3

2
ò

. D S =
Å

0;3
2
ò

.

Lời giải.

Ta có

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

⇔ 2x + 1 ≤ log₂16 ⇔ 2x + 1 ≤ 4
⇔ x ≤ 3

2.

Vậy S =
Å

−∞;3
2
ò

.

Chọn đáp án C _

Câu 86. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình Å 1

5
ãx−1

< 25.

A S = (−1; +∞). B S = (3; +∞). C S = (−∞; −1). D S = (−∞; 3).

Lời giải.

Å 1
5

ãx−1

< 25 ⇔ Å 1
5

ãx−1
<Å 1

5
ã−2

⇔ x − 1 > −2 ⇔ x > −1.

Chọn đáp án A _

Câu 87. Tập hợp nghiệm của bất phương trình e2x< ex+6 là

A (0; 6). B (−∞; 6). C (0; 64). D (6; +∞).

Lời giải.

e2x< ex+6 ⇔ 2x < x + 6 ⇔ x < 6.

Chọn đáp án B _

Câu 88. Tập nghiệm của bất phương trình Å 1

5
ã2x

>Å 1
5

ãx+3
là

A S = (0; 3). B S = (−∞; 3). C S = (−∞; −1). D S = (3; +∞).

Lời giải.

Å 1
5

ã2x
>Å 1

5
ãx+3

⇔ 2x < x + 3 ⇔ x < 3.

Chọn đáp án B _

Câu 89. Tập nghiệm của bất phương trình Å 1

2
ãx

> 22x+1 là
A (−∞; 1). B (1; +∞). C

Å

−1

3; +∞
ã

. D

Å

−∞; −1

3
ã

.

Lời giải.

Ta có Å 1
2

ãx

> 22x+1 _{⇔ −x > 2x + 1 ⇔ x < −}1
3.

Chọn đáp án D _

Câu 90. Tập nghiệm của bất phương trình π3x _{≥ π}x−4 _là

A (−2; +∞). B (−∞; −2]. C [2; +∞). D [−2; +∞).

Lời giải.

Ta có π3x_{≥ π}x−4 _{⇔ 3x ≥ x − 4 ⇔ x ≥ −2.}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là [−2; +∞).

Chọn đáp án D _

Câu 91. Tập hợp nghiệm của bất phương trình 2x2 < 26−x là

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

Lời giải.

2x2

< 26−x _{⇔ x}2 _{< 6 − x ⇔ x}2_{+ x − 6 < 0 ⇔ −3 < x < 2.}

Chọn đáp án A _

Câu 92. Giải bất phương trình log₃(2x − 3) > 2.
A 3 < x < 6. B 3

2 < x < 6. C x >
3

2. D x > 6.

Lời giải.

log₃(2x − 3) > 2 ⇔
(

2x − 3 > 0

2x − 3 > 32 ⇔




x > 3

2
x > 6

⇔ x > 6.

Chọn đáp án D _

Câu 93. Tập nghiệm của bất phương trình log₂(2x − 1) < log₂(x + 5) là

A Å 1

2; 6

ã

. B (−∞; 6). C

Å

−5;1

2
ã

. D Å 1

2; +∞
ã

.

Lời giải.

Điều kiện xác định của bất phương trình là
(

2x − 1 > 0

x + 5 > 0

⇔ x > 1
2.

Ta có log₂(2x − 1) < log₂(x + 5) ⇔ 2x − 1 < x + 5 ⇔ x < 6. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Å 1

2; 6
ã

.

Chọn đáp án A _

Câu 94.

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình bên.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương

trình f (x) = log₂m có ba nghiệm phân biệt
A 28. B 29. C 31. D 30.

x
y0

y

−∞ 0 2 +∞

− 0 + 0 −

+∞
+∞

1
1

5
5

−∞
−∞

Lời giải.

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán tương đương với 1 < log₂m < 5 ⇔ 2 < m < 32 ⇒ m ∈
{3, 4, . . . , 31}. Vậy có 29 giá trị m cần tìm.

Chọn đáp án B _

Câu 95. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 4 − 22x−1_{≥ 0.}

A S =ï 3
2; +∞

ã

. B S =
Å

−∞;3
2

ã

. C S =

Å

−∞;3

2
ò

. D S =
Å

0;3
2
ò

.

Lời giải.

Ta có

4 − 22x−1 ≥ 0 ⇔ 22x−1_{≤ 4 ⇔ 2x − 1 ≤ 2 ⇔ x ≤} 3
2.

Chọn đáp án C _

Câu 96. Tập nghiệm của bất phương trình log 2x < log(x + 6) là

A (6; +∞). B (0; 6). C [0; 6). D (−∞; 6).

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

Điều kiện xác định: x > 0.

Bất phương trình ⇔ 2x < x + 6 ⇔ x < 6. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (0; 6).

Chọn đáp án B _

Câu 97. Tìm tập nghiệm của bất phương trình Å 1

2
ãx

< 4.

A (−2; +∞). B (0; 4). C (−∞; −2). D (−∞; 2).

Lời giải.

Ta có Å 1
2

ãx

< 4 ⇔ x > log1

2 4 = −2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (−2; +∞).

Chọn đáp án A _

Câu 98. Tập nghiệm của bất phương trình 22x_{< 2}x+4 _là

A (0; 4). B (−∞; 4). C (0; 16). D (4; +∞).

Lời giải.

Ta có 22x _{< 2}x+4 _{⇔ 2x < x + 4 ⇔ x < 4.}

Chọn đáp án B _

Câu 99. Tập nghiệm của bất phương trình: 22x< 2x2−3 là

A (−1; 3). B (−∞; −1) ∪ (3; +∞).

C (1; 3). D (−∞; 1) ∪ (3; +∞).

Lời giải.

Bất phương trình tương đương với x2_{− 3 > 2x (cơ số 2 > 1).}

Hay x2_{− 2x − 3 > 0 ⇔ (x + 1)(x − 3) > 0 ⇔ x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞).}

Chọn đáp án B _

Câu 100. Tập nghiệm của bất phương trình 21x _< 1
4 là

A
Å

−1

2; 0

ã

. B (−∞; −2). C

Å
−1

2; +∞
ã

\ {0}. D (−2; 0).

Lời giải.

Điều kiện xác định: x 6= 0

Với điều kiện đó, 21x < 1
4 ⇔ 2

1

x < 2−2 ⇔ 1

x < −2 ⇔

2x + 1

x < 0 ⇔ −
1

2 < x < 0 (thỏa mãn).

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

ĐÁP ÁN

1. C 2. B 3. B 4. D 5. C 6. B 7. C 8. A 9. C 10. D

11. B 12. C 13. C 14. C 15. A 16. A 17. B 18. C 19. C 20. C

21. C 22. C 23. A 24. A 25. A 26. A 27. C 28. A 29. D 30. C

31. B 32. B 33. C 34. D 35. D 36. C 37. C 38. A 39. D 40. B

41. C 42. B 43. A 44. B 45. B 46. B 47. A 48. D 49. C 50. C

51. A 52. B 53. D 54. B 55. D 56. A 57. B 58. C 59. C 60. D

61. C 62. C 63. D 64. C 65. C 66. A 67. C 68. B 69. B 70. A

71. D 72. B 73. C 74. C 75. C 76. C 77. C 78. A 79. D 80. D

81. D 82. C 83. D 84. A 85. C 86. A 87. B 88. B 89. D 90. D

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

<b>2</b> <b>MỨC ĐỘ THƠNG HIỂU</b>

Câu 1. Tìm tập nghiệm S của phương trình (0, 6)1x ≤ (0, 6)

1
6

A S = (−∞; 6]. B S = (0; 6]. C [0; 6]. D (−∞; 0) ∪ [6; +∞).

Lời giải.

Ta có: (0, 6)x1 ≤ (0, 6)
1
6 ⇔ 1

x ≥
1
6 ⇔

1
x −

1

6 ≥ 0 ⇔
6 − x

x ≥ 0 ⇔ 0 < x ≤ 6.
Tập nghiệm bất phương trình là S = (0; 6].

Chọn đáp án B _

Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình 3x2−2x < 27 là

A (−∞; −1). B (3; +∞).

C (−1; 3). D (−∞; −1) ∪ (3; +∞).

Lời giải.

3x2−2x < 27 ⇔ 3x2−2x < 33 ⇔ x2_{− 2x < 3 ⇔ x}2_{− 2x − 3 < 0 ⇔ −1 < x < 3.}

Chọn đáp án C _

Câu 3. Tập nghiệm S của bất phương trìnhÅ 2

5
ã1−3x

≥ 25
4 .

A S = [1; +∞). B S =ï 1

3; +∞
ã

. C S =
Å

−∞;1
3

ã

. D S = (−∞; 1].

Lời giải.

Ta có Å 2
5

ã1−3x
≥ 25

4 ⇔ 1 − 3x ≤ log25
25

4 ⇔ 1 − 3x ≤ −2 ⇔ −3x ≤ −3 ⇔ x ≥ 1.

Chọn đáp án A _

Câu 4. Nghiệm của bất phương trình log₂₋√

3(2x − 5) ≥ log2−√3(x − 1) là

A 5

2 < x ≤ 4. B 1 < x ≤ 4. C

5

2 ≤ x ≤ 4. D x ≥ 4.

Lời giải.

log₂₋√

3(2x − 5) ≥ log2−√3(x − 1) ⇔
(

2x − 5 ≤ x − 1

2x − 5 > 0 ⇔




x ≤ 4

x > 5
2.
Vậy nghiệm của bất phương trinh là 5

2 < x ≤ 4.

Chọn đáp án A _

Câu 5. Số nghiệm nguyên của bất phương trình log1

2

(x − 1) > −3 là

A 6. B 7. C 8. D 9.

Lời giải.

Ta có log1
2

(x − 1) > −3 ⇔







x − 1 > 0

x − 1 < Å 1
2

ã−3 ⇔
(

x > 1

x < 9
.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (1; 9), suy ra có 7 nghiệm nguyên.

Chọn đáp án B _

Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình log1

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

A (−∞; 4). B (1; 4]. C (1; 4). D
ï

4;11
2

ã
.

Lời giải.

Điều kiện: 1 < x < 11
2 .

Bất phương trình tương đương − log₃(x − 1) + log₃(11 − 2x) ≥ 0
⇔ log₃ 11 − 2x

x − 1 ≥ 0 ⇔

11 − 2x

x − 1 ≥ 1 ⇔

12 − 3x

x − 1 ≥ 0 ⇔ 1 < x ≤ 4.

Chọn đáp án B _

Câu 7. Tập nghiệm của bất phương trình 4x+1 ≤ 8x−2 _là

A [8; +∞). _{B ∅.} C (0; 8). D (−∞; 8] .

Lời giải.

Ta có: 4x+1 ≤ 8x−2 _{⇔ 2}2x+2_{≤ 2}3x−6_{⇔ 2x + 2 ≤ 3x − 6 ⇔ 8 ≤ x}
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [8; +∞).

Chọn đáp án A _

Câu 8. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log2

5 (x − 4) + 1 > 0.

A ï 13
2 ; +∞

ã

. B

Å

−∞;13
2

ã

. C (4; +∞). D

Å

4;13

2
ã

.

Lời giải.

Ta có log2

5 (x − 4) + 1 > 0 ⇔ log
2

5 (x − 4) > −1 ⇔ 0 < x − 4 <
Å 2

5
ã−1

⇔ 4 < x < 13
2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Å

4;13
2

ã
.

Chọn đáp án D _

Câu 9. Cho Ä√2019 −√2018äa >Ä√2019 −√2018äb . Kết luận nào sau đây đúng?
A a > b. B a < b. C a = b. D a ≥ b.

Lời giải.

Phương pháp

Với 0 < a < 1 ⇒ am > am ⇔ n < m
Cách giải:

Ta có: 0 <√2019 −√2018 < 1 ⇒ Ä√2019 −√2018äa >Ä√2019 −√2018äb ⇔ a < b

Chọn đáp án B _

Câu 10. Tập nghiệm của bất phương trình log1

3(x + 1) > log3(2 − x) là S = (a; b) ∪ (c; d) với a, b, c, d
là các số thực. Khi đó a + b + c + d bằng:

A 4. B 1. C 3. D 2.

Lời giải.

Phương pháp

• Tìm điều kiện xác định của bất phương trình.
• Giải bất phương trình.

Cách giải:

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>









x + 1 > 0

2 − x > 0

log1

3(x + 1) > log3(2 − x)
⇔









x > −1

x < 2

− log₃(x + 1) > log₃(2 − x)

⇔( − 1 < x < 2

log₃(2 − x) + log₃(x + 1) < 0

⇔( − 1 < x < 2
x2+ x + 1 > 0

⇔














− 1 < x < 2






x > 1 +
√

5
2

x < 1 −
√

5
2

⇒ S =
Ç

−1;1 −
√
5
2
å
∪
Ç

1 +√5
2 ; 2

å

a + b + c + d = −1 + 1 −
√

5
2 +

1 +√5

2 + 2 = 2.

Chọn đáp án D _

Câu 11. Tập hợp tất cả các số thực x thỏa mãn Å 2

3
ã4x

6Å 3
2
ã2−x
là
A
ï
−2

3; +∞

ã

. B ï 2

5; +∞
ã
. C
Å
−∞;2
5
ò
. D
Å
−∞;2
3
ò
.
Lời giải.
Ta có
Å 2
3
ã4x
6Å 3

2
ã2−x

⇔Å 3
2

ã−4x
6Å 3

2
ã2−x

⇔ −4x 6 2 − x

⇔ −2
3 6 x.

Chọn đáp án A _

Câu 12. Bất phương trình Å 1

2
ãx2−2x

≥ 1

8 có tập nghiệm là

A [3; +∞). B (−∞; −1]. C [−1; 3]. D (−1; 3).

Lời giải.

Ta có

Å 1
2

ãx2−2x

≥ 1
8

⇔ Å 1
2

ãx2−2x

≥Å 1
2

ã3

⇔ x2− 2x ≤ 3
⇔ x2_{− 2x − 3} _{≤ 0}
⇔ −1 ≤ x ≤ 3.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = [−1; 3].

</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

Câu 13. Tập nghiệm S của bất phương trình log1
2

(x2− 3x + 2) ≥ −1 là

A S = [0; 3]. B S = [0; 2) ∪ (3; 7]. C S = [0; 1] ∪ (2; 3]. D S = (1; +∞).

Lời giải.

Phương pháp: log_af (x) ≥ b ⇔
(

0 < a < 1

0 < f (x) ≤ ab.
Cách giải: Ta có:

log1
2

x2− 3x + 2
≥ −1 ⇔







x2− 3x + 2 > 0
x2− 3x + 2 ≤Å 1

2
ã−1

⇔










"
x > 2

x < 1

0 ≤ x ≤ 3

⇔ x ∈ [0; 1) ∪ (2; 3] .

Tập nghiệm của bất phương trình là S = [0; 1] ∪ (2; 3].

Chú ý: Học sinh cần chú ý Điều kiện xác định của hàm logarit.

Chọn đáp án C _

Câu 14. Biết tập hợp nghiệm của bất phương trình 2x _{< 3 −} 2

2x là khoảng (a; b). Giá trị a + b là

A 3. B 2. C 0. D 1.

Lời giải.

Ta có: 2x _{< 3 −} 2
2x ⇔ (2

x₎2 _{< 3 · 2}x_{− 2 ⇔ (2}x₎2_{− 3 · 2}x_{+ 2 < 0 ⇔ 1 < 2}x _{< 2 ⇔ 0 < x < 2.}
Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình là khoảng (0; 1). Suy ra a + b = 1.

Chọn đáp án D _

Câu 15. Tập nghiệm của bất phương trình

Å ₁

1 + a2
ã2x+1

> 1 (với a là tham số, a 6= 0) là

A
Å

−∞; −1

2
ã

. B (−∞; 0). C

Å

−1

2; +∞
ã

. D (0; +∞).

Lời giải.

Vì 0 < 1

1 + a2 < 1 nên
Å ₁

1 + a2
ã2x+1

> 1 ⇔ 2x + 1 < 0 ⇔ x < −1
2.

Chọn đáp án A _

Câu 16. Tập nghiệm của bất phương trình 3x2_−2x

< 27 là

A (−∞; −1). B (3; +∞).

C (−1; 3). D (−∞; −1) ∪ (3; +∞).

Lời giải.

3x2−2x _{< 27 ⇔ 3}x2−2x _{< 3}3 _{⇔ x}2_{− 2x < 3 ⇔ x}2_{− 2x − 3 < 0 ⇔ −1 < x < 3.}

Chọn đáp án C _

Câu 17. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log2₂x − 4 log₂x + 3 > 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>

Điều kiện: x > 0

BPT ⇔ log2₂x − 4 log₂x + 3 > 0 ⇔ log₂x ∈ (−∞; 1) ∪ (3; +∞) ⇔ x ∈ (0; 2) ∪ (8; +∞).

Chọn đáp án D _

Câu 18. Tập nghiệm S của bất phương trình log_0.2(4x + 11) < log_0.2(x2_{+ 6x + 8) là}

A S = (−2; 4). B S = (−3; 1). C S = (−2; 1). D S = (−4; −2).

Lời giải.

Ta có

log_0.2(4x + 11) < log_0.2(x2+ 6x + 8)
⇔

(

x2+ 6x + 8 > 0
4x + 11 > x2+ 6x + 8

⇔
(

x2+ 6x + 8 > 0
x2+ 2x − 3 < 0

⇔
(

x < −4 ∨ x > −2

− 3 < x < 1
⇔ −2 < x < 1.

Chọn đáp án C _

Câu 19. Bất phương trình 6 · 4x− 13 · 6x_{+ 6 · 9}x _{> 0 có tập nghiệm là}

A S = (−∞; −2) ∪ (1; +∞). B S = (−∞; −1) ∪ (1; +∞).

C S = (−∞; −2] ∪ [2; +∞). D S = (−∞; −1) ∪ (2; +∞).

Lời giải.

Chia cả 2 vế của bất phương trình cho 9x ta được 6Å 2
3

ã2x

− 13Å 2

3

ãx

+ 6 > 0.

Đặt Å 2
3

ãx

= t (t > 0). Ta được 6t2_{− 13t + 6 > 0 ⇔}





t < 2
3

t > 3
2.

Suy ra






Å 2
3

ãx
< 2

3
Å 2

3
ãx

> 3
2

⇔
"

x > 1

x < −1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (−∞; −1) ∪ (1; +∞).

Chọn đáp án B _

Câu 20. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log1

2(x

2_{+ 2x − 8) ≥ −4.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>

Pt ⇔






x2+ 2x − 8 > 0
x2+ 2x − 8 ≤Å 1

2

ã−4 ⇔
(

x < −4 hoặc x > 2

x2+ 2x − 24 ≤ 0

⇔
(

x < −4 hoặc x > 2

− 6 ≤ x ≤ 4 ⇔

" − 6 ≤ x < −4

2 < x ≤ 4
.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [−6; −4) ∪ (2; 4].

Chọn đáp án D _

Câu 21. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A log x < 1 ⇔ 0 < x < 10. B log1

π x < log
1

πy ⇔ x > y > 0.
C ln x ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. D log₄x2 _{> log}

2y ⇔ x > y > 0.

Lời giải.

Chọn x = −4, y = 1, log₄(−4)2 _{> log}
21.

Chọn đáp án D _

Câu 22. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log₂(x2− 3x + 1) ≤ 0.

A S =
đ

0;3 −

√
5
2
å
∪
Ç

3 +√5

2 ; 3

ơ

. B S =

Ç
0;3 −

√
5
2
å
∪
Ç

3 +√5
2 ; 3

å
.

C S =
đ

3 −√5
2 ;

3 +√5
2

ơ

. _{D S = ∅.}

Lời giải.

Bất phương trình đã cho tương đương

0 < x2− 3x + 1 ≤ 1 ⇔
(

x2− 3x + 1 > 0
x2− 3x ≤ 0 ⇔








0 ≤ x < 3 −
√

5
2
3 +√5

2 < x ≤ 3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =
đ

0;3 −
√
5
2
å
∪
Ç

3 +√5
2 ; 3

ơ
.

Chọn đáp án A _

Câu 23. Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình logπ

4 (x

2_{− 3x) < log}
π

4 (x + 4) là
A 2 − 2√2 < x < 2 +√2. B 2 − 2√2 < x < 0.

C " − 4 < x < 2 − 2

√
2

x > 2 + 2√2

. D

"

x < 2 − 2√2

x > 2 + 2√2
.

Lời giải.

Điều kiện

(

x2− 3x > 0
x + 4 > 0 ⇔








"
x > 3

x < 0

x > −4
⇔

"
x > 3

− 4 < x < 0.

logπ
4 (x

2_{− 3x) < log}_π

4 (x + 4)⇒ x

2_{− 3x > x + 4 ⇔ x}2_{− 4x − 4 > 0 ⇔}
"

x > 2 + 2√2

x < 2 − 2√2.

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là " − 4 < x < 2 − 2
√

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>

Chọn đáp án C _

Câu 24. Giải bất phương trình Å 3

4
ãx2−4

≥ 1 ta được tập nghiệm T . Tìm T .

A T = [−2; 2]. B T = [2; +∞).

C T = (−∞; −2]. D T = (−∞; −2] ∪ [2; +∞) .

Lời giải.

Bất phương trình Å 3

4

ãx2−4

≥ 1 ⇔ x2_{− 4 ≤ 0 ⇔ x ∈ [−2; 2]. Vậy tập nghiệm là T = [−2; 2].}

Chọn đáp án A _

Câu 25. Khi đặt t = log₅x thì bất phương trình log2₅(5x) − 3 log√

5x − 5 6 0 tương đương với bất
phương trình nào sau đây?

A t2_{− 6t − 4 6 0.} B t2_{− 6t − 5 6 0.} C t2_{− 4t − 4 6 0.} D t2_{− 3t − 5 6 0.}

Lời giải.

log2₅(5x) − 3 log√

3x − 5 6 0⇔ (log5x + 1)
2

− 6 log₅_{x − 5 6 0⇔ log}2₅x − 4 log₅_{x − 4 6 0.}
Đặt t = log₅x bất phương trình trở thành t2_{− 4t − 4 6 0.}

Chọn đáp án C 

Câu 26. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log₂₅(x + 1) > 1

2.

A S = (−4; +∞). B S = (−∞; 4). C S = (−1; 4). D S = (4; +∞).

Lời giải.

Ta có: log₂₅(x + 1) > 1

2 ⇔ x + 1 > 25
1

2 ⇔ x > 4.

Chọn đáp án D _

Câu 27. Tập nghiệm của bất phương trình log₃(x2 _{+ 2) 6 3 là}

A S = (−∞; −5] ∪ [5; +∞). _{B S = ∅.}

C S = R. D S = [−5; 5].

Lời giải.

Ta có log₃(x2_{+ 2) 6 3 ⇔}
(

x2 + 2 > 0
x2 _{+ 2 6 27}

⇔ x2_{+ 2 6 27 ⇔ x}2 _{6 25 ⇔ −5 6 x 6 5.}

Chọn đáp án D _

Câu 28. Điều kiện xác định của của hàm số y = _… 1

log₉ 2x
x + 1 −

1
2

là

A x < −3. B x > −1. C −3 < x < −1. D 0 < x < 3.

Lời giải.

Điều kiện







2x
x + 1 > 0

log₉ 2x
x + 1 −

1
2 > 0

⇔







2x
x + 1 > 0

2x
x + 1 > 3

⇔ 2x

x + 1 > 3 ⇔
x + 3

x + 1 < 0 ⇔ −3 < x < −1.

Chọn đáp án C _

Câu 29. Tập nghiệm của bất phương trình log_0,5(x − 3) < log_0,5(x2− 4x + 3) là

A (3; +∞). _{B R.} _{C ∅.} D (2; 3).

</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>

Điều kiện:
(

x − 3 > 0

x2− 4x + 3 > 0 ⇔
(

x > 3

x ∈ (−∞; 1) ∪ (3; +∞)

⇔ x > 3.

Bpt ⇔ x − 3 > x2− 4x + 3 ⇔ x2_{− 5x + 6 < 0 ⇔ 2 < x < 3.}

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là S = ∅.

Chọn đáp án C _

Câu 30. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình Å 1

2
ãx−1

≥ 1
4.

A S = (−∞; 3]. B S = [3; +∞). C S = (−∞; 1]. D S = [1; +∞).

Lời giải.

Å 1
2

ãx−1
≥ 1

4 ⇔
Å 1

2
ãx−1

≥Å 1
2

ã2

⇔ x − 1 ≤ 2 ⇔ x ≤ 3.

Chọn đáp án A _

Câu 31. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 log₃(4x − 3) ≤ log₃(18x + 27).

A S =Å 3

4; 3

ò

. B S =Å 3
4; +∞

ã

. C S = [3; +∞). D S =
ï

−3
8; 3

ò
.

Lời giải.

Điều kiện x > 3

4. Bất phương trình tương đương với

(4x − 3)2 ≤ 18x + 27 ⇔ 16x2_{− 42x − 18 ≤ 0 ⇔ x ∈}
ï

−3
8; 3

ò
.

Đối chiếu điều kiện ta được tập nghiệm S =Å 3
4; 3

ò
.

Chọn đáp án A _

Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình log₂₀₁₈x ≤ log_x2018 là

A




x ≤ 1
2018
1 < x ≤ 2018

. B 0 < x ≤ 2018. C 1

2018 ≤ x ≤ 2018. D





0 < x ≤ 1

2018

1 < x ≤ 2018
.

Lời giải.

ĐK: 0 < x 6= 1.

BPT tương đương với

log₂₀₁₈x ≤ 1

log₂₀₁₈x ⇔

log2₂₀₁₈x − 1

log₂₀₁₈x ≤ 0 ⇔
"

log₂₀₁₈x ≤ −1
0 < log₂₀₁₈x ≤ 1 ⇔





0 < x ≤ 1
2018
1 < x ≤ 2018.

Kết hợp với ĐK, ta có tập nghiệm của BPT đã cho là





0 < x ≤ 1
2018
1 < x ≤ 2018.

Chọn đáp án D _

Câu 33. Giải phương trình Å 3

4
ãx2−4

≥ 1 ta được tập nghiệm là T . Tìm T ?

A T = [−2; 2]. B T = [2; +∞).

</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>

Lời giải.

Å 3
4

ãx2−4

≥ 1 ⇔ x2 _{− 4 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2.}

Chọn đáp án A _

Câu 34. Tập nghiệm của bất phương trình log₂(x − 1) < 3 là

A (−∞; 9). B (1; 10). C (−∞; 10). D (1; 9).
Lời giải.

BPT đã cho tương đương với
(

x − 1 > 0

x − 1 < 8

⇔ 1 < x < 9.

Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là (1; 9).

Chọn đáp án D _

Câu 35. Bất phương trình log_0,5(2x − 1) ≥ 0 có tập nghiệm là

A ï 1
2; +∞

ã

. B Å 1

2; +∞
ã

. C (1; +∞). D Å 1

2; 1

ị
.

Lời giải.

Ta có log_0,5(2x − 1) ≥ 0 ⇔
(

2x − 1 > 0

2x − 1 ≤ 1
⇔





x > 1

2
x ≤ 1

⇔ x ∈Å 1
2; 1

ò

.

Chọn đáp án D _

Câu 36. Tìm tập hợp tất cả các nghiệm thực của bất phương trình Å 9

7

ã3x−2x2
≥ 9

7.

A ï 1

2; 1

ò

. B Å 1

2; 1
ã

.

C
Å

−∞;1

2
ò

∪ [1; +∞). D

Å
−∞;1

2
ã

∪ (1; +∞).

Lời giải.

Ta có

Å 9
7

ã3x−2x2
≥ 9

7

⇔ 3x − 2x2 _{≥ 1}
⇔ 2x2_{− 3x + 1 ≤ 0}
⇔ 1

2 ≤ x ≤ 1

Chọn đáp án A _

Câu 37. Bất phương trình log₂ x

2_{− 6x + 8}

4x − 1 ≥ 0 có tập nghiệm là T =
Å 1

4; a
ị

∪ [b; +∞). Tính M =

a + b.

A M = 12. B M = 8. C M = 9. D M = 10.

</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>

Điều kiện xác định: x

2_{− 6x + 8}

4x − 1 > 0 (∗). Ta có

log₂ x

2_{− 6x + 8}

4x − 1 ≥ 0 ⇔

x2_{− 6x + 8}

4x − 1 ≥ 1 (thỏa mãn điều kiện (∗))

⇔ x

2_{− 10x + 9}
4x − 1 ≥ 0

⇔ x ∈Å 1
4; 1

ò

∪ [9; +∞).

Vậy T = a + b = 10.

Chọn đáp án D _

Câu 38. Tập nghiệm của bất phương trình 16x_{− 5.4}x_{+ 4 ≥ 0 là}

A T = (−∞; 1) ∪ (4; +∞). B T = (−∞; 1] ∪ [4; +∞).

C T = (−∞; 0) ∪ (1; +∞). D T = (−∞; 0] ∪ [1; +∞).

Lời giải.

Đặt t = 4x_{, t > 0.}

16x− 5.4x_{+ 4 ≥ 0 trở thành}

t2− 5.t + 4 ≥ 0 ⇔
"

t ≥ 4

t ≤ 1

⇔
"

t ≥ 4

0 < t ≤ 1

⇒
"

4x ≥ 4
0 < 4x ≤ 1

⇔
"

x ≥ 1

x ≤ 0.

Vậy T = (−∞; 0] ∪ [1; +∞).

Chọn đáp án D _

Câu 39. Gọi x1, x2 là hai nghiệm nguyên dương của bất phương trình log2(1 + x) < 2. Tính giá trị
P = x1+ x2.

A P = 3. B P = 4. C P = 5. D P = 6.

Lời giải.

Điều kiện 1 + x > 0 ⇔ x > −1. Phương trình log₂(1 + x) < 2 ⇔ 1 + x < 4 ⇔ x < 3.
So điều kiện ⇒ −1 < x < 3.

Vậy nghiệm nguyên dương là x1 = 1, x2 = 2. Suy ra P = 3.

Chọn đáp án A _

Câu 40. Biết tập nghiệm S của bất phương trình logπ

6 [log3(x − 2)] > 0 là khoảng (a; b). Tính b−a.

A b − a = 2. B b − a = 4. C b − a = 3. D b − a = 5.

</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>

Bất phương trình đã cho tương đương

(
x > 2

0 < log₃(x − 2) < 1

⇔

(
x > 2

1 < x − 2 < 3

⇔ 3 < x < 5.

Vậy a = 3, b = 5 và b − a = 2.

Chọn đáp án A _

Câu 41. Cho f (x) = 1

2 · 5

2x+1_{; g(x) = 5}x_{+ 4x · ln 5. Tập nghiệm của bất phương trình f}0_{(x) > g}0_(x)
là

A x < 0. B x > 1. C 0 < x < 1. D x > 0.

Lời giải.

Ta có: f0(x) = 1
2 · 5

2x+1_{· (2x + 1)}0_{· ln 5 = 5}2x+1_{· ln 5.}
Và g0(x) = 5x_{· ln 5 + 4 ln 5 = (5}x_{+ 4) ln 5.}

Do đó: f0(x) > g0(x) ⇔ 52x+1_{· ln 5 > (5}x_{+ 4) ln 5 ⇔ 5}2x+1 _{> 5}x_{+ 4 ⇔ 5 · 5}2x_{− 5}x_{− 4 > 0}
⇔





5x < −4
5(V N )
5x > 1

⇔ 5x _{> 1 ⇔ x > 0.}

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x > 0.

Chọn đáp án D _

Câu 42. Tập nghiệm của bất phương trình log1

5

4x + 6

x ≥ 0 là
A

Å

−2, −3
2

ị

. B

ï

−2, −3
2
ị

. C

Å

−2, −3
2

ã

. D

ï

−2, −3

2
ã

.

Lời giải.

Điều kiện xác định:





4x + 6
x > 0
x 6= 0

⇔



x > 0

x < −3
2.
Bất phương trình tương đương: 4x + 6

x ≤ 1 ⇔

4x + 6 − x

x ≤ 0 ⇔

3x + 6

x ≤ 0 ⇔ −2 ≤ x < 0.
Kết hợp với điều kiện ta được: −2 ≤ x < −3

2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
ï

−2, −3
2

ã
.

Chọn đáp án D _

Câu 43. Cho f (x) = xe−3x. Tập nghiệm của bất phương trình f0(x) > 0 là

A (0, 1). B

Å
0,1

3
ã

. C

Å

−∞,1

3
ã

. D Å 1

3, +∞
ã

.

Lời giải.

Ta có f0(x) = e−3x+ (−3)e−3xx = e−3x(1 − 3x)
f0(x) > 0 ⇔ e−3x(1 − 3x) > 0 ⇔ 1 − 3x > 0 ⇔ x < 1

3

Vậy bất phương trình có tập nghiệm
Å

−∞,1
3

ã
.

Chọn đáp án C 

Câu 44. Tập nghiệm của bất phương trình Å 1

3
ã

√
x+2

</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58>

A (1; 2). B (2; +∞). C [2; +∞]. D (1; 2].

Lời giải.

BPT⇔ 3−
√

x+2 _{> 3}−x _{⇔ x >}√_{x + 2 ⇔}
(

x > 0

x2 > x + 2 ⇔ x > 2.

Chọn đáp án B _

Câu 45. Số nghiệm nguyên của bất phương trình 3x+ 9 · 3−x < 10 là

A Vô số. B 2. C 0. D 1.

Lời giải.

3x_{+ 9 · 3}−x _{< 10 ⇔ 3}2x_{− 10 · 3}x_{+ 9 < 0 ⇔ 1 < 3}x _{< 9 ⇔ 0 < x < 2.}

Chọn đáp án D _

Câu 46. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình log₂(log₄x) ≥ log₄(log₂x) là

A x = 16. B x = 9. C x = 10. D x = 8.

Lời giải.

Điều kiện
(

log₄x > 0
log₂x > 0

⇔ x > 1

Bất phương trình tương đương

log₂(log₄x) ≥ log₂plog2x ⇔ log4x ≥plog2x
⇔ (log₂2x)

2

≥ log₂x ⇔ 1

4(log2x)
2

≥ log₂x
⇔ log₂x ≥ 4 ⇔ x ≥ 16.

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất là x = 16.

Chọn đáp án A _

Câu 47. Tìm tập nghiệm S của phương trình log |x| = | log x|.

A S = (1; +∞). B S = (0; +∞). C S = {1; 10}. D S = [1; +∞).

Lời giải.

Điều kiện x > 0.

Phương trình trở thành log x = | log x| ⇒ log x ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.

Chọn đáp án D _

Câu 48. Bất phương trình log₄(x + 7) > log₂(x + 1) có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A 1. B 2. C 4. D 3.

Lời giải.

Điều kiện: x > −1. Ta có

log₄(x + 7) > log₂(x + 1) ⇔ log₂√x + 7 > log₂(x + 1)

⇔√x + 7 > x + 1 ⇔

(

x + 1 > 0

x + 7 > (x + 1)2
⇔

(

x > −1

x2+ x − 6 < 0

⇔ −1 < x < 2.

Kết hợp với x ∈ Z ⇒ x = {0; 1} là hai giá trị cần tìm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59>

Câu 49. Số nghiệm nguyên của bất phương trình Ä√2äx
2_−2x

6Ä√2ä3 là

A 3. B 2. C 5. D 4.

Lời giải.

Ä√
2äx

2_−2x

6Ä√2ä3 ⇔ x2

− 2x − 3 6 0 ⇔ −1 6 x 6 3.

Do x nguyên, suy ra x ∈ {−1; 0; 1; 2; 3}. Vậy bất phương trình có 5 nghiệm nguyên.

Chọn đáp án C _

Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của x để đồ thị hàm số y = log_0,5x nằm hồn tồn phía trên

đường thẳng y = 2.

A x ≥ 1

4. B 0 < x ≤
1

4. C 0 < x <

1

4. D x ≥ −

1
4.

Lời giải.

Ta có log_0,5x > 2 ⇔ 0 < x < 1

4.

Chọn đáp án C _

Câu 51. Bất phương trình log₂(3x − 1) > 3 có nghiệm là
A x > 10

3 . B x > 3. C x < 3. D

1

3 < x < 3.

Lời giải.

log₂(3x − 1) > 3 ⇔ 3x − 1 > 23 _{⇔ x > 3.}

Chọn đáp án B _

Câu 52. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 9x− 2 · 6x_{+ 4}x _{> 0.}

A S = (0; +∞). _{B S = R.} _{C S = R\{0}.} D S = [0; +∞).

Lời giải.

Chia hai vế cho 4x > 0, phương trình tương đương Å 3
2

ã2x

− 2 ·Å 3
2

ãx

+ 1 > 0.

Đặt t =Å 3
2

ãx

, điều kiện t > 0.

Khi đó pt tương đương t2− 2 · t + 1 > 0 ⇔ (t − 1)2 _{> 0 ⇔ t 6= 1 ⇔}Å 3
2

ãx

6= 1 ⇔ x 6= 0.

Vậy S = R\{0}.

Chọn đáp án C _

Câu 53. Giải bất phương trình log₂(3x − 1) > 3.

A x < 3. B x > 3. C x > 10

3 . D

1

3 < x < 3.

Lời giải.

Bất phương trình ⇔ 3x − 1 > 23 _{⇔ x > 3.}

Chọn đáp án B _

Câu 54. Nghiệm của bất phương trình 9x−1 − 36 · 3x−3_{+ 3 ≤ 0 là}

A 1 ≤ x ≤ 3. B 1 ≤ x ≤ 2. C 1 ≤ x. D x ≤ 3.

Lời giải.

Bất phương trình tương đương với 9x−1₋ 36
9 .3

x−1_{+ 3 ≤ 0}
⇔ 1 ≤ 3x−1 _{≤ 3 ⇔ 0 ≤ x − 1 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(60)</span><div class='page_container' data-page=60>

Câu 55. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log_0,2(x − 1) < log_0,2(3 − x).

A S = (−∞; 3). B S = (2; 3). C S = (2; +∞). D S = (1; 2).

Lời giải.

Điều kiện:

(

x − 1 > 0

3 − x > 0

⇔ 1 < x < 3. (*)

Bất phương trình đã cho trở thành x − 1 > 3 − x ⇔ x > 2.

Kết hợp với điều kiện (*). Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (2; 3).

Chọn đáp án B _

Câu 56. Nghiệm của bất phương trình log1

5(2x − 3) > −1 là

A x < 4. B x > 3

2. C 4 > x >

3

2. D x > 4.
Lời giải.

log1

5(2x − 3) > −1 ⇔ 0 < 2x − 3 < 5 ⇔

3

2 < x < 4.

Chọn đáp án C _

Câu 57. Bất phương trình 25x+1_{+ 9}x+1 _{≥ 34 · 15}x _{có tập nghiệm S là}

A S = (−∞; 2]. B S = [−2; 0].

C S = (−∞; −2] ∪ [0; +∞). D S = [0; +∞).

Lời giải.

Ta có

25x+1+ 9x+1 ≥ 34 · 15x _{⇔ 25 · 25}x_{− 34 · 15}x_{+ 9 · 9}x _{≥ 0}
⇔ 25 ·Å 5

3
ã2x

− 34 ·Å 5
3

ãx

+ 9 ≥ 0

⇔







Å 5
3

ãx
≤ 9

25
Å 5

3
ãx

≥ 1

⇔







Å 5
3

ãx
≤Å 5

3
ã−2

Å 5
3

ãx
≥Å 5

3

ã0 ⇔
"

x ≤ −2

x ≥ 0.

Vậy S = (−∞; −2] ∪ [0; +∞).

Chọn đáp án C _

Câu 58. Tìm tập nghiệm S của hệ phương trình

(

4x+1 ≤ 86−2x
34x+5≥ 271+x.

A S = [2; +∞). B S = [−2; 2]. C S = (−∞; 1]. D S = [2; 5].

Lời giải.

Ta có
(

4x+1 ≤ 86−2x
34x+5≥ 271+x ⇔

(

22x+2≤ 218−6x
34x+5≥ 33+3x ⇔

(

2x + 2 ≤ 18 − 6x

4x + 5 ≥ 3 + 3x
⇔

(
x ≤ 2

x ≥ −2

⇔ −2 ≤ x ≤ 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(61)</span><div class='page_container' data-page=61>

Câu 59. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 5x2−x< 25.

A (2; +∞). B (−∞; −1) ∪ (2; +∞).

C (−1; 2). _{D R.}

Lời giải.

Bất phương trình ⇔ 5x2_−x

< 52 _{⇔ x}2_{− x < 2 ⇔ x}2_{− x − 2 < 0 ⇔ x ∈ (−1; 2).}

Chọn đáp án C _

Câu 60. Cho bất phương trình: 1 + log₅(x2_{+ 1) > log}₅(mx2+ 4x + m)(1). Tìm tất cả các giá trị của
m để (1) được nghiệm đúng với mọi số thực x.

A 2 < m _{6 3.} B −3_{6 m 6 7.} C 2_{6 m 6 3.} D m_{6 3; m > 7.}

Lời giải.

1 + log₅(x2_{+ 1) ≥ log}

5(mx2 + 4x + m) ∀x ∈ R
⇔ 5(x2_{+ 1) ≥ mx}2_{+ 4x + m > 0, ∀x ∈ R}
⇔

(

(5 − m)x2− 4x − m + 5 ≥ 0

mx2+ 4x + m > 0 ∀x ∈ R (I).
• m = 0, m = 5 khơng thỏa mãn.

• m 6= 0; m 6= 5, (I) ⇔















5 − m > 0

M01= 4 − (5 − m)
2

6 0
m > 0

M02= 4 − m2 < 0

⇔ 2 < m 6 3.

Chọn đáp án A _

Câu 61. Tập tất cả các nghiệm của bất phương trình log1

2

(x2− x) ≥ −1 là
A [−1; 2]. B [−1; 0) ∪ (1; 2].

C (−∞; −1] ∪ (2; +∞). D (−1; 2).

Lời giải.

Điều kiện xác định x2_{− x > 0 ⇔ x > 1 ∨ x < 0.}

log1
2

(x2 − x) ≥ −1 ⇔ x2_{− x ≤ 2 ⇔ −1 ≤ x ≤ 2.}

Chọn đáp án B _

Câu 62. Tập nghiệm của bất phương trình log√

3
2

(x − 2) > 0 là

A (3; +∞). B (0; 3). C (−∞; 3). D (2; 3).

Lời giải.

Điều kiện xác định của bất phương trình là x > 2.

Ta có log√
3
2

(x − 2) > 0 ⇔ x − 2 < 1 ⇔ x < 3. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (2; 3).

Chọn đáp án D _

Câu 63. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log1

2
ï

log₂Å 4x + 1
x − 1

ãò

< −1.

A R \ {1}. B (1; +∞).

C R. D

Å

−∞; −3
2

ã

</div>
<span class='text_page_counter'>(62)</span><div class='page_container' data-page=62>

Lời giải.

Ta thấy log1
2

ï

log₂Å 4x + 1
x − 1

ãò

< −1 ⇔ log₂Å 4x + 1
x − 1

ã

> 2 ⇔ 4x + 1

x − 1 > 4 ⇔ x > 1.

Chọn đáp án B _

Câu 64. Mệnh đề nào sau đây sai?

A Nếu 0 < a < 1 và b > 0, c > 0 thì log_ab < log_ac ⇔ b > c.
B Nếu a > 1 thì am < an⇔ m < n.

C Với mọi số a, b thoả mãn ab > 0 thì log(ab) = log a + log b.

D Với m, n là các số tự nhiên, m > 2 và a > 0 thì m√

an_{= a}_mn_.

Lời giải.

Ta thấy ab > 0 ⇔
(

a > 0

b > 0

(1) ∨
(

a < 0

b < 0
(2).

Từ (2), ta thấy log(ab) = log a + log b sai.

Chọn đáp án C _

Câu 65. Một người gửi ngân hàng 200 triệu đồng theo hình thức lãi kép, lãi suất 0,58% một tháng

(kể từ tháng thứ hai trở đi, tiền lãi được tính theo phần trăm của tổng tiền gốc và tiền lãi tháng trước

đó). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì người đó có 225 triệu đồng?

A 30 tháng. B 21 tháng. C 24 tháng. D 22 tháng.

Lời giải.

Ta có 225 ≤ 200
Å

1 + 0,58
100

ãn

⇔ n ≥ log_1,0058Å 9
8

ã

≈ 20,37.

Vậy sau ít nhất 21 tháng thì người đó có 225 triệu đồng.

Chọn đáp án B _

Câu 66. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log1

3(x − 1) + log3(11 − 2x) ≥ 0.

A S = (1; 4]. B S = (−∞; 4]. C S =

Å
3;11

2
ã

. D S = (1; 4).

Lời giải.

log1

3(x − 1) + log3(11 − 2x) ≥ 0 ⇔ log3(11 − 2x) ≥ log3(x − 1)
⇔

(

x − 1 > 0

11 − 2x ≥ x − 1

⇔
(

x > 1

x ≤ 4

⇔ 1 < x ≤ 4.

Chọn đáp án A _

Câu 67. Tập nghiệm S của bất phương trình 5x+2 <Å 1

25
ã−x

là

A S = (−∞; 2). B S = (−∞; 1). C S = (1; +∞). D S = (2; +∞).

Lời giải.

5x+2 _<Å 1
25

ã−x

⇔ 5x+2 _{< 5}2x_{⇔ x + 2 < 2x ⇔ x > 2.}
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (2; +∞).

</div>
<span class='text_page_counter'>(63)</span><div class='page_container' data-page=63>

Câu 68. Tìm tập xác định của hàm số y =»log1

2(2x − 1).

A Å 1

2; 1

ò

. B Å 1

2; 1
ã

. C [1; +∞). D (1; +∞).

Lời giải.

Điều kiện (2x − 1 > 0
log1

2(2x − 1) ≥ 0
⇔






x > 1

2
2x − 1 ≤ 1

⇔ 1

2 < x ≤ 1

Tập xác định Å 1
2; 1

ò

Chọn đáp án A _

Câu 69. Tập nghiệm của bất phương trình log2

3(3x) > log
2

3(2x + 7) là

A (−∞; 7). B (0; 7). C (7; +∞). D

Å
0;14

3
ã

.

Lời giải.

Điều kiện: x > 0.

Bất phương trình đã cho tương đương với 3x < 2x + 7 ⇔ x < 7.

So với điều kiện, ta có x ∈ (0; 7).

Chọn đáp án B _

Câu 70. Bất phương trình Å 1

2
ãx2+4x

> 1

32 có tập nghiệm S = (a; b). Khi đó giá trị của b − a là

A 4. B 2. C 6. D 8.

Lời giải.

Ta có Å 1
2

ãx2+4x

> 1

32 ⇔
Å 1

2
ãx2+4x

>Å 1
2

ã5

⇔ x2_{+ 4x < 5 ⇔ −5 < x < 1 ⇒}
(

a = −5

b = 1 .
Do đó b − a = 6.

Chọn đáp án C _

Câu 71. Cho bất phương trình 2 log₃(4x − 3) + log1
3

(2x + 3) ≤ 2. Tổng tất cả các nghiệm nguyên của

bất phương trình bằng bao nhiêu?

A 5. B 3. C 6. D 7.

Lời giải.

Điều kiện
(

4x − 3 > 0

2x + 3 > 0 ⇔







x > 3
4

x > −3
2

⇔ x > 3
4.

Ta có

2 log₃(4x − 3) + log1
3

(2x + 3) ≤ 2 ⇔ log₃(4x − 3)2 ≤ log₃9(2x + 3)
⇔ (4x − 3)2 ≤ 9(2x + 3)

⇔ 16x2_{− 42x − 18 ≤ 0}
⇔ −3

8 ≤ x ≤ 3

So với điều kiện, ngiệm bất phương trình 3

4 < x ≤ 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(64)</span><div class='page_container' data-page=64>

Chọn đáp án C _

Câu 72. Tập nghiệm của bất phương trình 32x_{> 3}x+2 _là

A (−∞; 2). B (2; +∞). C (1; +∞). D (−∞; 1).

Lời giải.

32x_{> 3}x+2 _{⇔ 2x > x + 2 ⇔ x > 2.}

Chọn đáp án B _

Câu 73. Tìm tập xác định D của hàn số y = plog₂₀₁₈(x + 3).

A D = (−3; +∞). B D = [−2; +∞). C D = (−3; −2]. D D = (−2; +∞).

Lời giải.

Điều kiện
(

x + 3 > 0

log₂₀₁₈(x + 3) ≥ 0

⇔ x + 3 ≥ 1 ⇔ x ≥ −2.

Vậy tập xác định của hàm số là D = [−2; +∞).

Chọn đáp án B _

Câu 74. Tập nghiệm S của bất phương trình log₄(2x − 3) − log₂

Å
x − 1

2
ã

> 0 là

A S = Å 5

2; +∞

ã

. B S =Å 3

2;
5
2

ã
.

C S =Å 1
2; 1

ã

. D S = (−∞; 1) ∪Å 5

2; +∞
ã

.

Lời giải.

Điều kiện của bất phương trình là x > 3

2. Khi đó

log₂(2x − 3) − log₂
Å

x − 1
2

ã

> 0 ⇔ log₂
√

2x − 3

x − 1
2

> 0

⇔ 2x − 3
x − 1

2

> 1 ⇔ 2x − 3 > x − 1

2 ⇔ x >
5
2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = Å 5
2; +∞

ã

.

Chọn đáp án A 

Câu 75. Giải bất phương trình √4 − 2x_{· log}

2(x + 1) ≥ 0.

A x ≥ 0. B −1 < x ≤ 2. C 0 ≤ x ≤ 2. D −1 ≤ x ≤ 2.

Lời giải.

Điều kiện:
(

2x≤ 4

x + 1 > 0 ⇔ −1 < x ≤ 2.

• Nếu x = 2, bất phương trình đúng.

• Nếu x 6= 2, khi đó √4 − x2 _{> 0 thì bất phương trình tương đương với:}

log₂(x + 1) ≥ 0 ⇔ x + 1 ≥ 1 ⇔ x ≥ 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(65)</span><div class='page_container' data-page=65>

Vậy nghiệm của bất phương trình là 0 ≤ x ≤ 2.

Chọn đáp án C 

Câu 76. Một người gửi 20 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,8%/tháng. Biết rằng nếu khơng

rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi
cho tháng tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng người đó được lãnh số tiền nhiều hơn 50 triệu

đồng bao gồm cả tiền gốc và lãi, nếu trong thời gian này người đó khơng rút tiền ra và lãi suất không

thay đổi?

A 115 tháng. B 114 tháng. C 143 tháng. D 12 tháng.

Lời giải.

50 < 20
Å

1 + 0,8
100

ãN

⇔ 1,008N _> 5

2 ⇔ N > log1,008
5

2 ≈ 114,99 tháng.

Chọn đáp án A _

Câu 77. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình log₂(2x + 5) > log₂(x − 1). Hỏi trong tập S có

bao nhiêu phần tử là số nguyên dương bé hơn 10?

A 9. B 15. C 8. D 10.

Lời giải.

Điều kiện xác định:

(

2x + 5 > 0

x − 1 > 0 ⇔





x > −5
2
x > 1

⇔ x > 1.

Bất phương trình

log₂(2x + 5) > log₂(x − 1)
⇔ 2x + 5 > x − 1

⇔ x > −6

So sánh điều kiện suy ra: S = (1; +∞). Vậy trong tập S có 8 phần tử là số nguyên dương bé hơn 10.

Chọn đáp án C _

Câu 78. Bất phương trình log1

2

(3x − 2) > 1
2log12

(22 − 5x)2 _{có bao nhiêu nghiệm nguyên?}
A Nhiều hơn 2 và ít hơn 10. B Nhiều hơn 10 nghiệm.

C 2. D 1.

Lời giải.

Bất phương trình đã cho tương đương










3x − 2 > 0

22 − 5x 6= 0

3x − 2 < |22 − 5x|
⇔




2

3 < x < 3
x > 10.

Vậy phương trình đã cho có nhiều hơn 10 nghiệm nguyên.

</div>
<span class='text_page_counter'>(66)</span><div class='page_container' data-page=66>

Câu 79. Một người gửi ngân hàng 100 triệu theo thể thức lãi kép, lãi suất 0,5% một tháng. Sau ít

nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu? (Giả sử rằng lãi suất hàng tháng không thay
đổi)

A 44 tháng. B 47 tháng. C 45 tháng. D 46 tháng.

Lời giải.

Theo công thức lãi kép, ta có

100 · (1 + 0,005)x > 125 ⇔ x > log_1,005125₁₀₀ ⇔ x > 44,74.

Chọn đáp án C _

Câu 80. Tập nghiệm của bất phương trình log_0,8(x2+ x) < log_0,8(−2x + 4) là:

A (−∞; −4) ∪ (1; 2). B (−∞; −4) ∪ (1; +∞).

C (−4; 1). D (−4; 1) ∪ (2; +∞).

Lời giải.

Điều kiện: x ∈ (−∞; −1) ∪ (0; 2).

log_0,8 x2+ x
< log_0,8(−2x + 4)
⇔ x2_{+ x > −2x + 4 ⇔ x}2_{+ 3x − 4 > 0}
⇔ x ∈ (−∞; −4) ∪ (1; +∞)

Kết hợp với điều kiện ta được S = (−∞; −4) ∪ (1; 2).

Chọn đáp án A 

Câu 81. Cho bất phương trình 9x_{+ 9}x+1_{+ 9}x+2 _{< 2}x_{+ 2}x+1_{+ 2}x+2_{. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề}
đúng?

A Bất phương trình có đúng một nghiệm âm. B Bất phương trình chỉ có nghiệm âm.

C Bất phương trình vơ nghiệm. D Bất phương trình có một nghiệm dương.

Lời giải.

9x_{+ 9}x+1_{+ 9}x+2 _{< 2}x_{+ 2}x+1_{+ 2}x+2 _{⇔ 91 · 9}x_{< 7 · 2}x_⇔Å 9

2

ãx
< 7

91 ⇔ x < log92
7
91 < 0.
Vậy bất phương trình chỉ có nghiệm âm.

Chọn đáp án B 

Câu 82. Phương trình log1

2(2x + 1) > log
1

2(7 − x) có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A 7. B Vô số. C 2. D 4.

Lời giải.

Ta có log1

2(2x + 1) > log
1

2(7 − x) ⇔ 0 < 2x + 1 < 7 − x ⇔






x > −1
2
x < 2

⇔ −1

2 < x < 2.

Suy ra nghiệm nguyên của bất phương trình là 0; 1.

Vậy bất phương trình có 2 nghiệm ngun.

Chọn đáp án C _

Câu 83. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

A log₂₀₁₈x < 0 ⇔ 0 < x < 1. B log1

2 a = log
1

2 b ⇔ a = b > 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(67)</span><div class='page_container' data-page=67>

Lời giải.

Do 1

3 < 1 nên log13 a > log
1

3 b ⇔ b > a > 0 .

Chọn đáp án C _

Câu 84. Tìm tập nghiệm của bất phương trình Å 1

3
ã2x−1

≥ 1
3.

A (−∞; 0]. B (0; 1]. C [1; +∞). D (−∞; 1].

Lời giải.

Do 1

3 < 1 nên bất phương trình tương đương 2x − 1 ≤ 1 ⇔ x ≤ 1.

Chọn đáp án D _

Câu 85. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log₂(2x + 1) ≥ log₂(x − 1).

A S = (1; +∞). B S = [−2; +∞). _{C S = R.} D S = [2; +∞).

Lời giải.

Ta có

log₂(2x + 1) ≥ log₂(x − 1) ⇔





x − 1 > 0

2x + 1 ≥ x − 1
⇔





x > 1

x ≥ −2

⇔ x > 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (1; +∞).

Chọn đáp án A 

Câu 86. Giải bất phương trình log₂(x + 1) ≤ 3.

A x ≤ 7. B −1 < x ≤ 7. C −1 ≤ x ≤ 7. D −1 < x < 7.

Lời giải.

log₂(x + 1) ≤ 3 ⇔
(

x + 1 > 0

x + 1 ≤ 23
⇔

(

x > −1

x ≤ 7

⇔ −1 < x ≤ 7.

Chọn đáp án B _

Câu 87. Tập nghiệm của bất phương trình 32x> 3x+6 là

A (0; 64). B (−∞; 6). C (6; +∞). D (0; 6).

Lời giải.

Ta có 32x > 3x+6 _{⇔ 2x > x + 6 ⇔ x > 6.}

Tập nghiệm của bất phương trình là: S = (6; +∞).

Chọn đáp án C _

Câu 88. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = sin (2x + 1) là

A F (x) = −1

2cos (2x + 1) + C. B F (x) =

1

2cos (2x + 1) + C.
C F (x) = −1

2cos (2x + 1). D F (x) = cos (2x + 1).

Lời giải.

Ta xét hàm F (x) = −1

2cos (2x + 1) + C. Khi đó F

0_{(x) =}
Å

−1

2cos (2x + 1) + C

ã0

= sin (2x + 1) theo

định nghĩa của nguyên hàm suy ra F (x) = −1

2cos (2x + 1) + C là họ tất cả các nguyên hàm của hàm
số f (x) = sin (2x + 1).

</div>
<span class='text_page_counter'>(68)</span><div class='page_container' data-page=68>

Câu 89. Tập nghiệm S của bất phương trình log1
2

(log₂(x2− 1)) ≤ −1 là

A S =ỵ1;√5ó. B S =Ä−∞; −√5ó∪ỵ√5; +∞ä.

C S =ỵ1;√5ó. D S =ỵ−√5; −1ä∪Ä1;√5ó.

Lời giải.

Ta có

log1
2

log₂ x2− 1

≤ −1 ⇔









x2− 1 > 0

log₂ x2− 1
> 0
log₂ x2− 1
≥ 2

⇔
(

x2− 1 > 0

log₂ x2− 1
≥ 2

⇔
(

x2− 1 > 0
x2− 1 ≥ 4

⇔ x2 − 1 ≥ 4 ⇔ x2 ≥ 5 ⇔ |x| ≥√5.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = Ä−∞; −√5ó∪ỵ√5; +∞ä.

Chọn đáp án B _

Câu 90. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 4x _{< 2}x+1_.

A S = (1; +∞). B S = (−∞; 1). C S = (0; 1). D S = (−∞; +∞).

Lời giải.

Bất phương trình tương đương với 22x< 2x+1 ⇔ 2x < x + 1 ⇔ x < 1. Do đó, bất phương trình có tập
nghiệm là S = (−∞; 1).

Chọn đáp án B _

Câu 91. Bất phương trình 32x+1_{− 7.3}x_{+ 2 > 0 có nghiệm là}
A

"

x < −1

x > log₂3. B
"

x < −2

x > log₂3. C

"

x < −1

x > log₃2. D

"

x < −2

x > log₃2.

Lời giải.

• Đặt t = 3x _{(t > 0) ta có 3t}2_{− 7t + 2 > 0 ⇔}



t > 2

t < 1
3
.

• Ta có



3x > 2
3x < 1
3

⇔
"

x > log₃2
x < −1 .

Chọn đáp án C _

Câu 92. Tập nghiệm của bất phương trình 2−x2+x _< 1
4 là

A S = (−∞; −1) ∪ (2; +∞). B S = (−1; 2).

C S = (−∞; −2) ∪ (1; +∞). D S = (−2; 1).

Lời giải.

Bất phương trình 2−x2+x < 1
4 ⇔ 2

−x2_+x

< 2−2 ⇔ −x2_{+ x < −2 ⇔ x}2 _{− x − 2 > 0 ⇔}
"

x < −1

x > 2 . Vậy
tập nghiệm của bất phương trình là S = (−∞; −1) ∪ (2; +∞).

</div>
<span class='text_page_counter'>(69)</span><div class='page_container' data-page=69>

Câu 93. Một người gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,6%/tháng. Biết rằng nếu

không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập làm vốn ban đầu để
tính lại cho tháng tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó được lĩnh số tiền khơng ít hơn

110 triệu đồng (cả vốn ban đầu và lãi), biết rằng trong suốt thời gian gửi tiền người đó khơng rút tiền

và lãi suất khơng đổi?

A 17 tháng. B 18 tháng. C 16 tháng. D 15 tháng.

Lời giải.

Cuối tháng thứ nhất người đó có 100 + 100 · 0,006 = 100 · 1,006 (triệu đồng).

Cuối tháng thứ 2 người đó có 100 · 1,006 + 100 · 1,006 · 0,006 = 100 · 1,0062 (triệu đồng).
Cuối tháng thứ 3 người đó có 100 · 1,0062+ 100 · 1,0062· 0,006 = 100 · 1,0063 _{(triệu đồng).}
Hoàn toàn tương tự, cuối tháng thứ n người đó sẽ có 100 · 1,006n triệu đồng.

Để người đó có ít nhất 110 triệu đồng thì ta có

100 · 1,006n≥ 110 ⇔ 1,006n_{≥ 1,1 ⇔ n ≥ log}

1,0061,1 ≈ 15,93.
Vậy cần ít nhất 16 tháng để người đó có khơng ít hơn 110 triệu đồng.

Chọn đáp án C _

Câu 94. Tập nghiệm của bất phương trình log1

3

1 − 2x

x > 0 là

A S =Å 1
3; +∞

ã

. B S =
Å

0;1
3

ã

. C S =Å 1

3;

1
2

ã

. D S =

Å
−∞;1

3
ã

.

Lời giải.

Ta có log1
3

1 − 2x

x > 0 ⇔







1 − 2x
x > 0
1 − 2x

x < 1
⇔ 1

3 < x <
1
2.

Chọn đáp án C _

Câu 95. Tập hợp nghiệm của bất phương trình log₂(x + 5) < 3 là

A S = (−5; 3). B S = (−∞; 3). C S = (−5; 4). D S = −∞; 4).

Lời giải.

log₂(x + 5) < 3 ⇔ 0 < x + 5 < 8 ⇔ x ∈ (−5; 3).

Chọn đáp án A _

Câu 96. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log1

2(x − 1) + log2(x − 1) + log2(x + 3) ≥ 1.

A (1; +∞). B [−3; +∞). C [1; +∞). D (−3; +∞).

Lời giải.

Điều kiện: x > 1.

log1

2(x − 1) + log2(x − 1) + log2(x + 3) ≥ 1
⇔ log₂(x + 3) ≥ 1

⇔ x ≥ −1

Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm là (1; +∞).

</div>
<span class='text_page_counter'>(70)</span><div class='page_container' data-page=70>

Câu 97. Giải bất phương trình log1

5(5x − 3) > −2 ta có nghiệm là

A x > 28

5 . B

3

5 < x <

28

5 . C

3

5 ≤ x ≤
28

5 . D x <
28

5 .

Lời giải.

Điều kiện x > 3
5

Bất phương trình log1

5(5x − 3) > −2 ⇔ 5x − 3 <
Å 1

5
ã−2

⇔ x < 28
5 ⇒

3

5 < x <
28

5 .

Chọn đáp án B _

Câu 98. Tìm nghiệm của phương trình log_x(4 − 3x) = 2.

A x = 1. B x = 4. _{C x ∈ ∅.} D x ∈ {1; −4}.

Lời giải.

Điều kiện




x 6= 1

0 < x < 4
3

Phương trình log_x(4 − 3x) = 2 ⇔ 4 − 3x = x2 ⇔
"

x = 1

x = −4

Chọn đáp án C _

Câu 99. Nghiệm của bất phương trình Å 1

2
ãx

> 32 là

A x ∈ (−∞; −5). B x ∈ (−∞; 5). C x ∈ (−5; +∞). D x ∈ (5; +∞).

Lời giải.

Ta có Å 1
2

ãx

> 32 ⇔Å 1
2

ãx
>Å 1

2
ã−5

⇔ x < −5.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x ∈ (−∞; −5).

Chọn đáp án A _

Câu 100. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình Å 1

25
ã2x−3₂

< 51−2x.

A S = (−∞; 1). B S = (−1; +∞). C S = (−∞; −1). D S = (1; +∞).

Lời giải.

Ta có: Å 1
25

ã2x−3₂

< 51−2x ⇔ 5−4x+3

< 51−2x⇔ −4x + 3 < 1 − 2x ⇔ x > 1.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (1; +∞).

Chọn đáp án D _

Câu 101. Biết phương trình log₃(x2_{+ 10) + log}
1

3 x − 2 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Tính x1+ x2.

A x1+ x2 = 9. B x1+ x2 = 8. C x1 + x2 = 10. D x1+ x2 = 6.

Lời giải.

Điều kiện: x > 0.

Ta có: log₃(x2_{+ 10) + log}
1

3 x − 2 = 0 ⇔ log3(x

2_{+ 10) − log}

3x = 2 ⇔ log3

x2+ 10
x = 2.

Hay: x
2 _{+ 10}

x = 9 ⇔ x

2_{− 9x + 10 = 0 ⇔}






x = 9 +
√

41
2

x = 9 −
√

</div>
<span class='text_page_counter'>(71)</span><div class='page_container' data-page=71>

Suy ra, tổng hai nghiệm là: x1+ x2 = 9.

Chú ý: Ta có thể sử dụng định lí Vi-et để tính nhanh x1 + x2 = −
b
a = 9.

Chọn đáp án A 

Câu 102. Tập nghiệm của bất phương trình log₂(x − 9) > 0 là

A [9; +∞). B (10; +∞). C [10; +∞). D (9; +∞).

Lời giải.

Ta có log₂(x − 9) > 0 ⇔ x − 9 > 1 ⇔ x > 10.

Chọn đáp án B _

Câu 103. Bất phương trình Ä√3 − 1äx−2 ≥ 1 có tập nghiệm là

A (2; +∞). B [2; +∞). C (−∞; 2). D (−∞; 2].

Lời giải.

Do 0 < √3 − 1 < 1 nên

Ä√

3 − 1äx−2 ≥ 1 ⇔ x − 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2.
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (−∞; 2].

Chọn đáp án D _

Câu 104. Tập nghiệm của bất phương trình plog₂(x − 1) ≤ 1 là

A S = [2; 3]. B S = (1; 3]. C S = (1; 3). D S = (1 : +∞).

Lời giải.

plog₂(x − 1) ≤ 1 ⇔









x − 1 > 0

log₂(x − 1) ≥ 0
log₂(x − 1) ≤ 1

⇔ 2 ≤ x ≤ 3.

Chọn đáp án A _

Câu 105. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log_0,5(x − 1) > log_0,5(2x − 1)

A (0; +∞). B (1; +∞). C (−∞; 0). D (−∞; 1).

Lời giải.

log_0,5(x − 1) > log_0,5(2x − 1) ⇔
(

0 < x − 1

x − 1 < 2x − 1

⇔ x > 1.

Chọn đáp án B _

Câu 106. Tập nghiệm của bất phương trình 2x+2 _<Å 1

4
ãx

là

A (−∞; 0). B
Å

−2
3; +∞

ã

. C (0; +∞) \ {1}. D
Å

−∞; −2

3

ã

.

Lời giải.

TXĐ: D = R.

Ta có 2x+2 <Å 1
4

ãx

⇔ 2x+2 _{< 2}−2x _{⇔ x + 2 < −2x ⇒ x <} −2
3 .

Chọn đáp án D _

Câu 107. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log1

2(2x − 1) < 1.

A S =Å 3

4; +∞

ã

. B S =Å 4
3; +∞

ã

. C S =
Å

−∞;3
4

ã

. D S =Å 3
4; +∞

</div>
<span class='text_page_counter'>(72)</span><div class='page_container' data-page=72>

Lời giải.

Điều kiện xác định là 2x − 1 > 0 ⇔ x > 1
2.

BPT ⇔ 2x − 1 > 1

2 ⇔ x >
3

4. Vậy S =
Å 3

4; +∞
ã

.

Chọn đáp án A _

Câu 108. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2−x2+3x < 4.

A S = (1; 2). B S = (−∞; 1) ∪ (2; +∞).

C S = (−1; 2). D S = (−∞; −1) ∪ (2; +∞).

Lời giải.

Ta có

2−x2+3x < 4 ⇔ 2−x2+3x < 22 ⇔ −x2_{+ 3x < 2 ⇔ x}2_{− 3x + 2 > 0 ⇔}
"

x < 1

x > 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (−∞; 1) ∪ (2; +∞).

Chọn đáp án B _

Câu 109. Tìm nghiệm của bất phương trình log₂(3x_{− 2) < 0.}

A x > 1. B x < 1. C 0 < x < 1. D log₃2 < x < 1.
Lời giải.

Điều kiện xác định là 3x− 2 > 0 ⇔ x > log₃2.
Bất phương trình đã cho tương đương với

3x− 2 < 1 ⇔ 3x _{< 3 ⇔ x < 1.}
Kết hợp với điều kiện x > log₃2 ta được log₃2 < x < 1.

Chọn đáp án D _

Câu 110. Tập nghiệm của bất phương trình 8.4x+1_{− 18.2}x_{+ 1 < 0 là}

A (2; 4). B (1; 4). C (−4; −1). D Å 1
16;

1
2

ã
.

Lời giải.

Phương trình đã cho trở thành: 32.4x− 18.2x_{+ 1 < 0 ⇔} 1
16 < 2

x _< 1
2.
Giải bất phương trình kép ta nhận được: −4 < x < −1.

Chọn đáp án C _

Câu 111. Tập nghiệm của bất phương trình (x − 5)(log x + 1) < 0 là

A ß 1
20; 5

™

. B ß 1

5; 5
™

. C ß 1

10; 5

™

. D ß 1

15; 5
™

.

Lời giải.

Điều kiện xác định x > 0.

(x − 5)(log x + 1) < 0 ⇔










(

x − 5 > 0

log x + 1 < 0

(

x − 5 < 0

log x + 1 > 0
⇔

















x > 5

x < 1
10





x < 5

x > 1
10

⇔ 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(73)</span><div class='page_container' data-page=73>

Chọn đáp án C _

Câu 112. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình Ä√3 −√2äx

2₊₁

≥Ä√3 −√2ä3x−1.

A 3. B 2. C 1. D 0.

Lời giải.

Ä√

3 −√2äx
2₊₁

≥Ä√3 −√2ä3x−1 ⇔ x2 _{+ 1 ≤ 3x − 1 ⇔ x}2_{− 3x + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2.}
Các nghiệm nguyên của phương trình là x = 1 và x = 2.

Chọn đáp án B _

Câu 113. Với mọi cặp số thực a; b thỏa mãnÄ√2 − 1äa ≤Ä√2 − 1äb, mệnh đề nào sau đây đúng?
A a = b. B a ≥ b. C a ≤ b. D a > b.

Lời giải.

Ta có √2 − 1 < 1 nên Ä√2 − 1äa≤Ä√2 − 1äb ⇔ a ≥ b.

Chọn đáp án B _

Câu 114. Hiện nay, huyện X có 100.000 người. Giả sử với tỉ lệ tăng dân số hàng năm khơng đổi là

1,75%, hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì dân số huyện X vượt trên 140.000 người. Biết sự tăng dân

số được tính theo cơng thức lãi kép liên tục là S = Aenr _{với S là số dân sau n năm; A là số dân của}
năm lấy làm mốc tính; r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm.

A 18 năm. B 20 năm. C 19 năm. D 21 năm.

Lời giải.

Dân số của huyện X sau n năm là Sn= 100.000e0.0175n
Ta có Sn > 140.000 ⇔ e0.0175n>

7

5 ⇔ n > 19,22.

Hay sau ít nhất 20 năm thì dân số huyện X sẽ vượt trên 140.000 người.

Chọn đáp án B _

Câu 115. Cho bất phương trình 12 · 9x− 35 · 6x_{+ 18 · 4}x _{> 0. Nếu đặt t =} Å 2
3

ãx

với t > 0 thì bất

phương trình đã cho trở thành bất phương trình nào trong các bất phương trình dưới đây?

A 12t2_{− 35t + 18 > 0.} _{B 18t}2_{− 35t + 12 > 0.}

C 12t2_{− 35t + 18 < 0.} _{D 18t}2_{− 35t + 12 < 0.}

Lời giải.

Ta có 12 · 9x− 35 · 6x_{+ 18 · 4}x _{> 0 ⇔ 12 − 35}Å 6
9

ãx

+ 18Å 4
9

ãx

> 0 ⇔ 12 − 35Å 2
3

ãx

+ 18Å 2
3

ã2x
> 0.

Đặt t =Å 2
3

ãx

với t > 0 thì bất phương trình đã cho trở thành 18t2− 35t + 12 > 0.

Chọn đáp án B _

Câu 116. Tập nghiệm của bất phương trình 2 · 4x_{− 5 · 2}x_{+ 2 6 0 có dạng S = [a; b]. Tính giá trị của}
biểu thức b − a.

A 3

2. B 1. C

5

2. D 2.

Lời giải.

Ta có 2 · 4x− 5 · 2x

+ 2 6 0 ⇔ 1
2 6 2

x

6 2 ⇔ −1 6 x 6 1.

Tập nghiệm của bất phương trình là S = [−1; 1] ⇒ a = −1; b = 1 ⇒ b − a = 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(74)</span><div class='page_container' data-page=74>

Câu 117. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2−x2−2x ≥ 1
8.

A S = (1; +∞). B S = [−3; +∞). C S = (−∞; −3]. D S = [−3; 1].
Lời giải.

Ta có 2−x2−2x ≥ 1
8 ⇔ 2

−x2_−2x

≥ 2−3 _{⇔ −x}2_{− 2x ≥ −3 ⇔ −x}2_{− 2x + 3 ≥ 0 ⇔ x ∈ [−3; 1].}
Vậy S = [−3; 1].

Chọn đáp án D _

Câu 118. Giải bất phương trình log₂(1 − x) < 2.

A x > −3. B x < 1. C −3 ≤ x ≤ 1. D −3 < x < 1.

Lời giải.

Ta có log₂(1 − x) < 2 ⇔
(

1 − x > 0

1 − x < 22 ⇔
(

x < 1

x > −3 ⇔ −3 < x < 1.

Chọn đáp án D 

Câu 119. Bất phương trình 9x _≤Å 1

3
ãx−6

có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?

A 0. B 3. C 2. D 1.

Lời giải.

Bất phương trình ⇔ 32x_{≤ 3}6−x _{⇔ 2x ≤ 6 − x ⇔ x ≤ 2.}
Vậy có 2 số ngun dương x thỏa bất phương trình.

Chọn đáp án C _

Câu 120. Một người gửi ngân 300 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Biết rằng nếu

khơng rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho

năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, người đó nhận được số tiền nhiều hơn 600 triệu đồng

bao gồm cả gốc và lãi? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất khơng đổi và người đó khơng rút tiền

ra.

A 9 năm. B 11 năm. C 12 năm. D 10 năm.

Lời giải.

Gọi x (năm) là số năm ít nhất mà người đó nhận được số tiền nhiều hơn 600 triệu đồng (ĐK: x ∈ N∗).
Theo cơng thức tính lãi kép ta có

300(1 + 0,07)x > 600
⇔(1,07)x _{> 2}

⇔x log(1,07) > log 2 ⇔ x > log 2

log(1,07) > 10 ⇒ x = 11 (năm).

Chọn đáp án B _

Câu 121. Nghiệm của bất phương trình: log1

2

(x2_{− 5x + 7) > 0 là}

A 2 < x < 3. B x > 3. C x < 2 hoặc x > 3. D x < 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(75)</span><div class='page_container' data-page=75>

Điều kiện x2 _{− 5x + 7 > 0 ⇔ x ∈ R.}
Ta có log1

2

(x2_{− 5x + 7) > 0 ⇔ x}2_{− 5x + 7 < 1 ⇔ x}2 _{− 5x + 6 < 0 ⇔ 2 < x < 3.}

Chọn đáp án A _

Câu 122. Cho bất phương trình Å 5

7

ãx2−x+1

> Å 5
7

ã2x−1

, tập nghiệm của bất phương trình có tập

nghiệmS = (a; b). Giá trị biểu thức A = b − a nhận giá trị nào đây?

A −2. B −1. C 2. D 1.

Lời giải.

Ta có Å 5
7

ãx2−x+1
>Å 5

7
ã2x−1

⇔ x2 _{− x + 1 < 2x − 1 ⇔ x}2_{− 3x + 2 < 0 ⇔ 1 < x < 2.}
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (1; 2). Giá trị của biểu thức A = 2 − 1 = 1.

Chọn đáp án D _

Câu 123. Tập nghiệm của bất phương trình 2 log₃(4x − 3) + log1

3

(2x + 3) ≤ 2 là

A Å 3
4; +∞

ã

. B ï 3

4; 3
ò

. C Å 3

4; 3

ò

. D ï 3

4; +∞
ã

.

Lời giải.

Điều kiện
(

4x − 3 > 0

2x + 3 > 0
⇔








x > 3
4

x > −3
2

⇔ x > 3
4.

Ta có

2 log₃(4x − 3) + log1
3

(2x + 3) ≤ 2 ⇔ log₃(4x − 3)2 ≤ 2 + log₃(2x + 3)
⇔ log₃(4x − 3)2 ≤ log₃(9(2x + 3)) ⇔ (4x − 3)2 ≤ 9(2x + 3)

⇔ 16x2_{− 24x + 9 ≤ 18x + 27 ⇔ 16x}2_{− 42x − 18 ≤ 0}
⇔ −3

8 ≤ x ≤ 3.

So điều kiện suy ra 3

4 < x ≤ 3.

Chọn đáp án C _

Câu 124. Tìm số nguyên n lớn nhất thỏa mãn n360 < 3480.

A n = 3. B n = 4. C n = 2. D n = 5.

Lời giải.

Ta có n360 _{< 3}480 _{⇔ 360 ln n < 480 ln 3 ⇔ ln n <} 4

3 · ln 3 ⇔ n < e
4

3ln 3 ≈ 4, 326.
Vậy số nguyên n lớn nhất thỏa mãn là 4.

Chọn đáp án B _

Câu 125. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log (2x − 2) ≥ log (x + 1).

A S = (3; +∞). B S = (1; 3]. C S = [3; +∞). _{D S = ∅.}
Lời giải.

Ta có log (2x − 2) ≥ log (x + 1) ⇔









2x − 2 ≥ x + 1

2x − 2 > 0

x + 1 > 0

⇔ x ≥ 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(76)</span><div class='page_container' data-page=76>

Chọn đáp án C _

Câu 126. Tập nghiệm của bất phương trình Å 1

2
ã

1

x − 1 _<Å 1
2

ã4
là

A
Å

1;5

4
ã

. B

Å
−∞;5

4
ã

.

C (−∞; −1) ∪Å 5

4; +∞

ã

. D Å 5

4; +∞
ã

.

Lời giải.

Điều kiện x 6= 1.

Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho tương đương với

1

x − 1 > 4 ⇔

−4x + 5

x − 1 > 0 ⇔




x > 1

x < 5
4

⇔ 1 < x < 5
4.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
Å

1;5
4

ã
.

Chọn đáp án A _

Câu 127. Giải bất phương trình 2 log₂(x − 1) ≤ log₂(5 − x) + 1.

A 1 < x < 3. B 1 ≤ x ≤ 3. C −3 ≤ x ≤ 3. D 1 < x ≤ 3.

Lời giải.

Ta có 2 log₂(x − 1) ≤ log₂(5 − x) + 1 ⇔
(

1 < x < 5

(x − 1)2 ≤ 2(5 − x) ⇔
(

1 < x < 5

− 3 ≤ x ≤ 3 ⇔ 1 < x ≤ 3.

Chọn đáp án D _

Câu 128. Bất phương trình log1

2

(2x − 1) ≥ log1
2

(5 − x) có tập nghiệm là

A Å 1

2; 2

ò

. B [2; +∞). C [2; 5). D (−∞; 2].

Lời giải.

Ta có

log1
2

(2x − 1) ≥ log1
2

(5 − x) ⇔
(

2x − 1 > 0

2x − 1 ≤ 5 − x
⇔





x > 1

2
x ≤ 2

⇔ 1

2 < x ≤ 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = Å 1
2; 2

ị
.

Chọn đáp án A 

Câu 129. Tìm tập nghiệm của bất phương trình Ä√18 +√17äx

2

< √ 1

18 −√17 là

A S = (−1; 0). B S = [−1; 1]. C S = (0; 1). D S = (−1; 1).

Lời giải.

Ta có

Ä√

18 +√17äx
2

< √ 1

18 −√17 ⇔
Ä√

18 +√17äx
2

<Ä√18 +√17ä⇔ x2 _{< 1 ⇔ −1 < x < 1.}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (−1; 1).

</div>
<span class='text_page_counter'>(77)</span><div class='page_container' data-page=77>

Câu 130. Tập nghiệm của bất phương trình 32x+1_>Å 1
3

ã−3x2
là

A
Å

−∞; −1
3

ã

∪ (1; +∞). B (1; +∞).

C
Å

−∞; −1
3

ã

. D

Å

−1

3; 1

ã
.

Lời giải.

Ta có

32x+1 >Å 1
3

ã−3x2

⇔ 32x+1_{> 3}3x2 _{⇔ 2x + 1 > 3x}2 _{⇔ 3x}2_{− 2x − 1 < 0 ⇔ −}1

3 < x < 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Å

−1
3; 1

ã
.

Chọn đáp án D _

Câu 131. Bất phương trình log2₂x − log₂(4x) < 0 có số nghiệm nguyên là

A 3. B 2. C 1. D 0.

Lời giải.

Điều kiện x > 0, khi đó

log2₂x − log₂(4x) < 0 ⇔ log2₂x − log₂x − log₂4 < 0
⇔ log2₂x − log₂x − 2 < 0 ⇔ −1 < log₂x < 2 ⇔ 1

2 < x < 4.

Giá trị nguyên của x là {1,2,3}.

Chọn đáp án A _

Câu 132. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 25x−5− 5x _{≤ 0.}

A S = (0; 10]. B S = (∞; 10]. C S = (−∞; 10). D S = (0; 10).

Lời giải.

Ta có 25x−5_{− 5}x _{≤ 0 ⇔ 5}2x−10 _{≤ 5}x _{⇔ 2x − 10 ≤ x ⇔ x ≤ 10.}
Tập nghiệm của bất phương trình là S = (−∞; 10].

Chọn đáp án B _

Câu 133. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log₆x + 8 log₃₆x ≤ 10.

A S = (0; 36]. B S = (−∞; 36]. C S = (−∞; 36). D S = [0; 36].

Lời giải.

Điều kiện xác định x > 0. Bất phương trình viết lại log₆x + 8 · 1

2· log6x ≤ 10 ⇔ log6x ≤ 2 ⇔ x ≤ 36.
Kết hợp với điều kiện xác định, bất phương trình có tập nghiệm là S = (0; 36].

Chọn đáp án A _

Câu 134. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 16x− 5 · 4x_{+ 4 ≤ 0.}

A S = (0; 1). B S = [1; 4]. C S = (1; 4). D S = [0; 1].

Lời giải.

Ta có 16x− 5 · 4x_{+ 4 ≤ 0 ⇔ (4}x₎2_{− 5 · 4}x_{+ 4 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ 4}x_{≤ 4 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1.}
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là S = [0; 1].

</div>
<span class='text_page_counter'>(78)</span><div class='page_container' data-page=78>

Câu 135. Biết tập nghiệm của bất phương trình log₂(3x − 2) > log₂(6 − 5x) là (a; b). Khi đó, giá trị
của ab bằng

A 1. B 6

5. C

12

5 . D +∞.

Lời giải.

Điều kiện xác định: 2

3 < x <
6
5.

Bất phương trình đã cho tương đương với 3x − 2 > 6 − 5x ⇔ 8x > 8 ⇔ x > 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Å

1;6
5

ã

. Do đó a = 1 và b = 6

5, nên ab =
6
5.

Chọn đáp án B _

Câu 136. Tập nghiệm của bất phương trình log₂Ä1 + log1

9 x − log9x
ä

< 1 có dạng S = Å 1
a; b

ã
với

a, b là những số nguyên. Mối liên hệ giữa a và b là

A a = b. B a = 2b. C a + b = 1. D a = −b.

Lời giải.

Điều kiện xác định: x > 0.

Bất phương trình đã cho tương đương

log₂Ä1 + log1

9 x − log9x
ä

< 1 ⇔ 0 < 1 − 2 log₉x < 2
⇔ 1

2 > log9x > −

1
2

⇔ 3 > x > 1
3.

Suy ra a = b = 3.

Chọn đáp án A _

Câu 137. Giải bất phương trình log₂(3x − 2) > log₂(6 − 5x) ta được tập nghiệm (a; b) (với a < b).
Tính tổng S = a + b.

A S = 26

5 . B S =

8

5. C S =

11

5 . D S =

28
5 .

Lời giải.

Điều kiện xác định
(

3x − 2 > 0

6 − 5x > 0
⇔ 2

3 < x <
6
5.

Ta có log₂(3x − 2) > log₂(6 − 5x) ⇔ 3x − 2 > 6 − 5x ⇔ x > 1. Kết hợp với điều kiện xác định ta có
tập nghiệm của bất phương trình là

Å
1;6

5
ã

⇒ S = 11
5 .

Chọn đáp án B _

Câu 138. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log₂(3x − 2) − log₂(6 − 5x) > 0.

A S =
Å

1;6

5
ã

. B S = (1; +∞). C S =
Å

1;6
5
ò

. D S =Å 2
3; 1

ã
.

Lời giải.

Điều kiện xác định
(

3x − 2 > 0

6 − 5x > 0
⇔ 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(79)</span><div class='page_container' data-page=79>

Bất phương trình

log₂(3x − 2) − log₂(6 − 5x) > 0
⇔ log₂3x − 2

6 − 5x > 0

⇔ 3x − 2
6 − 5x > 1

⇔ 8x − 8
6 − 5x > 0

⇔ 1 < x < 6

5 (thỏa mãn điều kiện xác định).

Chọn đáp án A _

Câu 139. Giải phương trình 2 log₄x + log₂(x − 3) = 2.

A x = 4. B x = 1. C x = 16. D x = 3.

Lời giải.

Điều kiện xác định
(

x > 0

x − 3 > 0

⇔ x > 3 .

Phương trình

2 log₄x + log₂(x − 3) = 2
⇔ log₂x + log₂(x − 3) = 2
⇔ log₂(x2− 3x) = 2
⇔ x2_{− 3x − 4 = 0}
⇔

"

x = −1

x = 4.

Kết hợp với điều kiện xác định, phương trình có nghiệm duy nhất là x = 4.

Chọn đáp án A _

Câu 140. Cho hàm số f (x) = 3

x−2

7x2₋₄. Hỏi mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?
A f (x) > 1 ⇔ x − 2 − (x2− 4) log₃7 > 0.

B f (x) > 1 ⇔ (x − 2) log 3 − (x2− 4) log 7 > 0.
C f (x) > 1 ⇔ (x − 2) ln 3 − (x2− 4) ln 7 > 0.

D f (x) > 1 ⇔ (x − 2) log_0,33 − (x2_{− 4) log}

0,37 > 0.

Lời giải.

Xét bất phương trình f (x) > 1 ⇔ 3
x−2

7x2₋₄ > 1 (∗).

• Lấy logarit cơ số 3 hai vế ta được (∗) ⇔ x − 2 − (x2_{− 4) log}

37 > 0.

• Lấy logarit thập phân hai vế ta được (∗) ⇔ (x − 2) log 3 − (x2_{− 4) log 7 > 0.}
• Lấy logarit Nê-pe hai vế ta được (∗) ⇔ (x − 2) ln 3 − (x2_{− 4) ln 7 > 0.}

• Lấy logarit cơ số 0,3 ta được (∗) ⇔ (x − 2) log_0,33 − (x2_{− 4) log}

0,37 < 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(80)</span><div class='page_container' data-page=80>

Câu 141. Tập nghiệm của bất phương trình log2_0,2x − log_0,2x − 6 ≤ 0 có dạng S = [a; b]. Giá trị của
A = a · b thuộc khoảng nào dưới đây?

A
Å

0;1

2
ã

. B Å 3

2; 2
ã

. C Å 1

2; 1
ã

. D

Å
1;3

2
ã

.

Lời giải.

Điều kiện x > 0.

Đặt t = log_0,2x, bất phương trình trở thành t2_{− t − 6 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ t ≤ 3.}
Suy ra −2 ≤ log_0,2x ≤ 3 ⇔ 1

125 ≤ x ≤ 25 (thỏa điều kiện).

Khi đó a = 1

125, b = 25. Vậy A = a · b =
1

125 · 25 =
1
5 ∈

Å
0;1

2
ã

.

Chọn đáp án A _

Câu 142. Bất phương trình 3x2−6x−16< 9x+2 _{có bao nhiêu nghiệm nguyên?}

A 11. B 9. C 10. D 12.

Lời giải.

Bất phương trình tương đương với

3x2−6x−16 < 32x+4⇔ x2_{− 6x − 16 < 2x + 4 ⇔ x}2_{− 8x − 20 < 0 ⇔ −2 < x < 10.}

Số nghiệm nguyên trên khoảng (−2; 10) là 11 nghiệm.

Chọn đáp án A _

Câu 143. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log₂(x − 1) < 3.

A (−∞; 10). B (1; 9). C (1; 10). D (∞; 9).

Lời giải.

Ta có log₂(x − 1) < 3 ⇔
(

x − 1 > 0

x − 1 < 23 ⇔ 1 < x < 9.

Chọn đáp án B _

Câu 144. Bất phương trình log₂(3x − 2) > log₂(6 − 5x) có tập nghiệm là
A (0; +∞). B Å 1

2; 3
ã

. C (−3; 1). D

Å

1;6

5
ã

.

Lời giải.

log₂(3x − 2) > log₂(6 − 5x) ⇔
(

3x − 2 > 6 − 5x

6 − 5x > 0 ⇔




x > 1

x < 6
5

⇔ 1 < x < 6
5.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Å

1;6
5

ã
.

Chọn đáp án D 

Câu 145. Tập nghiệm của bất phương trình log₃ 4x + 6

x ≤ 0 là

A S =
ï

−2; −3

2
ã

. B S = [−2; 0). C S = (−∞; 2]. _{D S = R \}
ï

−3
2; 0

ò
.

Lời giải.

Điều kiện: 4x + 6

x > 0 ⇔




</div>
<span class='text_page_counter'>(81)</span><div class='page_container' data-page=81>

log₃ 4x + 6

x ≤ 0 ⇔

4x + 6

x ≤ 1 ⇔

3x + 6

x ≤ 0 ⇔ −2 ≤ x < 0.

Kết hợp với điều kiện ta có S =
ï

−2; −3
2

ã
.

Chọn đáp án A _

Câu 146. Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình log√

3x
Å

1 + 1
3log3

√
33x

ã

≤ 6 là [a; b]. Tính

T = 81a2_{+ b}2_.

A T = 82

9 . B T =

84

3 . C T =

80

9 . D T =

80
3 .

Lời giải.

Đặt t = log₃x, ta có bất phương trình t2 + 2t − 3 ≤ 0, suy ra −3 ≤ t ≤ 1 hay 1

27 ≤ x ≤ 3. Do đó
[a; b] =ï 1

27; 3
ò

, dẫn đến T = 81a2+ b2 ₌ 82
9 .

Chọn đáp án A _

Câu 147. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 32x−1 > 243.

A S = (−∞; 3). B S = (3; +∞). C S = (2; +∞). D S = (−∞; 2).

Lời giải.

Ta có

32x−1> 243 ⇔ 32x−1> 35 ⇔ 2x − 1 > 5 ⇔ x > 3.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (3; +∞).

Chọn đáp án B _

Câu 148. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 2x2−5x+6_{< 1.}

A (−3; 2). B (1; 6). C (2; 3). D (−6; −1).

Lời giải.

2x2−5x+6< 1 ⇔ x2− 5x + 6 < 0 ⇔ 2 < x < 3.

Chọn đáp án C _

Câu 149. Giải bất phương trình log₂(3x − 1) > 3.

A x > 3. B 1

3 < x < 3. C x < 3. D x >
10

3 .

Lời giải.

Ta có log₂(3x − 1) > 3 ⇔ 3x − 1 > 23 _{⇔ x > 3.}

Chọn đáp án A _

Câu 150. Bất phương trình 2x2−3x+4_≤Å 1

2

ã2x−10

có bao nhiêu nghiệm ngun dương?

A 2. B 4. C 6. D 3.

Lời giải.

Ta có 2x2−3x+4≤Å 1
2

ã2x−10

⇔ 2x2_−3x+4

≤ 2−2x+10 _{⇔ x}2_{− 3x + 4 ≤ −2x + 10}
⇔ x2_{− x − 6 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 3.}

Có 3 số nguyên dương trong [−2; 6].

</div>
<span class='text_page_counter'>(82)</span><div class='page_container' data-page=82>

Câu 151. Tập nghiệm của bất phương trình log1

3 (− log2x) < 0 là
A (0; 5). B (1; 2). C Å 1

4; 4
ã

. D

Å

0;1

2
ã

.

Lời giải.

Điều kiện:
(

x > 0

− log₂x > 0 ⇔ 0 < x < 1.
log1

3 (− log2x) < 0 ⇔ − log2x > 1 ⇔ x <
1
2.

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là S =
Å

0;1
2

ã

.

Chọn đáp án D _

Câu 152. Tập nghiệm của bất phương trình log_0,5(x − 4) + 1 ≥ 0 là

A (−∞; 6). B (4; 6]. C (4; +∞). D

Å
4;9

2
ị

.

Lời giải.

Bất phương trình tương đương

0 < x − 4 ≤Å 1
2

ã−1

⇔ 4 < x ≤ 6.

Chọn đáp án B _

Câu 153. Giải bất phương trình Å 3

4
ã2x−1

≤Å 4
3

ã−2+x

ta được nghiệm là

A x ≥ 1. B x > 1. C x < 1. D x ≤ 1.

Lời giải.

Bất phương trình đã cho tương đương với

Å 4
3

ã−2x+1
≤Å 4

3
ã−2+x

⇔ 1 − 2x ≤ −2 + x ⇔ x ≥ 1.

Chọn đáp án A _

Câu 154. Cho các số dương a, b, c với a > 1. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A log_ab > log_ac ⇔ b > c. B log_ab > 1 ⇔ b > a.
C log_ab < 0 ⇔ b < 1. D log_ab > c ⇔ b < ac_.

Lời giải.

Với a > 1, ta có log_ab > c ⇔ log_ab > log_aac_{⇔ b > a}c

Chọn đáp án D _

Câu 155. Bất phương trình Å 1

2
ãx2+4x

> 1

32 có tập nghiệm S = (a; b). Khi đó b − a bằng

A 4. B 2. C 6. D 8.

Lời giải.

Bất phương trình đã cho tương đương với Å 1
2

ãx2+4x
>Å 1

2
ã5

⇔ x2_{+ 4x < 5 ⇔ −1 < x < 5.}
Suy ra a = −1, b = 5 ⇒ S = b − a = 6.

</div>
<span class='text_page_counter'>(83)</span><div class='page_container' data-page=83>

Câu 156. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 3x−1 > 27.

A S = [4; +∞). B S = (4; +∞). C S = (0; 4). D S = (−∞; 4).

Lời giải.

Ta có 3x−1 _{> 27 ⇔ 3}x−1 _{> 3}3 _{⇔ x − 1 > 3 ⇔ x > 4.}
Vậy tập nghiệm của bất phương trình S = (4; +∞).

Chọn đáp án B _

Câu 157. Tập nghiệm của bất phương trình 2x > 3x+1 là

A ∅. B Ä−∞; log2

3 3

ä

. C (−∞; log₂3]. D Älog2

3 3; +∞
ä

.

Lời giải.

Ta có 2x _{> 3}x+1 _⇔ Å 2
3

ãx

> 3 ⇔ x < log2

3 3. Do đó tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Ä

−∞; log2
3 3

ä
.

Chọn đáp án B _

Câu 158. Tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình Å 1

2

ã9x2−17x+11
≥Å 1

2

ã7−5x

.

A x = 2

3. B x >

2

3. C x 6=

2

3. D x ≤

2
3.

Lời giải.

Ta có Å 1
2

ã9x2−17x+11
≥Å 1

2
ã7−5x

⇔ 9x2_{− 17x + 11 ≤ 7 − 5x ⇔ 9x}2_{− 12x + 4 ≤ 0 ⇔ x =} 2
3.

Chọn đáp án A _

Câu 159. Tập nghiệm của bất phương trình 2 log₂(x − 1) ≤ log₂(5 − x) + 1 là

A (1; 5). B (1; 3]. C [1; 3]. D [3; 5].

Lời giải.

Điều kiện
(

x − 1 > 0

5 − x > 0
⇔

(
x > 1

x < 5

⇔ 1 < x < 5.

Bất phương trình tương đương với log₂(x − 1)2 ≤ log₂[2 (5 − x)] ⇒ (x − 1)2 ≤ 10 − 2x ⇔ x2 _{≤ 9 ⇔}
−3 ≤ x ≤ 3.

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (1; 3].

Chọn đáp án B _

Câu 160. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x3_{− 3x + 3 = 5}m _{có 3}

nghiệm thực phân biệt.

A m > 1. B m < 0. C 0 < m < 1. D m > 5.

Lời giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(84)</span><div class='page_container' data-page=84>

x

f0(x)

f (x)

−∞ −1 1 +∞

+ 0 − 0 +

−∞
−∞

5
5

1
1

+∞
+∞

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có ba nghiệm thực ⇔ 1 < 5m _{< 5 ⇔ 0 < m < 1.}

Chọn đáp án C _

Câu 161. Tập nghiệm của bất phương trình log1

2

(2x − 1) > −1 là

A Å 1

2;

3
2

ã

. B

Å
0;3

2
ã

. C Å 3

2; +∞
ã

. D Å 1

2;
3
4

ã
.

Lời giải.

Ta có log1
2

(2x − 1) > −1 ⇔







2x − 1 > 0

2x − 1 <Å 1

2

ã−1 ⇔







x > 1
2

x < 3
2.

Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là

Å 1
2;

3
2

ã
.

Chọn đáp án A 

Câu 162. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log1

2

(x + 1) < log1
2

(2x − 1).

A S =Å 1

2; 2

ã

. B S = (−1; 2). C S = (2; +∞). D S = (−∞; 2).

Lời giải.

log1
2

(x + 1) < log1
2

(2x − 1) ⇔
(

x + 1 > 2x − 1

2x − 1 > 0

⇔




x < 2

x > 1
2

⇔ 1

2 < x < 2.

Suy ra tập nghiệm bất phương trình là S =Å 1
2; 2

ã
.

Chọn đáp án A _

Câu 163. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A Với mọi a > b > 1, ta có ab _{> b}a_. _{B Với mọi a > b > 1, ta có log}

ab < logba.
C Với mọi a > b > 1, ta có aa−b _{> b}b−a_. _{D Với mọi a > b > 1, ta có log}

a
a + b

2 < 1.

Lời giải.

Với a = 4, b = 2, 42 _{= 2}4_.

Chọn đáp án A _

Câu 164. Tập nghiệm của bất phương trình 2 · 7x+2+ 7 · 2x+2 ≤ 351 ·√14x _{có dạng là đoạn S = [a; b].}
Giá trị b − 2a thuộc khoảng nào dưới đây?

A (3;√10). B (−4; 2). C (√7; 4√10). D Å 2
9;

49
5

ã
.

</div>
<span class='text_page_counter'>(85)</span><div class='page_container' data-page=85>

Phương trình

2 · 7x+2 + 7 · 2x+2 ≤ 351 ·√14x
⇔98 · 7x_{+ 28 · 2}x_{− 351 · 7}x₂ _{· 2}x₂ _{≤ 0}
⇔98 ·Å 7

2

ãx

+ 28 − 351 ·Å 7
2

ãx₂
≤ 0

⇔98 ·Å 7
2

ã2·x₂

− 351 ·Å 7
2

ãx₂

+ 28 ≤ 0

⇔ 4
49 ≤

Å 7
2

ãx₂
≤ 7

2 ⇔ −4 ≤ x ≤ 2 ⇒

(

a = −4

b = 2

⇒ b − 2a = 10 ∈ (√7; 4√10).

Chọn đáp án C _

Câu 165. Số nghiệm nguyên của bất phương trình Å 1

3

ã2x2−3x−7

> 32x−21 là

A Vơ số. B 6. C 7. D 8.

Lời giải.

Ta có Å 1
3

ã2x2−3x−7

> 32x−21 _{⇔ 2x}2_{− x − 28 < 0 ⇔ −}7

2 < x < 4.

Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là 7.

Chọn đáp án C _

Câu 166. Bất phương trình log1

2(2x − 1) ≥ log
1

2(5 − x) có tập nghiệm là

A Å 1

2; 2

ị

. B (−∞; 2]. C [2; +∞). D [2; 5).

Lời giải.

• Điều kiện xác định của phương trình:
(

2x − 1 > 0

5 − x > 0
⇔ 1

2 < x < 5.

• Bất phương trình trở thành 2x − 1 ≤ 5 − x ⇔ 3x ≤ 6 ⇔ x ≤ 2.

• Kết hợp điều kiện suy ra bất phương trình có tập nghiệm Å 1
2; 2

ò
.

Chọn đáp án A _

Câu 167. Tập nghiệm của bất phương trình log₂(x − 1) > 3 là

A (9; +∞). B (4; +∞). C (1; +∞). D (10; +∞).

Lời giải.

Ta có log₂(x − 1) > 3 ⇔ (x − 1) > 23 _{⇔ x > 9.}

Chọn đáp án A _

Câu 168. Tập nghiệm của bất phương trình log₂(x − 3) + log₂x ≥ 2 là

A (3; +∞). B [4; +∞).

C (−∞; −1] ∪ [4; +∞) . D (3; 4].

Lời giải.

Điều kiện x > 3. Khi đó BPT ⇔ (x − 3)x ≥ 4 ⇔ x2_{− 3x − 4 ≥ 0 ⇔}

"

x ≤ −1

x ≥ 4
.

</div>
<span class='text_page_counter'>(86)</span><div class='page_container' data-page=86>

Chọn đáp án B 

Câu 169. Tập nghiệm của bất phương trình log1

2

(x2_{− 5x + 7) > 0 là}

A (2; 3). B (3; +∞). C (−∞; 2). D (−∞; 2) ∪ (3; +∞).

Lời giải.

Bất phương trình tương đương với
(

x2− 5x + 7 > 0 (luôn đúng)

x2− 5x + 7 < 1 ⇔ x ∈ (2; 3).

Chọn đáp án A _

Câu 170. Tìm tập nghiệm của bất phương trình Å 1

2
ãx−1

≥ 1
4·

A S = {x ∈ R|x > 3}. B S = {x ∈ R|1 < x ≤ 3}.

C S = {x ∈ R|x ≤ 3}. D S = {x ∈ R|x ≥ 3}.

Lời giải.

Ta có Å 1
2

ãx−1
≥ 1

4 ⇔ x − 1 ≤ 2 ⇔ x ≤ 3.

Chọn đáp án C _

Câu 171. Có bao nhiêu số nguyên trên [0; 10] nghiệm đúng bất phương trình log₂(3x − 4) > log₂(x −
1)?

A 10. B 11. C 9. D 8.

Lời giải.

Ta có: log₂(3x − 4) > log₂(x − 1) ⇔

(

3x − 4 > 0

3x − 4 > x − 1

⇔ x > 3
2.

Vì x là số nguyên thuộc [0; 10] nên có 9 giá trị của x thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án C _

Câu 172. Anh Nam muốn mua một ngôi nhà trị giá 500 triệu đồng sau 3 năm nữa. Biết rằng lãi suất

hàng năm vẫn không đổi là 8% một năm. Vậy ngay từ bây giờ số tiền ít nhất anh Nam phải gửi tiết

kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép để có đủ tiền mua nhà (kết quả làm tròn đến hàng triệu)

là

A 397 triệu đồng. B 396 triệu đồng. C 395 triệu đồng. D 394 triệu đồng.

Lời giải.

Gọi x là số tiền anh Nam phải giải tiết kiệm, đơn vị triệu đồng. Khi đó sau 3 năm, theo hình thức lãi

kép thì số tiền anh Nam nhận được là x
Å

1 + 8
100

ã3

. Vậy ta cần tìm x là số nguyên nhỏ nhất thỏa

mãn điều kiện

x
Å

1 + 8
100

ã3

≥ 500 ⇔ x ≥ 500
Å

1 + 8
100

ã3 ≈ 396, 9.

Vậy x = 397 triệu đồng.

Chọn đáp án A _

</div>
<span class='text_page_counter'>(87)</span><div class='page_container' data-page=87>

A S = (−∞; 1). B S = (−∞; −1). C S = (−1; 0). D S = (−1; +∞).

Lời giải.

Ta có 3−3x > 3−x+2 ⇔ −3x > −x + 2 ⇔ 2x < −2 ⇔ x < −1.

Chọn đáp án B _

Câu 174. Tập nghiệm của bất phương trình log_0,5x > log_0,52 là

A (1; 2). B (−∞; 2). C (2 : +∞). D (0; 2).

Lời giải.

Bất phương trình tương đương với
(

x > 0

x < 2 ⇔ 0 < x < 2.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (0; 2).

Chọn đáp án D _

Câu 175. Tập nghiệm của bất phương trình log₂(x + 1) < log₂(3 − x) là

A S = (−∞; 1). B S = (1; +∞). C S = (1; 3]. D S = (−1; 1).

Lời giải.

log₂(x + 1) < log₂(3 − x) ⇔

(

x + 1 < 3 − x

x + 1 > 0 ⇔
(

x < 1

x > −1 ⇔ −1 < x < 1.

Chọn đáp án D _

Câu 176. Phương trình 22x−1 _{= 8 có nghiệm là}

A x = 4. B x = 1. C x = 3. D x = 2.

Lời giải.

22x−1 _{= 8 ⇔ 2}2x−1_{= 2}3 _{⇔ 2x − 1 = 3 ⇔ x = 2.}

Chọn đáp án D _

Câu 177. Tập nghiệm của bất phương trình log1

2

(log₂(x2− 1)) ≤ −1 là

A S =ỵ1;√5ó. B S =Ä−∞; −√5ó∪ỵ√5; +∞ä.

C S =ỵ−√5;√5ó. D S =ỵ−√5; −1ä∪Ä1;√5ó.

Lời giải.

Ta có log1
2

(log₂(x2_{− 1)) ≤ −1 ⇔ log}

2(x2− 1) ≥ 2 ⇔ x2− 1 ≥ 4 ⇔ x2 ≥ 5 ⇔
"

x ≥√5

x ≤ −√5.

Vậy S =Ä−∞; −√5ó∪ỵ√5; +∞ä là tập nghiệm của bất phương trình.

Chọn đáp án B _

Câu 178. Bất phương trình log1

2

(3x + 1) > log1
2

(x + 7) có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A 1. B 2. C 3. D 4.

Lời giải.

log1
2

(3x + 1) > log1
2

(x + 7) ⇔
(

3x + 1 > 0

3x + 1 < x + 7 ⇔





x > −1
3
x < 3

⇔ −1

3 < x < 3.

Vậy bất phương trình có 3 nghiệm nguyên.

</div>
<span class='text_page_counter'>(88)</span><div class='page_container' data-page=88>

Câu 179. Tập nghiệm của bất phương trình Ä√2äx
2_−2x

≤Ä√2ä3 là

A [−2; 1]. B [−1; 3]. C (2; 5). D (−1; 3).

Lời giải.

Ä√
2äx

2_−2x

≤Ä√2ä3 ⇔ x2− 2x ≤ 3
⇔ x2− 2x − 3 ≤ 0
⇔ −1 ≤ x ≤ 3.

Chọn đáp án B _

Câu 180. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log1

2

(x − 3) ≥ log1
2

4.

A S = (3; 7]. B S = [3; 7]. C = (−∞; 7]. D S = [7; +∞).

Lời giải.

log1
2

(x − 3) ≥ log1
2

4 ⇔
(

x − 3 > 0

x − 3 ≤ 4 ⇔ 3 < x ≤ 7.

Chọn đáp án A 

Câu 181. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 2 log₃(4x − 3) ≤ log₃(18x + 27).

A S =Å 3

4; 3

ò

. B S = [3; +∞). C S =Å 3
4; +∞

ã

. D S =
ï

−3
8; 3

ò
.

Lời giải.

Điều kiện: x > 3

4, với điều kiện trên, bất phương trình

⇔ log₃(4x − 3)2 ≤ log₃(18x + 27) ⇔ 16x2_{− 24x + 9 ≤ 18x + 27 ⇔ 16x}2_{− 42x − 19 ≤ 0}
⇔ x ∈

ï
−3

8; 3
ò

. Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là S =Å 3
4; 3

ò

.

Chọn đáp án A _

Câu 182. Bất phương trình 3x+2 > 9x−1008 có nghiệm là

A x ≥ 2018. B x > 2018. C x < 2018. D x > 1010.

Lời giải.

Điều kiện: x ∈ R. Ta có

3x+2 > 9x−1008 ⇔ 3x+2 _{> 3}2x−2016
⇔ x + 2 > 2x − 2016

⇔ x < 2018.

Chọn đáp án C _

Câu 183. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log₂2x > log₂(9 − x).

A S = (−∞; 3). B S = (9; +∞). C S = (3; +∞). D S = (3; 9).
Lời giải.

Điều kiện
(

2x > 0

9 − x > 0

⇔ 0 < x < 9.

</div>
<span class='text_page_counter'>(89)</span><div class='page_container' data-page=89>

log₂2x > log₂(9 − x) ⇔ 2x > 9 − x ⇔ 3x > 9 ⇔ x > 3.
Kết hợp với điều kiện ta có 3 < x < 9.

Chọn đáp án D _

Câu 184. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình Å 2

5
ã1−3x

≥ 25
4 .

A [1; +∞). B ï 1

3; +∞
ã

. C

Å
−∞;1

3
ã

. D (−∞; 1].

Lời giải.

Ta có bất phương trình

Å 2
5

ã1−3x
≥Å 2

5
ã−2

⇔ 1 − 3x ≤ −2 ⇔ x ≥ 1.

Chọn đáp án A _

Câu 185. Giải bất phương trình log₂(3x − 2) > log₂(6 − 5x) được tập nghiệm là khoảng (a; b). Hãy
tính tổng S = a + b.

A S = 8

5. B S =

26

5 . C S =

28

15. D S =

11

5 .

Lời giải.

Điều kiện
(

3x − 2 > 0

6 − 5x > 0 ⇔
2

3 < x <
6
5.

Bất phương trình tương đương với 3x − 2 > 6 − 5x ⇔ 8x > 8 ⇔ x > 1.

Kết hợp với điều kiện ta có 1 < x < 6
5.
Vậy S = a + b = 11

5 .

Chọn đáp án D _

Câu 186. Tập nghiệm của bất phương trình 3x+2 ≥ 1

9 là

A [0; +∞). B (−∞; 4). C (−∞; 0). D [−4; +∞).

Lời giải.

Ta có 3x+2 _≥ 1
9 ⇔ 3

x+2 _{≥ 3}−2 _{⇔ x + 2 ≥ −2 ⇔ x ≥ −4.}

Chọn đáp án D _

Câu 187. Tìm tập nghiệm D của bất phương trình 9x _{< 3}x+4_.

A D = (0; 6). B D = (−∞; 4). C D = (0; 4). D D = (4; +∞).

Lời giải.

Ta có 9x _{< 3}x+4 _{⇔ 3}2x _{< 3}x+4 _{⇔ 2x < x + 4 ⇔ x < 4.}

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: D = (−∞; 4).

Chọn đáp án B _

Câu 188. Tập nghiệm của bất phương trình 2

√

x _{< 2 là}

A [0; 1). B (−∞; 1). C (0; 1). D (1; +∞).

</div>
<span class='text_page_counter'>(90)</span><div class='page_container' data-page=90>

Ta có: 2√x _{< 2 ⇔}
(

x > 0
√

x < 1 ⇔ 0 6 x < 1.

Chọn đáp án A _

Câu 189. Tập nghiệm của bất phương trình Ä√3

5äx−1 < 5x+3 _là

A (−∞; −5). B (−∞; 0). C (−5; +∞). D (0; +∞).

Lời giải.

Bất phương trình đã cho tương đương

5x−13 _{< 5}x+3 ⇔ x − 1

3 < x + 3 ⇔ x > −5.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (−5; +∞).

Chọn đáp án C _

Câu 190. Tập nghiệm của bất phương trình 2x2

< 26−x _là

A (2; +∞). B (−∞; −3). C (−3; 2). D (−2; 3).

Lời giải.

Ta có 2x2 _{< 2}6−x _{⇔ x}2 _{< 6 − x ⇔ x}2_{+ x − 6 < 0 ⇔ −3 < x < 2.}

Chọn đáp án C _

Câu 191. Tập nghiệm của phương trình Å 1

2
ãx−4

< 8 là

A S = (−1; +∞). B S = (−∞; −1). C S = (−∞; 1). D S = (1; +∞).

Lời giải.

Ta có: Å 1
2

ãx−4

< 8 ⇔ 2x−4 > 1

8 ⇔ x − 4 > log2
1

8 ⇔ x − 4 > −3 ⇔ x > 1.

Chọn đáp án D _

Câu 192. Tập nghiệm S của bất phương trình 3x−1 _{> 27 là}

A S = [4; +∞). B S = (4; +∞). C S = (0; 4). D S = (−∞; 4).

Lời giải.

Ta có 3x−1 _{> 27 ⇔ x − 1 > 3 ⇔ x > 4 ⇒ S = (4; +∞).}

Chọn đáp án B _

Câu 193. Tập nghiệm của bất phương trình Ä2x2₋₄

− 1ä· ln x2 _{< 0 là}

A (−2; −1) ∪ (1; 2). B (1; 2). C (−2; −1). D (2; +∞).

Lời giải.

Ta xét hai trường hợp sau:

• TH1:
(

2x2−4− 1 > 0
ln x2 < 0 ⇔

(

x2− 4 > 0
0 < x2 < 1 ⇔

(
x2 > 4

0 < x2 < 1 (loại).

• TH2:
(

2x2−4− 1 < 0
ln x2 > 0

⇔
(

x2− 4 < 0
x2 > 1

⇔










− 2 < x < 2

"
x > 1

x < −1

⇔" − 2 < x < −1
1 < x < 2

.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là D = (−2; −1) ∪ (1; 2).

</div>
<span class='text_page_counter'>(91)</span><div class='page_container' data-page=91>

Câu 194. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình Å 1
25

ã2x−3₂

< 51−2x.

A S = (−∞; 1). B S = (−1; +∞). C S = (−∞; −1). D S = (1; +∞).
Lời giải.

Ta có: Å 1
25

ã2x−3₂

< 51−2x _{⇔ 5}−4x+3 _{< 5}1−2x_{⇔ −4x + 3 < 1 − 2x ⇔ x > 1.}
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (1; +∞).

Chọn đáp án D _

Câu 195. Tập nghiệm của bất phương trình Å 1

2
ãx−2

>Å 1
2

ã2x−5
.

A (−∞; −3). B (3; +∞). C (−3; +∞). D (−∞; 3).

Lời giải.

Ta có Å 1
2

ãx−2
>Å 1

2
ã2x−5

⇔ x − 2 < 2x − 5 ⇔ x > 3.

Do đó tập nghiệm của bất phương trình là (3; +∞).

Chọn đáp án B _

Câu 196. Tập nghiệm của bất phương trình Ä2 −√3äx >Ä7 − 4√3ä Ä2 +√3äx+1 là

A
Å

−∞;1

2
ã

. B Å 1

2; +∞
ã

. C

Å
−2;1

2
ã

. D Å 1

2; 2
ã

.

Lời giải.

Ta có Ä2 −√3ä·Ä2 +√3ä = 1 ⇒Ä2 −√3ä =Ä2 +√3ä−1. Do đó
Ä

2 −√3äx >Ä7 − 4√3ä Ä2 +√3äx+1
⇔ Ä2 +√3ä−x>Ä2 −√3ä2Ä2 +√3äx+1
⇔ Ä2 +√3ä−x>Ä2 +√3ä−2Ä2 +√3äx+1
⇔ Ä2 +√3ä−x>Ä2 +√3äx−1

⇔ −x > x − 1

⇔ x < 1
2.

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S =
Å

−∞;1
2

ã
.

Chọn đáp án A _

Câu 197. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

π

3
1_x

<
π

3
_x3+5

.

A S = (0; +∞). B S =

Å

−∞; −2
5

ã
.

C S =
Å

−∞; −2

5
ã

∪ (0; +∞). D S =

Å
−2

5; +∞
ã

.

Lời giải.

Ta có

π

3
_x1

<π
3

3_x+5
⇔ 1

x <
3

x + 5 ⇔
−2

x − 5 < 0 ⇔

−2 − 5x

x < 0 ⇔




</div>
<span class='text_page_counter'>(92)</span><div class='page_container' data-page=92>

Vậy tập nghiệm S =
Å

−∞; −2
5

ã

∪ (0; +∞).

Chọn đáp án C _

Câu 198. Cho hàm số f (x) = 3x2

4x_{. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?}
A f (x) > 9 ⇔ x2_{ln 3 + x ln 4 > 2 ln 3.} _{B f (x) > 9 ⇔ x}2_{+ 2x log}

32 > 2.

C f (x) > 9 ⇔ 2x log 3 + x log 4 > log 9. D f (x) > 9 ⇔ x2_log

23 + 2x > 2 log23.

Lời giải.

Ta có

f (x) > 9 ⇔ 3x24x > 9 ⇔ lnÄ3x24xä > ln 9 ⇔ ln 3x2 + ln 4x > ln 9 ⇔ x2ln 3 + x ln 4 > 2 ln 3.
f (x) > 9 ⇔ 3x24x > 9 ⇔ log₃Ä3x24xä > log₃9 ⇔ log₃3x2 + log₃4x > log₃9 ⇔ x2+ 2x log₃2 > 2.
f (x) > 9 ⇔ 3x24x > 9 ⇔ log₂Ä3x24xä > log₂9 ⇔ log₂3x2 + log₂4x > log₂9

⇔ x2_log

23 + 2x > 2 log23.
f (x) > 9 ⇔ 3x2

4x _{> 9 ⇔ log}Ä₃x2

4xä _{> log 9 ⇔ log 3}x2

+ log 4x _{> log 9 ⇔ x}2_{log 3 + x log 4 > log 9.}

Chọn đáp án C _

Câu 199. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình log₃(4x − x2) ≤ 1.

A Vô số. B 4. C 3. D 2.

Lời giải.

Điều kiện xác định 4x − x2 _{> 0 hay 0 < x < 4.}
Ta có

4x − x2 ≤ 3 ⇔ x2_{− 4x + 3 ≥ 0 ⇔}
"

x ≤ 1

x ≥ 3.

Kết hợp điều kiện xác định ta được 0 < x ≤ 1 hoặc 3 ≤ x < 4.

Theo giả thiết x nguyên nên x ∈ {1; 3}.

Chọn đáp án D _

Câu 200. Tập nghiệm của bất phương trình Ä√5 + 2äx−1 ≤Ä√5 − 2äx−1 là

A S = (−∞; 1]. B S = [1; +∞). C S = (−∞; 1). D S = (1; +∞).

Lời giải.

Ta có Ä√5 + 2äx−1 ≤Ä√5 − 2äx−1 ⇔Ä√5 + 2äx−1 ≤Ä√5 + 2ä−x+1 ⇔ x − 1 ≤ −x + 1 ⇔ x ≤ 1.
Vậy S = (−∞; 1].

</div>
<span class='text_page_counter'>(93)</span><div class='page_container' data-page=93>

ĐÁP ÁN

1. B 2. C 3. A 4. A 5. B 6. B 7. A 8. D 9. B 10. D

11. A 12. C 13. C 14. D 15. A 16. C 17. D 18. C 19. B 20. D

21. D 22. A 23. C 24. A 25. C 26. D 27. D 28. C 29. C 30. A

31. A 32. D 33. A 34. D 35. D 36. A 37. D 38. D 39. A 40. A

41. D 42. D 43. C 44. B 45. D 46. A 47. D 48. B 49. C 50. C

51. B 52. C 53. B 54. B 55. B 56. C 57. C 58. B 59. C 60. A

61. B 62. D 63. B 64. C 65. B 66. A 67. D 68. A 69. B 70. C

71. C 72. B 73. B 74. A 75. C 76. A 77. C 78. B 79. C 80. A

81. B 82. C 83. C 84. D 85. A 86. B 87. C 88. A 89. B 90. B

91. C 92. A 93. C 94. C 95. A 96. A 97. B 98. C 99. A 100. D

101. A 102. B 103. D 104. A 105. B 106. D 107. A 108. B 109. D 110. C

111. C 112. B 113. B 114. B 115. B 116. D 117. D 118. D 119. C 120. B

121. A 122. D 123. C 124. B 125. C 126. A 127. D 128. A 129. D 130. D

131. A 132. B 133. A 134. D 135. B 136. A 137. B 138. A 139. A 140. D

141. A 142. A 143. B 144. D 145. A 146. A 147. B 148. C 149. A 150. D

151. D 152. B 153. A 154. D 155. C 156. B 157. B 158. A 159. B 160. C

161. A 162. A 163. A 164. C 165. C 166. A 167. A 168. B 169. A 170. C

171. C 172. A 173. B 174. D 175. D 176. D 177. B 178. C 179. B 180. A

181. A 182. C 183. D 184. A 185. D 186. D 187. B 188. A 189. C 190. C

</div>
<span class='text_page_counter'>(94)</span><div class='page_container' data-page=94>

<b>3</b> <b>MỨC ĐỘ VẬN DỤNG THẤP</b>

Câu 1. Tập nghiệm S của bất phương trình log1

3(x − 1) + log3(11 − 2x) ≥ 0 là
A S =

Å
3;11

2
ã

. B S = (−∞; 4]. C S = (1; 4]. D S = (1; 4).

Lời giải.

Điều kiện
(

x − 1 > 0

11 − 2x > 0

⇔ 1 < x < 11

2 . Ta có

log1

3(x − 1) + log3(11 − 2x) ≥ 0 ⇔ − log3(x − 1) + log3(11 − 2x) ≥ 0
⇔ log₃ 11 − 2x

x − 1 ≥ 0 ⇔

11 − 2x

x − 1 ≥ 1 ⇔

11 − 2x

x − 1 − 1 ≥ 0(vì x − 1 > 0)
⇔ 12 − 3x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4.

Kết hợp với điều kiện ta có 1 < x ≤ 4.

Vậy S = (1; 4].

Chọn đáp án C _

Câu 2. Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f0(x) có bảng biến thiên như hình dưới.

x

f0(x)

−∞ −3 1 +∞

+∞
+∞

−3
−3

0
0

−∞
−∞

Bất phương trình f (x) < ex_{+ m đúng với mọi x ∈ (−1; 1) khi và chỉ khi}
A m ≥ f (1) − e. B m > f (−1) −1

e. C m ≥ f (−1) −

1

e. D m > f (1) − e.
Lời giải.

Ta có f (x) < ex+ m ⇔ f (x) − ex < m.
Xét h(x) = f (x) − ex, x ∈ (−1; 1).

Khi đó h0(x) = f0(x) − ex < 0, ∀x ∈ (−1; 1) (Vì f0(x) < 0, ∀x ∈ (−1; 1) và ex > 0, ∀x ∈ (−1; 1)).
⇒ h(x) nghịch biến trên (−1; 1) ⇒ h(−1) > h(x) > h(1), ∀x ∈ (−1; 1).

Để bất phương trình f (x) < ex_{+ m đúng với mọi x ∈ (−1; 1) ⇔ m ≥ h(−1) ⇔ m ≥ f (−1) −} 1
e.

Chọn đáp án C _

Câu 3. Giải bất phương trình log₂(3x − 2) > log₂(6 − 5x) được tập nghiệm là (a; b). Hãy tính tổng
S = a + b.

A S = 8

3. B S =

28

15. C S =

11

5 . D S =

31
6 .

Lời giải.

Điều kiện:
(

6 − 5x > 0

3x − 2 > 0 ⇔







x < 6
5

x > 2
3

⇔ 2

3 < x <

6
5.

log₂(3x − 2) > log₂(6 − 5x) ⇔ 3x − 2 > 6 − 5x ⇔ x > 1.

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là 1 < x < 6
5 ⇒





a = 1

b = 6
5.
Vậy S = a + b = 1 + 6

5 =
11

</div>
<span class='text_page_counter'>(95)</span><div class='page_container' data-page=95>

Chọn đáp án C _

Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [−10; 10] để bất phương trình

Ä

6 + 2√7äx+ (2 − m)Ä3 −√7äx− (m + 1)2x _{≥ 0}
nghiệm đúng ∀x ∈ R?

A 10. B 9. C 12. D 11.

Lời giải.

Chia cả 2 vế của bất phương trình cho 2x _{> 0 ta được}
Ä

3 +√7äx+ (2 − m)
Ç

3 −√7
2

åx

− (m + 1) ≥ 0.

Nhận thấy Ä3 +√7äx·
Ç

3 −√7
2

åx

= 1, do đó đặt t =Ä3 +√7äx(t > 0) ⇒
Ç

3 −√7
2

åx
= 1

t.
Phương trình trở thành

t + (2 − m)1

t − (m + 1) ≥ 0 ⇔ t

2 _{− (m + 1)t + 2 − m ≥ 0}
⇔ t2 _{− t + 2 ≥ m(t + 1)}
⇔ m ≤ t

2_{− t + 2}
t + 1 .

Xét hàm số f (t) = t

2_{− t + 2}

t + 1 trên (0; +∞).

Ta có f0(t) = (2t − 1) (t + 1) − t

2_{+ t − 2}
(t + 1)2 =

t2_{+ 2t − 3}

(t + 1)2 ; f

0_{(t) = 0 ⇔}
"

t = 1

t = −3 .
Bảng biến thiên

t

f0(t)

f (t)

0 1 +∞

− 0 +

2
2

1
1

+∞
+∞

Từ bảng biến thiên ta có m ≤ 1.

Kết hợp điều kiện đề bài có 12 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án C _

Câu 5. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (1; 20) để ∀x ∈ Å 1

3; 1
ã

đều

là nghiệm của bất phương trình log_mx > log_xm?

A 18. B 16. C 17. D 0.

Lời giải.

ĐK 0 < x 6= 1. BPT ⇔ log_mx > 1
log_mx ⇔

(log_mx)2− 1

log_mx > 0. (∗)

Do x ∈Å 1
3; 1

ã

⇒ log_mx < 0. Do đó (∗) ⇔ −1 < log_mx < 1 ⇔ 1

m < x < m

Để mọi x ∈Å 1
3; 1

ã

đều là nghiệm của BPT thì 1
m ≤

1

3 < 1 ≤ m ⇔ m ≥ 3 ⇒ m ∈ {3; 4; . . . ; 19}.

</div>
<span class='text_page_counter'>(96)</span><div class='page_container' data-page=96>

Câu 6. Bất phương trình 6 · 4x− 13 · 6x_{+ 6 · 9}x _{> 0 có tập nghiệm là?}

A S = (−∞; −2) ∪ (1; +∞). B S = (−∞; −1) ∪ (1; +∞).

C S = (−∞; −2] ∪ [2; +∞). D S = (−∞; −1) ∪ (1; +∞).

Lời giải.

Chia cả hai vế của bất phương trình cho 9x _{ta được 6 ·}Å 2
3

ã2x

− 13 ·Å 2

3

ãx

+ 6 > 0.

Đặt Å 2
3

ãx

= t (t > 0). Ta được bất phương trình mới 6t2_{− 13t + 6 > 0 ⇔}





t < 3
2

t > 3
2.

Suy ra






Å 2
3

ãx
< 2

3
Å 2

3
ãx

> 3
2

⇔
"

x > 1

x < −1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (−∞; −1) ∪ (1; +∞).

Chọn đáp án B _

Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình log (2x2_{+ 3) < log (x}2_{+ mx + 1)}
có tập nghiệm là R.

A Vơ số. B 2. C 5. D 0.

Lời giải.

Phương pháp: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình. Giải bất phương trình logarit: log f (x) <

log g(x) ⇔ 0 < f (x) < g(x).

Cách giải:

log 2x2+ 3
< log x2_{+ mx + 1}_{, ∀x ∈ R}

⇔ 0 < 2x2+ 3 < x2 + mx + 1 ⇔ x2_{− mx + 2 < 0, ∀ x ∈ R}

⇔
(

a = 1 < 0

∆ = m2− 8 < 0 vơ nghiệm

.

Vậy khơng có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án D _

Câu 8. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm tất cả các giá trị của m để

phương trình f (4x − x2) = log₂m có 4 nghiệm thực phân biệt.

x

y0

y

−∞ 0 4 +∞

− 0 + 0 −

+∞
+∞

−1
−1

3
3

−∞
−∞

A m ∈ (0; 8). B m ∈Å 1

2; 8

ã

. C m ∈ (−1; 3). D m ∈
Å

0;1
2

ã
.

</div>
<span class='text_page_counter'>(97)</span><div class='page_container' data-page=97>

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f (x), suy ra

f0(4x − x2) = 0 ⇔
"

4x − x2 = 0
4x − x2 = 4 ⇔







x = 0

x = 4

x = 2. (bội hai)

f0(4x − x2) > 0 ⇔ 0 < 4x − x2 < 4 ⇔
(

0 < x < 4

x 6= 2.

Đặt g(x) = f (4x − x2), suy ra g0(x) = (4 − 2x) · f0(4x − x2). Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) như
sau

x

4 − 2x

f0(4x − x2₎
g0(x)

g(x)

−∞ 0 2 4 +∞

+ 0 + 0 − 0 −

− 0 + 0 + 0 −

− 0 + 0 − 0 +

+∞
+∞

g(0)
g(0)

g(2)
g(2)

g(4)
g(4)

+∞
+∞

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số g(x), suy ra phương trình f (4x − x2_{) = log}

2m có 4 nghiệm thực
phân biệt khi và chỉ khi max{g(0); g(4)} < log₂m < g(2).

Ta có g(0) = f (0) = −1, g(4) = f (0) = −1 và g(2) = f (4) = 3.

Vậy −1 < log₂m < 3 ⇔ 1

2 < m < 8.

Chọn đáp án B _

Câu 9. Số nghiệm của phương trình log₄x2_{+ log}

8(x − 6)
3

= log√
2

√
7:

A 0. B 1. C 3. D 2.

Lời giải.

ĐK: x > 6.

Ta có log₄x2+ log₈(x − 6)3 = log√
2

√

7 ⇔ log₂x + log₂(x − 6) = log₂7.
⇔ log₂x(x − 6) = log₂7 ⇔ x(x − 6) = 7 ⇔ x2_{− 6x − 7 = 0 ⇔}

"

x = −1 (l)

x = 7

.

Chọn đáp án B _

Câu 10. Bất phương trình (x3− 9x) ln (x + 5) ≤ 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên ?

A 4 . B 7. C 6. D Vô số.

Lời giải.

Điều kiện xác định x > −5 (*).

Xét (x3− 9x) ln (x + 5) = 0 ⇔
"

x3− 9x = 0
ln (x + 5) = 0

⇔






x = 0

x = ±3

x = −4

(thỏa mãn điều kiện (*)).

</div>
<span class='text_page_counter'>(98)</span><div class='page_container' data-page=98>

x

f (x)

−5 −4 −3 0 3 +∞

+ 0 − 0 + 0 − 0 +

Khi đó f (x) ≤ 0 ⇔ " − 4 ≤ x ≤ −3
0 ≤ x ≤ 3.
Vì x ∈ Z ⇒ x ∈ {−4; −3; 0; 1; 2; 3}.

Chọn đáp án C _

Câu 11. Cho hàm số f (x) = 2x _{− 2}−x_{. Gọi m}

0 là số lớn nhất trong các số nguyên m thỏa mãn
f (m) + f (2m − 212) < 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A m0 ∈ [1; 505]. B m0 ∈ [505; 1009). C m0 ∈ [1009; 1513). D m0 ∈ [1513; 2009).

Lời giải.

Ta có f (x) + f0(x) = e−x ⇔ f (x)ex _{+ f}0_(x)ex _{= 1 ⇔ (f (x)e}x₎0 _{= 1 ⇔ f (x)e}x _{= x + C}
1. Vì
f (0) = 2 ⇒ C1 = 2 ⇒ f (x)e2x = (x + 2)ex nên R f (x)e2xdx = R (x + 2)exdx = R (x + 2)d(ex) =
(x + 2)ex₋_{R e}x_{d(x + 2) = (x + 2)e}x₋_{R e}x_{dx = (x + 2)e}x_{− e}x_{+ C = (x + 1)e}x_{+ C.}

Chọn đáp án D _

Câu 12. Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2 log1

2

|x − 1| < log1
2

x − 1 là

A 3. B Vô số. C 1. D 2.

Lời giải.

Điều kiện 0 < x 6= 1.

2 log1
2

|x − 1| < log1
2

x − 1 ⇔ −2 log₂|x − 1| < − log₂x − 1

⇔ log₂(x − 1)2 > log₂2x ⇔ (x − 1)2 > 2x
⇔ x2_{− 4x + 1 > 0 ⇔}

"

x > 2 +√3

x < 2 −√3
.

Kết hợp với điều kiện ta được

"

0 < x < 2 −√3

x > 2 +√3 . Do x ∈ Z nên x ∈ {4; 5; · · · }.
Vậy bất phương trình có vơ số nghiệm.

Chọn đáp án B _

Câu 13. Tập hợp tất cả các số thực x khơng thỏa mãn bất phương trình 9x2−4+ (x2− 4) · 2019x−2 _{≥ 1}
là khoảng (a; b). Tính b − a.

A 5. B 4. C −5. D −1.

Lời giải.

• Trường hợp 1. x2_{− 4 < 0 ta có 9}x2₋₄

+ (x2_{− 4) · 2019}x−2 _{< 9}0 _{+ 0 · 2019}x−2 _{= 1.}
• Trường hợp 2. x2_{− 4 ≥ 0 ta có 9}x2−4_{+ (x}2_{− 4) · 2019}x−2 _{≥ 9}0_{+ 0 · 2019}x−2 _{= 1.}

Vậy tập hợp các giá trị của x không thỏa mãn bất phương trình là x ∈ (−2; 2) ⇒ a = −2, b = 2 ⇒

b − a = 4.

</div>
<span class='text_page_counter'>(99)</span><div class='page_container' data-page=99>

Câu 14. Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f0(x) có bảng biến thiên như sau

x

f0(x)

−∞ −3 1 +∞

+∞
+∞

−3
−3

0
0

−∞
−∞

Bất phương trình f (x) < ex+ m đúng với mọi x ∈ (−1; 1) khi và chỉ khi
A m ≥ f (1) − e. B m > f (−1) −1

e. C m ≥ f (−1) −

1

e. D m > f (1) − e.
Lời giải.

f (x) < ex_{+ m ⇔ f (x) − e}x_{< m.}
Xét h (x) = f (x) − ex_{, ∀x ∈ (−1; 1).}

h0(x) = f0(x) − ex _{< 0, ∀x ∈ (−1; 1) (Vì f}0_{(x) < 0, ∀x ∈ (−1; 1) và e}x _{> 0, ∀x ∈ (−1; 1)).}
⇒ h (x) nghịch biến trên (−1; 1) ⇒ h (−1) > h (x) > h (1) , ∀x ∈ (−1; 1).

Bất phương trình f (x) < ex+ m đúng với mọi x ∈ (−1; 1) ⇔ m ≥ h (−1) ⇔ m ≥ f (−1) − 1
e.

Chọn đáp án C _

Câu 15. Tất cả các giá trị của m để bất phương trình (3m + 1) .18x+ (2 − m) .6x+ 2x < 0 có nghiệm
đúng ∀x > 0 là:

A (−∞; 2). B
Å

−2; −1
3

ã

. C

Å

−∞; −1
3

ã

. D (−∞; −2].

Lời giải.

(3m + 1) .18x_{+ (2 − m) .6}x_{+ 2}x _{< 0}

Chia 2 vế cho 2x _{> 0, ta được: (3m + 1) .9}x_{+ (2 − m) .3}x_{+ 1 < 0}
Đặt t = 3x_{, có x > 0 ⇒ t > 1}

BPT ⇔ (3m + 1)t2+ (2 − m)t + 1 < 0 ⇔ m(3t2_{− t) + t}2 _{+ 2t + 1 < 0 ⇔ m < −}t

2_{+ 2t + 1}
3t2_{− t}
Xét f (t) = −t

2_{+ 2t + 1}

3t2_{− t} trên [1; ∞)
Có f0(t) = 7t

2_{+ 6t − 1}

(3t2_{− t)}2 > 0 ∀t > 1
⇒ y = f (t) đồng biến trên [1; ∞)
⇒ min

[1;+∞)f (t) = f (1) = −2
Vậy m ≤ −2.

Chọn đáp án D _

Câu 16. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log₂₀₁₈x ≤ log_x2018.

A S = (0; 2018]. B S =

ï ₁

2018; 2018
ò

.

C S =
Å

0; 1

2018
ò

∪ (1; 2018]. D S =

Å

−∞; 1
2018

ị

∪ (1; 2018].

Lời giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(100)</span><div class='page_container' data-page=100>

Phương trình đã cho tương đương với log₂₀₁₈x ≤ 1

log₂₀₁₈x
⇔ (log2018x)

2 _{− 1}

log₂₀₁₈x ≤ 0 ⇔
"

0 < log₂₀₁₈x ≤ 1
log₂₀₁₈x ≤ −1

⇔




1 < x ≤ 2018

0 < x ≤ 1
2018

Chọn đáp án C _

Câu 17. Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

Ä√

10 + 1äx− mÄ√10 − 1äx > 3x+1
nghiệm đúng với mọi x ∈ R là

A m < −7

4. B m < −

9

4. C m < −2. D m < −

11
4 .

Lời giải.

Xét bất phương trình Ä√10 + 1äx− mÄ√10 − 1äx> 3x+1. (1)
Ta có (1) ⇔

Ç √
10 + 1

3
åx

− m
Ç √

10 − 1
3

åx
> 3.

Nhận thấy
√

10 + 1
3 ·

√
10 − 1

3 = 1 ⇒
√

10 − 1
3 =

Ç √
10 + 1

3

å−1
.

Do đó (1) ⇔
Ç √

10 + 1
3

åx
− m

Ç √
10 + 1

3

å−x
> 3.

Đặt t =
Ç √

10 + 1
3

åx

, t > 0. Khi đó (1) trở thành: t − m

t > 3 ⇔ t

2_{− 3t > m.} ₍₂₎
Ta có (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ R khi và chỉ khi (2) nghiệm đúng với mọi t > 0.

Đặt f (t) = t2− 3t ⇒ f0_{(t) = 2t − 3; f}0_{(t) = 0 ⇔ t =} 3
2.
Ta có bảng biến thiên:

t

f0(t)

f (t)

0 3

2 +∞

− 0 +

0
0

−9
4
−9
4

+∞
+∞

Từ bảng biến thiên ta có m < −9
4.

Chọn đáp án B _

Câu 18. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log_x+1(−2x) > 2.

A S = (−1, 0). B S = (−∞, 0).

C S = Ä√3 − 2, 0ä. D S =Ä√3 − 2, +∞ä.

Lời giải.

Điều kiện









x + 1 > 0

x + 1 6= 1

− 2x > 0

⇔ −1 < x < 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(101)</span><div class='page_container' data-page=101>

Khi đó log_x+1(−2x) > 2 ⇔ −2x < (x + 1)2 _{⇔ x}2_{+ 4x + 1 > 0 ⇔}
"

x < −2 −√3

x > −2 +√3

.

Kết hợp điều kiện, suy ra S = Ä√3 − 2, 0ä.

Chọn đáp án C _

Câu 19. Giải bất phương trình sau log1

5(3x − 5) > log
1

5(x + 1).

A 5

3 < x < 3. B −1 < x < 3. C −1 < x <

5

3. D x > 3.

Lời giải.

Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình 0 < 3x − 5 < x + 1 ⇔ 5

3 < x < 3.

Chọn đáp án A _

Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 4x+1 _{− m(2}x_{+ 1) > 0 có nghiệm}

với ∀x ∈ R.

A m ∈ (−∞; 0]. B m ∈ (−∞; 0).

C m ∈ (−∞; 1). D m ∈ (−∞; 0) ∪ (1; +∞).

Lời giải.

Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng m < 4 · 4
x
2x_{+ 1}.
Xét hàm số y = f (t) với t > 0, ta có

Đạo hàm: f0(t) = 4 · t
2_{+ 2t}

(t + 1)2 = 0 ⇔ t = 0; t = −2. Mặt khác, lim_t→0f (t) = 0. Bảng biến thiên
t

f0(t)

f (t)

0 +∞

0 +

0
0

+∞
+∞

Từ bảng biến thiên, ta thu được m ≤ 0.

Chọn đáp án A _

Câu 21. Chị Hoa mua nhà trị giá 300.000.000 đồng bằng tiền vay ngân hàng theo phương thức trả

góp với lãi suất 0, 5%/tháng. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất chị Hoa trả 5.500.000

đồng/tháng. Hỏi sau thời gian bao nhiêu tháng chị Hoa trả hết số tiền trên?

A 64 tháng. B 63 tháng. C 62 tháng. D 65 tháng.

Lời giải.

Gọi A là số tiền vay; a là số tiền góp hàng tháng;
n là số tháng phải góp; r là lãi suất ngân hàng (%).

Ta có a = Ar(1 + r)
n
(1 + r)n_{− 1}
Để trả hết nợ khi a [(1 + r)

n_{− 1]}

r(1 + r)n ≥ 300 (triệu) ⇒ n ≥ log1+r
a

a − Ar ≈ 63.85.
Vậy sau 64 tháng thì chị Hoa trả hết nợ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(102)</span><div class='page_container' data-page=102>

Câu 22. Tìm m để bất phương trình log2x + 3 log x + m ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác
định.

A m ≥ 9

4. B m ≤

9

4. C m <
9

4. D m > −
9
4.

Lời giải.

Điều kiện: x > 0. Đặt t = log x, t ∈ R.
Bất phương trình trở thành t2_{+ 3t + m ≥ 0}
⇔ m ≥ −t2_{− 3t (2).}

Bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x thuộc tập

xác định ⇔ (2) có nghiệm đúng với mọi t ∈ R.
Xét f (t) = −t2_{− 3t với t ∈ R.}

Ta có: f (t)0 = −2t − 3; f0(t) = 0 ⇔ t = −3
2.
Từ bảng biến thiên suy ra m ≥ 9

4.

t

f0(t)

f (t)

−∞ −3

2 +∞

+ 0 −

−∞
−∞

9
4
9
4

+∞
+∞

Chọn đáp án A _

Câu 23. Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trìnhÅ 1

3
ã

√

x2_−3x−10

> 32−x_{. Tìm}
số phần tử của S.

A 11. B 0. C 9. D 1.

Lời giải.

Å 1
3

ã
√

x2_−3x−10

> 32−x ⇔ √x2_{− 3x − 10 < x − 2}

⇔










x − 2 > 0

x2− 3x − 10 ≥ 0

x2− 3x − 10 < (x − 2)2

⇔















x > 2

"

x ≥ 5

x ≤ −2

x < 14
⇔ 5 ≤ x < 14.

⇒ x ∈ {5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13}.

Chọn đáp án C _

Câu 24. Một người sử dụng xe máy có giá trị ban đầu là 40 triệu đồng. Sau mỗi năm, giá trị xe giảm

10% so với năm trước đó. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì giá trị xe nhỏ hơn 12 triệu đồng?

A 9. B 10. C 11. D 12.

Lời giải.

Giá trị xe sau năm thứ nhất là:

40 − 40 · 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(103)</span><div class='page_container' data-page=103>

40 − 40 · 1
10−

Å

40 − 40 · 1
10

ã ₁

10 =
Å

40 − 40 · 1
10

ã Å
1 − 1

10
ã

triệu đồng.

Giá trị xe sau năm thứ ba là:
Å

40 − 40 · 1
10

ã Å
1 − 1

10
ã

−
Å

40 − 40 · 1
10

ã Å
1 − 1

10
ã ₁

10 =
Å

40 − 40 · 1
10

ã Å
1 − 1

10
ã2
. . .

Suy ra giá xe sau năm thứ n là:
Å

40 − 40 · 1
10

ã Å
1 − 1

10
ãn−1

.

Å

40 − 40 · 1
10

ã Å
1 − 1

10
ãn−1

< 12 ⇔ 36 ·Å 9
10

ãn−1

< 12 ⇔Å 9
10

ãn−1
< 1

3 ⇔ n − 1 > log109
1
3
⇔ n > 1 − log9

10 3 > 11,4.

Vậy sau ít nhất 12 năm thì giá xe nhỏ hơn 12 triệu đồng.

Chọn đáp án D _

Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình log1

3

(x2_{− 3x + m) <}
log1

3

(x − 1) có tập nghiệm chứa khoảng (1; +∞). Tìm tập S.

A S = (3; +∞). B S = [2; +∞). C S = (−∞; 0). D S = (−∞; 1].

Lời giải.

Ta có

log1
3

(x2− 3x + m) < log1
3

(x − 1)

⇔
(

x > 1

x2− 3x + m > x − 1.

Xét x2_{− 3x + m > x − 1 ⇔ m > −x}2_{+ 4x − 1 ⇔ m > −(x − 2)}2_{+ 3. Đặt f (x) = −(x − 2)}2_{+ 3. Ta}
có bảng biến thiên như sau:

x

f (x)

1 2 +∞

2
2

3

3

−∞
−∞

Yêu cầu bài toán ⇔ m > max

(1;+∞)f (x) ⇔ m > 3.

Chọn đáp án A _

Câu 26. Bất phương trình log₄(x + 7) > log₂(x + 1) có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A 3. B 1. C 4. D 2.

Lời giải.

Điều kiện xác định x > −1.

log₄(x + 7) > log₂(x + 1) ⇔ log₂√x + 7 > log₂(x + 1) ⇔√x + 7 > x + 1 ⇔ −3 < x < 2.
Kết hợp với điều kiện, suy ra −1 < x < 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(104)</span><div class='page_container' data-page=104>

Câu 27. Bất phương trình ln (2x2+ 3) > ln (x2+ ax + 1) nghiệm đúng với mọi số thực x khi
A −2√2 < a < 2√2. B 0 < a < 2√2. C 0 < a < 2. D −2 < a < 2.

Lời giải.

ln (2x2 _{+ 3) > ln (x}2_{+ ax + 1) nghiệm đúng với mọi số thực x}
⇔

(

x2+ ax + 1 > 0

2x2+ 3 > x2 + ax + 1∀x ∈ R
⇔

(

x2+ ax + 1 > 0

x2− ax + 2 > 0∀x ∈ R ⇔
(

a2− 4 < 0

a2− 8 < 0 ⇔ −2 < a < 2.

Chọn đáp án D _

Câu 28. Biết rằng bất phương trình log₂(5x _{+ 2) + 2 log}

5x₊₂2 > 3 có tập nghiệm là
S = (log_ab; +∞), với a, b là các số nguyên dương nhỏ hơn 6 và a 6= 1. Tính P = 2a + 3b.

A P = 16. B P = 7. C P = 11. D P = 18.

Lời giải.

Ta có

log₂(5x+ 2) + 2 log₅x₊₂2 > 3
⇔ log₂(5x+ 2) + 2 1

log₂(5x_{+ 2)} > 3
⇔ log2

2(5

x_{+ 2) − 3 log}
2(5

x_{+ 2) + 2 > 0}

⇔
"

log₂(5x+ 2) < 1
log₂(5x+ 2) > 2

⇔
"

5x+ 2 < 2
5x+ 2 > 4
⇔5x > 2
⇔x > log₅2.

Kết hợp với điều kiện a, b là các số nguyên dương nhỏ hơn 6 nên ta tìm được a = 5, b = 2.

Và do đó, P = 16.

Chọn đáp án A _

Câu 29. Bất phương trình 2x+2+ 8 · 2−x− 33 < 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A Vô số. B 6. C 7. D 4.

Lời giải.

Ta có

2x+2+ 8.2−x− 33 < 0 ⇔ 4 · 22x_{− 33 · 2}x_{+ 8 < 0}
⇔ 1

4 < 2

x _{< 8 ⇔ −2 < x < 3.}

Suy ra bất phương trình có 4 nghiệm ngun S = {−1, 0, 1, 2}.

</div>
<span class='text_page_counter'>(105)</span><div class='page_container' data-page=105>

Câu 30. Tập nghiệm của bất phương trình 3 log₂(x + 3) − 3 ≤ log₂(x + 7)3− log₂(2 − x)3 là S = (a; b).
Tính P = b − a.

A 5. B 2. C 3. D 1.

Lời giải.

Điều kiện xác định −3 < x < 2.

Khi đó bất phương trình tương đương với

log₂((x + 3)(2 − x)) ≤ log₂(2(x + 7))

⇔x2_{+ 3x + 8 ≥ 0 ( luôn đúng với x thuộc tập xác định).}
Vậy tập nghiệm của bất phương trình S = (−3; 2). Do đó P = b − a = 5.

Chọn đáp án A _

Câu 31. Bất phương trình log₄(x + 7) > log₂(x + 1) có tập nghiệm là

A (−1; 2). B (2; 4). C (−3; 2). D (5; +∞).

Lời giải.

Điều kiện: x > −1.

BPT tương đương với

log₄(x + 7) > log₄(x + 1)2 _{⇔ x + 7 > (x + 1)}2 _{⇔ x}2_{+ x − 6 < 0 ⇔ −3 < x < 2.}
Kết hợp điều kiện có tập nghiệm (−1; 2).

Chọn đáp án A _

Câu 32. Cho dãy số (un) thỏa mãn 2 log u1+
√

3 log u9− 2 log u1+ 2 = 3 log u9 và un+1 = 3un với mọi
n ≥ 1. Giá trị nhỏ nhất của n để un> 10050 bằng

A 230. B 248. C 247. D 231.

Lời giải.

Điều kiện
(

u1 > 0

3 log u9− 2 log u1+ 2 ≥ 0
.

2 log u1+
√

3 log u9− 2 log u1+ 2 = 3 log u9 ⇔
√

3 log u9− 2 log u1+ 2 = 3 log u9− 2 log u1
⇔√3 log u9− 2 log u1+ 2 = 2 ⇔ 3 log u9− 2 log u1− 2 = 0.

(un) là cấp số nhân với công bội q = 3 ⇒ u9 = 38u1.

3 log u9− 2 log u1− 2 = 0 ⇔ 3 log(38u1) − 2 log u1− 2 = 0 ⇔ log u1 = 2 − log 324 ⇔ u1 = 102· 3−24.
Số hạng tổng quát của (un) là un= 100 · 3n−25 (n ∈ N∗).

un > 10050⇔ n − 25 > 49 · log3100 ⇒ n > 230, 4.

Vậy giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn yêu cầu bài toán là n = 231.

Chọn đáp án D _

Câu 33. Có tất cả bao nhiêu cặp số thực (x; y) thỏa mãn đồng thời các điều kiện 3|x2−2x−3|−log35 =
5−(y+4) và 4|y| − |y − 1| + (y + 3)2 _{≤ 8.}

A 3. B 2. C 1. D 4.

Lời giải.

Ta có 5−(y+4)= 3|x2−2x−3|−log35 ≥ 3− log35 ⇒ 5−(y+4) ≥ 5−1 ⇒ −(y + 4) ≥ −1 ⇒ y ≤ −3. Dấu "=" xảy
ra khi và chỉ khi |x2− 2x − 3| = 0 ⇔

"

x = −1

</div>
<span class='text_page_counter'>(106)</span><div class='page_container' data-page=106>

Khi đó 4|y| − |y − 1| + (y + 3)2 ≤ 8 ⇔ −4y − (1 − y) + y2_{+ 6y + 9 ≤ 8 ⇔ y}2_{+ 3y ≤ 0 ⇔ −3 ≤ y ≤ 0.}
Kết hợp với điều kiện y ≤ −3 ta suy ra y = −3.

Với y = −3, ta có
"

x = −1

x = 3.

Vậy có đúng hai cặp số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán là
(

x = −1

y = −3 và
(

x = 3

y = −3.

Chọn đáp án B _

Câu 34. Có bao nhiêu số nguyên m sao cho bất phương trình ln 5 + ln(x2_{+ 1) ≥ ln(mx}2 _{+ 4x + m)}

có tập nghiệm là R.

A 3. B 4. C 1. D 2.

Lời giải.

Ta có

ln 5 + ln(x2+ 1) ≥ ln(mx2+ 4x + m) ⇔
(

5(x2+ 1) ≥ mx2+ 4x + m
mx2+ 4x + m > 0

⇔
(

(5 − m)x2− 4x + 5 − m ≥ 0 (1)

mx2+ 4x + m > 0 (2).

Bất phương trình có tập nghiệm R ⇔ (1), (2) có tập nghiệm là R.
• Với m = 5, (1) ⇔ −4x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 ⇒ m = 5 khơng thỏa mãn.
• Với m = 0, (2) ⇔ 4x > 0 ⇔ x > 0 ⇒ m = 0 khơng thỏa mãn.
• Với m 6= 0, 5, ta có (1), (2) có tập nghiệm R

⇔















5 − m > 0

∆0₁ ≤ 0
m > 0

∆0₂ < 0
⇔










0 < m < 5

4 − (5 − m)2 ≤ 0
4 − m2 < 0

⇔









0 < m < 5

m ∈ (−∞; 3] ∪ [7; +∞)

m ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞)

⇔ m ∈ (2; 3].

Vậy có 1 số nguyên m thỏa mãn.

Chọn đáp án C _

Câu 35. Tìm tập xác định D của hàm số y = qlog_√π

13

(2x − 1).

A D = (1; +∞). B D = [1; +∞). C D =Å 1
2; 1

ã

. D D = Å 1

2; 1

ò
.

Lời giải.

Điều kiện

log_√π

13

(2x − 1) ≥ 0

⇔ 0 < 2x − 1 ≤ 1 ⇔ 1

2 < x ≤ 1.

Vậy D = Å 1
2; 1

ò
.

</div>
<span class='text_page_counter'>(107)</span><div class='page_container' data-page=107>

Câu 36. Cho dãy số (un) thỏa mãn log3u1 − 2 log2u1+ log u1− 2 = 0 và un+1 = 2un+ 10 (với mọi
n ∈ N∗). Giá trị nhỏ nhất của n để un> 10100− 10 bằng

A 326. B 327. C 325. D 324.

Lời giải.

Điều kiện u1 > 0.
Vì

(
u1 > 0

un+1= 2un+ 10

⇒ un> 10 với mọi n ∈ N∗ ⇒ log u1 > 1.

Ta có log3u1− 2 log2u1+ log u1− 2 = 0 ⇔






log u1 = 1 (loại)
log u1 = 1 −

√

3 (loại)

log u1 = 1 +
√

3 (thỏa mãn)

⇒ u1 = 10 · 10
√

3_.

Ta có

u2 = 2 · 10 · 10
√

3_{+ 10 = 10(2}1_{· 10}√3_{+ 2}0₎
u3 = 2 · 10 · (21· 10

√

3_{+ 2}0_{) + 10 = 10(2}2_{· 10}√3_{+ 2}1₎
. . .

⇒un= 10(2n−1· 10
√

3_{+ 2}n−2₎

Vì un > 10100− 10 ⇒ 10(2n−1· 10
√

3_{+ 2}n−2_{) > 10}100_{− 10 ⇒ 2}n−2 _> 10
99_{− 1}
2 · 10

√

3_{+ 1} ⇒ n > 324,2.

Chọn đáp án C _

Câu 37. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình log₂x + log₃x ≥ 1 + log₂x · log₃x.

A 1. B 2. C 3. D Vô số.

Lời giải.

Điều kiện x > 0.

Ta có

log₂x + log₃x ≥ 1 + log₂x · log₃x
⇔ (log₂x − 1) (log₃x − 1) ≤ 0
⇔

(

log₂x ≤ 1

log₃x ≥ 1 (1) hoặc
(

log₂x ≥ 1

log₃x ≤ 1 (2).
Khi đó,

(1) ⇔
(

0 < x ≤ 2

x ≥ 3

(vơ nghiệm).

(2) ⇔
(

x ≥ 2

0 < x ≤ 3

⇔ 2 ≤ x ≤ 3.

Vậy bất phương trình có hai nghiệm ngun là x = 2, x = 3.

Chọn đáp án B _

Câu 38. Cho dãy số un= 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n!. Số n lớn nhất để log
un

2018! nhận giá trị âm là

A 2016. B 2017. C 2019. D 2018.

</div>
<span class='text_page_counter'>(108)</span><div class='page_container' data-page=108>

Với mọi số nguyên dương k ta có

k · k! = (k + 1 − 1) · k! = (k + 1) · k! − k! = (k + 1)! − k!.

Áp dụng kết quả trên ta có

un = 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n!

= (2! − 1!) + (3! − 2!) + · · · + [(n + 1)! − n!]

= (n + 1)! − 1! = (n + 1)! − 1.

Ta có

log un

2018! < 0 ⇔ 0 <
un

2018! < 1 ⇔ 0 < un < 2018! ⇔ 0 < (n + 1)! − 1 < 2018!
⇔ 1 < (n + 1)! < 2018! + 1 ⇔ n ∈ {1; 2; . . . ; 2017}.

Vậy số n lớn nhất để log un

2018! nhận giá trị âm là 2017.

Chọn đáp án B _

Câu 39. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [0; 10] để tập nghiệm của bất phương trình

»

log2₂x + 3 log1
2 x

2_{− 7 < m (log}

4x2− 7) chứa khoảng (256; +∞)?

A 7. B 10. C 8. D 9.

Lời giải.

Xét trên (256; +∞), khi đó bất phương trình tương đương

»

log2₂x − 6 log₂x − 7 < m (log₂x − 7) (1).
Đặt t = log₂x với x > 256 ⇒ t = log₂x > 8.

(1) ⇔√t2_{− 6t − 7 < m(t − 7)}
⇔»(t + 1)(t − 7) < m(t − 7)

⇔√t + 1 < m√t − 7

⇔… t + 1

t − 7 < m (∗)(do t − 7 > 1 > 0).

Bất phương trình đã cho có tập nghiệm chứa (256; +∞) khi và chỉ khi (*) nghiệm đúng với mọi t > 8.

Ta có ∀t > 8 thì t + 1

t − 7 = 1 +
8

t − 7 ⇒ 1 <
t + 1

t − 7 < 1 +
8

8 − 7 = 9 ⇒ 1 <

… t + 1
t − 7 < 3.

Từ đó tìm được điều kiện của tham số m là m ≥ 3. Vậy có 8 giá trị ngun cần tìm là 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Chọn đáp án C _

Câu 40. Tập nghiệm của bất phương trình log1

2
Å

log₂ 3x − 1
x + 1

ã

≤ 0 là

A (−1; 3]. B (−1; +∞).

C [3; +∞). D (−1; +∞) ∪ [3; +∞).

Lời giải.

log1
2

Å

log₂ 3x − 1
x + 1

ã

≤ 0 ⇔ 3x − 1

x + 1 ≥ 2 ⇔
x − 3

x + 1 ≥ 0 ⇔ x ∈ (−1; +∞) ∪ [3; +∞).

</div>
<span class='text_page_counter'>(109)</span><div class='page_container' data-page=109>

Câu 41. Cho log_b(a + 1) > 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A (b − 1)a > 0. B a + b < 1. C a + b > 1. D a(b + 1) > 0.

Lời giải.

Ta có log_b(a + 1) > 0 ⇔










0 < b 6= 1

a + 1 > 0

(a + 1 − 1)(b − 1) > 0
⇔










b > 0

a > −1

a(b − 1) > 0
.

Chọn đáp án A _

Câu 42. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình (3m + 1)12x+ (2 − m)6x+ 3x _{6 0}

có nghiệm đúng với ∀x > 0.

A m < −2. B m > −2. C m_{6 −2.} D m_{> −2.}

Lời giải.

Bất phương trình tương đương

(3m + 1)12x+ (2 − m)6x+ 3x_{6 0, ∀x > 0}
⇔ (3m + 1)4x_{+ (2 − m)2}x

+ 1 6 0 ∀x > 0
⇔ (3m + 1)t2

+ (2 − m)t + 1 6 0, t = 2x > 1
⇔ m ≤ −t

2_{− 2t − 1}

3t2_{− t} , t > 1

Xét hàm số f (t) = −t

2_{− 2t − 1}

3t2_{− t} , với t > 1.
Ta có f0(t) = 7t

2_{+ 6t − 1}

t2_{(3t − 1)}2 = 0 ⇔




t = −1

t = 1
7

. Ta loại cả hai nghiệm này.

Mặt khác, lim

t→1+f (t) = −2.
Bảng biến thiên

t
f0(t)

f (t)

1 +∞

0 +

−2
−2

+∞

+∞

Từ bảng biến thiên suy ra m ≤ −2.

Chọn đáp án C _

Câu 43. Xét bất phương trình log2₂2x − 2(m + 1) log₂x − 2 < 0. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng Ä√2; +∞ä.

A m ∈ (−∞; 0). B m ∈
Å

−3
4; 0

ã

. C m ∈

Å

−3

4; +∞

ã

. D m ∈ (0; +∞).

Lời giải.

Đặt t = log₂x, do x ∈Ä√2; +∞ä ⇒ t > 1
2.

Khi đó ta cần tìm tham số m để bất phương trình t
2_{− 1}

2t < m có nghiệm
ï 1

2; +∞
ã

</div>
<span class='text_page_counter'>(110)</span><div class='page_container' data-page=110>

Suy ra min

x∈D f (t) < m. Với f (t) =
t2− 1

2t =
1
2t −

1
2t ⇒ f

0_{(t) =} 1
2 +

1
2t2 > 0.

Suy ra m > min

x∈D f (t) = f
Å 1

2
ã

= −3
4.

Chọn đáp án C _

Câu 44. Cho bất phương trình 2x2+x_{+ 2x ≤ 2}3−x_{− x}2 _{+ 3 có tập nghiệm là [a; b] , a < b. Giá trị của}
T = 2a + b là

A T = 1. B T = −5. C T = 3. D T = −2.

Lời giải.

Tập xác định D = R. Ta có 2x2+x+ 2x ≤ 23−x− x2_{+ 3 ⇔ 2}x2_+x

+ x2+ x ≤ 23−x+ 3 − x. (1)
Xét hàm số f (t) = 2t+ t, f0(t) = 2t_{· ln 2 + 1 > 0, ∀t ∈}_D.

Do đó (1) ⇔ x2_{+ x ≤ 3 − x ⇔ −3 ≤ x ≤ 1 ⇒ a = −3, b = 1 ⇒ T = −5.}

Chọn đáp án B _

Câu 45. Tập nghiệm của bất phương trình log1

3

(x2_{− 6x + 5) + log}

3(x − 1) ≥ 0 là

A S = (5; 6]. B S = [1; 6]. C S = (5; +∞). D S = (1; +∞).

Lời giải.

Điều kiện của bất phương trình là
(

x − 1 > 0

x2− 6x + 5 > 0 ⇔









x > 1

"
x < 1

x > 5

⇔ x > 5.

Với x > 5, ta có:

log1
3

(x2 _{− 6x + 5) + log}

3(x − 1) ≥ 0 ⇔ − log3(x2− 6x + 5) + log3(x − 1) ≥ 0
⇔ log x − 1

x2_{− 6x − 5} ≥ 0 ⇔

x − 1

(x − 1)(x − 5) ≥ 1 ⇔
1

x − 5 ≥ 1 ⇔ x − 5 ≤ 1 ⇔ x ≤ 6

Kết hợp với điều kiện, suy ra nghiệm của bất phương trình là
(

x > 5

x ≤ 6 ⇔ 5 < x ≤ 6.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (5; 6].

Chọn đáp án A _

Câu 46. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình log4₂x − log21
2

Å x3
8

ã

+ 9 log₂ 32

x2
< 4 log
2
2−1x
là

A x = 7. B x = 8. C x = 4. D x = 1.

Lời giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(111)</span><div class='page_container' data-page=111>

log4₂x − log21
2

Å x3
8

ã

+ 9 log₂ _x322
< 4 log
2
2−1x
⇔ log4

2x − log2x

3_{− log}
28

2

+ 9 log₂32 − log₂x2
< 4 log2
2x
⇔ log4₂x − (3 log₂x − 3)2+ 9 (5 − 2 log₂x) − 4 log2₂x < 0
⇔ log4₂x − 13 log2₂x + 36 < 0

⇔ (t2_{− 9)(t}2_{− 4) < 0( với t = log}
2x)
⇔" − 3 < t < −2

2 < t < 3

⇔" − 3 < log2x < −2
2 < log₂x < 3

⇔



1

8 < x <
1
4
4 < x < 8.

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình đã cho là x = 7.

Chọn đáp án A _

Câu 47. Bất phương trình log_x(log₃(9x_{− 72)) ≤ 1 có tập nghiệm là}

A S = (1; 2]. B S =Älog₃√72; 2ó. C S =Älog₃√73; 2ó. D S = (−∞; 2].

Lời giải.

Điều kiện của bất phương trình đã cho là
(

9x− 72 > 0

log₃(9x− 72) > 0 ⇔
(

9x− 72 > 0
9x− 72 > 1 ⇔

(

9x > 72

9x > 73 ⇔ x >
log₃√73 (∗). Khi đó, ta có

log_x(log₃(9x− 72)) ≤ 1 ⇔ log₃(9x− 72) ≤ x
⇔ 32x_{− 72 ≤ 3}x _{⇔ 3}2x_{− 3}x_{− 72 ≤ 0}

⇔ −8 ≤ 3x ≤ 9 ⇔ x ≤ 2.

Kết hợp với điều kiện (∗), suy ra nghiệm của bất phương trình là log₃√73 < x ≤ 2.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = Älog₃√73; 2ó.

Chọn đáp án C _

Câu 48. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log₄(x2_{− x − m) ≥}

log₂(x + 2) có nghiệm.

A (−∞; 6]. B (−∞; 6). C (−2; +∞). D [−2; +∞).

Lời giải.

Ta có

log₄(x2− x − m) ≥ log₂(x + 2) ⇔ 1

2log4(x

2_{− x − m) ≥ log}

2(x + 2)
⇔

(

x + 2 > 0

x2− x − m ≥ (x + 2)2 ⇔
(

x > −2

m ≤ −5x − 4

</div>
<span class='text_page_counter'>(112)</span><div class='page_container' data-page=112>

x

f0(x)

f (x)

−2 +∞

−

6
6

−∞

−∞

Dựa vào bảng biến thiên ta có m < 6.

Chọn đáp án B _

Câu 49. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình √25 − x2_(log

2(x2− 4x + 5) − 1) ≤ 0

A 6. B 5. C 4. D 3.

Lời giải.

Điều kiện: x ∈ [−5; 5].

Trường hợp 1: 25 − x2 _{= 0 ⇔ x = ±5 là nghiệm của bất phương trình.}

Trường hợp 2: Với x ∈ (−5; 5) thì√25 − x2 _{> 0. Khi đó bất phương trình tương đương log}

2(x2− 4x + 5)−
1 ≤ 0 ⇔ log₂(x2_{− 4x + 5) ≤ 1 ⇔ x}2_{− 4x + 5 ≤ 2 ⇔ x}2_{− 4x + 3 ≤ 0.}

⇔ 1 ≤ x ≤ 3. Vì x ∈ Z nên x ∈ {1; 2; 3}.

Vậy bất phương trình đã cho có 5 nghiệm ngun.

Chọn đáp án B _

Câu 50. Gọi S là tập hợp các số nguyên dương của tham số m sao cho bất phương trình

4x− m · 2x_{− m + 15 ≥ 0 có nghiệm với mọi x ∈ [1; 2]. Tính số phần tử của S.}

A 7. B 4. C 9. D 6.

Lời giải.

Đặt t = 2x _{để 1 ≤ x ≤ 2 suy ra 2 ≤ t ≤ 4. Bài toán trở thành tìm m để bất phương trình}
t2− mt − m + 15 ≥ 0 (∗) ∀t ∈ [2; 4]

Xét t ∈ [2; 4] ta có

t2− mt − m + 15 ≥ 0 ⇔ t2_{+ 15 ≥ m (t + 1) ⇔} t
2 _{+ 15}

t + 1 ≥ m

Mà t
2_{+ 15}
t + 1 =

(t + 1)2− 2 (t + 1) + 16

t + 1 = t + 1 +
16

t + 1− 2. Do t + 1 > 0 nên theo bất đẳng thức AM
-GM ta có

t + 1 + 16

t + 1 ≥ 2

 

(t + 1) · 16

(t + 1) ⇔ (t + 1) +
16

t + 1 ≥ 8 ⇔ t + 1 +
16

t + 1 − 2 ≥ 6

Dấu đẳng thức xảy ra khi t + 1 = 16

t + 1 ⇔ (t + 1)
2

= 16 ⇔ t + 1 = 4 ⇔ t = 3.

Suy ra min
t∈[2;4]

Å t2_{+ 15}
t + 1

ã

= 6. Để (∗) đúng với mọi t ∈ [2; 4] khi m ≤ 6.

Tập hợp S = {1,2,3,4,5,6}.

</div>
<span class='text_page_counter'>(113)</span><div class='page_container' data-page=113>

Câu 51. Tập hợp các giá trị của m để bất phương trình √2x_{+ 2 +}√_{6 − 2}x _{≥ m có nghiệm là}
A 2√2 ≤ m ≤ 4. B 0 ≤ m ≤ 2√2. C m ≥ 4. D m ≤ 4.

Lời giải.

Đặt 2x _{= t. Vì 6 − 2}x _{≥ 0 nên ta có điều kiện 0 < t ≤ 6. Xét hàm số f (t) =}√_{t + 2 +}√_{6 − t trên (0; 6].}
Ta có: f0(t) = 1

2√t + 2 −
1
2√6 − t; f

0_{(t) = 0 ⇔ t = 2.}
Xét bảng biến thiên

t

f0(t)

f (t)

0 2 6

+ 0 −

√

2 +√6
√

2 +√6

4
4

2√2
2√2

Ta thấy f (t) ≤ 4 với mọi t ∈ (0; 6]. Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm thì m ≤ 4.

Chọn đáp án D _

Câu 52. Do có nhiều cố gắng trong học kỳ 1 năm học lớp 12, Hoa được bố mẹ cho chọn một phần

thưởng dưới 5 triệu đồng. Nhưng Hoa muốn mua một cái Laptop 10 triệu đồng nên bố mẹ đã cho Hoa

5 triệu đồng gửi vào ngân hàng (vào ngày 1 tháng 1 năm 2018) với lãi suất 1% trên tháng, đồng thời

ngày đầu tiên mỗi tháng (bắt đầu từ ngày 1 tháng 2 năm 2018) bố mẹ sẽ cho Hoa 300000 đồng và
cũng gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất 1% trên tháng. Biết hàng tháng Hoa không rút lãi ra và tiền

lãi được cộng vào vốn cho tháng sau, chỉ rút vốn vào cuối tháng mới được tính lãi của tháng ấy. Hỏi

ngày nào trong các ngày dưới đây là ngày gần nhất với ngày 1 tháng 2 năm 2018 mà bạn Hoa có đủ

tiền để mua Laptop?

A Ngày 15.3.2019 . B Ngày 15.5.2019 . C Ngày 15.4.2019 . D Ngày 15.6.2019 .

Lời giải.

Đặt A = 5000000, r = 1%, B = 300000.

Số tiền Hoa nhận được vào cuối tháng thứ n là

A(1 + r)n+1+B

r [(1 + r)

n_{− 1] (1 + r).}

Với yêu cầu bài toán

A(1 + r)n+1+B

r [(1 + r)

n_{− 1] (1 + r) > 10}7
⇔ 5 · 106_{· (1,01)}n+1_{+ 303 · 10}5_[1,01n_{− 1] > 10}7
⇔ 3535 · 104_{· 1,01}n _{> 403 · 10}5

⇔ 1,01n_> 806
707
⇔ n > 13,1.

Vậy sau 13 tháng hay 1 năm 1 tháng thì Hoa có đủ số tiền.

</div>
<span class='text_page_counter'>(114)</span><div class='page_container' data-page=114>

Câu 53. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m · 4x2−2x−1− (1 − 2m) · 10x2_−2x−1
+

m · 25x2−2x−1≤ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ï 1
2; 2

ò
.

A m < 0. B m ≥ 100

841. C m ≤
1

4. D m ≤

100

841.

Lời giải.

m · 4x2−2x−1− (1 − 2m) · 10x2_−2x−1

+ m · 25x2−2x−1≤ 0
⇔ m − (1 − 2m) ·Å 5

2

ãx2−2x−1

+ m ·Å 5
2

ã2(x2−2x−1)

≤ 0 (1).

Đặt t =Å 5
2

ãx2−2x−1

, t > 0.

Xét u(x) = x2− 2x − 1, ∀x ∈ï 1
2; 2

ò
.

u0(x) = 2x − 2; u0(x) = 0 ⇔ x = 1.
uÅ 1

2
ã

= −7

4; u(1) = −2; u(2) = −1 ⇒ minx∈[1₂;2]

u(x) = −2; max
x∈[1₂;2]

u(x) = −1.

⇒ 4

25 ≤ t ≤
2
5.

Khi đó (1) ⇔ m − (1 − 2m)t + mt2 _{≤ 0 ⇔ m ≤} t
t2_{+ 2t + 1}.
Xét hàm số f (t) = t

t2_{+ 2t + 1}, t ∈
ï 4

25;
2
5
ò

.

f0(t) = −t
2_{+ 1}

(t2_{+ 2t + 1)}2 > 0, ∀t ∈

ï 4

25;
2
5
ò

.

⇒ min
x∈[₂₅4;2₅]

f (t) = fÅ 4
25

ã

= 100
841.

Vậy m ≤ 100

841 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈
ï 1

2; 2
ò

.

Chọn đáp án D _

Câu 54. Bất phương trình 5(log5x)
2

+ xlog5x ≤ 10 có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A 5. B 6. C 8. D 9.

Lời giải.

Điều kiện x > 0. Đặt t = log₅x ⇒ x = 5t, ta có

5(log5x)2 _{+ x}log5x _{≤ 10}
⇔ 5t2 _{+ 5}t
t

≤ 10

⇔ 5t2
≤ 5

⇔ t2 ≤ 1

⇒ − 1 ≤ log₅x ≤ 1
⇔ 1

5 ≤ x ≤ 5

⇒ x ∈1; 2; 3; 4; 5, ( vì x ∈ Z).

</div>
<span class='text_page_counter'>(115)</span><div class='page_container' data-page=115>

Câu 55. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình 9x − (m + 1)3x _{+ 2m − 2 = 0 có hai}
nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn (x1+ 1)(x2+ 1) ≤ 3?

A 0. B 1. C 2. D 3.

Lời giải.

Ta thấy

9x− (m + 1)3x+ 2m − 2 = 0 (1)

⇔
"

3x = 2
3x = m − 1.

Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 ⇔
(

m > 1

m 6= 3. (2)

Ta thấy

(x1+ 1) · (x2+ 1) ≤ 3

⇒ [log₃(m − 1) + 1] · (log₃2 + 1) ≤ 3
⇔ log₃6 · log₃[3 · (m − 1)] ≤ log₃27

⇔ log₃[3 · (m − 1)] ≤ log₆27

⇒ log₃[3 · (m − 1)] < 2
⇒ 3 · (m − 1) < 9

(2)
⇒

(

1 < m < 4

m 6= 3

⇒ m = 2.

Chọn đáp án B _

Câu 56. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 22x2_−15x+100

−2x2_+10x−50

+x2_{−25x+150 < 0.}

A 6. B 4. C 5. D 3.

Lời giải.

Bất phương trình đã cho tương đương với

22x2−15x+100+ 2x2− 15x + 100 < 2x2_+10x−50

+ x2+ 10x − 50 (∗)

Xét hàm số f (t) = 2t_{+ t với t ∈ R, ta có f}0(t) = 2tln 2 + 1 > 0 _{∀t ∈ R, do đó f(t) đồng biến trên R.}
Mà bất phương trình (∗) tương đương với

f (2x2− 15x + 100) < f (x2_{+ 10x − 50)}
⇔ x2− 25x + 150 < 0

⇔ 10 < x < 15.

Vậy bất phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên.

</div>
<span class='text_page_counter'>(116)</span><div class='page_container' data-page=116>

Câu 57. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

log₂ x
2
log₂x −

log₂x2

log₂x − 1 ≤ 1.
A

Å
0;1

2
ị

∪Ä1;√2ó∪ (2; +∞). B
Å

0;1
2
ị

∪Ä1;√2ó.

C
Å

0;1

2
ị

∪ỵ√2; +∞ä. D

Å
0;1

2
ị

∪ [1; +∞).

Lời giải.

Điều kiện xác định x > 0, x 6= 1, x 6= 2.

Đặt t = log₂x, ta được

t − 1
t −

2t

t − 1 ≤ 1 ⇔

(2t − 1)(t + 1)

t(t − 1) ≥ 0 ⇔







t ≤ −1

0 < t ≤ 1
2
t > 1.

Do đó







log₂x ≤ −1
0 < log₂x ≤ 1

2
log₂x > 1

⇔







0 < x ≤ 1
2
1 < x ≤√2

x > 2

.

Như vậy S =
Å

0;1
2
ị

∪ỵ√2; +∞ä.

Chọn đáp án C _

Câu 58.

Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f0(x) có đồ thị như hình bên.
Hàm số y = f (10 − 2x) đồng biến trên khoảng

A (2; 4). B (log₂6; 4).

C (−∞; 2). D (log₂11; +∞). x

y

−1 0 2 4

Lời giải.

Ta có y0 = −2xln 2f0(10 − 2x).

Xét y0 > 0 ⇔ −2xln 2f0(10 − 2x) > 0 ⇔ f0(10 − 2x) < 0.
Dựa vào đồ thị ta thấy f0(10 − 2x_{) < 0 khi và chỉ khi}

" − 1 < 10 − 2x_{< 2}
10 − 2x > 4

⇔" − 11 < −2

x _{< −8}
− 2x > −6

⇔
"

log₂11 > x > 3
x < log₂6 ' 2,6.
Vậy hàm số y = f (10 − 2x_{) đồng biến trên khoảng (−∞; 2).}

Chọn đáp án C _

Câu 59. Tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình log₂ √3x + 1 + 6
−1 ≥ log₂ 7 −√10 − x
.

A 1 ≤ x ≤ 369

49. B x ≥

369

49. C x ≤ 1. D x ≤

369
49 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(117)</span><div class='page_container' data-page=117>

Điều kiện −1

3 ≤ x ≤ 10.

log₂Ä√3x + 1 + 6ä− 1 ≥ log₂Ä7 −√10 − xä ⇔√3x + 1 + 6 ≥ 14 − 2√10 − x
⇔√3x + 1 ≥ 8 − 2√10 − x

⇔3x + 1 ≥ 64 − 32√10 − x + 4(10 − x)
Å

vì −1

3 ≤ x ≤ 10
ã

⇔32√10 − x ≥ 103 − 7x

⇔1024(10 − x) ≥ 10609 − 1442x + 49x2
Å

vì − 1

3 ≤ x ≤ 10
ã

⇔49x2− 418x + 369 ≤ 0
⇔1 ≤ x ≤ 369

49.

Kết hợp với điều kiện −1

3 ≤ x ≤ 10 ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là 1 ≤ x ≤
369

49 .

Chọn đáp án A _

Câu 60. Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau

4sin2x+ 5cos2x≤ m · 7cos2x

có nghiệm là m ∈
ha

b; +∞


với a, b là các số nguyên dương và a

b tối giản. Khi đó tổng S = a + b
bằng

A S = 13. B S = 15. C S = 9. D S = 11.

Lời giải.

Đưa BPT ban đầu về 41−cos2_x

+ 5cos2_x

≤ m · 7cos2_x

⇔ 4
28cos2_x +

Å 5
7

ãcos2x
≤ m.

Đặt cos2x = t, t ∈ [0; 1], BPT trở thành 4
28t +

Å 5
7

ãt
≤ m.

Xét f (t) = 4
28t +

Å 5
7

ãt

, t ∈ [0; 1]

f0(t) = −4 ln 28
28t +

Å 5
7

ãt
· ln5

7 < 0, ∀t ∈ [0; 1] ⇒ f (t) nghịch biến trên [0; 1], lại có f (1) =
6
7·

Từ đó suy ra BPT có nghiệm ⇔ m ≥ f (1) = 6
7 ⇒

a
b =

6

7 ⇒ S = 13.

Chọn đáp án A 

Câu 61. Bất phương trình (3x_{− 1)(x}2_{+ 3x − 4) > 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên nhỏ hơn 6?}

A 9. B 5. C 7. D Vô số.

Lời giải.

Với x > 0, bất phương trình tương đương
(

3x− 1 > 0

x2+ 3x − 4 > 0 ⇔ x > 1.
Với x < 0, bất phương trình tương đương

(

3x− 1 < 0
x2+ 3x − 4 < 0

⇔ x < −4.

</div>
<span class='text_page_counter'>(118)</span><div class='page_container' data-page=118>

Câu 62. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 4(log₂√x)2+ log₂x + m ≥ 0
nghiệm đúng với mọi giá trị x ∈ (1; 64).

A m ≤ 0. B m ≥ 0. C m < 0. D m > 0.

Lời giải.

Ta có 4(log₂√x)2+ log₂x + m ≥ 0 ⇔ (log₂x)2+ log₂x + m ≥ 0.
Đặt log₂x = t, khi x ∈ (1; 64) thì t ∈ (0; 6).

Khi đó, ta có t2_{+ t + m ≥ 0 ⇔ m ≥ −t}2_{− t (*).}
Xét hàm số f (t) = −t2− t với t ∈ (0; 6).

Ta có f0(t) = −2t − 1 < 0, ∀t ∈ (0; 6).

Ta có bảng biến thiên:

t

f0(t)

f (t)

0 6

−

0
0

−42
−42

Bất phương trình đã cho đúng với mọi x ∈ (1; 64) khi và chỉ khi bất phương trình (∗) đúng với mọi
t ∈ (0; 6) ⇔ m ≥ 0.

Chọn đáp án B _

Câu 63. Bất phương trình log₂

Å
log1

3

3x − 7
x + 3

ã

≥ 0 có tập nghiệm là (a; b]. Giá trị biểu thức P = 3a−b

là

A 5. B 4. C 10. D 7.

Lời giải.

ĐK: 0 < 3x − 7

x + 3 6= 1 ⇔




x < −3

x > 7
3.

log₂
Å

log1
3

3x − 7
x + 3

ã
≥ 0

⇔ log1
3

3x − 7
x + 3 ≥ 1

⇔3x − 7
x + 3 ≤

1
3

⇔8x − 24
3(x + 3) ≤ 0

⇔ − 3 < x ≤ 3.

Kết hợp điều kiện, tập nghiệm S =Å 7
3; 3

ò
.

Suy ra a = 7

3; b = 3. Vậy P = 3a − b = 4.

</div>
<span class='text_page_counter'>(119)</span><div class='page_container' data-page=119>

Câu 64. Giải bất phương trình 2 log₃(4x − 3) + log1

9(2x + 3)
2 _{≤ 2.}
A Å 3

4; +∞
ã

. B Å 3

4; 3

ị

. C vơ nghiệm. D

ï
−3

8; 3
ị

.

Lời giải.

Điều kiện x ≥ 3
4·

Với điều kiện trên bất phương trình

2 log₃(4x − 3) + log1

9(2x + 3)
2 _{≤ 2}
⇔ log₃(4x − 3)2− log₃(2x + 3) ≤ 2
⇔ log₃ (4x − 3)

2
2x + 3 ≤ 2

⇔ 16x

2_{− 24x + 9}
2x + 3 ≤ 9

⇔ 16x2_{− 24x + 9 ≤ 18x + 27}
⇔ 16x2− 42x − 18 ≤ 0 ⇔ −3

8 ≤ x ≤ 3.

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghệm của bất phương trình là Å 3
4; 3

ị

·

Chọn đáp án B _

Câu 65. Cho dãy số (un) thỏa mãn eu18 + 5
√

eu18 − e4u1 = e4u1 _{và u}

n+1 = un+ 3 với n ≥ 1. Giá trị
lớn nhất của n để log₃un < ln 2018 bằng

A 1420. B 1419. C 1417. D 1418.

Lời giải.

Ta có un+1= un+ 3 ⇒ un+1− un = 3 ⇒ dãy số (un) là cấp số cộng với d = 3.
Xét eu18 _{+ 5}√_eu18− e4u1 = e4u1 ⇔ eu18− e4u1 _{+ 5}√_eu18 − e4u1 = 0

⇒
"√

eu18− e4u1 = 0
√

eu18− e4u1 _{= −5 (loại)}

⇔ u18= 4u1 ⇔ u1+ 17d = 4u1 ⇒ 3u1 = 51 ⇒ u1 = 17.
log₃un< ln 2018 ⇔ log3(u1+ (n − 1) d) < ln 2018 ⇔ log3(17 + 3 (n − 1)) < ln 2018.
⇔ 3n + 14 < 3ln 2018 _{⇔ n <} 3

ln 2018_{− 14}

3 ≈ 1419, 935.
Vậy giá trị lớn nhất của n là n = 1419.

Chọn đáp án B _

Câu 66. Biết tập nghiệm của bất phương trình

…

log₂ 3 − 2x
1 − x ≤

√

2 có dạng (−∞; a] ∪ [b; +∞). Tính

giá trị T = ab.

A T = 0. B T = 2. C T = 3. D T = 1.

Lời giải.

Điều kiện xác định x 6= 1 và 3 − 2x

1 − x ≥ 1. BPT ⇔ log2

3 − 2x

1 − x ≤ 2 ⇔

3 − 2x
1 − x ≤ 4.

Ta có hệ







3 − 2x
1 − x ≥ 1
3 − 2x

1 − x ≤ 4
⇔








x ∈ (−∞; 1) ∪ [2; +∞)

Å

−∞;1
2
ò

∪ (1; +∞) ⇔
Å

−∞;1
2
ò

∪ [2; +∞). Vậy T = 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(120)</span><div class='page_container' data-page=120>

Câu 67. Giá trị nguyên dương nhỏ nhất của tham số m để bất phương trình 4x− 2018m2x−1 _{+ 3 −}
1009m ≤ 0 có nghiệm là

A m = 1. B m = 2. C m = 3. D m = 4.

Lời giải.

Ta thấy

4x− 2018m2x−1 + 3 − 1009m ≤ 0
⇔ 4x_{+ 3 − (2}x_{+ 1) · 1009m ≤ 0}
⇔ 1009m ≥ 4

x_{+ 3}
2x_{+ 1}

⇔ 1009m ≥ 2x_{+ 1 +} 4

2x_{+ 1} − 2 (1)

⇔ 1009m ≥ 2. (2)

Từ (1) ta thấy 2x+ 1 + 4

2x_{+ 1} − 2 = 2 ⇔ x = 0.
Từ (2) ta suy ra m = 1 thoả mãn đề bài.

Chọn đáp án A _

Câu 68. Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn

2
Z

1

ekxdx < 2018 · e

k_{− 2018}
k . Số

phần tử của tập hợp S bằng

A 6. B 7. C 8. D Vơ số.

Lời giải.

Ta có
2
Z

1

ekxdx = e
kx
k

2
1

= e

2k_{− e}k
k .

Khi đó bất phương trình tương đương

e2k− 2019 · ek+ 2018 < 0 ⇔ 1 < ek < 2018 ⇔ 0 < k < ln 2018.
Vì k nguyên dương nên k ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

Chọn đáp án B _

Câu 69. Biết bất phương trình log₅(5x_{− 1) · log}

25(5x+1− 5) ≤ 1 có tập nghiệm là đoạn [a; b]. Giá trị
của a + b bằng

A −2 + log₅156. B 2 + log₅156. C −2 + log₅26. D −1 + log₅156.

Lời giải.

log₅(5x− 1) · log₂₅(5x+1 − 5) ≤ 1 ⇔ 1

2log5(5

x_{− 1) [1 + log}
25(5

x_{− 1)] ≤ 1}
⇔ log2

5(5

x_{− 1) + log}
5(5

x_{− 1) − 2 ≤ 2 ⇔ −2 ≤ log}

5(5

x_{− 1) ≤ 1}
⇔ 1

25 ≤ 5

x_{− 1 ≤ 5 ⇔ log}
5

26

25 ≤ x ≤ log56.
Suy ra a + b = log₅ 26

25+ log56 = log5156 − log525 = log5156 − 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(121)</span><div class='page_container' data-page=121>

Câu 70. Biết tập nghiệm của bất phương trình log₃(√x2 _{+ x + 2 + 1) + 3 log}

5(x2+ x + 3) < 4 là (a; b).
Khi đó tổng 2a + b bằng

A −3. B 2. C 3. D 0.

Lời giải.

log₃(√x2_{+ x + 2 + 1) + 3 log}

5(x2+ x + 3) < 4. (1)

Đặt t =√x2_{+ x + 2, (t > 0). Bất phương trình (1) trở thành}

log₃(t + 1) + 3 log₅(t2+ 1) < 4 ⇔ log₃(t + 1) + 3 log₅(t2+ 1) − 4 < 0.

Đặt f (t) = log₃(t + 1) + 3 log₅(t2+ 1) − 4.
Ta có f0(t) = 1

(t + 1) ln 3+

2t

(t2_{+ 1) ln 5} > 0, ∀t > 0.

Do đó hàm f (t) đồng biến trên (0; +∞). Ta có f (2) = 0. Do đó

f (t) < 0 ⇔ t < 2

⇔√x2_{+ x + 2 < 2 ⇔ x}2_{+ x + 2 < 4 ⇔ x}2_{+ x − 2 < 0 ⇔ −2 < x < 1.}

Suy ra (1) có tập nghiệm S = (−2; 1). Vậy 2a + b = −3.

Chọn đáp án A _

Câu 71. Bất phương trình log2x − 2019 log x + 2018 ≤ 0 có tập nghiệm là

A S = [1; 2018]. B S =10; 102018
. C S = 10; 102018
. D S =10; 102018.
Lời giải.

Ta có log2x − 2019 log x + 2018 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ log x ≤ 2018 ⇔ 10 ≤ x ≤ 102018.

Chọn đáp án D _

Câu 72. Cho 3 số thực a, b, c lớn hơn 1 thỏa mãn log_ab·log_ac < log_aÅ b
c

ã

. Tập nghiệm của bất phương

trình log_ax + log_bx > log_cx là

A x < 1. B x > 0. C
"

x < 0

x > 1

. D 0 < x < 1.

Lời giải.

Theo giả thiết log_ab · log_ac < log_aÅ b
c

ã

⇔ log_ab · log_ac + log_ac − log_ab < 0. Ta có

log_ax + log_bx > log_cx ⇔ log_ax +logax

log_ab >

log_ax
log_ac

⇔ log_ax (log_ab · log_ac + log_ac − log_ab) > 0
⇔ log_ax < 0

⇔ 0 < x < 1.

Chọn đáp án D _

Câu 73. Gọi M và m là nghiệm nguyên lớn nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình

(|2x + 1| − x − 2) (1 − log₃(x + 4))
5x2

− 5|x| ≥ 0. Khi đó tích giá trị M · m bằng

</div>
<span class='text_page_counter'>(122)</span><div class='page_container' data-page=122>

Lời giải.

Điều kiện xác định
(

5x2 − 5|x| 6= 0
x + 4 > 0

(∗).

Với điều kiện (∗), ta xét phương trình

|2x + 1| − x − 2 = 0 ⇔ |2x + 1| = x + 2

⇔









x + 2 ≥ 0

"

2x + 1 = x + 2

2x + 1 = −x − 2

⇔









x ≥ −2

"
x = 1

x = −1
⇔

"
x = 1

x = −1.

Tương tự xét phương trình

1 − log₃(x + 4) = 0 ⇔ log₃(x + 4) = 1 ⇔ x + 4 = 3 ⇔ x = −1.
và

5x2 − 5|x| = 0 ⇔ 5x2 = 5|x| ⇔ x2 _{= |x|}
⇔ x4 = x2 ⇔ x2 x2− 1
= 0

⇔
"

x2 = 0

x2− 1 = 0 ⇔






x = 0

x = 1

x = −1.

Ta có bảng xét dấu

x

|2x + 1|−x−2

1−log₃(x + 4)

5x2
− 5|x|

V T

−4 −1 0 1 +∞

+ 0 − − +

+ − 0 − −

+ − − +

+ − − −

Dựa vào bảng xét dấu suy ra nghiệm của bất phương trình là −4 < x < −1. Do đó nghiệm nguyên lớn

nhất là −2 và bé nhất là −3. Do đó M · m = (−2) · (−3) = 6.

Chọn đáp án A _

Câu 74. Thu nhập bình quân đầu người của quốc gia X hiện tại là 2000 USD/1 người/1 năm. Biết

</div>
<span class='text_page_counter'>(123)</span><div class='page_container' data-page=123>

số của quốc gia đó là 1% một năm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm nữa thì mức thu nhập bình quân

đầu người của quốc gia X lớn hơn 10000 USD/1 người/1 năm?

A 36 năm. B 32 năm. C 34 năm. D 40 năm.

Lời giải.

• Mức tăng trưởng GDP bình quân của nước X là 1 + 0.06
1 + 0.01 =

106
101.

• Thu nhập bình qn đầu người sau n năm là 2000 ·Å 106
101

ãn

(USD/1 người/1 năm) .

• Ta có 2000 ·Å 106
101

ãn

> 10000 ⇔Å 106
101

ãn

> 5 ⇔ n > log106

101 5 ≈ 33,31. Do đó sau ít nhất 34 năm thì

mức thu nhập bình quân đầu người của quốc gia X lớn hơn 10000 USD/1 người/1 năm.

Chọn đáp án C _

Câu 75. Cho dãy số (un) có số hạng đầu u1 6= 1 và thỏa mãn log22(5u1) + log22(7u1) = log225 + log
2
27.
Biết un+1 = 7un với mọi n ≥ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của n để un > 1 111 111.

A 11. B 8. C 9. D 10.

Lời giải.

Điều kiện u1 > 0.

Ta có

log2₂(5u1) + log22(7u1) = log225 + log
2
27
⇔ log2

2u1 + 2 log25 log2u1+ log22u1+ 2 log27 log2u1 = 0
⇔ log₂u1(log2u1+ log235) = 0

⇔
"

log₂u1 = 0

log₂u1+ log235 = 0
⇔





u1 = 1 (loại)
u1 =

1

35 (nhận).

Dãy số (un) là cấp số nhân có u1 =

1

35 và q = 7 nên un=
1
35 · 7

n−1_.
Theo đề bài

un> 1 111 111 ⇔
1
35· 7

n−1 _{> 1 111 111 ⇔ 7}n−1

> 38 888 885 ⇔ n & 9,98.

Vậy n = 10.

Chọn đáp án D _

Câu 76. Cho bất phương trình log 5 + log (x2 + 1) ≥ log (mx2+ 4x + m), m là tham số thực. Có bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R.

A 3. B 2. C 0. D 1.

Lời giải.

Ta có log 5 + log (x2_{+ 1) ≥ log (mx}2_{+ 4x + m) ⇔}

(

5x2+ 5 ≥ mx2+ 4x + m
mx2+ 4x + m > 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(124)</span><div class='page_container' data-page=124>

Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi

(

5x2+ 5 ≥ mx2_{+ 4x + m, ∀x ∈ R}
mx2 _{+ 4x + m > 0, ∀x ∈ R}

⇔
(

(5 − m)x2_{− 4x + (5 − m) ≥ 0, ∀x ∈ R}
mx2 _{+ 4x + m > 0, ∀x ∈ R}

⇔
















5 − m > 0

4 − (5 − m)2 < 0
m > 0

2 − m2 < 0
⇔0 < m <√2

Từ đó suy ra chỉ có một giá trị nguyên m = 1 thoả mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án D _

Câu 77. Trong tất cả các cặp (x; y) thỏa mãn log_x2_+y2₊₂(2x − 4y + 6) ≥ 1. Tìm m để tồn tại duy nhất
cặp (x; y) sao cho x2_{+ y}2_{+ 2x − 2y + 2 − m = 0.}

A √13 − 3 và √13 + 3 . B √13 − 3.

C (√13 − 3)2_. _{D (}√_{13 − 3)}2 _{và (}√_{13 + 3)}2_.

Lời giải.

Ta có log_x2_+y2₊₂(2x − 4y + 6) ≥ 1 ⇔ x2+ y2− 2x + 4y − 4 ≤ 0 ⇔ (x − 1)2+ (y + 2)2 ≤ 9 (1)
Giả sử M (x; y) thỏa mãn phương trình (1), khi đó tập hợp điểm M là hình trịn (C1) tâm I(1; −2) bán
kính R1 = 3.

Ta có x2+ y2 _{+ 2x − 2y + 2 − m = 0 ⇔ (x + 1)}2_{+ (y − 1)}2 _{= m.} ₍₂₎

Với m > 0 thì (2) là phương trình đường trịn tâm J (−1; 1), bán kính R2 =

√
m.

Để tồn tại duy nhất cặp (x; y) thỏa mãn khi và chỉ khi (C1) và (C2) tiếp xúc với nhau
⇔ IJ = R1+ R2 ⇔

√

13 =√m + 3 ⇔ m =Ä√13 − 3ä2
hoặc J I = |R1− R2| ⇔

√

13 = |√m − 3| ⇔ m =Ä√13 + 3ä2.

Chọn đáp án D _

Câu 78. Giải bất phương trình log₂

Å
log1

2
Å

2x−15
16

ãã
6 2.

A x_{> 0.} B log₂ 15

16 < x < log2
31
16.

C 0_{6 x < log}₂ 31

16. D log2

31

16 < x 6 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(125)</span><div class='page_container' data-page=125>

Ta có

log₂
Å

log1
2

Å

2x− 15
16

ãã

6 2 ⇔ 0 < log1
2

Å

2x− 15
16

ã
6 4

⇔ 1
16 6 2

x₋ 15
16 < 1

⇔ 1 6 2x _< 31
16

⇔ 0 6 x < log2
31
16.

Chọn đáp án C _

Câu 79. Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình log1

3

(x2+ 8x + 7) ≥ −3 là

A −32. B −14. C −26. D −24.

Lời giải.

Bất phương trình tương đương
(

x2+ 8x + 7 > 0
x2+ 8x + 7 ≤ 27

⇔
(

x ∈ (−∞; −7) ∪ (−1; +∞)

x ∈ [−10; 2]

⇔ x ∈ [−10; −7) ∪

(−1; 2].

Suy ra các nghiệm nguyên của bất phương trình là {−10; −9; −8; 0; 1; 2}.
Tổng các nghiệm nguyên là −24.

Chọn đáp án D _

Câu 80. Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình 2 log₂√x + 1 ≤ 2−log₂(x−2) bằng

A 12. B 9. C 5. D 3.

Lời giải.

Tập xác định của bất phương trình là D = (2; +∞).

2 log₂√x + 1 ≤ 2 − log₂(x − 2)
⇔ log₂(x + 1) + log₂(x − 2) ≤ 2
⇔ log₂(x + 1)(x − 2) ≤ log₂4
⇔ x2− x − 6 ≤ 0

⇔ −2 ≤ x ≤ 3.

Tập nghiệm của bất phương trình là S = (2; 3], có 1 nghiệm nguyên là x = 3. Vậy tổng các nghiệm

nguyên của bất phương trình là 3.

Chọn đáp án D _

Câu 81. Tìm tất cả giá trị của tham số m để bất phương trình log(2x2 _{+ 3) > log(x}2_{+ mx + 1) có}

tập nghiệm là R.

A −2 < m < 2. B m < 2√2. C −2√2 < m < 2√2. D m < 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(126)</span><div class='page_container' data-page=126>

Ta có

log(2x2+ 3) > log(x2+ mx + 1) ⇔

(

2x2+ 3 > x2 + mx + 1
x2+ mx + 1 > 0

⇔
(

x2− mx + 2 > 0 (1)
x2+ mx + 1 > 0. (2)

Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là R khi và chỉ khi (1) và (2) luôn đúng với ∀x ∈ R

⇔
(

∆1 = m2− 8 < 0
∆2 = m2− 4 < 0

⇔ −2 < m < 2.

Chọn đáp án A _

Câu 82. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm tất cả các giá trị của m để

phương trình f (4x − x2) = log₂m có 4 nghiệm thực phân biệt.
x

y0

y

−∞ 0 4 +∞

− 0 + 0 −

+∞
+∞

−1
−1

3
3

−∞
−∞

A m ∈ (0; 8). B m ∈Å 1

2; 8

ã

. C m ∈ (−1; 3). D m ∈
Å

0;1
2

ã
.

Lời giải.

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f (x), suy ra

f0(4x − x2) = 0 ⇔
"

4x − x2 = 0
4x − x2 = 4

⇔






x = 0

x = 4

x = 2. (bội hai)

f0(4x − x2) > 0 ⇔ 0 < 4x − x2 < 4 ⇔
(

0 < x < 4

x 6= 2.

Đặt g(x) = f (4x − x2_{), suy ra g}0_{(x) = (4 − 2x) · f}0_{(4x − x}2_{). Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) như}
sau

x

4 − 2x

f0(4x − x2₎
g0(x)

g(x)

−∞ 0 2 4 +∞

+ 0 + 0 − 0 −

− 0 + 0 + 0 −

− 0 + 0 − 0 +

+∞
+∞

g(0)
g(0)

g(2)

g(2)

g(4)
g(4)

</div>
<span class='text_page_counter'>(127)</span><div class='page_container' data-page=127>

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số g(x), suy ra phương trình f (4x − x2) = log₂m có 4 nghiệm thực
phân biệt khi và chỉ khi max{g(0); g(4)} < log₂m < g(2).

Ta có g(0) = f (0) = −1, g(4) = f (0) = −1 và g(2) = f (4) = 3. Vậy

−1 < log₂m < 3 ⇔ 1

2 < m < 8.

Chọn đáp án B _

Câu 83. Tập nghiệm của bất phương trình log1

3(x + 1) > log3(2 − x) là S = (a; b) ∪ (c; d) với a, b, c, d
là các số thực. Khi đó tổng a + b + c + d bằng

A 4. B 1. C 3. D 2.

Lời giải.

Bất phương trình đã cho tương đương với

⇔










x + 1 > 0

2 − x > 0

− log₃(x + 1) > log₃(2 − x)

⇔ ( − 1 < x < 2

log₃[(x + 1)(2 − x)] < 0

⇔ ( − 1 < x < 2
− x2_{+ x + 1 < 0}
⇔ S =

Ç

−1;1 −
√

5
2

å

∪

Ç

1 +√5
2 ; 2

å
.

Vậy a + b + c + d = 2.

Chọn đáp án D _

Câu 84. Tập nghiệm của bất phương trình log₂Ä1 + log1

9 x − log9x
ä

< 1 có dạng S =Å 1
a; b

ã

với a, b

là những số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A a = −b. B a + b = 1. C a = b. D a = 2b.

Lời giải.

Điều kiện x > 0.

log₂Ä1 + log1

9 x − log9x
ä

< 1 ⇔ 0 < 1 + log1

9 x − log9x < 2 ⇔ −
1

2 < log9x <
1
2 ⇔

1

3 < x < 3.
Do đó tập nghiệm của bất phương trình là S =Å 1

3; 3
ã

. Suy ra a = b.

Chọn đáp án C _

Câu 85. Cho log_a(b + 1) > 0. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

A b(a + 1) > 0. B a + b < 1. C a + b > 1. D (a − 1)b > 0.

Lời giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(128)</span><div class='page_container' data-page=128>

Ta có log_a(b + 1) > 0 ⇔









(
a > 1

b + 1 > a0
(

0 < a < 1

0 < b + 1 < a0
⇔











(
a > 1

b > 0

(

0 < a < 1

− 1 < b < 0

. Suy ra (a − 1)b > 0.

Chọn đáp án D _

Câu 86. Tìm m để bất phương trình 1 + log₅(x2 _{+ 1) ≥ log}

5(mx2 + 4x + m) thỏa mãn với mọi
x ∈ R.

A −1 < m ≤ 0. B −1 < m < 0. C 2 < m ≤ 3. D 2 < m < 3.

Lời giải.

Ta có

1 + log₅(x2+ 1) ≥ log₅(mx2+ 4x + m)
⇔ log₅[5(x2+ 1)] ≥ log₅(mx2 + 4x + m)
⇔

(

5(x2+ 1) ≥ mx2+ 4x + m
mx2+ 4x + m > 0

⇔
(

(5 − m)x2− 4x + 5 − m ≥ 0 (1)
mx2+ 4x + m > 0 (2)

• (1) đúng với mọi x ∈ R khi và chỉ khi
(

5 − m > 0

∆0₁ = 4 − (5 − m)2 ≤ 0 ⇔ m ≤ 3.
• (2) đúng với mọi x ∈ R khi và chỉ khi

(
m > 0

∆0₂ = 4 − m2 < 0 ⇔ m > 2.
Vậy,bất phương trình đã cho thỏa mãn với mọi x ∈ R khi và chỉ khi 2 < m ≤ 3.

Chọn đáp án C _

Câu 87. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên A có bốn chữ số. Gọi N là số thỏa mãn 3N _{= A. Xác suất}

để N là số tự nhiên bằng

A 1

4500. B 0. C

1

2500. D

1
3000.

Lời giải.

Số các số tự nhiên có 4 chữ số là 9 · 10 · 10 · 10 = 9000.

Vì A = 3N là số tự nhiên có 4 chữ số nên ta có

1000 ≤ 3N ≤ 9999 ⇔ log₃1000 ≤ N ≤ log₃9999 ⇒ 6,28 ≤ N ≤ 8,38.

Để N ∈ N thì N ∈ {7; 8}. Do đó xác suất để N là số tự nhiên là 2
9000 =

1

4500.

Chọn đáp án A _

Câu 88. Tìm m để bất phương trình 1 + log₅(x2+ 1) ≥ log₅(mx2+ 4x + m) thỏa mãn với mọi

x ∈ R.

A −1 < m ≤ 0. B −1 < m < 0. C 2 < m ≤ 3. D 2 < m < 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(129)</span><div class='page_container' data-page=129>

Điều kiện mx2_{+ 4x + m > 0 ⇔ m >} −4x
x2_{+ 1}.
Khi đó,

1 + log₅ x2+ 1
≥ log₅ mx2+ 4x + m

⇔ log₅5 x2+ 1
≥ log₅ mx2+ 4x + m

⇔ 5x2− 4x + 5 ≥ m x2+ 1

⇔ 5x

2_{− 4x + 5}
x2_{+ 1} ≥ m
⇔ m ≤ 5 + −4x

x2_{+ 1}.
Bất phương trình đã cho thỏa mãn với mọi x ∈ R khi và chỉ khi









m > −4x

x2_{+ 1}, ∀x ∈ R
m ≤ 5 + −4x

x2_{+ 1}, ∀x ∈ R

⇔ max
x∈R

−4x

x2_{+ 1} < m ≤ min_x∈R
Å

5 + −4x
x2_{+ 1}

ã
.

Hàm số f (x) = −4x
x2_{+ 1} có f

0_{(x) =} 4x2− 4

(x2_{+ 1)}2 và có bảng biến thiên
x

f0(x)

f (x)

−∞ −1 1 +∞

+ 0 − 0 +

0
0

2
2

−2
−2

0
0

Vậy giá trị m cần tìm là 2 < m ≤ 3.

Chọn đáp án C _

Câu 89. Bất phương trình log_x(log₃(9x_{− 72)) ≤ 1 có tập nghiệm là}

A S = (−∞; 2]. B S =Älog₃√73; 2ó. C S =Älog₃√72; 2ó. D S =ỵlog₃√73; 2ó.

Lời giải.

Điều kiện










0 < x 6= 1

9x− 72 > 0
log₃(9x− 72) > 0

⇔









0 < x 6= 1

9x− 72 > 0
9x− 72 > 1

⇔









0 < x 6= 1

9x > 72
9x > 73

⇔ x > log₉73.

Ta có

log_x(log₃(9x− 72)) ≤ 1 ⇔ log₃(9x− 72) ≤ x
⇔ 9x− 72 < 3x

⇔ (3x_{− 9) (3}x_{+ 8) ≤ 0}
⇔ 3x _{≤ 9 ⇔ x ≤ 2.}

Kết hợp với điều kiện, ta được S = Älog₃√73; 2ó.

</div>
<span class='text_page_counter'>(130)</span><div class='page_container' data-page=130>

Câu 90. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [−10; 10] để bất phương trình sau nghiệm

đúng với mọi x ∈ R

Ä

6 + 2√7äx+ (2 − m)Ä3 −√7äx− (m − 1)2x_{≥ 0.}

A 10. B 9. C 12. D 11.

Lời giải.

Bất phương trình tương đương với

(3 +√7)x+ (2 − m)
Ç

3 −√7
2

åx

− (m − 1) ≥ 0. (2.12)

Đặt t = (3 +√7)x _⇒
Ç

3 −√7

2

åx
= 1

t, với t > 0.
Khi đó bất phương trình (1) trở thành

t + (2 − m) ·1

t − (m − 1) ≥ 0 (2.13)

⇔ t

2_{− (m − 1)t + (2 − m)}

t ≥ 0 (2.14)

⇔ m ≤ t

2_{+ t + 2}

t + 1 (do t > 0). (2.15)

Để bất phương trình (4) đúng với mọi t > 0, khi chỉ khi m không lớn hơn giá trị nhỏ nhất của hàm số

f (t) = t

2_{+ t + 2}

t + 1 trên khoảng (0; +∞).

Xét hàm số f (t) = t

2_{+ t + 2}

t + 1 trên khoảng (0; +∞).

Ta có f (t) = t + 1 + 2

t + 1− 1 ≥ 2
√

2 − 1, dấu bằng xảy ra khi t = −1 +√2.

Vậy m ≤ 2√2 − 1, suy ra có 12 giá trị nguyên của m trong đoạn [−10; 10] thỏa mãn.

Chọn đáp án C _

Câu 91. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình

5 · 4x+ m · 25x− 7 · 10x _{≤ 0}
có nghiệm. Số phần tử của S là

A 3. B Vô số. C 2. D 1.

Lời giải.

Ta có

5 · 4x+ m · 25x− 7 · 10x _{≤ 0 ⇔ 5 ·}Å 2
5

ã2x

− 7 ·Å 2
5

ãx

+ m ≤ 0.

Đặt t =Å 2
5

ãx

, bất phương trình trở thành

5t2 − 7t ≤ −m, t ∈ (0; +∞) . (1)
Xét hàm số f (t) = 5t2− 7t, t ∈ (0; +∞).

</div>
<span class='text_page_counter'>(131)</span><div class='page_container' data-page=131>

Bảng biến thiên của f (t).

Từ bảng biến thiên ⇒ bất phương trình (1) có nghiệm

⇔ −49

20 ≤ −m ⇔ m ≤
49

20.

Do m ∈ N∗ ⇒ m = 1, m = 2.
Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn.

x

y0

y

0 7

10 +∞

− 0 +

0
0

−49
20
−49
20

+∞
+∞

Chọn đáp án C _

Câu 92. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log1
2

(x−1) > log1
2

(x3+ x − m)
có nghiệm.

A m < 2. B m ≤ 2. _{C m ∈ R.} D Không tồn tại m.

Lời giải.

Bất phương trình có nghiệm
(

x − 1 > 0

x − 1 < x3+ x − m

có nghiệm ⇔
(

x > 1

m < x3+ 1

có nghiệm.

Xét f (x) = x3_{+ 1 ⇒ f}0_{(x) = 3x}2 _{> 0 , ∀x > 1, ta có bảng biến thiên}

x

f0(x)

f (x)

1 +∞

+

2
2

+∞
+∞

Từ bảng biến thiên suy ra m < f (x) , ∀x > 1 ⇔ m ∈ R.

Chọn đáp án C _

Câu 93. Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương, nhỏ hơn 10 để bất phương trình 7sin2_x

+ 3cos2_x
≤
m · 4cos2_x

có nghiệm?

A 11. B 9. C 10. D 2.

Lời giải.

Đặt cos2x = t, 0 ≤ t ≤ 1, nhận thấy ứng với mỗi giá trị t ∈ [0; 1] thì tồn tại x để cos2x = t.
Bất phương trình đã cho trở thành 71−t_{+ 3}t _{≤ m · 4}t_{⇔ m ≥} 7

28t +
Å 3

4
ãt

.

Xét hàm số f (t) = 7
28t +

Å 3
4

ãt

trên đoạn [0; 1].

Ta có f0(t) = 7
28t · ln

1
28+

Å 3
4

ãt
ln3

4 < 0, ∀t ∈ [0; 1] nên f (t) nghịch biến trên [0; 1].
Từ đó dẫn đến m ≥ min

[0;1] f (t) = f (1) = 1.

Mà m ∈ Z và m < 10 nên có 9 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn đáp án B _

Câu 94. Số nghiệm ngun khơng âm của bất phương trình √15 · 2x+1_{+ 1 ≥ |2}x_{− 1| + 2}x+1 _là

A 0. B 1. C 2. D 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(132)</span><div class='page_container' data-page=132>

Đặt 2x = t điều kiện t > 0.

Ta được bất phương trình √30t + 1 ≥ |t − 1| + 2t (1).

+ Với t ≥ 1 bất phương trình (1) tương đương với bất phương trình

√

30t + 1 ≥ t − 1 + 2t ⇔√30t + 1 ≥ 3t − 130t + 1 ≥ (3t − 1)2 ⇔ t2_{− 4t ≤ 0 ⇔ 0 ≤ t ≤ 4.}

Do t ≥ 1 nên ta được 1 ≤ t ≤ 4. (∗)

+ Với 0 < t < 1 bất phương trình (1) tương đương với bất phương trình

√

30t + 1 ≥ 1 − t + 2t ⇔√30t + 1 ≥ t + 1 ⇔ 30t + 1 ≥ (t + 1)2 ⇔ t2− 28t ≤ 0 ⇔ 0 ≤ t ≤ 28.

Do 0 < t < 1nên ta được: 0 < t < 1. (∗∗)

+ Từ (∗) và (∗∗) suy ra 0 < t ≤ 4 ⇒ 0 < 2x ≤ 4 ⇔ x ≤ 2.
Do nghiệm x là nguyên không âm nên x ∈ {0; 1; 2}.

Chọn đáp án D _

Câu 95. Tập tất cả các giá trị thực của x thỏa mãn bất phương trình 2 · 9

x_{− 3 · 6}x

6x_{− 4}x ≤ 2 là (−∞; a] ∪
(b; c]. Tính (a + b + c)!.

A 0. B 1. C 2. D 6.

Lời giải.

Ta có bất phương trình tương đương với 2 · 9

x_{− 5 · 6}x_{+ 2 · 4}x

6x_{− 4}x ≤ 0. Đặt t =

Å 3

2
ãx

ta có

(t − 2)(2t − 1)

t − 1 ≤ 0 ⇔



t ≤ 1

2
1 < t ≤ 2

. Suy ra






Å 3
2

ãx
≤ 1

2

1 <Å 3
2

ãx
≤ 2

⇔





x ≤ − log3
2

2

0 < x ≤ log3
2

2.

Do đó, a = − log3
2

2, b = 0, c = log3
2

2.

Vậy (a + b + c)! = 0! = 1.

Chọn đáp án B _

Câu 96. Tập hợp tất cả các số thực x không thỏa mãn bất phương trình 9x2₋₄

+ (x2_{− 4) · 2019}x−2 _{≥ 1}
là khoảng (a; b). Tính b − a.

A 5. B 4. C −5. D −1.

Lời giải.

• Với x2_{− 4 < 0 ta có 9}x2−4_{+ (x}2_{− 4) · 2019}x−2 _{< 9}0_{+ 0 · 2019}x−2 _{= 1.}
• Với x2_{− 4 ≥ 0 ta có 9}x2₋₄

+ (x2− 4) · 2019x−2 _{≥ 9}0_{+ 0 · 2019}x−2 _{= 1.}

Vậy tập hợp các giá trị của x không thỏa mãn bất phương trình là x ∈ (−2; 2) ⇒ a = −2, b = 2 ⇒

b − a = 4.

Chọn đáp án B _

Câu 97. Bất phương trình (x3_{− 9x) ln(x + 5) ≤ 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên?}

A 4. B 7. C 6. D Vô số.

</div>
<span class='text_page_counter'>(133)</span><div class='page_container' data-page=133>

Điều kiện xác định: x > −5.

Xét f (x) = (x3− 9x) ln(x + 5), ta có

f (x) = 0 ⇔
"

x3− 9x = 0
ln(x + 5) = 0 ⇔







x = 0

x = ±3

x = −4.

Bảng xét dấu của f (x):

x

f (x)

−5 −4 −3 0 3 +∞

+ 0 − 0 + 0 − 0 +

Suy ra f (x) ≤ 0 ⇔" − 4 ≤ x ≤ −3
0 ≤ x ≤ 3.

Vì x ∈ Z ⇒ x ∈ {−4; −3; 0; 1; 2; 3}. Vậy có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Chọn đáp án C _

Câu 98. Cho hàm số f (x) = 2x − 2−x

. Gọi m0 là số lớn nhất trong các số nguyên m thỏa mãn
f (m) + f (2m − 212_{) < 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?}

A m0 ∈ [1; 505). B m0 ∈ [50; 1009). C m0 ∈ [1009; 1513). D m0 ∈ [1513; 2019).

Lời giải.

Hàm số f (x) xác định ∀x ∈ R.
Khi đó với mọi x ∈ R, ta có

( − x ∈ R

f (−x) = 2−x− 2x _{= − 2}x_{− 2}−x_{= −f (x).}
Suy ra f (x) là hàm số lẻ trên R.

Mặt khác f0(x) = (2x_{+ 2}−x

) ln 2 > 0, ∀x ∈ R nên hàm số đồng biến trên R. Ta có

f (m) + f 2m − 212
< 0 ⇔ f 2m − 212
< −f (m) ⇔ 2m − 212 < −m ⇔ m < 2
12
3 .

Vì m nguyên nên m ≤ 1365 ⇒ m0 = 1365. Vậy m0 ∈ [1009; 1513).

Chọn đáp án C _

Câu 99. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để bất phương trình

log₂ x2+ mx + m + 2
≥ log₂ x2+ 2

nghiệm đúng với mọi x ∈ R.

A 2. B 4. C 3. D 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(134)</span><div class='page_container' data-page=134>

Ta có

log₂ x2+ mx + m + 2
≥ log₂ x2+ 2_{, ∀x ∈ R}
⇔ x2+ mx + m + 2 ≥ x2_{+ 2, ∀x ∈ R}

⇔ mx + m ≥ 0, ∀x ∈ R
⇔ m(x + 1) ≥ 0, ∀x ∈ R
⇔ m = 0.

Vậy chỉ có một giá trị m = 0 để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R.

Chọn đáp án D _

Câu 100. Tập nghiệm của bất phương trình 3x2₋₉

+ (x2_−9)·5x+1 _{< 1 là khoảng (a; b). Tính b − a.}

A 6. B 3. C 8. D 4.

Lời giải.

• Nếu x ∈ (−3; 3) thì x2_{− 9 < 0.}

Vì 5x+1 _{> 0 nên (x}2_{− 9) · 5}x+1 _{< 0. Do đó 3}x2−9_{+ (x}2_{− 9) · 5}x+1 _{< 3}x2−9 _{< 1.}
Vậy x ∈ (−3; 3) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

• Nếu x ≥ 3 thì x2_{− 9 ≥ 0.}

Vì 5x+1 > 0 nên (x2− 9) · 5x+1 _{≥ 0. Do đó 3}x2₋₉

+ (x2− 9) · 5x+1 _{≥ 3}x2₋₉
≥ 1.
Vậy x ≥ 3 không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

• Nếu x ≤ −3 thì x2 _{− 9 ≥ 0.}

Vì 5x+1 _{> 0 nên (x}2_{− 9) · 5}x+1 _{≥ 0. Do đó 3}x2₋₉

+ (x2_{− 9) · 5}x+1 _{≥ 3}x2₋₉
≥ 1.
Vậy x ≤ −3 không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy ta có b − a = 3 − (−3) = 6.

</div>
<span class='text_page_counter'>(135)</span><div class='page_container' data-page=135>

ĐÁP ÁN

1. C 2. C 3. C 4. C 5. C 6. B 7. D 8. B 9. B 10. C

11. D 12. B 13. B 14. C 15. D 16. C 17. B 18. C 19. A 20. A

21. A 22. A 23. C 24. D 25. A 26. D 27. D 28. A 29. D 30. A

31. A 32. D 33. B 34. C 35. D 36. C 37. B 38. B 39. C 40. D

41. A 42. C 43. C 44. B 45. A 46. A 47. C 48. B 49. B 50. D

51. D 52. A 53. D 54. A 55. B 56. B 57. C 58. C 59. A 60. A

61. D 62. B 63. B 64. B 65. B 66. D 67. A 68. B 69. A 70. A

71. D 72. D 73. A 74. C 75. D 76. D 77. D 78. C 79. D 80. D

81. A 82. B 83. D 84. C 85. D 86. C 87. A 88. C 89. B 90. C

</div>
<span class='text_page_counter'>(136)</span><div class='page_container' data-page=136>

<b>4</b> <b>MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO</b>

Câu 1. Cho bất phương trình 8x_{− 3.2}2x+1_{+ 9.2}x_{+ m − 5 > 0 (1) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên}
dương của tham số m để bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ [1; 2] ?

A Vô số. B 4. C 5. D 6.

Lời giải.

Đặt t = 2x vì x ∈ [1; 2] ⇒ t ∈ [2; 4].

Bất phương trình đã cho trở thành t3− 6t2_{+ 9t − 5 > −m có nghiệm đúng với t ∈ [2; 4].}
Đặt g(t) = t3_{− 6t}2_{+ 9t − 5 ⇒ g}0_{(t) = 3t}2_{− 12t + 9 > 0 ∀t ∈ [2; 4].}

⇒ g(x) đồng biến trên R. Suy ra −m < Min g(t) = g(2) = −5 ⇔ m > 5.
Vậy có vơ số giá trị của m.

Chọn đáp án A _

Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình log₂Äx√x2_{+ 2 + 4 − x}2ä_+2x+√_x2_{+ 2 ≤ 1 là}Ä₋√_{a; −}√_bó_.
Khi đó ab bằng

A 12

5 . B

5

12. C

15

16. D

16

15.

Lời giải.

Điều kiện:

x√x2_{+ 2 + 4 − x}2 _{> 0 ⇔ x}Ä√_x2_{+ 2 − x}ä_{+ 4 > 0}

⇔ x · √ 2

x2_{+ 2 + x} + 4 > 0 ⇔

2x + 4Ä√x2_{+ 2 + x}ä
√

x2_{+ 2 + x} > 0
⇔ 4√x2_{+ 2 + 6x > 0 (vì} √_x2_{+ 2 + x > 0, ∀x)}

⇔ 2√x2_{+ 2 > −3x ⇔}






− 3x < 0

( − 3x ≥ 0

4(x2+ 2) > (−3x)2

⇔






x > 0

(
x ≤ 0

5x2 < 8
⇔





x > 0

− 40

5 < x ≤ 0.

Khi đó ta có

log₂Äx√x2_{+ 2 + 4 − x}2ä

+ 2x +√x2_{+ 2 ≤ 1}
⇔ log₂

Ç

6x + 4√x2_{+ 2}
√

x2_{+ 2 + x}
å

+ 2x +√x2_{+ 2 ≤ 1}
⇔ log₂(6x + 4√x2_{+ 2) − log}

2(
√

x2_{+ 2 + x) + 2x +}√_x2_{+ 2 ≤ 1}
⇔ log₂ỵ2Ä3x + 2√x2 _{+ 2}äó_{− log}

2(
√

x2_{+ 2 + x) + 2x +}√_x2_{+ 2 ≤ 1}
⇔ log₂2 + log₂(3x + 2√x2_{+ 2) − log}

2(
√

x2_{+ 2 + x) + 2x +}√_x2_{+ 2 ≤ 1}
⇔ log₂(3x + 2√x2_{+ 2) + 3x + 2}√_x2_{+ 2 ≤ log}

2(
√

</div>
<span class='text_page_counter'>(137)</span><div class='page_container' data-page=137>

Xét hàm số f (t) = t + log₂t với t > 0 ta có f0(t) = 1 + 1

t ln 2 > 0 với mọi t > 0 nên f (t) là hàm đồng
biến trên (0; +∞).

Từ đó

(∗) ⇔ f (3x + 2√x2_{+ 2) ≤ f (x +}√_x2_{+ 2)}
⇔ 3x + 2√x2_{+ 2 ≤ x +}√_x2_{+ 2}
⇔ √x2_{+ 2 ≤ −2x ⇔}( − 2x ≥ 0

x2+ 2 ≤ 4x2

⇔
(

x ≤ 0

3x2 ≥ 2 ⇔















x ≤ 0





x ≥
√
6
3

x ≤ −
√

6
3

⇔ x ≤ −
√

6
3 .

Kết hợp điều kiện





x > 0

−
√

40

5 < x ≤ 0

ta có −
√

40

5 < x ≤ −
√

6

3 hay −
… 8

5 < x ≤ −
… 2

3.

Tập nghiệm bất phương trình S =
Ç

−… 8
5; −

… 2
3
ô

nên a = 8
5 ; b =

2

3 ⇒ ab =
16
15.

Chọn đáp án D _

Câu 3.

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình bên.
Tính tổng tất cả các giá trị ngun của tham số m để bất phương

trình

9 · 6f (x)+ 4 − f2(x)
· 9f (x) ≤ (−m2_{+ 5m) · 4}f (x)

nghiệm đúng với mọi x ∈ R.

A 10. B 4.

C 5. D 9.

x
y
O
2
−2
Lời giải.
Ta có

9 · 6f (x)+ (4 − f2(x)) · 9f (x) ≤ (−m2_{+ 5m) · 4}f (x) _{⇔ −m}2_{+ 5m ≥ 9}Å 3
2

ãf (x)

+ [4 − f2(x)] ·Å 3
2

ã2f (x)
.(1)

Từ đồ thị suy ra f (x) ≤ −2 ∀x ∈ R ⇒











9 ·Å 3
2

ãf (x)

≤ 4, _{∀x ∈ R}

4 − f2_{(x) ·}Å 3
2

ã2f (x)

≤ 0, ∀x ∈ R.

Do đó g(x) = 9 ·Å 3
2

ãf (x)

+ [4 − f2(x)] ·Å 3
2

ã2f (x)

≤ 4, ∀x ∈ R ⇒ max
R

</div>
<span class='text_page_counter'>(138)</span><div class='page_container' data-page=138>

Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ R ⇔ −m2+ 5m ≥ 4 ⇔ 1 ≤ m ≤ 4.
Vậy m ∈ {1; 2; 3; 4}.

Chọn đáp án B _

Câu 4. _{Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R}

Ä√

10 + 1äx− mÄ√10 − 1äx > 3x+1.

A m < −7

4. B m < −

9

4. C m < -2. D m < −

11
4 .

Lời giải.

Xét bất phương trình (√10 + 1)8− m(√10 − 1)8 > 3x+1 ⇔
Ç √

10 + 1
3

åx
− m

Ç √
10 − 1

3
åx

> 3.

Nhận xét
√

10 + 1
3 ·

√
10 − 1

3 = 1 ⇒
Ç √

10 − 1
3

å

=

Ç √
10 + 1

3

å−1

Do đó (1) ⇔
Ç √

10 + 1
3

åx
− m

Ç √
10 + 1

3

å−x
> 3.

Đặt t =
Ç √

10 + 1

3

åx

, t > 0.

Khi đó (1) trở thành t − m

t > 3 ⇔ t

2_{− 3t > m (2).}
Ta có bảng biến thiên hàm số y = t2_{− 3t.}

t

y0

y

0 3

2 +∞

− 0 +

0
0

−9
4

−9
4

+∞
+∞

Từ bảng biến thiên ta có m < −4
9.

Chọn đáp án B _

Câu 5. Cho x, y là số thực dương thỏa mãn log₂x + log₂y + 1 ≥ log₂(x2_{+ 2y). Tìm giá trị nhỏ nhất}
của P = x + 2y.

A P = 9. B P = 2√2 + 3. C P = 2 + 3√2. D P = 3 +√3.

Lời giải.

log₂x + log₂y + 1 ≥ log₂(x2+ 2y) ⇔ 2xy ≥ x2+ 2y ⇔ 2y(1 − x) + x2 ≤ 0 (1)
Vì P = x + 2y ⇒ 2y = P − x, thay vào (1) ta được:

(P − x)(1 − x) + x2 _{≤ 0 ⇔ 2x}2_{− x(P + 1) + P ≤ 0}
Phương trình có nghiệm

⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ (P + 1)2_{− 8P ≥ 0}
⇔ P2_{− 6P + 1 ≥ 0 ⇔}

"

P ≥ 3 + 2√2

P ≤ 3 − 2√2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(139)</span><div class='page_container' data-page=139>

Câu 6. Có bao nhiêu số nguyên dương a (a là tham số) để phương trình

(3a2+ 12a + 15) log₂₇(2x − x2) +Å 9
2a

2 _{− 3a + 1}
ã

log√
11

Å
1 − x

2
2

ã

= 2 log₉(2x − x2) + log₁₁2 − x
2
2

có nghiệm duy nhất?

A 2. B 0. C Vô số. D 1.

Lời giải.

Điều kiện 0 < x < √2.

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

(a2+ 4a + 5) log₃(2x − x2) + (9a2− 6a + 2) log₁₁Å 2 − x
2
2

ã

= log₃(2x − x2) + log₁₁Å 2 − x
2
2

ã
.

⇔ (a + 2)2_log

3(2x − x2) + (3a − 1)2log11

Å 2 − x2
2

ã

= 0 (∗)

Đặt u = log₃(2x − x2) và v = log₁₁Å 2 − x
2
2

ã

. Phương trình (∗) trở thành

(u + 9v)a2+ 2(2u − 3v)a + 4u + v = 0 (∗∗)

Phương trình (∗) có nghiệm thì phải tồn tại a, tức là phương trình (∗∗) phải có nghiệm a. Do đó

∆0 = (2u − 3v)2_{− (u + 9v)(4u + v) = −49uv ≥ 0 ⇔ uv ≤ 0 hay log}

3(2x − x2) · log11

Å 2 − x2
2
ã
≤ 0
⇔


















log₃(2x − x2) ≤ 0
log₁₁Å 2 − x

2
2
ã
≥ 0






log₃(2x − x2) ≥ 0
log₁₁Å 2 − x

2
2
ã
≤ 0
⇔

















0 < 2x − x2 ≤ 1
2 − x2

2 ≥ 1








2x − x2 ≥ 1
0 < 2 − x

2
2 ≤ 1

⇔









(

0 < 2x − x2 ≤ 1
x = 0








x = 1

0 < 2 − x
2
2 ≤ 1

⇔ x = 1.

Với x = 1, ta thay lại vào phương trình (∗) ta được a = 1
3 (loại)

Vậy khơng có số ngun dương a để phương trình đã cho cho nghiệm duy nhất.

Chọn đáp án B _

Câu 7. Biết rằng 2x+1x = log

214 − (y − 2)
√

y + 1 trong đó x > 0. Tính giá trị của biểu thức P =
x2+ y2− xy + 1

A 1. B 2. C 3. D 4.

Lời giải.

Ta có x + 1

x ≥ 2 ⇒ 2

x+1_x _{≥ 4, (1).}

Ta thấy 14 − (y − 2)√y + 1 = −(√y + 1)3 + 3√y + 1 + 14.

Xét f (t) = −t3+ 3t + 14 với t = √y + 1 ≥ 0. Ta có bảng biến thiên
t

f0(t)

f (t)

0 1 +∞

+ 0 −

</div>
<span class='text_page_counter'>(140)</span><div class='page_container' data-page=140>

Do vậy, ta được log₂14 − (y − 2)√y + 1 ≤ 4, (2).
Từ (1) và (2) ta được

(
x = 1

y = 0.
Vậy P = 2.

Chọn đáp án B _

Câu 8. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 9x_{− 2(x + 5)3}x_{+ 9(2x + 1) ≥ 0.}

A [0; 1] ∪ [2; +∞). B (−∞; 1] ∪ [2; +∞). C [1; 2]. D (−∞; 0] ∪ [2; +∞).

Lời giải.

Bất phương trình đã cho tương đương

(3x− 9) (3x_{− 2x − 1) ≥ 0.}

Dễ thấy x = 1 và x = 2 thỏa mãn bất phương trình.

Đặt g(x) = (3x− 9) (3x_{− 2x − 1), f (x) = 3}x_{− 2x − 1. Ta có f}0_{(x) = 3}x_{ln 3 − 2. Suy ra}

f0(x) = 0 ⇔ x = x0 = log3
Å ₂

ln 3
ã

.

Ta có bảng xét dấu

x

f (x)

3x_{− 9}
g(x)

−∞ 0 x0 1 2 +∞

+ 0 − f (x0) − 0 + +

− − − − 0 +

− 0 + + 0 − 0 +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy g(x) = (3x_{− 9) f (x) ≥ 0 nếu x ∈ [0; 1] ∪ [2; +∞).}

Chọn đáp án A _

Câu 9. Cho 0 < x < y < 1. Đặt m = 1
y − x

Å
ln y

1 − y − ln
x
1 − x

ã

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A m > 4. B m < 1. C m = 4. D m < 2.

Lời giải.

Xét hàm số f (t) = ln t

1 − t − 4t trên (0; 1) ⇒ f

0_{(t) =} 1
t +

1

1 − t − 4 =

(2t − 1)2

t(1 − t) ≥ 0, ∀t ∈ (0; 1).
Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên (0; 1).

Do vậy

f (y) > f (x) ⇔ ln y

1 − y − 4y > ln
x

1 − x − 4x

⇔ 1

y − x
Å

ln y

1 − y − ln
x
1 − x

ã

> 4.

Vậy m > 4.

</div>
<span class='text_page_counter'>(141)</span><div class='page_container' data-page=141>

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 5x2+ 12x + 16 = m(x + 2)√x2_{+ 2}
có hai nghiệm thực phân biệt thỏa mãn điều kiện 20172x+

√

x+1−20172+√x+1

+ 2018x ≤ 2018.

A m ∈ (2√6; 3√3]. B m ∈ [2√6; 3√3].

C m ∈
Å

3√3;11
3

√
3

ã

∪ {2√6}. D m ∈
Ç

2√6;11

√

3
3

å
.

Lời giải.

Điều kiện: x ≥ −1.

20172x+
√

x+1−20172+√x+1

+ 2018x ≤ 2018 ⇔ 2017
√

x+1₍₂₀₁₇2x_{− 2017}2_{) + 2018(x − 1) ≤ 0}
⇔ 2017√x+1₍₂₀₁₇x_{+ 2017)(2017}x_{− 2017) + 2018(x − 1) ≤ 0}

⇔ x − 1 ≤ 0

⇔ x ≤ 1.

Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm −1 ≤ x ≤ 1. (∗)
Lại có

5x2+ 12x + 16 = m(x + 2)√x2_{+ 2 ⇔ 3(x + 2)}2_{+ 2(x}2 _{+ 2) = m(x + 2)}√_x2_{+ 2}

⇔ 3

 

(x + 2)2
x2_{+ 2} + 2

 

x2+ 2

(x + 2)2 = m. (2)

Đặt
 

(x + 2)2

x2_{+ 2} = t, phương trình (2) trở thành 3t +
2

t = m. (3)

Xét hàm số g(x) = (x + 2)
2

x2_{+ 2} , với −1 ≤ x ≤ 1
⇒ g0_{(x) =} −4x2− 4x + 8

(x2_{+ 2)}2 ; g

0_{(x) = 0 ⇒ x = 1; x = −2. Suy ra g}0_{(x) ≥ 0, ∀x ∈ [−1; 1]}
⇒ 1

3 ≤ g(x) ≤ 3 ⇒
1
√

3 ≤ t ≤
√

3.

Xét hàm số f (t) = 3t + 2
t, với

1
√

3 ≤ t ≤
√

3. Ta có f0(t) = 3t
2_{− 2}

t2 ; f

0_{(t) = 0 khi t =}

√

2
√

3.
Ta có bảng biến thiên

t

f0(t)

f (t)
1
√
3

√
2
√

3

√
3

− 0 +

3√3
3√3

2√6
2√6

11√3
3
11√3

3

Yêu cầu của bài tốn ⇔ phương trình (3) có hai nghiệm t phân biệt thỏa mãn √1

3 ≤ t ≤
√

3. Dựa vào

bảng biến thiên, ta có 2√6 < m ≤ 3√3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(142)</span><div class='page_container' data-page=142>

Câu 11. Tìm giá trị gần đúng của tổng các nghiệm của bất phương trình sau
Ư

…

2 log2_x 22

3 − 2logx
22

3 + 5 −

√

13 +
Ã

2
log222

3
x−

4
log22

3
x + 4

è

(24x6− 2x5_{+ 27x}4_{− 2x}3_{+ 1997x}2

+ 2016) 6

0.

A 12,3. B 12. C 12,1. D 1,2.

Lời giải.

Điều kiện:

(

x > 0

x 6= 1. Ta có

24x6− 2x5_{+ 27x}4_{− 2x}3_{+ 1997x}2_{+ 2016 = 24x}6_{− 2x}5_{+ 27x}4_{− 2x}3_{+ 24x}2<sub>
+ 1973x</sub>2_{+ 2016}
=x4

ï
24

Å

x2+ 1
x2

ã
− 2

Å
x + 1

x
ã

+ 27
ị

+ 1973x2+ 2016

=x4
đ

24
Å

x + 1
x

ã2
− 2

Å
x + 1

x
ã

+ 75
ô

+ 1973x2+ 2016.

Suy ra 24x6− 2x5_{+ 27x}4_{− 2x}3_{+ 1997x}2_{+ 2016 > 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện của phương trình.}
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

…

2 log2_x 22

3 − 2 logx
22

3 + 5 +
Ã

2
log222

3
x −

4
log22

3

x + 4 ≤
√

13.

Đặt log_x22

3 = t, ta có

√

2t2_{− 2t + 5 +}√_2t2_{− 4t + 4 =}

Ã
Ç_√
2t −
√
2
2
å2
+
Ç
3√2

2
å2

+
…

Ä√

2 −√2tä2+Ä√2ä2

≥
Ã
Ç_√
2 −
√
2
2
å2
+

Ç
3√2

2 +
√

2
å2

=√13.

(Áp dụng bất đẳng thức | #»u | + | #»v | ≥ | #»u + #»v |; dấu bằng xảy ra khi hai véc tơ cùng hướng).

Dấu “=” xảy ra khi
√

2t −
√

2
2
3√2

2

=
√

2 −√2t
√

2 ⇔ t =
4
5.

Như vậy √2t2_{− 2t + 5 +}√_2t2_{− 4t + 4 ≤}√_{13 ⇔} √_2t2_{− 2t + 5 +}√_2t2_{− 4t + 4 =}√_{13 ⇔ t =} 4
5.

Với t = 4

5 ⇒ logx
22

3 =
4

5 ⇔ x =
4
 
Å 22
3
ã5
≈ 12,1.

Chọn đáp án C _

Câu 12. Cho bất phương trình 2−x2+2x+1+ 2x2−2x ≥ m. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với

mọi x ∈ R.

A m ≤ 3. B m ≥ 3√2. C m ≤ 2√2. D m ≤ 3√2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(143)</span><div class='page_container' data-page=143>

Đặt t = 2x2_−2x

, vì x2 _{− 2x ≥ −1 ⇒ t ≥} 1

2, khi đó bài tốn trở thành: Tìm m để bất phương trình
m ≤ 2

t + t nghiệm đúng với mọi t ≥
1
2.

Xét f (t) = 2

t + t với t ≥
1

2. Ta có f

0_{(t) = −}2

t2 + 1 ⇒ f

0_{(t) = 0 ⇔}
"

t =√2

t = −√2 (loại).

Bảng biến thiên

t

f0(t)

f (t)
1
2

√

2 +∞

− 0 +

9
2
9
2

2√2
2√2

+∞
+∞

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy m ≤ 2√2 thì thỏa u cầu bài tốn.

Chọn đáp án C _

Câu 13. Có tất cả bao nhiêu bộ ba các số thực (x; y; z) thỏa mãn





23

√
x2

· 43
√

y2
· 163

√
z2

= 128

xy2+ z4
2 = 4 + xy2− z4
2
.

A 3. B 4. C 1. D 2.

Lời giải.

Hệ phương trình đã cho tương đương





23

√
x2₊√3

y2₊√3_z2

= 128

xy2+ z4
2

− xy2_{− z}4
2
= 4

⇔
(√3

x2_{+ 2}p3

y2 _{+ 4}√3_z2 _{= 7}
xy2z4 = 1.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số khơng âm ta có

7 = 3
√

x2_{+ 2}p3

y2_{+ 4}√3_z2
=√3x2₊p3

y2₊p3

y2₊√3_z2₊√3_z2₊√3_z2₊√3_z2
≥ 77

…
3
√

x2Äp3

y2ä2Ä√3_z2ä4
= 7 21

»

(xy2_z4₎2
= 7.

Do đó hệ phương trình đã cho tương đương

(

</div>
<span class='text_page_counter'>(144)</span><div class='page_container' data-page=144>

Dễ thấy x > 0 và từ phương trình thứ hai ta có x7 = 1 hay x = 1. Suy y = ±1, z = ±1.
Vậy các bộ số thực thỏa mãn đề bài là (1; 1; 1), (1; 1; −1), (1; −1; −1), (1; −1; 1).

Chọn đáp án B _

Câu 14. Trong tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn log_x2_+y2₊₃(2x + 2y + 5) ≥ 1, giá trị thực của m để
tồn tại duy nhất cặp (x; y) sao cho x2_{+ y}2_{+ 4x + 6y + 13 − m = 0 thuộc tập nào sau đây?}

A [8; 10]. B [5; 7]. C [1; 4]. D −3; 0].

Lời giải.

Từ giả thiết ta có: 2x + 2y + 5 ≥ x2+ y2+ 3 ⇔ (x − 1)2+ (y − 1)2 ≤ 4.
Yêu cầu bài toán ⇔

(

(x − 1)2+ (y − 1)2 ≤ 4 (1)
(x + 2)2+ (y + 3)2 = m (2)

có nghiệm duy nhất.

Xét các đường trịn có phương trình (x − 1)2+ (y − 1)2 = 4, tọa độ tâm I1(1; 1) , R1 = 2.
Khi m = 0 điểm I (−2; −3) khơng thỏa mãn phương trình (1).

Khi m > 0 thì (2) là phương trình đường trịn có tâm I2(−2; −3) , R2 =
√

m.

Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ hai đường trịn trên tiếp xúc ngồi với nhau ⇔ R1 + R2 = I1I2 hay
2 +√m = 5 ⇔ m = 9.

Chọn đáp án A _

Câu 15. Gọi S là tổng các nghiệm của bất phương trình

Ü
4

…

2 log2_x 22

3 − 2 logx
22

3 + 5
94 log812 −

√
13 +

Ã
2
log222

3
x−

4
log22

3
x+ 4

ê

(24x6−2x5_+27x4_−2x3_+2017x2₊

2018) 6 0. Giá trị gần đúng của S là

A 12,3. B 12,2. C 12,1. D 12.

Lời giải.

Điều kiện:























2 log2_x22

3 − 2 logx
22

3 + 5 > 0
2

log222
3

x −
4
log22

3

x + 4 > 0

x > 0

x 6= 1

⇔
(

x > 0

x 6= 1

Ta có: 24x6− 2x5_{+ 27x}4_{− 2x}3_{+ 2017x}2_{+ 2018 = 23x}6_{+ x}4_{(x − 1)}2_{+ 25x}4_{+ x}2_{(x − 1)}2_{+ 2016x}2_{+ 2018 >}
0, ∀x ∈ R

Do đó bất phương trình đã cho tương đương với:

4
…

2 log2_x 22

3 − 2 logx
22

3 + 5
94 log₈₁2 −

√
13 +

Ã
2
log222

3
x −

4
log22

3

x + 4 6 0

⇔
…

2 log2_x22

3 − 2 logx
22

3 + 5 −
√

13 +
…

2 log2_x 22

3 − 4 logx
22

</div>
<span class='text_page_counter'>(145)</span><div class='page_container' data-page=145>

Đặt t = log_x22

3 , ta được: _√

2t2_{− 2t + 5 +}√_2t2_{− 4t + 4 6}√_{13 (∗)}

⇔
Ã

Ç_√
2t −

√
2
2

å2
+9

2 +
…

Ä

−√2t +√2ä2 _{+ 2 6}√13

Đặt #»u Ç√2t −

√

2
2 ;

3
√
2

å

và #»v Ä−√2t +√2;√2ä. Áp dụng bất đẳng thức | #»u | + | #»_{u | > | #»}u + #»v |, ta có:

s
Ç√

2t −
√

2
2

å2
+ 9

2+
q

Ä

−√2t +√2ä2_{+ 2 >} … 1
2 +

25
2 =

√
13

Do đó (*) xảy ra ⇔ #»u , #»v cùng hướng ⇔√2Ç√2t −
√

2
2

å
= √3

2
Ä

−√2t +√2ä⇔ t = 4
5.

Suy ra log_x 22
3 =

4
5 ⇔ x

4
5 ₌ 22

3 ⇔ x =
4
 

Å 22
3

ã5

' 12, 1.

Chọn đáp án C _

Câu 16. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log_(x+y)(x2+ y2) ≤ 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức
A = 48(x + y)3− 156(x + y)2_{+ 133(x + y) + 4 là}

A 29. B 1369

36 . C 30. D

505
36.

Lời giải.

Xét giả thiêt log_(x+y)(x2_{+ y}2_{) ≤ 1, ta có}
• Nếu x + y > 1 ta có x2_{+ y}2 _{≤ x + y.}

Mặt khác x2+ y2 ≥ (x + y)
2

2 ⇒

(x + y)2

2 ≤ x + y ⇔ 1 < x + y ≤ 2.

• Nếu 0 < x + y < 1, ta có x2_{+ y}2 _{≥ x + y ⇔ (x + y)}2_{− (x + y) ≥ 2xy > 0 ⇒}
"

x + y < 0

x + y > 1
(loại).

Đặt t = x + y ⇒ t ∈ (1; 2], xét hàm số f (t) = 48t3_{− 156t}2_{+ 133t + 4.}

Ta có f0(t) = 144t2_{− 312t + 133, f}0_{(t) = 0 ⇔}





t = 19
12

t = 7

12

⇒ t = 19
12.

Ta có BBT:

t

f0(t)

f (t)

1 19

12 2

− 0 +

29
29

505
36
505

36

30
30

Vậy max A = max
(1;2]

f (t) = 30 khi x + y = 2.

Chọn đáp án C _

Câu 17. Bất phương trình 5x +√6x2_{+ x}3_{− x}4_log

2x > (x2 − x) log2x + 5 + 5
√

</div>
<span class='text_page_counter'>(146)</span><div class='page_container' data-page=146>

A 1

2. B

7

2. C

5

2. D 2.

Lời giải.

Điều kiện
(

x > 0

6 + x − x2 ≥ 0 ⇔ 0 < x ≤ 3.
Với điều kiện 0 < x ≤ 3 ta có

5x +√6x2_{+ x}3_{− x}4_{· log}

2x > (x2− x) · log2x + 5 + 5
√

6 + x − x2
⇔ Ä√6 + x − x2_{− x + 1}ä_{· (x · log}

2x − 5) > 0
⇔ √6 + x − x2 _{< x − 1 (vì max}

(0;3] (x · log2x − 5) < 0)

⇔









x − 1 > 0

6 + x − x2 ≥ 0

6 + x − x2 < (x − 1)2
⇔ 5

2 < x ≤ 3.

Ta chứng minh max

(0;3] (x · log2x − 5) < 0.
Xét f (x) = x · log₂x − 5 với x ∈ (0; 3].
Ta có f0(x) = log₂x + 1

ln 2.
Ta có f0(x) = 0 ⇔ x = 2−ln 21 .

Ta có lim

x→0+(x · log2x) = lim_x→0+
log₂x

1
x

= lim
x→0+

1
x ln 2

− 1
x2

= lim
x→0+

−x
ln 2 = 0.

Ta có bảng biến thiên của hàm số f (x)

x

f0(x)

f (x)

0 2−ln 21 3

− 0 +

−5
−5

f (2−ln 21 )
f (2−ln 21 )

f (3) ≈ −0,25
f (3) ≈ −0,25

Do vậy, max

(0;3] f (x) = f (3) < 0.

Chọn đáp án A _

Câu 18. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương nhỏ hơn 10 của tham số m để bất phương trình

m9x_{+ (m − 1)3}x+2 _{+ m − 1 > 0 có tập nghiệm là R?}

A 3. B 9. C 8. D 2.

Lời giải.

Đặt t = 3x (t > 0), bất phương trình tương đương m(t2+ 9t + 1) > 9t + 1 ⇔ m > 9t + 1

t2_{+ 9t + 1}, ∀t > 0.
Bảng biến thiên của hàm số f (t) = 9t + 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(147)</span><div class='page_container' data-page=147>

x

f0(t)

f (t)

0 +∞

−

1

1

0
0

Từ bảng biến thiên suy ra 1 ≤ m < 10.

Chọn đáp án B _

Câu 19. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn log x + log y ≥ log(x2_{+ y). Tìm giá trị nhỏ nhất của}

P = 2x + y.

A 3 + 2√6. B 4 + 2√3. C 8. D 5 + 3√2.

Lời giải.

Điều kiện x > 0, y > 0. Ta có log x + log y ≥ log(x2+ y) ⇔ xy ≥ x2 + y (∗).

Từ (∗) ⇒ y(x − 1) ≥ x2 > 0 ⇒ x > 1 ⇒ P − 2x < P − 2. Mà y = P − 2x > 0. Suy ra P > 2.

Ta có (∗) ⇔ x(P − 2x) ≥ x2+ P − 2x ⇔ 3x2− (2 + P )x + P ≤ 0 (∗∗). Bất phương trình (∗∗) là bất
phương trình bậc hai ẩn x. Để (∗∗) có nghiệm x thì

∆ ≥ 0 ⇔ P2− 8P + 4 ≥ 0 ⇔
"

P ≥ 4 + 2√3

P ≤ 4 − 2√3 (loại vì P > 2).

Với P = 4 + 2√3 thì (∗∗) ⇔ x = 3 +
√

3

3 (thỏa mãn x > 0). Khi đó y =

6 + 4√3

3 (thỏa mãn y>0).
Vậy min P = 4 + 2√3.

Chọn đáp án B _

Câu 20. Cho bất phương trình log_3a11 + log1

7
Ä√

x2_{+ 3ax + 10 + 4}ä_{· log}

3a(x2+ 3ax + 12) ≥ 0. Giá
trị thực của tham số a để bất phương trình trên có nghiệm duy nhất thuộc khoảng nào sau đây?

A (−1; 0). B (1; 2). C (0; 1). D (2; +∞).

Lời giải.

Đặt m = 3a khi đó bất phương trình đã cho trở thành

log_m11 + log1
7

Ä√

x2_{+ mx + 10 + 4}ä_{· log}

m x2+ mx + 12
≥ 0. (1)
Điều kiện của bất phương trình là m > 0; m 6= 1; x2_{+ mx + 10 ≥ 0.}

Ta có

(1) ⇔ 1 − log7(
√

x2_{+ mx + 10 + 4) · log}

11(x2+ mx + 12)

log₁₁m ≥ 0. (2)

Đặt u = x2_{+ mx + 10, u ≥ 0.}
• Với 0 < m < 1.Ta có

</div>
<span class='text_page_counter'>(148)</span><div class='page_container' data-page=148>

Vì f (u) là hàm tăng trên (0; +∞) nên từ (3) ta có

f (u) ≥ f (9) ⇔ u ≥ 9 ⇔ x2+ mx + 1 ≥ 0. (4)

(4) vơ số nghiệm vì ∆ = m2 _{− 4 < 0 với ∀m ∈ (0; 1). Suy ra 0 < m < 1 khơng thỏa bài tốn.}

• Với m > 1. Ta có

(2) ⇔ f (u) ≤ f (9) ⇔ 0 ≤ u ≤ 9 ⇔
(

x2+ mx + 10 ≥ 0 (5)
x2+ mx + 1 ≤ 0. (6)
Xét (6), ta có ∆ = m2 _{− 4.}

+ m2_{− 4 < 0 ⇔ 1 < m < 2 thì (6) vơ nghiệm. Khơng thỏa bài tốn.}
+ m2_{− 4 > 0 ⇔ m > 2 thì (6) có nghiệm là đoạn [x}

1; x2], lúc này (5) nhận hơn 1 số của [x1; x2]
làm nghiệm. Khơng thỏa bài tốn.

+ m2 − 4 = 0 ⇔ m = 2 thì (6) có nghiệm duy nhất x = −1 và x = −1 thỏa (5). Do đó bất
phương trình có nghiệm duy nhất là x = −1.

Vậy m = 2 ⇔ a = 2
3.

Chọn đáp án C 

Câu 21. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 3x _{> 5 − 2x.}

A [1; +∞). B (−∞; 1]. C (1; +∞). _{D ∅.}

Lời giải.

Ta có 3x _{> 5 − 2x ⇔ 3}x_{+ 2x − 5 > 0.}

Xét hàm số f (x) = 3x_{+ 2x − 5, suy ra f}0_{(x) = 3}x_{ln 3 + 2 > 0, ∀x ∈ R. Do đó hàm số đồng biến trên R.}
Suy ra f (x) _{> 0 = f (1) ⇔ x > 1.}

Chọn đáp án A _

Câu 22. Cho bất phương trình m·3x+1+(3m + 2)·Ä4 −√7äx+Ä4 +√7äx > 0, với m là tham số. Tìm
tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ (−∞; 0].

A m > 2 − 2

√
3

3 . B m >

2 + 2√3

3 . C m ≥

2 − 2√3

3 . D m ≥ −

2 − 2√3
3 .

Lời giải.

Do 3x _{> 0 ∀x ∈ R nên}

m · 3x+1 + (3m + 2) ·Ä4 −√7äx+Ä4 +√7äx > 0

⇔ 3m + (3m + 2) ·
Ç

4 −√7
3

åx
+

Ç

4 +√7
3

åx

> 0 (1)

Đặt t =
Ç

4 +√7
3

åx

để x ∈ (−∞; 0] suy ra 0 < t ≤ 1. Khi đó bất phương trình (1) trở thành

⇔ 3m + (3m + 2) · 1

t + t > 0 (2)

Để thỏa mãn bài toán khi (2) đúng với mọi t ∈ (0; 1]. Khi đó với t ∈ (0; 1] ta có

(2) ⇔ m ·
Å

3 + 3
t

ã

+ t +2

</div>
<span class='text_page_counter'>(149)</span><div class='page_container' data-page=149>

Xét hàm f (t) = −t
2_{+ 2}

3t + 3 trên khoảng (0; 1], ta có f

0_{(t) =} 6 − 6t − 3t
2
(3t + 3)2 .
Khi f0(t) = 0 suy ra 6 − 6t − 3t2 _{= 0 ⇔}

"

t =√3 − 1

t = −√3 − 1.
Xét dấu f0(t)

t

f0(t)

0 √3 − 1 1

+ 0 −

Dựa vào bảng xét dấu suy ra max

t∈(0;1]f (t) = f
Ä√

3 − 1ä = 2 − 2
√

3
3 .

Do đó để bất phương trình (2) đúng với mọi t ∈ (0; 1] khi m > 2 − 2
√

3
3 .

Chọn đáp án A _

Câu 23. Tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình x√x +√x + 12 ≤ m log₅₋√

4−x3 có nghiệm
là

A m > 2√3. B m > 12 log₃5. C m ≥ 2√3. D 2 < m < 12 log₂5.

Lời giải.

• Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 4.

• (∗) ⇔ x√x +√x + 12 ≤ m

log₃(5 −√4 − x) ⇔ (x
√

x +√x + 12) log₃(5 −√4 − x) ≤ m.
(do log₃(5 −√4 − x) > 0).

• Ta có x√x +√x + 12 và log₃(5 −√4 − x) đồng biến trên (0; 4] nên
f (x) = (x√x +√x + 12) log₃(5 −√4 − x) đồng biến trên [0; 4].
• Bất phương trình có nghiệm ⇔ m ≥ min

[0,4] f (x) = f (0) = 2
√

3.

Chọn đáp án C _

Câu 24. Cho các số thực x, y dương thỏa mãn log₂ x

2_{+ y}2
3xy + x2 + x

2_{+ 2y}2 _{+ 1 ≤ 3xy. Tìm giá trị nhỏ}

nhất của P = 2x

2_{− xy + 2y}2
2xy − y2 .
A 1

2. B

1 +√5

2 . C

3

2. D

5

2.

Lời giải.

Từ log₂ x
2_{+ y}2
3xy + x2 + x

2_{+ 2y}2_{+ 1 ≤ 3xy ⇔ log}

22(x2+ y2) + 2(x2 + y2) ≤ log2(3xy + x2) + 3xy + x2.
Xét hàm số f (t) = log₂t + t với t > 0.

Ta thấy f (t) là hàm đồng biến trên (0; +∞), nên từ f [2(x2_{+ y}2_{)] ≤ f (3xy + x}2₎
⇒ 2(x2_{+ y}2_{) ≤ 3xy + x}2 _{⇒ x}2_{+ 2y}2 _{≤ 3xy.}

Đặt t = x

y. Từ x

2_{+ 2y}2 _{≤ 3xy ⇒ 1 ≤ t ≤ 2.}

P = 2x

2_{− xy + 2y}2
2xy − y2 =

2t2 − t + 2
2t − 1 = t +

2
2t − 1 =

2t − 1

2 +

2
2t − 1 +

1

2 ≥ 2 +
1
2 =

5
2.

Vậy Pmin =
5

2 khi x =
3y

</div>
<span class='text_page_counter'>(150)</span><div class='page_container' data-page=150>

Chọn đáp án D _

Câu 25. Một người vay 500 triệu đồng từ ngân hàng để lấy vốn làm ăn theo thể thức lãi kép với lãi

suất không đổi trong suốt q trình trả nợ là 1%/tháng (tính lãi hàng tháng). Mỗi tháng người đó trả

10 triệu đồng cho đến tháng cuối thì số tiền phải trả cịn ít hơn 10 triệu. Hỏi số tiền phải trả trong

tháng cuối là bao nhiêu (làm tròn đến hàng ngàn)?

A 6.552.000đ. B 6.553.000đ. C 6.554.000đ. D 6.555.0000đ.

Lời giải.

Gọi A, a lần lượt là số tiền vay ban đầu và số tiền phải trả hàng tháng. Ta có

- Sau tháng 1, số tiền cịn nợ là: N1 = A(1 + r) − a

- Sau tháng 2, số tiền còn nợ là: N2 = N1(1 + r) − a = A(1 + r)2− a(1 + r) − a

- Sau tháng thứ 3, số tiền còn nợ là: N3 = N2(1 + r) − a = A(1 + r)3− a(1 + r)2 − a(1 + r) − a · · ·
- Sau tháng thứ n số tiền còn nợ là

Nn = Nn−1(1 + r) − a = A(1 + r)n− a(1 + r)n−1− a(1 + r)n−1− · · · − a = A(1 + r)n− a

(1 + r)n_{− 1}
r
Áp dụng vào bài với A = 500, a = 10, r = 0.01. Ta có

Nn < 10 ⇔ 500 · 1.01n− 10

1.01n_{− 1}

0.01 < 10 ⇔ 1.01

n_> 99

10 ⇔ n > 68.65

Vậy sau 69 tháng thì số tiền phải trả còn lại N69= 500 · (1.01)69− 10

(1.01)69_{− 1}

0.01 ≈ 6.553.000đ.

Chọn đáp án B _

Câu 26. Tìm giá trị của tham số m để bất phương trình

log₂ 2x2− 5x + 1
− m > m ·»log₄(2x2_{− 5x + 1)}
có nghiệm với mọi x ≥ 3.

A m < 1. B m ≥ 1. C m > 1. D m ≤ 1.

Lời giải.

Để bất phương trình xác định:

(

2x2− 5x + 1 > 0

log₄ 2x2− 5x + 1
≥ 0
⇔

(

2x2− 5x + 1 > 0
2x2− 5x + 1 ≥ 1 ⇔ 2x

2_{− 5x ≥ 0}



x ≤ 0

x ≥ 5
2

(∗)

Xét x ≥ 3, ta đặt t = plog₄(2x2_{− 5x + 1). Vì 2x}2 _{− 3x + 1 ≥ 4 ∀x ≥ 3 suy ra t ≥ 1. Khi đó bất}
phương trình trở thành

2t2 − m > mt ⇔ 2t2− mt − m > 0 (1)
Bài tốn trở thành tìm m để bất phương trình (1) đúng với mọi t ≥ 1.

Xét t ≥ 1 ta có

(1) ⇔ 2t2 > m (t + 1) ⇔ 2t
2
t + 1 > m

Xét hàm số f (t) = 2t
2

t + 1 trên [1; +∞). Ta có f

0_{(t) =} 2t2+ 4t

(t + 1)2, dễ thấy f

0_{(t) > 0 ∀t ≥ 1 suy ra hàm}
số đồng biến trên [1; +∞) nên min

t∈[1;+∞)f (t) = f (1) = 1.
Do đó để (1) đúng với mọi t ≥ 1 khi m < min

</div>
<span class='text_page_counter'>(151)</span><div class='page_container' data-page=151>

Chọn đáp án A 

Câu 27. Giải bất phương trình log₃ 5x + 1

(x − 1)2 ≥ 3x

2 _{− 11x + 3 ta được tập nghiệm S. Biết rằng S có}
dạng [a; b]\{1}. Hãy tính T = (a + b) − ab.

A 23

3 . B

11

3 . C 3. D

10
3 .

Lời giải.

Điều kiện:





x > −1
5
x 6= 1

.

log₃ 5x + 1

(x − 1)2 ≥ 3x

2_{− 11x + 3}

⇔ log₃(5x + 1) − log₃(x − 1) ≥ 3(x − 1)2 − (5x + 1) + 1
⇔ log₃(5x + 1) + (5x + 1) ≥ log₃(x − 1)2+ 3(x − 1)2+ log₃3
⇔ log₃(5x + 1) + (5x + 1) ≥ log₃3(x − 1)2_{ + 3(x − 1)}2
⇔ f (5x + 1) ≥ f3(x − 1)2_{ .}

Xét hàm f (t) = log₃t + t, tới t > 0.
f0(t) = 1

t ln 3 + 1 > 0, với ∀t > 0 nên hàm số đồng biến trên (0; +∞).
Nên

f (5x + 1) ≥ f3(x − 1)2

⇔ 5x + 1 > 3(x − 1)2

⇔ 3x2_{− 11x + 2 ≤ 0}
⇔ 11 −

√
97

6 ≤ x ≤

11 +√97
6 .

Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là
đ

11 −√97
6 ;

11 +√97
6

ô
\{1}.

Vậy T = (a + b) − ab = 3.

Chọn đáp án C _

Câu 28. Trong các nghiệm (x; y) thỏa mãn bất phương trình log_x2_+2y2(2x + y) ≥ 1. Giá trị lớn nhất

của biểu thức T = 2x + y bằng

A 9

4. B

9

2. C

9

8. D 9.

Lời giải.

TH1: x2_{+ 2y}2 _{> 1. Đặt z = y}√_{2, suy ra x}2_{+ z}2 _{> 1 (1). Khi đó:}
log_x2_+2y2(2x + y) ≥ 1 ⇔ 2x + y ≥ x2+ 2y2 ⇔ 2x +

z
√

2 ≥ x

2_{+ z}2 _{⇔ (x − 1)}2₊
Å

z − 1
2√2

ã2
≥ 9

8 (2).
Tập hợp các điểm M (x; y) là miền (H) bao gồm miền ngồi của hình trịn (C1) : x2 + z2 = 1 và miền
trong của hình trịn (C2) : (x − 1)2+

Å

z − 1
2√2

ã2
= 9

</div>
<span class='text_page_counter'>(152)</span><div class='page_container' data-page=152>

Hệ















T = 2x +√z
2

(x − 1)2+
Å

z − 1
2√2

ã2
≥ 9

8

x2+ z2 > 1

có nghiệm khi đường thẳng d : 2x +√z

2− T = 0 có điểm chung với

miền (H).

Để T đạt giá trị lớn nhất thì đường thẳng d phải tiếp xúc với đường trịn (C2), nghĩa là ta có d(I, d) =
3

2√2 ⇔

T − 9
4

= 9

4 ⇔ T =
9
2 với I

Å
1; 1

2√2
ã

là tâm của đường tròn (C2).

TH2: 0 < x2_{+ 2y}2 _{< 1 ta có}

log_x2_+2y2(2x + y) ≥ 1 ⇔ 2x + y ≤ x2+ 2y2 ⇔ T = 2x + y < 1 (loại).
Vậy max T = 9

2.

Chọn đáp án B _

Câu 29. Tìm m để tồn tại duy nhất cặp số (x; y) thỏa mãn log_x2_+y2₊₂(4x + 4y − 4) ≥ 1 và x2+ y2+
2x − 2y + 2 − m = 0.

A Ä√10 −√2ä2. B √10 −√2 và √10 +√2.

C Ä√10 −√2ä2 và Ä√10 +√2ä2. D √10 −√2.

Lời giải.

Điều kiện: 4x + 4y − 4 > 0.

Ta có log_x2_+y2₊₂(4x + 4y − 4) ≥ 1 ⇔ 4x + 4y − 4 ≥ x2+ y2+ 2 ⇔ (x − 2)2+ (y − 2)2 ≤ 2 (C₁).
Miền nghiệm của bất phương trình là hình trịn (cả bờ) (C1) tâm I1(2; 2; ), bán kính R1 =

√
2.

Mặt khác, x2+ y2+ 2x − 2y + 2 − m = 0 ⇔ (x + 1)2 + (y − 1)2 = m (∗).
Với m = 0 ⇒ x = −1, y = 1 không thỏa mãn (C1).

Với m > 0 thì (∗) là đường trịn (C2) tâm I2(−1; 1), bán kính R2 =

√

m.

Để tồn tại duy nhất cặp số (x; y) thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau.
TH1: (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài ⇔ R1+ R2 = I1I2 ⇔

√

m +√2 =√10 ⇔ m = Ä√10 −√2ä2.
TH2: (C1) và (C2) tiếp xúc trong ⇔ R2− R1 = I1I2 ⇔

√

m −√2 = √10 ⇔ m =Ä√10 +√2ä2.
Vậy m =Ä√10 −√2ä2 và m =Ä√10 +√2ä2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án C _

Câu 30. Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình log₉(x + 6) − log₃ 5 −√4_{19 − x
< 0}
là

A −9. B −12. C 0. D −11.

Lời giải.

Ta có log₉(x + 6) − log₃ 5 −√4_{19 − x
< 0 ⇔} 1

2log3(x + 6) < log3 5 −
4

√

19 − x

⇔( − 6 < x ≤ 19√
x + 6 < 5 −√4

19 − x
Xét bất phương trình √x + 6 < 5 −√4

19 − x với −6 < x ≤ 19.

Ta có √x + 6 < 5 −√4

19 − x ⇔√x + 6 − 3 +√4

19 − x − 2 < 0
⇔ √ x − 3

x + 6 + 3+

3 − x
4

√

</div>
<span class='text_page_counter'>(153)</span><div class='page_container' data-page=153>

⇔ (x − 3)
ñ

1

√

x + 6 + 3−

1
4

√

19 − x + 2
√19 − x + 4

ô

< 0

⇔ x < 3
Ç

Vì√ 1

x + 6 + 3 −

1
4

√

19 − x + 2
√

19 − x + 4
≥ 0, ∀x ∈ (−6; 19]
å

.

Suy ra bất phương trình đã cho có tập nghiệm S = (−6; 3).

Vậy tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là

T = −5 + (−4) + (−3) + (−2) + (−1) + 0 + 1 + 2 = −12.

Chọn đáp án B _

Câu 31. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình: 1 +

log₅(x2_{+ 1) ≥ log}

5(mx2+ 4x + m) đúng với mọi x. Tổng giá trị các phần tử trong tập S bằng

A 2. B 3. C 5. D 4.

Lời giải.

Bất phương trình tương đương với

log₅5(x2+ 1) ≥ log₅(mx2+ 4x + m)
⇔ 5x2_{+ 5 ≥ mx}2 _{+ 4x + m}
⇔ (m − 5)x2_{+ 4x + m − 5 ≤ 0. (∗)}
Để (∗) nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi

















m > 0

∆0₁ = 4 − m2 < 0
(m − 5) < 0

∆0₂ = 4 − (m − 5)2 ≤ 0

⇔ 2 < m ≤ 3.

Vậy S = {3}.

Chọn đáp án B _

Câu 32. Biết a là số thực dương bất kì để bất phương trình ax _{> 9x + 1 nghiệm đúng với mọi x ∈ R.}

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A a ∈ 103; 104. B a ∈ 102; 103. C a ∈ 0; 102. D 104; +∞
.

Lời giải.

Bất phương trình ax _{> 9x + 1 đúng với mọi x ∈ R nên đúng với x = 1 ⇒ a > 10.}

Do a > 1 nên hàm số y = ax _{đồng biến trên R và đồ thị hàm số y = a}x có bề lõm quay lên trên.
Hai đồ thị hàm số y = ax và y = 9x + 1 luôn đi qua điểm A (0; 1) nên bất phương trình ax _{> 9x + 1}
nghiệm đúng với mọi x ∈ R khi đường thẳng y = 9x + 1 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A.
Phương trình tiếp của đồ thị hàm số y = ax tại A là y = x · ln a + 1.

Suy ra ln a = 9 ⇔ a = e9 _{⇒ a ∈ 10}3_{; 10}4_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(154)</span><div class='page_container' data-page=154>

Câu 33. Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình x2− x + 2 + a ln (x2

− x + 1) > 0 nghiệm đúng
với mọi x ∈ R. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a ∈ (2; 3]. B a ∈ (8; +∞). C a ∈ (6; 7]. D a ∈ (−6; −5].

Lời giải.

Đặt t = x2_{− x + 1 =}
Å

x − 1
2

ã2
+ 3

4 suy ra t>
3
4.
Bất phương trình đã cho trở thành

x2− x + 2 + a ln x2_{− x + 1}_{> 0 ⇔ t + a ln t + 1 > 0 ⇔ a ln t > −t − 1.}
• Trường hợp 1: t = 1 khi đó a ln 1 > −1 − 1 ln đúng với mọi a.

• Trường hợp 2: 3

4 6 t < 1.
Ta có a ln t _{> −t − 1, ∀t ∈}ï 3

4; 1
ã

⇔ a 6 −t − 1
ln t , ∀t ∈

ï 3
4; 1

ã
.

Xét hàm số f (t) = −t − 1
ln t ⇒ f

0_{(t) = −}

ln t − 1 − 1
t

ln2t > 0, ∀t ∈
ï 3

4; 1
ã

.

Do đó a₆ −t − 1
ln t , ∀t ∈

ï 3
4; 1

ã

⇔ a 6 −7
4 ln3₄.
• Trường hợp 3: t > 1.

Ta có a ln t _{> −t − 1, ∀t ∈ (1; +∞) ⇔ a >} −t − 1

ln t , ∀t ∈ (1; +∞).

Xét hàm số f (t) = −t − 1
ln t ⇒ f

0_{(t) = −}ln t − 1 −
1
t

ln2t , ∀t ∈ (1; +∞).
Xét hàm số g(t) = ln t − 1 − 1

t ⇔ g
0

(t) = 1
t +

1

t2 > 0 nên hàm số đồng biến.
Suy ra phương trình g(t) = 0 có tối đa một nghiệm.

Vì g(1) = −2; lim

t→+∞g(t) = +∞ nên g(t) = 0 có duy nhất một nghiệm trên (1; +∞).
Do đó f0(t) = 0 có duy nhất một nghiệm là t0. Khi đó ln t0 =

t0+ 1
t0

suy ra f (t0) = −t0. Bảng
biến thiên

t

f0(t)

f (t)

1 t0 +∞

+ 0 −

−∞
−∞

−t0
−t0

−∞
−∞

Suy ra a_> −t − 1

ln t , ∀t ∈ (1; +∞) ⇔ a > −t0.
Do đó −t0 6 a 6

−7

4 ln3₄ ≈ 6,08.

Vậy số thực a thỏa mãn yêu cầu bài toán là: a ∈ (6; 7].

Chọn đáp án C _

Câu 34. Cho bất phương trình log₇(x2+ 2x + 2) + 1 > log₇(x2 + 6x + 5 + m). Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng (1; 3)?

</div>
<span class='text_page_counter'>(155)</span><div class='page_container' data-page=155>

Lời giải.

ĐKXĐ: x2+ 6x + 5 + m > 0 ⇔ m > −x2_{− 6x − 5.}
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

log₇ x2+ 2x + 2
+ 1 > log₇ x2+ 6x + 5 + m

⇔ log7 7x2+ 14x + 14
> log7 x

2

+ 6x + 5 + m

⇔ 7x2_{+ 14x + 14 > x}2_{+ 6x + 5 + m}
⇔ m < 6x2_{+ 8x + 9.}

Do đó, nghiệm của bất phương trình đã cho là nghiệm của hệ bất phương trình

(

m > −x2− 6x − 5
m < 6x2+ 8x + 9.

Bất phương trình có cho muốn có tập nghiệm chứa (1; 3) khi và chỉ khi

(

m > −x2− 6x − 5

m < 6x2+ 8x + 9 , ∀m ∈ (1; 3) ⇔







m ≥ max
[1;3] −x

2_{− 6x − 5}

m ≤ min
[1;3] 6x

2_{+ 8x + 9}
⇔
(

m ≥ −12

m ≤ 23.

Vậy có tất cả 36 giá trị nguyên của m.

Chọn đáp án B _

Câu 35. Cho bất phương trình m · 3x+1+ (3m + 2) ·Ä4 −√7äx+Ä4 +√7äx > 0, với m là tham số. Tìm
tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ (−∞; 0)

A m > 2 + 2
√

3

3 . B m >

2 − 2√3

3 . C m ≥

2 − 2√3

3 . D m ≥ −

2 − 2√3
3 .

Lời giải.

Bất phương trình đã cho tương đương với

m · 3x+1+ (3m + 2) ·
Å ₉

4 +√7
ãx

+Ä4 +√7äx > 0

⇔
đÇ

4 +√7
3

åxơ2

+ 3m ·
Ç

4 +√7
3

åx

+ 3m + 2 > 0.

Đặt t =
Ç

4 +√7
3

åx

, t ∈ (0; 1). Ta được

t2+ 3mt + 3m + 2 > 0 ⇔ f (t) = t
2_{+ 2}

t + 1 > −3m, t ∈ (0; 1). (2)

Ta có f0(t) = t

2_{+ 2t − 2}
(t + 1)2 và f

</div>
<span class='text_page_counter'>(156)</span><div class='page_container' data-page=156>

t

f0(t)

f (t)

0 √3 − 1 1

− 0 +

2
2

−2 + 2√3
−2 + 2√3

3
2
3

2

Để thỏa mãn đề bài thì (2) phải đúng với mọi t ∈ (0; 1).

Dựa vào bảng biến thiên suy ra −3m < −2 + 2√3 ⇔ m > 2 − 2
√

3
3 .

Chọn đáp án B _

Câu 36. Cho dãy số (un) thỏa mãn 22u1+1 + 23−u2 =

8

log₃Å 1
4u

2

3− 4u1+ 4

ã và un+1 = 2un với mọi

n ≥ 1. Giá trị nhỏ nhất của n để Sn= u1+ u2 + · · · + un> 5100 bằng

A 230. B 233. C 234. D 231.

Lời giải.

Ta có un+1= 2un⇒
(

u2 = 2u1
u3 = 4u1
.

Suy ra

1
4u

2

3− 4u1+ 4 = 4u21− 4u1+ 4 = (2u1− 1)2+ 3 ≥ 3
⇒ log₃Å 1

4u
2

3− 4u1+ 4
ã

≥ log₃3 ≥ 1

⇒ 8

log₃Å 1
4u

2

3− 4u1+ 4

ã ≤ 8. (1)

Mặt khác

22u1+1_{+ 2}3−u2 _{= 2}2u1+1_{+ 2}3−2u1 _{≥ 2}
√

22u1+1· 23−2u1 = 8. (2)
Từ (1) và (2) suy ra

22u1+1_{+ 2}3−u2 ₌ 8
log₃Å 1

4u
2

3 − 4u1+ 4
ã ⇔

(

22u1+1_{= 2}3−2u1
(2u1− 1)2 = 0

⇔ u1 =

1
2.

Do đó Sn = u1·

2n_{− 1}
2 − 1 =

2n_{− 1}
2 .

Sn > 5100 ⇔

2n_{− 1}
2 > 5

100_{⇔ n > log}

2(2 · 5100+ 1) ' 233,2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn bài toán là n = 234.

Chọn đáp án C _

</div>
<span class='text_page_counter'>(157)</span><div class='page_container' data-page=157>

A m ∈ (0; +∞). B m ∈
Å

−3
4; 0

ã

. C m ∈

Å

−3

4; +∞

ã

. D m ∈ (−∞; 0).

Lời giải.

Đặt t = log₂x, do x ∈Ä√2; +∞ä nên t ∈Å 1
2; +∞

ã
.

Ta được phương trình

(t + 1)2− 2(m + 1)t − 2 < 0 ⇔ f (t) = t
2_{− 1}

t < 2m.

Ta có f0(t) = 1 + 1

t2 > 0, ∀t ∈
Å 1

2; +∞
ã

, nên

f (t) ∈
Å

−3
2; +∞

ã

⇔ 2m > −3

2 ⇔ m ∈
Å

−3
4; +∞

ã
.

Chọn đáp án C _

Câu 38. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng (−9; 9) của tham số m để bất phương trình

3 log x ≤ 2 log m√x − x2 _{− (1 − x)}√_{1 − x
có nghiệm thực?}

A 6. B 7. C 10. D 11.

Lời giải.

Điều kiện: 0 < x < 1. Khi đó

3 log x ≤ 2 logÄm√x − x2_{− (1 − x)}√_{1 − x}ä_⇔√_x3 _{≤ m}√_{x − x}2_{− (1 − x)}√_{1 − x}
⇔ √x3₊»_{(1 − x)}3 _{≤ m}√_{x − x}2 _⇔

√

x3₊_{p(1 − x)}3
√

x√1 − x ≤ m.

Đặt f (x) =
√

x3₊_{p(1 − x)}3
√

x√1 − x với 0 < x < 1. Bất phương trình có nghiệm thực ⇔ m ≥ min(0;1)f (x). Ta
có

√

x3 ₊p(1 − x)3
√

x√1 − x =

(√x +√1 − x)(x −√x√1 − x + 1 − x)
√

x√1 − x

≥ 2
»√

x√1 − x
√

x√1 − x (1 −
√

x√1 − x) = 2
Ñ

1
»√

x√1 − x
−

»√

x√1 − x
é

≥ 2
Ü

1
… x + 1 − x

2

−… x + 1 − x
2

ê

=√2.

Dấu bằng xảy ra ⇔
(√

x =√1 − x

x = 1 − x ⇔ x =
1

2. Vậy min(0;1)f (x) =
√

2. Suy ra m ≥ √2. Vậy có 7 có giá

trị của m thỏa mãn.

Chọn đáp án B _

Câu 39. Cho dãy số (an) thoả mãn a1 = 1 và an = 10an−1− 1, ∀ n ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của n

</div>
<span class='text_page_counter'>(158)</span><div class='page_container' data-page=158>

A 100. B 101. C 102. D 103.

Lời giải.

Ta thấy an = 10 · an−1− 1 ⇒ an−
1

9 = 10 ·
Å

an−1−
1
9

ã
.

Đặt bn= an−
1

9 ta được




b1 =

8
9

bn= 10 · bn−1

⇒ bn=
8
9· 10

n−1_{⇒ a}
n =

8
9 · 10

n−1₊1

9, ∀ n ≥ 1.

Ta thấy 8 · 10

n−1_{+ 1}
9 > 10

n−2 _{⇔ 9 · 10}n−2_·Å 80
9 − 1

ã

+ 1 > 0 (đúng với n ≥ 1). (1)

Ta thấy

log an > 100
⇔ an> 10100
⇒ 8 · 10

n−1_{+ 1}
9 > 10

100
⇒ 10n−2 _{≥ 10}100 _{(do (1))}
⇔ n ≥ 102.

Chọn đáp án C 

Câu 40. Có bao nhiêu giá trị dương của tham số thực m để bất phương trình »log2₂x + log1

2x

2−3 ≥

m2_(log

4x2− 3) có nghiệm duy nhất thuộc [32; +∞)?

A 2. B 1. C 3. D 0.

Lời giải.

Ta có »log2₂x + log1

2x2−3 ≥ m
2_(log

4x2− 3) ⇔
»

log2₂x + log₂x − 3 ≥ m2(log₂x − 3)

hay m2 _≤
»

log2₂x + log₂x − 3

log₂x − 3 (do x ≥ 32).
Xét hàm số f (t) =

√

t2_{− t − 3}

t − 3 với mọi t ≥ 5. f
0

(t) = −2t + 6

(t − 3)√t2_{− t − 3} < 0 với mọi t ≥ 5.
Suy ra hàm f (t) nghịch biến trên (5; +∞) và f (t) ≤ f (5) = √3.

Theo bài ra ta phải có m2 ₌√_{3 ⇔ m =}√4

3 (do m > 0).

Chọn đáp án B _

Câu 41. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log_0,02(log₂(3x_{+ 1)) > log}
0,02m
có nghiệm với mọi x ∈ (−∞; 0).

A m > 9. B m < 2. C 0 < m < 1. D m ≥ 1.

Lời giải.

TXĐ: D = R. Điều kiện của tham số m > 0.

Ta có log_0,02(log₂(3x_{+ 1)) > log}

0,02m ⇔ log2(3x+ 1) < m.
Xét hàm số f (x) = log₂(3x+ 1), ∀x ∈ (−∞; 0) có f0 = 3

x_{ln 3}

</div>
<span class='text_page_counter'>(159)</span><div class='page_container' data-page=159>

x

f0(x)

f (x)

−∞ 0

+

0
0

1
1

Khi đó với u cầu bài tốn thì m ≥ 1

Chọn đáp án D _

Câu 42. Có bao nhiêu số nguyên dương m trong đoạn [−2018; 2018] sao cho bất phương trình sau

đúng với mọi x ∈ (1; 100) : (10x)m+
log x

10 ≥ 10
11
10log x_?

A 2018. B 4026. C 2013. D 4036.

Lời giải.

Xét với x ∈ (1; 100), ta có

(10x)m+
log x

10 ≥ 10
11

10log x ⇔ log (10x)m+
log x

10 ≥ log 10
11
10log x
⇔

Å

m + log x
10

ã

(1 + log x) ≥ 11

10log x (1)

Đặt t = log x, để 1 < x < 100 ⇔ 0 < log x < 2 suy ra điều kiện 0 < t < 2. Khi đó (1) trở thành

Å

m + t

10
ã

(1 + t) ≥ 11
10t (2)

Để (1) đúng với mọi x ∈ (1; 100) khi (2) đúng với mọi t ∈ (0, 2).

Xét t ∈ (0, 2) suy ra t + 1 > 0, khi đó

(2) ⇔ (10m + t) (1 + t) ≥ 11t ⇔ 10m + t ≥ 11t

1 + t ⇔ m ≥

10t − t2
10 (t + 1)

Xét hàm số f (t) = 10t − t
2

10 (t + 1) trên khoảng (0, 2).

Ta có f0(t) = 10 − 2t − t
2
10 (t + 1)2 =

11 − (1 + t)2
10 (t + 1)2

Dễ thấy f0(t) > 0 ∀t ∈ (0, 2) suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0, 2) mà f (0) = 0; f (2) = 8
15.
Để thỏa mãn bài toán khi m ≥ f (2) ⇔ m ≥ 8

15. Do đó số giá trị nguyên của m trong đoạn [−2018; 2018]
là 2018.

Chọn đáp án A _

Câu 43. Cho dãy số (un) thoả mãn u1 =

2

3 và un+1 =

un

2(2n + 1)un+ 1

, (n ≥ 1). Tìm số nguyên dương

n nhỏ nhất thoả mãn log1

2 un > 12, 3.

A n = 50. B n = 60. C n = 51. D n = 61.

</div>
<span class='text_page_counter'>(160)</span><div class='page_container' data-page=160>

Ta chứng minh số hạng tổng quát của dãy số là un=
2

4n2_{− 1}.
Thật vậy u1 =

2

3 và với mọi n ≥ 1 ta có
un

2(2n + 1)un+ 1

= 2

(2n + 3)(2n + 1) =

2

4(n + 1)2_{− 1} = un+1.

Do đó log1

2 un > 12, 3 ⇔
2
4n2_{− 1} <

1

212,3 ⇔ n >

… 213,3_{+ 1}

4 ≈ 50, 22.
Vậy số n nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn yêu cầu là 51.

Chọn đáp án C _

Câu 44. Tính a + b, biết [a; b] là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

log₂√x2− 2x + m + 4plog

4(x2− 2x + m) 6 5 thỏa mãn với mọi x ∈ [0; 2].

A a + b = 4. B a + b = 2. C a + b = 0. D a + b = 6.

Lời giải.

Bất phương trình đã cho tương đương với log₄(x2_{− 2x + m) + 4plog}

4(x2− 2x + m) 6 5.

Đặt t =plog₄(x2_{− 2x + m) thì t > 0 và bất phương trình trở thành t}2_{+ 4t − 5 6 0 ⇔ −5 6 t 6 1.}
Kết hợp điều kiện ta được t ∈ [0; 1].

Khi đó »log₄(x2_{− 2x + m) 6 1 ⇔ 0 6 log}
4 x

2_{− 2x + m}_{6 1}
⇔ 1 6 x2

− 2x + m 6 4

⇔
(

m > −x2+ 2x + 1
m 6 −x2+ 2x + 4.(I)

Xét hàm số f (x) = −x2+ 2x + 1 = 2 − (x − 1)2 _{6 2, ∀x ∈ [0; 2] ⇒ max}

[0;2] f (x) = f (1) = 2.
Xét hàm số g(x) = −x2_{+ 2x + 4 = 4 + x(2 − x) > 4, ∀x ∈ [0; 2] ⇒ min}

[0;2] g(x) = g(0) = 4.
Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ [0; 2] ⇔ (I) nghiệm đúng với mọi x ∈ [0; 2]

⇔







m > max
[0;2] f (x)
m 6 min

[0;2] g(x)

⇔ 2 6 m 6 4.

Vậy m ∈ [2; 4], tức là a = 2, b = 4 ⇒ a + b = 6.

Chọn đáp án D _

Câu 45. Cho a là số thực dương, a 6= 1. Biết bất phương trình log_ax ≤ 3x − 3 nghiệm đúng với mọi

x > 0. Số a thuộc tập hợp nào sau đây?

A (5; +∞). B (2; 3). C (1; 2). D (3; 5].

Lời giải.

Nhận thấy nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình log_ax ≤ 3x − 3 khơng nghiệm đúng với x = a do đó
a > 1.

Thay x = a vào bất phương trình log_ax ≤ 3x − 3 ta có 1 ≤ 3a − 3 ⇔ a ≥ 4
3.
Thay x = 1

a vào bất phương trình loga
1
a ≤

3

a − 3 suy ra a ≤
3
2.
Vậy 4

3 ≤ a ≤
3

2 suy ra a ∈ (1; 2).

</div>
<span class='text_page_counter'>(161)</span><div class='page_container' data-page=161>

Câu 46. Có bao tất cả nhiêu giá trị nguyên khác 0 của tham số m sao cho log₂[(x2+ m)2] ≤ 4 với
mọi x ∈ (0; |m|)?

A 4. B 1. C 3. D 2.

Lời giải.

Xét bất phương trình

log₂(x2 + m)2 ≤ 4. (1)
Điều kiện xác định của bất phương trình (1) là (x2 + m)2 > 0 ⇔ x2+ m 6= 0 ⇔ x2 6= −m.

Ta có

(1) ⇔ (x2+ m)2 ≤ 16
⇔ − 4 ≤ x2+ m ≤ 4

⇔ − m − 4 ≤ x2 _{≤ −m + 4.} ₍₂₎

• Nếu m = 4, (2) ⇔ −8 ≤ x2 _{≤ 0 ⇔ x = 0, suy ra (1) có tập nghiệm S = {0}. Suy ra m = 4}
khơng thỏa mãn đề bài.

• Nếu m = −4, (2) ⇔ 0 ≤ x2 _{≤ 8 ⇔ x ∈}ỵ₋₂√_{2; 2}√₂ó_.

Suy ra nghiệm tập của (1) làỵ−2√2; 2√2ó\ {±2} 6⊃ (0; 4). Nên m = −4 khơng thỏa mãn đề bài.

• Nếu −4 < m < 0, (2)⇔ x ∈ −√−m + 4;√−m + 4.

Suy ra tập nghiệm của (1) là −√−m + 4;√−m + 4 \ {±√−m}.
Đề bài được thỏa mãn khi và chỉ khi

|m| ≤√−m ⇔ m2_{+ m ≤ 0 ⇔ −1 ≤ m ≤ 0.}

Suy ra m = −1.

• Nếu 0 < m < 4, (2)⇔ x ∈ −√−m + 4;√−m + 4.

Suy ra nghiệm tập nghiệm của (1) là −√−m + 4;√−m + 4.

Đề bài được thỏa mãn khi và chỉ khi

|m| ≤√−m + 4 ⇔ m2_{+ m − 4 ≤ 0 ⇔} −1 −
√

17

2 ≤ m ≤

−1 +√17
2 .

Suy ra m = 1.

• Nếu m < −4, (2)⇔ x ∈−√−m + 4; −√−m − 4 ∪ √−m − 4;√−m + 4.

Suy ra nghiệm tập nghiệm của (1) là −√−m + 4; −√−m − 4 ∪ √−m − 4;√−m + 4

6⊃
(0; |m|).

Suy ra khơng có m thỏa mãn bài đề trong trường hợp này.
• Nếu m > −4, (2) vô nghiệm.

Vậy m ∈ {−1; 1}.

Chọn đáp án D _

Câu 47. Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 sao cho yx _{· (e}x₎ey _{≥ x}y _{· (e}y₎ex

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P = log_x√xy + log_yx.
A

√
2

2 . B 2

√

2. C 1 + 2

√
2

2 . D

</div>
<span class='text_page_counter'>(162)</span><div class='page_container' data-page=162>

Lời giải.

Ta có

yx· (ex₎ey

≥ xy _{· (e}y₎ex

⇔ x · ln y + x · ey _{≥ y · ln x + y · e}x
⇔ x · (ln y + ey_{) ≥ y · (ln x + e}x₎
⇔ ln y + e

y
y ≥

ln x + ex
x

⇔ f (y) ≥ f (x), với hàm đặc trưng f (t) = ln t + e
t

t , t > 1.

Ta có f0(t) = −−e

t_{t + ln t + e}t_{− 1}
t2 .
Đặt g(t) = −et_{t + ln t + e}t_{− 1.}
Ta có g0(t) = −et_{· t +} 1

t < 0, ∀t > 1 nên f

0_{(t) > 0, ∀t > 1. Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên (1; +∞).}
Do đó f (y) ≥ f (x) ⇔ y ≥ x ⇔ log_xy ≥ 1.

Ta có P = log_x√x · y + log_yx = 1

2(1 + logxy) +
1
log_xy.
Đặt u = log_xy ⇒ u ≥ 1. Khi đó P (u) = 1

2(1 + u) +
1
u, P

0_{(u) =} 1
2−

1

u2 = 0 ⇔ u =
√

2.

Bảng biến thiên:

x

y0

y

−1 √2 +∞

− 0 +

2
2

1 + 2√2
2
1 + 2√2

2

+∞
+∞

Suy ra giá trị nhỏ nhất bằng 1 + 2
√

2
2 .

Chọn đáp án C _

Câu 48. Gọi K là tập nghiệm của bất phương trình 72x+

√

x+1 _{− 7}2+√x+1

+ 2018x 6 2018. Biết rằng
tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y = 2x3− 3(m + 2)x2_{+ 6(2m + 3)x − 3m + 5}
đồng biến trên K là [a −√b; +∞), với a, b là các số thực. Tính S = a + b.

A S = 14. B S = 8. C S = 10. D S = 11.

Lời giải.

Điều kiện xác định: x_{> −1.}

Ta có

72x+
√

x+1_{− 7}2+√x+1

+ 2018x 6 2018
⇔ 72x+

√
x+1

+ 1009(2x +√_{x + 1) 6 7}2+
√

x+1

+ 1009(2 +√x + 1) (1).

Xét hàm số f (t) = 7t+ 1009t, f0(t) = 7t_{ln 7 + 1009 > 0 cho nên hàm số đồng biến trên R.}
Mặt khác (1) ⇔ f (2x +√_{x + 1) 6 f (2 +}√x + 1), suy ra

</div>
<span class='text_page_counter'>(163)</span><div class='page_container' data-page=163>

Kết hợp điều kiện suy ra K = [−1; 1].

Hàm số y = 2x3− 3(m + 2)x2_{+ 6(2m + 3)x − 3m + 5 đồng biến trên K ⇔ y}0

> 0, ∀x ∈ K

6x2_{− 6(m + 2)x + 6(2m + 3) > 0, ∀x ∈ K}
⇔ m > x

2_{− 2x + 3}

x − 2 , ∀x ∈ K.

Đặt g(x) = x

2_{− 2x + 3}
x − 2 ; g

0_{(x) =} x2− 4x + 1
(x − 2)2 ; g

0_{(x) = 0 ⇔}

"

x = 2 −√3

x = 2 +√3 (loại).
Suy ra max g(x) = max{g(−1); g(1); g(2 −√3)} = 2 − 2√_{3 ⇒ m > 2 − 2}√3.

Vậy a = 2 và b = 12.

Chọn đáp án A _

Câu 49. Cho bất phương trình m · 92x2−x_{− (2m + 1)6}2x2−x_{+ m · 4}2x2−x

6 0. Tìm m để bất phương
trình nghiệm đúng với mọi x_> 1

2.
A m < 3

2. B m 6

3

2. C m 6 0. D m < 0.

Lời giải.

Chia cả hai vế của bất phương trình cho 42x2_−x

ta được

mÅ 9
4

ã2x2−x

− (2m + 1)Å 3
2

ã2x2−x

+ m 6 0.

Với x_> 1

2 ⇒ t =
Å 3

2

ã2x2−x

> 1. Bài tốn trở thành tìm m để bất phương trình

mt2_{− (2m + 1)t + m 6 0, ∀t > 1 (1).}
Với t = 1, 0 _{6 1.}

Với t > 1, (1) ⇔ m ₆ t

t2_{− 2t + 1}, ∀t > 1 (2).

Xét hàm số f (t) = t

t2_{− 2t + 1}; f
0

(t) = −t
2_{+ 1}

(t2_{− 2t + 1)}2 < 0, ∀t > 1.
Khi đó (2) ⇔ m_{6 lim}

t→+∞f (t) = 0. Vậy m 6 0.

Chọn đáp án C _

Câu 50. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ [0; 2018] để bất phương trình m + ex2 ≥ 4

√

e2x_{+ 1 đúng}
với mọi x ∈ R.

A 2017. B 2018. C 2019. D 2016.

Lời giải.

Ta có m + ex2 ≥ 4
√

e2x_{+ 1 ⇔ m ≥}√4

e2x_{+ 1 − e}x₂ _(1).

Xét hàm số y = f (x) = √4

e2x_{+ 1 − e}x2.
Có y0 = 1

2
Ç

e2x
4

p(e2x_{+ 1)}3 − e
x
2

å
= 1

2·

e2x− ex2p(e4 2x+ 1)3
4

p(e2x_{+ 1)}3 .
Suy ra y0 = 0 ⇔ e2x− ex2p(e4 2x+ 1)3 = 0 ⇔ e

3x

</div>
<span class='text_page_counter'>(164)</span><div class='page_container' data-page=164>

Suy ra y0 _{không đổi dấu trên R, dễ thấy y}0(0) < 0 ⇒ y0 _{< 0, ∀x ∈ R.}
Do đó hàm số y = f (x) =√4e2x_{+ 1 − e}x₂ _{nghịch biến trên R.}

Có lim

x→−∞f (x) = limx→−∞
Ä√₄

e2x_{+ 1 − e}x₂ä_{= 1.}

Khi đó bất phương trình (1) có nghiệm với mọi x ∈ R ⇔ m ≥ 1.
Suy ra có 2018 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.

Chọn đáp án B _

Câu 51. Xét các số thực x, y thỏa mãn x2_{+ y}2 _{≥ 4 và log}

x2_+y2(4x − 2y) ≥ 1. Giá trị lớn nhất của
biểu thức P = 3x + 4y − 5 là a + b√5 với a, b là các số nguyên. Tính a3+ b3.

A T = 152. B T = 98. C T = 0. D T = 250.

Lời giải.

Điều kiện 4x − 2y > 0. Ta có

log_x2_+y2(4x − 2y) ≥ 1 ⇔ 4x − 2y ≥ x2+ y2

⇒ P + 37

4 ≥

Å
x − 1

2
ã2

+ (y + 3)2 ≥
ï

3
Å

x −1
2

ã

+ 4(y + 3)
ò2

32_{+ 4}2

⇒
Å

x − 1
2

ã2

+ (y + 3)2 ≥
Å

P + 31
2

ã2

25

⇒ P + 37
4 ≥

Å

P + 31
2

ã2

25 ⇒ P ≥ −3 + 5
√

5.

Dấu bằng xảy ra ⇔






















x2+ y2 ≥ 4
4x − 2y ≥ x2+ y2

3x + 4y − 5 = −3 + 5√5

x −1
2
3 =

y + 3
4

⇔









x = 10 + 3
√

5
5

y = −25 + 20
√

5
25 .

Vậy max P = −3 + 5√5 ⇒ a3+ b3 = 98.

Chọn đáp án B 

Câu 52. Trong các nghiệm (x; y) thỏa mãn bất phương trình log_x2_+2y2(2x + y) ≥ 1. Khi đó giá trị lớn
nhất của biểu thức T = 2x + y là

A 9

4. B 9. C

9

2. D

9
8.

Lời giải.

Ta có

• Nếu x2_{+ 2y}2 _{< 1 thì log}

x2_+2y2(2x + y) ≥ 1 ⇔ 2x + y ≤ x2+ 2y2 < 1.
• Nếu x2_{+ 2y}2 _{> 1 thì log}

x2_+2y2(2x + y) ≥ 1 ⇔ 2x + y ≥ x2+ 2y2 ⇔ (x − 1)2+ 2
Å

y − 1
4

ã2
≤ 9

</div>
<span class='text_page_counter'>(165)</span><div class='page_container' data-page=165>

Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có

2x + y = 2(x − 1) +
Å

y − 1
4

ã
+ 9

4 = 2 · (x − 1) +
1
√

2 ·
√

2
Å

y −1
4

ã
+9

4

≤
s

đ
22₊

Å
1
√
2

ã2ơ đ

(x − 1)2 _{+ 2}
Å

y − 1
4

ã2ô
+ 9

4 ≤
… 9

2 ·
9
8 +

9
4 =

9
2.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2x + y là 9
2.

Chọn đáp án C _

Câu 53. Cho các bất phương trình log₅(−x2+ 4x + m) − log₅(x2+ 1) < 1 (1) và √4 − x +√x − 1 ≥ 0
(2). Tổng tất cả các giá trị nguyên dương của m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình (2) đều là

nghiệm của bất phương trình (1) là

A 13. B 21. C 28. D 11.

Lời giải.

Dễ thấy bất phương trình √4 − x +√x − 1 ≥ 0 có tập nghiệm là [1; 4].

Ta có log₅(−x2_{+ 4x + m) − log}

5(x2+ 1) < 1 ⇔ log5(−x2+ 4x + m) < log5(5x2+ 5)
⇔( − x

2_{+ 4x + m > 0}
− x2_{+ 4x + m < 5x}2_{+ 5}
⇔( − x

2

+ 4x + m > 0

6x2− 4x + 5 − m > 0.

Với m nguyên dương, ta có −x2_{+ 4x + m > 0 ⇔ 2 −}√_{4 + m < x < 2 +}√_{4 + m. Mà}
(

2 −√4 + m < 0

2 +√4 + m > 4
nên mọi nghiệm của bất phương trình (2) đều là nghiệm của bất phương trình −x2_{+ 4x + m > 0.}
Xét bất phương trình 6x2_{− 4x + 5 − m > 0} _{(∗), ta có ∆}0 _{= 4 − 6(5 − m) = 6m − 26.}

• Với 0 < m < 13

3 thì (∗) nghiệm đúng với mọi x ∈ R suy ra mọi nghiệm của bất phương trình (2)
đều là nghiệm của bất phương trình (1).

• Với m ≥ 13

3 thì (∗) ⇔ x <

2 −√6m − 26

6 hoặc x >

2 +√6m − 26

6 . Khi đó, u cầu bài tốn
xảy ra khi

2 −√6m − 26

6 > 4 hoặc

2 +√6m − 26
6 < 1
⇔ √6m − 26 < −22 hoặc√6m − 26 < 4

⇔ 13

3 ≤ m < 7

Kết hợp hai trường hợp, ta được m ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Chọn đáp án B _

Câu 54. Cho các số thực x, y dương và thỏa mãn log₂ x

2_{+ y}2
3xy + x2 + 2

log2(x2+2y2+1) ≤ log

28xy. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2x

2_{− xy + 2y}2
2xy − y2 .
A 3

2. B

1 +√5

2 . C

5

2. D

</div>
<span class='text_page_counter'>(166)</span><div class='page_container' data-page=166>

Lời giải.

Ta có

log₂ x
2_{+ y}2
3xy + x2 + 2

log₂(x2_+2y2₊₁₎

≤ log₂8xy

⇔ log₂(x2+ y2) − log₂(3xy + x2) + x2+ 2y2+ 1 ≤ 3xy

⇔ log₂2(x2+ y2) + 2(x2+ y2) ≤ log₂(3xy + x2) + 3xy + x2. (∗)
Xét hàm số f (t) = log₂t + t, với t > 0.

f0(t) = 1

t ln 2 + 1 > 0, với t > 0.

Hàm số f (t) đồng biến và liên tục trên khoảng (0; +∞) nên

(∗) ⇔ f (2(x2 + y2)) ≤ f (3xy + x2) ⇔ 2(x2 + y2) ≤ 3xy + x2
⇔ x2 _{− 3xy + 2y}2 _{≤ 0 ⇔ (x − y)(x − 2y) ≤ 0}

⇔ 1 ≤ x

y ≤ 2 (vì x, y > 0).

P = 2x

2_{− xy + 2y}2
2xy − y2 =

2Å x
y

ã2
−x

y + 2

2x
y − 1

.

Đặt u = x

y, ta có P =

2u2− u + 2

2u − 1 , với u ∈ [1; 2].

P_u0 = 4u

2_{− 4u − 3}
(2u − 1)2 ; P

0

u = 0 ⇔





u = 3

2 ∈ [1; 2]

u = −1

2 ∈ [1; 2]./

P (1) = 3; PÅ 3
2

ã
= 5

2; P (2) =
8
3.

Vậy min P = 5

2 khi u =
3
2 ⇔








x, y > 0
x
y =

3
2

.

Chọn đáp án C _

Câu 55. Để đủ tiền mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triệu theo phương thức trả góp với lãi suất

0,85% một tháng. Nếu sau mỗi tháng, kể từ thời điểm vay, anh An trả nợ cho ngân hàng số tiền cố

định là 10 triệu đồng bao gồm cả tiền lãi vay và tiền gốc. Biết phương thức trả lãi và gốc không thay

đổi trong suốt quá trình anh An trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh trả hết nợ ngân hàng? (tháng

cuối có thể trả dưới 10 triệu đồng).

A 67. B 68. C 66. D 65.

Lời giải.

Đặt N = 500; A = 10; r = 0,85%.

Sau một tháng anh An còn nợ: N · (1 + r) − A.

Sau hai tháng anh An còn nợ

(N · (1 + r) − A) · (1 + r) − A = N · (1 + r)2− A · [(1 + r) + 1] = N · (1 + r)2₋A

r [(1 + r)
2_{− 1].}
Tương tự sau n tháng anh An còn nợ N · (1 + r)n₋ A

</div>
<span class='text_page_counter'>(167)</span><div class='page_container' data-page=167>

Anh An trả hết nợ sau n tháng khi n là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình

N · (1 + r)n− A

r [(1 + r)

n_{− 1] ≤ 0 ⇔ 500 · (1 + 0,85%)}n₋ 10

0,85%[(1 + 0,85%)

n_{− 1] ≤ 0}

⇔ (1 + 0,85%)n_≥ 40
23

⇔ n ≥ log_1+0,85% 40

23 ≈ 65,38.

⇒ n = 66.

Chọn đáp án C _

Câu 56. Số 5 × 92018 viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số?

A 1927. B 1926. C 1214. D 4435.

Lời giải.

Số 5 × 92018 _{viết trong hệ thập phân có n chữ số khi và chỉ khi}

10n−1 ≤ x < 10n_{⇔ n − 1 ≤ 2018 log 9 + log 5 < n ⇒ n = 1927.}

Chọn đáp án A _

Câu 57. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình

3 ln2x + 2 ln x + 12
ln2x − (m + 1) ln x + 4

≥ 2 nghiệm

đúng với mọi x > 0?

A 4. B 5. C 3. D 7.

Lời giải.

Ta thấy

3 ln2x + 2 ln x + 12
ln2x − (m + 1) ln x + 4