Chinh phục hệ phương trình tổng ôn thi THPT Quốc gia

CHINH PHUïC
H
HH
H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH
Luyện thi THPT Quốc gia
(full)










M
ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-

T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
1


Bài 1: Giải hệ phương trình
( )
( )
2
x x 3 y y 3 2
3 x 2 y y 8
(1)
(2)

− − + = −


− = +



ĐK:
x 2; y 0
≥ ≥

Hướng dẫn tìm lời giải
+ Quan sát hệ ta thấy (1) có thể cô lập được x và y sang từng vế, hơn nữa x có mũ 3, y
nằm trong biểu thức chứa căn bậc 2 - đây là loại toán phổ biến - ta sẽ nghĩ ngay đến việc

dùng “hàm đại diện” để làm.
Cụ thể (1) biến đổi
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
3
3 2
3
3
x 3x 2 y y 3 x 1 3 x 1 y 3 3 y 3
x 1 3 x 1 y 3 3 y 3
 
⇔ − + = + ⇔ − − − = + − +
 
⇔ − − − = + − +

+ Đến đây thì ổn rồi, coi như là có lối thoát, ta xét hàm
3
f (t) t 3t
= −

+ Các bạn chú ý tìm điều kiện của t căn cứ vào ĐK của x và y nhé, cụ thể như thế này:
Do
x 2 x 1 1
t 1

y 0 y 1 1
≥
⇒
− ≥

⇒
≥

≥
⇒
+ ≥

, xét
2
f '(t) 3t 3 0, t 1
= − ≥ ∀ ≥
⇒
f(t) đồng biến
Vậy
( )
(
)
f x 1 f y 3 x 1 y 3 x 1 y 3
− = + ⇔ − = + ⇔ = + +
thay vào (2) và bình
phương 2 vế ta được:
2
9 y 3 y 8y 9
(*)
+ = + +

+ Phương trình (*) ta có thể dùng quy tắc giải phương trình cơ bản rồi bình phương 2 vế,
tuy nhiên cách đó sẽ ra phương trình bậc cao, hơn nữa ta chỉ giải được nếu pt đó có
nghiệm nguyên.
+ Bạn lấy máy tính bấm ta thấy pt (*) có nghiệm y = 1, vậy ta sẽ dùng cách thêm bớt rồi
nhân liên hợp để xuất hiện nhân tử chung là y - 1 như sau:
(
)
( )( ) ( )
2 2
9 y 3 y 8y 9 y 3 2 y 8y 9
y 1 9
9 y 1 y 9 y 1 y 9 0
y 3 2 y 3 2
(*) 9
+ = + + ⇔ + − = + −
 
−
⇔ = − + ⇔ − − − =
 
 
+ + + +
 

+ Ta dễ thấy với
y 0
≥
thì
9
y 9 0

y 3 2
− − <
+ +

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;1)
Bài 2: Giải hệ phương trình
( )
( )
2 2
2 2
x y xy 1 4y
x 1 2 x x y
(1)
(2)

+ + + =


+ − =



Hướng dẫn tìm lời giải
Nhận xét: Đối với pt (1) vế trái là đẳng cấp bậc 2, mà vế phải bậc 1, như vậy dạng toán
này ta thường nghĩ đến việc khử ẩn bậc 1 nằm ở vế phải như sau:
+ Ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ nên chia 2 vế của (1) cho
y 0
≠
được
phương trình :

2
x 1
x y 4
y
+
+ + =
(*)


M
ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
2


+ Ở phương trình (*) đã xuất hiện đại lượng
2
x 1
y

+
, điều này có nghĩa là ta sẽ biến đổi (2)
để làm xuất hiện
2
x 1
y
+
và dẫn đến việc suy nghĩ sẽ giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ, trong
đó có 1 ẩn phụ là
2
x 1
a
y
+
=
+ Bây giờ ta thực hiện mở dấu ngoặc từ pt(2) sẽ được :
3 2 2
x x x y 2x 2 0
+ + − − =

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
x x 1 x y 2 x 1 0 x x 1 x y y y 2 x 1 0
x x 1 y x 1 2 x 1 y x 1 x y 2 y
x 1
x y 2 1
y
(**)
⇔ + + − + = ⇔ + + + − − + =
⇔ + + + − + = ⇔ + + − =
+
⇔ + − =

+ Như vậy sau khi biến đổi pt(2) để làm xuất hiện đại lượng
2
x 1
y
+
, ta thấy xuất hiện
thêm một đại lượng nữa là
(
)
x y 2
+ −
, do đó từ (*) ta thêm bớt để thành như sau :

2
x 1
x y 4
y
+
+ + =
(*)
( )
2
x 1
x y 2 2
y
 
+
⇔ + + − =
 
 

+ Vậy cuối cùng thì hệ phương trình đã cho đã trở thành :
( )
( )
( )
2
2
x 1
x y 2 2
y
x 1
x y 2 1
y


 
+
+ + − =

 
 


+

+ − =



Bài toán đến đây sẽ giải bằng cách đặt ẩn phụ
2
x 1
a
y
+
=
,
b x y 2
= + −
quá dễ rồi nhé.
Các bạn giải đoạn cuối sẽ có đáp số
(
)
(

)
(
)
x; y 2;5 , 1;2
= −

Bài 3: Giải hệ phương trình
2 3 3 3
3 2 2 2
3x y 2xy y 8 4y
x y 4y x 6y 5y 4

+ − = −


+ − + =




Hướng dẫn tìm lời giải
+ Trước hết, ta thấy mỗi pt của hệ đều có thể cô lập được x, y nên ta biến đổi như sau:
(
)
( )
3 2
2 3 3 3
3 2 2 2
2 3
y 3x 2x 1 8 4y

3x y 2xy y 8 4y
x y 4y x 6y 5y 4
y x 4x 5 4 6y

+ − = −

+ − = −
 
⇔
 
+ − + =

+ + = +



+ Nhận thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ nên ta biến đổi tiếp :
( )
( )
( )
( )
2
3 2
3 2
2 3
3
2
8 4
3x 2x 1
y 3x 2x 1 8 4y

y y
4 6
y x 4x 5 4 6y
x 4x 5
y y
(1)
(2)

+ − = −


+ − = −
 
⇔
 
+ + = +
 
+ + = +




+ Quan sát (1) và (2) rõ ràng ta cần phải cộng vế của chúng lại (sẽ làm mất đi lượng
2
4
y
)


M

ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
3


3 2
3
8 6
x 3x 6x 4
y y
⇒ + + + = +
(*)
+ Phương trình (*) nhận thấy VT và VP có “hình thức” gần giống nhau rồi, vậy chắc
chắn đến đây sẽ dùng “hàm đại diện” để làm, vậy biến đổi tiếp tục nhé:
( ) ( )
3
3
3 2
3

8 6 2 2
x 3x 6x 4 x 1 3 x 1 3
y y y y
   
+ + + = + ⇔ + + + = +
   
   

Ổn rồi nhé, giờ xét hàm số
3 2
(t) t 3t, t R f '(t) 3t 3 0, t R
f
= + ∈ ⇒ = + > ∀ ∈
. Vậy f(t) là
hàm đồng biến
2 2
f (x 1) f x 1
y y
 
+ = ⇒ + =
 
 
thay vào (2) …(bạn tự làm đoạn cuối vì nó
không khó).
Cuối cùng có đáp số
(x;y) (1;1)
=

Bài 4: Giải hệ phương trình
2 2

2 2
x 2y 8(x y) 3xy
4 2 x 3 y 2x y 5
(1)
(2)

+ = + −


− + − = − +



Hướng dẫn tìm lời giải
+ ĐK:
x 2; y 3
≤ ≤

+ Ta thấy ở phương trình (1)
2 2
x x(8 3y) 2y 8y 0
(*)
⇒ − − + − =

+ Ta coi (*) là phương trình bậc 2 với ẩn x, tính
( )
(
)
( )
2 2

2
8 3y 4.1 2y 8y y 8 0
∆ = − − − = = − ≥
,
từ đây tìm được 2 nghiệm
x 8 2y x 2y 8 0
x y x y 0
= − + − =
 
⇔
 
= − + =
 
, vậy (*)
(x 2y 8)(x y) 0
⇔ + − + =

+ Với
x 2y 8
+ =
ta thấy: với đk đề bài
x 2 x 2
x 2y 8 x 2y 8
y 3 2y 6 y 3
≤ =
 
⇒ + ≤ ⇒ + = ⇔
 
≤ ⇒ ≤ =
 

(như vậy ta đã dùng cách đánh giá kết hợp với đk để có x = 2 ; y = 3, nếu bạn không biết
kỹ thuật đặc biệt này thì từ
x 2y 8
+ =
x 8 2y
⇔ = −
thay vào (2) giải sẽ rất dài dòng)
Bây giờ thay x = 2; y = 3 vào (2) ta thấy không thỏa mãn. Vậy loại bỏ trường hợp này !
+ Với
y x
= −
thay vào (2) và biến đổi ta được :
2
4 2 x 3 x x 5
− + + = +
(**).
Gặp dang phương trình (**), ta dùng máy tính để bấm nghiệm và thấy phương trình có 1
nghiệm là x = 1, như vậy ta sẽ nghĩ đến dùng PP “nhân lên hợp” để xuất hiện nhân tử
chung là
(x 1)
−
. Thật vậy, từ (**)
(
)
(
)
2
1 x x 1
4 2 x 1 3 x 2 x 1 4 (x 1)(x 1)

2 x 1 3 x 2
4 1
(1 x) x 1 0
2 x 1 3 x 2
− −
⇔ − − + + − = − ⇔ + = − +
− + + +
 
⇔ − − + + =
 
− + + +
 

* TH1:
1 x 0 x 1 y 1
− = ⇔ = ⇒ = −

* TH2: Xét
4 1
f (x) x 1; 3 x 2
2 x 1 3 x 2
= − + + − ≤ ≤
− + + +

- Nhận thấy f(x) có 1 nghiệm
x 2
= −
, mặt khác:

( ) ( )

2 2
2 1
f '(x) 0
2 x 2 x 1 2 3 x 3 x 1
= + >
− − + + + +

⇒
f(x) là hàm đồng biến
x 2
⇒ = −

là nghiệm duy nhất của f(x). Vậy HPT có nghiệm
(x; y) (1; 1);( 2;2)
= − −



M
ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
4


Bài 5: Giải hệ phương trình
2
2 3 2
2x 11x 2y 9 0
22x 21 y 3y y (2x 1) 2x 1
(1)
4x (2)

− − + =


− + + + + = + −



Hướng dẫn tìm lời giải
+ ĐK:
1
x
2
≥

+ HPT
( )
2

2 3 2
2x 11x 2y 9
11x 21 y 3y y (2x 1) 2x 1
(1)
4 2x (2)

− = −

⇔

− + + + + = + −



Thay (1) vào (2) ta có:
3 2
y 3y 5y 3 (2x 1) 2x 1
+ + + = + −
(*)
- Nhận thấy (*) có vế trái là đa thức bậc 3, vế phải có căn bậc 2, hơn nữa x và y đều cô
lập ở mỗi vế, do đó ta sẽ nghĩ đến PP hàm số để giải quyết tiếp, thật vậy từ (*)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
3

3
3
y 1 2 y 1 2x 1 2 2x 1
y 1 2 y 1 2x 1 2. 2x 1
 
⇔ + + + = − + −
 
⇔ + + + = − + −

- Đến đây ổn rồi, ta xét hàm
3 2
f (t) t 2t f '(t) 3t 2 0
= +
⇒
= + >
⇒
f(t) là hàm đồng biến
( )
(
)
f y 1 f 2x 1 y 1 2x 1
⇒
+ = − ⇔ + = −
thay vào (1) ta có:
( )
( )
2
2
2
2

2x 11x 11 0
x 1 y 0
2 2x 1 2x 11x 11
x 5 y 2
4 2x 1 2x 11x 11

− + ≥
= ⇒ =


− = − + ⇔ ⇔


= ⇒ =
− = − +




Bài 6: Giải hệ phương trình
3 3
3
2x 3x y 1
xy 2x 3

+ =


− =




Hướng dẫn tìm lời giải

+ Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của hệ nên sẽ biến đổi như sau:

3
3 3
3
3
3
3 3
3
3
3
1
1
2 3y
2 3y
2x 3x y 1
y 2
x
x
2 3y y 2 3. 2 3y
3
3
1 y 2
xy 2x 3
y 2
x

x 3
(*)


= +
+ =



+ =
−
  
⇔ ⇔ ⇒ + = ⇒ − = +
  
−
− =

 
− =
=





+ Đặt ẩn phụ
3 3
3
t 2 3y t 2 3y t 2 3y
= + ⇒ = + ⇔ − =

, mặt khác từ (*) có
3
y 2 3t
− =
.
Như vậy ta có HPT
3
3
y 2 3t
2 3y
(3)
t (4)

− =


− =


, lấy (3) - (4) ta được:
3 3 2 2
y t 3(t y) (y t)(y yt t 3) 0 y t
− = − ⇔ − + + + = ⇔ =
(do
2 2
(y yt t 3) 0
+ + + >
)
Đến đây thì coi như bài toán giải quyết xong. ĐS:
1

(x;y) ( 1; 1); 1;
2
 
= − −
 
 

Bài 7: Giải hệ phương trình:
(
)
(
)
( )
( )
2
3
4 2 3
1 1 4 8 1
3 2 26 2 14 2
xy x y y
x y x y x x

+ + + − =



− + + = −


Hướng dẫn tìm lời giải

ĐK:
0
y
≥



M
ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
5


Ta có
4 0
y y y y
+ − > − =
do đó từ phương trình (1) suy ra x>0; y>0
( )

(
)
(
)
(
)
(
)
2
1 1 1 4 4 8 4
xy x y y y y y y
⇔ + + + − + + = + +

( )
( )
2 2
2 2 4
1 1 2 4 1 1
xy x y y x x x
y
y y
⇔ + + = + + ⇔ + + = + +

2
2
2 2 2
1 1x x x
y y y
     
⇔ + + = + +

     
     
     
(3)
Xét hàm số
( )
2
1
f t t t t
= + +
trên
(
)
0;
+∞
. Có
( ) ( )
2
2
2
' 1 1 0 0;
1
t
f t t t
t
= + + + > ∀ ∈ +∞
+

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên
(

)
0;
+∞
.
Mà phương trình (3) có dạng
( )
2
2 2 4
f x f x y
x
y y
 
= ⇔ = ⇔ =
 
 
 

Thay
2
4
y
x
=
vào phương trình (2) ta có :
( ) ( )
( )
( )
3 3
2 3 2 3
3

3
3 3
12 26 8 2 14 6 13 4 14
2 2 14 14 4
x x x x x x
x x x x
− + + = − ⇔ − + + = −
⇔ − + − = − + −

Xét hàm số
(
)
3
g u u u
= +
trên R
Có
(
)
2
' 3 1 0
g u u u R
= + > ∀ ∈

Suy ra hàm số g(u) đồng biến trên R mà phương trình (4) có dạng:
( )
( )
( )
( )
3 3

3 3 2
1 2
2 14 2 14 6 12 6 0
1 2
x nhaän
g x g x x x x x
x loaïi

= +

− = − ⇔ − = − ⇔ − + + = ⇔

= −


⇒

12 8 2
y
= −
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất
(
)
1 2;12 8 2
+ −

Bài 8: Giải hệ phương trình
2 2
2
2 2 4 2

6 11 10 4 2 0

+ − = − − −


− − + − − =


x x y y
x y x x

Hướng dẫn tìm lời giải
Điều kiện:
2
2
4 2 0
2 4 10 0
y y
x x

+ + ≥


− − + ≥



Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
2
2

2
4(10 4 2 )
14 4 2
6 11 10 4
2 4
x x
x x
y x x x
− −
− −
− + = − − = ≤

Rút gọn ta được:
2 2
4( 6 11) 14 4 2 10 2 15 0
y x x x x x y
− + ≤ − − ⇔ − + + ≤
(3)
Tương tự phương trình (1) :
2
2 2 2 2
4 2
2 2 4 2 2 4 4 3 0
2
y y
x x y y x x y y
− − −
+ − = − − − ≤ ⇔ + + + − ≤
(4)
Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được:

M
ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
6


2 2 2 2
1
3 6 6 12 0 3( 1) ( 3) 0
3
x
x x y y x y
y
=

− + + + ≤ ⇔ − + + ≤ ⇔


= −


Kết hợp với điều kiện đề bài, suy ra nghiệm hệ phương trình là
(1, 3)
S
= −

Bài 9: Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 2 (1)
1 2. (2)
x xy y y x
y x y x

+ + = +


− + + =



Hướng dẫn tìm lời giải
ĐK:
1 0.
x y
− + ≥

2 2 2
(3)

(1) 2 2 0 ( )( 2 2) 0
2 2 (4)
x y
x y xy y y x x y x y
x y
=

⇔ − + − + − = ⇔ − + − = ⇔

= −


• Từ (3) & (2) ta có x=y=1.
• Từ (4) & (2) ta có
0; 2
2 2
1 8
; .
3 3 2
3 3
y x
x y
y x
y y y
= =

= −




⇔


= − =
− =




Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8 1
; 1;1 ; ; 2;0 ; ; ; .
3 3
x y x y x y
 
= = = −
 
 

Bài 10: Giải hệ phương trình:
(
)
2 2 2 2 2 2
2 2
4 3 7 4 5 6 3 2
3 10 34 47
x xy y x xy y x xy y
x xy y



+ − + + − = − −




+ + =



(
)
,x y
∈
ℝ
.
Hướng dẫn tìm lời giải
ĐK:
2 2
2 2
3 2 0
4 3 7 0
x xy y
x xy y


− − ≥





+ − ≥




Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình
(
)
1
, ta được:
( )
2 2
2 2 2 2
1
5 6 4 0
6
4 3 7 3 2
x y
x xy y
x y
x xy y x xy y
 

=


 

+ − + = ⇔






= −



+ − + − −

 


+ Với
x y
=
thay vào
(
)
2
, ta được:
2
1 1
1
1 1
x y
x
x y


= ⇒ =

= ⇔

= − ⇒ = −



+ Với
6
x y
= −
thay vào
(
)
2
, ta được:
2
47 47
6
82 82
82 47
47 47
6
82 82
y x
y
y x



= ⇒ = −


= ⇔


= − ⇒ =


;
KL:
( ) ( )
47 47 47 47
1;1 , 1; 1 , ; 6 ; ;6
82 82 82 82
S
 
   
 
 
 
 
 
 
 
= − − − −
 
 
 
 

 
 
 
 
   
 
 
 

Bài 11: Giải hệ phương trình sau
3
2
2 2 1 3 1
1 2 2 1
y x x x y
y x xy x

+ − = − −


+ = + +



Hướng dẫn tìm lời giải


M
ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI

ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
7


Đk:
1 1
x
− ≤ ≤

- Hệ phương trình (I)
(
)
3
3
2
2 2 1 1
1 2 2 1
y y x x
y x xy x


+ = − + −

⇔


+ = + +




( )
( )
2
1 1 , 0
1 2 2 1 2
y x y
y x xy x

= − ≥

⇔

+ = + +



- Ta có (2)
2 2
1 1 2 2 1
x x x x

⇔ − + = + −


2 2
2 2 1 1 1 0
x x x x
⇔ + − − − − =

- Đặt
cos
x t
=
với
[
]
0;
t
π
∈
, ta có
2
cos 1 2sin 1 2 sin
2 2
t t
x t x
= = −
⇒
− =

- Nên phương trình (2) trở thành

2
2 os 2cos sin 2 sin 1 0
2
t
c t t t
+ − − =

2 sin 2 2 sin
4 2
t
t
π
 
⇔ + =
 
 
( )
4
3 3
4
5 5
k
t
k
k
t
π π
π π

= − +


⇔ ∈


= +


ℤ

[ ]
( )
os
0;
5
5
2 sin
10
x c
t
t l
y
π
π
π
π
π


=


= ∈


⇔ ⇔



=
=




là nghiệm của hệ phương trình.
Bài 12: Giải hệ phương trình:
2 2
2
2
1
xy
x y
x y
x y x y

+ + =

+


+ = −



Hướng dẫn tìm lời giải
+ >
ÑK : x y 0
,
ta có

( )
( )
2 2
2
2
1 1
2

+ + =

+


+ = −

xy
x y
x y
x y x y


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3
2
1 2 1 0 2 2 0
⇔ + − + − = ⇔ + − + + − + =
+
xy
x y xy x y xy x y xy x y
x y

( ) ( )
(
)
( )
2
1 2 1 0
⇔ + + − − + − =
x y x y xy x y

(
)
(
)
(
)
( )
( )
2 2
1 1 2 0
1 3
0 4

⇔ + − + + + − =
 
 
+ =
⇔

+ + + =


x y x y x y xy
x y
x y x y

Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x + y > 0. Thế (3) vào (2) ta được
2
1
− =
x y

Giải hệ
2
1
1; 0
2; 3
1
+ =
= =


⇒



= − =
− =


x y
x y
x y
x y
(nhận)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (1;0) và (-2;3).
(Do hàm
(
)
3
2
f t t t
= +
luôn
đồ
ng bi
ế
n)


M
ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI

ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
8


Bài 13: Giải hệ phương trình:


x
3
+12y
2
+ x + 2 = 8y
3
+8y
x
2
+8y
3
+ 2y = 5x







Hướng dẫn tìm lời giải



x
3
+12y
2
+ x + 2 = 8y
3
+8y(1)
x
2
+8y
3
+ 2y = 5x(2)






Ta có
3 3
(1) x x (2y 1) (2y 1)(*)

⇔ + = − + −

Xét hàm số
3
f (t) t t, t R
= + ∈

2
f '(t) 3t 1 0
⇒ = + >
.
Vậy hàm số f(t) đồng biến trên R. Từ (*) ta có:
f (x) f (2y 1) x 2y 1
= − ⇒ = −

Thế x = 2y - 1 vào (2) giải ra được y = 1 hoặc y = 6 thoả mãn
Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1), (11;6)

Bài 14: Giải hệ phương trình
2
2
3 5 4
4 2 1 1
x xy x y y y
y x y x

+ + − − = +


− − + − = −




Hướng dẫn tìm lời giải

Đk:
2
2
0
4 2 0
1 0
xy x y y
y x
y

+ − − ≥

− − ≥


− ≥


Ta có (1)
( )( )
3 1 4( 1) 0
x y x y y y
⇔ − + − + − + =

Đặt

, 1
u x y v y
= − = +
(
0, 0
u v
≥ ≥
)
Khi đó (1) trở thành :
2 2
3 4 0
u uv v
+ − =
4 ( )
u v
u v vn
=

⇔

= −


Với
u v
=
ta có
2 1
x y
= +

, thay vào (2) ta được :
2
4 2 3 1 2
y y y y
− − + − =

( )
(
)
2
4 2 3 2 1 1 1 0
y y y y
⇔ − − − − + − − =

(
)
2
2 2
2
0
1 1
4 2 3 2 1
y
y
y
y y y
−
−
+ =
− +

− − + −
( )
2
2 1
2 0
1 1
4 2 3 2 1
y
y
y y y
 
 
⇔ − + =
 
− +
− − + −
 

2
y
⇔ =
(vì
2
2 1
0, 1
1 1
4 2 3 2 1
+ > ∀ ≥
− +
− − + −

y
y
y y y
)
Với
2
y
=
thì
5
x
=
. Đối chiếu đk ta được nghiệm của hệ PT là
(
)
5; 2



M
ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T

ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
9


Bài 15: Giải hệ phương trình
3
2(2 1) 2 1 (2 3) 2
4 2 2 4 6

+ + + = − −


+ + + =


x x y y
x y

Hướng dẫn tìm lời giải
Điều kiện xác định:
1
, 2
2
≥ − ≥
x y

Xét hàm số:
(

)
3
( ) 2 0;
= + ∈ +∞
f t t t t

Suy ra
2
'( ) 6 1 0
= + >
f t t
nên đây là hàm số đồng biến
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có
(2 1) ( 2) 2 1 2
+ = − ⇔ + = −
f x f y x y

Thay vào phương trình thứ hai ta được:
4
4 8 2 4 6 (*)
− + + =y y

Xét hàm số
(
)
4
( ) 4 8 2 4 6, 2;
= − + + − ∈ +∞
g y y y y

( )
4
1 1
'( ) 0 2;
4 8 2 4
= + > ∀ ∈ +∞
− +
g y y
y y
nên g(y) đồng biến
Hơn nữa g(6) = 0 nên (*) có duy nhất 1 nghiệm là y = 6
Với y = 6 ta có
1
2
=
x

Bài 16: Giải hệ phương trình :
7
1
78
x y
y x
xy
x xy y xy

+ = +




+ =


Hướng dẫn tìm lời giải
ĐK: x, y> 0.
(I)
( )
7
78
x y xy
xy x y

+ = +

⇔

+ =


.
Đặt
t xy
=
. (ĐK: t>0)

( )
7
78
x y t
t x y

+ = +

⇔

+ =

2
7 78 0
t t
⇒ + − =
.
(
)
( )
13 l
6 n
t
t
= −

⇔

=


⇔
t = 6

13
36

x y
xy
+ =

⇔

=

4 9
v
9 4
x x
y y
= =
 
⇔
 
= =
 

Vậy hệ pt có 2 nghiệm là : (4;9) ; (9;4)
Bài 17: Giải hệ phương trình
2 3
3
2 3
(1 )( 3 3) ( 1) .
( , )
2 4 2( 2)
y x y x y x
x y R

x y x y

− − + − = −

∈


− + − = −

.
Hướng dẫn tìm lời giải
ĐKXĐ:
2 2
0
0, 1 1, 1
x y x y
x y x y
 
− ≥ ≥
 
⇔
 
≥ ≥ ≥ ≥
 
 




M

ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
10


Nhận xét
1, 1
x y
≥ =
không là nghiệm của hệ. Xét
1
y
>
thì pt (1) của hệ (I)
2 2
( 1) 3( 1) ( 1) ( 1) 0
x x y y y x y
+ − − − + − − =

2
3 0
1 1 1
x x x
y y y
 
⇔ + − + =
 
− − −
 

, 0
1
x
t t
y
= >
−
. Khi đó, pt (1) trở thành
(
)
(
)
4 2 3 2
3 0 1 2 3 0 1.
t t t t t t t t
+ + − = ⇔ − + + + = ⇔ =

Với t = 1, thì
1 1

1
x
y x
y
= ⇔ = +
−
, thế vào pt(2), ta được
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 32 3 2 3
2
2
2
2
33 3
3
2
2
2
2
33 3
3
1 2 4 2 1 1 2 4 1 0
1
1 6 0
4 1 4 1
6 1

1 1 0
4 1 4 1
x x x x x x x x
x x
x x
x x x x
x x
x x
x x x x
 
− − + − = − ⇔ − − + − − − =
 
 
− −
 
⇔ − − + =
 
− + + − − + −
 
 
 
− −
 
⇔ − − + =
 
 
− + + − − + −
 

( )

2
1 5
1 0 1
2
x x x x
+
⇔ − − = ⇔ = ≥
.
Với
1 5 3 5
.
2 2
x y
+ +
= ⇒ =

Đối chiếu ĐK, hệ phương có nghiệm
( )
1 5 3 5
; ; .
2 2
x y
 
+ +
=
 
 
 

Bài 18: Giải hệ phương trình

( )
( )
2
2
2
1
8y
x 1
2
x y
2 4 3 2 y x
3 7
2 x y
2 2
+
+
+

− = −




+ + =



Hướng dẫn tìm lời giải
Điều kiện:
x 0; y 0

≥ ≥

( )
(
)
( )
(
)
4 4
x 1 2 y 1
(1) 2 3 x 2 3 2 y f ( x) f (2 y)
+ +
⇔ + = + ⇔ =

Xét hàm số
4
t 1
f (t) 2 3t, t 0
+
= + ≥
có
4
3 t 1
f '(t) 4t .2 .ln 2 3 0, t 0
+
= + > ≥

Do đó:
f ( x) f (2 y) x 4y
= ⇔ =

thế vào phương trình (2) ta có:
2
(5y)
3 7
2 5y (3)
2 2
+ =

Xét hàm số
( ) ( )
2 2
5y 5y
3 3
g(y) 2 5y g '(y) 50y.2 .ln 2 0, y 0
2
4 y
= +
⇒
= + > ∀ >



M
ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
11


Mà
1 7
g
5 2
 
=
 
 
; suy ra phương trình có nghiệm duy nhất
1
y
5
=

Do đó hệ có nghiệm
4 1
x ;y
5 5
= =

Bài 19: Giải hệ phương trình:

3 3 2
3
3 4 2 0 (1)
3 2 2 (2)
x y y x y
x x x y

− + + − + =


+ − = + +



Hướng dẫn tìm lời giải
Điều kiện:
2
x
≥ −
.
( ) ( )
3
3 3 2 3
(1) 2 3 4 2 1 1 2
x x y y y x x y y
⇔ + + = − + ⇔ + + = − + − +
.
Xét hàm số
(
)

3
2
f t t t
= + +
trên
[
)
2;
− +∞
.
Ta có:
(
)
[
)
2
' 3 1 0, 2;f t t t
= + > ∀ ∈ − +∞
. Suy ra hàm số
(
)
f t
đồng biến trên
[
)
2;
− +∞
.
Do đó:
1

x y
= −
.
Thay
1
y x
= +
và phương trình (2) ta được:
3
3 2 2 1
x x
− = + +

( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
3 2
2 2 2 2 2
8 2 2 2 2 2 4
2 2
x x
x x x x x
x
+ − + +
⇔ − = + − ⇔ − + + =

+ +

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2 2 4 2 2 4 0
2 2 2 2
x
x x x x x x
x x
 
−
 
⇔ − + + = ⇔ − + + − =
 
+ + + +
 

*
2 0 2 3
x x y
− = ⇔ = ⇒ =

*

( ) ( )
2 2
2 2
2 4 0 2 4
2 2 2 2
x x x x
x x
+ + − = ⇔ + + =
+ + + +
(*)
Ta có
( )
[
)
2
2
2
2 4 1 3 3; 1, 2;
2 2
VT x x x VP x
x
= + + = + + ≥ = ≤ ∀ ∈ − +∞
+ +

Do đó phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
(
)
(
)

; 2;3
x y =
.
Bài 20: Giải hệ phương trình
12
1 x 2
y 3x
12
1 y 6
y 3x

 
− =

 
+
 

 

+ =
 

+
 


Hướng dẫn tìm lời giải
Điều kiện: x > 0 và y > 0.
12

1 x 2
y 3x
12
1 y 6
y 3x

 
− =

 
+
 

 

+ =
 

+
 

12 2
1 (1)
y 3x
x
12 6
1 (2)
y 3x
y


− =

+

⇔


+ =

+




M
ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
12

(1) + (2):
2 6 1 3
2 1
x y x y
= + ⇔ = +
(*)
(2) – (1):
12 3 1
y 3x
y x
= −
+
(*)
12 3 1 3 1
y 3x
y x y x
  
⇔ = − +
  
  
+
  


12 9 1
y 3x y x
⇔ = −
+
2 2

y 6xy 27x 0
⇔ + − =
y 3x
y 9x
=

⇔

= −


So v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n, nh
ậ
n y = 3x

(*) x 4 2 3 y 12 6 3
⇔ = + ⇒ = +

V
ậ
y h
ệ

ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
x 4 2 3
y 12 6 3

= +


= +



Bài 21:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
( )
6 2 3 2
2
3 4 3 6 (1)
2 1 8 7 (2)
x x y y y
y x x y x


+ − = + +


− + + + + =



Hướng dẫn tìm lời giải
*
Ði
ề
u ki
ệ
n:
2
8 0
x y
+ + ≥

*
PT(1)
( ) ( )
(
)
( ) ( )
3
3 3
6 2 2 2
3 1 3 1 3 1 3 1

x x y x x x y y
⇔ + = + + + ⇔ + = + + +


(
)
2
( ) 1
f x f y
⇔ = +
v
ớ
i f(t) = t
3
+ 3t
*
Ta có: f’(t) = 3t
2
+ 3 > 0
t R
∀ ∈

( )
f t
⇒
ð
ồ
ng bi
ế
n trên R

Do ðó:
(
)
2 2
( ) 1 1
f x f y x y
= + ⇔ = +

*
V
ớ
i y

= x
2
– 1 , pt (2) tr
ở
thành:
( )
2 2
2( 1) 1 2 7 7 0
x x x x
− − + + − + =


( )
2 2
2 7 1 2 7 2 0(*)
x x x x+ − + + − − =

Ð
ặ
t
2
2 7,( 7)
t x t
= + ≥
, pt(*) tr
ở
thành:
(
)
2
1 2 0
t x t x
− + − − =
(**)
Ta có:
( )
2
3
x∆ = +
nên (**) có hai nghi
ệ
m: t = x + 2 ho
ặ
c t = -1 (lo
ạ
i)
V

ớ
i t = x + 2
2
2 2 2
2 2
1
2 7 2
3
2 7 4 4 4 3 0
x x
x
x x
x
x x x x x
≥ − ≥ −
=
 

⇔ + = + ⇔ ⇔ ⇔
 

=
+ = + + − + =

 

*
V
ớ
i x = 1

⇒
y = 0 (nh
ậ
n)
*
V
ớ
i x = 3
8
y
⇒ =
(nh
ậ
n)
K
ế
t lu
ậ
n: h
ệ
có hai nghi
ệ
m (x;y) là (1;0), (3;8)


M
ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H

Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
13


Bài 22:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
2
2 2 2
2 2
2 1 2 3 2 4 .

+ = +


+ + + + = −



xy y x
y x x x x x

Hướng dẫn tìm lời giải
Đ
KX
Đ
:
x ;y
∈ ∈
ℝ ℝ
.
Ta có
(
)
2 2
2
2
2 2 2 2
2
+ = + ⇔ + − = ⇔ =
+ −
xy y x y x x y
x x

2
2
⇔ = + +

y x x
(1). Th
ế
vào ph
ươ
ng trình th
ứ
hai trong h
ệ
, ta có :

(
)
( )
2
2 2 2
2 2 1 2 3 2 4
+ + + + + + = −
x x x x x x x

( )
2 2
1 2 2 1 2 3 0
⇔ + + + + + + + =
x x x x x x
.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1 1 2 1 2
x x x x

   
⇔ + + + + = − + − +
   
   
(*)
Xét hàm s
ố

(
)
2
( ) 1 2
= + +
f t t t
v
ớ
i
∈
ℝ
t
. Ta có :
2
2
2
'( ) 1 2 0, ( )
2
= + + + > ∀ ∈
⇒
+
ℝ

t
f t t t f t
t

đồ
ng bi
ế
n trên
ℝ
.
M
ặ
t khác, ph
ươ
ng trình (*) có d
ạ
ng
1
( 1) ( ) 1
2
+ = − ⇔ + = − ⇔ = −
f x f x x x x
.
Thay
1
2
= −
x
vào (1) ta tìm
đượ

c
1
=
y
.
Câu 23:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
3 3 2
3
3 4 2 0
( , )
3 2 2
x y y x y
x y
x x x y

− + + − + =

∈

+ − = + +


ℝ

.
H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l
ờ
i gi
ả
i
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2
x
≥ −
.
( ) ( )
3
3 3 2 3
(1) 2 3 4 2 1 1 2
x x y y y x x y y
⇔ + + = − + ⇔ + + = − + − +

Xét hàm s
ố

(
)
3
2
f t t t
= + +
trên
[
)
2;
− +∞
.
Ta có:
(
)
[
)
2
' 3 1 0, 2;f t t t
= + > ∀ ∈ − +∞
. Suy ra hàm s
ố

(
)
f t

đồ
ng bi
ế

n trên
[
)
2;
− +∞
.
Do
đ
ó:
1
x y
= −
.Thay
1
y x
= +
và ph
ươ
ng trình (2) ta
đượ
c:
3
3 2 2 1
x x
− = + +

( )
( )
( )
(

)
(
)
( )
3 2
2 2 2 2 2
8 2 2 2 2 2 4
2 2
x x
x x x x x
x
+ − + +
⇔ − = + − ⇔ − + + =
+ +



M
ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
14


( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2 2 4 2 2 4 0
2 2 2 2
x
x x x x x x
x x
 
−
 
⇔ − + + = ⇔ − + + − =
 
+ + + +
 

*
2 0 2 3
x x y
− = ⇔ = ⇒ =

*
( ) ( )
2 2
2 2
2 4 0 2 4
2 2 2 2
x x x x
x x
+ + − = ⇔ + + =
+ + + +
(*)
Ta có
( )
[
)
2
2
2
2 4 1 3 3; 1, 2;
2 2
VT x x x VP x
x
= + + = + + ≥ = ≤ ∀ ∈ − +∞
+ +

Do
đ
ó ph
ươ

ng trình (*) vô nghi
ệ
m.
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
(
)
(
)
; 2;3
x y = .
Bài 24:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:

2 2 2
3 6 2 2
1 2 2
( 1) 3 ( 2) 3 4 0
x y x x x y
y x y x y

+ + = +


− + − + + =


( , )
x y
∈
R
.
H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l
ờ
i gi
ả
i
Đ
i
ề

u ki
ệ
n:
2
2
−≥
yx
. G
ọ
i hai ph
ươ
ng trình l
ầ
n l
ượ
t là (1) và (2)
⇔
)2( )1(31333
23236
−+−+−=+
yyyyyxyx

⇔
)1(3)1(3)(
3232
−+−=+
yyyxyx
(3)
Xét hàm s
ố

tttf
3)(
3
+=
có
= + > ∀ ∈
R
2
'( ) 3 3 0,f t t t

Do
đ
ó
2 2
(3) ( ) ( 1) 1,( 1).
f x y f y x y y y
⇔ = − ⇔ = − ≥ −

Th
ế
vào (1) ta
đượ
c 121
22
+=++ yxxyx
110)11(0112)1(
22
=+⇔=−+⇔=++−+⇔ yxyxyxyx
Do

đ
ó h
ệ

đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i





>
=+−
−=
⇔





>
−=
=+
⇔






−=
=+
0
)4(1)2(
2
0
1
1
1
11
222
2
2
22
2
x
xxx
xy
x
yyx
xyx
yyx
yx

0)1)(1(0)1(013)4(

2222224
=−+−−⇔=−−⇔=+−⇔
xxxxxxxx







±−
=
±
=
⇔
2
51
2
51
x
x
. Do x > 0 nên
2
51+
=
x
ho
ặ
c
2

51+−
=
x

V
ớ
i
2
51
2
51 −
=⇒
+
=
yx
. V
ớ
i
2
51
2
51 +
=⇒
+−
=
yx
.


M

ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
15


V
ậ
y h
ệ

đ
ã cho có nghi
ệ
m









−+
=
2
51
;
2
51
);(
yx
,








++−
=
2
51
;
2
51
);(
yx

Bài 25:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
( )
6 2 3 2
2
3 4 3 6
2 1 8 7
x x y y y
y x x y x

+ − = + +


− + + + + =



H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l
ờ

i gi
ả
i
Đ
áp án:
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2
8 0
x y
+ + ≥

* PT(1)
( ) ( )
(
)
( ) ( )
3
3 3
6 2 2 2
3 1 3 1 3 1 3 1
x x y x x x y y
⇔ + = + + + ⇔ + = + + +


(

)
2
( ) 1
f x f y
⇔ = +
v
ớ
i f(t) = t
3
+ 3t
* Ta có: f’(t) = 3t
2
+ 3 > 0
t R
∀ ∈

( )
f t
⇒

đồ
ng bi
ế
n trên R
Do
đ
ó:
(
)
2 2

( ) 1 1
f x f y x y
= + ⇔ = +

* V
ớ
i y

= x
2
– 1 , pt (2) tr
ở
thành:
( )
2 2
2( 1) 1 2 7 7 0
x x x x
− − + + − + =


( )
2 2
2 7 1 2 7 2 0(*)
x x x x+ − + + − − =


Đặ
t
2
2 7,( 7)

t x t
= + ≥
, pt(*) tr
ở
thành:
(
)
2
1 2 0
t x t x
− + − − =
(**)
Ta có:
( )
2
3
x∆ = +
nên (**) có hai nghi
ệ
m: t = x + 2 ho
ặ
c t = -1 (lo
ạ
i)
V
ớ
i t = x + 2
2
2 2 2
2 2

1
2 7 2
3
2 7 4 4 4 3 0
x x
x
x x
x
x x x x x
≥ − ≥ −
=
 

⇔ + = + ⇔ ⇔ ⇔
 

=
+ = + + − + =

 

* V
ớ
i x = 1
⇒
y = 0 (nh
ậ
n)
* V
ớ

i x = 3
8
y
⇒ =
(nh
ậ
n)
K
ế
t lu
ậ
n: h
ệ
có hai nghi
ệ
m (x;y) là (1;0), (3;8)
Bài 26:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình :
3 2
2
1 3 ( 1) 1
5 5

− + + = + + + − +



+ − =


y x y x y x xy y
y y x

H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l
ờ
i gi
ả
i
Đ
i
ề
u ki
ệ
n :
0
1
>


+ ≥ −


y
x y
( vì y = 0 không th
ỏ
a HPT)
(1)
2
( 1)
( 1)( 1) 3 ( 1)( 1)
1
− +
⇔ = + − + + + + −
+ + +
x
x x x y x x y
y x y


2 2
1
( 1)[ 3 3 3 1 ]
1
⇔ + − + + − + +
+ + +
x x x xy y y
y x y



M

ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
16



2 2
1
( 1)[ (3 1) 3 3 1 ] (3)
1
⇔ + + − + − + +
+ + +
x x y x y y
y x y

Bài 27:
Gi
ả
i h

ệ
ph
ươ
ng trình:





−+=++−
−+=−−−
2223
2223
213
213
yxyxyyxy
xxyyxxyx

H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l
ờ
i gi
ả
i
T
ừ
(1) và (2) ta có

iyxyxxxyyiyyxyxxyx
)2(2)13(13
22222323
−+−−+=++−−−−−

)1()1(2)1(1)(33
22332223
ixixyyiiyixiyixyyixx
+−−++=−−+−+++⇔

)2)(1(1)()(
2223
xixyiyiiyixyix
+−+=−−+−+⇔

23
))(1(1)()(
ixyiiyixyix
−+=−−+−+⇔ 0)1()1(
23
=+−−++⇔
izziz

izzz
−
−
=
−
=
=

⇔
1;1;1
.
Do
đ
ó (x;y) = (1;0); (-1;0); (-1;-1) .
Bài 28:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình :
(
)
( )
3 3 2
3 2
6 3 5 14
,
3 4 5
x y y x y
x y
x y x y

− − + − =

∈


− + + = + −


ℝ

H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l
ờ
i gi
ả
i
Đ
kx
đ

3
4
x
y
≤


≥ −


T
ừ

(1) ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
3 2
3 2 3 2 2 2 2 3 0
x x y y x y x x y y
 
+ = + + + ⇔ − − + + + + + =
 

(
)
2 3
y x⇔ = −

Th
ế
(3) vào (2) ta
đượ
c
3 2 3 2
2 3 4 1 4 4 2 2 1 3 0
x x x x x x x x x x
+ + − = + − − ⇔ + − − + − + + − − =

( )( )( )
2 2
2 2 1 0
2 2 1 3
x x

x x x
x x
− −
⇔ − + + − + =
+ + + −

( ) ( ) ( )
1 1
2 2 1 0
2 2 1 3
x x x
x x
 
⇔ − + + − + =
 
+ + + −
 

( ) ( )( )
1 1 1 1
2 2 1 0
3 3
2 2 1 3
x x x
x x
 
⇔ − + + + − + − =
 
+ + + −
 

( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
1 1
2 2 1 0
3 2 2 2 1 3 1 3 2 3
x x
x x x
x x x x
 
+ +
 
⇔ − + + + + =
 
+ + + + + − + −
 
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
1 1
2 1 2 0
3 2 2 2 1 3 1 3 2 3
x x x
x x x x
 
 
⇔ − + + + + =
 
+ + + + + − + −
 

M
ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
17


Vì
( )( ) ( )( )
1 1
4 2 2 0
3 2 2 2 1 3 1 3 2 3
x x
y x x
x x x x
+ +
≥ −
⇒

≥ −
⇒
+ + + >
+ + + + + − + −

T
ừ

đ
ó ph
ươ
ng trình trên t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
( )( )
2
2 1 0
1
=

− + = ⇔

= −

x
x x

x

V
ớ
i
2 0; 1 3
x y x y
=
⇒
= = −
⇒
= −
.
Th
ử
l
ạ
i ta th
ấ
y th
ỏ
a mãn h
ệ
ph
ươ
ng trình. V
ậ
y h
ệ
ph

ươ
ng trình
đ
ã cho có t
ậ
p nghi
ệ
m là
(
)
(
)
{
}
1; 3 ; 2;0 .
S = − −

Bài 29:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
3 2 2
2 2 2 2
4( 1)
( 1) (2 1) 3 2
y y x y xy

x y x y x x

+ + − − =


+ + + = − −



H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l
ờ
i gi
ả
i
Bi
ế
n
đổ
i pt ban
đầ
u v
ề
d
ạ
ng
2

( 2)( 2)( 1 ) 0 2
1
y
y y y x y
y x
=


− + + − = ⇔ = −


= −


TH 1: V
ớ
i y = 2 thay vào pt (2) :
2
8 3 6 0
x x
+ + =
vô nghi
ệ
m
TH 2: V
ớ
i y = - 2 thay vào (2):
3 6 0 2
x x
+ =

⇒
= −
suy ra nghi
ệ
m (x; y) =(-2;-2)
TH 3: V
ớ
i
1
y x
= −
thay vào (2):
4 2 2 2
1 1 5
3 0 ( ) ( ) 0 ( )
2 2 2
x x x x vn
+ + = ⇔ − + + + =

KL: h
ệ
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
( ; ) ( 2; 2)
x y
= − −

Bài 30:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
(
)
(
)
2 2
2 33
4 1 2
( ; )
12 10 2 2 1
x x y y
x y
y y x

+ + + + =

∈


− + = +

ℝ

H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l
ờ
i gi
ả
i
Ta có:
2 2
(1) 4 ( 2 ) 4 ( 2 ) (*)
x x y y⇔ + + = − + + −
.
Xét hàm s
ố

đặ
c tr
ư
ng
2
2
2 2 2
4
( ) 4 '( ) 1 0.
4 4 4
t t
t t t
f t t t f t

t t t
+
+ +
= + + ⇒ = + = > ≥
+ + +

Suy ra f(t) là hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên R. T
ừ
(*) suy ra:
( ) ( 2 ) 2
f x f y x y
= −
⇒
= −
.
Thay vào ph
ươ
ng trình (2) ta
đượ
c:
( ) ( )
(
)
3

3 3
2 3 3 3
3 5 2 2 1 1 2 1 1 2 1 (**)
+ + = + ⇔ + + + = + + +x x x x x x x

Xét hàm s
ố

3
( ) 2
g t t t
= +
ta th
ấ
y g(t)
đồ
ng bi
ế
n trên R nên t
ừ
(**) suy ra :
3 3
0
1 1
1
x
x x
x
=


+ = + ⇔

= −

. V
ậ
y h
ệ
có hai nghi
ệ
m là
1
( 1; ); (0;0)
2
−
.


M
ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
18


Bài 31:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
2 2 2 2
2
( )( 3) 3( ) 2
4 2 16 3 8
x y x xy y x y
x y x

− + + + = + +


+ + − = +



(
)
,x y ∈

ℝ
.
H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l
ờ
i gi
ả
i
Đ
K:
16
2,
3
x y
≥ − ≤

3 3
(1) ( 1) ( 1) 2
x y y x
⇔ − = + ⇔ = −
Thay y=x-2 vao (2)
đượ
c
2
4( 2) 3( 2)
4 2 22 3 8 ( 2)( 2)
2 2 22 3 4

x x
x x x x x
x x
− −
+ + − = + ⇔ = − + +
+ + − +

2
4 3
( 2) 0(*)
2 2 22 3 4
x
x
x x
=


⇔
−

+ + + =

+ + − +


Xét f(x)=VT(*) trên [-2;21/3],có f’(x)>0 nên hàm s
ố

đồ
ng bi

ế
n. suy ra x = - 1 là nghi
ệ
m
duy nh
ấ
t c
ủ
a (*)
KL: HPT có 2 nghi
ệ
m (2;0),(-1;-3)
Bài 32:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2 2
2 2
2 2( )
1 1 1 1
x y x y x y
x y x y

+ + + + = +



+ = +



H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l
ờ
i gi
ả
i
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2
0
x y
xy
+ ≥ −


≠

.
- Ta th

ấ
y x + y = 0 không là nghi
ệ
m c
ủ
a hpt. Do
đ
ó ta có th
ể
xét hai tr
ườ
ng h
ợ
p sau:
* TH1:
2 0
x y
− ≤ + <

- T
ừ
pt (2) ta suy ra xy < 0.
2
1 1 1 1 1 1
(2) 2 . 0(3)
pt
x y x y x y
   
⇔ + − + − =
   

   
.
- Gi
ả
s
ử
h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m x, y.
- Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình (3) có nghi
ệ
m
1 1 1 1
1 8 . 0 8 0 8
xy xy
x y x y
+
⇒
+ ≥ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ −
.

- Khi
đ
ó ta có
2 2
2 16
x y xy
+ ≥ ≥
.
Đặ
t
2 0 2
t x y t= + + ⇒ ≤ < .
- T
ừ
pt (1) ta có
2 2
2 32 34 0
t t t t
+ − ≥ ⇔ + − ≥

đ
i
ề
u này vô lí .
V
ậ
y TH1 h
ệ
ph
ươ

ng trình vô nghi
ệ
m.
8 TH2: x + y >0.
- T
ừ
(2) suy ra xy > 0, do
đ
ó x và y
đề
u d
ươ
ng.


M
ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
19

- Ta có
2 2
(2) ( )
x y xy x y
⇔ + = +
. Do
2
2 2
( )
2
x y
x y
+
+ ≥
và
2
( )
4
x y
xy
+
≤
nên ta có :
2 2
2 2
( ) ( )
( ) ( ) 2
2 4

x y x y
x y x y xy x y x y
+ +
≤ + = + ≤ +
⇒
+ ≥

-
Đặ
t
2 2
t x y t
= + + ⇒ ≥
.
T
ừ
(1)
2 2 2 4 2 3 2
2 ( 2) 5 6 0 ( 2)( 2 3) 0 (4)
t t t t t t t t t t
⇒
+ − ≥ − ⇔ − − − ≤ ⇔ − + − − ≤
.
Ta có
3 2
2 3 0 2
t t t t
+ − − > ∀ ≥
, do
đ

ó, t
ừ

(4) 2 0 2.
t t
⇒
− ≤ ⇔ ≤

T
ừ

đ
ó suy ra: t = 2
2
x y
⇒
+ =
, thay vào hpt ta có xy=1
1
x y
⇒
= =
.
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình có nghi

ệ
m duy nh
ấ
t là
1
1
x
y
=


=

.
Bài 33:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
(
)
3 2 2
2 2 2
(4 1) 2( 1) 6
2 2 4 1 1
x y x x
x y y x x


+ + + =


+ + = + +



H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l
ờ
i gi
ả
i
Đ
K:
0
x
≥

* Do x = 0 không ph
ả
i nghi
ệ
m nên x > 0
2
1 0

x x
⇒ + + >
.
T
ừ
pt (2)
⇒
2
(2 2 4 1) 0
y y
+ + >
. Chia hai v
ế
pt (2) cho
2
x
, ta
đượ
c :
( ) ( ) ( )
2
2
1 1 1 1
2 2 2 1 1 (2 )y y y f y f
x x x x
   
+ + = + + ⇔ =
   
   
(3)

* Xét hàm s
ố
:
2
( ) 1
f t t t t
= + +
trên kho
ả
ng
(
)
0;
+∞

2
2
2
'( ) 1 1 0, 0
1
t
f t t t
t
= + + + > ∀ >
⇒
+
hàm s
ố

đồ

ng bi
ế
n trên kho
ả
ng
(
)
0;
+∞
(4). T
ừ
(3) và
(4)
1
2y
x
⇒
=

* Thay
1
2y
x
=
vào pt (1), ta
đượ
c :
(
)
3 2

2 1 6
x x x x
+ + + =
(5).
Ta th
ấ
y x = 1 là nghi
ệ
m pt (5).
Xét hàm s
ố
:
(
)
3 2
( ) 2 1
f x x x x x
= + + +
trên kho
ả
ng
(
)
0;
+∞

Có
2
2
1

'( ) 3 4 0, 0
x
f x x x x x x
x
+
= + + + > ∀ > ⇒
hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên kho
ả
ng
(
)
0;
+∞
(6).
T
ừ
(5) và (6)
1
x
⇒
=
là nghi
ệ
m duy nh

ấ
t c
ủ
a pt (5)


M
ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
20


*
1 2
x y
=
⇒
=
. V

ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
:
1
1;
2
 
 
 

Bài 34:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2 2 2
3 6 2 2
1 2 2
( 1) 3 ( 2) 3 4 0
x y x x x y
y x y x y


+ + = +


− + − + + =


( , )
x y
∈
R
.
H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l
ờ
i gi
ả
i
Do
đ
ó h
ệ

đ
ã cho t
ươ
ng
đươ

ng v
ớ
i :





>
=+−
−=
⇔





>
−=
=+
⇔





−=
=+
0
)4(1)2(

2
0
1
1
1
11
222
2
2
22
2
x
xxx
xy
x
yyx
xyx
yyx
yx

0)1)(1(0)1(013)4(
2222224
=−+−−⇔=−−⇔=+−⇔ xxxxxxxx








±−
=
±
=
⇔
2
51
2
51
x
x
. Do x > 0 nên
2
51+
=x
ho
ặ
c
2
51+−
=x

V
ớ
i
2
51
2
51 −
=

⇒
+
= yx
. V
ớ
i
2
51
2
51 +
=
⇒
+−
= yx
.
V
ậ
y h
ệ

đ
ã cho có nghi
ệ
m









−+
=
2
51
;
2
51
);( yx
,








++−
=
2
51
;
2
51
);( yx

Bài 35:
Gi

ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
2 3
3
2 3
(1 )( 3 3) ( 1) .
( , )
2 4 2( 2)
y x y x y x
x y
x y x y

− − + − = −

∈


− + − = −

ℝ
.
H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l

ờ
i gi
ả
i
Đ
KX
Đ
:
2 2
0
0, 1 1, 1
x y x y
x y x y
 
− ≥ ≥
 
⇔
 
≥ ≥ ≥ ≥
 
 

Nh
ậ
n xét
1, 1
x y
≥ =
không là nghi
ệ

m c
ủ
a h
ệ
. Xét
1
y
>
thì pt (1) c
ủ
a h
ệ
(I)
2 2
( 1) 3( 1) ( 1) ( 1) 0
x x y y y x y
+ − − − + − − =

2
3 0
1 1 1
x x x
y y y
 
⇔ + − + =
 
− − −
 

, 0

1
x
t t
y
= >
−
. Khi
đ
ó, pt (1) tr
ở
thành:
(
)
(
)
4 2 3 2
3 0 1 2 3 0 1.
t t t t t t t t
+ + − = ⇔ − + + + = ⇔ =

V
ớ
i t = 1, thì
1 1
1
x
y x
y
= ⇔ = +
−

, th
ế
vào pt(2), ta
đượ
c


M
ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
21


( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 32 3 2 3

2
2
2
2
33 3
3
2
2
2
2
33 3
3
1 2 4 2 1 1 2 4 1 0
1
1 6 0
4 1 4 1
6 1
1 1 0
4 1 4 1
x x x x x x x x
x x
x x
x x x x
x x
x x
x x x x
 
− − + − = − ⇔ − − + − − − =
 
 

− −
 
⇔ − − + =
 
− + + − − + −
 
 
 
− −
 
⇔ − − + =
 
 
− + + − − + −
 

( )
2
1 5
1 0 1
2
x x x x
+
⇔ − − = ⇔ = ≥
.
V
ớ
i
1 5 3 5
.

2 2
x y
+ +
= ⇒ =

Đố
i chi
ế
u
Đ
K, h
ệ
ph
ươ
ng có nghi
ệ
m
( )
1 5 3 5
; ; .
2 2
x y
 
+ +
=
 
 
 

Bài 36:

Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
2 2
1 2
2
3 2 4 3 2 4 0
,
2.4 1 2 2log
y x
x y xy x y xy
x y
x
y
+

− − + − − =

∈

+ = +


ℝ
.

H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l
ờ
i gi
ả
i
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
, 0
x y
>
. Khi
đ
ó (1)
2 2
(3 3 ) (2 2 ) (4 4 ) 0
x y x xy y xy
⇔ + − + − + =

3 ( 1) 2 ( 1) 4(1 ) 0
x xy y xy xy
⇔ + − + − + =
( 1)(3 2 4) 0 3 2 4 0

xy x y x y
⇔ + − − = ⇔ − − =

( vì
, 0 1 0
x y xy
>
⇒
+ >
) . Do
đ
ó
2 3 4
y x
= −
(a)
(2)
2 2
2 2 2 2
1
2.4 1 2.2 2log 2log 4 log 2 log
2
y x y x
x y y x
⇔ + = + − ⇔ + = + −

2 2 2
2 2 2 2
1
4 log 1 2 log 2 log 2 2 log 2

2
y x y x
y x y x
⇔ + + = + + ⇔ + = +
(*)
Xét hàm s
ố

2
( ) 2 log
t
f t t
= +
trên
(0; )
+ ∞
. Có
1
'( ) 2 ln 2 0 , (0; )
.ln 2
t
f t t
t
= + > ∀ ∈ + ∞

⇒
f(t)
đồ
ng bi
ế

n trên
(0; )
+ ∞
. Do
đ
ó (*)
(
)
(2 ) 2 2 2
f y f x y x
⇔ = ⇔ =
(b)
T
ừ
(a) và (b) ta có
3 4 2
x x
− =
(
đ
i
ề
u ki
ệ
n
4
3
x
≥
)

2
9 26 16 0
x x
⇒ − + = ⇔

=


=


2 (thoûamaõn)
8
(loaïi)
9
x
x

V
ớ
i x = 2

⇒
y =1 , suy ra h
ệ
ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi

ệ
m (2;1)
Bài 37:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2 2
2
2
1
( , )
xy
x y
x y
x y
x y x y

+ + =

+
∈


+ = −

ℝ

M
ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
22


H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l
ờ
i gi
ả
i
Đ

i
ề
u ki
ệ
n: x + y > 0
Đặ
t u = x + y, u > 0 và v = xy. Pt (1) tr
ở
thành:
2 3
2
2 1 2 2 0
v
u v u u uv v
u
− + = ⇔ − − + =

2
1
( 1)[ ( 1) 2 ] 0
2 0
u
u u u v
u u v
=

⇔ − + − = ⇔

+ − =


* TH1: V
ớ
i u = 1 hay x + y = 1 (th
ỏ
a
đ
k), thay vào 2
đượ
c:
2 2
1
1 (1 ) 2 0
2
x
x x x x
x
=

= − − ⇔ + − = ⇔

= −


1 0; 2 3
x y x y
= ⇒ = = − ⇒ =

* TH2: V
ớ

i
2
2 0
u u v
+ − =
hay
2 2 2
( ) 2 0 0
x y x y xy x y x y
+ + + − = ⇔ + + + = ⇒
vô nghi
ệ
m
do
đ
k . V
ậ
y h
ệ
pt có 2 nghi
ệ
m (1; 0); (−2; 3).
Bài 38:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình

3 2 2
2
2 2 0
2 5 7
x x x y x y
x x y

− + + + − =


+ + + =



H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l
ờ
i gi
ả
i
( )
(
)
( )
2
1 1 2 0
x x y

⇔ + + − =

(
)
2
2 0 1 0
x y do x
⇔ + − = + >

Thay
2
y x
= −
vào (2) ta
đượ
c
2
7 7
x x
+ + =

2 2
2 0
1 1
7
1 2 7 3 2 7
2 2
2 2
x y
x x

x y
= ⇒ =

   

⇔ + = + + ⇔
   
− +

   
= ⇒ =


(th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n)
V
ậ
y h
ệ
có nghi
ệ
m
( ) ( )

1 2 7 3 2 7
, : 2;0 ; ;
2 2
x y
 
− +
 
 
 

Bài 39:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
2 4
2 2
( )( 4 ) 3 0
( , ).
2 1 1 0
x y x y y y
x y
x y y y

+ + + + =

∈


+ + − + + =


ℝ

H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l
ờ
i gi
ả
i
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2
2 1 0.
x y
+ + ≥

Ph
ươ
ng trình th
ứ

nh
ấ
t c
ủ
a h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
2 2 4 2 2
( ) 4( ) 3 0 ( )( 3 ) 0.
x y x y y y x y y x y y
+ + + + = ⇔ + + + + =

*)
2
0,
x y y
+ + =
hay
2
.
x y y
= − −
Thay vào ph
ươ

ng trình th
ứ
hai c
ủ
a h
ệ
ta
đượ
c

2
2 2
2
1 1 (ktm)
1 1 0
1 2.
y y
y y y y
y y

− + = −

− + − + + = ⇔

− + =

2
1 13
3 0 .
2

y y y
±
⇔ − − = ⇔ =

V
ớ
i
1 13
2
y
−
=
thì
4 13
x = − +
và v
ớ
i
1 13
2
y
+
=
thì
4 13.
x = − −

*)
2
3 0,

x y y
+ + =
hay
2
3 .
x y y
= − −
Thay vào ph
ươ
ng trình th
ứ
hai c
ủ
a h
ệ
ta
đượ
c

2 2 2 2
1 1 0 1 1
y y y y y y y y
− − + − + + = ⇔ − − + = − −


2 2
2 2 2 2
1 0 1 0
1.
1 ( 1) ( 1)( 3 3) 0

y y y y
y
y y y y y y y y
 
− − ≥ − − ≥
 
⇔ ⇔ ⇔ = −
 
− − + = − − + − + =
 
 
Suy ra
2.
x
= −



M
ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
23


V
ậ
y nghi
ệ
m (x; y) c
ủ
a h
ệ
là
( )
1 13 1 13
4 13; , 4 13; , 2; 1 .
2 2
   
− +
− + − − − −
   
   
   

Bài 40:
Gi
ả
i h
ệ

ph
ươ
ng trình:
( )
3
4
2 1 27
2 1
x y x
x y

− − − = −


− + =



( , )
x y
∈
R
.
H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l
ờ
i gi

ả
i
T
ừ
ph
ươ
ng trình (2) ta có
( ) ( )
4 2
2 1 1 2
x y y x
− = −
⇒
− = −
thay vào ph
ươ
ng trình
(
)
1
ta
đượ
c
3 2
2 27 4 4
x x x x
− = − + − +
⇔
3 2
2 4 31 0

x x x x
− + − + − =
(
)
*

Xét hàm s
ố

(
)
3 2
2 4 31,
f x x x x x
= − + − + −
v
ớ
i m
ọ
i
2
x
≥

( )
' 2
1
3 2 4 0 2
2 2
f x x x x

x
⇒
= + − + > ∀ >
−

⇒
hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên kho
ả
ng
(
)
2;
+∞
m
ặ
t khác
(
)
3 0 3
f x
= ⇒ =
là nghi
ệ
m duy nh

ấ
t
c
ủ
a (*) thay vào ph
ươ
ng trình (2) ta
đượ
c
2
y
=
.
V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình là
(
)
(
)
; ;
=

x y 3 2

Bài 41:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
3 3 2
3
7 3 ( ) 12 6 1 (1)
( , )
4 1 3 2 4 (2)
x y xy x y x x
x y
x y x y
+ + − − + =


∈

+ + + + =


ℝ

H
ướ

ng d
ẫ
n tìm l
ờ
i gi
ả
i
Gi
ả
i:
Đ
K
3 2 0
x y
+ ≥
.
(
)
(
)
3 3
3 2 3 2 2 3
(3) 8 12 6 1 3 3 2 1 2 1 1
⇔ − + − = − + − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = −
x x x x x y xy y x x y x x y y x
+ V
ớ
i
1
y x

= −
thay vào
(4)
ta
đượ
c :
3
3 2 2 4
x x
+ + + =

Đặ
t
3
3 2, 2 (b 0)
a x b x
= + = + ≥

. Ta có h
ệ
pt
3
3 2
4
2 3 2 2
2
2
3 4
2 2
a b

a x
x
b
a b
x

+ =
= + =



⇔ ⇒ ⇔ =
  
=
= −
+ =





+
2 1
x y
= ⇒ = −
. V
ậ
y nghi
ệ
m c

ủ
a h
ệ
là:
2
1
x
y
=


= −


Bài 42:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
3 3 3
2 2
27 7 8
9 6
x y y
x y y x

+ =



+ =


(
,x y
∈
ℝ
)
H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l
ờ
i gi
ả
i
Nh
ậ
n xét
0,
y
≠
nhân hai v
ế
ph
ươ
ng trình th

ứ
hai v
ớ
i 7y, tr
ừ

đ
i ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t,
đượ
c:
3 2
(3 ) 7(3 ) 14(3 ) 8 0
xy xy xy
− + − =

T
ừ

đ
ó tìm
đượ
c ho
ặ
c

3 1
xy
=
ho
ặ
c
3 2
xy
=
ho
ặ
c
3 4
xy
=

- V
ớ
i
3 1,
xy
=
thay vào ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t,
đượ

c
1
y
=
do
đ
ó
1
3
x
=

- V
ớ
i
3 2,
xy
=
thay vào ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t,
đượ
c
0
y
=

(Lo
ạ
i)
- V
ớ
i
3 4,
xy
=
thay vào ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t,
đượ
c
2
y
= −
do
đ
ó
2
3
x
= −

M
ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H
ÌNH GI
ẢI
H
Ệ PH
ƯƠNG TR
ÌNH

-
T
ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Trang
24


Bài 43
: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình :
2 2
5 3 6 7 4 0
( 2) 3 3
x y y x

y y x x

− + + − + =


− + = +



( , )
x y R
∈
.
H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l
ờ
i gi
ả
i
Ph
ươ
ng trình th
ứ
(2)
⇔
2
(2 ) 3 3 0

y x y x
+ − − − =

đượ
c xem là ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai theo
ẩ
n
y có
2
( 4)
x
∆ = +
. Ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m:
2 4
3
2
2 4
1
2
x x
y
x x

y x
− − −

= = −


− + +

= = +



Thay
y
= -3 vào pt th
ứ
nh
ấ
t ta
đượ
c pt vô nghi
ệ
m
Thay
1
+
=
xy
vào pt th
ứ

nh
ấ
t ta
đượ
c:
2 2
x 5 2 6 5 5 0
x x x
− − + − + =
(3)
Gi
ả
i (3):
đặ
t
2
5 5
x x
− +
=
t
,
đ
i
ề
u ki
ệ
n t
≥
0 . T

ừ
( )
(
)
2
1
3 6 7 0
7 ( )
t tm
t t
t ktm
=

⇔ + − = ⇔

= −


V
ớ
i t = 1
⇔
2
5 5
x x
− +
=1
⇔
1 2
4 5

x y
x y
=
⇒
=


=
⇒
=

( th
ỏ
a mãn)
V
ậ
y, h
ệ
ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m là:
)2;1(
và (4;5)
Bài 44:
Gi
ả
i h
ệ

ph
ươ
ng trình :
2 2
2 2 2 2
x 2y 7xy 6
x 2x 5 y 2y 2 x 2xy y 9

− − =


+ + + − + = + + +



H
ướ
ng d
ẫ
n tìm l
ờ
i gi
ả
i
T
ừ
(2)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2

x 1 2 y 1 1 x y 3
⇔ + + + − + = + +
(*)
Xét
u (x 1;2),v (y 1;1) u v (x y;3)
= + = −
⇒
+ = +
   

T
ừ
(*) ta có
1 2
| | | | | | 2 2( 1)
1 1
+
+ ≥ + ⇔ = ⇔ + = −
−
   
x
u v u v x y
y
thay vào (1) và gi
ả
i h
ệ
ta
có
7 1

(x;y) ( 1;1); ;
2 4
 
= − − −
 
 

Bài 45
(KA-2014) Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình :
2
3
x 12 y y(12 x ) 12
x 8x 1 2 y 2

− + − =


− − = −



H
ướ
ng d

ẫ
n tìm l
ờ
i gi
ả
i
T
ừ
(1)
2
x. 12 y y. 12 x 12
⇔ − + − =

Xét
2
u (x; 12 x ), v ( 12 y; y) u 12, v 12
= − = −
⇒
= =
   

Ta có
2
u.v u.v u . v x. 12 y y. 12 x 12
≤ ≤ ⇔ − + − ≤
     

D
ấ
u “=” khi

2
2
x 12 x
y 12 x
12 y y
−
= ⇔ = −
−
thay vào (2)
để
gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình …