Lôgarit - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

§3

<b>LƠGARIT</b>

<b>A</b>

<b>TĨM TẮT LÍ THUYẾT</b>

<b>1</b> <b>ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT</b>

Định nghĩa. Cho hai số dương a, b với a 6= 1. Số α thỏa mãn đẳng thức aα _{= b được gọi là lôgarit cơ}
số a của b và kí hiệu là log_ab.

α = log_ab ⇔ aα = b, (a, b > 0; a 6= 1).

Tính chất 1. Cho hai số dương a, b với a 6= 1, ta có tính chất sau:

log_a1 = 0; log_aa = 1; alogab _{= b; log}
aa

α
= α.

Ví dụ 1. Hãy tìm lơgarit của mỗi số 3; 1; 1

3√3 theo sơ số 3.

Lời giải.

Ta lần lượt có:

log₃3 = 1; log₃1 = 0; log₃ 1

3√3 = log33
−3

2 = −3
2.



Ví dụ 2. Tính log_0.51
2; log14

1
64.

Lời giải.

Ta lần lượt có:

log_0.51

2 = log0.50.5 = 1.
log1

4
1

64 = log14
Å 1

4
ã3

= 3.



<b>2</b> <b>CÁC QUY TẮC TÍNH LƠGARIT</b>

Cho ba số dương a, b1, b2 với a 6= 1, ta có các quy tắc sau:
• log_ab1b2 = logab1+ logab2;

• log_ab1
b2

= log_ab1− logab2. Đặc biệt, với a, b > 0, a 6= 1 thì loga
1

b = − logab.
• log_abα

1 = α logab1. Đặc biệt: loga
n
√

b = 1
nlogab.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Lời giải.

Ta có: log716

log₇15 − log₇30 =

log₇16
log₇ 15
30

= log72
4
log₇2−1 =

4 log₇2

− log₇2 = −4. 

Ví dụ 2. Hãy so sánh log 2 + log 3 và log 5.

Lời giải.

Ta có

log 2 + log 3 = log 6 > log 5.



<b>3</b> <b>CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ</b>

Cho ba số dương a, b, c và a 6= 1, c 6= 1, ta có log_ab = logcb
log_ca.
Đặc biệt: log_ab = 1

log_ba, với b 6= 1; log

α
ab =

1

αlogab, với α 6= 0.
Ví dụ 1. Tính log1

4 (log34. log23).

Lời giải.

Ta có

log1

4 (log34. log23) = log
1

4 (2 log32. log23) = log
1

4 (2 log33) = log
1

4 2 = log
−2
2 2 = −

1

2log22 = −
1
2.



<b>4</b> <b>LÔGARIT THẬP PHÂN VÀ LÔGARIT TỰ NHIÊN</b>

- Lôgarit cơ số 10 gọi là lôgarit thập phân, log₁₀N , (N > 0) thường được gọi là lg N hay log N .
- Lôgarit cơ số e gọi là lôgarit tự nhiên, log_eN , (N > 0), được viết là ln N .

Ví dụ 1. Biểu diễn log 64 theo a = log₂5.

Lời giải.

Ta có log 64 = log264
log₂10 =

log₂26
log₂(2.5) =

6 log₂2
log₂2 + log₂5 =

6

1 + a. 

<b>B</b>

<b>CÁC DẠNG TỐN</b>

<b>| Dạng 1. Tính giá trị của biểu thức chứa logarit.</b>

Sử dụng các định nghĩa, tính chất và qui tắc tính lơgarit để tính một biểu thức chứa lơgarit

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Ví dụ 1. Cho 0 < a 6= 1. Tính giá trị của biểu thức alog√a4_.

Lời giải.

alog√a4 _{= a}2 loga4 = aloga42 = 42 = 16. 

Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức A = 2 log₂12 + 3 log₂5 − log₂15 − log₂150.

Lời giải.

A = log₂122+ log₂53− (log₂15 + log₂150) = log₂122· 53_{− log}

215 · 150 = log2
18000

2250 = log28 = 3. 

Ví dụ 3. Giá trị của biểu thức P = log₂16 · log₃27 · log₈32 · log₃Å 1
9

ã

bằng bao nhiêu?

Lời giải.

P = log₂16 · log₃27 · log₈32 · log₃Å 1
9

ã

= 4 log₂2 · 3 log₃3 ·5

3log22 · (−2) log33 = −40. 
Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức P = log_ab2+ 2 log_a2b4+ 3 log_a3b6− 4 log_a4b8.

Lời giải.

P = log_ab2_{+ 2 log}

a2b4+ 3 log_a3b6− 4 log_a4b8 = 2 log_ab + 4 log_ab + 6 log_ab − 8 log_ab = 4 log_ab. 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tính giá trị của biểu thức P = 1

2log736 − log714 − 3 log7
3
√

21.

Lời giải.

P = log₇6 − log₇14 − log₇21 = log₇ 6

14 · 21 = log7
1

49 = −2. 

Bài 2. Cho 0 < a 6= 1, tính giá trị của biểu thức P = (ln a + log_ae)2+ ln2a − log2_ae.

Lời giải.

P = (ln a + log_ae)2_{+ ln}2_{a − log}2

ae = ln

2_{a + 2 ln a log}

ae + log
2
ae + ln

2_{a − log}2

ae = 2 ln

2_{a + 2.}



Bài 3. Cho 0 < a 6= 1, tính giá trị của biểu thức P = 2 ln a + 3 log_ae + 3
ln a −

2
log_ae.

Lời giải.

P = 2 ln a + 3 log_ae + 3
ln a −

2

log_ae = 2 ln a + 3 logae + 3 logae − 2 ln a = 6 logae =
6

ln a. 

Bài 4. Tính giá trị của biểu thức P = log_a(a3√_a√5_a).

Lời giải.

P = log_a(a3√a√5 _{a) = log}
a(a

3+1₂+1₅

) = 37

10. 

Bài 5. Tính giá trị của biểu thức A = log₃2 · log₄3 · · · log₁₆15.

Lời giải.

A = log₁₆15 · log₁₅14 · · · log₅4 · log₄3 · log₃2 = log₁₆2 = 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Bài 6. Rút gọn biểu thức P = log1
a

a ·√5a3 _·√3
a2
√

a ·√4 _a .

Lời giải.

P = − log_a a · a
3
5 · a

2
3

a12 · a
1
4

= − log_aa9160 = −
91

60. 

Bài 7. Tính giá trị của biểu thức P = 43 log83+2 log165.

Lời giải.

P = 43 log83+2 log165 = 4log23· 4log45 = 32· 5 = 45. 
Bài 8. Cho 0 < a, b và a, b 6= 1, tính giá trị biểu thức P = log√

ab3· logba4.

Lời giải.

P = log√

ab3· logba4 = 6 logab · 4 logba = 24 logab · logba = 24. 
Bài 9. Cho P = log√

ab2+
2
loga

b2 a

có giá trị bằng bao nhiêu?

Lời giải.

P = log√
ab2+

2
loga

b2 a

= 4 log_ab + 2 log_aa
b2



= 4 log_ab + 2(log_aa − log_ab2_{) = 2.} _

Bài 10. Cho log₃x = 3 log₃2 + log₉25 − log√

33. Tìm giá trị của x.

Lời giải.

log₃x = 3 log₃2 + log₉25 − log√

33 = log38 + log35 − 2 log33 = log3
40

9 ⇒ x =
40

9 . 

Bài 11. Cho log₇ 1

x = 2 log7a − 6 log49b. Tìm giá trị của x.

Lời giải.

log₇ 1

x = 2 log7a − 6 log49b = log7a

2_{− log}

7b3 = log7
a2
b3 ⇒

1
x =

a2

b3 ⇒ x =
b3

a2. 

Bài 12. Cho a, b > 0, nếu viết log₅Å a
10
6
√

b5

ã−0,2

= x log₅a + y log₅b thì xy bằng bao nhiêu?

Lời giải.

log₅Å a
10
6
√

b5
ã−0,2

= log₅a−2− log₅b−16 _{= −2 log}
5a +

1
6log5b.
Cân bằng hệ số ta được: x = −2, y = 1

6 ⇒ xy = −
1

3. 

Bài 13. Cho a, b > 0. Nếu viết log₃Ä√5 a3_bä
2
3 ₌ x

15log3a +
y

15log3b thì x + y bằng bao nhiêu?

Lời giải.

log₃Ä√5 a3_bä
2
3 _{= log}

3a
2
5 _{+ log}

3b
2
15 ₌ 2

5log3a +
2

15log3b.

Cân bằng hệ số ta được: x = 2, y = 2 ⇒ x + y = 4. _

<b>| Dạng 2. Biểu diễn logarit theo các tham số.</b>

Bước 1: Biến đổi các biểu thức logarit phụ thuộc vào tham số a và b về dạng logarit với cơ số

và đối số là tích các số nguyên tố.

Bước 2: Đặt các biểu thức logarit của các số nguyên tố là các ẩn x, y, z,. . . Từ đó ta thu được

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Bước 3: Giải hệ tìm được tìm x, y, z,. . . theo a, b. Từ đó tính được biểu thức theo các tham số

a, b.

Các công thức nền tảng là log_ab = logcb
log_ca và

1

log_ab = logba.

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 2 ccc</b>

Ví dụ 1. Cho a = log₂14. Biểu diễn log₄₉16 theo a.

Lời giải.

Ta có: log₄₉16 = log₇224 = 2 log₇2 = 2.
1
log₂7 =

2

log₂ 14
2

= 2

log₂14 − log₂2 =
2

a − 1. 

Ví dụ 2. Cho a = log₁₂18. Tính log₂₄54 theo a.

Lời giải.

Đầu tiên ta biến đổi

a = log₁₂18 = log₁₂(32.2) = 2 log₁₂3 + log₁₂2 = 2. 1

1 + 2log₃2 +
1
2 + log₂3 =

2 + log₃2
1 + 2log₃2 =

2 + x
1 + 2x.

Giải tìm x = log₃2 theo a ta được log₃2 = a − 2
1 − 2a.
Vậy ta đưa biểu thức cần biểu diễn về cơ số 3 nên được

log₂₄54 = log3(3

3_.2)
log₃(23_.3) =

3 + log₃2
1 + 3log₃2 =

−5a + 1
a − 5

. _

Ví dụ 3. Cho a = log₅18 và b = log₅60. Tính log₃2 theo a và b.

Lời giải.

Đầu tiên ta có hệ
(

a = log₅18 = log₅2 + 2 log₅3
b = log₅60 = 2 log₅2 + log₅3 + 1.

Đặt x = log₅2 và y = log₅3 từ đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
(

x + 2y = a

2x + y = b − 1 ⇔







x = log₅2 = −a + 2b − 2
3

y = log₅3 = 2a − b + 1
3

.

Nên log₃2 = log52
log₅3 =

−a + 2b − 2

2a − b + 1 . 

Ví dụ 4. Cho a = log₇12 và b = log₁₂14. Tính log₅₄168 theo a và b.

Lời giải.

Ta có a = log₇12 ⇔ a = log₇3 + 2 log₇2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Từ đó ta biến đổi biểu thức về cơ số 7 ta được

log₅₄168 = log7168
log₇54 =

3log₇2 + log₇3 + 1
3log₇3 + log₇2
= 3log72 + log73 + 1

3log₇3 + log₇2 =

3ab − 3 + a − 2ab + 2 + 1
3a − 6ab + 6 + ab − 1 =

ab + a

3a − 5ab + 5. 

Ví dụ 5. Cho a = log₅₆18 và b = log₃₆48. Hãy tính log₂₁6 theo a và b.

Lời giải.

Ta có hệ









a = log₂3_.7 32.2
=

2log₂3 + 1

3 + log₂7
b = log₂3_.32 24.3
=

4 + log₂3
2 + 2log₂3

Đặt x = log₂3 và y = log₂7 ta có hệ









2x + 1
3 + y = a
4 + x
2 + 2x = b

⇔









x = −2b + 4
2b − 1

y = −6ab + 3a − 2b + 7
a (2b − 1)

.

Suy ra log₂₁6 = log23 + 1
log₂3 + log₂7 =

x + 1
x + y =

−3a

8ab − 7a + 2b − 7. 

Ví dụ 6. Cho log₂14 = a. Tính log₅₆32 theo a .

Lời giải.

Ta có : log₅₆32 = 1
log₃₂56 =

1
log₂614 · 4

= 1

6 (log₂14 + log₂4) =
1

6a + 12. 

Ví dụ 7. Cho log₃5 = a. Tính log₇₅45 theo a.

Lời giải.

Ta có log₇₅45 = log₅2_·3(32 · 5) = 2 log₅2_·33 + log₅2_·35 =

2

log₃(52_{· 3)} +

1

log₅(52_{· 3)} =

2

2 log₃5 + 1 +
1

2 + log₅3 =
2
1 + 2a +

1

2 + a. 

Ví dụ 8. Cho log√
2

1
3
√

5 = a. Tính log 40 theo a .

Lời giải.

Ta có log√
2

1
3
√

5 = a ⇔ a = −
2

3log25 ⇔ log25 = −
3a

2 .

Vậy log 40 = 1 + log₁₀4 = 1 + 2 log₁₀2 = 1 + 2

log₂10 = 1 +
2

log₂(2 · 5) = 1 +
2

1 + log₂5 =

6 − 3a
2 − 3a. 

Ví dụ 9. Biết log 2 = a, log 3 = b. Tính log 15 theo a và b.

Lời giải.

Ta có log 15 = log (3 · 5) = log 3 + log 5 = log 3 + logÅ 10
2

ã

= log 3 + log 10 − log 2 = b + 1 − a. _

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Lời giải.

Ta có log₃₀1350 = log₃₀(5 · 32_{· 30) = log}

305 + 2 log303 + log3030 = b + 2a + 1. 
Ví dụ 11. Cho log₂5 = a, log₅3 = b. Tính log₂₄15 theo a, b.

Lời giải.

Ta có log₂5 · log₅3 = log₂3 = ab ⇒ 1
log₃2 =

1
ab.

⇒ log₂₄15 = log₂₄3 + log₂₄5 = 1

log₃(3 · 23₎ +
1

log₅(3.23₎ =

1

1 + 3 log₃2 +

1

log₅3 + 3 log₅2 =

ab + a
ab + 3.


Ví dụ 12. Cho log₂3 = a, log₅3 = b. Biểu diễn log₆45 theo a và b.

Lời giải.

Ta có:log₆45 = 2 log₆3 + log₆5 = 2

log₃(2 · 3) +
1

log₅(2 · 3) =
2

1 + log₃2+

1

log₅2 + log₅3.
Mặt khác log₅2 = log53

log₂3 =
b

a; log32 =
1
a.

⇒ log₆45 = 2
1 + 1

a

+ 1
b

a + b

= a + 2ab

ab + b . 

Ví dụ 13. Cho a = log₂3 và b = log₂5. Biểu diễn log₂√6

360 theo a và b.

Lời giải.

Ta có log₂√6

360 = 1

6log2360 =
1

6log2(2

3_{· 3}2_{· 5) =} 1

6(3 log22 + 2 log23 + log25) =
1

6(3 + 2a + b) =
1

2 +

1
3a +

1

6b. 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Đặt log₂₇5 = a, log₈7 = b và log₂3 = c. Hãy biểu diễn log₆35 theo a, b, c.

Lời giải.

• Ta có log₂₇5 = log₃35 =
1

3log35 = a ⇒ 3a = log35 =
log₂5

log₂3 ⇒ log25 = 3ac.
• log₈7 = log₂37 =

1

3log27 = b ⇒ log27 = 3b.
• Suy ra log₆35 = log2(7 · 5)

log₂(2 · 3) =

log₂5 + log₂7

1 + log₂3 =

3ac + 3b
1 + c



Bài 2. Đặt log₂3 = a, log₅3 = b. Hãy biểu diễn log₆45 theo a, b.

Lời giải.

• Ta có log₅3 = log23

log₂5 = b ⇒
a

b = log25.
• Suy ra log₆45 = log2(3

2_{· 5)}
log₂(2 · 3) =

2 log₂3 + log₂5
1 + log₂3 =

2a +a
b
1 + a =

a(2b + 1)

b(1 + a)

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Bài 3. Cho biết log 3 = a, log 2 = b. Hãy tính log₁₂₅30 theo a, b.

Lời giải.

• Ta có: log 125 = log 53 _{= 3 log 5 = 3 log}10

2 = 3(log 10 − log 2) = 3(1 − b).
• log 30 = log 3 + log 10 = 1 + a.

• Suy ra log₁₂₅30 = log 30
log 125 =

1 + a
3(1 − a)



Bài 4. Cho log₂3 = m, log₂5 = n. Tính theo m và n giá trị của log₂√0, 3.

Lời giải.

Ta có log₂√0, 3 = log₂(3 · 10−1)12 ₌ 1

2log2(3 · 10

−1_{) =} 1

2[log23 − log210]

= 1

2[log23 − log25 − log22] =
1

2[m − n − 1]. 

Bài 5. Cho log_ab = √2. Tính log_a2_b
b2
√

a.

Lời giải.

Ta có log_a2_b
b2
√

a =

log_aÅ b
2
√

a
ã

log_a(a2_b) =

2 log_ab − 1
2logaa
2 log_aa + log_ab =

2√2 −1
2
2 +√2 =

4√2 − 1

2Ä2 +√2ä . 

Bài 6. Cho m = log 3, n = log 5. Tính log₃₀8 theo m, n.

Lời giải.

• Ta có log 8 = log 23 _{= 3 log 2 = 3 log}10

5 = 3 (1 − log 5) = 3(1 − m).
• log 30 = log(3 · 10) = log 3 + log 10 = m + 1.

• Suy ra log₃₀8 = log 8
log 30 =

3(1 − n)
1 + m



Bài 7. Cho log₂3 = a, biểu diễn log₁₂18 và log₂₄54 qua a.

Lời giải.

• Ta có log₁₂18 = log2(3
2_{· 2)}
log₂(22_{· 3)} =

2 log₂3 + 1
2 + log₂3 =

2a + 1
a + 2 .

• Tương tự log₂₄54 = log2(3
2_{· 2}2₎
log₂(23_{· 3)} =

2 log₂3 + 2
3 + log₂3 =

2a + 2
a + 3 .



Bài 8. Cho log₂5 = m, biểu diễn log₄1250 theo m.

Lời giải.

log₄1250 = 1

2log21250 =
1

2log2(2 · 5
4_{) =} 1

2(1 + 4 log25) =
1

2(1 + 4m). 

Bài 9. Cho a = log₃2. Tính log₆2 và log₁₂4 theo a.

Lời giải.

Ta có log₆2 = log32
log₃6 =

log₃2

log₃3 + log₃2 =
a
a + 1.

Mà log₁₂4 = log34

log₃3 + log₃4 =

log₃22

1 + log₃22 =

2a

1 + 2a. 

Bài 10. Cho a = log₂14. Tính log₄₉32 theo a.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Đầu tiên ta biến đổi

a = log₂14 = log₂2 + log₂7 ⇔ log₂7 = a − 1.
Đưa về cơ số 2 ta được log₄₉32 = log22

5
log₂72 =

5

2 (a − 1). 

Bài 11. Cho log₂5 = a. Hãy tính log₄1250 theo a.

Lời giải.

Ta có

log₄1250 = log₂2(2 · 54) =
1

2log2(2 · 5

4

)

= 1

2(1 + 4 log25) = 2a +
1
2.



Bài 12. Cho log₂5 = a, log₂3 = b. Hãy tính log₄₅1800 theo a, b.

Lời giải.

Ta có

log₄₅1800 = log21800
log₂45 =

log₂(23· 32_{· 5}2₎
log₂32_{· 5}
= log22

3_{+ log}

232 + log252
log₂32_{+ log}

25

= 3 + 2a + 2b
a + 2b .



Bài 13. Cho log₃15 = a, log₃10 = b. Hãy tính log√

350 theo a, b.

Lời giải.

Ta có a = log₃15 = log₃5 + 1 nên log₃5 = a − 1. Lại có b = log₃10 = log₃2 + log₃5 suy ra
log₃2 = b − a + 1. Do đó

log√

350 = 2 log3(2 · 52)

= 2 log₃2 + 4 log₃5 = 2a + 2b − 2.



Bài 14. Cho log_ax = p, log_bx = q, log_abcx = r. Biết 0 < a 6= 1, 0 < b 6= 1, 0 < c 6= 1 và 0 < x 6= 1.
Hãy tính log_cx theo p, q, r.

Lời giải.

Từ giả thiết ta có log_xabc = 1

r, suy ra

log_xa + log_xb + log_xc = 1
r.

Do đó

log_xc = 1

r − logxa − logxb =
1
r −

1
p−

1
q.

Vậy log_cx = ₁ 1
r −

1
p −

1
q

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Bài 15. Cho log₂3 = a, log₃5 = b, log₇2 = c. Hãy tính log₁₄₀63 theo a, b, c.

Lời giải.

Ta có

log₁₄₀63 = log₁₄₀(32_{· 7) = 2 log}

1403 + log1407

= 2

log₃140 +
1
log₇140 =

2

log₃(22_{· 5 · 7)} +

1
log₇(22_{· 5 · 7)}

= 2

2 log₃2 + log₃5 + log₃7+

1

2 log₇2 + log₇5 + 1.
Từ giả thiết ta được

log₃2 = 1

a; log75 = log72 · log23 · log35 = cab
log₃7 = 1

log₇−3 =
1
ca.

Vậy log₁₄₀63 = 2
2
a + b +

1
ca

= 2ac + 1

abc + 2c + 1. 

Bài 16. Đặt log₂a = m; log₂b = n. Tính giá trị biểu thức Q = log√
8

3
√

ab2 _{− 4 log}
0.125

a√3b
4
√

a3_b7 theo
m, n.

Lời giải.

Ta có

Q = log√
8

3
√

ab2_{− 4 log}
0.125

a√3b
4
√

a3_b7
= 2 log₈(ab2₎1₃ _{+ 4 log}

8
ab13

(a3_b7₎14
= 2

9log2(ab
2_{) +} 4

3log2
Ä

a14b−
17
12
ä

= 2

9log2a +
4

9log2b +
1

3log2a −
17

9 log2b
= 5

9log2a −
13

9 log2b =
5
9m −

13

9 n. 

Bài 17. Hãy biểu diễn các biểu thức logarit sau

a) Cho a = log₂3; b = log₃7. Hãy tính log₂₄14 theo a, b.
b) Cho a = log₂5; b = log₃5. Hãy tính log 75 theo a, b.

Lời giải.

a) Ta có log₂₄14 = log214
log₂24 =

log₂7 + 1
log₂3 + log₂8 =

log₂3. log₃7 + 1
log₂3 + 3 =

ab + 1
a + 3

b) Ta có log 75 = log575
log₅10 =

log₅25 + log₅3
log₅5 + log₅2 =

2 + 1
log₃5
1 + 1

log₂5

= (2b + 1)a

b(a + 1) 

Bài 18. Cho log₁₅3 = a. Hãy tính log₂₅15 theo a.

Lời giải.

Ta có a = log₁₅3 = 1
log₃15 =

1

1 + log₃5 ⇒ log35 =
1
a − 1.

Do đó log₂₅15 = log315
log₃25 =

1 + log₃5
2 log₃5 =

1 + 1
a − 1

2Å 1
a − 1

ã =
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Bài 19. Cho log₁₂6 = a;log₁₂7 = b . Hãy tính log₂7 theo a và b.

Lời giải.

Ta có log₂7 = log127
log₁₂2 =

log₁₂7

log₁₂12 − log₁₂6 =
b

1 − a. 

Bài 20. Tính log₂2016 theo a và b biết log₂7 = a và log₃7 = b.

Lời giải.

Ta có log₂2016 = log₂(25_.32_{.7) = 5 + 2 log}

23 + log27
= 5 + 2log27

log₃7+ log27 =

2a + 5b + ab

b . 

Bài 21. Cho log 2 = m và log 3 = n. Tính P = log√5_{0, 108 theo m và n.}

Lời giải.

Ta có P = 1

5log(0, 108) =
1
5log

108
1000 =

1
5log

22_.33
103 =

1

5(2 log 2 + 3 log 3 − 3) =

2m + 3n − 3

5 . 

Bài 22. Biết a = log₂₇5, b = log₈7, c = log₂3. Tính log₁₂35 theo a, b và c.

Lời giải.

Ta có a = log₂₇5 ⇒ 3a = log₃5; b = log₈7 ⇒ 3b = log₂7; c = log₂3.
Do đó

log₁₂35 = log235
log₂12 =

log₂5 + log₂7
2 + log₂3 =

3ac + 3b
c + 2 =

3 (ac + b)

c + 2 . 

Bài 23. Cho log₆10 = a và log₁₂45 = b. Hãy tính log₃₀54 theo a, b.

Lời giải.

Ta có: a = log_2.3(2.5) = 1 + log25
1 + log₂3
b = log_3.22(32.5) =

2log₂3 + log₂5
2 + log₂3 .

Đặt x = log₂5, y = log₂3. Ta được









a = 1 + x
1 + y

b = 2y + x
2 + y

⇔
(

ay − x = 1 − a

(b − 2) y − x = −b

Suy ra (a − b + 2) y = 1 + b − a ⇒ y = 1 + b − a

a − b + 2 ⇒ x =

(b − 2) (1 + b − a)

2 + a − b + b =

b + 2a − 2
2 + a − b .
Do đó

log₃₀54 = log_3.2.5 33.2
= 1 + 3log23
1 + log₂3 + log₂5 =

1 + 3x
1 + x + y =

5 − 2a + 2b
3 + 2a + b

. _

Bài 24. Cho a = log₄₀36, b = log₁₅₀50. Hãy tính log₁₀54 theo a, b.

Lời giải.

Ta có a = log₂3_.5 22.32
=

2 + 2log₂3
3 + log₂5 =

2 + 2x
3 + y .

b = log_3.2.52(52.2) =

1 + 2log₂5
1 + log₂3 + 2log₂5 =

1 + 2y

1 + x + 2y, trong đó kí hiệu x = log23, y = 2 log25.
Ta được

(

ay − 2x = 2 − 3a

2 (b − 1) y + bx = 1 − b
⇔

(

aby − 2bx = 2b − 3ab

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

⇒ (ab + 4b − 4) y = 2 − 3ab ⇔ y = 2 − 3ab

ab + 4b − 4 ⇒ 2x =

a (2 − 3ab)

ab + 4b − 4 + 3a − 2 =

10ab − 10a − 8b + 8
ab + 4b − 4 .
Suy ra

log₁₀54 = log_2.5 33.2
= 1 + 3log23
1 + log₂5 =

1 + 3x
1 + y =

16ab − 8b − 15a + 8
−2ab + 4b − 2

. _

Bài 25. Cho a = log₂3, b = log₃5, c = log₅7. Hãy tính log₄₂₀98 theo a, b, c

Lời giải.

Ta có

log₄₂₀98 = log_7.5.3.22 72.2
=

1 + log₂7

2 + log₂3 + log₂5 + log₂7

Ta có log₂5 = log₂3. log₃5 = ab và log₂7 = log₂5. log₅7 = abc.
Suy ra log₄₂₀98 = 1 + abc

2 + a + b + c. 

<b>| Dạng 3. Tìm giá trị của x thỏa mãn hệ thức lôgarit</b>

Sử dụng các công thức biến đổi lôgarit đưa hệ thức đã cho về dạng log_af (x) = log_ag(x).
Từ đó ta có

(

f (x) = g(x)

f (x) > 0 hay g(x) > 0

. Giải hệ này ta tìm được x.

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 3 ccc</b>

Ví dụ 1. Tìm giá trị của x biết log₃(x2_{− 1) + log}

9(x2− 1) =
3
2.

Lời giải.

Điều kiện: x2_{− 1 > 0 ⇔}
"

x < −1

x > 1
.

Ta có log₃(x2_{− 1) + log}

9(x2− 1) =
3

2 ⇔ log3(x

2_{− 1) +} 1

2log3(x

2_{− 1) =} 3

2 ⇔ log3(x

2_{− 1) = 1}

⇔ x2_{− 1 = 3 ⇔ x}2 _{= 4 ⇔ x = ±2.} _

Ví dụ 2. Tìm giá trị của x biết log₂(x3_{+ 2x}2_{) = 4.}

Lời giải.

Ta có log₂(x3+ 2x2) = 4 ⇔ x3+ 2x2 = 24 ⇔ x3_{+ 2x}2_{− 16 = 0 ⇔ x = 2.}



BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm giá trị của x biết log₃(x3_{+ 2) = 3.}

Lời giải.

Ta có log₃(x3+ 2) = 3 ⇔ x3+ 2 = 33 ⇔ x3_{− 25 = 0 ⇔ x =} √3

25. _

Bài 2. Tìm giá trị của x biết log1
6

(x2_{− 4x − 6) = −1.}

Lời giải.

Ta có log1
6

(x2− 4x − 6) = −1 ⇔ x2_{− 4x − 6 =}Å 1
6

ã−1

⇔ x2 _{− 4x − 12 = 0 ⇔}
"

x = 6

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Bài 3. Tìm giá trị của x theo a, b biết rằng log₃x = 4 log₃a + 7 log₃b.

Lời giải.

Ta có log₃x = 4 log₃a + 7 log₃b ⇔ log₃x = log₃a4_{+ log}

3b7 = log3(a4· b7).

Vậy x = a4_{· b}7_. _

Bài 4. Tìm giá trị của x theo a, b biết rằng log₅x = 2 log₅a − 3 log₅b.

Lời giải.

Ta có log₅x = 2 log₅a − 3 log₅b ⇔ log₅x = log₅a2_{− log}

5b3 = log3
Å a2

b3
ã

.

Vậy x = a
2

b3. 

<b>| Dạng 4. Chứng minh đẳng thức chứa lôgarit</b>

Áp dụng các công thức biến đổi lôgarit, công thức đổi cơ số để biến đổi vế này thành vế kia, hai

vế cùng bằng một đại lượng thứ ba, . . .

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 4 ccc</b>

Ví dụ 1. Cho a, b, c là ba số dương và khác 1. Chứng minh rằng alogcb = blogca.

Lời giải.

Ta có a = blogba_.

Khi đó V T = alogcb _{= b}logba
logcb _{= b}logcb·logba _{= b}logca_{= V P .} _

Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số dương và khác 1. Chứng minh rằng logac

log_abc = 1 + logab.

Lời giải.

Ta có log_abc = 1
log_cab.

Do đó V T = log_ac · log_cab = log_ac (log_ca + log_cb) = log_ac · log_ca + log_ac · log_cb

= 1 + log_ab = V P . _

Ví dụ 3. Chứng minh rằng 7
16ln

Ä

3 + 2√2ä− 4 lnÄ√2 + 1ä− 25
8 ln

Ä√

2 − 1ä= 0.

Lời giải.

Ta có V T = 7
16ln

Ä√

2 + 1ä2− 4 lnÄ√2 + 1ä− 25
8 ln

Ä√

2 + 1ä−1
= 7

8ln
Ä√

2 + 1ä− 4 lnÄ√2 + 1ä+ 25
8 ln

Ä√
2 + 1ä

=Å 7
8− 4 +

25
8

ã

lnÄ√2 + 1ä= 0 = V P . _

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho a, b là các số thực dương và khác 1. Chứng minh rằng a
√

logab − b
√

logba _{= 0.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Ta có V T = a
√

logab− b
√

logba _{= b}logba
√

logab− b
√

logba_{= b}
√

(logba)2logab− b
√

logba
= b

√

logba− b
√

logba_{= 0 = V P .} _

Bài 2. _{Cho a, x là các số thực dương, khác 1 và n ∈ N}∗. Chứng minh rằng
1

log_ax+
1
log_a2x

+ . . . + 1
log_anx

= n (n + 1)
2 log_ax .

Lời giải.

Ta có V T = 1
log_ax +

1
1
2logax

+ . . . + ₁ 1
nlogax

= 1
log_ax +

2

log_ax + . . . +
n

log_ax
= (1 + 2 + . . . + n) · 1

log_ax =

n (n + 1)

2 log_ax = V P . 

Bài 3. Cho a, b là các số thực dương và thỏa mãn a2 _{+ b}2 _{= 7ab. Chứng minh rằng log}
7

a + b
3 =
1

2(log7a + log7b).

Lời giải.

Ta có a2+ b2 = 7ab ⇒ (a + b)2 = 9ab ⇒Å a + b
3

ã2
= ab.

Suy ra log₇Å a + b
3

ã2

= log₇(ab) ⇒ log₇ a + b
3 =

1

2(log7a + log7b). 

Bài 4. Cho x, y là các số thực dương và thỏa mãn x2_{+ 4y}2 _{= 12xy. Chứng minh rằng 2 log (x + 2y) =}
log x + log y + 4 log 2.

Lời giải.

Ta có x2+ 4y2 = 12xy ⇒ (x + 2y)2 = 16xy.

Suy ra log (x + 2y)2 = log (16xy) ⇒ 2 log (x + 2y) = log x + log y + 4 log 2. _
Bài 5. Cho a = log₁₂18 và b = log₂₄54. Chứng minh rằng 5 (a − b) + ab = 1.

Lời giải.

Ta có









a = log₁₂18 = log318
log₃12 =

log₃2 + 2
2 log₃2 + 1
b = log₂₄54 = log354

log₃24 =

log₃2 + 3
3 log₃2 + 1

.

Đặt x = log₃2, khi đó ta có







a = x + 2
2x + 1

b = x + 3
3x + 1

.

Ta có

V T = 5 (a − b) + ab = 5Å x − 2
2x + 1 −

x + 3
3x + 1

ã

+ x + 2
2x + 1 ·

x + 3
3x + 1

= 5 [(x + 2) (3x + 1) − (x + 3) (2x + 1)] + (x + 2) (x + 3)
(2x + 1) (3x + 1)

= 6x

2 _{+ 3x + 1}

(2x + 1) (3x + 1) = 1 = V P.



</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Bài 6. Chứng minh rằng log₂3 > log₃4.

Lời giải.

Ta có log₂3 · log₃4 = 2.

Mặt khác 3 > √8 ⇒ 3 > 232 _{> 2}
√

2 _{⇒ log}
23 >

√
2.

Do đó ta suy ra được log₃4 <√2.

Vậy log₂3 > log₃4. _

Bài 7. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác vng, trong đó c là cạnh huyền. Chứng minh rằng
log_c+ba + log_c−ba = 2 log_c+ba · log_c−ba.

Lời giải.

Theo định lý Py-ta-go, ta có: c2 _{= a}2_{+ b}2 _{⇒ (c + b) (c − b) = a}2_.
Ta có

V P = 2 log_c+ba · log_c−ba = log_c+ba2· log_c−ba =log_c+b(c + b) (c − b) log_c−ba
= 1 + log_c+b(c − b)
log_c−ba = log_c−ba + log_c+ba = V T.



Bài 8. Cho ba số dương a, b, c khác nhau và khác 1. Cho N > 0, N 6= 1. Chứng minh rằng logaN

log_cN =
log_aN − log_bN

log_bN − log_cN là điều kiện cần và đủ để a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Lời giải.

Ta có

log_aN
log_cN =

log_aN − log_bN
log_bN − log_cN ⇔

log_Nc
log_Na =

1
logNa−

1
logNb
1

logNb −
1
logNc
⇔ logNc

log_Na =

log_N b_a· log_Nc

log_N c_b · log_Na ⇒ logN
b

a = logN
c
b

⇔ b
a =

c
b.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>C</b>

<b>CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM</b>

<b>1</b> <b>MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT</b>

Câu 1. Giá trị của biểu thức log₂5 · log₅64 bằng

A 6. B 4. C 5. D 2.

Lời giải.

log₂5 · log₅64 = log₂64 = log₂26 _{= 6.}

Chọn đáp án A _

Câu 2. Với a và b là hai số thực dương tùy ý, log(ab2_{) bằng}

A 2 log a + log b. B log a + 2 log b. C 2(log a + log b). D log a + 1
2log b.

Lời giải.

log(ab2) = log a + log b2 = log a + 2 log b.

Chọn đáp án B _

Câu 3. Với a và b là hai số dương tùy ý, log₂(a3_b4_{) bằng}
A 1

3log2a +
1

4log2b. B 3 log2a + 4 log2b. C 2 (log3a + log4b). D 4 log2a + 3 log2b.

Lời giải.

Ta có log₂(a3b4) = log₂a3 + log₂b4 = 3 log₂a + 4 log₂b.

Chọn đáp án B _

Câu 4. Biết log₂a = x và log₂b = y, biểu thức log₂(4a2_b3_{) bằng}

A x3_y2_. _{B 2x + 3y + 2.} _{C x}2 _{+ y}3 _{+ 4.} _{D 6xy.}

Lời giải.

Ta có log₂(4a2_b3_{) = log}

24 + log2a2+ log2b3 = 2 log2a + 3 log2b + 2 = 2x + 3y + 2.

Chọn đáp án B _

Câu 5. Cho a là số thực dương tùy ý khác 3, giá trị của loga
3

Å a2
9

ã
bằng

A 1

2. B −

1

2. C 2. D −2.

Lời giải.

Ta có loga
3

Å a2
9

ã

= loga
3

a

3
2

= 2.

Chọn đáp án C _

Câu 6. Cho hai số thực a, b với a > 0, a 6= 1, b 6= 0. Khẳng định nào sau đây sai?

A log_a3|b| =
1

2loga|b|. B
1
2logab

2 _{= log}

a|b|. C
1

2logaa

2 _{= 1.} _D 1

2logab

2 _{= log}
ab.

Lời giải.

Dễ thấy các phương án A, B, C đều đúng theo tính chất logarit. Đáp án D sai vì chưa biết b > 0 hay

b < 0.

Chọn đáp án D 

Câu 7. Cho các số thực a, b thỏa mãn 0 < a < 1 < b. Tìm khẳng định đúng

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Lời giải.

Phương pháp:

Xét tính đúng sai của từng đáp án dựa vào điểu kiện của a, b.

Cách giải:

a) log_ab < log_a1 = 0 (vì 0 < a < 1 và b > 1) nên log_ab < 0 đúng.
b) ln a < ln b vì a < b nên ln a > ln b sai.

c) Vì 0 < 0, 5 < 1 và a < b nên (0, 5)a> (0, 5)b nên (0, 5)a < (0, 5)b sai.
d) Vì 2 > 1 và a < b nên 2a< 2b nên 2a > 2b sai.

Chọn đáp án A _

Câu 8. Cho a, b là hai số thực dương tùy ý và b 6= 1. Tìm kết luận đúng.

A ln a + ln b = ln (a + b). B ln (a + b) = ln a · ln b.

C ln a − ln b = ln (a − b). D log_ba = ln a
ln b.

Lời giải.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của logarit nhận xét tính đúng sai của từng đáp án.

Cách giải:

a) ln a + ln b = ln(ab) 6= ln(a + b) nên ln a + ln b = ln (a + b) sai.
b) ln(a + b) 6= ln a · ln b nên ln (a + b) = ln a · ln b sai.

c) ln a − ln b = lna

b 6= ln (a − b) nên ln a − ln b = ln (a − b) sai.
d) log_ba = ln a

ln b nên logba =
ln a

ln b đúng.

Chọn đáp án D _

Câu 9. Với a, b là hai số thực dương tùy ý, lna
4_e
b bằng

A 4 ln a − ln b + 1. B 4 ln b − ln a + 1. C 4 ln a + ln b − 1. D 4 ln a + ln b + 1.

Lời giải.

Ta có: lna
4_e

b = ln a

4_{+ ln e − ln b = 4 ln a + 1 − ln b = 4 ln a − ln b + 1.}

Chọn đáp án A _

Câu 10. Cho a, b > 0. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A log (ab2_{) = 2 log a + 2 log b.} _{B log (ab) = log a − log b.}
C log (ab) = log a · log b. D log (ab2_{) = log a + 2 log b.}

Lời giải.

Ta có log (ab2) = log a + log b2 = log a + 2 log b.

Chọn đáp án D _

Câu 11. Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt P = log_ab3+ log_a2b6. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?

A P = 27 log_ab . B P = 15 log_ab . C P = 9 log_ab . D P = 6 log_ab .

Lời giải.

Ta có P = log_ab3_{+ log}

a2b6 = 3 log_ab +
6

2logab = 3 logab + 3 logab = 6 logab.

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Câu 12. Cho a, b, c > 0, a 6= 1; b 6= 1.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A log_a(b.c) = log_ab + log_ac. B log_ab. log_bc = log_ac.

C log_ab = 1

log_ba. D logacb = c logab.

Lời giải.

Sai, vì log_acb =
1
clogab.

Chọn đáp án D _

Câu 13. Tính giá trị của alog√a4 _{với a > 0, a 6= 1.}

A 8. B 4. C 16. D 2.

Lời giải.

Ta có alog√a4 = a2 loga4 = aloga16= 16.

Chọn đáp án C _

Câu 14. Giá trị của biểu thức P = log_aÄapa3 √

aä bằng

A 3. B 3

2. C

1

3. D

2
3.

Lời giải.

Ta có

P = log_a


a3
»

a√a


= log_a
Ç

a
3
»

a · a12
å

= log_a
Ç

a
3
»

a32
å

= log_a

Å

a · a12
ã

= log_aa32
= 3

2.

Chọn đáp án C _

Câu 15. Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A ln 3a = ln 3 + ln a. B lna
3 =

1
3ln a.
C ln a5 ₌ 1

5ln a. D ln (3 + a) = ln 3 + ln a.

Lời giải.

Ta có ln 3a = ln 3 + ln a.

Chọn đáp án A _

Câu 16. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn log a = x, log b = y. Tính P = log (a2b3)

A P = 6xy. B p = x2y3. C P = x2+ y3. D P = 2x + 3y.

Lời giải.

Ta có log (a2b3_{) = log (a}2_{) + log (b}3_{) = 2 log a + 3 log b = 2x + 3y.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Câu 17. Với các số thực dương x, y. Ta có 8x, 44, 2 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và các số
log₂45, log₂y, log₂x theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Khi đó y bằng

A 225. B 15. C 105. D √105.

Lời giải.

Từ 8x_{, 4}4_{, 2 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên công bội q =} 2
44 =

1
27
Suy ra 44 _{= 8}x_· 1

27 ⇒ x = 5.

Mặt khác log₂45, log₂y, log₂x theo thứ tự lập thành cấp số cộng suy ra

log₂y = (log₂45 + log₂x) : 2 ⇔ log₂y = (log₂45 + log₂5) : 2 ⇔ log₂y = log₂√225 ⇔ y = 15.

Chọn đáp án B _

Câu 18. Cho a, b > 0, log₃a = p, log₃b = p. Đẳng thức nào dưới đây đúng?

A log₃

Å ₃r
am_bd

ã

= r + pm − qd. B log₃
Å ₃r

am_bd
ã

= r + pm + qd.

C log₃
Å

3r
am_bd

ã

= r − pm − qd. D log₃
Å

3r
am_bd

ã

= r − pm + qd.

Lời giải.

Ta có log₃
Å ₃

am_bd
ã

= log₃3r− log₃ ambd
= r − log₃am− log₃bd= r − m log₃a − d log₃b

Chọn đáp án C _

Câu 19. Cho a = log₃2, b = log₃5. Khi đó log 60 bằng
A −2a + b − 1

a + b . B

2a + b + 1

a + b . C

2a + b − 1

a + b . D

2a − b − 1
a + b .

Lời giải.

Phương pháp: log_ab = logcb

log_ca, logab

c_{= c log}

ab (các biểu thức trên đều xác định).
Cách giải:

log 60 = log360
log₃10 =

log₃22_{+ log}

33 + log35
log₃2 + log₃5 =

2 log₃2 + 1 + log₃5
log₃2 + log₃5 =

2a + b + 1
a + b .

Chọn đáp án B _

Câu 20. Cho a, b, c > 0, a 6= 1. Khẳng định nào sai?

A log_ab

c = logab − logac. B loga(bc) = logab + logac.
C log_ac = c ⇔ b = ac. D log_a(b + c) = log_ab + log_ac.

Lời giải.

Áp dụng tính chất của Logarit.

Chọn đáp án D _

Câu 21. Phương trình log(x + 1) = 2 có nghiệm là

A 11. B 9. C 101. D 99.

Lời giải.

Điều kiện: x + 1 > 0 ⇔ x > −1

Ta có log(x + 1) = 2 ⇔ x + 1 = 102 ⇔ x = 99 (thỏa mãn điều kiện).

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Câu 22. Giả sử a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn a2b3 = 44. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A 2 log₂a − 3 log₂b = 8. B 2 log₂a + 3 log₂b = 8.

C 2 log₂a + 3 log₂b = 4. D 2 log₂a − 3 log₂b = 4.

Lời giải.

Từ giả thiết ta có log₂(a2_b3_{) = log}

244 ⇔ log2a2+ log2b3 = 4 log24 ⇔ 2 log2a + 3 log2b = 8.

Chọn đáp án B _

Câu 23. Cho số thực a > 0, a 6= 1. Giá trị log√
a3

3
√

a2 _bằng

A 4

9. B

2

3. C 1. D

9
4.

Lời giải.

Ta có: log√
a3

3
√

a2 _{= log}
a

3
2

a23 ₌ 2
3 ·

2

3 · logaa =
4
9.

Chọn đáp án A _

Câu 24. Với a và b là hai số thực dương tùy ý, log (ab2) bằng

A 2 log a + log b. B log a + 2 log b. C 2 (log a + log b). D log a + 1
2log b.

Lời giải.

Ta có log (ab2) = log a + log b2 = log a + 2 log b.

Chọn đáp án B 

Câu 25. Tìm đạo hàm của hàm số y = log x.

A y0 = ln 10

x . B y

0 ₌ 1

x. C y

0 ₌ 1

x log 10. D y

0 ₌ 1

x ln 10.

Câu 26. Tìm tập xác định D của hàm số y = log(−x2_{+ 7x − 12).}

A D = (3; 4). B D = [3; 4]. C D = (−∞; 4). D D = (3; +∞).
Câu 27. Cho số thực 0 < a 6= 1. Với mọi số thực dương x, y. Khẳng định nào sau đây đúng?

A log_ax

y = logax − logay. B loga

x

y = logax + logay.
C log_ax

y = loga(x − y). D loga
x
y =

log_ax
log_ay.

Lời giải.

Theo công thức logarit của một thương nên log_a x

y = logax − logay

Chọn đáp án A _

Câu 28. Biết log₆√a = 2, tính log₆a.

A log₆a = 6. B log₆a = 108. C log₆a = 4. D log₆a = 36.
Câu 29. Trong các khẳng định sau, khảng định nào là khẳng định đúng?

A Cơ số của logarit là một số thực tùy ý. B Có số của logarit là mộ số nguyên dương.

C Cơ số của logarit là một số nguyên. D Cơ số của logarit là một số dương khác 1.

Câu 30. Cơ số x bằng bao nhiêu để log_x 10√3 = −0,1.
A x = −3. B x = −1

3. C x =

1

3. D x = 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Điều kiện:
(

x > 0

x 6= 1
.

Ta có: log_x 10√

3 = −0, 1 ⇔ x−0,1= 30,1 _{⇔ x}−1 _{= 3 ⇔ x =} 1

3 (thỏa mãn).

Chọn đáp án C _

Câu 31. Cho a, b, c là các số thực dương và khác 1. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A log_aa
b =

log_ca

log_cb. B loga(a + b) = logab logac.
C log_ab = 1

clogab. D logab =

log_cb
log_ca.

Lời giải.

Theo công thức đổi cơ số ta có log_ab = logcb
log_ca.

Chọn đáp án D _

Câu 32. Giá trị của biểu thức log₂5 · log₅64 bằng

A 6. B 4. C 5. D 2.

Lời giải.

log₂5 · log₅64 = log₂64 = log₂26 = 6.

Chọn đáp án A _

Câu 33. Cho a > 0, a 6= 1 và x, y là hai số thực thỏa mãn xy > 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A log_a(x + y) = log_ax + log_ay. B log_ax2 _{= 2 log}
ax.

C log_a(xy) = log_a|x| + log_a|y|. D log_a(xy) = log_ax + log_ay.

Lời giải.

Các đẳng thức log_ax2 _{= 2 log}

ax, loga(xy) = logax + logay sai khi x < 0, y < 0.

Chọn đáp án C _

Câu 34. Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào sau đây đúng với mọi số dương x, y?

A log_ax

y = logax + logay. B loga
x

y = loga(x − y).

C log_ax

y = logax − logay. D loga

x
y =

log_ax
log_ay.

Lời giải.

Ta có log_a x

y = logax − logay.

Chọn đáp án C 

Câu 35. Giải bất phương trình log₃(x − 1) > 2.

A 0 < x < 10. B x ≥ 10. C x < 10. D x > 10.

Lời giải.

Ta có: log₃(x − 1) > 2 ⇔ x − 1 > 32 ⇔ x > 10.

Chọn đáp án D _

Câu 36. Tập xác định của hàm số y = log₃(4 − x) là:

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Lời giải.

Hàm số y = log₃4 − x xác định khi 4 − x > 0 ⇔ x < 4.

Chọn đáp án D _

Câu 37. Cho các số thực dương a, b, c và khác 1. Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

A log_ab

c = logab − logac. B loga(bc) = logab + logac.
C log_ab = logcb

log_ca. D logab =

log_ca
log_cb.

Lời giải.

Ta có log_ab = logcb
log_ca.

Chọn đáp án D _

Câu 38. Biết log 3 = m, log 5 = n, tìm log₉45 theo m, n.
A 1 − n

2m. B 1 +

n

m. C 2 +

n

2m. D 1 +

n
2m.

Lời giải.

Ta có log₉45 = log 3

2_{· 5}

log 32 = 1 +
log 5

2 log 3 = 1 +
n
2m.

Chọn đáp án D _

Câu 39. Cho a là số thực dương khác 1. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A log_a2 · log₂a = 1. B log_a1 = 0. C log_aa = 1. D log_a2 = 1
log_a2.

Lời giải.

log_a2 = 1

log_a2 không phải là công thức đổi cơ số, nếu đúng là loga2 =
1
log₂a.

Chọn đáp án D _

Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của x thỏa mãn đẳng thức log₃x = 3 log₃2 + log₉25 − log√
33.
A 20

3 . B

40

9 . C

25

9 . D

28
3 .

Lời giải.

log₃x = 3 log₃2 + log₉25 − log√
33
⇔ log₃x = log₃8 + log₃5 − log₃9
⇔ log₃x = log₃40

9 ⇔ x =
40

9 .

Chọn đáp án B _

Câu 41. Cho các số thực dương a, b, c và a 6= 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A log_ab + log_ac = log_a(b + c). B log_ab + log_ac = log_a|b − c|.

C log_ab + log_ac = log_a(bc). D log_ab + log_ac = log_a(b − c).

Lời giải.

Với a, b, c và a 6= 1 thì log_ab + log_ac = log_a(bc).

Chọn đáp án C _

Câu 42. Với a và b là các số thực dương. Biểu thức log_a(a2_{b) bằng}

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Lời giải.

Ta có log_a(a2_{b) = log}

aa2+ logab = 2 + logab.

Chọn đáp án A _

Câu 43. Cho a, b, c với a, b là các số thực dương khác 1, c > 0. Khẳng định nào sau đây là sai?

A log_ab · log_ba = 1. B log_ac = logbc
log_ba.

C log_ac = 1

log_ca. D logac = logab · logbc.

Lời giải.

Ta thấy log_ac = 1

log_ca sai khi c = 1.

Chọn đáp án C _

Câu 44. Cho a, b, c là các số thực dương, a khác 1. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

A log_a(bc) = log_ab + log_ac. B log_a b

c = logab − logac.

C log_a(bc) = log_ab · log_ac. D log_a(bc_{) = c · log}
ab.

Lời giải.

Ta có log_a(bc) = log_ab + log_ac nên log_a(bc) = log_ab · log_ac sai.

Chọn đáp án C _

Câu 45. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A log₃5 > 0. B log_2+x22016 < log_2+x22017.

C log_0,30,8 < 0. D log₃4 > log₄Å 1
3

ã
.

Lời giải.

Vì 3 > 1 và 5 > 1 nên log₃5 > log₃1 ⇔ log₃5 > 0 (đúng).

Vì 2 + x2 > 1 và 2016 < 2017 nên log_2+x22016 < log_2+x22017 (đúng).
Vì log₃4 > 0 và log₄Å 1

3
ã

< 0 nên log₃4 > log₄Å 1
3

ã

(đúng).

Vì 0,3 < 1 và 0,8 < 1 nên log_0,30, 8 > log_0,31 ⇔ log_0,30,8 > 0.

Chọn đáp án C _

Câu 46. Cho a, b là các số dương phân biệt khác 1 và thỏa mãn ab = 1. Khẳng định nào sau đây

đúng?

A log_ab = 1. B log_a(b + 1) < 0. C log_ab = −1. D log_a(b + 1) > 0.

Lời giải.

Ta có: ab = 1 ⇔ b = a−1. Từ đó ta có: log_ab = log_aa−1 = −1.

Chọn đáp án C _

Câu 47. Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A ln(ab) = ln a + ln b. B lna

b = ln b − ln a. C ln(ab) = ln a · ln b. D ln
a
b =

ln a
ln b.

Lời giải.

Dễ thấy ln(ab) = ln a + ln b.

Chọn đáp án A _

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

A log_a(x + y) = log_ax + log_ay. B log_a(xy) = log_ax + log_ay.

C log_a(xy) = log_a· log_ay. D log_a(x + y) = log_a· log_ay.

Lời giải.

Ta có: log_a(xy) = log_ax + log_ay.

Chọn đáp án B _

Câu 49. Cho a, b, c > 0 và a 6= 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A log_a(bc) = log_ab + log_ac. B log_a b

c = logab − logac.
C log_ab = c ⇔ b = ac. D log_a(b + c) = log_ab + log_ac.

Lời giải.

Ta khơng có cơng thức log_a(b + c) = log_ab + log_ac.

Chọn đáp án D _

Câu 50. Cho a, b, c > 0 và a 6= 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A log_ab = c ⇔ b = ac_. _{B log}
a

Å b
c

ã

= log_ab − log_ac.
C log_a(bc) = log_ab + log_ac. D log_a(b + c) = log_ab + log_ac.

Lời giải.

Theo các công thức về logarit.

Chọn đáp án D _

Câu 51. Cho các số thực dương a, b, c bất kì và a 6= 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A log_ab
c =

log_ab

log_ac . B loga(bc) = logab · logac .

C log_a(bc) = log_ab + log_ac . D log_a b

c = logba − logca .

Lời giải.

Ta có: log_a(bc) = log_ab + log_ac.

Chọn đáp án C _

Câu 52. Cho a, b > 0; a, b 6= 1 và x, y là hai số thực dương. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề

nào sai?

A log_ax

y = logax − logay. B loga(xy) = logax + logay.

C log_a 1
x =

1

log_ax. D logba · logax = logbx.

Lời giải.

Có log_a 1

x = loga(x

−1_{) = − log}
ax.

Chọn đáp án C _

Câu 53. Với hai số thực bất kì a 6= 0, b 6= 0, khẳng định nào sau đây là sai?

A log (a2b2) = 2 log(ab). B log (a2b2) = 3 log√3a2_b2_.
C log (a2b2) = log (a4b6) − log (a2b4). D log (a2b2) = log a2 + log b2.

Lời giải.

Chọn a = 1, b = −1, ta có log (a2_b2_{) = 1, nhưng 2 log(ab) khơng có nghĩa.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Câu 54. Cho a, b là hai số dương bất kì. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A ln ab _{= b ln a.} _{B ln(ab) = ln a · ln b.}

C ln(a + b) = ln a + ln b. D lna

b =
ln a
ln b.

Lời giải.

Áp dụng công thức logarit của lũy thừa ln aα _{= α ln a.}

Chọn đáp án A _

Câu 55. Tính M = ln1
2+ ln

2

3+ · · · + ln
2017
2018.

A M = 2018. B M = ln 2017. C M = ln 1

2017. D M = − ln 2018.

Lời giải.

M = ln 1 − ln 2 + ln 2 − ln 3 + · · · + ln 2017 − ln 2018 = − ln 2018.

Chọn đáp án D _

Câu 56. Cho a và b là số hạng thứ nhất và thứ năm của một cấp số cộng có cơng sai d 6= 0. Giá trị

của log₂ b − a
d bằng

A log₂5. B 2. C 3. D log₂9.

Lời giải.

Ta có b = a + 4d nên b − a = 4d. Do đó, log₂ b − a

d = log2
4d

d = 2.

Chọn đáp án B _

Câu 57. Cho a và b lần lượt là số hạng thứ nhất và thứ năm của một cấp số cộng có cơng sai d 6= 0.

Giá trị của log₂Å b − a
d

ã
bằng

A log₂5. B 3. C 2. D log₂3.

Lời giải.

Theo bài ra ta có: b = a + 4d ⇒ b − a

d = 4 ⇒ log2

Å b − a
d

ã
= 2.

Chọn đáp án C _

Câu 58. Cho các số thực a < b < 0. Mệnh đề nào sau đây sai?

A ln
a

b


= ln |a| − ln |b|. B ln√ab = 1

2(ln a + ln b).

C lna
b

2

= ln(a2_{) − ln(b}2_). _{D ln(ab)}2 _{= ln(a}2_{) + ln(b}2_).

Lời giải.

Mệnh đề “ln√ab = 1

2(ln a + ln b)” sai vì a < b < 0 nên ln a và ln b không tồn tại.

Chọn đáp án B _

Câu 59. Biết log₆a = 2, (a > 0). Tính I = log₆Å 1
a

ã

A I = −2. B I = 2. C I = 1. D I = 1
2.

Lời giải.

Từ log₆a = 2 (a > 0) ⇔ a = 62_{. Khi đó I = log}
6

Å 1
a

ã

= log₆(62₎−1 _{= −2.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Câu 60. Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực dương x, y?
A log_a(xy) = log_ax · log_ay. B log_a(xy) = log_ax − log_ay.

C log_a(xy) = logax

log_ay. D loga(xy) = logax + logay.

Lời giải.

Cơng thức tính logarit của một tích.

Chọn đáp án D _

Câu 61. Với a, b, x là các số thực dương thỏa mãn log₅x = 4 log₅a + 3 log₅b, mệnh đề nào dưới đây
là đúng?

A x = 3a + 4b. B x = 4a + 3b. C x = a4_b3_. _{D x = a}4_{+ b}3_.

Lời giải.

log₅x = 4 log₅a + 3 log₅b = log₅(a4 · b3_{). Suy ra x = a}4_b3_.

Chọn đáp án C _

Câu 62. Cho a > 0, a 6= 1 và x, y là hai số thực dương tuỳ ý. Khẳng định nào sau đây là khẳng định

đúng?

A log_a(x − y) = logax

log_ay. B loga

x
y =

log_ax
log_ay.

C log_ax

y = logax − logay. D loga(x − y) = logax − logay.

Lời giải.

Theo giáo khoa.

Chọn đáp án C _

Câu 63. Cho 0 < a 6= 1 và x, y là hai số dương. Tìm mệnh đề đúng.

A log_a(x + y) = log_ax + log_ay. B log_a(x · y) = log_ax + log_ay.

C log_a(x · y) = log_ax · log_ay. D log_a(x + y) = log_ax · log_ay.

Lời giải.

Với 0 < a 6= 1 và x, y là hai số dương thì ta ln có log_a(x · y) = log_ax + log_ay.

Chọn đáp án B _

Câu 64. Cho ba số dương a, b, c (a và b khác 1). Mệnh đề nào sau đây sai?

A log_ba · log_bc = log_bc. B log_a(bc) = log_ab + log_ac.
C log_aÅ b

c
ã

= log_ab − log_ac. D log_ab · log_bc = log_ac.

Lời giải.

Công thức đổi cơ số: log_ab · log_bc = log_ac.

Quy tắc logarrit của một tích: log_a(bc) = log_ab + log_ac.
Quy tắc logarit của một thương: log_aÅ b

c
ã

= log_ab − log_ac.

Chọn đáp án A _

Câu 65. Tính giá trị của biểu thức I = a · log₂√8.
A I = 2

3. B I =

3a

2 . C I =

2a

3 . D I =

3
2.

Lời giải.

I = a · log₂√8 = a · log₂232 = 3

2 · a · log22 =
3a

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Chọn đáp án B _

Câu 66. Cho các số dương a, b, x, y với a 6= 1, b 6= 1. Hãy chọn khẳng định đúng?

A log_bx = log_ba · log_ax. B log_a 1
x =

1
log_ax.
C log_a(x + y) = log_ax + log_ay. D log_a x

y =
log_ax

log_ay.

Lời giải.

Ta có log_bx = log_ba · log_ax là mệnh đề đúng.

Chọn đáp án A _

Câu 67. Cho a là số thực dương tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A log₂(8a) = 3 − log₂a. B log₂(8a) = 3 + log₂a.

C log₂(8a) = 3 log₂a. D log₂(8a) = 8 log₂a.

Lời giải.

Ta có: log₂(8a) = log₂8 + log₂a = log₂23_{+ log}

2a = 3 + log2a.

Chọn đáp án B _

Câu 68. Cho 0 < a 6= 1 và x, y là hai số dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A log_a(x · y) = log_ax · log_ay. B log_a(x + y) = log_ax + log_ay.

C log_a(x · y) = log_ax + log_ay. D log_a(x + y) = log_ax · log_ay.

Lời giải.

Theo lý thuyết ta có log_a(x · y) = log_ax + log_ay.

Chọn đáp án C _

Câu 69. Với a, b, c là các số thực dương, a và c khác 1 và α 6= 0. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A log_ab · log_ca = log_cb. B log_aαb = α log_ab.
C log_aÅ b

c
ã

= log_ab − log_ac. D log_a(bc) = log_ab + log_ac.

Lời giải.

log_aαb =
1

αlogab.

Chọn đáp án B _

Câu 70. Tính giá trị của biểu thức A = log₈12 − log₈15 + log₈20

A 1. B 4

3. C 2. D

3

4.

Lời giải.

Ta có A = log₈12 − log₈15 + log₈20 = log₈ 12 · 20

15 = log816 =
4
3.

Chọn đáp án B _

Câu 71. Cho 0 < a 6= 1 và x > 0, y > 0. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A log_a(x + y) = log_ax log_ay. B log_a(xy) = log_ax + log_ay.

C log_a(xy) = log_ax log_ay. D log_a(x + y) = log_ax + log_ay.

Lời giải.

Theo quy tắc tính lơgarit thì log_a(xy) = log_ax + log_ay.

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Câu 72. _{Cho 0 < a 6= 1 và b ∈ R \ {0}. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.}

A log_ab2 _{= 2 log}

ab. B logaab=b. C loga1 = 0. D logaa = 1.

Lời giải.

Nếu b < 0 thì log_ab khơng tồn tại. Vậy mệnh đề log_ab2 _{= 2 log}
ab sai.

Chọn đáp án A _

Câu 73. Cho a > 0 và a 6= 1. Giá trị của alog√a3 _bằng

A 9. B √3 . C 6. D 3.

Lời giải.

Ta có alog√a3 _{= a}loga32 _{= 9.}

Chọn đáp án A 

Câu 74. Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào sau đây đúng với mọi số dương x, y?

A log_a(x · y) = log_ax + log_ay. B log_a(x + y) = log_ax + log_ay.
C log_ax · log_ay = log_a(x + y). D log_a(x − y) = logax

log_ay.

Lời giải.

Theo cơng thức ta có log_a(x · y) = log_ax + log_ay với mọi số dương a, x, y và a 6= 1.

Chọn đáp án A _

Câu 75. Cho ba số dương a, b, c và a 6= 1, b 6= 1. Mệnh đề nào sau đây sai?

A alogab _{= b; log}

a(ab) = b. B logab · logba = 1.

C log_a(b + c) = log_ab + log_ac. D log_a1 = 0; log_aa = 1.

Lời giải.

Với ba số dương a, b, c và a 6= 1, b 6= 1, ta có:
• log_a1 = 0; log_aa = 1.

• alogab = blogaa = b và log

a(ab) = b logaa = b.
• log_ab = logbb

log_ba ⇔ logab · logba = 1.
• log_ab + log_ac = log_a(bc).

Chọn đáp án C _

Câu 76. Giá trị của biểu thức log₄25 + log₂1,6 bằng

A 5. B 3. C 2. D 1.

Lời giải.

Ta có log₄25 + log₂1,6 = log₂252+ log₂
8

5 = log25 + log28 − log25 = log22
3 _{= 3.}

Chọn đáp án B _

Câu 77. Với x là số thực dương tùy ý, mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A log₁₀₀x = log x. B log₁₀₀x = 2 log x. C log₁₀₀x = 1

2log x. D log100x = − log x.

Lời giải.

Ta có log₁₀₀x = log₁₀2x =
1

2log10x =
1
2log x.

Chọn đáp án C _

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

A log_ab = log b

log a. B logab =

log_ca

log_cb. C logab =

1

log_ba. D logab =
ln b
ln a.

Lời giải.

Với a, b, c dương và khác 1, log_ab = logcb

log_ca mới là công thức đổi cơ số đúng.

Chọn đáp án B 

Câu 79. Cho các số thực a, b > 1. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A log_a a

b = logba. B loga
a

b = 1 + logab. C loga
a

b = logab. D loga

a

b = 1 − logab.

Lời giải.

Ta có log_a a

b = logaa − logab = 1 − logab.

Chọn đáp án D _

Câu 80. Biết log₆a = 2(0 < a 6= 1). Tính I = log_a6.
A I = 36. B I = 1

2. C I = 64. D I =

1
4.

Lời giải.

Ta có I = log_a6 = 1
log₆a =

1
2.

Chọn đáp án B _

Câu 81. Cho a là số thực dương tùy ý khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A log₂a = log_a2. B log₂a = 1

log₂a. C log2a =

1

log_a2. D log2a = − loga2.

Lời giải.

Với a là số thực dương tùy ý khác 1, mệnh đề đúng là mệnh đề: log₂a = 1
log_a2

Chọn đáp án C _

Câu 82. Cho a, b, c, d là các số dương và a 6= 1, khẳng định nào sau đây là sai?

A log_ab + log_ac = log_ab · c. B − log_ab = log_aÅ 1
b

ã
.

C log_ab · log_ac = log_a(b + c). D log_ab − log_ac = log_aÅ b
c

ã
.

Lời giải.

log_ab · log_ac = log_a(b + c) sai, đúng phải là log_ab + log_ac = log_a(bc).

Chọn đáp án C _

Câu 83. Cho các số dương a, b, c và a 6= 1. Khẳng định nào sau đây đúng?

A log_ab + log_ac = log_a(bc). B log_ab + log_ac = log_a(b − c).
C log_ab + log_ac = log_a|b − c|. D log_ab + log_ac = log_a(b + c).

Lời giải.

Ta có log_ab + log_ac = log_a(bc) (vì a, b, c dương và a 6= 1).

Chọn đáp án A _

Câu 84. Tính P = log₂20184 −
1

1009 + ln e
2018_.

A 2000. B 1009. C 1000. D 2018.

Lời giải.

Ta có P = log₂201822−
1

1009 + 2018 · ln e =
1
1009 −

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

Chọn đáp án D _

Câu 85. Cho a, b, c là các số thực dương và a, b 6= 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào

sai?

A log_bc = logac

log_ab. B a

logab = b.

C log_ab > log_ac ⇔ b > c. D log_ab = log_ac ⇔ b = c.

Lời giải.

Ta có

a) Nếu a > 1 thì log_ab > log_ac ⇔ b > c.
b) Nếu 0 < a < 1 thì log_ab > log_ac ⇔ b < c.

Chọn đáp án C _

Câu 86. Cho a, b, c > 0 và a 6= 1. Khẳng định nào sau đây sai?

A log_a(bc) = log_ab + log_ac. B log_a b

c = logab − logac.
C log_ab = c ⇔ b = ac_. _{D log}

a(b + c) = logab + logac.

Lời giải.

Các công thức log_a(bc) = log_ab + log_ac, log_a b

c = logab − logac, logab = c ⇔ b = a

c _{là các tính chất}
của logarit nên đúng.

Cơng thức log_ab + log_ac = log_a(bc) nên log_a(b + c) = log_ab + log_ac là sai.

Chọn đáp án D _

Câu 87. Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A ln (2108a) = 2018 ln a. B ln a2018 = 1
2018ln a.

C ln a2018 _{= 2018 ln a.} _{D ln (2018a) =} 1
2018ln a.

Lời giải.

Ta thấy mệnh đề đúng là ln a2018 _{= 2018 ln a.}

Chọn đáp án C _

Câu 88. Với a, b là các số thực dương bất kì, a 6= 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A log√
ab =

1

2logab. B log
√

ab = −
1

2logab. C log
√

ab = −2 logab. D log√ab = 2 logab.

Lời giải.

Ta có log√

ab = log_a12 b = 2 logab.

Chọn đáp án D _

Câu 89. Cho a là số thực dương bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A log₃(3a) = 3 + log₃a. B log₃(3a) = 1 + a.

C log₃(3a) = 1 + log₃a. D log₃(3a) = log₃a.

Lời giải.

Ta có

log₃(3a) = log₃3 + log₃a = 1 + log₃a.

Chọn đáp án C _

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

A log_a(xy) = log_ax + log_ay. B log_a(xy) = log_ax · log_ay.
C log_a(x + y) = log_ax + log_ay. D log_a(x + y) = log_ax · log_ay.

Lời giải.

Mệnh đề đúng là log_a(xy) = log_ax + log_ay.

Chọn đáp án A _

Câu 91. Cho a là số thực dương khác 1. Tính log_a√
aa 3

√
a.

A 8

9. B 2. C

1

2. D

9
8.

Lời giải.

log_a√
aa3

√

a = log
a32 a

4
3 =

4
3
3
2

= 8
9.

Chọn đáp án A _

Câu 92. Cho số thực a > 0, a 6= 1. Giá trị log_a2
4
√

a3 _bằng
A 5

4. B

2

3. C 2. D

3
8.

Lời giải.

Ta có log_a2a
3
4 = 3

4 ·
1
2 =

3
8.

Chọn đáp án D _

Câu 93. Cho các số thực dương a, b với a 6= 1 và log_ab > 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A

"

0 < a, b < 1

0 < a < 1 < b

. B

"

0 < a, b < 1
1 < a, b

. C
"

0 < b < 1 < a

1 < a, b

. D

"

0 < b, a < 1

0 < b < 1 < a
.

Câu 94. Với mọi số thực dương a, b, x, y và a, b khác 1, mệnh đề nào sau đây sai?

A log_a(xy) = log_ax + log_ay. B log_ba · log_ax = log_bx.
C log_ax

y = logax − logay. D loga

1
x =

1
log_ax.

Lời giải.

Ta có log_a 1

x = logax

−1 _{= − log}
ax 6=

1
log_ax.

Chọn đáp án D _

Câu 95. Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A log√a = 2 log a. B loga

b = log a − log b.

C log√a = 1

2log a. D log

b

a = log b − log a.

Lời giải.

Áp dụng công thức logarit của một thường và logarit của một lũy thừa suy ra đáp án sai là log√a =
2 log a.

Chọn đáp án A _

Câu 96. Với a là số thực dương bất kì và a 6= 1, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A ln a5 = 1

5ln a. B loga5e = 5 logae. C loga5e =

1

5 ln a. D ln a

5 ₌ 5
ln a.

Lời giải.

Ta có log_a5e =
ln e
ln a5 =

1
5 ln a.

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Câu 97. Cho a34 > a
4

5, log_b 1

2 < logb
2

3. Khẳng định nào sau đây đúng?
A a > 1, 0 < b < 1. B a > 1, b > 1.
C 0 < a < 1, 0 < b < 1. D 0 < a < 1, b > 1.

Lời giải.

Ta có







3
4 <

4
5

a34 _{> a}
4
5

⇒ 0 < a < 1;






1
2 <

2
3

log_b 1

2 < logb
2
3

⇒ b > 1.

Chọn đáp án D _

Câu 98. Với a là một số thực dương bất kì, mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A ln 3a = ln 3 + ln a. B ln(3 + a) = ln 3 + ln a.
C lna

3 =
1

3ln a. D ln a

5 ₌ 1
5ln a.

Lời giải.

Theo công thức lơgarit của một tích ta có ln 3a = ln 3 + ln a.

Chọn đáp án A _

Câu 99. Với các số thực x, y dương bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A log₂Å x

y

ã

= log2x

log₂y. B log2(x

2_{− y) = 2 log}

2x − log2y.
C log₂(xy) = log₂x · log₂y. D log₂(xy) = log₂x + log₂y.

Lời giải.

Ta có cơng thức log_a(bc) = log_ab + log_ac (với điều kiện có nghĩa).

Chọn đáp án D _

Câu 100. Cho a là số thực dương khác 1. Tính I = log_a√3_a.

A I = 1

3. B I = 3. C I = 0. D I = −3.

Lời giải.

Ta có I = log_a√3 _{a = log}
aa

1
3 = 1

3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

ĐÁP ÁN

1. A 2. B 3. B 4. B 5. C 6. D 7. A 8. D 9. A 10. D

11. D 12. D 13. C 14. C 15. A 16. D 17. B 18. C 19. B 20. D

21. D 22. B 23. A 24. B 25. D 26. A 27. A 28. C 29. D 30. C

31. D 32. A 33. C 34. C 35. D 36. D 37. D 38. D 39. D 40. B

41. C 42. A 43. C 44. C 45. C 46. C 47. A 48. B 49. D 50. D

51. C 52. C 53. A 54. A 55. D 56. B 57. C 58. B 59. A 60. D

61. C 62. C 63. B 64. A 65. B 66. A 67. B 68. C 69. B 70. B

71. B 72. A 73. A 74. A 75. C 76. B 77. C 78. B 79. D 80. B

81. C 82. C 83. A 84. D 85. C 86. D 87. C 88. D 89. C 90. A

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

<b>2</b> <b>MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU</b>

Câu 1. Cho a, b, c > 0, a, b 6= 1. Tình A = log_a(b2_).log
b(

√

bc) − log_a(c).

A log_ac. B 1. C log_ab. D log_abc.

Lời giải.

Có: A = log_a(b2).logb(
√

bc) − log_a(c) = 2logab.
1

2logb(bc) − loga(c)
= 2logab.

1

2(logbb + logbc) − loga(c)

= log_ab. (1 + log_bc) − log_ac = log_ab + log_ab. log_bc − log_ac = log_ab + log_ac − log_ac = log_ab.

Chọn đáp án C _

Câu 2. Cho a, b là hai số thực dương bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A log₃(3ab)3 _{= 3(1 + log}

3a + log3b). B log3(3ab)3 = 3 + 3 log3(ab).

C log₃(3ab)3 _{= (1 + log}

3a + log3b)3. D log3(3ab)3 = 3 + log3(ab)3.

Lời giải.

Ta có

log₃(3ab)3 = 3(log₃3 + log₃a + log₃b)
= 3(1 + log₃a + log₃b)
= 3 + 3 log₃ab

= 3 + log₃(ab)3.

Chọn đáp án C _

Câu 3. Cho a là số thực dương khác 5. Tính I = loga
5

Å a3
125

ã
.

A I = −1

3. B I = −3. C I =

1

3. D I = 3.

Lời giải.

Ta có I = loga
5

Å a3
125

ã

= loga
5

a

5
3

= 3 loga
5

a

5


= 3.

Chọn đáp án D _

Câu 4. Đặt log₃2 = a khi đó log₁₆27 bằng
A 3a

4 . B

3

4a. C

4

3a. D

4a
3 .

Lời giải.

log₁₆27 = log₂433 =
3

4log23 =
3
4 log₃2 =

3

4a.

Chọn đáp án B _

Câu 5. Cho log₂3 = a và log₂5 = b, khi đó log₁₅8 bằng
A a + b

3 . B

1

3(a + b). C 3(a + b). D

3
a + b.

Lời giải.

log₁₅8 = 3 log₁₅2 = 3
log₂15 =

3

log₂3 + log₂5 =
3
a + b.

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

Câu 6. Rút gọn biểu thức B = log1
a

a.√4a3_.√3
2
√

a.√4 _a , ( giả sử tất cả các điều kiện đều được thỏa mãn) ta
được kết quả là

A 60

91. B −

91

60. C

3

5. D −

5
3.

Lời giải.

Ta có B = log1
a

a ·√4 a3_·√3
a2
√

a ·√4_a = loga−1

a · a34 · a
2
3

a12 · a
1
4

= log_a−1
a2912

a34

= log_a−1a
5

3 = −5
3.

Chọn đáp án D _

Câu 7. Cho log_ab = 2; log_ac = 3. Tính giá trị của biểu thức P = log_a(ab3_c3_).

A P = 251. B P = 21. C P = 22. D P = 252.

Lời giải.

Ta có P = log_a(ab3_c3_{) = log}

aa + logab3 + logac3 = 1 + 3 logab + 5 logac = 1 + 3 · 2 + 5 · 3 = 22.

Chọn đáp án C _

Câu 8. Đặt a = log₇11, b = log₂7. Hãy biểu diễn log√3₇
121

8 theo a và b.
A log√3

7
121

8 = 6a +
9

b. B log3
√

7

121

8 = 6a −
9
b.

C log√3₇

121

8 = 6a − 9b. D log3

√
7

121
8 =

2
3a −

9
b.

Lời giải.

Ta có log√3₇
121

8 = 3 (log7121 − log78) = 6 log711 − 9 log72 = 6 · log711 − 9 ·
1

log₂7 = 6a −
9
b.

Chọn đáp án B _

Câu 9. Cho số thực a > 0, a 6= 1. Giá trị của log_a2
Ä√₇

a3ä _bằng

A 3

14. B

6

7. C

3

8. D

7
6.

Lời giải.

Ta có log_a2
Ä√₇

a3ä ₌ 1
2logaa

3
7 ₌ 3

14logaa =
3
14.

Chọn đáp án A _

Câu 10. Đặt log₅2 = a. Khi đó log₂₅800 bằng.

A 5a + 2

2 . B

2a − 5

2 . C

5a − 2

2 . D

2a + 5
2 .

Lời giải.

Ta có log₂₅800 = log5800
log₅25 =

log₅25· 52

log₅52 =

5 log₅2 + 2

2 =

5a + 2
2 .

Chọn đáp án A _

Câu 11. Đặt a = log₃2, khi đó log₆48 bằng
A 3a − 1

a − 1 . B

3a + 1

a + 1 . C

4a − 1

a − 1 . D

4a + 1
a + 1.

Lời giải.

log₆48 = log₆3 + log₆16 = 1

log₃2 + 1 +
4

log₂3 + 1 =
1
a + 1 +

4
1
a + 1

= 4a + 1
a + 1 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

Câu 12. Tính giá trị biểu thức: P = log_a2a10b2 + log√_a
Å _a

√
b

ã

+ log√3
5b

−2 _{(Với 0 < a 6= 1; 0 < b 6=}
1)

A √3. B 1. C √2. D 2.

Lời giải.

Ta có

P = log_a2 a10b2
+ log√_a
Å _a

√
b

ã

+ log√3
b b

−2_.

= log_a2a10+ log_a2b2+ log√_aa − log√_a
√

b − 2 log1
3

b.

= 5 + log_ab + 2 − log_ab − 6 = 1.

Chọn đáp án B _

Câu 13. Cho các số thực dương a, b với a 6= 1 và log_ab > 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A

"

0 < a, b < 1

0 < a < 1 < b . B

"

0 < a, b < 1

1 < a, b . C

"

0 < a, b < 1

0 < b < 1 < a . D
"

0 < b < 1 < a

1 < a, b .

Lời giải.

TH1: 0 < a < 1 ⇒ log_ab > 0 = log_a1 ⇔ 0 < b < 1.
TH2: a > 1 ⇒ log_ab > 0 = log_a1 ⇔ b > 1.

Vậy
"

0 < a, b < 1

1 < a, b.

Chọn đáp án B _

Câu 14. Đặt a = log₂5, b = log₃5. Hãy biểu diễn log₆5 theo a và b.
A log₆5 = 1

a + b. B log65 =

ab

a + b. C log65 = a

2_{+ b}2_. _{D log}

65 = a + b.

Lời giải.

Ta có log₆5 = 1
log₅6 =

1

log₅2 + log₅3 =

1

1
log25 +

1
log₃5

= 1
1
a +

1
b

= ab
a + b.

Chọn đáp án B _

Câu 15. Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A log (2018a) = 2018 log a. B log a2018 ₌ 1

2018log a.
C log (2018a) = 1

2018log a. D log a

2018 _{= 2018 log a.}

Lời giải.

Phương pháp

Sử dụng các công thức: log ab = log a + log b; log an = n log a
Cách giải:

Ta có: log (2018a) = log 2018 + log a

log a2018 _{= 2018 log a.}

Chọn đáp án D _

Câu 16. Số thực x thỏa mãn log₂(log₄x) = log₄(log₂_{x) − a, với a ∈ R. Giá trị của log}₂x bằng bao
nhiêu?

A Å 1
2

ãa

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

Lời giải.

Ta có log₂(log₄x) = log₄(log₂x) − a ⇔ log₂Å 1
2log2x

ã

= 1

2log2(log2x) − a
⇔ log₂(log₂x) − 1 = 1

2log2(log2x) − a
⇔ log₂(log₂x) = 2 − 2a

⇔ log₂x = 22−2a = 41−a.

Chọn đáp án D _

Câu 17. Cho log₁₂3 = a. Tính log₂₄18 theo a
A 3a − 1

3 − a . B

3a + 1

3 − a . C

3a + 1

3 + a . D

3a − 1
3 + a .

Lời giải.

• a = log₁₂3 = log23
log₂12 =

log₂3
log₂(22_{· 3)} =

log₂3
log₂(22_{) + log}

23

= log23

2 + log₂3 ⇒ log23 =
2a
1 − a.

• log₂₄18 = log218
log₂24 =

log₂(2.32₎
log₂(22_{· 3)} =

1 + 2 log₂3
3 + log₂3 =

1 + 2 · 2a
1 − a

3 + 2a

1 − a

= 3a + 1
3 − a .

Chọn đáp án B _

Câu 18. Đặt a = log₂5 và b = log₃5. Biểu diễn đúng log₆5 của theo a, b là
A 1

a + b. B a + b. C

ab

a + b. D

a + b
ab .

Lời giải.

Phương pháp: Sử dụng các công thức: log_ab = 1

log_ba; logab + logac = logabc (0 < a, b 6= 1; c > 0).
Cách giải: Ta có:

log₅2 = 1
log₂5 =

1

a.

log₅3 = 1
log₃5 =

1
b.

log₆5 = 1
log₅6 =

1

log₅2 + log₅3 =
1
1
a +

1
b

= ab
a + b.

Chọn đáp án C _

Câu 19. Cho các số thực a, b thỏa mãn 0 < a < 1 < b. Tìm khẳng định đúng:

A ln a > ln b. B (0, 5)a_{< (0, 5)}b_. _{C log}

ab < 0. D 2a > 2b.

Lời giải.

Ta có:

a) ln a > ln b ⇔ a > b (sai vì 0 < a < b < 1).

b) (0, 5)a < (0, 5)b ⇔ a > b (sai vì 0 < a < b < 1).
c) log_ab < 0 ⇔ b > 1 (đúng vì 0 < a < 1 < b).
d) 2a_{> 2}b _{⇔ a > b (sai vì 0 < a < 1 < b).}

Chọn đáp án C _

Câu 20. Với a = log₂7, b = log₅7. Tính giá trị của log₁₀7.

A ab

a + b. B

1

a + b. C a + b. D

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

Lời giải.

Biến đổi log₁₀7 = 1
log₇10 =

1

log₇2 + log₇5 =
1
1
a +

1
b

= ab
a + b.

Chọn đáp án A _

Câu 21. Với a, b là hai số thực dương. Khi đó, log (a2b) bằng

A 2 log a − log b. B 2 log a + b. C 2 log a + log b. D 2 log b + log a.

Lời giải.

Ta có log (a2b) = log a2+ log b = 2 log a + log b.

Chọn đáp án C 

Câu 22. Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn log₉a4_{+ log}

3b = 8 và log3a + log√33b = 9. Giá trị
biểu thức P = ab + 1 bằng

A 82. B 27. C 243. D 244.

Lời giải.

Theo điều kiện ta có
(

log₉a4+ log₃b = 8
log₃a + log√3₃b = 9

⇔
(

2 log₃a + log₃b = 8
log₃a + 3 log₃b = 9

⇔
(

log₃a = 3
log₃b = 2

⇔
(

a = 27

b = 9.
Vậy P = ab + 1 = 244.

Chọn đáp án D _

Câu 23. Số 2018201920192020 _{có bao nhiêu chữ số?}

A 147501991. B 147501992. C 147433277. D 147433276.

Lời giải.

Phương pháp: Số các chữ số của số am là [log am] + 1 chữ số.
Cách giải:

Ta có: [log 2018201920192020] + 1 = [20192020 log 20182019] + 1 = 147501991 + 1 = 14750192.

Chọn đáp án B 

Câu 24. Cho log₃x = 3 log₃2. Khi đó giá trị của x là

A 8. B 6. C 2

3. D 9.

Lời giải.

Sử dụng công thức log_abc= c log_ab (0 < a 6= 1, b > 0), ta có log₃x = 3 log₃2 ⇔ log₃x = log₃23 ⇔ x =
8.

Chọn đáp án A _

Câu 25. Cho log_ab = 2 và log_ac = 3. Tính giá trị biểu thức P = log_a(ab3_c5_).

A P = 251. B P = 22. C P = 21. D P = 252.

Lời giải.

Ta có P = log_a(ab3c5) = log_aa + log_ab3 + log_ac5 = 1 + 3 log_ab + 5 log_ac = 1 + 6 + 15 = 22.

Chọn đáp án B _

Câu 26. Với các số thực a, b > 0, a 6= 1 tùy ý, biểu thức log_a2(ab2) bằng
A 1

2+ 4logab. B 2 + 4logab. C

1

2 + logab. D 2 + logab.

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

log_a2(ab2) = log_a2a + log_a2b2 =
1

2logaa +
1

2· 2 · logab =
1

2 + logab.

Chọn đáp án C 

Câu 27. Với các số a, b > 0 thỏa mãn a2+ b2 = 6ab, biểu thức log₂(a + b) bằng

A 1

2(3 + log2a + log2b). B

1

2(1 + log2a + log2b).
C 1 + 1

2(log2a + log2b). D 2 +
1

2(log2a + log2b).

Lời giải.

Ta có: a2_{+ b}2 _{= 6ab ⇔ (a + b)}2 _{= 8ab}

⇒ log₂(a + b)2 = log₂8ab

⇔ 2log₂(a + b) = log₂8 + log₂a + log₂b
⇔ log₂(a + b) = 1

2(3 + log2a + log2b).
.

Chọn đáp án A _

Câu 28. Với a, b, c là các số thực dương tùy ý khác 1 và log_ac = x, log_bc = y. Khi đó giá trị của

log_c(ab) bằng

A 1
x+

1

y. B

xy

x + y. C

1

xy. D x + y.

Lời giải.

Với a, b, c là các số thực dương tùy ý khác 1, ta có log_ca = 1

x và logcb =
1
y.

Khi đó log_c(ab) = log_ca + log_cb = 1
x +

1
y.

Chọn đáp án A _

Câu 29. Cho log₁₂3 = a. Tính log₂₄18 theo a.
A 3a + 1

3 + a . B

3a − 1

3 + a . C

3a − 1

3 − a . D

3a + 1
3 − a .

Lời giải.

Có a = log₁₂3 = 1
log₃12 =

1

log₃3 + log₃4 =

1

1 + 2 log₃2 ⇒ log32 =
1 − a

2a .

Lại có log₂₄18 = log318
log₃24 =

log₃9 + log₃2
log₃3 + log₃8 =

2 + log₃2
1 + 3 log₃2 =

2 + 1 − a
2a

1 + 3 · 1 − a
2a

= 3a + 1
3 − a .

Chọn đáp án D _

Câu 30. Đặt log₃2 = a, khi đó log₁₆27 bằng
A 3a

4 . B

3

4a. C

4

3a. D

4a
3 .

Lời giải.

Ta có log₁₆27 = log₂433 =
3

4log23 =
3
4·

1
log₃2 =

3
4a.

Chọn đáp án B _

Câu 31. Đặt a = log₂3, b = log₅3. Hãy biểu diễn log₆45 theo a và b.
A log₆45 = a + 2ab

ab . B log645 =

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

C log₆45 = a + 2ab

ab + b . D log645 =

2a2− 2ab
ab + b .

Câu 32. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?

A y = π1−x. B y = ln(x2+ 1). C y =Å 1
e

ã2x+1

. D y =Å 1
x

ã−

√
2

.

Câu 33. Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = ln x
x .

A (0; 3). B (e; +∞). C (1; e2). D (0; e).

Câu 34. Tìm tập xác định D của hàm số y = (x2_{− 2x + 1)}1₃_.

A D = (1; +∞). _{B D = R \ {1}.} C D = [1; +∞). _{D D = R.}
Câu 35. Đồ thị của hai hàm số nào sau đây đối xứng với nhau qua trục tung?

A y = 3x và y = 3−x. B y = log1

2 x và log2x.
C y = 3x _{và y = log}

3x. D y = 3−x và y = log3x.
Câu 36. Tính giá trị của biểu thức M = log₂3. log₃4. log₄5... log₆₃64.

A M = 5. B M = 7. C M = 6. D M = log₂₀₁₅2017.
Câu 37. Với số thực a > 1, b 6= 0. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A log_aab2 _{= 1 + 2 log}

a|b|. B logaab2 = 1 + 2 logab.
C log_aab2 _{= 1 − 2 log}

ab. D logaab2 = 1 + 2 loga(−b).
Câu 38. Rút gonj biểu thức Q = aloga2

√

a_{, với a > 1.}

A √4_a. _{B a.} _C √_a. _{D a}4_.
Câu 39. Nếu a > 1, 0 < b < 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A log_ab < 0. B log_ab > 0. C log_ab = 0. D log_ab > 1.
Câu 40. Cho biết log_ab = 2. Tính log_a2ab.

A 3

2. B

2

3. C

1

2. D −

2
3.
Câu 41. Cho hai số dương a, b (a 6= 1). Mệnh đề nào dưới đây sai?

A log_aaα _{= α.} _{B a}logab = b. C log

aa = 2a. D loga1 = 0.

Lời giải.

log_aa = 2a là sai vì log_aa = 1.

Chọn đáp án C _

Câu 42. Tính giá trị của biểu thức A = 8log23+ 9
1
log₂3_.

A A = 31. B A = 5. C A = 11. D A = 17.

Lời giải.

A = 8log23+ 9
1

log23 = 2log23
3+ 3log32
2 = 33+ 22 = 31.

Chọn đáp án A _

Câu 43. Với giá trị nào của m thì hàm số y = mx − 1

x + m đạt giá trị lớn nhất bằng
1

3 trên đoạn [0; 2]?

A m = 1. B m = 3. C m = −3. D m = −1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

Ta có y0 = m
2_{+ 1}

(x + m)2 > 0 ∀x ∈ [0; 2], do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 2. Suy ra

2m − 1
2 + m =
1

3 ⇔ m = 1.

Chọn đáp án A _

Câu 44. Cho a > 0, b > 0 và a 6= 1 thỏa mãn log_ab = b

4; log2a =
16

b . Tính tổng a + b.

A 16. B 12. C 10. D 18.

Lời giải.

Ta có







log_ab = b
4

log₂a = 16
b

⇔
(

b = a4b

a = 216b

⇒ b =Ä216b
äb₄

= 16 ⇒ b = 16, a = 2 ⇒ a + b = 18.

Chọn đáp án D _

Câu 45. Cho 2 số thực a và b với a > 0, a 6= 1, b 6= 0. Khẳng định nào sau đây là sai?

A log_a2|b| =
1

2loga|b|. B
1
2logaa

2 _{= 1.} _C 1

2logab

2 _{= log}

a|b|. D

1
2logab

2 _{= log}
ab.

Lời giải.

Vì 1
2logab

2 _{= log}

a|b| nên khẳng định
1
2logab

2 _{= log}

ab là khẳng định sai.

Chọn đáp án D 

Câu 46. Cho a, b là các số thực dương và khác 1. Đặt α = log_a5, β = log_b5. Hãy biểu diễn log_ab225
theo α, β.

A 2

α + β. B

2αβ

2α + β. C

2αβ

α + 2β. D

αβ
α + β.

Lời giải.

α = log_a5 ⇔ log₅a = 1
α;
β = log_b5 ⇔ log₅b = 1

β.

Ta có log_ab225 = 2 log_ab25 =
2
log₅ab2 =

2

log₅a + 2 log₅b =
2
1
α + 2 ·

1
β

= 2αβ
β + 2α.

Chọn đáp án B _

Câu 47. Cho hai số thực a, b với 1 < a < b. Chọn khẳng định đúng?

A log_ba < 1 < log_ab. B log_ab < log_ba < 1. C log_ab < 1 < log_ba. D 1 < log_ab < log_ba.

Lời giải.

Do 1 < a < b nên suy ra
(

log_ba < log_bb = 1

1 = log_aa < log_ab ⇒ logba < 1 < logab.

Chọn đáp án A _

Câu 48. Đặt log₇2 = a, log₇3 = b, Q = log₇ 1

2 + log7
2

3+ · · · + log7
2014

2015 + log7
2015

2016. Tính Q theo a,
b.

A −5a − 2b − 1. B 5a + 2b − 1. C 5a + 2b + 1. D 5a − 2b − 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

Ta có

Q = log₇Å 1
2·

2
3· · ·

2014
2015 ·

2015
2016

ã

= log₇ 1
2016
= − log 25· 32_{· 7
= −5 log}

72 − 2 log73 − 1 = −5a − 2b − 1.

Chọn đáp án A _

Câu 49. Cho 0 < a 6= 1 và x, y là các số thực âm. mệnh đề nào dưới đây đúng?

A log_a(x2_y4_{) = 2 (log}

a|x| + logay2). B loga(xy) = logax + logay.
C log_a(−x2y) = 2 log_a(−x) + log_ay. D log_aÅ x

y
ã

= loga(−x)
log_a(−y).

Lời giải.

Ta có, log_a(x2_y4_{) = log}

ax2+ logay4 = 2 loga|x| + 2 logay2 = 2 (loga|x| + logay2).

Chọn đáp án A _

Câu 50. Cho a, b, c > 0, a, b 6= 1. Tính A = log_ab2_{· log}

b

√

bc − log_ac.

A log_ac. B 1. C log_ab. D log_abc.

Lời giải.

Ta có A = 2 log_ab · 1

2logb(bc) − logac = loga(bc) − logac = logab.

Chọn đáp án C _

Câu 51. Nếu log₈p = m và log_p33 = n thì giá trị của tích m · n bằng

A 1

9log23. B 9 log23. C 9 log32. D

1

9log32.

Lời giải.

Ta thấy
(

log₈p = m
log_p33 = n

⇒






1

3log2p = m
1

3logp3 = n

⇒ m · n = 1

9log23.

Chọn đáp án A _

Câu 52. Giá trị của biểu thức M = (ln a + log_ae)2+ ln2a − log2_ae khi được rút gọn là
A 2. B 2 + 2 ln2a. C 2 ln2a − 2. D ln2a.

Lời giải.

Ta có M = ln2a + log2_ae + 2 ln a log_ae + ln2a − log2_ae = 2 ln2a + 2.

Chọn đáp án B _

Câu 53. Biết log x = 5 log m + 2

3log n −
1

4log p. Giá trị của x bằng

A m

5√3

n2
4

√

p . B m

5√3

n2√4 _p. _C m
5√3

n2

p4 . D m

5₊√3

n2₊√4 _p.

Lời giải.

log x = log m5+ log n23 − log p
1
4 _{= log}

Ç

m5√3 n2
4
√

p
å

⇒ x = m
5√3

n2
4
√

p .

Chọn đáp án A _

Câu 54. Cho log_0,2x > log_0,2y. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A y > x ≥ 0. B x > y > 0. C x > y ≥ 0. D y > x > 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

Do 0 < 0, 2 < 1 nên y > x > 0.

Chọn đáp án D 

Câu 55. Cho ba số thực dương a, b, c khác 1 thỏa mãn log_ab + log_cb = log_a2016. log_cb. Khẳng định
nào sau đây là đúng?

A ab = 2016. B bc = 2016. C abc = 2016. D ac = 2016.

Lời giải.

Ta có

log_ab + log_cb = log_a2016. log_cb

⇔ (log_ab + log_cb) log_bc = log_a2016. log_cb. log_bc
⇔ log_ac + 1 = log_a2016 ⇔ ac = 2016.

Chọn đáp án D _

Câu 56. Giả sử a, b > 0; x > y > 0; a, b, y 6= 1; a 6= 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A log_ax · log_ay = log_a(x + y). B logax

log_ay = loga(x − y).
C log_ab = − log_ba. D log_aαxα = log_ax.

Lời giải.

Dựa vào các tính chất lơgarit.

Chọn đáp án D _

Câu 57. Cho a > 0, a 6= 1. Đặt x = log₃a. Tính giá trị của biểu thức
P = log1

3

a − log√
3a

2

+ log_a9

A P = 1 − 10x
2

x . B P =

2 (1 − x2)

x . C P =

2 − 5x2

x . D P = −3x.

Lời giải.

Ta có: P = − log₃a − 4 log₃a + 2

log₃a = −5x +
2
x =

2 − 5x2
x

Chọn đáp án C _

Câu 58. Với các số thực dương x, y. Ta có 8x_{, 4}4_{, 2 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và các số}
log₂45, log₂y, log₂x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Khi đó y bằng

A 225. B 15. C 105. D √105.

Lời giải.

Theo đề bài ta có hệ
(

8x· 2 = 48

log₂45 + log₂x = 2 log₂y
⇔

(

3x = 15

45x = y2.
Vậy x = 5, y = 15.

Chọn đáp án B _

Câu 59. Cho số thực x thỏa mãn log₂(log₄x) = log₄(log₂_{x) − a, a ∈ R. Giá trị của log}₂x bằng bao
nhiêu?

A 1

2a. B a

2_. _{C 2}1−a_. _{D 4}1−a_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

Ta có

log₂(log₄x) = log₄(log₂x) − a ⇔ log₂Å 1
2log2x

ã
= 1

2log2(log2x) − a
⇔ log₂(log₂x) − 1 = 1

2log2(log2x) − a

⇔ log₂(log₂x) = 2 − 2a

⇔ log₂x = 22−2a = 41−a.

Chọn đáp án D _

Câu 60. Cho a, b > 0, log₃a = p, log₃b = q. Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A log₃

Å
3r
am_{· b}d

ã

= r + p · m − q · d. B log₃
Å

3r
am_{· b}d

ã

= r + p · m + q · d.

C log₃
Å ₃r

am_{· b}d

ã

= r − p · m − q · d. D log₃
Å ₃r

am_{· b}d
ã

= r − p · m + q · d.

Lời giải.

Ta có

log₃
Å ₃r

am_bd
ã

= log₃3r− log₃ ambd

= r − log₃am− log₃bd
= r − m log₃a − d log₃b
= r − p · m − q · d.

Chọn đáp án C _

Câu 61. Cho a = log₃15, b = log₃10. Tính log√

350 theo a và b.

A log√

350 = 2 (a + b − 1). B log√350 = 4 (a + b + 1).
C log√

350 = a + b − 1. D log√350 = 3 (a + b + 1).

Lời giải.

Ta có a = log₃15 = 1 + log₃5 ⇒ log₃5 = a − 1.
Vậy log√

350 = 2 log350 = 2 (log3(5 · 10)) = 2 (log35 + log310) = 2 (a + b − 1).

Chọn đáp án A _

Câu 62. Cho log₂6 = a; log₂7 = b. Tính log₃7 theo a và b.

A log₃7 = b

a − 1. B log37 =

a

b − 1. C log37 =
b

1 − a. D log37 =
a

1 − b.

Lời giải.

log₃7 = log27
log₂3 =

log₂7
log₂6 − 1 =

b
a − 1.

Chọn đáp án A _

Câu 63. Cho các số thực dương a, b, c với a và b khác 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A log_ab2_{· log}√

bc = logac . B logab2· log√bc =
1

4logac .

C log_ab2· log√

bc = 4 logac . D logab2· log√bc = 2 logac .

Lời giải.

Ta có log_ab2_{· log}√

bc = 2 logab · log_b12 c = 4 logab · logbc = 4 logac.

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

Câu 64. Giá trị của a8 loga27, (0 < a 6= 1) bằng

A 74_. _{B 7}2_. _{C 7}16_. _{D 7}8_.

Lời giải.

Ta có: a8 log_a27 _{= a}4 loga7 = aloga74 = 74

Chọn đáp án A _

Câu 65. Nếu a = log₃₀3 và b = log₃₀5 thì

A log₃₀1350 = a + 2b + 1. B log₃₀1350 = 2a + b + 1.

C log₃₀1350 = a + 2b + 2. D log₃₀1350 = 2a + b + 2.

Lời giải.

Ta có:log₃₀1350 = log₃₀(30.32_{.5) = 1 + log}

3032+ log305 = 1 + 2 log303 + log305 = 1 + 2a + b

Chọn đáp án B _

Câu 66. Giá trị của biểu thức P = 49log76+ 101+log 3− 3log925 là

A P = 61. B P = 35. C P = 56. D P = 65.

Lời giải.

P = 6log749+ 10 · 10log 3− 3log35 = 62+ 10 · 3 − 5 = 36 + 30 − 5 = 61.

Chọn đáp án A _

Câu 67. Cho log₂7 = a, log₃7 = b khi đó log₆7 bằng
A 1

a + b. B a

2_{+ b}2_. _{C a + b.} _D ab

a + b.

Lời giải.

log₆7 = 1
log₇6 =

1

log₇2 + log₇3 =
1
1
a +

1

b

= ab
a + b.

Chọn đáp án D _

Câu 68. Nhận xét nào sau đây là đúng?

A log₃ab = log₃a + log₃b ∀a, b > 0. B log₃(a + b) = log₃a + log₃b ∀a, b > 0.
C log₃ a

b =
log₃a

log₃b ∀a, b > 0. D logab · logbc · logca = 1 ∀a, b, c ∈ R.

Lời giải.

Dựa vào tính chất lơgarit và điều kiện có nghĩa của biểu thức lơgarit, mệnh đề đúng là log₃ab =
log₃a + log₃b ∀a, b > 0.

Chọn đáp án A _

Câu 69. Biết a = log2(log210)

log₂10 . Giá trị của 10
a _là:

A 4. B 1. C 2. D log₂10.

Lời giải.

a = log2(log210)

log₂10 = log10(log210)
⇒ 10a_{= log}

210.

Chọn đáp án D _

Câu 70. Biết rằng log 7 = a và log₅100 = b. Hãy biểu diễn log₂₅56 theo a và b.
A ab + 3b + 6

4 . B

ab + b − 6

4 . C

ab + 3b − 6

4 . D

ab − 3b − 6

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

Lời giải.

Ta có b = log₅100 = 2 + 2 log₅2 ⇒ log₅2 = b − 2

2 .
Lại có ab = log 7 · log₅100 = 2 log₅7.

Suy ra log₂₅56 = 1

2(3 log52 + log57) =

3b − 6 + ab

4 .

Chọn đáp án C _

Câu 71. Cho các số thực a < b < 0. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A ln√ab = 1

2(ln a + ln b). B ln

a

b


= ln |a| − ln |b|.

C lna
b

2

= ln(a2_{) − ln(b}2_). _{D ln(ab)}2 _{= ln(a}2_{) + ln(b}2_).

Lời giải.

Với a < b < 0, ta có: ln√ab = 1

2ln |ab| =
1

2(ln |a| + ln |b|).

Chọn đáp án A _

Câu 72. Đặt a = log₂3; b = log₃5. Biểu diễn log₂₀12 theo a, b.
A log₂₀12 = ab + 1

b − 2 . B log2012 =
a + b

b + 2. C log2012 =

a + 2

ab + 2. D log2012 =

a + 1
b − 2.

Lời giải.

Ta có: log₂₀12 = log412
log₄20 =

1 + 1
2log23
1 + 1

2log25

= 2 + log23
2 + log₂3. log₃5 =

2 + a
ab + 2·

Chọn đáp án C _

Câu 73. Đặt a = ln 3, b = ln 5. Tính I = ln3
4 + ln

4
5+ ln

5

6 + ... + ln
124

125 theo a và b.

A I = a + 3b. B I = a − 2b. C I = a + 2b. D I = a − 3b.

Lời giải.

I = lnÅ 3
4 ·

4
5·

5
6 · ... ·

124
125

ã

= ln 3

125 = ln 3 − ln 125 = ln 3 − 3 ln 5 = a − 3b.

Chọn đáp án D _

Câu 74. Biết log₂x = a, tính theo a giá trị của biểu thức P = log₂4x2.

A P = 2 + a. B P = 4 + 2a. C P = 4 + a. D P = 2 + 2a.

Lời giải.

Có P = log₂4x2 _{= log}

24 + log2x2 = 2 + 2 log2x = 2 + 2a.

Chọn đáp án D _

Câu 75. Cho log_ax = −1 và log_ay = 4. Tính giá trị của P = log_a(x2_y3_).

A P = −14. B P = 3. C P = 10. D P = 65.

Lời giải.

Ta có P = log_a(x2y3) = 2 log_ax + 3 log_ay = 10.

Chọn đáp án C _

Câu 76. Cho các số thực dương a, b. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A log₂ 2
3
√

a

b3 = 1 +
1

3log2a −
1

3log2b. B log2
2√3 _a

b3 = 1 +
1

3log2a + 3 log2b.
C log₂ 2

3
√

a

b3 = 1 +
1

3log2a +
1

3log2b. D log2

2√3 _a

b3 = 1 +

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

Lời giải.

Ta có log₂ 2
3
√

a

b3 = log22 + log2a
1

3 − log₂b3 _{= 1 +} 1

3log2a − 3 log2b.

Chọn đáp án D _

Câu 77. Cho x = apa√3 _{a với a > 0, a 6= 1. Tính giá trị của biểu thức P = log}
ax.
A P = 0. B P = 5

3. C P =

2

3. D P = 1.

Lời giải.

Do a > 0, a 6= 1 nên x = apa√3 _{a = a}
1+

1
2

Đ
1+

1
3

é
= a

5

3 . Từ đó ta tính được P = log_aa = log_aa
5
3 = 5

3.

Chọn đáp án B _

Câu 78. Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn log₂√6

360 = 1

2+ a log23 + b log25. Khi đó tổng a + b có
giá trị là

A 4

3. B

2

3. C

1

18. D

1
2.

Lời giải.

Ta có: log₂√6

360 = log₂Ä212 · 3
1
3 · 5

1
6

ä
= 1

2 +

1

3log23 +
1

6log25. Suy ra a =
1
3, b =

1

6 ⇒ a + b =
1
2.

Chọn đáp án D _

Câu 79. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A Cho 2 cạnh của một tam giác vuông quay quanh cạnh cịn lại thì ta được một hình nón trịn
xoay.

B Cho đường thẳng L cắt ∆ và quay quanh ∆ thì ta được một mặt nón trịn xoay.

C Cho đường thẳng L song song với ∆ và quay quanh ∆ thì ta được một mặt trụ trịn xoay.

D Một hình chóp bất kì ln có duy nhất một mặt cầu ngoại tiếp.

Câu 80. Tính giá trị của biểu thức N = log_apa√a với 0 < a 6= 1.
A N = −3

4 . B N =

4

3. C N =

3

2. D N =

3
4.

Lời giải.

Ta có: N = log_apa√a = log_apa32 = log
aa

3
4 = 3

4.

Chọn đáp án D 

Câu 81. Giá trị của M = log₂2 + log₂4 + log₂8 + . . . + log₂256 là

A 48. B 36. C 56. D 8 · log₂256.

Lời giải.

M = log₂2 + log₂4 + log₂8 + . . . + log₂256
= log₂2 + log₂22_{+ log}

223+ . . . + log228 = 1 + 2 + 3 + . . . + 8 =

8 · (8 + 1)
2 = 36

Chọn đáp án B _

Câu 82. Với 0 < a 6= 1, biểu thức nào dưới đây có giá trị dương?

A log_aÄlog₂Ä2a1
ää

. B log_a
Å

1
log 10

ã

. C log_a
Å

1
4

√

a
ã

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

Lời giải.

Ta có log₂ log√4_aa
= log₂
Ä

log
a14 a

ä

= log₂4 = 2 > 0.

Cách khác: Chọn giá trị cụ thể cho a, chẳng hạn a = 2 để thay trực tiếp vào 4 phương án. Chỉ có

phương án D cho kết quả là dương.

Chọn đáp án D _

Câu 83. Với hai số thực dương a, b tuỳ ý và log35 · log5a

1 + log₃2 − log6b = 2. Khẳng định nào dưới đây là
khẳng định đúng?

A a = b log₆2. B a = b log₆3. C a = 36b. D 2a + 3b = 0.

Lời giải.

Ta có log35 · log5a

1 + log₃2 − log6b = 2 ⇔
log₃a

log₃6 − log6b = 2 ⇔ log6a − log6b = 2 ⇔ log6
a
b = 2.
Vậy a = 36b.

Chọn đáp án C _

Câu 84. Đặt a = log₁₂6, b = log₁₂7. Hãy biểu diễn log₂7 theo a và b.
A b

a + 1. B

b

1 − a. C

a

b − 1. D

a
b + 1.

Lời giải.

log₂7 = log127
log₁₂2 =

log₁₂7
log₁₂12

6

= log127
1 − log₁₂6 =

b
1 − a.

Chọn đáp án B _

Câu 85. Cho a = log₂5, b = log₃5. Tính log₂₄600 theo a, b
A log₂₄600 = 2ab + a − 3b

a + 3b . B log24600 =

2 + a + b
a + b .

C log₂₄600 = 2ab + a + 3b

a + 3b . D log24600 =

2ab + 1
3a + b .

Lời giải.

Ta có log₂₄600 = log5600
log₅24 =

2 + 3 log₅2 + log₅3
3 log₅2 + log₅3 =

2 + 3
a +

1
b
3
a +

1
b

= 2ab + a + 3b
a + 3b .

Chọn đáp án C _

Câu 86. Cho n là số nguyên dương và a > 0, a 6= 1. Tìm n sao cho

log_a2019 + log√

a2019 + log√3_a2019 + · · · + log√n_a2019 = 2 033 136 log_a2019.
A n = 2017. B n = 2016. C n = 2018. D n = 2019.

Lời giải.

Ta có

2 033 136 log_a2019 = log_a2019 + log√

a2019 + log√3_a2019 + · · · + logn√_a2019
= log_a2019 + 2 log_a2019 + · · · + n log_a2019

= n(n + 1)

2 loga2019.

Suy ra n(n + 1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

Chọn đáp án B _

Câu 87. Cho log₂5 = a; log₃5 = b. Tính log₆5 theo a, b.
A a2+ b2. B 1

a + b. C

ab

a + b. D a + b.

Lời giải.

Ta có log₆5 = 1
log₅6 =

1

log₅2 + log₅3 =
1
1
a +

1
b

= ab
a + b.

Chọn đáp án C _

Câu 88. Cho log₂m = a, A = log_m(8m) với m > 0, m 6= 1. Tìm mối liên hệ giữa A và a.

A A = a + 3

a . B A =

−a + 3

a . C A = a(a + 3). D A = a(−a + 3).

Lời giải.

Ta có A = log_m(8m) = log_m8 + log_mm = 3 log_m2 + 1 = 3

a + 1 =
a + 3

a .

Chọn đáp án A _

Câu 89. _{Cho a, b > 0, a 6= 1, b 6= 1, n ∈ N}∗. Một học sinh đã tính giá trị của biểu thức P =
1

log_ab +
1
log_a2b

+ · · · + 1
log_anb

như sau

Bước 1: P = log_ba + log_ba2+ · · · + log_ban.
Bước 2: P = log_b(a.a2· · · an_).

Bước 3: P = log_b(a1+2+3+···+n).
Bước 4: P = n(n − 1) log_b√a.

Hỏi bạn học sinh đó giải sai từ bước nào?

A Bước 4. B Bước 1. C Bước 3. D Bước 2.

Lời giải.

Ta có P = log_ba + log_ba2_{+ · · · + log}

ban= logb(a · a2· · · an) = logb(a1+2+3+···+n) = n(n + 1) logb
√

a.

Chọn đáp án A _

Câu 90. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn √a 6= b; a 6= 1; log_ab = 2. Tính T = log√
a
b

3
√

ba.

A T = −2

5. B T =

2

5. C T =

2

3. D T = −

2
3.

Lời giải.

T = log√
a
b

3
√

ba = loga
3
√

ba

log_a
√

a
b

=

1

3(logab + 1)
1

2 − logab

= −2
3.

Chọn đáp án D _

Câu 91. Cho a > 0, b > 0 và a2+ b2 = 7ab. Chọn mệnh đề đúng.
A 2 (ln a + ln b) = ln 7ab. B 3 ln(a + b) = 1

2(ln a + ln b).

C lnÅ a + b
3

ã
= 1

2(ln a + ln b). D ln(a + b) =

3

2(ln a + ln b).

Lời giải.

Ta có

a2 _{+ b}2 _{= 7ab ⇔}Å a + b
3

ã2

= ab ⇒ lnÅ a + b
3

ã2

= ln(ab) ⇔ lnÅ a + b
3

ã
= 1

2(ln a + ln b).

</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

Câu 92. Cho a là số thực dương khác 1. Tính giá trị biểu thức

P = log_a2018 + log√

a2018 + log√3_a2018 + · · · + log2018√_a2018.

A 20172018_. _{B 2018 · 2019 · log}
a2018.

C 1009 · 2019 · log_a2018. D 2019 · log_a2018.

Lời giải.

Ta có

P = log_a2018 + 2 log_a2018 + 3 log_a2018 + ... + 2018 log_a2018 = (1 + 2018) · 2018

2 loga2018.
Ta chọn được đáp án đúng.

Chọn đáp án C _

Câu 93. Biết log₇2 = m, khi đó giá trị của log₄₉28 được tính theo m là

A 1 + 2m

2 . B

m + 2

4 . C

1 + m

2 . D

1 + 4m
2 .

Lời giải.

Ta có log₄₉28 = log₇228 =
1

2log7(7 · 2
2_{) =} 1

2(log77 + log72
2_{) =} 1

2(1 + 2 log72) =
1

2(1 + 2m).

Chọn đáp án A _

Câu 94. Biết log a = 2 và log b = 3, khi đó giá trị của log (a2_{· b}3_{) là}

A 31. B 13. C 30. D 108.

Lời giải.

log (a2· b3_{) = 2 log a + 3 log b = 2 · 2 + 3 · 3 = 13.}

Chọn đáp án B _

Câu 95. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a2_{+ b}2 _{= 7ab. Hệ thức nào sau đây là đúng?}
A 2 log₂(a + b) = log₂a + log₂b. B 2 log₂ a + b

3 = log2a + log2b.

C log₂ a + b

2 = 2 (log2a + log2b). D 4 log2
a + b

6 = log2a + log2b.

Lời giải.

Đẳng thức ở giả thiết tương đương với Å a + b
3

ã2

= ab. Lấy lơ-ga-rít cơ số 2 vào 2 vế của đẳng thức

này, ta được 2 log₂ a + b

3 = log2a + log2b.

Chọn đáp án B _

Câu 96. Đặt a = log₅3. Tính theo a giá trị biểu thức log₉1125.

A log₉1125 = 1 + 3

2a. B log91125 = 2 +

3

a. C log91125 = 2 +
2

3a. D log91125 = 1 +
3
a.

Lời giải.

Ta có log₉1125 = log₉(53 _{· 3}2_{) =} 3

2 log₅3 + 1 = 1 +
3
2a.

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>

Câu 97. Cho log_ab = 2 với a, b > 0, a 6= 1. Khẳng định nào sau đây sai?
A log_a(ab) = 3. B log_a(a2_{b) = 4.} _{C log}

a(b2) = 4. D loga(ab2) = 3.

Lời giải.

Ta có

• log_a(ab) = log_aa + log_ab = 1 + 2 = 3.
• log_a(a2_{b) = log}

aa2+ logab = 2 + 2 = 4.
• log_ab2 _{= 2 log}

ab = 4.

• log_a(ab2) = log_aa + log_ab2 = 1 + 2 log_ab = 5.
Vậy khẳng định log_a(ab2) = 3 là khẳng định sai.

Chọn đáp án D _

Câu 98. Cho a, b, c là các số thực dương và a, b 6= 1. Khẳng định nào sau đây sai?

A log_aαb = α log_ab. B log_ac =
log_bc
log_ba.
C log_ac = log_ab · log_bc. D log_ab · log_ba = 1.

Lời giải.

Ta có log_aαb =
1
αlogab

Chọn đáp án A _

Câu 99. Năm 1992, người ta đã biết số p = 2756839_{− 1 là một số nguyên tố (số nguyên tố lớn nhất}
được biết đến cho đến lúc đó). Hãy tìm số các chữ số của p khi viết trong hệ thập phân.

A 227830 chữ số. B 227834 chữ số. C 227832 chữ số. D 227831 chữ số.

Lời giải.

Ta có log p < log 2756839 = 756839 log 2 ≈ 227831,2409. Suy ra 10227831 ≤ p < 10227832_{. Vậy p có 227832}
chữ số.

Chọn đáp án C _

Câu 100. Cho các số thực a < b < 0. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A lna
b

2

= ln(a2_{) − ln(b}2_). _{B ln(ab)}2 _{= ln(a}2_{) + ln(b}2_).

C ln√ab = 1

2(ln a + ln b). D ln

a

b


= ln |a| − ln |b|.

Lời giải.

Ta có

• lna

b
2

= lnÅ a
2
b2

ã

= ln(a2_{) − ln(b}2_{) (đúng).}
• ln(ab)2 _{= ln(a}2_b2_{) = ln(a}2_{) + ln(b}2_{) (đúng).}
• lna

b


= ln |a| − ln |b| (đúng).

Vì a < b < 0 nên ln√ab = 1

2ln(ab) =
1

2(ln(−a) + ln(−b)).

</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>

ĐÁP ÁN

1. C 2. C 3. D 4. B 5. D 6. D 7. C 8. B 9. A 10. A

11. D 12. B 13. B 14. B 15. D 16. D 17. B 18. C 19. C 20. A

21. C 22. D 23. B 24. A 25. B 26. C 27. A 28. A 29. D 30. B

31. C 32. D 33. D 34. B 35. A 36. C 37. A 38. A 39. A 40. A

41. C 42. A 43. A 44. D 45. D 46. B 47. A 48. A 49. A 50. C

51. A 52. B 53. A 54. D 55. D 56. D 57. C 58. B 59. D 60. C

61. A 62. A 63. C 64. A 65. B 66. A 67. D 68. A 69. D 70. C

71. A 72. C 73. D 74. D 75. C 76. D 77. B 78. D 79. C 80. D

81. B 82. D 83. C 84. B 85. C 86. B 87. C 88. A 89. A 90. D

</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>

<b>3</b> <b>MỨC ĐỘ VẬN DỤNG THẤP</b>

Câu 1. Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn a2_{+ 4b}2 _{= 5ab. Khẳng định nào sau đây đúng?}
A 2 log(a + 2b) = 5(log a + log b). B log(a + 1) + log b = 1.

C 2 log a + 2b
3 =

log a + log b

2 . D log(a + 2b) = log a − log b.

Lời giải.

Ta có a2_{+ 4b}2 _{= 5ab ⇔ (a + 2b)}2 _{= 9ab.}
Logarit cơ số 10 hai vế ta được

log(a + 2b)2 = log(9ab) ⇔ 2 log(a + 2b) = log 9 + log a + log b
⇔ 2(log(a + 2b) − log 3) = log a + log b

⇔ 2 loga + 2b
3 =

log a + log b

2 .

Chọn đáp án C _

Câu 2. Cho a, b là các số dương thỏa mãn log₉a = log₁₆b = log₁₂5b − a

2 . Tính giá trị T =
a
b.

A T = 3 +
√

6

4 . B T = 7 − 2

√

6. C T = 7 + 2√6. D T = 3 −
√

6
4 .

Lời giải.

Đặt log₉a = log₁₆b = log₁₂5b − a

2 = t, ta được a = 9

t_{, b = 16}t_, 5b − a
2 = 12

t_.
Suy ra 5 · 16

t_{− 9}t
2 = 12

t_{⇔ 5 · 16}t_{− 2 · 12}t_{− 9}t_{= 0 ⇔ 5 − 2 ·}Å 3
4

ãt
−Å 3

4
ã2t

⇔Å 3
4

ãt

=√6 − 1.

Do đó a
b =

9t
16t =

Å 3
4

ã2t

= (√6 − 1)2 _{= 7 − 2}√_6.

Chọn đáp án B _

Câu 3. Cho hai số thực x, y thỏa mãn log₄(x + y) + log₄(x − y) ≥ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P = 2x − y.

A 4. B −4. C 2√3. D 10

√
3

3 .

Lời giải.

Điều kiện
(

x + y > 0

x − y > 0

. Từ đó suy ra x > 0.

log₄(x + y) + log₄(x − y) ≥ 1 ⇔ log₄(x2− y2_{) ≥ 1⇔ x}2 _{− y}2 _{≥ 4⇔ x ≥} _py2_{+ 4 (do x > 0).}
P = 2x − y ≥ 2py2_{+ 4 − y với y ∈ R.}

Xét hàm số f (y) = 2py2 _{+ 4 − y với y ∈}D = R.

f0(y) = 2y

py2 _{+ 4} − 1 =

2y −py2_{+ 4}
py2_{+ 4} ; f

0_{(y) = 0 ⇔ 2y =}_py2_{+ 4 ⇔}





y ≥ 0

y2 = 4
3

⇔ y = √2
3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>

y

f0(y)

f (y)

−∞ √2

3 +∞

− 0 +

+∞
+∞

2√3
2√3

+∞
+∞

Từ bảng biến thiên suy ra min

y∈R f (y) = 2
√

3 = f
Å ₂

√
3

ã

Suy ra P ≥ 2√3. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi







x =py2_{+ 4}
y = √2

3
⇔






x = √4
3
y = √2

3.

Vậy min P = 2√3 đạt được khi (x; y) =
Å ₄
√
3;
2
√
3
ã
.

Chọn đáp án C _

Câu 4. Cho a > 0, b > 0 thoả mãn log₁₆(a+3b) = log₉a = log₁₂b. Giá trị của a

3_{− ab}2_{+ b}3
a3_{+ a}2_{b + 3b}3 bằng
A 6 −

√
13

11 . B

82 − 17√13

69 . C

5 −√13

6 . D

3 −√13
11 .

Lời giải.

Đặt t = log₁₆(a + 3b) = log₉a = log₁₂b.

⇒






16t= a + 3b
9t _{= a}
12t_{= b}

⇒ 9t_{+ 3.12}t _{= 16}t_⇒Å 9
16

ãt

+ 3Å 3
4

ãt

= 1 ⇒ Å 3
4

ãt

= −3 +
√
13
2 =
a
b
Vậy a

3_{− ab}2_{+ b}3
a3_{+ a}2_{b + 3b}3 =

a

b
3

− a
b + 1
a

b
3
+
a
b
2
+ 3

= 5 −
√

13
6 .

Chọn đáp án C _

Câu 5. Cho a, b > 0; a, b 6= 1; a 6= b2_{. Biểu thức P = log}√
ab2+

2
log a

b2

a có giá trị bằng

A 6. B 4. C 2. D 3.

Lời giải.

Ta có
P = log√

ab2+
2
loga

b2 a

= 4 log_ab + 2 log_a a

b2 = 4 logab + 2 (logaa − 2 logab) = 2.

Chọn đáp án C _

Câu 6. Cho các số thực a, b thỏa mãn 1 < a < b và log_ab + log_ba2 _{= 3. Tính giá trị của biểu thức}
T = log_ab a

2_{+ b}
2 .
A 1

6. B

3

2. C 6. D

2
3.

Lời giải.

Ta có log_ab + log_ba2 _{= 3 ⇔ log}

ab + 2 logba = 3. (1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>

Khi đó (1) trở thành: t + 2

t = 3 ⇔ t

2_{− 3t + 2 = 0 ⇔}
"

t = 1 (không thỏa)

t = 2 (thỏa)

.

Với t = 2 ta có log_ab = 2 ⇔ b = a2_.
Suy ra T = log_ab a

2_{+ b}

2 = loga3a
2 ₌ 2

3logaa =
2

3.

Chọn đáp án D _

Câu 7. Cho tập hợp A = {2k_{|k = 1..10} có 10 phần tử là các lũy thừa của 2. Chọn ngẫu nhiên từ tập}
A hai số khác nhau a và b. Xác suất để log_ab là một số nguyên bằng

A 17

90. B

3

10. C

1

5. D

19
90.

Lời giải.

n(Ω) = A2₁₀= 90.

Gọi B: “log_ab là một số nguyên”.

Ta có: log_ab là một số nguyên ⇔ b = an _{với a 6= 1 và n ∈ N.}
a = 2 thì b có 10 cách chọn.

a = 22 _{thì b có 5 cách chọn.}
a = 23 _{thì b có 3 cách chọn.}
a = 24 _{thì b có 2 cách chọn.}
a = 25 _{thì b có 2 cách chọn.}
a = 26 _{thì b có 1 cách chọn.}
a = 27 thì b có 1 cách chọn.
a = 27 thì b có 1 cách chọn.
a = 28 thì b có 1 cách chọn.
a = 29 _{thì b có 1 cách chọn.}
a = 210 _{thì b có 1 cách chọn.}
Suy ra n(B) = 27.

P(B) = n(B)
n(Ω) =

3
10.

Chọn đáp án B 

Câu 8. Cho a log₆3 + b log₆2 + c log₆5 = 5 với a, b, c là các số tự nhiên. Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào đúng?

A a = b. B a > b > c. C b < c. D c = b.

Lời giải.

Từ giả thiết suy ra 3a.2b.5c_{= 5. Do a, b, c ∈ N nên chỉ có 1 bộ số (a; b; c) = (0; 0; 1) thỏa mãn.}

Chọn đáp án A _

Câu 9. Cho x, y là các số dương lớn hơn 1 thỏa mãn x2+ 9y2 = 6xy. Tính M = 1 + log12x + log12y
2 log₁₂(x + 3y) .
A M = 1

2. B M =

1

3. C M =

1

4. D M = 1.

Lời giải.

Ta có x2+ 9xy = 6xy ⇔ (x − 3y)2 _{= 0 ⇔ x = 3y.}
Khi đó M = 1 + 2 log123y + log12y

2 log₁₂6y =

log₁₂12y + log₁₂3y
log₁₂36y2 =

</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>

Chọn đáp án D _

Câu 10.

Cho hai hàm số y = ax _{và y = log}

bx có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào
dưới đây là đúng?

A a; b > 1. B 0 < a; b < 1. C 0 < a < 1 < b. D 0 < b < 1 < a. x
y

0

Câu 11. Tính giá trị của biểu thức T = log₄Ä2−2016.216.√2ä

A T = −3999

4 . B T = −

3999

2 . C T không xác định. D T = −2016.

Lời giải.

T = log₄Ä2−39992
ä

= −3999
4 .

Chọn đáp án A _

Câu 12. Cho a, b > 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

A ln2(ab) = ln a2_{+ ln b}2_. _{B ln}√_{ab =} 1
2

Ä

ln√a + ln√bä.

C aln b= bln a. D ln
a

b


= ln a
ln b.

Câu 13. Đặt log₂60 = a và log₅15 = b. Tính P = log₂12 theo a và b.
A P = ab + a − 2

b . B P =

ab − a + 2

b . C P =

ab + 2a + 2

b . D P =

ab + a + 2
b .

Lời giải.

Ta có: log₂60 = 2 + log₂3 + log₂5 = a và log₅15 = 1 + log₅3 = 1 + log23
log₂5 = b
Suy ra log₂3 = ab − a − 2b + 2

b

Vậy P = log₂12 = 2 + log₂3 = 2 +ab − a − 2b + 2

b =

ab − a + 2
b

Chọn đáp án B _

Câu 14. Đặt log₂3 = a và log₂5 = b. Tính P = log₃240 theo a và b.
A P = a + 2b + 3

a . B P =

2a + b + 3

a . C P =

a + b + 3

a . D P =

a + b + 4
a .

Lời giải.

Ta có: P = log₃240 = 1 + 4 log₃2 + log₃5 = 1 + 4 1
log₂3+

log₂5

log₂3 = 1 +
4
a +

b
a =

a + b + 4
a .

Chọn đáp án D _

Câu 15. Cho hai số thực dương x, y bất kỳ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A log₂(x2_{y) = log}

2x + 2 log2y. B log2
x2

y =

2 log₂x
log₂y .
C log₂(x2_{+ y) = 2 log}

2x. log2y. D log2(x2y) = 2 log2x + log2y.
Câu 16. Nếu log₁₂6 = a, log₁₂7 = b thì log₂7 bằng

A a

a − 1. B

a

1 − b. C

b

1 − a. D

a
b + 1.

Câu 17. Cho biết a > 0, a 6= 1, b > 0, ab2 _{6= 1 và log}

ab2a2b = 3. Tính log_ab.

A −1

5. B

1

5. C

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>

Câu 18. Cho hai số thực dương x, y và thỏa mãn x2+ 16y2 = 92xy. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A log(x + 4y) = 1 + 1

2(log x + log y). B log(x + 4y) = 2 +

1

2(log x + log y).
C log(x + 4y) = 1 + 1

2(log x − log y). D log(x + 4y) = 2 + log x + log y.

Câu 19. Cho biết log₂3 = x, log₃5 = y. Tính log₆15 theo x, y.

A x + xy

x + 1 . B

x − xy

x + 1 . C

x + xy

xy + 1. D

x + y
x + 1.

Câu 20. Cho c = log₁₅3. Hãy tính log₂₅15 theo c.
A log₂₅15 = 1

2 − c. B log2515 =
1

2(c − 1). C log2515 =

1

2(1 − c). D log2515 =

1
2(1 + c).

Lời giải.

c = log₁₅3 = 1
log₃15 =

1

log₃(3 · 5) =
1

1 + log₃5 ⇒ log35 =
1 − c

c .

log₂₅15 = log₅215 =
1

2log515 =
1

2log5(5 · 3) =
1

2(1 + log53) =
1
2

Å

1 + c
1 − c

ã

= 1

2(1 − c).

Chọn đáp án C _

Câu 21. Tính giá trị của biểu thức P = log (tan 1◦) + log (tan 2◦) + log (tan 3◦) + ... + log (tan 89◦).

A P = 0. B P = 2. C P = 1

2. D P = 1.

Lời giải.

P = log (tan 1◦) + log (tan 2◦) + log (tan 3◦) + ... + log (tan 89◦)

= log (tan 1◦· tan 2◦· tan 3◦... tan 89◦) = log [tan 1◦· tan 2◦· tan 3◦... tan (90◦− 2◦) · tan (90◦− 1◦)]
= log (tan 1◦tan 2◦· tan 3◦... cot 2◦· cot 1◦) = log ((tan 1◦ · cot 1◦) (tan 2◦· cot 2◦) ...)

= log 1 = 0.

Chọn đáp án A _

Câu 22. Biết a, b là các số nguyên thỏa log₁₃₅₀2 = 1 + a log₁₃₅₀3 + b log₁₃₅₀5. Mệnh đề nào sau đây
là đúng?

A 3a − 5b = 2. B a2− b2 _{= 4.} _{C a − 2b = 1.} _{D ab = 8.}

Lời giải.

log₁₃₅₀2 = 1 + a log₁₃₅₀3 + b log₁₃₅₀5

⇔ 1350log13502 _{= 1350 · 1350}log13503
a_{· 1350}log13505
b
⇔ 2 = 1350 · 3a_{· 5}b

⇔ 1
675 = 3

a_{· 5}b
⇔ 3−3· 5−2 = 3a· 5b
⇔ 3a+3· 5b+2 = 1

⇔ log₃3a+3+ log₃5b+2= 0
⇔ (a + 3) + (b + 2) · log₃5 = 0

⇔
(

a = −3

</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58>

Suy ra a − 2b = 1.

Chọn đáp án C 

Câu 23. Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn a2_{+ b}2 _{= 7ab. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:}
A log(a + b) = 3

2(log a + log b). B 2 (log a + log b) = log(7ab).

C 3 log(a + b) = 1

2(log a + log b). D log

Å a + b
3

ã
= 1

2(log a + log b).

Lời giải.

Ta có: a2+ b2 _{= 7ab}
⇔ (a + b)2 = 9ab

⇔ 2 log(a + b) = log(9ab)

⇔ 2 log(a + b) = 2 log 3 + log a + log b

⇔ log(a + b) − log 3 = 1

2(log a + log b)
⇔ log a + b

3 =
1
2log ab

Chọn đáp án D _

Câu 24. Cho n > 1 là một số nguyên. Tính giá trị của biểu thức

1
log₂n! +

1

log₃n! + · · · +
1
log_nn!·

A n. B 0. C 1. D n!.

Lời giải.

Ta có 1
log₂n! +

1

log₃n! + · · · +
1

log_nn! = logn!2 + logn!3 + · · · + logn!n = logn!n! = 1.

Chọn đáp án C _

Câu 25. Biết log₂7 = a, log₃7 = b, tính S = log₂2016 theo a, b.

A S = 2a + 5b + ab

b . B S =

2b + 5a + ab

a . C S =

5a + 2b + ab

b . D S =

2a + 5b + ab

a .

Lời giải.

Ta có 2016 = 25_{· 3}2_{· 7 ⇒ log}

22016 = log2(25· 32· 7) = 5 + 2 log23 + log27
⇒ S = 5 + 2 log73

log₇2 + log27 = 5 +
a

b + a =

5b + ab + 2a

b

Chọn đáp án A _

Câu 26. Cho log₂₇5 = a, log₈7 = b và log₂3 = c. Hãy biểu diễn A = log₁₂35 theo a, b, c.
A A = 3b + 3ac

c + 3 . B A =

3b + 2ac

c + 2 . C A =

3b + 3ac

c + 2 . D A =

3b + 3ac
c + 1 .

Lời giải.

Từ giả thiết, ta có log₃5 = 3a, log₂7 = 3b.
A = log235

log₃12 =

log₃5 + log₃7
1 + 2 log₃2 =

3a + 3b_c
1 + 2_c =

3b + 3ac
c + 2 .

Chọn đáp án C _

Câu 27. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn log₁₆

Å _{x + y + z}

2x2_{+ 2y}2_{+ 2z}2_{+ 1}
ã

= x(x − 2) + y(y − 2) + z(z − 2).

</div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59>

A 2

3. B

13

3 . C −

13

3 . D −

2

3.

Lời giải.

* Điều kiện: x + y + z > 0

* Ta có: log₁₆

Å _{x + y + z}

2x2_{+ 2y}2_{+ 2z}2_{+ 1}
ã

= x(x − 2) + y(y − 2) + z(z − 2)

⇔ 2 log₁₆[4(x + y + z)] + [4(x + y + z)] = 2 log₁₆[2x2 _{+ 2y}2 _{+ 2z}2 _{+ 1] + [2x}2 _{+ 2y}2 _{+ 2z}2 _{+ 1](∗) *}
Xét hàm số f (t) = 2 log₁₆t + t trên (0; +∞) ta có f0(t) = 2

t · ln 16 + 1 > 0; ∀t ∈ (0; +∞) ⇒ Hàm số
f (t) = 2 log₁₆t + t đồng biến trên (0; +∞). Từ (∗) ta có

2x2_{+ 2y}2_{+ 2z}2_{+ 1 = 4(x + y + z) ⇔ (S) : x}2_{+ y}2_{+ z}2_{− 2x − 2y − 2z +} 1
2 = 0.
F = x − y − z

x + y + z ⇔ F (x + y + z) = x − y − z ⇔ (P ) : (F − 1)x + (F + 1)y + (F + 1)z = 0
* Mặt phẳng (P ) có điểm chung với mặt cầu (S) nên ta có:

d(I; (P )) 6 R ⇔ |3F + 1|

p(F − 1)2_{+ (F + 1)}2_{+ (F + 1)}2 6
… 5

2 ⇔ 3F

2_{+ 2F − 13 6 0}

⇔ −1 − 2
√

10

3 6 F 6

−1 + 2√10

3 ⇒ min F + max F = −
2
3.

Chọn đáp án D _

Câu 28. Cho a > 0, b > 0 thoả mãn a2 _{+ 9b}2 _{= 10ab. Khẳng định nào sau đây đúng?}
A log (a + b) + log b = 1. B loga + 3b

4 =

log a + log b
2 .

C 3 log (a + 3b) = log a − log b. D 2 log (a + 3b) = 2 log a + log b.

Lời giải.

Ta có a2+ 9b2 = 10ab ⇔ a2+ 9b2+ 6ab = 16ab ⇔ (a + 3b)2 = 16ab ⇔Å a + 3b
4

ã2
= ab

⇔ logÅ a + 3b
4

ã2

= log ab ⇔ 2 loga + 3b

4 = log a + log b ⇔ log

a + 3b
4 =

log a + log b

2 .

Chọn đáp án B _

Câu 29. Gọi n là số nguyên dương sao cho 1
log₃x +

1
log₃2x

+ 1
log₃3x

+ · · · + 1
log₃nx

= 210

log₃x đúng
với mọi x > 0. Tính giá trị của biểu thức P = 2n + 3.

A P = 32. B P = 40. C P = 43. D P = 23.

Lời giải.

Ta có 1
log₃x +

1
log₃2x

+ 1
log₃3x

+ · · · + 1
log₃nx

= 1
log₃x+

2
log₃x+

3

log₃x+ · · · +
n
log₃x =

n(n + 1)
2 log₃x .
Do đó n(n + 1)

2 = 210 ⇔ n

2_{+ n − 420 = 0 ⇔ n = 20. Vậy P = 43.}

Chọn đáp án C _

Câu 30. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn a 6= 1, a 6= 1

b và logab =
√

5. Tính P =

log√
ab

b
√

a.

A P = 11 − 3
√

5

4 . B P =

11 + 3√5

4 . C P =

11 − 2√5

4 . D P =

11 + 3√5
2 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(60)</span><div class='page_container' data-page=60>

Ta có P =

log_a √b
a

log_a√ab =

log_ab − log_a√a
log_a√a + log_a√b =

log_ab − 1
2
1

2 +
1
2logab

= 11 − 3
√

5
4 .

Chọn đáp án A _

Câu 31. Cho ba số thực dương x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi số

thực dương a (a 6= 1) thì log_ax, log√

ay, log√3_az theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị
của biểu thức P = 1959x

y +
2019y

z +
60z
x .
A 2019

2 . B 60. C 2019. D 4038.

Lời giải.

Theo đề bài, ta có:
(

xz = y2

log_ax + log√3_az = 2log√_ay
⇔

(

xz = y2
xz3 = y4

⇔ x = y = z.

Do đó: P = 1959x
y +

2019y
z +

60z

x = 1959 + 2019 + 60 = 4038.

Chọn đáp án D _

Câu 32. Gọi x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện log₉x = log₆y = log₄(x + y) và x
y =
−a +√b

2 , với a, b là hai số nguyên dương. Tính T = a + b?

A T = 6. B T = 4. C T = 11. D T = 8.

Lời giải.

Đặt log₉x = log₆y = log₄(x + y) = t ⇒








x = 9t
y = 6t
x + y = 4t
⇒ 9t_{+ 6}t_{= 4}t _⇔Å 3

2
ã2t

+Å 3
2

ãt

− 1 = 0 ⇔Å 3
2

ãt

= −1 +
√

5
2

Ta lại có:









x

y =

−a +√b
2
Å 9

6
ãt

=Å 3
2

ãt ⇔
(

a = 1

b = 5

⇒ T = a + b = 6

Chọn đáp án A _

Câu 33. Cho log₁₂3 = a. Khi đó log₂₄18 có giá trị tính theo a là
A 3a − 1

3 − a . B

3a + 1

3 − a . C

3a + 1

3 + a . D

3a − 1
3 + a .

Lời giải.

Ta có phân tích: 24 = 1232 · 3−
1

2 và 18 = 3
3
2 · 12

1
2.

Ta có: log₂₄18 = log1218
log₁₂24 =

log₁₂Ä332 · 12
1
2
ä

log₁₂Ä1232 · 3−

1
2

ä =
3

2 · log123 + 12
3

2 −
1

2log123
=

3
2a +

1
2
3
2 −
1
2a

= 3a + 1
3 − a

Chọn đáp án B _

Câu 34. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log₆x = log₉y = log₄(2x + 2y) . Tính tỉ số x
y.

A x
y =

2

3. B

x
y =

2
√

3 − 1. C

x
y =

2
√

3 + 1. D
x
y =

</div>
<span class='text_page_counter'>(61)</span><div class='page_container' data-page=61>

Lời giải.

Giả sử log₆x = log₉y = log₄(2x + 2y) = t. Ta có









x = 6t (1)
y = 9t (2)
2x + 2y = 4t (3)
.

Khi đó x
y =

6t
9t =

Å 2
3

ãt
> 0.

Thay (1), (2) vào (3) ta được

2 · 6t_{+ 2 · 9}t _{= 4}t_⇔Å 2

3

ã2t

− 2 ·Å 2
3

ãt

− 2 = 0 ⇔







Å 2
3

ãt

= 1 +√3 = √ 2

3 − 1 (nhận)
Å 2

3
ãt

= 1 −√3 (loại).

Vậy x
y =

2
√

3 − 1.

Chọn đáp án B _

Câu 35. Với a, b thỏa mãn để hàm số f (x) =
(

x2 khi x ≥ 1

ax + b khi x < 1 có đạo hàm tại điểm x0 = 1. Khi
đó giá trị của biểu thức S = log₂(3a + 2b) bằng

A S = 1. B S = 2. C S = 3. D S = 4.

Lời giải.

Ta có lim

x→1+f (x) = lim_x→1+x

2 _{= 1, lim}

x→1−f (x) = lim_x→1−(ax + b) = a + b.
Vì hàm số có đạo hàm tại x0 = 1 nên liên tục tại x0 = 1.

Do đó lim

x→1+f (x) = lim_x→1−f (x) ⇒ a + b = 1 ⇔ b = 1 − a.
Ta lại có

• lim
x→1+

f (x) − f (1)

x − 1 = limx→1+

x2_{− 1}
x − 1 = 2.

• lim
x→1−

f (x) − f (1)

x − 1 = limx→1−

ax + b − 1

x − 1 = limx→1−

ax − a + 1 − 1

x − 1 = a.

Vì hàm số có đạo hàm tại x0 = 1 nên lim
x→1+

f (x) − f (1)

x − 1 = limx→1−

f (x) − f (1)

x − 1 ⇒ a = 2.
Thay vào (1) ta được b = −1.

Vậy S = log₂(3a + 2b) = log₂4 = 2.

Chọn đáp án B _

Câu 36. Biết log₆2 = a, log₆5 = b. Tính I = log₃5 theo a, b.
A I = b

1 + a. B I =

b

1 − a. C I =

b

a − 1. D I =

b
a.

Lời giải.

Ta có a = log₆2 = 1
log₂6 =

1

1 + log₂3 ⇒ log23 =
1 − a

a .

Mặt khác b = log₆5 = log25
log₂6 =

log₂5

1 + log₂3 = a · log25 ⇒ log25 =
b
a.

Do đó I = log₃5 = log25
log₂3 =

b
a
1 − a

a

= b
1 − a.

</div>
<span class='text_page_counter'>(62)</span><div class='page_container' data-page=62>

Câu 37. Tính giá trị của biểu thức

P = log (tan 1◦) + log (tan 2◦) + log (tan 3◦) + · · · + log (tan 89◦).

A P = 0. B P = 2. C P = 1

2. D P = 1.

Lời giải.

P = log (tan 1◦) + log (tan 2◦) + log (tan 3◦) + · · · + log (tan 89◦)
= log (tan 1◦· tan 2◦· tan 3◦· · · tan 89◦)

= log (tan 1◦· tan 2◦· tan 3◦· · · tan 44◦· tan 45◦· cot 44◦· · · cot 3◦· cot 2◦· cot 1◦)
= log 1 = 0.

Chọn đáp án A _

Câu 38. Cho a > 0, b > 0 và a 6= 1 thỏa mãn log_ab = b

4; log2a =
16

b . Tính tổng a + b.

A 16. B 12. C 10. D 18.

Lời giải.

Ta có log_ab = b

4 ⇒ b = a
b

4_{; log}₂_{a =} 16

b ⇒ a = 2
16

b _.

Do đó, b =
Å

216b
ã₄b

= 24 _{= 16, suy ra a = 2.}
Vậy a + b = 18.

Chọn đáp án D 

Câu 39. Cho x, y là hai số thực dương, x 6= 1 thỏa mãn log√
xy =

2y
5 , log3

√
5x =

15

y . Tính giá trị của
P = y2_{+ x}2_.

A P = 17. B P = 50. C P = 51. D P = 40.

Lời giải.

Ta có log√
xy =

2y

5 ⇔ 2 logxy =
2y

5 ⇔ logxy =
y

5 (1).
Lại có log√3

5x =
15

y ⇔ 3 log5x =
15

y ⇔ log5x =
5

y (2).

Từ (1) và (2) ta có log_xy = 1

log₅x ⇔ logxy = logx5 ⇔ y = 5.
Suy ra log_xy = y

5 ⇒ logx5 = 1 ⇔ x = 5. Khi đó P = x

2_{+ y}2 _{= 50.}

Chọn đáp án B _

Câu 40. Đặt log₂3 = a; log₂5 = b. Hãy biểu diễn P = log₃240 theo a và b.
A P = 2a + b + 4

a . B P =

2a − b + 3

a . C P =

a − b + 3

a . D P =

a + b + 4
a .

Lời giải.

log₃240 = 4 · log₃2 + log₃5 + 1 = 4 + log25 + log23
log₂3 =

a + b + 4
a .

Chọn đáp án D _

</div>
<span class='text_page_counter'>(63)</span><div class='page_container' data-page=63>

A log(a + b) = 1

2(1 + log a + log b). B log(a + b) = 1 + log a + log b.

C log(a + b) = 1

2(log a + log b). D log(a + b) =
1

2+ log a + log b.

Lời giải.

Với a, b là các số thực dương, ta có

a2+ b2 = 8ab ⇔ (a + b)2 = 10ab

⇔ log(a + b)2 _{= log(10ab) ⇔ 2 log(a + b) = 1 + log a + log b}
⇔ log(a + b) = 1

2(1 + log a + log b).

Chọn đáp án A _

Câu 42. Cho log₆45 = a + log25 + b

log₂3 + c, a, b, c ∈ Z. Tính tổng a + b + c.

A 1. B 0. C 2. D −4.

Lời giải.

log₆45 = log245
log₂6 =

log₂(32_.5)
log₂(2.3) =

2 log₂3 + log₂5
1 + log₂3 =

2 (1 + log₂3) + log₂5 − 2

log₂3 + 1 = 2 +

log₂5 − 2
log₂3 + 1
⇒ a = 2, b = −2, c = 1 ⇒ a + b + c = 1.

Chọn đáp án A _

Câu 43. Cho a, b > 0, nếu log₈a + log₄b2 = 5 và log₄a2+ log₈b = 7 thì giá trị của ab bằng

A 29. B 8. C 218. D 2.

Lời giải.

Ta có
(

log₈a + log₄b2 = 5
log₄a2+ log₈b = 7 ⇔







1

3log2a + log2b = 5

log₂a +1

3log2b = 7
⇔

(

log₂a = 6
log₂b = 3 ⇔

(
a = 26
b = 23.
Vậy ab = 29.

Chọn đáp án A _

Câu 44. Biết rằng m, n là các số nguyên thỏa mãn log₃₆₀5 = 1 + m log₃₆₀2 + n log₃₆₀3. Khẳng định
nào sau đây đúng?

A 3m + 2n = 0. B m2_{+ n}2 _{= 25.} _{C mn = 4.} _{D m + n = −5.}

Lời giải.

Ta có 1 + m log₃₆₀2 + n log₃₆₀3 = log₃₆₀360 · 2m· 3n_{= log}

36023+m· 32+n· 5.
Do đó m = −3 và n = −2, suy ra m + n = −5.

Chọn đáp án D _

Câu 45. Đặt a = log₂3; b = log₃5. Biểu diễn log₂₀12 theo a, b.
A log₂₀12 = ab + 1

b − 2 . B log2012 =
a + b

b + 2. C log2012 =

a + 2

ab + 2. D log2012 =

a + 1
b − 2.

Lời giải.

Ta có log₂₀12 = log₂₀3+2 log₂₀2 = 1
log₃20+

2
log₂20 =

1

log₃5 + 2 log₃2+
2

log₂5 + 2 =

1

log₃5 + 2 log₃2+
2

log₂3 · log₃5 + 2 =
1

b + 2
a

+ 2
ab + 2 =

a + 2
ab + 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(64)</span><div class='page_container' data-page=64>

Câu 46. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn log₁₆a = log₂₀b = log₂₅ 2a − b

3 . Tính tỉ số T =
a
b.
A 0 < T < 1

2. B

1

2 < T <

2

3. C −2 < T < 0. D 1 < T < 2.

Lời giải.

Đặt log₁₆a = log₂₀b = log₂₅2a − b

3 = t ⇒











a = 16t
b = 20t
2a − b

3 = 25
t

.

Suy ra 2 · 16t− 20t _{= 3 · 25}t_{⇔ 2 ·}Å 4

5

ãt

− 1 = 3 ·Å 5
4

ãt

⇔ 2 ·Å 4
5

ãt
−Å 4

5
ãt

− 3 = 0 ⇔






Å 4
5

ãt
= −1

Å 4
5

ãt
= 3

2
.

Do Å 4
5

ãt

> 0 nênÅ 4
5

ãt
= 3

2 ⇒ T =
a
b =

3
2.

Chọn đáp án D _

Câu 47. _{Cho 0 < a 6= 1; x, y ∈ R thỏa mãn log}_a3 = x; log_a5 = y. Khi đó (x + y) log₁₅a là

A 2(x + y). B x + y. C 1. D (x + y)2.

Lời giải.

Vì x + y = log_a3 + log_a5 = log_a15 nên (x + y) log₁₅a = log_a15 · log₁₅a = 1.

Chọn đáp án C 

Câu 48. Tính tổng S = 1 + 22_log√

33 + 32log√333 + 4
2_log

4
√

33 + . . . + 2018
2_log

2018√
33.

A 10092_.20192_. _{B 1009}2_.20182_. _{C 2019}2_. _{D 1008}2_.20182_.

Lời giải.

S = 1 + 23log₃3 + 33log₃3 + 44log₃3 + . . . + 20183log₃3.
S = 13+ 23+ 33+ . . . + 20183.

Bằng quy nạp chứng minh được 13_{+ 2}3_{+ . . . + n}3 ₌ n

2_{(n + 1)}2
4 .

Áp dụng n = 2018 ⇒ S = 2018

2_.20192

4 = 1009

2_.20192_.

Chọn đáp án A _

Câu 49. Đặt a = ln 3, b = ln 5. Tính I = ln3
4 + ln

4
5+ ln

5

6 + · · · + ln
124

125 theo a và b.
A I = a − 2b. B I = a + 3b. C I = a + 2b. D I = a − 3b.

Lời giải.

Ta có: I = lnÅ 3
4·

4
5·

5
6 ·

124
125

ã

= ln 3

125 = ln 3 − 3 ln 5 = a − 3b.

Chọn đáp án D _

Câu 50. Cho x = 2018!. Tính giá trị của biểu thức A = − 1
log₂x−

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(65)</span><div class='page_container' data-page=65>

Lời giải.

A = − 1

log₂x −

1

log₃x − · · · −
1
log₂₀₁₈x
= − (log_x2 + log_x3 + · · · + log_x2018)
= − (log_x(2 · 3 · 4 · · · 2018))

= − (log_x2018!)
= − (log_xx) = −1.

Chọn đáp án B _

Câu 51. Giả sử log 2 là 0,3010. Khi viết 22018 trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số?

A 607. B 608. C 609. D 606.

Lời giải.

Ta có: log 2 = 0,3010 ⇒ log 22018 _{= 2018 · 0,3010 = 607,4180.}

Suy ra: 607 < log 22018 _{< 608 ⇔ 10}607 _{< 2}2018 _{< 10}608_{, nên 2}2018 _{có 608 chữ số khi viết trong hệ thập}
phân.

Chọn đáp án B _

Câu 52. Số chữ số của số tự nhiên 32017 là

A 962. B 963. C 964. D 961.

Lời giải.

Gọi số chữ số của 32017 là n, khi đó

10n−1 < 32017 < 10n ⇔ log 10n−1 _{< log 3}2017 _{< log 10}n_{⇔ n − 1 < 2017 log 3 < n.}

Do đó n − 1 = [2017 log 3] ⇔ n = [2017 log 3] + 1 = 963.

Chú ý :

• [x] là phần nguyên của x, chẳng hạn [1,215] = 1.

• Tổng quát: Với a, x ∈ N∗_{, số các chữ số của a}x _{là n = [x log a] + 1.}

Chọn đáp án B _

Câu 53. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a2_{+ b}2 _{= 98ab. Tính P = ln}Å a + b
10

ã
.

A P = 2 ln(ab). B P = 2 ln(10ab). C P = 1

2ln(10ab). D P =

1

2ln(ab).

Lời giải.

Do a, b > 0 nên a + b =p(a + b)2 ₌√_a2_{+ b}2_{+ 2ab =}√_{98ab + 2ab =}√_100ab.
Suy ra P = lnÅ a + b

10
ã

= ln
Ç √

100ab
10

å

= lnÄ√abä = 1

2ln(ab).

Chọn đáp án D _

Câu 54. Tính giá trị của biểu thức P = ln(tan 1◦) + ln(tan 2◦) + ln(tan 3◦) + · · · + ln(tan 89◦).
A P = 1

2. B P = 1. C P = 2. D P = 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(66)</span><div class='page_container' data-page=66>

Ta có P = ln (tan 1◦. tan 2◦. tan 3◦· · · tan 88◦. tan 89◦) = ln T .

Ta thấy T = tan 1◦. tan 89◦· · · tan 44◦_{. tan 46}◦_{. tan 45}◦ _{= tan 1}◦_{. cot 1}◦_{· · · tan 44}◦_{. cot 44}◦_{. tan 45}◦
.
Ta thấy T = 1, vậy ln T = 0.

Chọn đáp án D _

Câu 55. Tìm tổng S = 1 + 22_log√

22 + 32log√322 + 42log√422 + ... + 20172log2017√22.

A S = 10082· 20172 _. _{B S = 1007}2_{· 2017}2 _. _{C S = 1009}2_{· 2017}2 _. _{D S = 1010}2_{· 2017}2 _.

Lời giải.

Ta có S = 1 + 22log√
22 + 3

2_log
3
√

22 + 4
2_log

4
√

22 + · · · + 2017
2_log

2017√

22 = 1 + 2

3_{+ 3}3_{+ 4}3_{+ · · · + 2017}3_.
Bằng quy nạp, ta chứng minh được rằng: 13+ 23_{+ 3}3_{+ · · · + n}3 ₌ n

2_{(n + 1)}2

4 với mọi n ∈ N
∗

.

Áp dụng với n = 2017, ta có

S = 1 + 23_{+ 3}3 _{+ 4}3_{+ · · · + 2017}3 ₌ 2017

2_{· (2017 + 1)}2

4 =

20172_{· 2018}2

4 = 1009

2_{· 2017}2_.

Chọn đáp án C _

Câu 56. Cho a > 0, a 6= 1 và x, y là hai số thực khác 0. Khẳng định nào sau đây là khẳng định

đúng?

A log_ax2 = 2 log_ax. B log_a(xy) = log_ax + log_ay.
C log_a(x + y) = log_ax + log_ay. D log_a(xy) = log_a|x| + log_a|y|.

Lời giải.

Chọn đáp án D _

Câu 57. Cho x = log₆30, y = log₁₂15 và log₂3 = 1 + ax + by

x − cy . Tính S = 2a + 3b − c biết a, b, c là
các số nguyên.

A S = 3. B S = 9. C S = 0. D S = 7.

Lời giải.

Có x = log₆30 = log230
log₂6 =

1 + log₂3 + log₂5

1 + log₂3 ⇔ log25 = (1 + log23)(x − 1)
y = log₁₂15 = log215

log₂12 =

log₂3 + log₂5

2 + log₂3 ⇔ y(2 + log23) = log23 + x − 1 + x log23 − log23

⇔ (x − y) log₂3 = 1 − x + 2y ⇔ log₂3 = 1 − x + 2y
x − y ⇒










a = −1

b = 2

c = 1

⇒ 2a + 3b − c = 3.

Chọn đáp án A _

Câu 58. Cho log 2 = a. Tính log 125

4 theo a.

A 3 − 5a. B 4(1 + a). C 6 + 7a. D 2(5 + a).

Lời giải.

Ta có log 2 = a ⇔ log₂10 = 1 + log₂5 = 1
a
⇒ log₅2 = a

1 − a

</div>
<span class='text_page_counter'>(67)</span><div class='page_container' data-page=67>

Mà log125

4 = log 125 − log 4 = 3 log 5 − 2 log 2

= 3

1 + log₅2 − 2a =
3
1
1 − a

− 2a = 3 − 5a.

Chọn đáp án A _

Câu 59. Cho α = log₃189. Biểu thức log₁₈₉7 được biểu diễn theo α là
A α + 3

α . B

α + 2

α . C

α − 3

α . D

α − 2
α .

Lời giải.

Ta có α = log₃189 = log₃(33_{· 7) = 3 + log}

37 ⇒ log37 = a − 3.
Do đó, ta có log₁₈₉7 = 1

log₇189 =

1

log₇(33_{· 7)} =

1

1 + 3 log₇3 =

log₃7

log₃7 + 3 =

α − 3
α − 3 + 3 =

α − 3
α .

Chọn đáp án C _

Câu 60. Đặt a = ln 2; b = ln5. Hãy biểu diễn I = ln1
2+ ln

2

3 + ... + ln
98
99+ ln

99

100 theo a và b.

A I = −2(a + b). B I = 2(a + b). C I = −2(a − b). D I = 2(a − b).

Lời giải.

Ta có

I = ln1

2 + ln

2

3 + ... + ln
98
99+ ln

99
100 = ln

1
100

= − ln 100 = −2 ln(2.5) = −2(ln 2 + ln 5) = −2(a + b)

Chọn đáp án A _

Câu 61. Cho a log₂3 + b log₆2 + c log₆3 = 5 với a, b, c là các số tự nhiên. Khẳng định nào đúng trong
các khẳng định sau?

A a = b. B a > b > c. C b < c. D b = c.

Lời giải.

Ta có a log₂3 + b log₆2 + c log₆3 = 5 ⇔ log₆2b + log₆3c= log₂25− log₂3a⇔ log₆2b3c= log₂ 2
5
3a.

Đặt








t = log₆2b3c
t = log₂ 2

5
3a

⇔







2b3c= 6t
25

3a = 2

t ⇔

(

2b3c= 6t
25 = 3a2t ⇔










a = 0

t = 5

b = c = 5

(vì a, b, c là các số tự nhiên).

Chọn đáp án D _

Câu 62. Cho x = 2017!. Giá trị của biểu thức A = 1
log₂2x

+ 1
log₃2x

+ ... + 1
log₂₀₁₇2x

bằng

A 1

2. B 2. C 4. D 1.

Lời giải.

Ta có: A = 1
log₂2x

+ 1
log₃2x

+ ... + 1
log₂₀₁₇2x

= log_x22_{+ log}

x32+ ... + logx2007

2 _{= log}
x(22.3

2_...20072_{) =}
log_x(2.3...2007)2 = 2log_x(2.3...2007) = 2log_2007!(2.3...2007) = 2

Chọn đáp án B _

</div>
<span class='text_page_counter'>(68)</span><div class='page_container' data-page=68>

A
"

1 < b < a

0 < b < a < 1 . B
"

1 < a < b

0 < a < b < 1 . C

"

0 < a < 1 < b

0 < b < 1 < a . D 0 < b < 1 ≤ a.

Lời giải.

Ta có: log_ab < 0 ⇔ log_ab < log_a1.

TH: a > 1 ⇒ log_ab < log_a1 ⇔ b < 1. Kết hợp điều kiện, ta được 0 < b < 1 < a.
TH: 0 < a < 1 ⇒ log_ab < log_a1 ⇔ b > 1. Kết hợp điều kiện, ta được 0 < a < 1 < b.
Vậy khẳng định đúng là :

"

0 < a < 1 < b

0 < b < 1 < a

Chọn đáp án C _

Câu 64. Cho hai số thực dương a, b với a 6= 1 thỏa mãn hệ thức a2 + b2 = 4ab. Đẳng thức nào sau
đây đúng?

A 2 log_a(a − b) = log_a(2ab). B log_a(4ab) = log_aa2_{+ log}
ab2.

C 2 log_a(a + b) = 1 + log_a6b. D log_a(4ab) = 2 log_a(a + b).

Lời giải.

Ta có a2_{+ b}2 _{= 4ab ⇔ (a + b)}2 _{= 6ab ⇔ log}

a(a + b)2 = loga(6ab) ⇔ 2 loga(a + b) = 1 + loga6b.

Chọn đáp án C _

Câu 65. Biết log₂3 = a, log₃5 = b. Tính log₁₀₀₀27 theo a, b.
A b

1 + ab. B

a

1 + ab. C

ab

1 + ab. D

1
1 + ab.

Lời giải.

Ta có

log₁₀₀₀27 = log₁₀327 =
1

3log1027 =
1
3 ·

log₂27
log₂10
= 1

3 ·

log₂33
log₂(2 · 5) =

1
3 ·

3 log₂3

1 + log₂5
= 3 log23

1 + log₂3 · log₃5 =
1
3·

3a
1 + ab

= a

1 + ab.

Chọn đáp án B _

Câu 66. Cho log 3 = a và log 5 = b. Tính log₆1125.
A 3a + 2b

a − 1 + b. B

2a + 3b

a + 1 − b. C

3a + 2b

a + 1 − b. D

3a − 2b

a + 1 + b.

Lời giải.

log₆1125 = log 1125
log 6 =

log(32_{· 5}3₎
logÅ 10

5 · 3
ã =

log 32_{+ log 5}3
log 10 − log 5 + log 3 =

2 log 3 + 3 log 5
log 10 − log 5 + log 3 =

2a + 3b
a + 1 − b

Chọn đáp án B _

Câu 67. Với mọi số a > 0; b > 0 thỏa mãn a2 + 9b2 = 10ab thì đẳng thức nào sau đây đúng

A lga + 3b
4 =

lg a + lg b

2 . B lg (a + 3b) = lg a + lg b.

C lg (a + 1) + lg b = 1. D 2 lg (a + 3b) = lg a + lg b.

</div>
<span class='text_page_counter'>(69)</span><div class='page_container' data-page=69>

Ta có a2+ 9b2 = 10ab ⇔ a2+ 6ab + 9b2 = 16ab
⇔Å a + 3b

4
ã2

= ab ⇔ 2 lga + 3b

4 = lg ab

⇔ lga + 3b
4 =

lg a + lg b
2 .

Chọn đáp án A _

Câu 68. Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7, 4%/năm. Biết rằng

nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người
ta gọi đó là lãi kép). Để lãnh được số tiền ít nhất 250 triệu thì người đó cần gửi trong khoảng thời gian

bao nhiêu năm? (nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi)

A 13 năm . B 12 năm . C 14 năm . D 15 năm .

Lời giải.

Gọi n là số năm người đó có 250 triệu.

Ta có: 250 · 106 _{= 100 · 10}6_{(1 + 7, 4%)}n _{⇔ n = log}
1+7,4%

Å 250 · 106
100 · 106

ã

≈ 13 (năm).

Chọn đáp án A _

Câu 69. Cho a, b, c là ba số thực dương, khác 1 và abc 6= 1. Biết log_a3 = 2, log_b3 = 1

4, logabc3 =
2
15.
Khi đó, giá trị của log_c3 bằng bao nhiêu?

A log_c3 = 1

3. B logc3 =

1

2. C logc3 = 3. D logc3 = 2.

Lời giải.

Ta có: log_abc3 = 2

15 ⇒ log3abc =
15

2 ⇔ log3a + log3b + log3c =
15

2 ⇔
1
log_a3 +

1

log_b3+ log3c =
15

2

⇔ log₃c = 15
2 −

1

2 − 4 = 3 ⇔ logc3 =

1
3.

Chọn đáp án A _

Câu 70. Cho a, b, c là các số thực dương khác 1. Biết log_ac = 2, log_bc = 3. Tính P = log_c(ab).

A P = 5

6. B P = 1. C P =

2

3. D P =

1
2.

Lời giải.

Ta có log_c(ab) = log_ca + log_cb = 1
log_ac+

1
log_bc =

1
2+

1

3 =

5
6.

Chọn đáp án A _

Câu 71. Cho log₁₂27 = a. Hãy biểu diễn log₆24 theo a.
A log₆24 = a − 9

a + 3. B log624 =

9 − a

a + 3. C log624 =

a − 9

a − 3. D log624 =
9 − a
a − 3.

Lời giải.

Ta có log₁₂27 = 3 log₁₂3 = 3

log₃3 + log₃4 =

3
1 + 2 log₃2

Mà log₁₂27 = a ⇒ 3

1 + 2 log₃2 = a ⇒
3 − a

2a = log32 ⇒ log23 =
2a
3 − a.

Do đó log₆24 = log₆6 + log₆4 = 1 + 2 log₆2 = 1 + 2

log₂6 = 1 +

2

log₂2 + log₂3 = 1 +
2
1 + log₂3
= 1 + 2

1 + 2a
3 − a

</div>
<span class='text_page_counter'>(70)</span><div class='page_container' data-page=70>

Chọn đáp án B _

Câu 72. Tổng các nghiệm của phương trình log₂(3.2x_{− 2) = 2x là}

A 3. B 1. C 2. D 4.

Lời giải.

Điều kiện : 3.2x− 2 > 0 ⇔ 3.2x _{> 2 ⇔ 2}x _> 2

3. Khi đó phương trình:

log₂(3.2x− 2) = 2x ⇔ 3.2x_{− 2 = 2}2x _{⇔ 2}2x_{− 3.2}x_{+ 2 = 0 ⇔}
"

2x = 1 thỏa đk
2x = 2 thỏa đk

⇔
"

x = 0

x = 1
.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là: 0 + 1 = 1

Chọn đáp án B _

Câu 73. Giả sử trong khai triển (1 + ax) (1 − 3x)6 _{với a ∈ R thì hệ số của số hạng chứa x}3 là 405.
Tính a.

A 9. B 6. C 7. D 14.

Lời giải.

Ta có (1 + ax) · (1 − 3x)6 _{= (1 + ax) ·}
6
X

k=0

Ck₆(−3)kxk.

Số hạng chứa x3 là 1 · C3₆(−3)3x3 + ax · C2₆(−3)2x2 = (135a − 540)x3.
Theo giả thiết suy ra 135a − 540 = 405 ⇔ a = 7.

Chọn đáp án C _

Câu 74. Cho dãy (un) là một cấp số nhân có tất cả các số hạng đều dương và có cơng bội q. Xét dãy
(vn) với vn = logaun (∀n ∈ N∗), trong đó 0 < a 6= 1. Xác định công sai d của cấp số cộng (vn).

A d = log_a 1

q. B d = loga2q. C d = logaq. D d = logaq
2_.

Lời giải.

Ta có un= q · un−1 ⇔ logaun= loga(q · un−1) = logaq + logaun−1⇔ vn= logaq + vn−1.
Do đó (vn) là cấp số cộng với công sai d = logaq.

Chọn đáp án C _

Câu 75. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn log₄a = log₆b = log₉(a + b). Tính a
b.

A 1

2. B

−1 +√5

2 . C

−1 −√5

2 . D

1 +√5
2 .

Lời giải.

Đặt t = log₄a = log₆b = log₉(a + b) ⇒









a = 4t
b = 6t

a + b = 9t

⇒ a
b =

Å 2
3

ãt
> 0.

Vậy ta có a + b = 9t⇔ 4t_{+ 6}t_{= 9}t _⇔Å 2
3

ã2t
+Å 2

3
ãt

− 1 = 0 ⇒ t = −1 +
√

5
2 .

Chọn đáp án B 

Câu 76. Cho log₃Ä√a2_{+ 9 + a}ä_{= 2. Giá trị biểu thức log}
3

Ä

2a2 _{+ 9 − 2a}√_a2_{+ 9}ä _bằng

A 3. B 0. C 2. D 4.

</div>
<span class='text_page_counter'>(71)</span><div class='page_container' data-page=71>

Từ giả thiết có √a2_{+ 9 + a = 9 ⇔}√_a2_{+ 9 − a = 1. Ta có}
log₃Ä2a2 + 9 − 2a√a2_{+ 9}ä_{= log}

3
Ä√

a2_{+ 9 − a}ä2 _{= log}

31 = 0.

Chọn đáp án B 

Câu 77. Cho dãy số (un) thỏa mãn ln(u3 − 4) = ln(2un − 4n + 3) với mọi n ∈ N∗. Tính tổng
S100 = u1 + u2+ · · · + u100.

A 4950. B 10000. C 9999. D 10100.

Lời giải.

Theo giả thiết, ta có

2un− 4n + 3 = u3− 4, ∀n ∈ N∗
⇒ un =

u3+ 4n − 7

2 , ∀n ∈ N
∗

.

Thay n = 3, ta được u3 = 5, do đó un= 2n − 1, ∀n ∈ N∗. Vậy

S100 =
100
X

n=1
un=

100
X

n=1

(2n − 1) = 100(1 + 199)

2 = 10000.

Chọn đáp án B _

Câu 78. Cho các số thực a, b thỏa mãn √3 a14 _> √4

a7_{, log}
b 2

√

a + 1
< log_b √a +√a + 2
. Khẳng
định nào sau đây là đúng?

A a > 1, b > 1. B 0 < a < 1 < b.

C 0 < b < 1 < a. D 0 < a < 1, 0 < b < 1.

Lời giải.

Điều kiện để các căn thức có nghĩa là a > 0.

Ta có √3a14 _>√4

a7 _{⇔ a}14₃ _{> a}7₄ _{⇒ a > 1.} ₍₁₎

Xét hiệu 2√a + 1
2− √a +√a + 2
2 = 4a + 4 −Ä2a + 2 + 2pa(a + 2)ä = 2a + 2 − 2pa(a + 2).
Vì a > 1 nên 2a + 2 = a + a + 2 ≥ 2pa(a + 2), dấu “ = ” không xảy ra.

Vậy

2a + 2 > 2»a(a + 2) ⇔ Ä2√a + 1ä2−Ä√a +√a + 2ä2 > 0
⇔ Ä2√a + 1ä2 >Ä√a +√a + 2ä2
⇒ 2√a + 1 >√a +√a + 2.

Từ đó ta có log_b 2√a + 1
< log_b √a +√a + 2
⇒ 0 < b < 1. (2)

Từ (1) và (2) suy ra 0 < b < 1 < a.

Chọn đáp án C _

Câu 79. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 2x = 3y = 6−z. Giá trị của biểu thức M = xy + yz + xz
là

A 0. B 6. C 3. D 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(72)</span><div class='page_container' data-page=72>

Đặt 2x _{= 3}y _{= 6}−z _{= t > 0 ⇒}









x = log₂t
y = log₃t
z = − log₆t

.

Mặt khác log₆t = 1
log_t6 =

1

log_t3 + log_t2 =

1
1
log₃t +

1
log₂t

= log3t · log2t
log₃t + log₂t.
Khi đó M = xy + yz + xz = log₂t · log₃t − log₃t · log₆t − log₂t · log₆t = 0.

Chọn đáp án A _

Câu 80. Cho ba số thực dương a, b, c đều khác 1 thỏa mãn log_ab = 2 log_bc = 4 log_ca và a+2b+3c = 48.
Khi đó P = abc bằng bao nhiêu?

A 324. B 243. C 521. D 512.

Lời giải.

Do a, b, c là các số dương và đều khác 1 nên log_ab, log_bc, log_ca đều khác 0.
Ta có

log_ab = 2 log_bc ⇔ log_ab · log_bc = 2 log2_b c ⇔ log_ac = 2 log2_bc.
log_ab = 4 log_ca ⇔ log_ca · log_ab = 4 log2_ca ⇔ log_cb = 4 log2_ca.

Suy ra log_ac · log_cb = 8 log2_b c · log2_ca ⇔ log_ab = 8 log2_ba ⇔ log3_ab = 8 ⇔ log_ab = 2 ⇔ b = a2_.
Thế b = a2 _{vào log}

ab = 2 logbc ta được logbc = 1 hay b = c.
Theo giả thiết ta có

a + 2b + 3c = 48 ⇔ 5a2+ a − 48 = 0 ⇔



a = 3

a = −16
5 .

Vì a là số dương nên a = 3. Do đó b = c = 9.

Vậy P = abc = 3 · 9 · 9 = 243.

Chọn đáp án B _

Câu 81. Giả sử a, b là các số thực sao cho x3_{+ y}3 _{= a · 10}3z_{+ b · 10}2z _{đúng với mọi các số thực dương}
x, y, z thoả mãn log (x + y) = z và log (x2_{+ y}2_{) = z + 1. Giá trị của a + b bằng}

A 31

2 . B

29

2 . C −

31

2 . D −

25
2.

Lời giải.

Ta có

(

log (x + y) = z

log x2 + y2
= z + 1
⇔

(

x + y = 10z
x2+ y2 = 10 · 10z

⇒ xy = 10

2z_{− 10 · 10}z

2 .

Khi đó

x3+ y3 = (x + y) x2+ y2− xy
= 10z
Å

10 · 10z− 10

2z _{− 10 · 10}z
2

ã

= 15 · 102z − 1
2· 10

3z_.

Vậy a = 15, b = −1

2 ⇒ a + b =
29

2 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(73)</span><div class='page_container' data-page=73>

Câu 82. Cho dãy số (un) với 89 số hạng thỏa mãn un = tan n◦, ∀n ∈ N, 1 ≤ n ≤ 89. Gọi P là tích
của tất cả 89 số hạng của dãy số. Giá trị của biểu thức log P là

A 89. B 1. C 0. D 10.

Lời giải.

∀n ∈ N, 1 ≤ n ≤ 89, ta có tan (90◦ _{− n}◦_{) = cot n}◦ _{⇒ tan n}◦_{· tan(90}◦_{− n}◦_{) = 1. Khi đó}

P = u1· u2· · · u89 = tan 1◦· tan 2◦· · · tan 89◦

= (tan 1◦· tan 89◦_{) · (tan 2}◦_{· tan 88}◦_{) · · · (tan 44}◦_{· tan 46}◦_{) · tan 45}◦
= 1 · 1 · · · 1 = 1 ⇒ log P = 0.

Chọn đáp án C _

Câu 83. Cho log₇12 = x; log₁₂24 = y và log₅₄168 = axy + 1

bxy + cx (trong đó a, b, c là các số ngun).
Tính giá trị của biểu thức S = a + 2b + 3c.

A S = 4. B S = 19. C S = 10. D S = 15.

Lời giải.

Ta có

log₁₂24 log₂₄54 = log₁₂54 = log₁₂ 12
8

245 = 8 − 5 log1224 ⇒ log2454 =

8 − 5y

y ⇒ log5424 =
y
8 − 5y.

và

log₇54 = log₇12 log₁₂54 = x(8 − 5y) ⇒ log₅₄7 = 1
x(8 − 5y).

Từ đó ta có

log₅₄168 = log₅₄7 + log₅₄24 = xy + 1
−5xy + 8x

suy ra a = 1, b = −5, c = 8 ⇒ S = 1 + 2(−5) + 3 · 8 = 15.

Chọn đáp án D _

Câu 84. Với số thực a thỏa mãn a > 0 và a 6= 1 thì mệnh đề nào dưới đây đúng?

A log_axn _{= n log}

ax(x > 0).
B log_a√n_{x = n log}

ax(x > 0, n là số nguyên dương lẻ).
C log_anx = n log_ax(x > 0, n khác 0).

D log_axn = n log_ax(x 6= 0, n là số nguyên dương chẵn).

Lời giải.

Theo định lí 3(bài Logarit) thì: Lơgarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với lơgarit của cơ số.

Chọn đáp án A _

Câu 85. Đặt a = log₂3 và b = log₅3. Hãy biểu diễn log₆45 theo a và b.

A log₆45 = a + 2ab

ab + b . B log645 =

2a2− 2ab
ab .

C log₆45 = a + 2ab

ab . D log645 =

2a2_{− 2ab}
ab + b .

Câu 86. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a2+ b2 _{= 23ab. Khẳng định nào sau đây là sai?}
A log₅(a + b) = 1 + log₂₅a + log₂₅b. B lna + b

5 =

</div>
<span class='text_page_counter'>(74)</span><div class='page_container' data-page=74>

C 2 log a + b

5 = log a + log b. D 2 log5(a + b) = 1 + log5a + log5b.

Lời giải.

Ta có a2_{+ b}2 _{= 23ab ⇔ (a + b)}2 _{= 25ab ⇔}Å a + b
5

ã2

= ab (*)

• Lấy lơgarit thập phân hai vế của (*), ta có

2 loga + b

5 = log a + log b.

• Lấy lơgarit tự nhiên hai vế của (*), ta được

2 lna + b

5 = ln(ab) = ln a + ln b ⇒ ln
a + b

5 =

ln a + ln b
2 .
• Lấy lơgarit cơ số 5 hai vế của (*) ta được

2 [log₅(a + b) − log₅5] = log₅(ab) ⇔ 2 [log₅(a + b) − 1] = log₅a + log₅b
⇔ log₅(a + b) = 1

2(log5a + log5b) + 1 = 1 + log25a + log25b.

• Lấy lơgarit cơ số 5 hai vế của (*), ta được

2 [log₅(a + b) − log₅5] = log₅(ab) ⇔ 2 log₅(a + b) = 2 + log₅a + log₅b.

Chọn đáp án D _

Câu 87. Cho f (x) = a lnÄx +√x2_{+ 1}ä_{+ b sin x + 6 với a, b ∈ R. Biết f (log (log e)) = 2. Tính giá trị}
của biểu thức f (log (ln 10)).

A 4. B 10. C 8. D 2.

Lời giải.

Hàm số f (x) có tập xác định R.

Đặt g(x) = f (x) − 6 (*), hàm số g(x) cũng có tập xác định R.
Dễ thấy ∀x ∈ R thì −x ∈ R, và ta có

g(−x) = f (−x) − 6 = a ln−x +»(−x)2_{+ 1}_{+ b sin(−x) = a ln}Ä√_x2_{+ 1 − x}ä_{− b sin x}
= a ln

Å

1
√

x2_{+ 1 + x}
ã

− b sin x = −a lnÄx +√x2_{+ 1}ä_{− b sin x = −g(x)}

Suy ra hàm số g(x) là hàm số lẻ trên R.
Ta thấy: log (ln 10) = log

Å
1
log e

ã

= − log (log e), nên nếu đặt t = log (ln 10) thì log (log e) = −t.

Theo giả thiết có f (−t) = 2, từ (*) ta có g(−t) = f (−t) − 6 = 2 − 6 = −4. Cần tính f (t).

Từ (*) và kết hợp hàm g là hàm số lẻ ta có: f (t) = g(t) + 6 = −g(−t) + 6 = 4 + 6 = 10.

Chọn đáp án B _

Câu 88. Cho hàm số f (x) = ln
Å

1 − 1
x2

ã

. Biết rằng f (2) + f (3) + · · · + f (2018) = ln a − ln b + ln c − ln d

với a, b, c, d là các số nguyên, trong đó a, b, d là các số nguyên tố và a < b < c < d. Tính P =
a + b + c + d.

A 1986. B 1698. C 1689. D 1968.

</div>
<span class='text_page_counter'>(75)</span><div class='page_container' data-page=75>

Ta có

f (2) + f (3) + · · · + f (2018) = ln
Å

1 − 1
22

ã
+ ln

Å
1 − 1

32
ã

+ · · · + ln
Å

1 − 1
20182

ã

= ln
ïÅ

1 − 1
22

ã Å
1 − 1

32
ã

· · ·
Å

1 − 1
20182

ãò

= ln(2

2_{− 1)(3}2_{− 1) · · · (2018}2_{− 1)}
(2 · 3 · · · 2018)2

= ln1 · 3 · 2 · 4 · 3 · 5 · · · 2017 · 2018
(2 · 3 · · · 2018)2

= ln(1 · 2 · 3 · · · 2017)(3 · 4 · 5 · · · 2019)
(2 · 3 · · · 2018)2 = ln

2017! ·2019!

1 · 2
(2018!)2
= ln 2019

2018 · 2 = ln

3 · 763

22_{· 1009} = ln 3 − ln 4 + ln 673 − ln 1009.
Vậy a + b + c + d = 3 + 4 + 673 + 1009 = 1689.

Chọn đáp án C _

Câu 89. Cho số thực a, b thoả mãn a > b > 1 và 1
log_ab +

1
log_ba =

√

2018. Giá trị của biểu thức

P = 1
log_abb −

1

log_aba bằng

A P =√2014. B P =√2016. C P =√2018. D P =√2020.

Lời giải.

Vì a > b > 1 nên ta có
(

log_ab < 1
log_ba > 1

⇒ log_ba − log_ab > 0. (1)
Ta thấy

1
log_ab +

1
log_ba =

√
2018

⇔ log_ba + 1
log_ba =

√
2018

⇔ log2_ba + 1

log2_ba = 2016. (2)

Ta thấy

P = 1
log_abb −

1
log_abb
⇔ P = log_b(ab) − log_a(ab)

⇔ P = log_ba − log_ab (3)

⇔ P = log_ba − 1
log_ba
⇔ P2 _{= log}2

ba +
1

log2_ba − 2 (4)

Từ (2) và (4) ta được P2 = 2014. (5)

Từ (1), (3) và (5) ta được P = √2014.

</div>
<span class='text_page_counter'>(76)</span><div class='page_container' data-page=76>

Câu 90. Gọi a là giá trị nhỏ nhất của f (n) = (log32) (log33) (log34) · · · (log3n)

9n , với n ∈ N, n > 2.
Có bao nhiêu số n để f (n) = a?

A 2. B 4. C 1. D Vô số.

Lời giải.

Ta thấy f (n) bé nhất khi và chỉ khi:

(

f (n) 6 f (n + 1)
f (n) 6 f (n − 1)

⇔







(log₃2) (log₃3) (log₃4) · · · (log₃n)

9n 6

(log₃2) (log₃3) (log₃4) · · · (log₃(n + 1))
9n+1

(log₃2) (log₃3) (log₃4) · · · (log₃n)

9n 6

(log₃2) (log₃3) (log₃4) · · · (log₃(n − 1))
9n−1

⇔
(

9 6 log3(n + 1)
log₃_{n 6 9}

⇔
(

n > 39− 1
n 6 39

⇔ n ∈ {39_{− 1, 3}9_}.

Vậy có hai giá trị của n thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án A _

Câu 91. Với log₂₇5 = a, log₃7 = b và log₂3 = c, giá trị của log₆35 bằng
A (3a + b)c

1 + b . B

(3a + b)c

1 + c . C

(3a + b)c

1 + a . D

(3b + a)c
1 + c .

Lời giải.

Ta có: log₂₇5 = a ⇔ 1

3log35 = a ⇔ log35 = 3a. Khi đó
log₆35 = log335

log₃6 =

log₃5 + log₃7
log₃2 + 1 =

3a + b
1
c + 1

= (3a + b)c
1 + c .

Chọn đáp án B _

Câu 92. Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn log_ab = 3

2, logcd =
5

4. Nếu a − c = 9, thì
b − d nhận giá trị nào?

A 85. B 71. C 76. D 93.

Lời giải.

• Ta có b = a32, d = c
5

4. Do b, d là các số nguyên dương nên a = x2, c = y4, với x, y là các số
nguyên dương.

• Ta có a − c = x2_{− y}4 _{= (x − y}2_{) · (x + y}2_{) = 9. Suy ra (x − y}2_{; x + y}2_{) = (1; 9). Dễ dàng suy ra}
x = 5, y = 2.

• Do đó, b − d = x3_{− y}5 _{= 93.}

Chọn đáp án D _

Câu 93. Cho S1 =
Ä

2 +√3ä2

2₊₄2_+·+20182

và S2 =
Ä

2 −√3ä1

2₊₃2_+·+20172

. Kết quả của log₂₆₊₁₅√

3(S1S2)
bằng

A 679057. B 579067. C 679067. D 470071.

Lời giải.

Ta có (2k)2_{− (2k − 1)}2 _{= 4k − 1 suy ra}

S1S2 =
Ä

2 +√3ä2

2₋₁2₊₄2₋₃2_+·+20182₋₂₀₁₇2

</div>
<span class='text_page_counter'>(77)</span><div class='page_container' data-page=77>

Vậy log₂₆₊₁₅√

3(S1S2) =
1

3log2+

√
3

Ä

2 +√3ä2037171 = 679057.

Chọn đáp án A _

Câu 94. Cho hàm số f (x) = log₂₀₁₇
Å _x

1 − x
ã

. Tổng S = f
Å ₁

2019
ã

+ f
Å ₂

2019
ã

+ · · · + fÅ 2018

2019

ã

bằng

A S = 1008. B S = 1. C S = 0. D S = 1009.

Lời giải.

Nếu a + b = 1 thì f (a) + f (b) = log₂₀₁₇ a

1 − a+ log2017
b

1 − b = log20171 = 0. Suy ra
S = f

Å
1
2019

ã

+ fÅ 2018
2019

ã
+ f

Å
2
2019

ã

+ f Å 2017
2019

ã

+ · · · + fÅ 1009
2019

ã

+ fÅ 1010
2019

ã
= 0.

Chọn đáp án C _

Câu 95. Giả sử f (x) = ln1 − x

1 + x. Tìm tất cả các giá trị của a, b thoả mãn đẳng thức f (a) + f (b) =

fÅ a + b
1 + ab

ã
.

A −1 < a < 1 và −1 < b < 1. B −1 < a ≤ 0 và −1 < b ≤ 0.
C a = b = 0. D 0 ≤ a < 1 và 0 ≤ b < 1.

Lời giải.

Tập xác định của hàm số f (x) là D = (−1; 1) nên ta phải có a, b ∈ (−1; 1). Ta có

f (a) + f (b) = ln1 − a
1 + a + ln

1 − b
1 + b = ln

(1 − a)(1 − b)
(1 + a)(1 + b)

= ln

1 − a + b
1 + ab

1 + a + b
1 + ab

= fÅ a + b
1 + ab

ã
.

Vậy với mọi a, b ∈ (−1; 1) ta đều có f (a) + f (b) = fÅ a + b
1 + ab

ã
.

Chọn đáp án A _

Câu 96. Cho a = log_m3 và b = log_n3, với m, n là các số thực dương khác 1. Tính P = log₃(nm2).
A P = ab

a + b. B P =

a + 2b

ab . C P =

2ab

a + b. D P =

2a + b
ab .

Lời giải.

Ta có P = log₃(nm2_{) = log}

3n + 2 log3m =
1
log_n3 +

2
log_m3 =

1
b +

2
a =

a + 2b
ab .

Chọn đáp án B _

Câu 97. Số nguyên dương lớn nhất không vượt quá A = 2
2018
31272 là

A 1. B 3. C 5. D 6.

Lời giải.

Ta có A = eln A = eln2201831272 = e2018 ln 2−1272 ln 3 ≈ 3,804.

</div>
<span class='text_page_counter'>(78)</span><div class='page_container' data-page=78>

Câu 98. Cho log₁₂3 = a. Tính log₂₄18 theo a.
A 3a − 1

3 − a . B

3a + 1

3 − a . C

3a + 1

3 + a . D

3a − 1
3 + a .

Lời giải.

Ta có a = log₁₂3 = log23
log₂12 =

log₂3

2 + log₂3 ⇒ log23 =
2a
1 − a.

Suy ra log₂₄18 = log2(3
2_{· 2)}
log₂(23_{· 3)} =

2 log₂3 + 1
3 + log₂3 =

1 + 2 · 2a
1 − a

3 + 2a
1 − a

= 3a + 1
3 − a .

Chọn đáp án B _

Câu 99. Đặt a = log₂3, b = log₅3. Nếu biểu diễn log₆45 = a(m + nb)

b(a + p) thì m + n + p bằng

A 3. B 4. C 6. D −3.

Lời giải.

Ta có

log₆45 = log245
log₂6 =

log₂(5 · 9)
log₂(2 · 3) =

log₂5 + 2 log₂3
1 + log₂3

= log23 · log35 + 2 log23
1 + log₂3 =

a
b + 2a

1 + a

= a + 2ab
ab + b =

a(1 + 2b)
b(a + 1) .

Theo đề bài log₆45 = a(m + nb)
b(a + p) ⇔

a(1 + 2b)
b(a + 1) =

a(m + nb)

b(a + p) suy ra m = 1, n = 2, p = 1. Vậy
m + n + p = 4.

Chọn đáp án B _

Câu 100. Số các chữ số của 52018 khi viết trong hệ thập phân là

A 1412. B 1409. C 1410. D 1411.

Lời giải.

Ta có log 52018 _{= 2018 log 5 có phần nguyên là 1410. Vậy số 5}2018 _{có 1410 + 1 = 1411 chữ số.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(79)</span><div class='page_container' data-page=79>

ĐÁP ÁN

1. C 2. B 3. C 4. C 5. C 6. D 7. B 8. A 9. D 10. C

11. A 12. C 13. B 14. D 15. D 16. C 17. A 18. A 19. A 20. C

21. A 22. C 23. D 24. C 25. A 26. C 27. D 28. B 29. C 30. A

31. D 32. A 33. B 34. B 35. B 36. B 37. A 38. D 39. B 40. D

41. A 42. A 43. A 44. D 45. C 46. D 47. C 48. A 49. D 50. B

51. B 52. B 53. D 54. D 55. C 56. D 57. A 58. A 59. C 60. A

61. D 62. B 63. C 64. C 65. B 66. B 67. A 68. A 69. A 70. A

71. B 72. B 73. C 74. C 75. B 76. B 77. B 78. C 79. A 80. B

81. B 82. C 83. D 84. A 85. A 86. D 87. B 88. C 89. A 90. A

</div>
<span class='text_page_counter'>(80)</span><div class='page_container' data-page=80>

<b>4</b> <b>MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO</b>

Câu 1. Đầu năm 2016, Curtis Cooper và các cộng sự tại nhóm nghiên cứu Đại học Central Mis-souri,

Mỹ cơng bố số nguyên tố lớn nhất tại thời điểm đó. Số nguyên tố này là một dạng Mersenne, có giá

trị bằng M = 274207281− 1. Hỏi M có bao nhiêu chữ số?

A 2233862. B 22338623. C 22338617. D 22338618.

Lời giải.

Nếu 10n ≤ M < 10n+1_{(n ∈ N}∗_{) thì số M có n + 1 chữ số.}
Trước hết, ta xác định số chữ số của M + 1 = 274207281_.
Ta có

10n≤ 274207281_{< 10}n+1_⇔
(

10n ≤ 274207281
10n+1 > 274207281

⇔
(

n ≤ log 274207281

n + 1 > log 274207281

⇔
(

n ≤ 74207281 · log 2 ≈ 22338617, 5

n + 1 > 74207281 · log 2 ≈ 22338618 ⇔ n = 22338617

Vậy M + 1 = 274207281 có n + 1 = 22338618 chữ số.
Bậy giờ, ta tìm số chữ số của M = 274207281_{− 1.}

Vì M + 1 là số có 22338618 chữ số nên M hoặc có 22338618 chữ số hoặc có 22338617 chữ số.

Nếu M có 22338617 chữ số thì M + 1 = 1022338617 _{⇔ 2}74207281 _{= 10}22338617 _{⇔ 2}51868664 _{= 5}22338617_.
Điều này là vô lý do 2 là số chẵn và 5 là số lẻ.

Vậy M = 274207281_{− 1 là số có 22338618 chữ số.}

Chọn đáp án D _

Câu 2. Đặt a = log₂3; b = log₃5. Biểu diễn đúng của log₂₀12 theo a, b là
A ab + 1

b − 2 . B

a + b

b + 2. C

a + 1

b − 2. D

a + 2

ab + 2.

Lời giải.

Từ giả thiết ta suy ra log₂5 = ab, từ đây ta tính được

log₂₀12 = 2 log₂₀2 + log₂₀3

= 2

log₂20+
1
log₃20

= 2

2 + log₂5+

1

2 log₃2 + log₃5

= 2

2 + ab +
1
2
a + b

= a + 2

ab + 2.

Chọn đáp án D _

Câu 3. Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn a2+ 9b2 = 10ab. Khẳng định nào sau đây đúng.
A log(a + 1) + log b = 1. B loga + 3b

4 =

</div>
<span class='text_page_counter'>(81)</span><div class='page_container' data-page=81>

C 3 log(a + 3b) = log a − log b. D 2 log(a + 3b) = log a + log b .

Lời giải.

Ta có

a2 + 9b2 = 10ab ⇔ (a + 3b)2 = 16ab.
Suy ra

log (a + 3b)2 _{= log(16ab) ⇔ 2 log (a + 3b) = 2 log 4 + log(ab) ⇔ log}a + 3b
4 =

log a + log b

2 .

Chọn đáp án B _

Câu 4. Cho các số dương a, b với 1 < a < b. Khẳng định nào sau đây đúng?

A log_ab < 1 < log_ba. B 1 < log_ab < log_ba. C log_ba < 1 < log_ab. D log_ba < log_ab < 1.

Lời giải.

∀a, b ta có 1 < a < b ⇒
(

0 < log_aa < log_ab
0 < log_ba < log_bb

⇒ log_ba < 1 < log_ab.

Chọn đáp án C _

Câu 5. Biết số nguyên dương M sẽ có chữ số đầu tiên là k (khi biểu diễn thập phân) nếu log k ≤
{log M } < log(k + 1) trong đó ký hiệu {a} chỉ phần lẻ của số thập phân a (ví dụ {300,2} = 0,2). Hỏi
số M = 2400 có chữ số đầu tiên là bao nhiêu?

A 3. B 2. C 1. D 4.

Lời giải.

Ta có

log M = log 2400 = 400 · log 2 ≈ 120,41.
Suy ra {log M } ≈ 0,41.

Rõ ràng log 2 < {log M } < log 3 nên chữ số chữ số đầu tiên của M là 2.

Chọn đáp án B _

Câu 6. Cho log₃₅81 = a, log₆₃49 = b. Tính log₅3 theo a, b.
A ab − 2b

ab + 4a − 8. B

2ab + 4b − 8

ab − 2a . C

4ab − b + 2a

2b − ab . D

ab − 2a
2ab + 4b − 8.

Lời giải.

• Theo giả thiết 1

a = log8135 =
1

4log35 +
1

4log37 (1) và
1

b = log4963 =

1

2 + log73.
• Suy ra log₇3 = 1

b −
1
2 =

2 − b

2b ⇒ log37 =
2b
2 − b.
• Ta có log₃5 = 4

a − log37 =
4
a −

2b
2 − b =

2ab + 4b − 8

a(b − 2) ⇒ log53 =

ab − 2a
2ab + 4b − 8.

Chọn đáp án D _

Câu 7. Cho biểu thức P = log_a3
a2
√

b − logba

6 _{(với a, b là các số thực dương lớn hơn 1). Mệnh đề nào}
sau đây đúng?

A Pmin = −
11

2 . B Pmax= −

4

3. C Pmin = −

4

3. D Pmax= −
11

2 .

Lời giải.

Ta có: P = log_a3

a2
√

b − logba
6 ₌ 2

3−
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(82)</span><div class='page_container' data-page=82>

Ta được P = 2
3−

t
6 −

6
t ⇒

2

3 − P =
t
6 +

6

t ≥ 2 ⇒ P ≤ −
4
3.
Dấu "=" xảy ra khi t

6 =
6

t ⇒ t = 6 ⇔ b = a
6_.
Vậy Pmax= −

4

3 ⇔ b = a

6 _{chẳng hạn a = 2, b = 64.}

Chọn đáp án B _

Câu 8. Cho x và y là hai số thực dương, x 6= 1 thỏa mãn (2 + log6y) (1 + log32)

log₅x = log35. Tính tỉ số
x

y.

A x

y = log65. B

x

y = 36. C

x
y =

1

36. D

x

y = log56.

Lời giải.

Ta có

(2 + log₆y) (1 + log₃2)

log₅x = log35
⇔ 2 + log₃4 + log₆y [1 + log₃2] = log₃x
⇔ log₆y log₃6 = log₃ x

36
⇔ log₃y = log₃ x

36
⇔ y = x

36
⇔ x

y = 36.

Chọn đáp án B _

Câu 9. Cho a, b, x > 0; a > b và b, x 6= 1 thỏa mãn log_x a + 2b

3 = logx
√

a + 1

log_bx2. Khi đó, tính
P = 2a

2 _{+ 3ab + b}2
(a + 2b)2 .

A P = 5

4. B P =

2

3. C P =

16

15. D P =

4
5.

Lời giải.

Ta có

log_x a + 2b

3 = logx
√

a + 1
log_bx2
⇔ log_x a + 2b

3 = logx
√

a + log_x2b
⇔ log_x a + 2b

3 = logx
√

a + log_x√b = log_x√ab
⇔ a + 2b

3 =
√

ab

⇔ (a + 2b)2 _{= 9ab}
⇔ a2_{− 5ab + 4b}2 _{= 0}
⇔

"

a = b (loại vì giả thiết a > b)

</div>
<span class='text_page_counter'>(83)</span><div class='page_container' data-page=83>

Với a = 4b thay vào P ta được P = 5
4.

Chọn đáp án A _

Câu 10. Cho hàm số f (x) = log₂
Ç

x −1
2 +

…

x2_{− x +}17
4

å

. Tính giá trị của biểu thức

T = f
Å

1
2019

ã
+ f

Å
2
2019

ã

+ · · · + fÅ 2018
2019

ã
.

A T = 2019

2 . B T = 2019. C T = 2018. D T = 1009.

Lời giải.

Ta có f (1 − x) = log₂
Ç

1 − x − 1
2+

…

(1 − x)2_{− (1 − x) +} 17
4

å

= log₂
Ç

−x +1
2+

…

x2_{− x +}17
4

å
.

Do đó f (x) + f (1 − x) = log₂
đ

x2_{− x +}17
4 −

Å
x − 1

2
ã2ô

= log₂4 = 2.

Vậy T = f
Å

1
2019

ã

+ fÅ 2018
2019

ã

+ · · · + fÅ 1009
2019

ã

+ fÅ 1010
2019

ã

= 1009 · 2 = 2018.

Chọn đáp án C _

Câu 11. Cho ba số a + log₂3, a + log₄3, a + log₈3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Cơng bội
của cấp số nhân đó bằng

A 1. B 1

4. C

1

2. D

1
3.

Lời giải.

Theo giả thiết ta có

(a + log₄3)2 = (a + log₂3) (a + log₈3) .
Suy ra

a2 + 2a log₄3 + (log₄3)2 = a2 + a (log₂3 + log₈3) + log₂3 · log₈3
⇔ a log₂3 + 1

4(log23)
2

= a4

3log23 +
1

3(log23)
2

⇔ 1
3a =

Å 1
4 −

1
3

ã
log₂3
⇔ a = −1

4log23.
Do đó a + log₂3 = 3

4log23 và a + log43 =
1

4log23. Suy ra công bội của cấp số nhân bằng
1
3.

Chọn đáp án D _

Câu 12. Tìm số nguyên dương n sao cho log₂₀₁₈2019 + 22_log√

20182019 + 32log√320182019 + · · · +
n2_log_n√

20182019 = 10102 · 20212log20182019.

A n = 2021. B n = 2019. C n = 2020. D n = 2018.

</div>
<span class='text_page_counter'>(84)</span><div class='page_container' data-page=84>

Ta có

log₂₀₁₈2019 + 22log√

20182019 + 3
2_log

3
√

20182019 + · · · + n
2_log

n
√

20182019 = 1010

2_{· 2021}2
⇔ 1 + 23+ 33 + · · · + n3
log₂₀₁₈2019 = 10102· 20212log₂₀₁₈2019

⇔ ï n(n + 1)
2

ò2

= 10102· 20212

⇔ n(n + 1)

2 = 1010 · 2021
⇔ n = 2020.

Chọn đáp án C _

Câu 13. Cho ba số thực dương x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi số

thực dương a (a 6= 1) thì log_ax, log√

ay, log√3_az lập thành cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức
P = 1959x

y +
2019y

z +
60z

x .

A 60. B 2019. C 4038. D 2019

2 .

Lời giải.

Ba số thực dương x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên y2 _{= xz ⇔} x
y =

y
z. (1)
Ba số log_ax, log√

ay, log√3_az lập thành cấp số cộng nên

2 log√

ay = logax + log√3_az ⇔ y4 = xz3 ⇔
y3
z3 =

x
y. (2)

Từ (1), (2) ta có y

3
z3 =

y
z ⇔

y

z = 1 (do y, z > 0), suy ra
x
y = 1,

x

z = 1 và
z
x = 1.
Vậy P = 1959 + 2019 + 60 = 4038.

Chọn đáp án C 

Câu 14. Gọi n là số nguyên dương sao cho 1
log₃x +

1
log₃2x

+ 1
log₃3x

+ · · · + 1
log₃nx

= 190

log₃x đúng
với mọi x dương, x 6= 1. Tìm giá trị của biểu thức P = 2n + 3.

A P = 23. B P = 41. C P = 43. D P = 32.

Lời giải.

Ta có

1
log₃x +

1
log₃2x

+ 1
log₃3x

+ · · · + 1
log₃nx

= 190
log₃x

⇔ 1

log₃x +
2
log₃x +

3

log₃x + · · · +
n
log₃x =

190
log₃x
⇔ 1 + 2 + 3 + · · · + n = 190 ⇔ n(n + 1)

2 = 190 ⇔ n = 19.

Vậy P = 2n + 3 = 41.

Chọn đáp án B _

</div>
<span class='text_page_counter'>(85)</span><div class='page_container' data-page=85>

A b = 2a. B b = a2_. _{C a = b}2_. _{D a = 2b.}

Lời giải.

Ta có

a log₂₀₁₉9 + b log₂₀₁₉673 = 2018 ⇔ log₂₀₁₉9a+ log₂₀₁₉673b = 2018
⇔ log₂₀₁₉ 9a· 673b_{= 2018}
⇔ 9a_{· 673}b _{= 2019}2018

⇔ 32a_{· 673}b _{= 673}2018_{· 3}2018
⇔ 6732018−b = 32a−2018. (1)
Do 673 và 3 nguyên tố cùng nhau nên từ (1) suy ra

(

2a = 2018

b = 2018 ⇔
(

a = 1009

b = 2018 ⇒ b = 2a.

Chọn đáp án A _

Câu 16. Cho x ∈


0;π
2



. Biết log sin x + log cos x = −1 và log (sin x + cos x) = 1

2(log n − 1). Giá trị
của n là

A 11. B 12. C 10. D 15.

Lời giải.

Ta có

−1 = log sin x + log cos x = log(sin x cos x) ⇒ sin x cos x = 1
10.

Lại có

log(sin x + cos x) = 1

2(log n − 1) ⇒ log(sin x + cos x)

2 _{= log} n
10

nên

(sin x + cos x)2 = n

10 ⇒ 1 + 2 sin x cos x =
n
10
⇒ n = 12.

Chọn đáp án B _

Câu 17. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn log₉a = log₁₂b = log₁₆(a + b). Tính tỉ số a

b.

A a
b =

1 −√5

2 . B

a
b =

−1 −√5

2 . C

a
b =

−1 +√5

2 . D

a
b =

1 +√5
2 .

Lời giải.

Đặt m = log₉a = log₁₂b = log₁₆(a + b) ⇒
(

a = 9m, b = 12m
a + b = 16m ⇒ 9

m_{+ 12}m _{= 16}m_. ₍₁₎

Ta có (1) ⇔Å 3
4

ã2m
+Å 3

4
ãm

− 1 = 0 ⇔







Å 3
4

ãm

= −1 −
√

5

2 < 0 (loại)
Å 3

4
ãm

= −1 +
√

5

2 (thỏa mãn).

Vậy ta có a
b =

Å 3
4

ãm

= −1 +
√

</div>
<span class='text_page_counter'>(86)</span><div class='page_container' data-page=86>

Chọn đáp án C _

Câu 18. Cho log₁₂18 = a. Khi đó log₂3 bằng
A 2a + 1

a − 2 . B

a − 2

2a − 1. C

2a − 1

a − 2 . D

2a − 1
2 − a .

Lời giải.

Ta có

log₁₂18 = a ⇒ a = ln 18
ln 12 =

ln 2 · 32
ln 22_{· 3}

⇒ a = ln 2 + 2 ln 3
2 ln 2 + ln 3 =

1 + 2 · ln 3
ln 2

2 + ln 3
ln 2

= 1 + 2 log23
2 + log₂3
⇒ a (2 + log₂3) = 1 + 2 log₂3

⇒ log₂3 = 2a − 1
2 − a .

Chọn đáp án D _

Câu 19. Cho x ∈0;π
2



, biết rằng

log₂(sin x) + log₂(cos x) = −2 và log₂(sin x + cos x) = 1

2(log2n + 1).
Giá trị của n bằng bao nhiêu?

A n = 1

4. B n =

5

2. C n =

1

2. D n =

3
4.

Lời giải.

Với x ∈0;π
2



thì sin x > 0 và cos x > 0, cho nên sin x + cos x > 0.

Lại có log₂n xác định khi n > 0.
Ta có

log₂(sin x) + log₂(cos x) = −2 ⇔ log₂(sin x cos x) = −2 ⇔ sin x cos x = 1
4.

Mặt khác

log₂(sin x + cos x) = 1

2(log2n + 1) ⇔ sin x + cos x = 2
1

2(log2n+1)_.
Suy ra

1 + 2 sin x cos x = 2log2n+1 ⇔ 1 + 2 · 1
4 = 2

log2n· 2 ⇔ 3

2 = 2n ⇔ n =
3

4 (thỏa mãn).

Vậy n = 3
4.

Chọn đáp án D _

Câu 20. Cho các số thực a, b thoả mãn 1 < a < b và log_ab + log_ba2 _{= 3. Tính giá trị biểu thức}
T = log_ab a

2_{+ b}
2 .
A 1

6. B

3

2. C 6. D

</div>
<span class='text_page_counter'>(87)</span><div class='page_container' data-page=87>

Lời giải.

log_ab + log_ba2 = 3
⇔ log_ab + 2 log_ba = 3
⇔ (log_ab)2− 3 log_ab + 2 = 0
⇔

"

log_ab = 1
log_ab = 2

⇔
"

a = b

b = a2.
Vì 1 < a < b nên ta chọn b = a2_{. Khi đó}

T = log_aba
2_{+ b}

2 = loga3a

2 ₌ 2

3logaa =
2
3.

Chọn đáp án D _

Câu 21. Cho log_ax = 2, log_bx = 3 với a, b là các số thực lớn hơn 1. Tính P = loga
b2

x.

A P = 6. B P = −6. C P = −1

6. D P =

1
6.

Lời giải.

Từ giả thiết ta suy ra 0 < x 6= 1.

Ta có P = 1
log_x a

b2

= 1

log_xa − 2 log_xb.
Mặt khác log_xa = 1

log_ax =
1

2, logxb =
1
log_bx =

1
3.

Thế vào P ta được P = 1
1
2−

2
3

= −6.

Vậy P = −6.

Chọn đáp án B _

Câu 22. _{Cho hàm số f (x) xác định trên R và có đạo hàm f}0(x) = 2x + 1 và f (1) = 5. Phương trình
f (x) = 5 có hai nghiệm x1, x2. Tính tổng S = log2|x1| + log2|x2|.

A S = 0. B S = 2. C S = 1. D S = 4.

Lời giải.

Ta có f (x) = x2+ x + C, f (1) = 5 ⇒ C = 3.
Do đó f (x) = 5 ⇔ x2_{+ x − 2 = 0 ⇔}

"
x = 1

x = −2

⇒ S = log₂|x1| + log2|x2| = 1.

Chọn đáp án C _

Câu 23. Cho a, b, c, d là các số nguyên dương, a 6= 1, c 6= 1 thỏa mãn log_ab = 3

2; logcd =
5
4 và
a − c = 9. Khi đó b − d bằng

A 93. B 9. C 13. D 21.

</div>
<span class='text_page_counter'>(88)</span><div class='page_container' data-page=88>

Ta có log_ab = 3

2 ⇒ a =
3
√

b2_{; log}
cd =

5

4 ⇒ c =
5
√

d4_.
Lại có a − c = 9 ⇔ √3 b2₋√5

d4 _{= 9 ⇔}Ä√3

b −√5 d2ä Ä√3

b +√5 d2ä _{= 9.}
Vì a, b, c, d là các số nguyên dương nên √3 b2_, √5

d4 _{nguyên dương, do đó} √3
b, √5

d nguyên dương

⇒
(√3

b −√5d2 _{= 1}
3

√

b +√5 d2 _{= 9} ⇔
(√3

b = 5

5
√

d2 _{= 4} ⇔
(

b = 125

d = 32.

Do đó b − d = 93.

Chọn đáp án A _

Câu 24. Biết log₁₂27 = a. Tính log₆16 theo a.

A 4(3 − a)

3 + a . B

4(3 + a)

3 − a . C

3 − a

4(3 + a). D

3 + a
4(3 − a).

Lời giải.

Ta có

a = log₁₂27 = 3 log₁₂3 = 3
log₃12 =

3

1 + 2 log₃2 ⇒ log32 =
1
2·

Å 3
a − 1

ã

= 3 − a
2a .

⇒ log₆16 = 4 log₆2 = 4
log₂6 =

4

1 + log₂3 =
4

1 + 2a
3 − a

= 4(3 − a)
3 + a .

Chọn đáp án A _

Câu 25. Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn log_4a+5b+1(16a2_{+ b}2_{+ 1) + log}

8ab+1(4a + 5b + 1) = 2. Giá trị của
a + 2b bằng

A 9. B 6. C 27

4 . D

20
3 .

Lời giải.

Do a, b > 0 nên
(

16a2 + b2 _{> 2}
√

16a2_b2

4a + 5b + 1 > 1 ⇒ log4a+5b+1(16a
2_{+ b}2

+ 1) > log4a+5b+1(8ab + 1).

Do đó log_4a+5b+1(16a2+ b2+ 1) + log_8ab+1_{(4a + 5b + 1) > log}_4a+5b+1(8ab + 1) + log_8ab+1(4a + 5b + 1)
> 2 (áp dụng BĐT Cô-si).

Dấu bằng xảy ra ⇔
(

16a2 = b2 ; a > 0, b > 0
8ab + 1 = 4a + 5b + 1

⇔
(

4a = b > 0

2b2+ 1 = 6b + 1
⇔





a = 3

4
b = 3.

Vậy a + 2b = 27
4 .

Chọn đáp án C _

Câu 26. Cho các số dương a, b, c khác 1 thỏa mãn a = bc, b = ca, c = ab. Khẳng định nào sau đây là
đúng?

A abc = 1. B abc = a + b + c. C abc = a + b + c

3 . D abc =
3
a + b + c.

Lời giải.

Logarit hóa cả hai vế của các đẳng thức đã cho ta có











ln a = c ln b

ln b = a ln c

ln c = b ln a

</div>
<span class='text_page_counter'>(89)</span><div class='page_container' data-page=89>

Do a, b, c 6= 1 nên ln a, ln b, ln c 6= 0. Suy ra abc = 1.

Chọn đáp án A 

Câu 27. Cho f (x) = lnÄx +√x2_{+ 1}ä_{+ mx}5_{+ 2 với m ∈ R. Biết rằng f (log(log e)) = 6. Tính giá trị}
của f (log(ln 10)).

A f (log(ln 10)) = −2. B f (log(ln 10)) = 8. C f (log(ln 10)) = −6. D f (log(ln 10)) = 4.

Lời giải.

• Ta có f (−x) = lnÄ−x +√x2_{+ 1}ä_{− mx}5_{+ 2 = ln}
Å

1
x +√x2_{+ 1}

ã

− mx5_{+ 2}
= − lnÄx +√x2_{+ 1}ä_{− mx}5_{+ 2.}

• ∀x, ta có f (x) + f (−x) = 4. Mà log(ln 10) = log
Å

1
log e

ã

= − log(log e).

• Do đó f (log(log e)) + f (log(ln 10)) = 4 ⇒ f (log(ln 10)) = 4 − 6 = −2.

Chọn đáp án A _

Câu 28. Cho a là số thực dương và khác 1. Mệnh đề nào sau đây sai?

A log 1
a3

a = −1

2. B a
log√

a3 _{= 9.} _{C log}
a

1

a3 = −3. D loga3

1
a =

1
3.

Lời giải.

• A Đúng. Vì log1
a2

= log_a−2a = −
1
2.
• B Đúng. Vì alog√

a3 = aloga
1
2
3

= a2loga3 _{= a}loga3
2 = 9.
• C Đúng. Vì log_a 1

a3 = logaa

−3 _{= −3.}
• D Sai. Vì log_a3

1
a =

1

3logaa =
1
3.

Chọn đáp án D _

Câu 29. Biết log₂(log₈x) = log₈(log₂x). Tính log₂x.

A √26. B 3√3. C 0. D √3

9.

Lời giải.

log₂(log₈x) = log₈(log₂x)
⇔ log₂Å 1

3log2x
ã

= 1

3log2(log2x)
⇔ log₂1

3 + log2(log2x) =
1

3log2(log2x)
⇔ 2

3log2(log2x) = − log2
1

3 = log23
⇔ log₂(log₂x) = log₂Ä332

ä

⇔ log₂x = 3√3.

Chọn đáp án B _

Câu 30. Cho hàm số f (x) = 4x9x2. Khẳng định nào sau đây là sai?

A f (x) < 1 ⇔ x (log 4 + log 9x) < 0. B f (x) < 1 ⇔ log 4 + log 9x < 0.

C f (x) < 1 ⇔ x + x2log₄9 < 0. D f (x) > 1 ⇔ x + x2log₄9 > 0.

Lời giải.

Ta có f (x) < 1 ⇔ log₄f (x) < log₄1 ⇔ x + x2_log

</div>
<span class='text_page_counter'>(90)</span><div class='page_container' data-page=90>

Chọn đáp án B _

Câu 31. Cho dãy số (un) thỏa mãn ln2u6 − ln u8 = ln u4 − 1 và un+1 = un· e với mọi n ≥ 1. Tìm
u1.

A e−4. B e−3. C e2. D e.

Lời giải.

Vì un+1 = un· e nên dãy (un) là cấp số nhân với cơng bội q = e.

Theo đề ta có ln2u6− (ln u8+ ln u4) + 1 = 0 ⇔ ln2u6− ln(u8· u4) + 1 = 0.
Mặt khác, ta có u8· u4 = u1· q7· u1· q3 = u21 · q10= (u1· q5)

2
= u2

6.
Do đó phương trình đã cho tương đương với

ln2u6− ln u26+ 1 = 0 ⇔ ln
2_u

6− 2 ln u6+ 1 = 0 ⇔ ln u6 = 1 ⇔ u6 = e ⇔ u1· e5 = e ⇔ u1 = e−4.

Chọn đáp án A _

Câu 32. Cho x, y là các số dương thỏa mãn log₉x = log₆y = log₄ x + y

6 . Tính P =
x
y.

A P = 2

3. B P = 2. C P = 1. D P =
1
3.

Lời giải.

Đặt log₉x = log₆y = log₄ x + y

6 = t. Từ đó ta có












x = 9t
y = 6t

x + y

6 = 4
t

⇒ x(x + y)
6 = y

2 _⇔Å x
y

ã2
+x

y − 6 = 0 ⇔




x

y = 2 (Thỏa mãn)
x

y = −3 (Loại).

Chọn đáp án B _

Câu 33. Cho x và y là các số thực lớn hơn 1 và thỏa mãn x2 _{= xy + 6y}2_{. Tính giá trị của P =}
1 + log₁₂x + log₁₂y

2 log₁₂(x + 3y) + 1.

A P = 3. B P = 4. C P = 2. D P = 1.

Lời giải.

Với điều kiện x, y là các số thực lớn hơn 1 ta có

x2 = xy + 6y2 ⇔ x2_{− 3xy + 2xy − 6y}2 _{= 0 ⇔ x(x − 3y) + 2y(x − 3y) = 0}
⇔ (x − 3y)(x + 2y) = 0 ⇔ x − 3y = 0 ⇔ x = 3y.

Khi đó

P = 1 + log123y + log12y

2 log₁₂6y + 1 =

log₁₂12 + log₁₂3y + log₁₂y

log₁₂(6y)2 + 1 =

log₁₂36y2

log₁₂36y2 + 1 = 2.

Chọn đáp án C _

Câu 34. Biết log_ax = log_by = N , với a, b, x, y là các số thực dương và a, b khác 1. Khi đó N bằng
A log_ab x

</div>
<span class='text_page_counter'>(91)</span><div class='page_container' data-page=91>

Lời giải.

Ta có
(

log_ax = N
log_by = N

⇔
(

x = aN
y = bN

. Suy ra xy = aN _{· b}N _{= (ab)}N _{⇔ N = log}

ab(xy).

Chọn đáp án C _

Câu 35. Cho a, b > 0 và 2 log₂b − 3 log₂a = 2. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A 2b − 3a = 2. B b2 _{= 4a}3_. _{C 2b − 3a = 4.} _{D b}2_{− a}3 _{= 4.}

Lời giải.

Từ giả thiết ta có log₂Å b
2
a3

ã

= 2 ⇔ b2 _{= 4a}3_.

Chọn đáp án B _

Câu 36. Cho log₃Ä√a2_{+ 9 + a}ä_{= 2. Giá trị biểu thức log}
3

Ä

2a2 _{+ 9 − 2a}√_a2_{+ 9}ä _bằng

A 0. B 2. C 3. D 4.

Lời giải.

Ta có Ä√a2_{+ 9 + a}ä Ä√_a2_{+ 9 − a}ä _{= 9.}

Từ giả thiết ta có √a2_{+ 9 + a = 9 ⇔}√_a2_{+ 9 − a = 1. Ta có}
log₃Ä2a2+ 9 − 2a√a2_{+ 9}ä _{= log}

3
Ä

a2+ 9 − 2a√a2_{+ 9 + a}2ä
= log₃Ä√a2_{+ 9 − a}ä2 _{= log}

31 = 0.

Chọn đáp án A 

Câu 37. Cho log₇12 = x; log₁₂24 = y và log₅₄168 = axy + 1

bxy + cx (trong đó a, b, c là các số ngun).
Tính giá trị của biểu thức S = a + 2b + 3c.

A S = 4. B S = 19. C S = 10. D S = 15.

Lời giải.

Ta có

log₁₂24 log₂₄54 = log₁₂54 = log₁₂ 12
8

245 = 8 − 5 log1224 ⇒ log2454 =

8 − 5y

y ⇒ log5424 =
y
8 − 5y.

và

log₇54 = log₇12 log₁₂54 = x(8 − 5y) ⇒ log₅₄7 = 1
x(8 − 5y).

Từ đó ta có

log₅₄168 = log₅₄7 + log₅₄24 = xy + 1
−5xy + 8x

suy ra a = 1, b = −5, c = 8 ⇒ S = 1 + 2(−5) + 3 · 8 = 15.

Chọn đáp án D _

Câu 38. Xét các số thực a, b thỏa mãn a ≥ b > 1. Biết rằng P = 1
log_aba +

…
log_aa

b đạt giá trị lớn
nhất khi b = ak. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A k ∈
Å

0;3
2

ã

. B k ∈ (−1; 0). C k ∈Å 3
2; 2

ã

. D k ∈ (2; 3).

</div>
<span class='text_page_counter'>(92)</span><div class='page_container' data-page=92>

Ta có P = 1 + log_ab +p1 − log_ab. Đặt t =p1 − log_ab ⇒ t ∈ (0; 1] và P = f (t) = −t2+ t + 2.
Do tam thức −t2+ t + 2 có hồnh độ đỉnh t = 1

2 ∈ (0; 1] nên max(0;1] f (t) = f
Å 1

2
ã

. Khi đó log_ab = 3
4 ⇒

k = 3
4.

Chọn đáp án A _

Câu 39. Cho hai số thực a, b > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 1
log_(ab)a +

1
log√4

abb
.

A min S = 4

9. B min S =

9

4. C min S =

9

2. D min S =
1
4.

Lời giải.

S = log_a(ab) + 1

4logb(ab) = 1 + logab +
1

4(1 + logba) = logab +
1
4 log_ab +

5
4
Vì a > 1, b > 1 nên log_ab > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có

S ≥ 2
 

log_ab. 1
4 log_ab +

5

4 = 1 +
5
4 =

9
4

Dấu “ = ” xảy ra khi log_ab = 1

4 log_ab ⇔ (logab)
2

= 1
4 ⇔






log_ab = −1
2(l)

log_ab = 1

2(T M )
Với log_ab = 1

2 ⇔ b = a
1
2

Chọn đáp án B _

Câu 40. Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện 3a − 4 > b > 0 và biểu thức P = log_aÅ a
3
4b

ã
+

3
16

Å
log 3a

4+b
a

ã2

có giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S = 3a + b.

A 8. B 13

2 . C

25

2 . D 14.
Câu 41. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ sau có nghiệm

(
32x+

√

x+1 _{− 3}2+√x+1

+ 2017x ≤ 2017

x2− (m + 2)x + 2m + 3 ≥ 0

A m ≥ −3. B m > −3. C m ≥ −2. D m ≤ −2.

Lời giải.

Điều kiện xác định: x ≥ −1.

Xét −1 ≤ x ≤ 1 ta có:2017x ≤ 2017 (1).

Và 2x ≤ 2 ⇔ 32x_{≤ 3}2 _{⇔ 3}2x_{· 3}√x+1 _{≤ 3}2_{· 3}√x+1

⇔ 32x+√x+1 _{≤ 3}2+√x+1 _{⇔ 3}2x+√x+1_{− 3}2+√x+1 _{≤ 0} _(2).

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có: 32x+

√

x+1 _{− 3}2+√x+1_{+ 2017x ≤ 2017}
Do đó bất phương trình 32x+

√

x+1_{− 3}2+√x+1_{+ 2017x ≤ 2017 (I) thỏa mãn −1 ≤ x ≤ 1.}
Xét x > 1 tương tự ta có: 2017x > 2017 (3).

và 2x > 2 ⇔ 32x> 32 ⇔ 32x_{· 3}√x+1 _{> 3}2_{· 3}√x+1

⇔ 32x+√x+1 _{> 3}2+√x+1 _{⇔ 3}2x+√x+1_{− 3}2+√x+1 _{> 0} _(4).

</div>
<span class='text_page_counter'>(93)</span><div class='page_container' data-page=93>

không thỏa mãn x > 1.

Vậy bất phương trình (I) có nghiệm là: −1 ≤ x ≤ 1.

Để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm thì bất phương trình x2_{− (m + 2)x + 2m + 3 ≥ 0 (II) phải}
có nghiệm thỏa mãn −1 ≤ x ≤ 1.

Khi đó: x2− (m + 2)x + 2m + 3 ≥ 0(II) ⇔ x2_{− 2x + 3 ≥ m(x − 2) ⇔ m ≥} x

2 _{− 2x + 3}
x − 2 .

Xét hàm số g(x) = x

2_{− 2x + 3}

x − 2 với −1 ≤ x ≤ 1.

⇒ g0_{(x) =} x2 − 4x + 1

(x − 2)2 = 0 ⇔
"

x = 2 −√3 ∈ [−1; 1]

x = 2 +√3 /∈ [−1; 1]
Ta có bảng biến thiên:

x

y0

y

−1 2 −√3 1

+ 0 −

−2
−2

2 − 2√3
2 − 2√3

−2
−2

Dựa vào bảng biến thiên, hệ bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ −2.

Chọn đáp án C _

Câu 42. Cho 0 ≤ x; y ≤ 1 thỏa mãn 20171−x−y = x

2_{+ 2018}

y2_{− 2y + 2019}. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 _{+ 3y)(4y}2 _{+ 3x) + 25xy. Khi đó M + m bằng bao}
nhiêu?

A 136

3 . B

391

16 . C

383

16. D

25
2 .

Lời giải.

Biến đổi giả thiết 2017
1−y
2017x =

x2_{+ 2018}

(1 − y)2_{+ 2018}. Xét f (t) = 2017

t_(t2 _{+ 2018) với 0 ≤ t ≤ 1. Ta thu được}
x + y = 1. Xét S = 16(xy)2_{− 2(xy) + 2 với 0 ≤ xy ≤} 1

4. Lập bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của
S là 25

2 , giá trị nhỏ nhất là
191

16 .

Chọn đáp án B _

Câu 43. Cho biểu thức A = log (2017 + log (2016 + log (2015 + log (· · · + log (3 + log 2) · · · )))). Biểu

thức A có giá trị thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A (log 2017; log 2018). B (log 2019; log 2020). C (log 2018; log 2019). D (log 2020; log 2021).

Lời giải.

Đặt An = log (n + log (n − 1 + log (n − 2 + log (· · · + log (3 + log 2) · · · )))), khi đó An = log (n + An−1).
Ta nhận thấy 0 < log 2 = A2 < 1, từ đó suy ra

0 < log 3 < A3 = log (3 + A2) < log 4 < A4 < · · · < log 9 < A9 = log (9 + A9) < log 10 = 1.
Tương tự ta có

1 = log 10 < A10= log (10 + A9) < · · · < log 99 < A98= log (98 + A97) < log 100 = 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(94)</span><div class='page_container' data-page=94>

Từ đó suy ra 3 < log 2020 < A2017 = log (2017 + A2016) < log 2021.
Vậy A ∈ (log 2020; log 2021).

Chọn đáp án D _

Câu 44. Với mọi số thực dương a và b thỏa mãn a2_{+ b}2 _{= 8ab, mệnh đề nào dưới đây đúng?}
A log(a + b) = 1

2(log a + log b). B log(a + b) =

1

2(1 + log a + log b).

C log(a + b) = 1

2 + log a + log b. D log(a + b) = 1 + log a + log b.

Lời giải.

Với a, b > 0 ta có

a2+ b2 = 8ab ⇔ (a + b)2 = 10ab ⇔ log(a + b)2 = log(10ab)
⇔ 2 log(a + b) = log(10) + log a + log b

⇔ log(a + b) = 1

2(1 + log a + log b).

Vậy với mọi số thực dương a và b thỏa mãn a2+ b2 = 8ab, mệnh đề đúng là
“log(a + b) = 1

2(1 + log a + log b)”.

Chọn đáp án B 

Câu 45. Cho f (n) = (n2_{+ n + 1)}2_{+ 1, ∀n ∈ N}∗_{. Đặt u}
n =

f (1) · f (3) . . . f (2n − 1)

f (2) · f (4) . . . f (2n) . Tìm số n nguyên

dương nhỏ nhất sao cho un thỏa mãn điều kiện log2un+ un< −
10239

1024 .

A n = 23. B n = 29. C n = 21. D n = 33.

Lời giải.

Xét g(n) = f (2n − 1)
f (2n) =

(4n2− 2n + 1)2_{+ 1}
(4n2_{+ 2n + 1)}2_{+ 1}.
Đặt

(

a = 4n2+ 1
b = 2n ⇒

(

a ± 2b = (2n ± 1)2
a = b2+ 1

⇒ g(n) = (a − b)
2_{+ 1}
(a + b)2_{+ 1} =

a2_{− 2ab + b}2_{+ 1}
a2_{+ 2ab + b}2_{+ 1} =

a2 _{− 2ab + a}
a2_{+ 2ab + a} =

a − 2b + 1
a + 2b + 1 =

(2n − 1)2_{+ 1}
(2n + 1)2 _{+ 1}.
⇒ un =

n
Y

i=1

g(i) = 2
10 ·

10
26 ·

26
50· · ·

(2n − 1)2+ 1
(2n + 1)2_{+ 1} =

2

(2n + 1)2_{+ 1} =

1

2n2_{+ 2n + 1}.
Do đó, ta có log₂un+ un < −

10239

1024 ⇔ log2

1

2n2_{+ 2n + 1} +

1

2n2_{+ 2n + 1} < −
10239

1024 .
Thử từng đáp án, ta được kết quả.

Chọn đáp án A 

Câu 46. Cho log₉x = log₁₂y = log₁₆(x + 3y). Tính giá trị x
y.

A
√

13 − 3

2 . B

√

13 + 3

2 . C

√
5 − 1

2 . D

3 −√5
2 .

Lời giải.

Đặt log₉x = log₁₂y = log₁₆(x+3y) = t. Suy ra: x = 9t, y = 12t, x+3y = 16t. Khi đó ta có x(x+3y) = y2.
Chia hai vế cho y2 _{ta được phương trình} Å x

y
ã2

+ 3x

y − 1 = 0. Giải ra ta được
x
y =

√
13 − 3

2 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(95)</span><div class='page_container' data-page=95>

Câu 47. Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y + 1 = 2 · √x − 2 +√y + 3
. Giá trị lớn nhất của biểu

thức M = 3x+y−4+ (x + y + 1) · 27−x−y_{− 3 · (x}2_{+ y}2_{) bằng}
A −9476

243 . B −76. C

193

3 . D

148
3 .

Lời giải.

Điều kiện
(

x ≥ 2

y ≥ −3.
Ta có

x + y + 1 = 2Ä√x − 2 +py + 3ä

⇔ (x + y + 1)2 _{= 4 ·}Ä_{x + y + 1 + 2 ·}√_{x − 2 ·}_{py + 3}ä_. _(2.1)

Ta thấy 2 ·√x − 2 ·√y + 3 ≤ x + y + 1 nên từ (1) ta được

(x + y + 1)2 ≤ 8 · (x + y + 1)
⇒ x + y + 1 ≤ 8

⇒ x + y ≤ 7. (2.2)

Ta thấy 2 ·√x − 2 ·√y + 3 ≥ 0 nên từ (1) ta được

(x + y + 1)2 ≥ 4 · (x + y + 1)
⇔

"

x + y + 1 ≤ 0

x + y + 1 ≥ 4

⇔
"

x + y + 1 = 0 (vì x + y + 1 ≥ 0)

x + y + 1 ≥ 4

⇔
"

x + y = −1

x + y ≥ 3. (2.3)

Ta thấy
(

x2 ≥ 2x (do x ≥ 2)
y2+ 1 ≥ 2y

⇒ x2_{+ y}2 _{+ 1 ≥ 2(x + y). Khi đó, ta được}

M ≤ 3x+y−4+ (x + y + 1) · 27−x−y− 6 · (x + y) + 3.

Đặt t = x + y, từ (2) và (3) ta được t = −1 hoặc 3 ≤ t ≤ 7.
Xét hàm số f (t) = 3t−4_{+ (t + 1) · 2}7−t_{− 6 · t + 3.}

Ta có f (−1) = 2188
243 .

Ta có f0(t) = 3t−1· ln 3 + 27−t_{− (t + 1) · 2}7−t_{· ln 2 − 6.}

Ta có f00(t) = 3t−4· ln23 + [(t + 1) · ln 2 − 2] · 27−t· ln 2 > 0, ∀ t ∈ [3; 7].
Suy ra f0(t) đồng biến trên (3; 7).

</div>
<span class='text_page_counter'>(96)</span><div class='page_container' data-page=96>

t

f0(t)

f (t)

3 t0 7

− 0 +

148
3
148

3

f (t0)
f (t0)

−4
−4

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M = f (3) = 148
3 .

Chọn đáp án D _

Câu 48. Cho các số hạng dương a, b, c lần lượt là số hạng thứ m, n, p của một cấp số cộng và một

cấp số nhân. Tính giá trị của biểu thức

P = (b − c) log₃a + 2(c − a) log₉b + 3(a − b) log₂₇c.

A P = 3. B P = 1. C P = 0. D P = 2.

Lời giải.

Ta có

• a, b, c lần lượt là số hạng thứ m, n, p của cấp số cộng nên









a = u1+ (m − 1)d
b = u1+ (n − 1)d
c = u1 + (p − 1)d

trong đó u1, d

lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

• a, b, c lần lượt là số hạng thứ m, n, p của cấp số nhân nên









a = u0₁· qm−1

b = u0₁· qn−1
c = u0₁· qp−1

trong đó u0₁, q lần

lượt là số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.

Do đó,

P = (b − c) log₃a + 2(c − a) log₉b + 3(a − b) log₂₇c
= (n − p)d log₃ u0₁· qm−1<sub>
+ (p − m)d log</sub>

3 u
0
1· q

n−1<sub>
+ (m − n)d log</sub>
3 u

0
1· q

p−1

= (n − p)(m − 1)d log₃q + (p − m)(n − 1)d log₃q + (m − n)(p − 1)d log₃q
= [mn − n − mp + p + np − p − mn + m + mp − m − np + n] d log₃q = 0.

Chọn đáp án C _

Câu 49. Cho x, y là các số thực dương thỏa log₉x = log₆y = log₄

x + y

6


. Tính tỉ số x
y.
A x

y = 4. B

x

y = 3. C

x

y = 5. D

x
y = 2.

Lời giải.

Ta có log₉x = log₆y ⇔ y = 6log9x _{= (2.3)}
1

2log3x_{= 2}
1

2log3x_.3
1

2log3x _{= x.2}log3x

1
2 _.

Khi đó y
x =

x.2log3x

1
2

x =

Å 2log3x
x

ã
1
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(97)</span><div class='page_container' data-page=97>

Ta có log₉x = log₄x + y
6



⇒ x + y
6 = 4

log9x = 2log3x ⇒ y = 6.2log3x− x.
Khi đó y

x =

6.2log3x− x
x = 6 ·

2log3x

x − 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 6 · 2
log3x

x − 1 =

Å 2log3x
x

ã
1
2

⇒Å 2
log3x

x
ã

1
2

= 1
2 ⇒

x
y = 2.

Chọn đáp án D _

Câu 50. Xét các số thực dương x, y thỏa log₃ 1 − y

x + 3xy = 3xy + x + 3y − 4. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin
của biểu thức P = x + y.

A Pmin =

3√3 + 4

3 . B Pmin =

3√3 − 4

3 . C Pmin =

3√3 + 4

9 . D Pmin =

3√3 − 4
9 .

Lời giải.

Từ giả thiết: log₃ 1 − y

x + 3xy = 3xy + x + 3y − 4

⇔ log₃(1 − y) + 1 + 3(1 − y) = log₃(x + 3xy) + 3xy + x

⇔ log₃[3(1 − y)] + 3(1 − y) = log₃(x + 3xy) + (3xy + x) (∗).
Xét hàm số f (t) = log₃t + t ⇒ f0(t) = 1

t ln 3 + 1 > 0 ⇒ Hàm số f (t) đồng biến trên (0; +∞). Mặt
khác do x, y > 0 nên x + 3xy > 0 ⇒ 1 − y > 0 ⇒ 3(1 − y); 3xy + x ∈ (0; +∞). Do đó phương trình

(∗) ⇔ 3(1 − y) = x + 3xy ⇔ y = −x + 3

3x + 3 thế vào P ta được:

P = x + −x + 3

3x + 3 với x > 0 ⇒ P

0 _{= 1 −} 12
(3x + 3)2; P

0 _{= 0 ⇔}







x =
√

12 − 3

3 (thỏa mãn)

x = −
√

12 − 3
3 (loại)

Lập bảng biến thiên ta được min P = P
Ç √

12 − 3
3

å
= 4

√
3 − 4

3 .

Chọn đáp án B _

Câu 51. Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho

12_log

a2019 + 22log√a2019 + . . . + n2logn√_a2019 = 10102· 20192log_a2019.

A 2019. B 2018. C 2017. D 2016.

Lời giải.

V T = 12log_a2019 + 22log√

a2019 + . . . + n2logn√_a2019.
V T = 13log_a2019 + 23log_a2019 + . . . + n3log_a2019.
V T = (13+ 23+ . . . + n3) log_a2019.

V P = 10102_{· 2019}2_{· log}

a2019.
V T = V P ⇔ (13_{+ 2}3_{+ . . . + n}3_{) log}

a2019 = 10102· 20192 · loga2019
⇔ n

2_{(n + 1)}2

4 = 1010

2_.20192 _{⇔ (n}2 _{+ n) = (2020 · 2019)}2
⇔ n2_{+ n = 2020 · 2019 ⇔ n = 2019 vì n > 0.}

Chọn đáp án A _

Câu 52. Cho dãy số (un) thỏa mãn 22u1+1 + 23−u2 =

8

log₃Å 1
4u

2

3− 4u1+ 4

ã và un+1 = 2un với mọi

n ≥ 1. Giá trị nhỏ nhất của n để Sn= u1+ u2 + · · · + un> 5100 bằng

</div>
<span class='text_page_counter'>(98)</span><div class='page_container' data-page=98>

Lời giải.

Theo giả thiết un+1 = 2un nên (un) là một cấp số nhân có cơng bội q = 2. Suy ra un = u1 · 2n−1 với
mọi b ∈ N∗, n ≥ 2.

Ta lại có 22u1+1_{+ 2}3−u2 ₌ 8
log₃Å 1

4u
2

3− 4u1+ 4
ã

⇔ 2 · 4u1 ₊ 8
4u

1

= 8

log₃Å 1
4u

2

3− 4u1+ 4

ã (1).

Dễ thấy 2 · 4u1 + 8

4u1 ≥ 8 và

8

log₃Å 1

4u

2

3− 4u1+ 4
ã =

8

log₃đÅ 1
2u3− 1

ã2
+ 3

ơ ≤ 8 nên (1) tương đương

với 2 · 4u1 ₊ 8

4u1 = 8 và

8

log₃Å 1
4u

2

3− 4u1+ 4

ã = 8 hay u1 =
1
2.

Khi đó Sn= u1+ u2+ · · · + un= u1
1 − 2n

1 − 2 =

2n_{− 1}
2 .

Do đó, Sn > 5100 ⇔

2n− 1
2 > 5

100 _{⇔ log}
5

2n− 1

2 > 100 ⇔ n > 233.

Chọn đáp án D _

Câu 53. Gọi x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện log₉x = log₆y = log₄(x + y) và x
y =
−a +√b

2 , với a, b là hai số nguyên dương. Tính a + b.

A a + b = 6. B a + b = 11. C a + b = 4. D a + b = 8.

Lời giải.

Đặt log₉x = t.

Theo đề ra ta có
(

log₉x = log₆y = t
log₉x = log₄(x + y) = t

⇒



















x = 9t _(2.4)
y0 = 6t _(2.5)
x + y = 4t (2.6)
x
y =
Å 3
2
ãt
(2.7)

Từ (2.4), (2.5) và (2.6) ta có 9t+ 6t= 4t⇔ (3t₎2_{+ (3 · 2)}t_{− 4}t_{= 0 ⇔}Å 3
2

ã2t
+Å 3

2
ãt

− 1 = 0

⇔






Å 3
2
ãt

= −1 +
√
5
2
Å 3
2
ãt

= −1 −
√

5
2 (loại)

Thế vào (2.7) ta được x
y =

Å 3
2

ãt

= −1 +
√

5

2 =

−a +√b

2 ⇒ a = 1; b = 5.

Chọn đáp án A _

Câu 54. Cho n là một số nguyên dương và 0 < a 6= 1, tìm n sao cho
log_a2019 + 22_log√

a2019 + 32log√3_a2019 + · · · + n2logn√_a2019 = 10082· 20172log_a2019.

</div>
<span class='text_page_counter'>(99)</span><div class='page_container' data-page=99>

Lời giải.

Dễ dàng chứng bằng quy nạp rằng 13_{+ 2}3_{+ · · · + n}3 ₌Å n(n + 1)
2

ã2

. Suy ra

log_a2019 + 22log√

a2019 + 3
2

log√3_a2019 + · · · + n2log√n_a2019 = 10082· 20172log_a2019
⇔ (13_{+ 2}3_{+ · · · + n}3_{) log}

a2019 = 10082· 20172loga2019
⇔ Å n(n + 1)

2
ã2

= 10082· 20172
⇔ n = 2016.

Chọn đáp án D _

Câu 55. Cho cấp số cộng (an), cấp số nhân (bn) thỏa mãn a2 > a1 > 0, b2 > b1 > 1 và hàm số
f (x) = x3 _{− 3x sao cho f (a}

2) + 2 = f (a1) và f (log2b2) + 2 = f (log2b1). Tìm số nguyên dương
n(n > 1) nhỏ nhất sao cho bn> 2018an.

A n = 20. B n = 10. C n = 14. D n = 16.

Lời giải.

Hàm số y = x3− 3x có bảng biến thiên

x
y0

y

−∞ −1 0 1 +∞

+ 0 − 0 +

+∞
+∞

2
2

−2
−2

+∞
+∞

0

+ Với 0 ≤ a1 < a2

Từ giả thiết f (a2) − f (a1) = −2 < 0⇒ f (x) giảm trên (a1; a2) ⇒ 0 ≤ a1 < a2 ≤ 1.
Khi đó:

(

f (a1) 6 f (0) = 0
f (a2) > f (1) = −2

⇒
(

f (a1) ≤ 0
f (a2) + 2 ≥ 0

⇒
(

f (a1) ≤ 0
f (a1) ≥ 0

⇒ f (a1) = 0 ⇒ a1 = 0.
Và f (a2) + 2 = 0 ⇒ f (a2)=−2 ⇒ a2 = 1.

Vậy cấp số cộng (an) có
(

a1 = 0
d = 1.
+ Với 1 ≤ b1 < b2

Từ giả thiết: f (log₂b2) − f (log2b1) = −2 < 0⇒ f (x) giảm trên (log2b1; log2b2)
⇒ 0 6 log2b1 < log2b2 6 1 ⇒ 1 6 b1 < b2 6 2.

Khi đó:
(

f (log₂b1) 6 f (0) = 0
f (log₂b2) > f (1) = −2

⇒
(

f (log₂b1) 6 0
f (log₂b2) + 2 > 0

⇒
(

f (log₂b1) 6 0
f (log₂b1) > 0
⇒ f (log₂b1) = 0 ⇒ log2b1 = 0⇒ b1 = 1.

Và f (log₂b2) + 2 = 0⇒ f (log2b2) = −2⇒ log2b2 = 1 ⇒ b2 = 2.
Vậy cấp số nhân (bn) có

(
b1 = 1
q = 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(100)</span><div class='page_container' data-page=100>

Dùng chức năng Calc của máy tính ta chọn được n = 16 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa yêu cầu

bái toán.

Chọn đáp án D _

Câu 56. Cho log₈|x| + log₄y2 _{= 5 và log}

8|y| + log4x2 = 7. Tìm giá trị của biểu thức P = |x| − |y|.

A P = 56. B P = 16. C P = 8. D P = 64.

Lời giải.

log₈|x| + log₄y2 _{= 5 ⇔} 1

3log2|x| +
1
2log2y

2 _{= 5}
⇔ log₂»3 _{|x| + log}

2|y| = 5
⇔ »3 _{|x| · |y| = 2}5

⇔ |x| · |y|3 = 25
3 = 215 (1) .

Tương tự log₈|y| + log₄x2 = 7 ⇔ |y| · |x|3 = 221 (2).
Lấy (1) nhân (2) được x4· y4 _{= 2}36 _{⇔ x}2_{· y}2 _{= 2}18 _(3).
Lấy (1) chia (2) được y

2
x2 =

1
26 ⇔ x

2 _{= 2}6_{· y}2 _(4).

Thay (4) vào (3) được 26_{· y}4 _{= 2}18 _{⇔ y}4 _{= 2}12 _{= (2}3₎4 _{⇔ |y| = 2}3 _{= 8.}

Thay |y| = 8 vào (4) được x2 = 26· 64 = (26₎2 _{⇔ |x| = 2}6 _{= 64. Do đó P = |x| − |y| = 56.}

Chọn đáp án A _

Câu 57. Cho các số thực a, b thỏa mãn a > 1

3, b > 1. Khi biểu thức log3ab + logb(a

4 _{− 9a}2 _{+ 81) đạt}
giá trị nhỏ nhất thì tổng a + b bằng

A 9 + 2
√

3_. _{B 3 + 9}√2_. _{C 3 + 3}√_2. _{D 2 + 9}√_2.

Lời giải.

Ta có 3a > 1, b > 1 nên log_3ab > 0, log_b3a > 0. Theo bất đẳng thức Cauchy ta được
log_3ab + log_b(a4_{− 9a}2_{+ 81) ≥ log}

3ab + logb(18a2− 9a2) = log3ab + 2 logb3a ≥ 2
√

2.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi










3a > 1, b > 1

a4 = 81

log_3ab = 2 log_b3a
⇔

(
a = 3

b = 9
√

2_.

Khi đó ta được a + b = 3 + 9
√

2_.

Chọn đáp án B _

Câu 58. Biết log₂
Å₁₀₀

P

k=1

k × 2k_{− 2}
ã

= a + log_cb với a,b,c là các số nguyên và a > b > c > 1. Tổng
a + b + c là

A 203. B 202. C 201. D 200.

</div>
<span class='text_page_counter'>(101)</span><div class='page_container' data-page=101>

Đặt S =
100
P

k=1

k × 2k_{. Suy ra}

S = 2S − S

= 1 · 22 + 2 · 23+ 3 · 24+ · · · + 100 · 2101
− 1 · 2 + 2 · 2 + 3 · 22_{+ · · · + 100 · 2}100

= 100 · 2101− 2 − 23− 24− · · · − 2100

= 100 · 2101− 2 ·2

100_{− 1}
2 − 1

= 99 · 2101+ 2.

Suy ra

log₂
100
X

k=1

k × 2k
− 2
!

= log₂(99 · 2101) = 101 + log₂99.

Vậy a = 101, b = 99, c = 2 và a + b + c = 202.

Chọn đáp án B _

Câu 59. Cho a, b, c là ba số thực dương, a > 1 và thỏa mãn log2_a(bc)+log_a
Å

b3c3+ bc
4

ã2

+4+√4 − c2 ₌
0. Số bộ (a; b; c) thỏa mãn điều kiện đã cho là

A 0. B 1. C 2. D Vô số.

Lời giải.

Điều kiện 4 − c2 ≥ 0 ⇔ −2 ≤ c ≤ 2, kết hợp giả thiết ta có 0 < c ≤ 2.
Do a > 1 nên ta có

log2_a(bc) + log_a
Å

b3c3+bc
4

ã2

+ 4 +√4 − c2 _{≥ log}2

a(bc) + loga
Ç

2
…

b3_c3_· bc
4

å2

+ 4 +√4 − c2

= log2_a(bc) + 4 log_a(bc) + 4 +√4 − c2

= (log_a(bc) + 2)2+√4 − c2 _{≥ 0.}

Đẳng thức xảy ra ⇔





























log_a(bc) + 2 = 0
√

4 − c2 _{= 0}
b3c3 = bc

4
a > 1

b > 0

0 < c ≤ 2

⇔































bc = 1
a2
c = 2

bc = 1
2
a > 1

b > 0

0 < c ≤ 2
⇔











a =√2

b = 1
4
c = 2.

Vậy có duy nhất một bộ số (a; b; c) thỏa mãn bài toán.

Chọn đáp án B 

Câu 60. Cho các số thực a, b > 1 thỏa mãn alogba+16bloga


b8
a3


= 12b2_{. Giá trị của biểu thức P = a}3_+b3
là

</div>
<span class='text_page_counter'>(102)</span><div class='page_container' data-page=102>

Lời giải.

Đặt c = log_ba thì a = bc_{, thay vào hệ thức đã cho thu được b}c2

+ 16b8c−3 = 12b2_{. Ta có}

S = bc2 + 16b8c−3 _{= b}c2 _{+ 8b}
8

c−3_{+ 8b}
8

c−3 ≥ 3
3
»

64bc2+16c−6 _{= 12}
3
»

bc2+16c−6_.

Lại có c2₊16

c − 6 = c
2 ₊8

c +
8

c − 6 ≥ 3

3
…

c2_· 8
c ·

8

c − 6 = 6 ⇒ S ≥ 12
3
√

b6 _{= 12b}2_.

Để hệ thức đã cho xảy ra thì các dấu “=” trong các đánh giá trên xảy ra, tức là c = 2, b = 2 và do đó

a = 4.

Chọn đáp án C 

Câu 61. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 0 < a < 1, 1

8 < b < 1,
3

8 < c < 1. Gọi M là giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P = 3

16loga
Å b

2−
1
16
ã
+1

4logb
Å c
2−
3
16
ã
+1

3logca. Khẳng định nào sau đây đúng?
A √3 ≤ M < 2. B M ≥ 2. C √2 ≤ M < √3. D M <√2.

Lời giải.
Ta có
• b
2 −
1
16 =

8b − 1
16 =

8b − 1
4 ·

1
4 ≤

Ö_{8b − 1}

4 +
1
4
2

è2

= b2_{. Đẳng thức xảy ra khi b =} 1
4.

• c
2 −

3
16 =

8c − 3
2 ·
1
2·
1
2·
1
2 ≤

Ö_{8c − 3}

2 +
1
2 +
1
2 +
1
2
4
è4

= c4_{. Đẳng thức xảy ra khi c =} 1
2.

Do đó,

P ≥ 3
16logab

2₊ 1
4logbc

4₊1
3logca
≥ 3

8logab + logbc +
1
3logca

≥ 3… 33

8logab · logbc ·
1

3logca =
3
2.

Đẳng thức xảy ra khi a =
√

2
4 , b =

1
4, c =

1
2.
Vậy √2 ≤ M = 3

2 <
√

3.

Chọn đáp án C _

Câu 62. Cho f (x) = log₂ 2

x_{+ 1}

2x_{− 1}. Giá trị của biểu thức f (f (1)) + f (f (2)) + · · · + f (f (40)) bằng

A 410. B 820. C 40. D 1640.

Lời giải.

Với x > 0 ta có

f (f (x)) = log₂ 2
log2

2x+1
2x₋₁

+ 1

2log2 2x+12x−1 − 1

= log₂
2·2x
2x₋₁

2
2x₋₁

= log₂ 2 · 2
x
2 = x.

Do đó f (f (1)) + f (f (2)) + · · · + f (f (40)) = 1 + 2 + · · · + 40 = 820.

</div>
<span class='text_page_counter'>(103)</span><div class='page_container' data-page=103>

Câu 63. Cho hàm số f (x) = − ln (x2+ x). Tính P = ef (1)+ ef (2)+ · · · + ef (2019).
A P = 2020

2019. B P =

2019

2020. C P = e

2019_. _{D P = −}2019
2020.

Lời giải.

Ta có

f (x) = − ln(x2+ x) ⇒ e−f (x) = x2+ x ⇔ ef (x) = 1

x(x + 1) ⇒ e

f (x) ₌ 1
x −

1
x + 1.

Từ đó suy ra

P = ef (1)+ ef (2)+ · · · + ef (2019)
= Å 1

1−
1
2

ã
+Å 1

2−
1
3

ã

+ · · · +
Å

1
2019 −

1
2020

ã

= 1 − 1
2020 =

2019
2020.

Chọn đáp án B _

Câu 64. Cho cấp số cộng (an), cấp số nhân (bn) thỏa mãn a2 > a1 ≥ 0, b2 > b1 ≥ 1 và hàm số
f (x) = x3_{− 3x sao cho f (a}

2) + 2 = f (a1) và f (log2b2) + 2 = f (log2b1). Tìm số nguyên dương n nhỏ
nhất sao cho bn> 2019an.

A 17. B 14. C 15. D 16.

Lời giải.

Xét hàm số f (x) = x3− 3x trên [0; +∞). Ta có f0_{(x) = 3x}2 _{− 3, suy ra f}0_{(x) = 0 ⇔ x = ±1. Bảng}
biến thiên

x

f0(x)

f (x)

0 1 +∞

− 0 +

0

0

−2
−2

+∞
+∞

Vì a2 > 0 nên f (a2) ≥ −2. Suy ra f (a1) = f (a2) + 2 ≥ 0. (1)

Giả sử a1 ≥ 1. Vì f (x) đổng biến trên [1; +∞) nên f (a2) > f (a1), suy ra f (a1) − 2 > f (a1), vô lý. Vậy
a1 ∈ [0; 1], do đó f (a1) ≤ 0. (2)

Từ (1) và (2) ta có

(

f (a1) = 0
f (a2) = −2

⇔
(

a1 = 0
a2 = 1.
Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng (an) là an = n − 1.

Một cách tương tự, đặt t1 = log2b1 và t2 = log2b2. Từ giả thiết suy ra f (t2) + 2 = f (t1). Vì 1 ≤ b1 < b2
nên 0 ≤ t1 < t2. Lập luận như trên ta có

(
t1 = 0
t2 = 1

⇔
(

log₂b1 = 0
log₂b2 = 1

⇔
(

</div>
<span class='text_page_counter'>(104)</span><div class='page_container' data-page=104>

Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân (bn) là bn= 2n−1. Do đó

bn > 2019an ⇔ 2n−1> 2019(n − 1). (3)
Suy ra số nguyên dương nhỏ nhất thỏa (3) là n = 16.

Chọn đáp án D _

Câu 65. Cho log₇12 = x, log₁₂24 = y và log₅₄168 = axy + 1

bxy + cx, trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính
giá trị của biểu thức S = a + 2b + 3c.

A S = 4. B S = 19. C S = 10. D S = 15.

Lời giải.

(

log₇12 = x
log₁₂24 = y

⇒ xy = log₇12 · log₁₂24 = log₇24.
Ta có

log₅₄168 = log7168
log₇54 =

log₇(24 · 7)
log₇54 =

log₇24 + log₇7
log₇54 =

xy + 1

log₇54 ⇒ a = 1.
Lại có

bxy + cx = log₇54 ⇔ b log₇24 + c log₇12 = log₇54
⇔ log₇(24b· 12c_{) = log}

754
⇔ 24b· 12c= 54

⇔ 3b+c_{· 2}3b+2c_{= 3}3_{· 2}1

⇔

(

b + c = 3

3b + 2c = 1

⇔
(

b = −5

c = 8.

Suy ra, P = a + 2b + 3c = 1 + 2 · (−5) + 3 · 8 = 15.

Chọn đáp án D _

Câu 66. Cho a, b, c là ba số thực dương, khác 1 và abc 6= 1. Biết log_a3 = 2, log_b3 = 1

4 và logabc3 =
2
15.
Khi đó, giá trị của log_c3 bằng bao nhiêu?

A log_c3 = 1

3. B logc3 = 2. C logc3 =

1

2. D logc3 = 3.

Lời giải.

log_abc3 = 2

15 ⇔ log3abc =
15

2 ⇔ log3a + log3b + log3c =
15

2 ⇔
1

2+ 4 + log3c =
15

2 ⇔ log3c = 3.
Do đó log_c3 = 1

3.

Chọn đáp án A _

Câu 67. Cho 3 số thực dương a, b, c (a, b, c 6= 1) và không cùng bằng nhau thỏa mãn alogbc= blogca=
clogab. Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức a + b + c.

A m = 3. B m = 2√2. C m = 3√3

3. D m = √₃3
2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(105)</span><div class='page_container' data-page=105>

• Khơng mất tính tổng qt, ta giả sử b 6= c.

Khi đó từ alogbc= blogca = clogab_{, lấy log cơ số a, ta có}

log_bc = log_ca · log_ab = log_ac · log_ab
⇒ log_bc = log_cb = log_ac · log_ab.

Từ log_bc = log_cb ⇒ log_bc = 1

log_bc ⇒ logbc = −1 (vì b 6= c) ⇒ b =
1
c.
Khi đó log_ac · log_ab = −1 ⇒ (log_ab)2 _{= 1 và (log}

ac)2 = 1.

• Khơng mất tính tổng quát giả sử log_ab = 1 và log_ac = −1. Từ đó a = b = 1
c.

• Vậy a + b + c = 2a + 1

a. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2a +
1
a ≥ 2

…
2a · 1

a = 2
√

2.

Dấu bằng xảy ra khi a = b = √1
2, c =

√

2. Vậy m = 2√2.

Chọn đáp án B _

Câu 68. Cho a = log₅2; b = log₅3. Khi đó log₁₀6 bằng
A a + b

1 + b. B

a + b

1 + a. C

1 + a

a + b. D

ab
1 + a.

Lời giải.

Ta có log₁₀6 = log56
log₅10 =

log₅2 + log₅3
1 + log₅2 =

a + b
1 + a.

Chọn đáp án B _

Câu 69. _{Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ}

x

f0(x)

f (x)

−∞ 1 2 +∞

+ 0 − 0 +

−∞
−∞

4

4

1
1

+∞
+∞
0

2

Đồ thị hàm số g (x) = x
2_{− 2x}

f2_{(x) − 4} có bao nhiêu tiệm cận đứng?

A 1. B 4. C 3. D 2.

Lời giải.

Xét phương trình f2_{(x) − 4 = 0 ⇔ [f (x) − 2] [f (x) + 2] = 0}
⇔

"

f (x) = 2

f (x) = −2.

Từ bảng biến thiên suy ra

• f (x) = 2 ⇔






x = 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(106)</span><div class='page_container' data-page=106>

• f (x) = −2 ⇔ x = x3, x3 ∈ (−∞; 0) .
⇒ g (x) = x (x − 2)

x (x − x1) (x − x2) (x − x3)

= x − 2

(x − x1) (x − x2) (x − x3)
.

⇒ g (x) có 3 đường tiệm cận đứng.

Chọn đáp án C _

Câu 70. Cho log₇12 = x, log₁₂24 = y, log₅₄168 = axy + 1

bxy + cx, trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính
giá trị biểu thức S = a + 2b + 3c.

A S = 4. B S = 19. C S = 10. D S = 15.

Lời giải.

Ta có

log₅₄168 = 3 log₅₄2 + log₅₄7 + log₅₄3 = 3
log₂54 +

1
log₇54+

1
log₃54

= 3

1 + 3 log₂3 +

1

log₇2 + 3 log₇3+
1

3 + log₃2. (∗)
Lại có

(

log₇12 = x
log₁₂24 = y ⇔

(

log₇12 = x
log₇24 = xy ⇔

(

2 log₇2 + log₇3 = x
3 log₇2 + log₇3 = xy ⇔

(

log₇2 = xy − x
log₇3 = 3x − 2xy.
Khi đó log₂3 = log₂7 · log₇3 = 1

xy − x · 3x − 2y =

3 − 2y
y − 1 .

Suy ra log₃2 = y − 1
3 − 2y.
Thay vào (∗) ta được

log₅₄168 = 3

1 + 33−2y_y−1 +

1

xy − x + 3(3x − 2xy) +
1
3 + _3−2yy−1
= 3(y − 1)

y − 1 + 9 − 6y +
1
8x − 5xy =

3 − 2y
8 − 5y

= 3(y − 1)
8 − 5y +

3 − 2y
8 − 5y +

1

x(8 − 5y) =

xy + 1
8x − 5xy.

Suy ra a = 1, b = −5, c = 8. Khi đó S=a+2b+3c=15.

Chọn đáp án D _

Câu 71. Cho tổng S = 1
1!2017!+

1
3!2015!+

1

5!2013!+ . . . +
1

2017!1!. Biết S =
2a

b! đặt P = b − a. Mệnh
đề nào dưới đây đúng?

A P ∈ (−1; 1). B P ∈ (−2; 0). C P ∈ (0; 2). D P ∈ (2; 4).

Lời giải.

S = 1
1!2017! +

1
3!2015! +

1

5!2013! + . . . +
1
2017!1!

⇔ 2018! · S = 2018!
1!2017! +

2018!
3!2015! +

2018!

5!2013!+ . . . +

2018!
2017!1!
⇔ 2018! · S = C1₂₀₁₈+ C3₂₀₁₈+ C5₂₀₁₈+ . . . + C2017₂₀₁₈

⇔ 2018! · S = 2
2018

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(107)</span><div class='page_container' data-page=107>

Khi đó a = 2017 và b = 2018 ⇒ P = 1 ∈ (0; 2).

Chọn đáp án C 

Câu 72. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log₃(x + y + 2) = 1 + log₃Å x − 1
y +

y − 1
x

ã

. Giá trị

nhỏ nhất của biểu thức x
2_{+ y}2

xy =
a

b với a, b ∈ N và (a, b) = 1. Hỏi a + b bằng bao nhiêu?

A 2. B 9. C 12. D 13.

Lời giải.

Ta có

log₃(x + y + 2) = 1 + log₃Å x − 1
y +

y − 1
x

ã

⇔ log₃(x + y + 2) = log₃

ï

3Å x − 1
y +

y − 1
x

ãò

⇔ x + y + 2 = 3Å x − 1
y +

y − 1
x

ã

⇔ xy(x + y + 2) = 3 x2_{+ y}2_{− x − y
. (∗)}

Đặt S = x + y > 0, P = xy > 0, (∗) ⇔ P (S + 2) = 3 (S2 _{− S − 2P ) ⇔ P =} 3S
2_{− 3S}
S + 8 .

Lại có 0 < P ≤ S
2

4 , từ đó suy ra 0 <

3S2_{− 3S}

S + 8 ≤

S2

4 ⇒ S > 1. (do S > 0)

Ta có x
2_{+ y}2

xy =

S2_{− 2P}

P =

S2_{+ 2S + 6}

3S − 3 = f (S).

f0(S) = 3S

2_{− 6S − 24}
(3S − 3)2 ,
f0(S) = 0 ⇔

"
S = 4

S = −2 /∈ (1; +∞).

S

f0(S)

f (S)

1 4 +∞

− 0 +

10
3
10

3

Suy ra f (S) ≥ f (4) = 10

3 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
(

x = 3

y = 1 và các hoán vị.

Vậy
(

a = 10

b = 3 nên a + b = 13.

</div>
<span class='text_page_counter'>(108)</span><div class='page_container' data-page=108>

ĐÁP ÁN

1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 6. D 7. B 8. B 9. A 10. C

11. D 12. C 13. C 14. B 15. A 16. B 17. C 18. D 19. D 20. D

21. B 22. C 23. A 24. A 25. C 26. A 27. A 28. D 29. B 30. B

31. A 32. B 33. C 34. C 35. B 36. A 37. D 38. A 39. B 40. D

41. C 42. B 43. D 44. B 45. A 46. A 47. D 48. C 49. D 50. B

51. A 52. D 53. A 54. D 55. D 56. A 57. B 58. B 59. B 60. C

61. C 62. B 63. B 64. D 65. D 66. A 67. B 68. B 69. C 70. D

</div>
<span class='text_page_counter'>(109)</span><div class='page_container' data-page=109>

<b>5</b> <b>BÀI TOÁN THỰC TẾ</b>

Câu 1. Một người thả một lá bèo vào một chậu nước. Sau 12 giờ, bèo sinh sơi phủ kín mặt nước trong

chậu. Biết rằng sau mỗi giờ lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước đó và tốc độ tăng khơng đổi.

Hỏi sau mấy giờ thì bèo phủ kín 1

5 mặt nước trong chậu (kết quả làm tròn đến 1 chữ số phần thập
phân).

A 9, 1 giờ. B 9, 7 giờ. C 10, 4 giờ. D 11, 3 giờ.

Lời giải.

Gọi lượng bèo ban đầu là x (x > 0).

Số lượng bèo phủ kín mặt nước trong chậu là x · 1012.
Sau t (giờ) thì số bèo phủ kín 1

5 mặt nước trong chậu nên ta có

x · 10t= 1
5x · 10

12_{⇒ t = 12 + log} 1

5 ' 10, 4 (giờ).

Chọn đáp án C _

Câu 2. Ơng Bình dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất 6, 5% một năm. Biết rằng cứ

sau mỗi năm số tiễn lãi sẽ gộp vào vốn ban đầu. Tính số tiền x (triệu đồng, x ∈ N) ơng Bình gửi vào
ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi vừa đủ mua một chiếc xe máy trị giá 60 triệu đồng.

A 300 triệu đồng. B 280 triệu đồng. C 289 triệu đồng. D 308 triệu đồng.

Lời giải.

Gọi số tiền ban đầu là N0, ta có

N0((1 + r)3− 1) = 60 ⇔ N0 ≈ 289
Chọn đáp án D.

Chọn đáp án C _

Câu 3. Chu kì bán hủy của chất phóng xạ Plutôni P u239 là 24360 năm (tức là một lượng P u239 sau
24360 năm phân hủy chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo cơng thức S = A.ert_{, trong}
đó A là lượng phóng xạ ban đầu, r là tỷ lệ phân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian phân hủy, S là

lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 100 gam P u239 _{sau bao lâu còn 20 gam?}

A 73180 năm. B 53120 năm. C 56562 năm. D 65562 năm.

Lời giải.

Theo giả thiết ta có e24360r = 1

2 ⇔ r = −
ln 2

24360. Vậy ta cần tìm t sao cho

ert= 1

5 ⇔ t = −
ln 5

r ≈ 56562

Vậy chọn đáp án D.

Chọn đáp án C _

Câu 4. Ông A gửi vào ngân hàng số tiến theo kỳ hạn một năm với lãi suất kép 12%/năm. Hỏi sau tối

</div>
<span class='text_page_counter'>(110)</span><div class='page_container' data-page=110>

A 8 năm. B 11 năm. C 9 năm. D 10 năm.

Lời giải.

Gọi M là số tiền ông A gửi, n là số năm ông A đã gửi, số tiền ông nhận được là T = M · (1 + 12%)n.
Để số tiền nhận được gấp ba lần số tiền ban đầu thì

T = 3M ⇔ (1 + 12%)n = 3 ⇔ n = log_1+12%3 ≈ 9,69 năm.
Vậy sau tối thiểu 10 năm thì ơng A nhận được gấp ba lần số tiền ban đầu.

Chọn đáp án D _

Câu 5. Ông An gửi số tiền 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7% trên 1 năm, biết rằng nếu

khơng rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mối năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Sau

thời gian 10 năm nếu không rút lãi lần nào thì số tiền mà ơng An nhận được tính cả gốc lẫn lãi là bao

nhiêu đồng?

A 108· (1 + 0,0007)10_. _{B 10}8_{· (1 + 0,07)}10_. _{C 10}8_{· 0,07}10_. _{D 10}8_{· (1 + 0,7)}10_.

Lời giải.

Sử dụng công thức lãi kép, số tiền nhận được sẽ là

$ = 108· (1 + 0,07)10≈ 196,7 triệu đồng.

Chọn đáp án B _

Câu 6. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi cơng thức G(x) = 0, 025x2(30 − x). Trong
đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (đơn vị miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm

cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

A 15 mg. B 30 mg. C 25 mg. D 20 mg.

Lời giải.

Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 30.

Ta có G(x) = −0, 025x3_{+ 0, 75x}2_{; G}0_{(x) = −0, 075x}2_{+ 1, 5x.}
Xét G0(x) = 0 ⇔ −0, 075x2+ 1, 5x = 0 ⇔

"

x = 20

x = 0.
Bảng biến thiên

x

G0(x)

G(x)

0 20 30

0 + 0 −

0
0

100
100

0
0

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 100 tại x = 20.
Vậy cần tiêm 20 mg thuốc cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

</div>
<span class='text_page_counter'>(111)</span><div class='page_container' data-page=111>

ĐÁP ÁN

</div>

<!--links-->
ON TAP THPT QUỐC GIA 2016 MÔN SINH HỌC

• 44
• 558
• 0