Bài tập có đáp án chi tiết về dạng 3 bài tập tích phân hạn chế casio | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (153.9 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Hướng dẫn giải chi tiết

Câu 1. Nếu

 

d 2

f x x 



thì

 

3 2 d

I 



 f x   x

bằng bao nhiêu?

A. I 2. B. I 3. C. I 4. D. I 1.
Lời giải

Chọn C.

Ta có

 

2 2 2

1 1 1

3 2 d 3 d 2 d 3.2 2 6 2 4

I 



 f x   x



f x x



x  x   
.

Câu 2. Nếu F x

( )

là nguyên hàm của hàm số

( )

2
1
sin
f x

x
=

và đồ thị hàm s y=F x

( )

i qua im
;0

Mổ ửỗỗỗốp ữữữ

ứ thỡ F x

( )

là:

A.

( )

3
cot
3

F x = - x

. B.

( )

cot .
3

F x =- + x

C. F x

( )

=- 3 cot .+ x D. F x

( )

= 3 cot .- x
Lời giải

Chọn D.

Từ giả thiết, ta có

( )

2
1

cot
sin

F x dx x C

x

ị

=- +

th y=F x

( )

i qua im

;0
6
Mổ ửỗỗp ữữữ

ỗố ứ nờn F 6 0 cot6 C 0 C 3

p p

ổ ửữ

ỗ = -ữ + = =

ỗ ữ

ỗố ứ .

Vy F x

( )

=- cotx+ 3.

Cõu 3. Tỡm các số a, b để hàm số f x

 

a sin x b  thỏa mãn: f 1

 

 và 2

 

f x dx 



A. a, b 2 . B. a , b 2 . C. a 2, b 2



 

. D. a 2, b 2



 

Lời giải
Chọn A

Ta có f 1

 

 2 a sin   b 2 b 2

 





1 1

0 0 0

a cos x

f x dx 4  a sin x 2 dx 4      2x  4 a


 



Câu 4. Cho
1

1 1

ln 2 ln 3

1 2 dx a b

x x

 

  

 

 

 



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

A. a b 2. B. a 2b0. C. a b 2. D. a2b0.

Lời giải
Chọn D.

Ta có







 



1
1

0 0

1 1

ln 1 ln 2 ln 2 ln 3 ln1 ln 2 2ln 2 ln 3

1 2 dx x x

x x

 

          

 

 

 



suy ra a2,b 1 a2b0.

Câu 5. Kt qu ca tớch phõn
0

1 d

x x

x

-ổ ửữ

ỗ + + ữ

ỗ ữ

ỗố - ứ

ũ

c vit di dng a+bln 2 vi a bẻ Ô, . Khi ú

a+b bng:

A.

2. B.

-. C.

2. D.

5
2

-.
Lời giải

Chọn B.

Ta có

0 2

1 1

2 1

1 2ln 1 2ln 2 ln 2 2

1 2 2

2
a
x

x dx x x a b

x

b

-ìï

ỉ ư ù

ổ ửữ ỗ ữ ù =

ỗ + + ữ =ỗ + + - ữ = - = + ị ớ

ỗ ữ ữ

ỗ ỗỗ ữ ù

ố - ứ ố ứ ù

=-ïỵ

ị

Vậy

1 3

2 2

a b+ = -
=-.

Câu 6. Biết rằng





ln x1 dx a ln 3bln 2c



với , ,a b c là các số nguyên. Tính S   a b c.

A. S 1. B. S 0. C. S 2. D. S 2.
Lời giải

Chọn B.

Đặt





ln 1 d d

d d 1

u x u x

x
v x v x



 

 

 

 

 




   

 .

Khi đó:





ln x1 dx





 



2
2

1
1

1 ln 1 d

x x x

   



3ln 3 2ln 2 1  

Vậy a3;b2;c1  S a b c    .0

Câu 7. Ta có tích phân





4 1 ln d . .

e

I 



x  x x a e b

Tính M ab4(a b ) (trong đó ,a bZ)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chọn C.

Ta có:









 

1 1

4 1 ln d 2 1 ln d

e e

I 



x  x x



 x x





2 2 2 2

1
1

1 1

2 1 ln d 2 2 1 3 1

2 2
e

e e

x x x x e e

x

   

            

 







Nên a3,b nên 1 M 5.

Câu 8. Cho tích phân





1
2

1 2 3

x
I

x x



 



Đặt t 2x3, ta được
3

2
2

d
m

I t

t n






(với ,m n  ).
Tính T 3m n .

A. T 7. B. T 2. C. T 4. D. T 5.
Lời giải

Chọn D.

Tính





1
2

1 2 3

x
I

x x



 



Đặt t 2x3,ta được

2 2 2

2 d 2d d d

2 3 3 1

2 2

t t x x t t

t x t t

x x

 

 

 

       

  

 

 





3 3 3

2 2

1 2 2

d d 2d

1 1

1 2 3

x t t t

I

t t

x x t

  

 

 



Vậy: m2, n , 1 T 3m n 3.2 1 5.  .

Câu 9. Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm ( )f x' liên tục trên đoạn [ ]0;1 thỏa mãn ( )f 1=1 và

( )

1
0

d 2

f x x =

ò

. Tính tích phân

( )

1
0

' d .

I =

ị

f x x

A. I =- 1.. B. I =1.. C. I =2.. D. I =- 2.

Lời giải
Chọn D.

Xét

( )

' .

I=

ò

f x dx

t t= x ắắđ = ắắt2 x đ2tdt=dx

i cận

0 0

1 1

x t
x t

ì = ® =
ïï

íï = ® =

ïỵ . Khi đó

( )

2 ' 2

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Tính

( )

0
'
A=

ị

tf t dt

. Đặt '

( )

u t du dt

dv f t dt v f t

ỡ = ỡ =

ù ù

ù ắắđù

ớ ớ

ù = ù =

ï ï

ỵ ỵ .

Khi đó

( )

1 1

( )

0 0

1 2 1 2 1 2 2.

A tf t= -

ò

f t dt= f - = - =- ắắđ =I A
=-.

Cõu 10. Cho hm s ( )f x có đạo hàm trên ¡ và thỏa mãn (f 2016)=a, (f 2017)=b (a b; Ỵ ¡ ). Giá trị

( )

2016

2014

2017

2015. . .d

I =

ị

f x f¢ x x

bằng:

A. I=b2017- a2017.. B. I=a2016- b2016..
C. I=a2015- b2015.. D. I =b2015- a2015.
Li giai

Chn C.

t t= f x

( )

ắắđ =dt f x d x¢

( ) ( )

. Đổi cận:

(

)

(

)

2016 2016

2017 2017

x t f a

x t f b

ỡù = ắắđ = =

ùùớ

ù = ắắđ = =

ùùợ

Khi ú

2014 2015 2015 2015

2015 .

a a

b
b

I =

ò

t dt=t =a - b

Câu 11. Cho hàm số f x

( )

liên tục trên ¡ và có ( )

2
0

d 3.
f x x=

ị

Tính

( )

1
1

2 d .

I f x x

ị

A. I=0. B.

3
.
2

I=

C. I =3. D. I=6.
Lời giải

Chọn C.

Ta có

( )

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

2 2 2 2 2 2 2

I f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

ò

ị

Đặt t=2x®dt=2dx. Đổi cận:

0 0

1 2

x t
x t

ỡ = đ =
ùù

ớù = đ =
ùợ

Khi ú

( )

2 2

0 0

3.
I =

ò

f t dt=

ò

f x dx=

Nhận xét.

( )

0 1 1

1 0 0

2 2 2 2

f x dx f x dx f x dx

-+ =

ò

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Câu 12. Cho hàm số y= f x

( )

liên tục trên ¡ và a>0. Giả sử rằng với mọi xỴ

[

0;a

]

, ta có f x

( )

và f x f a x

( ) (

)

=1. Tính 0

( )

d
1
a

x
I

f x
=

ò

A. 2
a

. B. 2a. C. 3

a

. D. aln(a+1).
Lời giải

Chọn A.

Từ giả thiết, suy ra

(

)

( )

f a x

f x

- =

t t= -a xắắđ =-dt dx. i cn:
0

x t a

x a t

ỡù = ắắđ =
ùớ

ù = ắắđ =

ïỵ .

Khi đó

(

)

( )

0 1 0 0

1 1 1 1

a a a

a

f t dt f x dx
dt dt

I

f a t f t f x
f t

=- = = =

+ - + + +

ò

Suy ra

( )

0 0 0

1 1 2

a a a

f x dx

dx a

I I I dx a I

f x f x

= + = + = = ắắđ =

+ +

ò

Cách trắc nghiệm. Chọn a=2 và ( )f x =1 thỏa mãn các điều kiện của bài tốn.

Khi đó

2 2

0
0

d 1

1 .

1 1 2 2

x a

I = = x = =

ò

Câu 13. Nếu

( )

2 d 6 2

x

a
f t

t x

t + =

ị

với x>0 thì hệ số a bằng:

A. 5. B. 9. C. 19. D. 29.

Lời giải
Chọn B.

Gọi ( )F t là một nguyên hàm của hàm số

( )

2
f t

t trên đoạn [a x; ].

Khi đó ta có

( )

2 6 2 6

x
x

a a

f t
F t

t

f t

F x F a F t dt x F x x F a
t

ìïï =

ïï

ïïí

ïï - = = = - Þ = +

-ïï

ïïỵ

ị

Suy ra

( )

' f t

F t f t t t
t

t

= = Þ =

( )

1 2 2 2

x x x

a

a a

f t

dt dt t x a

t t

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

-Suy ra 2 x 2 a 2 x 6    a 9
.

Câu 14. Biết rằng





ln x1 dx a ln 3bln 2c



với a, b,c là các số nguyên. Tính S   a b c.

A. S 1. B. S 0. C. S 2. D. S 2.
Lời giải

Chọn B.

Đặt





ln 1 d d

d d 1

u x u x

x
v x v x



 

 

 

 

 




   

 .

Khi đó:





ln x1 dx





 



2
2

1
1

1 ln 1 d

x x x

   



3ln 3 2ln 2 1  

Vậy a3;b2;c 1  S a b c    .0

Câu 15. Tìm tất cả các giá trị thực lớn hơn 1 của tham số m thỏa mãn





2 1000

ln d .ln ln 2 2 .

m

x x m m m 



A. m=2 .1000 . B. m=21000+ .1. C. m=2999+ .1. D. m=2999+2.
Lời giải.

Chọn C.

Đặt

2 2ln

ln du xdx

u x

x
dv dx v x

ìï

ì ï

ï = ï =

ï Þ

í í

ï = ï

ï ï

ỵ ïỵ =

Khi đó

2 2 2

1 1 1

.ln 2 ln .ln 2 ln .ln 2 .

m m

m

I =x x -

ò

xdx=m m-

ò

xdx=m m- J

Đặt

(

)

1 1

1
ln

.ln .ln 1 .

m
m

u x du dx

J x x dx m m m
x

dv dx

v x

ìï

ì = ï =

ï ï

ï Þ ị = - = -

-ớ ớ

ù = ù

ùợ ù =ïỵ

ị

Suy ra I =m.ln2m- 2 .lnm m- 2

(

m- 1

)

=m.lnm

(

lnm- 2

)

(

m- 1 .

)

Theo bài ra ta có

(

)

2 1000

ln d .ln ln 2 2

m

x x=m m m- +

ò

(

)

(

)

(

)

1000

.ln ln 2 2 1 . .ln ln 2 2

m m m m m m m

Þ - + - = - +

(

)

1000 999 999

2 m 1 2 m 1 2 m 2 1.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Câu 16. Biết

2
2
4

ln 2 ( , )

sin

x

dx m n m n

x



  





, hãy tính giá trị của biểu thức P2m n

A. P 1. B. P 0,75. C. P 0, 25. D. P 0.
Lời giải

Chọn A.

Đặt 2

d =d
1

cot
sin

u x

u x
v x
dv dx

x










 



 



 , ta có









2 2

4 4

2 2

d .cot cot d .cot ln sin .ln 2

4 2

sin 4

4 4

x

x x x x x x x x
x

 



 




 

       



1 1

;

4 2

m n

  

1 1

2 2. 1

4 2

P m n   

Câu 17. Cho hàm số yf x

 

liên tục trên  thỏa mãn

 

f x

dx

x 



và





sin cos 2.

f x xdx







Tích phân

 

I 



f x dx

bằng

A. I 2. B. I 6. C. I 4. D. I 10.

Lời giải
Chọn C.

Đặt

1
2

t x dt dx

x

  

.Đổi cận

1 1

9 3

x t
x t

ì = ® =
ïï

íï = ® =

ïỵ .

Khi đó:

 

9 3 3

1 1 1

2 4 2.

   



f xx dx



f t dt



f t dt

Đặt

sin ; ; cos .

2 2

t x x     dt dx

  Đổi cận

0 0

1
2

x t

x p t

ì = ® =
ïï

ïí

ï = đ =

ùùợ .

Khi ú :

/2 1

0 0

sin cos 2.

f x xdx f t dt



 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

 

3 1 3

0 0 1

2 2 4.

I 



f x dx



f x dx



f x dx  

Câu 18. Giả sử
2

2
0

d ln 5 ln 3; ,

4 3

x

x a b a b
x x



  

 





. Tính P ab .

A. P 8. B. P 6. C. P 4. D. P 5.
Lời giải

Chọn B.



 







2 2 2

0 0 0

1 1 1 2

d d d ln 1 2ln 3 2ln 5 3ln 3

4 3 1 3 1 3

x x

x x x x x

x x x x x x

    

           

       



Suy ra: a2,b . Do đó 3 P ab 6.

Câu 19. Biết rằng





1 3 2

3 d , , .

5 3

x a b

e  x e e c a b c

   





Tính 2 3.
b c
T  a 

A. T 6. B. T 9. C. T 10. D. T 5.
Lời giải

Chọn C.

Đặt t 1 3 x t2  1 3x 2 dt t3dx
Đổi cận: x 0 t1, x 1 t2













1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

03 2 1 d 2 1 d 2 2 2 2 .

x t t t t t

e  dx te t te e t te e e e e e e









 



      

10
0

a

T
b c




   

 

 .

Câu 20. Cho hàm số y= f x

( )

xác định trên ¡ , thỏa mãn f x

( )

>0, " Ỵ ¡x và f x'

( )

+2f x

( )

=0.

Tính f

( )

- 1 , biết rằng f

( )

1 =1.

A. e-2. B. e .3 C. e .4 D. 3.
Lời giải.

Chọn C.

Ta có

( )

' 2 0 ' 2 f x 2

f x f x f x f x

f x

+ = Û =- Û

(do f x

( )

>0).

Lấy tích phân hai vế, ta được

( )

1 1 1 1

1 1

2 ln 2

f x

dx dx f x x

f x -

-é ù

=- Û ë û

=-ò

ò

( )

lnéf 1ù lnéf 1ù 4 ln1 lnéf 1ù 4

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

=-( )

( )

lnéf 1ù 4 f 1 e .

Û ë - û= Û - =

Câu 21. Biết rằng





2xcos3 2x cos3 sin 3

e xdx e a x b x c



, trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó tổng

a + b có giá trị là

A.

1
13


. B.

5
13


. C.

13. D.

1
13

Lời giải
Chọn C.

Đặt f x

 

e2x



acos3x b sin 3x



 . c

Ta có f x'

  

 2a3b e



2xcos 3x



2b 3a e



2xsin 3x

Để f(x) là một nguyên hàm của hàm số e2xcos3x , điều kiện là

 

2 3 1 13 5

' cos3

2 3 0 3 13

x

a
a b

f x e x a b

b a

b





 

 

       

 

  



 .

Câu 22. Cho f x

( )

liên tục trên ¡ và thỏa mãn

( )

(

)

2 3

f x f x

x

+ - =

+ . Tính

( )

d .

I f x x

ò

A. I 10.
p
=

. B. I 10.

p

=-. C. I 20.
p
=

. D. I 20.

p

=-Lời giải.
Chọn C.

Lấy tích phân hai vế của biểu thức

( )

(

)

2 3

f x f x

x

+ - =

+ , ta được

( )

(

)

2 2 2 2

2 3 2 3 .

4 4

f x dx f x dx dx I f x dx

x

p

- - -

-+ - = ơắđ + - =

ũ

Xột

( )

J f x dx

ị

-. Đặt t=- ¾¾x ® =-dt dx. Đổi cận:

2 2

x t

ì =- đ =
ùù

ớù = đ
=-ùợ

Suy ra

( )

2 2 2

J f t dt f t dt f x dx I

-=-

ò

Vậy

( )

2 3 2 3 .

4 4 20

I f x dx p I I p I p

ò

- = ơắđ + = ơắđ =

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

A. 3£ f

( )

5 - f

( )

2 £12.
B. - 12£ f

( )

5 - f

( )

2 £3.

C.

( )

1£ f 5 - f 2 £ 4.

D. - £4 f

( )

5 - f

( )

2 £ - 1.
Lời giải.

Chọn A.

Đầu tiên ta phải nhận dạng được

( )

5 2 '

f - f =

ò

f x dx

( )

[

]

{

( )

5 5 5

2 2 2

3 12

1£ f x' Ê 4, " ẻx 2;5 ắắđ

ũ

1dxÊ

ũ

f x dx' £

ò

4 .dx

1442443

</div>

Bài tập có đáp án chi tiết về dạng 3 bài tập tích phân hạn chế casio | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

 



 

<sub></sub>

 

 

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

<sub>ị</sub>

( )

( )

 

 

 



 

 

















 





ũ

ị



















 



<sub></sub>





<sub></sub>









 

<sub></sub>

<sub></sub>































ò

( )