Hướng dẫn giải các bài toán về cấp số cộng lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (315.82 KB, 32 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHƯƠNG III: DÃY SỐ - CẤP SÓ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

BÀI 3: CẤP SỐ CỘNG

PHẦN I – LÝ THUYẾT:
 1. Định nghĩa:

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vơ hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng
số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Đặc biệt, khi d 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:

1) Nếu

 

un là một cấp số cộng với công sai d, ta có cơng thức truy hồi

1 , .

n n

u  u d n 

2) Cấp số cộng

 

un là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d 0.

3) Cấp số cộng

 

un là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d 0.

2. Định lý:

Định lý 1. (Số hạng tổng quát)

Nếu cấp số cộng

 

un có số hạng đầu u1 và cơng sai d thì số hạng tổng quát un được xác định
bởi công thức:

1 ( 1) , 2.

n

u u  n d  n
 Định lý 2. ( Tính chất của CSC)

Trong một cấp số cộng

 

un , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của

hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

1 1

k k

k

u u

u     Với k 2.

Định lý 3. (Tổng của n số hạng đầu của một cấp số cộng)
Cho một cấp số cộng

 

un . Đặt Sn u1u2 ...un. Khi đó:

( )

n
n

n u u

S   hoặc 1

( 1)
.
2

n

n n

S nu   d

PHẦN II – CÁC DẠNG BÀI TẬP TỰ LUẬN:

Dạng 1. Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng.
Dạng 2. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng.
Dạng 3. Bài tốn chứng minh dựa vào tính chất cấp số cộng.
Dạng 4. Tìm tổng của một cấp số cộng.

Dạng 5. Bài toán thực tế liên quan đến cấp số cộng.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Phương pháp giải:

Xác định cấp số cộng, chứng minh một dãy số là một cấp số cộng:

 Dãy số ( )un là một cấp số cộng  un1 un d không phụ thuộc vào n ( n1;n ) và d là công

sai của cấp số cộng đó.

 Ba số a b c, , theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng  a c 2b.

 Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả
thiết của bài tốn qua u1 và d.

Tìm số hạng đầu tiên, cơng sai của cấp số cộng, tìm số hạng thứ k của cấp số cộng:
Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn u1 và d. Tìm được u1 và d.

Muốn tìm số hạng thứ k, trước tiên ta phải tìm u1 và d. Sau đó áp dụng cơng thức: uk u1



k 1



d.
Ví dụ điển hình

Ví dụ 1 Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng:
 2, 1, 4, 7,10,13, 16, 19.

Lời giải

Vì 19 16 16 13 13 10 10 7 7 4 4 1 1 ( 2) 3              
Nên dãy số 2,1, 4, 7, 10, 13, 16,19 là một cấp số cộng với công sai d 3.

Ví dụ 2 Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai.

a) Dãy số

 

an , với an 4n 3; b) Dãy số

 

bn , với

2 3
4

n

b   ;

c) Dãy số

 

cn , với c n 2018n; d) Dãy số

 

dn , với dn n2.

Lời giải

a) Ta có an1 4(n1) 3 4  n1 nên an1 an (4n1) (4 n 3) 4,  n 1.

Do đó

 

an là cấp số cộng với số hạng đầu a 1 4.1 3 1  và cơng sai d 4.
b) Ta có 1 2 3( 1) 1 3

4 4

n

n n

b      nên 1 1 3 2 3 3, 1

4 4 4

n n

b  b       n

Suy ra

 

bn là cấp số cộng với số hạng đầu 1

2 3.1 1

4 4

b    và công sai 3
4
d  .

c) Ta có 1 2018n 1
n

c 

  nên

1 2018 2018 2017.2018

n n n

n n

c c 

     (phụ thuộc vào giá trị
của n). Suy ra

 

cn không phải là một cấp số cộng.

d) Ta có 2
1 ( 1)

n

d   n nên 2 2

1 ( 1) 2 1

n n

d   d  n  n  n (phụ thuộc vào giá trị của n).
Suy ra

 

dn không phải là một cấp số cộng.

Ví dụ 3 Cho cấp số cộng

 

un có u 1 2 và d 5.
a) Tìm u20.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Lời giải
a) Ta có u20 u1(20 1) d  2 19.( 5) 93.

b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là un u1(n 1)d  7 5 .n
Vì u n 2018 nên 7 5 n2018 n405.

Do n 405 là số nguyên dương nên số2018 là số hạng thứ 405 của cấp số cộng đã cho
Ví dụ 4 a) Cho cấp số cộng

 

un có u 99 101 và u 101 99. Tìm u100.

b) Cho cấp số cộng 2, , 6,x y. Tính giá trị của biểu thức P x2 y2

  .

Lời giải
a) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có 99 101

100

u u

u   nên u 100 100.

b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có 2 6 2
2

x   và 6
2
x y

 .

Vì x 2 nên y 10.

Vậy P x2 y2 22 102 104

     .

Ví dụ 5 Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình
phương của chúng bằng 120

Lời giải.

Giả sử bốn số hạng đó là a 3 ;x a x a x a ;  ; 3x với công sai là d 2x.Khi đó, ta có:



 



















3 3 20

3 3 120

a x a x a x a x

        




       





2 2

4 20 5

4 20 120 1

a a

a x x

 

 

   

  

 

Vậy bốn số cần tìm là 2, 4,6,8.
Chú ý :

* Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán gọn hơn.

* Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi cơng sai d x, là chẵn thì gọi cơng sai d 2x rồi viết các số
hạng cấp số dưới dạng đối xứng.

* Nếu cấp số cộng ( )an thỏa:

1 2

2 2 2 2

1 2

...
...

n
n

a a a p

a a a s

   




   

 thì:





1
1

.
2
n n

a p d

n

  

   

 

và









2 2

2 2
12

ns p

d

n n



 .

Ví dụ 6 Cho CSC ( )un thỏa :

2 3 5

4 6

10
26

u u u

u u

  




 



</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Gọi d là cơng sai của CSC, ta có:

1 1 1

1 1

( ) ( 2 ) ( 4 ) 10

( 3 ) ( 5 ) 26

u d u d u d

u d u d

     




   



1 1

3 10 1

4 13 3

u d u

u d d

  

 

   

   



Ta có công sai d 3 và số hạng tổng quát : un u1(n 1)d 3n 2.

Ví dụ 7 Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn

2 3 5

4 6

10
26

u u u

u u

  




 

 Xác định cấp số cộng
Lời giải

Ta có: 1 1 1 1

1 1 1

( 2 ) 4 10 3 10

3 5 26 4 13

u d u d u d u d

u d u d u d

       

 



 

     

 

1 1, 3

u d

   ;u5 u14d  1 12 13

DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT DÃY SỐ LẬP THÀNH MỘT CẤP SỐ CỘNG
Phương pháp giải:

 a b c, , theo thứ tự đó lập thành CSC  a c 2b
Ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Chứng minh rằng các số: 1, 3,3 không thể cùng thuộc một CSC;

Lời giải.

Giả sử 1, 3,3 là số hạng thứ m n p, , của một CSC ( )un . Ta có:

3 3 ( )

( )

3 1

p n

n m

u u u p n p n

u u u n m n m



  

   

  

 vơ lí vì 3 là số vơ tỉ, cịn
p n
n m



 là số hữu tỉ.
1, 3,3 không thể cùng thuộc một CSC ( vơ lí ).

Ví dụ 2: Chứng minh rằng dãy số ( )un là CSC khi và chỉ khi un an b

Lời giải
 Giả sử ( )un là một CSC cơng sai d , khi đó :

1 ( 1) 1

n

u u  n d dn u  d an b . Với a = d và b u 1 d
Giả sử: un an b  un1 un  a un1 una, n

Suy ra ( )un là một CSC với cơng sai a.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng : Nếu phương trình x3 ax2 bx c 0

    có ba nghiệm lập thành CSC thì
3

9ab2a 27c

Lời giải
1. Giả sử phương trình có ba nghiệm x x x1, ,2 3 lập thành CSC
Suy ra: x1x3 2x2 (1)

Mặt khác: x3 ax2bx c (x x x x x x 1)(  2)(  3)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Từ (1) và (2), ta suy ra 3x2 a hay 2
3
a

x 

Dẫn tới phương trình đã cho có nghiệm 2
3
a

x  , tức là:

3 2 3

3
2

0 0 9 2 27

3 3 3 27 3

a a a a ba

a b c c ab a c

     

           

     

      .

Ta có đpcm.

Ví dụ 4: Tìm x biết : x2 1,x 2,1 3x

   lập thành cấp số cộng ;
Lời giải

1. Ta có: x2 1,x 2,1 3x

   lập thành cấp số cộng

2 1 1 3 2( 2) 2 5 6 0 2; 3

x x x x x x x

            

Vậy x2,x3 là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 5: Một tam giác vng có chu vi bằng 3a, và 3 cạnh lập thành một CSC. Tính độ dài ba cạnh của
tam giác theo a.

Lời giải
Gọi x, y, z theo thứ tự tăng dần của độ dài ba cạnh của tam giác.
Chu vi của tam giác: x y z  3a (1)

Tính chất của CSC có x z 2y (2)
Vì tam giác vng nên có: x2 y2 z2

  (3)

Thay (2) vào (1) được 3y3a y a , thay y = a vào (2) được: x z 2a x2a z
Thay x và y vào (3) được:



2



2 2 2 5 2 4 0 5 3

4 4

a a

a z a z  a  az   z  x

Kết luận độ dài ba cạnh của tam giác thỏa yêu cầu: 3 , ,5

4 4

a a

a .

DẠNG 3 :BÀI TOÁN CHỨNG MINH DỰA VÀO TÍNH CHẤT CỦA CẤP SỐ CỘNG

Phương pháp: Chúng ta sử dụng tính chất của cấp số cộng:

Dãy số

 

un là một cấp số cộng thì un1 un là một hằng số với mọi số ngun dương n

Và có tính chất 1 1
2

k k

k

u u

u    

Với mọi k 2;k .

Các ví dụ điển hình

Ví dụ 1 Chứng minh rằng nếu ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì ba số x, y, z cũng lập thành
một cấp số cộng, với: x a2 bc

  , y b 2  ca, z c 2  ab.
Lời giải

a, b, c là cấp số cộng nên a c 2b

Ta có 2y = 2b2 2 ,ca x z a2 c2 b a c( )

     

 x z (a c)2 2ac 2b2 4b2 2ac 2b2 2b2 2ac 2y

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ví dụ 2 Chứng minh rằng với mọi cách chia tập X 



1, 2,3,...,9



thành hai tập con rời nhau ln có
một tập chứa ba số lập thành cấp số cộng.

Lời giải.
Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp phản chứng

Giả sử X được chia thành hai tập con A và B đồng thời trong A và B khơng có ba số nào lập thành CSC.
Xét ba CSC (1;3;5), (3;4;5), (3;5;7)

Ta thấy số 3, 5 không thể cùng nằm trong một tập hợp, vì nếu hai số này thuộc A thì 1,4,7 phải thuộc B,
tuy nhiên các số 1,4,7 lại lập thành CSC.

Tương tự bằng cách xét CSC (3;5;7), (5;6;7), (5;7;9) thì ta có hai số 5,7 khơng thể cũng nằm trong một
tập.

Vì cặp (3;5) và (5;7) hkoogn cùng thuộc một tập nên ta suy ra
(3;7) thuộc A, 5 thuộc B. Khi đó ta xét các trường hợp sau

 4 A , vì 3, 4A 2A 2B, do 1,4,7 lập thành CSC nên 1 B ; 2,5,8 lập thành CSC nên
8A 9B

Do đó 1,5,9 B lập thành CSC vơ lí

 4 B , do 4,5B 6A mà 6,7A 8B

5,8B 2A, vì 2,3A 1 B, vì 1,5B 9A
Do đó: 3,6,9 B vơ lí.

Vậy bài tốn được chứng minh.

Ví dụ 3 Dãy số (xn) thỏa mãn điều kiện:

n m m n

x x x

m n

   



*
,
m n

   . Chứng minh rằng: (

n

x ) là một cấp số cộng.

Lời giải.
Đặt an xn nx1, khi đó ta có a 1 0 và

|am n am an| , m n,
m n

     

 . Ở đây ta sẽ chứng minh
0,

n

a    n . Thật vậy, ta có:

1
,
1

n n

a a n

n

    

 , nên lim |an1 an | 0 hay lim |an k  an | 0,   k .
Mà an k an ak 1

n k

   

 nên

lim | n k n k | 0

n a   a  a  .

Từ đây suy ra ak    0, k .

Vậy ta có điều phải chứng minh.

DẠNG 4 : TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG.
Cho một cấp số cộng

 

un . Đặt Sn u1u2 ...un. Khi đó:

( )

n
n

n u u

S   (1) hoặc 1 ( 1) .
2

n

n n

S nu   d (2)

Phương pháp:

1) Chúng ta thường sử dụng công thức (1) để tính Snkhi biết số hạng đầu và số hạng thứ n của cấp số

cộng.

2) Để tính được Sn, thì cơng thức (2) được sử dụng mọi trường hợp. Cụ thể là, chúng ta cần tìm được số

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

3) Các bài toán về cấp số cộng thường đề cập đến 5 đại lượng u d n u S1, , , ,n n. Chúng ta cần biết ba đại

lượng trong năm đại lượng là có thể tìm được hai đại lượng còn lại. Tuy nhiên, theo các cơng thức tính

n n

u S thì các bài tốn về cấp số cộng sẽ quy về việc tính ba đại lượng u d n1, , .

Các ví dụ điển hình:

Ví dụ 1 Cho cấp số cộng

 

un có u 1 2 và d 3.

a) Tính tổng của 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
b) Biết S n 6095374, tìm n.

Lời giải
Ta có

( 1) 3( ) (3 7)

2 .

2 2 2

n

n n n n n n

S nu   d  n   

a) Ta có 25 25(3.25 7) 850
2

S    .

b) Vì S n 6095374 nên 2

(3 7)

6095374 3 7 12190748 0

2
n n

n n



    

Giải phương trình bậc hai trên với nngun dương, ta tìm được n 2017.
Ví dụ 2 Cho 1 cấp số cộng (un) có số hạng tổng quát: un 7n 3

a) Tìm số hạng đầu và công sai của CSC b) Tìm u2012

c) Tính tổng 100 số hạng đầu d) Số 1208 là số hạng thứ mấy của CSC
Lời giải

a) Số hạng đầu: u1 = 4; công sai: d = 7 b) u2012 = 14081
c) S100 = [2 1 ( 1) ] 100[2.4 (100 1).7] 35050

2 2

n

u  n d    

d) Ta có: 7n – 3 = 1208  n = 173. Vậy: Số 1208 là số hạng thứ 173 của CSC
Ví dụ 3 Cho cấp số cộng:u u u1; ; ;....2 3 có cơng sai d.

1). Biết u2u22 40. Tính S23

2). Biết u1u4 u7 u10 u13u16 147. Tính u6u11; u1u6u11u16
4). Biết u4 u8 u12u16 224. Tính:S19

5). Biếtu23u57 29 . Tính:u10u70 u157 3u1

Lời giải
1). Biết u2u22 40. TínhS23

Ta có:u2u22 40 u1d u 121d 40 2u122d 40
Mà 23 23



2 1 22



23.40 460.

2 2

S  u  d  

2). Biết u1u4 u7 u10 u13u16 147. Tính u6u11; u1u6u11u16
Có: u1u4u7 u10 u13u16 147.

1 1 3 1 6 1 9 1 12 1 15 147.

u u d u d u d u d u d

           

1 1

6u 45d 147 2u 15d 49.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Ta có:u6 u11u1 5d u 110d 2u115d 49.

Ta có: u1u6 u11u16 u1u15d u 110d u 115d





1 1

4u 30d 2 2u 15d 2.49 98.

     

4). Biết u4 u8 u12u16 224. Tính:S19
Có:u4 u8 u12u16 224

1 3 1 7 1 15 224 4 1 36 224 1 9 56

u d u d u d u d u d

            

Ta có: 19 19



2 1 18





1 9



19.56 1064.
2

S  u  d  u  d  

5). Biếtu23u57 29 . Tính:u10u70 u157 3u1

Ta có: u23u57 29 u122d u 156d 29 2u178d 29.
Ta có: 3u1u10u70u157 3u1u19d u 169d u 1156d
6u1234d 3 2



u178d



3.29 87

Ví dụ 4 Tính các tổng sau:

a). S     1 3 5 (2n 1) (2 n1)

b). S     1 4 7 (3n 2) (3n 1) (3   n4)
c). S 1002 992 982 972 ... 22 12

     

Lời giải

a). Ta có dãy số 1,3,5, ,(2 n 1),(2n1) là cấp số cộng với công sai d 2 và u 1 1, số hạng tổng
quát um 2n1. Do đó có 2n 1 u1(m 1)d  2n  1 1 (m 1).2 m n 1.

Vậy



 



1 2 ( 1)(2 1)

2 2

n

n u nd n n

S        .

b). Ta có dãy số 1, 4,7, ,(3 n 2),(3n 1),(3 n4) là cấp số cộng với công sai d 3 và u 1 1, số
hạng tổng quát um 3n4. Do đó có: 3n 4 u1



m 1



d  3n  4 1



m 1 .3



 m n 2

Vậy









( 2) 2 ( 1)3

2 ( 1) ( 2)(3 5)

2 2 2

n

n n

m u m d n n

S            .

c). S 1002 992 982 972 ... 22 12

     



100 99 100 99

 

98 97 98 97

 



...



2 1 2 1

 



         

199 195 ... 3

   

Ta có dãy số 3,7,...,195,199 là cấp số cộng với cơng sai d 4, số hạng đầu tiên u 1 3 và số hạng n là
199

n

u  .

Do đó có 199 3 



n 1 .4



 n50.
Vậy 50 2.3 49.4





5050

S    .

Ví dụ 5 Cho cấp số cộng:a a1; ;...2 có cơng sai d.CMR:
a).S3n 3



S2n  Sn



b). 4 2 6

1
3

n n n

S  S  S

c). Sn3 3Sn1 3Sn2 Sn d). 2



S3n  Sn



S4n e).





,
2

n n k n k

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Lời giải

Ta có: 3 1





 

2 3 1 1

n

S   u  n d

Ta có:













3 3 2 2 1 2 1

2 2

n n

S  S    u  n d   u  n d

 













 

1 1 1

3. 4 4 2 2 1 2 3 1 2

2 2

n n

u n d u n d u n d

 

            

Từ (1) và (2) suy ra:S3n 3



S2n  Sn



b). 4 2 1 6
3

n n n

S  S  S

Ta có









4 2

4 2 (4 1) 2 2 (2 1)

2 2

n n

n a n d n a n d

S  S      

n a



4 18nd 2d 2a1 2nd d



 n a2 1



6n 1



d (1)

Và 1









6 1

6 2 6 1

1 1

. 2 6 1

3 n 3 2

n a n d

S       n a  n d (1)

Từ (1) và (2) suy ra 4 2 1 6
3

n n n

S  S  S .

c), d). Sử dụng cơng thức tính tổng khai triển hai vế, cách giải hoàn toàn tương tự câu b).
e). 1





n n k n k

u  u  u   n k

có

















1 1

1 1 1

2 un k uk  2u  n k  d u  n k  d   u n d u n (đpcm).

DẠNG 5 : BÀI TOÁN THỰC TẾ

Phương pháp: Sử dụng giả thiết của bài toán thiết lập mối quan hệ các yếu tố là một cấp số cộng rồi
sử dụng tính chất cấp số cộng để tính tốn.

Các ví dụ điển hình

Ví dụ 1 Một chiếc đồng hồ đánh chuông, số tiếng chuông được đánh bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại
thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông báo giờ (mỗi

ngày 24 tiếng)

Lời giải.

a. Gọi un là số tiếng chng ở giờ thứ n, trong đó1 n 12. Sau 12 giờ đồng hồ đánh 
được:

b. S12 U1...U12 6.(1 12) 78  tiếng. Một ngày đồng hồ đánh được 78.2 = 156
tiếng

Ví dụ 2 Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ
hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây,...Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây?

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Số cây mỗi hàng (bắt đầu từ hàng thứ nhất) lập thành một cấp số cộng ( )un có u1=1,d=1. Giả

sử có n hàng cây thì

Ta có 3003 1 ( 1) 2 6006 0 77
2

n n

Sn nu - d n n n

= = + Û + - = Û =

Ví dụ 3 Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ơ
thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là
5,… và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng

25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ơ vng?
Lời giải.

Số hạt dẻ trên mỗi ô (bắt đầu từ ô thứ nhất) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng ( )un có u1=7,d= 5.

Gọi n là số ơ trên bàn cờ thì u1+u2+L +un=25450=Sn. Ta có

( 1) 2

25450 1 7 .5

2 2

n n n n

Sn nu - d n

-= = + = +

5n 9n 50900 0 n 100

Û + - = Û =

BÀI TẬP KIỂM TRA

ĐỀ TỰ LUẬN:

Bài 1: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ? Tìm số hạng đầu và cơng sai của nó ?

(nếu có)

a) un  9 5n b) u  n 2n 1

Bài 2: Cho cấp số cộng (un) có số hạng tổng quát: un 7n 3

a) Tìm số hạng đầu và công sai của CSC b) Tìm u2018

c) Tính tổng 100 số hạng đầu d) Số 1208 là số hạng thứ mấy của CSC
Bài 3: Cho cấp số cộng (un), biết u1 = 5 ; d = 3 và Sn = 34275

a) Tìm cơng thức số hạng tổng qt của cấp số cộng.
b) Tìm n.

Bài 4: Cho cấp số cộng (un) có u20 = – 52 và u51 = – 145. Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
Bài 5: Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng (un), biết:

9 4

3 8

. 184

u u

u u

 







Bài 6: Tam giác ABC có ba góc A B C, , theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C 5A. Xác định số
đo các góc A B C, , .

Bài 7: Chứng minh ba số a b c , , 0 là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi 3 số

2 2; 2 2; 2 2

a ab b c ca a b bc c cũng là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng.

Bài 8: Cho a, b, c là đội dài ba cạnh của một tam giác với a b c  và chúng lập thành một cấp số cộng
CMR: ac=6.R.r

Câu 9: Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp
hát có tất cả bao nhiêu ghế?

Câu 10: Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước đến để
khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ 2 giá của mỗi mét
khoan tăng thêm 5000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới
có nước. Vậy hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài 1: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ?. Tìm số hạng đầu và cơng sai của nó ?
(nếu có) a) un  9 5n b) u  n 2n 1

Giải: a) Xét hiệu: un + 1 – un = 9 – 5(n + 1) – (9 – 5n) = 9 – 5n – 5 – 9 + 5n = – 5

Vậy : Dãy số un = 9 – 5n là một cấp số cộng. Số hạng đầu là: u1 = 9 – 5 = 4 ; công sai là: d = – 5 
b) Xét hiệu: un + 1 – un = 2n1 1 2n  1 2 n1 2n
Vậy: Dãy số 2n 1

n

u   không phải là 1 cấp số cộng.

Bài 2: Cho 1 cấp số cộng (un) có số hạng tổng quát: un 7n 3

a) Tìm số hạng đầu và công sai của CSC b) Tìm u2018 14123

c) Tính tổng 100 số hạng đầu d) Số 1208 là số hạng thứ mấy của CSC
Giải: a) Số hạng đầu: u1 = 4; công sai: d = 7 b) u2018 14123

c) S100 = 1

100

[2 ( 1) ] [2.4 (100 1).7] 35050

2 2

n

u  n d    

d) Ta có: 7n – 3 = 1208  n = 173. Vậy: Số 1208 là số hạng thứ 173 của CSC

Bài 3: Cho cấp số cộng (un), biết u1 = 5 ; d = 3 và Sn = 34275

a) Tìm công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng.
b) Tìm n

Giải:

a) un = u1 + (n – 1)d = 5 + (n – 1).3 = 2 + 3n
b) Ta có : Sn = [2 1 ( 1) ]

2
n

u  n d  34275 = [2.5 ( 1).3]
2

n

   68550 = 10n + 3n2 – 3n

 3n2 + 7n – 68550 = 0 

150
457
( )
3
n
n loại




 


. Vậy: n = 150

Bài 4: Cho cấp số cộng (un) có u20 = – 52 và u51 = – 145. Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
Giải: Ta có: u20 = u1 + 19d; u51 = u1 + 50d

Khi đó, ta có hệ: 1
1
19 52
50 145
u d
u d
 


 


 1 5

3
u
d







Suy ra: un = u1 + (n – 1)d = 5 + (n – 1).( –3) = 8 – 3n

Bài 5: Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng (un), biết:

9 4
3 8
15
. 184
u u
u u
 




Giải
9 4
3 8
15
. 184
u u
u u
 






 1 1

1 1

8 3 15

( 2 )( 7 ) 184

u d u d

   


  


1 1
5 15

( 2 )( 7 ) 184

d

u d u d





  


1 1
3

( 6)( 21) 184

d
u u



  

 2
1 1
3

27 58 0

d
u u



  



1 1
3
2; 29
d
u u



 


Bài 6: Tam giác ABC có ba góc A B C, , theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C 5A. Xác định số
đo các góc A B C, , .

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Ba góc A B C, , theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng thì A + C = 2B hay B 600kết hợp giả thiết ta có

hệ

0 0

5 100

120 20

C A C

C A A

  

 



 

   

 

Bài 7: Chứng minh ba số a b c , , 0 là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi 3 số

2 2; 2 2; 2 2

a ab b c ca a b bc c cũng là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng.
Giải

2 2; 2 2; 2 2

a ab b c ca a b bc c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2( )

2 ( 2 )

( 2 )( ) 0

2
0( )

a ab b b bc c c ca a

b ab bc c ca a

c a b c a b

c a b

c a b l

        

     

     

 



    



; ;
a b c

 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Bài 8: Cho a, b, c là đội dài ba cạnh của một tam giác với a b c  và chúng lập thành một cấp số cộng
CMR: ac=6.R.r

Giải

Ba số a, b, c dương là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng  a c 2b
Công thức diện tích tam giác

4
4
abc
S

R

S pr prR abc



  

Ta có a c 2b 2p3b 4pac6abc pac6pRr  ac6Rr(đpcm)

Câu 9: Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp
hát có tất cả bao nhiêu ghế?

Giải

Ghế trong các dãy lập thành CSC 30 số hạng công sai d=3 và số hạng đầu là 25. Rạp hát có tất cả
30 15(50 29.3) 2055

S    ghế

Giải

Gọi un là giá của mét khoan thứn, trong đó1 n 50.

Theo giả thiết, ta có u 1 80.000 và un1 un 5.000 với 1 n 49.

Ta có ( )un là cấp số cộng có số hạng đầu u 1 80.000 và công sai d 5.000.

Tổng số tiền gia đình thanh tốn cho cơ sở khoan giếng chính là tổng các số hạng của cấp số
cộng d. Suy ra số tiền mà gia đình phải thanh tốn cho cơ sở khoan giếng là

50 1 2 50

50[2 (50 1) ]

.... 10.125.000

u d

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1 : Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng đó:
a). Dãy số

 c) un = 3n d) un =
7 3

2
n


Bài 3: Dãy số ( )un có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai ? Biết:

1. un 2n3 2. un 3n1 3. un n2 1 4.

n

u
n


Bài 4. Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai.
 1. un 3n1 2. un  4 5n 3.

2 3

n

u  

4. un n 1
n



 5. 
2

n n

n

u  6. un n2 1

Bài 5 Cho cấp số cộng ( )un thỏa

5 3 2

7 4

3 21

3 2 34

u u u

u u

  




 



Tính số hạng thứ 100 của cấp số

Bài 6.

1. Tam giác ABC có ba góc A B C, , theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C 5A. Xác định số đo
các góc A B C, , .

2. Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và sin sin sin 3 3
2

A B C   tính
các góc của tam giác

2. Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương
của chúng bằng 29.

Bài 7.

1. Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn

7 3

2 7
8

. 75

u u

u u

 






 . Tìm 1
,
u d?

2. Cho cấp số cộng (un) có cơng sai d 0;

31 34

2 2

31 34
11
101

u u

 




 



. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng

Bài 8. Tìm x để các số sau lập thành cấp số cộng 1. 1; ;x x3 2. 1;sin ;4sin

6 x x



 



 

 

Bài 9. Xác định a b, để phương trình x3 ax b 0

   có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Bài 10 Tìm m để phương trình:

.mx4 2



m 1



x2 m 1 0

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>





1
2

n n k n k

u  u  u  , 1  k n 1
Bài 12

1. Cho ba số a b c, , lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng : a2 2bc c2 2ab

   .

2. Cho a b c , , 0 lập thành cấp sô cộng.Chứng minh rằng :
1 1 2

a b  b c  c a .
Bài 13

1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng tan ;tan ;

2 2

A B

tan
2
C

lập thành cấp số cộng
cos ;cos ;cosA B C

 lập thành cấp số cộng.

2. Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng cot ;cot ;cot

2 2 2

A B C

lập thành cấp số cộng
sin ;sin ;sinA B C

 lập thành cấp số cộng.

Bài 14 Cho cấp số cộng (an) với các số hạng khác không và công sai khác không.Chứng minh rằng:

1 2 2 3 1 1

1 1 1 1

...

n n n

n

a a a a a a a a



    .

3. Cho bốn số thực a a a a1; ; ;2 3 4.Biết rằng :

1 2 2 3 1 3

1 2 2 3 3 4 1 4

1 1 2

1 1 1 3

a a a a a a

a a a a a a a a



 





   





Chứng minh rằng : a a a a1; ; ;2 3 4 lập thành cấp số cộng.

4. Cho a b c, , lần lượt là ba số hạng thứ m n p, , của một cấp số cộng. Chứng minh rằng :













. . . 0

a n p b p m c m n  .

5. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba số a b c, , là ba số hạng của một CSC là tồn tại ba số

nguyên khác không p q r, , thỏa: 0
0
pa qb rc
p q r

  




  

 .

6.Cho CSC ( )un thỏa Sm Sn (m n ). Chứng minh Sm n 0.

7. Chứng minh rằng nếu ba cạnh của tam giác lập thành CSN thì cơng bội của CSN đó nằm trong khoảng

5 1 1 5

;

2 2

   

 

 

Bài 15

1. Chứng minh ba số a b c , , 0 là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi 3 số

2 2; 2 2; 2 2

a ab b c ca a b bc c cũng là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng.
2. Cho ( )un là cấp số nhân. Kí hiệu S u 1u2...un;

1 2

1 1 1

... ; ... n

n

T P u u u

u u u

     . Hãy tính P theo S,T và n.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

1. Chứng minh rằng tồn tại không quá hai giá trị của k sao cho k
n

C , k 1

n

C  và k 2

n

C  là ba số hạng liên tiếp
của một CSC.

2. Chứng minh rằng không tồn tại k để k
n

C , k 1

n

C  , k 2

n

C  và k 3

n

C  là bốn số hạng liên tiếp của một CSC.
Bài 17

1. Cho ( )un là CSC. Chứng minh rằng:

1 1 1

0 1

1 2

2 2

k

n n

k n

k n k

u u u n

C k



 



 

 





2 1

2 3 2 1 1

x

E dx

x x




  



2. Cho k là một số nguyên dương cho trước. Giả sử s s s1, , ,...2 3 là một dãy tăng nghặt các số nguyên
dương sao cho các dãy con s s ss1, , ,...s2 s3 và ss k1 ,ss2k,ss k3 ,... đều là cấp số cộng. Chứng minh rằng

1, , ,...2 3

s s s cũng là một cấp số cộng

PHẦN III – CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Dạng 4. Tìm tổng của một cấp số cộng.

Dạng 5. Bài toán thực tế liên quan đến cấp số cộng.

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG
Phương pháp giải:

Xác định cấp số cộng, chứng minh một dãy số là một cấp số cộng:

 Dãy số ( )un là một cấp số cộng  un1 un d không phụ thuộc vào n ( n1;n ) và d là cơng

sai của cấp số cộng đó.

 Ba số a b c, , theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng  a c 2b.

 Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và cơng sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả
thiết của bài tốn qua u1 và d.

Muốn tìm số hạng thứ k, trước tiên ta phải tìm u1 và d. Sau đó áp dụng cơng thức: uk u1



k 1



d.
Ví dụ điển hình

Ví dụ 1 Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. Dãy số

 

an , với

*
2 ,n

n

a    n .

B. Dãy số

 

bn , với b1 1,bn1 2bn 1,  n *.

C. Dãy số

 

cn , với

2 2 *

(2 3) 4 ,

n

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

D. Dãy số

 

dn , với

1 1

2018

1, ,

n
n

d d n

d


   

  .

Lời giải

Đáp án C.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
- Phương án A: Ba số hạng đầu tiên của dãy số 2, 4, 8.

Ba số này không lập thành cấp số cộng vì 4 2 2 4 8 4.    
- Phương án B: Ba số hạng đầu tiên của dãy số 1, 3, 7.

Ba số này khơng lập thành cấp số cộng vì 3 1 2 4 7 3.    
- Phương án C: Ta có cn  9 12 ,n   n *

Do đó, *

1 12,

n n

c   c    n nên ( )cn là cấp số cộng.

- Phương án D: Ba số hạng đầu tiên của dãy số 1, 1009,1009.
505
Ba số này không lập thành cấp số cộng.

Chú ý:

1) Để chứng minh dãy số

 

un là một cấp số cộng, chúng ta cần chứng minh un1 un là một

hằng số với mọi số nguyên dương n.

2) Để chỉ ra dãy số

 

un không phải là một cấp số cộng, chúng ta cần phải chỉ ra ba số hạng

liên tiếp u uk, k1,uk2 của dãy số không lập thành một cấp số cộng.
Ví dụ 2 Cho cấp số cộng

 

un có u 1 123 và u3  u15 84. Tìm số hạng u17.

A.u 17 242. B.u 17 235. C.u 17 11. D. u 17 4.

Lời giải
Đáp án C.

Ta có cơng sai của cấp số cộng là 3 15 84 7

3 15 12

u u

d    

  .

Suy ra u17 u1(17 1) d 11.
Vậy phương án đúng là C.

STUDY TIP

Với việc biết được số hạng đầu và cơng sai của một cấp số cộng, chúng ta hồn tồn xác định
được các yếu tố cịn lại của một cấp số cộng như số hạng tổng quát, thứ tự của số hạng và tổng
của n số hạng đầu tiên. Tham khảo các bài tập sau.

Ví dụ 3 Cho cấp số cộng

 

un có u12u5 0 và S 4 14. Tính số hạng đầu u1 và cơng sai d của
cấp số cộng.

A.u1 8,d 3. B. u1 8,d 3. C.u18,d 3. D. u1 8,d 3.

Lời giải
Đáp án D.

Ta có u12u5  0 u12(u14 ) 0d   3u18d 0.
1

4 1

4(2 3 )

14 14 2 3 7

u d

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Ta có hệ phương trình 1 1
1

3 8 0 8

2 3 7 3

u d u

u d d

  

 



 

   



Vậy phương án đúng là D

DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT DÃY SỐ LẬP THÀNH MỘT CẤP SỐ CỘNG
Phương pháp giải:

 a b c, , theo thứ tự đó lập thành CSC  a c 2b
Ví dụ điển hình

Ví dụ 1 : 
Xác định m để:

1. Phương trình x3 3x2 9x m 0

    có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. m 16 B. m 11 C. m 13 D. m 12

2. Phương trình x4 2



m 1



x2 2m 1 0

     (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. m 2 hoặc 4
9

m  B. m 4 hoặc 4

9
m 

C. m 4 hoặc m 2 D. m 3 hoặc m 1
 Hướng dẫn giải

1. Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Khi đó:x1x3 2 ,x x2 1x2 x3  3 x2 1

Thay vào phương trình ta có : m 11.

Với m 11 ta có phương trình :x3 3x2 9x 11 0

   









1 2 3

1 2 11 0 1 12, 1, 1 12

x x x x x x

          

Ba nghiệm này lập thành CSC.
Vậy m 11 là giá trị cần tìm.
2. Đặt t x t2, 0

  .

Phương trình trở thành: t2 2



m 1



t 2m 1 0

     (2)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt

2 1 0

t t  .













' 0 1 2 1 0

0 2 1 0 0

0 2 1 0

m m

P m m

S m



     






         

    

 

Khi đó PT(2) có bốn nghiệm là:  t2; t1; t1; t2
Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi :

2 1 1

2 1 2 1

1 2 1

3 9

t t t

t t t t

t t t

  



   



  

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Theo định lý viet thì : 1 2





1 2

2 1

t t m

t t m

   



 







1 1 2

1 1

9 2 1

9 32 16 0 4

9 2 1

9
m

t t m

m m

t t m m




    

      



  





Vậy m 4 hoặc 4
9

m  là những giá trị cần tìm.

STUDY TIP

Phương trình bậc ba ax3 bx2 cx d 0



a 0



     có ba nghiệm phân biệt lập thành một

cấp số cộng thì điều kiện cần là

3
b
x

a

 là nghiệm của phương trình. Giải điều kiện này ta

có hệ thức liên hệ giữa các hệ số của phương trình là 2b3 9abc 27a d3 0

   . Trong thực

hành giải toán, chúng ta cũng chỉ cần ghi nhớ điều kiện cần là

3
b
x

a

 là nghiệm của

phương trình

DẠNG 3 :BÀI TỐN CHỨNG MINH DỰA VÀO TÍNH CHẤT CỦA CẤP SỐ CỘNG

Phương pháp: Chúng ta sử dụng tính chất của cấp số cộng:

Dãy số

 

un là một cấp số cộng thì un1 un là một hằng số với mọi số ngun dương n

Và có tính chất 1 1
2

k k

k

u u

u    

Với mọi k 2;k .

Các ví dụ điển hình

Ví dụ 1. Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. a2 c2 2ab 2bc

   . B. a2 c2 2ab 2bc.

C. a2 c2 2ab 2bc

   . D. a2 c2 ab bc .

Lời giải
Chọn B.

a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:









2 2 2 2 2

b a c b    b a  c b  a  c  ab bc.
Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 2. Cho a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. a2 c2 2ab 2bc 2ac

    . B. a2 c2 2ab2bc 2ac.

C. a2 c2 2ab 2bc 2ac

    . D. a2 c2 2ab 2bc2ac.
Lời giải

Chọn C.
, ,

a b ctheo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi









2 2 2 2 2

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>









2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

a c c ab bc ab c c b

ab c b a ab bc ac

       

     

Ví dụ 3. Cho a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số
cộng ?

A. 2 , ,b a c2 2. B. 2 , 2 , 2b  a  c. C. 2 , ,b a c. D. 2 ,b a c , .
Lời giải

Chọn B.

Ta có a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a c 2b







 







2 b c 2.2a 2b 2c 2 2a

         

2 , 2 , 2b a c

    lập thành một cấp số cộng

DẠNG 4 : TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG.
Cho một cấp số cộng

 

un . Đặt Sn u1u2 ...un. Khi đó:

( )

n
n

n u u

S   (1) hoặc 1 ( 1) .
2

n

n n

S nu   d (2)

Phương pháp:

1) Chúng ta thường sử dụng cơng thức (1) để tính Snkhi biết số hạng đầu và số hạng thứ n của cấp số

cộng.

2) Để tính được Sn, thì cơng thức (2) được sử dụng mọi trường hợp. Cụ thể là, chúng ta cần tìm được số

hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng.

3) Các bài toán về cấp số cộng thường đề cập đến 5 đại lượng u d n u S1, , , ,n n. Chúng ta cần biết ba đại

lượng trong năm đại lượng là có thể tìm được hai đại lượng cịn lại. Tuy nhiên, theo các cơng thức tính

n n

u S thì các bài tốn về cấp số cộng sẽ quy về việc tính ba đại lượng u d n1, , .

Ví dụ 1 Cho dãy số

 

un xác định bởi u 1 321 và un1 un  3 với mọi

n   . Tính tổng S của
125 số hạng đầu tiên của dãy số đó.

A.S 16875. B.S 63375. C.S 63562,5. D.S 16687,5.
Hướng dẫn giải

Từ công thức truy hồi của dãy số

 

un , ta có

 

un là một cấp số cộng với cơng sai d 3. Do

đó tổng của 125 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là





125. 2 125 1

16875
2

u d

S      

Vậy chọn phương án A.

Ví dụ 2 Cho cấp số cộng

 

un có u 1 4 và d 5. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
A. S100 24350. B. S100 24350. C. S100 24600. D. S100 24600.

Hướng dẫn giải





100.99

100 24350

1 2 100 1 2



 n n     

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Ví dụ 3 Cho cấp số cộng

 

un có 1
1
4

u  và 1.

d  Gọi S5 là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số
cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 5 5.
4

S  B. 5 4.

S  C. 5 5.

S  D. 5 4.

5
S 
Hướng dẫn giải

1

5 1





50 1 50

50
3 50
3 3825
150 2
n
u

u n S u u

u



         



 Chọn D.

Chú ý:



1



1





2 2

n n

n n
n

S  u u nu   d

Ví dụ 6 Cho cấp số cộng

 

un có cơng sai d 3 và u22 u32 u42 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S100
của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

A.S100 14650. B.S100 14400. C.S100 14250. D.S100 15450.
Hướng dẫn giải

Đặt a u 1 thì

















2 2 2 2

2 3 4 2 3 3 36 126 3 6 18 18

u u u  a d  a d  a d  a  a  a   với
mọi a.

Dấu bằng xảy ra khi a 6 0  a6.Suy ra u 1 6.

Ta có 1





100

100. 2 100 1

14250
2

u d

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Ví dụ 7 Cho cấp số cộng 3,8,13,... Tính tổng S   3 8 13 ... 2018  .

A.S 408422. B.S 408242. C.S 407231,5. D.S 409252,5.
Hướng dẫn giải

Cấp số cộng 3,8,13,... có số hạng đầu a 1 3 và công sai d 5.
Suy ra 2018 là số hạng thứ 2018 3 1 404

5


  của cấp số cộng.

Do đó 404 404. 3 2018





408242
2

S S    . Vậy B là phương án đúng.

Nhận xét: Từ kết quả của bài tập này, chúng ta có thể giải quyết các câu hỏi sau đây: 
Câu a.Cho cấp số cộng 3,8,13,..., ,...x Tìm x biết 3 8 13 ...   x408242.

A.x 2017. B.x 2016. C.x 2019. D.x 2018.

Câu b.Cần viết thêm vào giữa hai số 3 và 2018 bao nhiêu số hạng để thu được một cấp số
cộng hữu hạn có tổng các số hạng bằng 408242?

A.402. B.403. C.405. D.404.

DẠNG 5 : BÀI TOÁN THỰC TẾ

Các ví dụ điển hình

Ví dụ 1 Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá từ mét khoan đầu tiên là 100000
đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm30000 đồng so với giá của

mét khoan ngay trước đó. Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan
một giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hồn thành việc
khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu?

A.7700000đồng. B.15400000đồng. C.8000000đồng. D.7400000đồng.
Hướng dẫn giải

Gọi un là giá của mét khoan thứn, trong đó1 n 20.

Theo giả thiết, ta có u 1 100.000 và un1 un 30.000 với 1 n 19.

Ta có ( )un là cấp số cộng có số hạng đầu u 1 100000 và cơng sai d 30000.

20 1 2 20

20[2 (20 1) ]

.... 7.700.000

u d

S u u  u     (đồng).
Vậy phương án đúng là A.

Ví dụ 2 Mặt sàn tầng của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai
gồm 21 bậc, một bậc cao 18cm. Kí hiệu hn là độ cao của bậc thứ n so với mặt sân. Viết

công thức để tìm độ cao hn.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

C. hn 0,5n0,18

 

m . D. hn 0,5n 0,32

 

m .
Hướng dẫn giải

Ký hiệu hn là độ cao của bậc thứ n so với mặt sân.

Khi đó, ta có hn1 hn 0,18 (mét), trong đó h 1 0,5 (mét). Dãy số

 

hn lập thành một cấp

số cộng có h 1 0,5 và công sai d 0,18. Suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng này là





0,5 1 .0,18 0,18. 0,32

n

h   n  n (mét).
Đáp án A.

ĐỀ TRẮC NGHIỆM:

Câu 1 : Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Dãy số 1;0; ;1; ;...1 3

2 2 2

 là một cấp số cộng:
1

1
2
1
2
u

d






 



B. Dãy số 1 1 1; 2; 3;...

2 2 2 là một cấp số cộng:
1

2
1

; 3

2
u

d n







  




C. Dãy số : – 2; – 2; – 2; – 2; là cấp số cộng 1 2
0
u
d









D. Dãy số: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; không phải là một cấp số cộng.
Lời giải

Chọn B.

Dãy số 1 1 1; 2; 3;...

2 2 2 không phải cấp số cộng do
1

2
1

2 1

1
2
u

u
d







 


 



Câu 2 : Cho một cấp số cộng có u1 3;u6 27. Tìm d ?

A. d 5. B. d 7. C. d 6. D. d 8.

Lời giải
Chọn C.

Ta có: u6 27 u15d 27  3 5d27 d 6

Câu 3 : Cho cấp số cộng

 

un có: u1 0,1;d 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6. B. Cấp số cộng này khơng có hai số 0,5 và 0,6.

C. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là: 0,5 .D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9.
Lời giải

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Số hạng tổng quát của cấp số cộng

 

un là:





0,1 1 .1

n

u   n  n .

Giả sử tồn tại k  * sao cho 0,5 11 0,5 8

10 5

k

u   k   k  (loại). Tương tự số 0,6

Câu 4 : Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng.

A. 7; 12; 17. B. 6; 10;14. C. 8;13;18 . D. 6;12;18.
Lời giải

Chọn A.

Khi đó

2
1

1 3

2 5 7
2

22 4 5 7 5 12

12 5 17
u

u

u d d u

u

  




 

        

 



    



Câu 5 : Cho dãy số

 

un với : un  7 2n. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. 3 số hạng đầu của dãy:u 15;u2 3;u3 1. B. Số hạng thứ n + 1:un1  8 2n.

C. Là cấp số cộng có d = – 2. D. Số hạng thứ 4: u 4 1.
Lời giải

Chọn B.

Thay n 1;2;3;4đáp án A, D đúng





1 7 2 1 5 2 7 2 ( 2) ( 2) .

n n

u    n   n  n  u     n suy ra đáp án B sai

Câu 6: Cho dãy số

 

un có: 1

1
3;

u  d  . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 3 1





n

u   n . B. 3 1 1

n

u   n .

C. 3 1





n

u   n . D. 3 1





n

u n  n 

 .

Lời giải
Chọn C.

Sử dụng công thức SHTQ un u1



n 1



d



 n 2 .



Ta có:





3 1

n

u   n

Câu 7 : Cho dãy số

 

un có: 1

1 1

;

4 4

u  d  . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 5 5.

S  B. 5 4.

S  C. 5 5.

S  D. 5 4.

5
S 
Lời giải.

Chọn C.

Sử dụng cơng thức tính tổng n số hạng đầu tiên:









1 1 *

2 1

2 2

n
n

n u n d n u u

S        n 

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Câu 8 : Cho dãy số

 

un có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?

A. u 1 16 B.u 1 16 C. 1 1

u  D. 1 1

16
u 

Lời giải
Chọn A.

Ta có:





1 8 8 8 1

8 1 8 1

2 : 8 18

2 16.

7 14

n
n

n

n u u

S u u S u u

u

u u d u u

u u

d
n

 



      



   

  

   

  

 

 



Câu 9 : Cho dãy số

 

un có u1 1;d 2;Sn 483. Tính số các số hạng của cấp số cộng?

A.n 20. B. n 21. C. n 22. D. n 23.

Lời giải
Chọn D

Ta có: 2 1





n

n u n d

S     









2 23

2.483 . 2. 1 1 .2 2 483 0

21
n

n n n n

n



          



Do n N* n 23

   .

Câu 10 : Cho dãy số

 

un có u1  2;d  2;S 21 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. S là tổng của 5 số hạng đầu của cấp số cộng.

B. S là tổng của 6 số hạng đầu của cấp số cộng.

C. S là tổng của 7 số hạng đầu của cấp số cộng.

D. S là tổng của 4 số hạng đầu của cấp số cộng.
Lời giải
Chọn B.

Ta có: 2 1





n

n u n d

S     









2 6

2.21 2 . 2. 2 1 . 2 21 0

7
n

n n n n

n



         



Do n N* n 6

   . Suy ra chọn đáp án B.
Câu 11 : Xác định x để 3 số : 1 x x; ;12 x

  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

A. Khơng có giá trị nào của x. B. x 2.

C.x 1. D. x 0.

Lời giải :
Chọn C.

Ba số : 1 x x; ;12 x

  lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khix2 



1 x



  1 x x2
2

2x 2 x 1

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Câu 12 : Cho cấp số cộng

 

un có u4 12;u14 18. Tìm u1, d của cấp số cộng?

A. u1 20,d 3. B. u1 22,d 3. C. u1 21,d 3. D. u1 21,d 3.

Lời giải
Chọn C.

Ta có : 4 1 1

14 1 1

3 3 12 3

13 13 18

u u d u d d

u

u u d u d

    

  

 

  



    

 

. Suy ra chọn đáp án C

Câu 13. Biết các số C1n; Cn2; Cn3 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n>3. Tìm n.
A. n=5. B. n=7. C. n=9. D. n=11.

Lời giải.

Ba số C1n; Cn2; Cn3 theo thứ tự u u u1 2 3, , lập thành cấp số cộng nên

( ) ( 2)( 1) ( 1)

1 3 2

2 2 2.

1 3 2 3 6 2

n n n n n

u +u = u Û Cn+Cn= Cn n³ Û +n - - =

-( )

2 3 2 2 2

1 1 9 14 7 .

7 3

n

n n n n n n n

n

é
ê
ê
ë

- +

Û + = - Û - + Û Û = ³

= Chọn B.

Câu 14. Cho cấp số cộng u u1 2; ; ; ; u3 L un có công sai d, các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác
0. Với giá trị nào của d thì dãy số 1 ; 1 ; 1 ; ; 1

1 2 3

u u u L un là một cấp số cộng?

A. d=- 1. B. d=0. C. d=1. D. d=2.

Lời giải.

Ta có

1 1

2 1 2 1 1 2 .

1 1
3 2

3 2 2 3

d

u u d u u u u

u u d d

u u u u

ìïï
ï

ì ï

ï ï

ï ï

í í

ï ï

ï ù

ợ ùù

ùùợ

=-- =

ị

- = -

=-Theo yờu cu bi tốn thì ta phải có 1 1 1 1

2 1 3 2

u - u =u - u

1 1 2 0

1 3 1
1 3

d

u u u d

u u

ê é

ê ê ắắđ

ờ ờ

ờ ờở

ờ
ở

= =

= = = + = Chọn B.

Câu 15 : Cho cấp số cộng

 

un cóu4 12;u14 18. Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

20 2. 35 19.5

250
2

S       .

Câu 17 : Cho cấp số cộng (u )n có u2u3 20, u5u7 29. Tìm u d1, ?

A. u1 20;d 7. B. u1 20,5;d 7. C. u1 20,5;d 7. D.u1 20,5;d 7.
Lời giải

Chọn C.

Áp dụng cô ng thức un u1(n 1)d ta có

1 1

2 3 20 20,5

2 10 29 7

u d u

u d d

  

 



 

   

 .

Câu 18 : Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25o
. Tìm 2 góc cịn lại?

A. 65o ; 90o. B. 75o ; 80o. C. 60o ; 95o. D. 60o ; 90o.
Lời giải

Chọn D.

Ta có :u1u2 u3 180 25 25 d25 2 d 180 d 35.
Vâỵ u2 60; u3 90.

Câu 19 : Cho tứ giác ABCDbiết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng 30o. Tìm
các góc cịn lại?

A. 75o ; 120o; 165o. B. 72o ; 114o; 156o. C. 70o ; 110o; 150o. D. 80o ; 110o; 135o.
Lời giải

Chọn C.

Ta có: u1u2 u3 u4 360 30 30 d30 2 d30 3 d 360 d 40.
Vâỵu2 70; u3 110; u4 150.

Câu 20 : Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thức sau:
Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là 13,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai,
múc lương sẽ được tăng thêm 500.000 đồng mỗi quý. Tính tổng số tiền lương một kỹ sư nhận được sau
ba năm làm việc cho công ty.

A. 198triệu đồng. B. 195 triệu đồng. C. 228triệu đồng. D. 114 triệu đồng.
Lời giải

Chọn B

Kí hiệu un là mức lương của quý thứ n làm việc cho cơng ty. Khi đó u 1 13,5 và

1 0,5, 1

n n

u  u  n .

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Số tiền lương sau 3 năm bằng tổng số tiền lương của 12 quý và bằng tổng 12 số hạng đầu tiên
của cấp số cộng

 

un . Vậy, tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty của

kỹ sư là 12 12. 2.13,5 11.0,5





195
2

S    (triệu đồng)

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
DẠNG 1:

Câu 1 Trong các dãy sốsau, dãy số nào là một cấp số cộng?

A.1 ; 3; 7; 11; 15;     B. 1; 3; 6; 9; 12;    
C. 1; 2; 4; 6; 8;     D. 1; 3; 5; 7; 9;    
Câu 2 Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng?

A. 2; 1;0; ; ;1; ....1 2 4

3 3 3 3 3

  B. 15 2;12 2; 9 2; 6 2...

C. 4;1; ; ;7 9 11;....

5 5 5 5 D.

1 2 3 4 3 5

; ; 3; ; ;...

3 3

Câu 3 Cho dãy số 1;0; 1; 1; 3;...

2  2   2 là cấp số cộng với:
A. Số hạng đầu tiên là 1

2, công sai là
1

2 B. Số hạng đầu tiên là 
1

2, công sai là
1

.
2


C. Số hạng đầu tiên là 0, công sai là 1.

2 D. Số hạng đầu tiên là 0, công sai là
1

.
2


Câu 4 Cho cấp số cộng có số hạng đầu 1 1,
2

u  công sai 1.
2

d  Năm số hạng liên tiếp đầu tiên
của cấp số này là:

A. 1;0;1; ;1.1

2 2

 B. 1;0; ;0; .1 1

2 2 2



C. 1;1; ;2; .3 5

2 2 2 D.

1 1 3

;0; ;1; .

2 2 2



Câu 5 Cho cấp số cộng

 

un có các số hạng đầu lần lượt là 5;9;13;17.... Tìm số hạng tổng quát un

của cấp số cộng.

A. un 5n1. B. un 5n 1. C. un 4n1. D. un 4n 1.

Câu 6 Cho cấp số cộng

 

un có u 3 15 và d 2. Tìm un.

A. un 2n21. B.

12.
2

n

u  n

C. un 3n 17. D. 2

4.
2

n

u  n 
Câu 7 Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. un  7 3 .n B. u  n 7 3 .n C.

7
.
3

n

u
n

 D. 7.3 .n

n

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

A. un  



 

n 2n1 .



B. un sin .

n





C. 1
1
1
.
1
n n
u
u u 





 



D. 1

1
1
.
2
n n
u

u u 








Câu 9 Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
A. un 4n9. B. un 2n19.

C. un 2n 21. D. u n 2n15.

Câu 10 Cho cấp số cộng

 

un có u 1 5 và d 3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
A. Thứ 15. B. Thứ 20. C. Thứ 35. D. Thứ 36.

Câu 11 Cho cấp số cộng

 

un có u 1 5 và d 3. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. u 15 34. B. u 15 45. C. u 13 31. D. u 10 35.

Câu 12 Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó cơng sai d
của cấp số cộng đó là bao nhiêu?

A. d 4. B. d 5. C. d 6. D. d 7.

Câu 13 Cho cấp số cộng

 

1 6

15
.
27

u u u

u u

  




 

 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng
định sau?

A. 1 21.
3
u
d




 B.

1 21.
3
u
d





 C.

1 18.
3
u
d




 D.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Câu 19 Cho cấp số cộng

 

un thỏa

2 4 6

2 3

36
.
54

u u u

u u

  







Tìm cơng sai d của cấp số cộng

 

un biết

10.
d 

A. d 3. B. d 4 . C. d 5. D. d 6.
Câu 20 Cho cấp số cộng

 

un thỏa

1 2 3

2 2 2

1 2 3

27
275

u u u

  




  



. Tính u2.

A. u 2 3. B. u 2 6. C. u 2 9. D. u 2 12.

Câu 21 Cho cấp số cộng

 

un có u 1 123 và u3  u15 84. Số 11 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số
cộng đã cho?

A. 17. B. 16. C. 18. D. 19.

Câu 22 Cho cấp số cộng

 

un có u 1 123 và u3 u1584. Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng

 

un .

A. un 130 7 n. B. un 116 7 n. C. un 123 7 n. D. un 123 7 n

Câu 23 Ba góc của một tam giác vuông tạo thành cấp số cộng. Hai góc nhọn của tam giác có số đo
(độ) là:

A. 20 và 1; 1; 1; 1;    B. 45 và 45 .
C. 20 và 45 . D. 30 và 60 .

Câu 24 Một tam giác vng có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài
các cạnh của tam giác đó là:

A. 1; 1; .3

2 2 B.

1 5

; 1; .

3 3 C.

3 5

; 1; .

4 4 D.

1 7

; 1; .

4 4

Câu 25 Cho cấp số cộng

 

un có u 4 12 và u 14 18. Tìm số hạng đầu tiên u1 và cơng sai d của
cấp số cộng đã cho.

A.u1 21; d 3. B. u1 20; d 3.
C. u1 22; d 3. D. u1 21; d 3.

Câu 26 Cho cấp số cộng

 

un có u 2 2001 và u 5 1995. Khi đó u1001 bằng:

A. u1001 4005. B. u1001 4003. C. u10013. D. u10011.

DẠNG 2:

Câu 27 Cho hai số 3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp
số cộng có cơng sai d 2. Tìm n.

A. n 12. B. n 13. C. n 14. D. n 15.
Câu 28 Cho các số 4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x.

A. x 7. B. x 10. C. x 11. D. x 12.

Câu 29 Nếu các số 5m; 7 2 ; 17 m m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu?
A. m 2. B. m 3. C. m 4. D. m 5.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

A. 10 20

5 10.
2

u u



  B. u90u210 2u150.

C. u u10. 30 u20. D. 10 30 20
.

.
2

u u
u


DẠNG 3

Câu 32 Nếu a b c; ; theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành cấp số cộng?
A. 2 ; ; .b a c2 2 2 B. 2 ; 2 ; 2 .b  a  c C. 2 ; ; .b a c D. 2 ; b  a;  c.

Câu 33 Nếu 1 ; 1 ; 1

b c c a a b   theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành
cấp số cộng?

A. b a c2; ; .2 2 B. c a b2; ; .2 2 C. a b c2; ; .2 2 D. a c b2; ; .2 2

Câu 34 Ba góc A B C A B C, ,



S   B. 7 3





n
n

S   C.

3 5

.
2

n

n n

S   D.

3 11

.
2

n

n n

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Câu 41 Một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 4, tổng của n số hạng đầu là 561. Khi đó số
hạng thứ n của cấp số cộng đó là un có giá trị là bao nhiêu?

A. u n 57. B. u n 61. C. u n 65. D. u n 69.

Câu 42 Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ
mười hai bằng 23. Khi đó cơng sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu?

A. d 2. B. d 3. C. d 4. D. d 5.
Câu 43 Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là

3 19

n

n n

S   với n  *. Tìm số hạng
đầu tiên u1 và cơng sai d của cấp số cộng đã cho.

A. 1 2; 1.
2

u  d  B. 1 4; 3.
2

u  d 

C. 1 3; 2.
2

u  d  D. 1 5; 1.

2 2

u  d 

Câu 44 Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là 2 4

n

S n  n với n  *. Tìm số hạng tổng
quát un của cấp số cộng đã cho.

A. un 2n3. B. un 3n2. C. un 5.3 .n 1



 D.

1
8

5. .

n
n

u


 
  
 

Câu 45 Cho cấp số cộng

 

un thỏa mãn u2u23 60. Tính tổng S24 của 24 số hạng đầu tiên của
cấp số cộng đã cho.

A. S 24 60. B. S 24 120. C. S 24 720. D. S 24 1440.

Câu 46 Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng
của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm cơng sai d của câp số cộng đã cho.
A. d 2. B. d 3. C. d 4. D. d 5.

DẠNG 5:

Câu 47 Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi
rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế?

A. 1635. B. 1792. C. 2055. D. 3125.

Câu 48 Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước đến để
khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ 2 giá
của mỗi mét khoan tăng thêm 5000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải
khoan sâu xuống 50m mới có nước. Vậy hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?
A. 5.2500.000 đồng. B. 10.125.000 đồng.

C. 4.000.000 đồng. D. 4.245.000 đồng.

Câu 49 Hai người cùng chơi đưa ngựa về đích. Bàn cờ được kẻ sẵn, gồm 107 ô vuông bằng nhau được
xếp theo hàng ngang. Ô đầu tiên (ô số 1) bên trái bàn cờ là ô xuất phát, ô cuối cùng bên phải
(ô 107) của bàn cờ được gọi là đích (như minh họa dưới đây)

1
Xuất

2 3 …. … … … … 106 107

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

với
1, 2,..., 21.

k 

Câu 50 Hai người cùng chơi đưa ngựa về đích (nói như câu trên). Bàn cờ gồm n ô vuông bằng nhau
được xếp theo hàng ngang. Ô đầu tiên bên trái bàn cờ là ô xuất phát, ô cuối cùng là ô đích

1
Xuất
phát

2 3 …. … … … … 106 107

Đích

Trên bàn cờ có một chú ngựa, đứng ở ô xuất phát. Đến lượt đi, người chơi được di chuyển ngựa
theo một chiều từ trái sang phải, với bước đi từ 1 đến k ô. Cho rằng





,0 ; , ,

n m k  r  r k r k n . Hai người thay nhau di chuyển ngựa, ai đưa được ngựa

vào ơ đích là thắng. Để người chơi thứ nhất luôn luôn thắng cần tiến hành làm theo cách nào
sau đây

A. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ k và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ



.ik r



với
1, 2,..., m.

i 

B. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ



r 1

và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ





</div>

Hướng dẫn giải các bài toán về cấp số cộng lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

<b>CHƯƠNG III: DÃY SỐ - CẤP SÓ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN</b>

<b>BÀI 3: CẤP SỐ CỘNG</b>

<sub> </sub>

 

 

<sub> </sub>

 

 





 

 

 

 

 

 

 

 

 

<sub> </sub>



 

 

 



































 





 

 

<sub></sub>

<sub></sub>





<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>







 





















 

 

 





 









