10 đề THI TUYỂN SINH vào lớp 10 CHUYÊN TOAN 2020 2021

trịn đường kính AI .
+ Đường trịn tâm I tiếp xúc với AB tại M nên AM  MI nên M thuộc đường trịn đường
kính AI .
+ Đường trịn tâm I tiếp xúc với AC tại N nên AN  NI nên N thuộc đường trịn đường
kính AI .
Vậy các điểm A, M , H , I , N cùng thuộc đường trịn đường kính AI .
+ Xét hai tam giác AMI và ANI có AI chung; IM  IN (bán kính đường trịn tâm  I  );
AMI  ANI  90 nên AMI  ANI  AIM  AIN .

Mặt khác, AIM  AHM (góc nội tiếp chắn cung AM của đường tròn tâm I ); AIN  AHN
(góc nội tiếp chắn cung AN của đường trịn tâm I ).
Vậy AHM  AHN hay AH là tia phân giác của góc MHN .
b) Kẻ đường thẳng đi qua K và song song với BC cắt AB và AC tại P và Q .
Ta có IKP  IMP  180 , suy ra tứ giác IKPM nội tiếp, suy ra KIP  KMP .
Chứng minh tương tự ta có KIQ  KNA . Suy ra KIP  KIQ .
Xét tam giác IPQ có IK vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên nó là tam giác cân, suy
ra IK là đường trung tuyến, hay K là trung điểm của PQ .
Dựng D là giao điểm của AK và BC .
TOÁN TIỂU HỌC-THCS-THPT VIỆT NAM

www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/

Trang: 80


Sản phẩm nhóm “Tốn Tiểu Học- THCS- THPT Việt Nam”
Do PQ / / BC , áp dụng định lý Talet ta có

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

KP AK KQ

, suy ra DB  DC .


BD AD DC

Suy ra D là trung điểm của BC .
c) Gọi E là giao điểm của AS và BC , G là giao điểm thứ hai của AS và  O  .
Trên cạnh BC lấy điểm D khác E sao cho BAE  CAD , cần chứng minh D là trung điểm
của BC .
Ta có AGB  ACD và BAG  CAD nên AGB đồng dạng ACD .
GB AG
Suy ra
(1)

CD AC
Ta có AGC  ABD và CAG  CAD nên AGC đồng dạng ABD .
GC AG
Suy ra
(2)

BD AB
SB BG
Ta có SBG  SAB nên SBG đồng dạng SAB , suy ra
.

SA AB
CG BG
SC CG
Chứng minh tương tự ta được
. Suy ra

(3)


CA BA
SA AC
Từ (1), (2) và (3) suy ra CD  BD hay D là trung điểm của BC .
Ta có điều phải chứng minh.
a) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn x3  y 2  xy 2  1.
b) Cho các số nguyên dương a, b, c thoả mãn c 

1
b
 a  . Chứng minh ab là lập phương của
b
a

một số nguyên dương.
Lời giải
a) Ta có x3  y 2  xy 2  1   x3  1  y 2  x  1  0   x  1  x 2  x  1  y 2   0

x  1
 2
.
2
 y  x  x 1
+ Với x  1 , khi đó phương trình có nghiệm 1; y  với y là số nguyên.
+ Với y 2  x 2  x  1   2 y    2 x  1  3   2 y  2 x  1 2 y  2 x  1  3 .
2

Lập bảng

t các trường hợp
2 y  2x 1
2 y  2x 1

x
y

2

1
3

1
3

0
1
Vậy tập các giá trị  x; y  thoả mãn là

3

3

1

1
0
1

1
1
1
1
 0;1 ,  0; 1 ,  1; 1 ,  1;1 , 1; y  , y 

.

1
b
 a   abc  a  a 2b  b 2
b
a
Suy ra a chia hết cho b , đặt a  bk , k  * , thay vào điều kiện ta được
b) Ta có c 

b2 kc  bk  b3k 2  b2  bkc  k  b2k 2  b .

Suy ra b chia hết cho k và k chia hết cho b , suy ra b  k , suy ra ab  b3 , ta có điều phải
chứng minh.
Bài 5.
TỐN TIỂU HỌC-THCS-THPT VIỆT NAM

www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/

Trang: 81


Sản phẩm nhóm “Tốn Tiểu Học- THCS- THPT Việt Nam”
a)

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

Cho các số thực không âm a, b, c thoả mãn điều kiện a  b  c  1. Chứng minh:

1
a 3  b3  c 3   a 4  b 4  c 4
8
b) Ban đầu có 2020 viên sỏi để trong 1 chiếc túi. Có thể thực hiện cơng việc như sau:
Bước 1: Bỏ đi 1 viên sỏi và chia túi này thành 2 túi mới.

Bước 2: Chọn 1 trong hai túi này sao cho túi đó có ít nhất 3 viên sỏi, bỏ đi 1 viên từ túi này và
chia túi đó thành 2 túi mới, khi đó có 3 túi.
Bước 3: Chọn 1 trong 3 túi này sao cho túi đó có ít nhất 3 viên sỏi, bỏ đi 1 viên từ túi này và
chia túi đó thành 2 túi mới, khi đó có 4 túi.
Tiếp tục quá trình trên. Hỏi sau 1 số bước có thể tạo ra trường hợp mà mỗi túi có đúng hai viên
sỏi hay không?
Lời giải
a) Xét hiệu  a3  b3  c3    a 4  b4  c 4    a3  a 4   b3  b4    c3  c 4 

 a3 1  a   b3 1  b   c3 1  c   a3  b  c   b3  a  c   c3  a  b 
 a 2  ab  ac   b2  ab  bc   c 2  ac  bc 
Do a, b, c không âm nên ab, ac, bc không âm, suy ra a 2  ab  ac   b2  ab  bc   c 2  ac  bc 

 a 2  ab  ac   a 2bc  b2  ab  bc   b2ac  c 2  ac  bc   c 2ab
 a 2  ab  ac  bc   b2  ab  bc  ac   c 2  ac  bc  ab    a 2  b2  c 2   ab  ac  bc 


1 2
a  b2  c 2   2ab  2ac  2bc 


2

2
2
2
2
2


1  a  b  c  2ab  2ac  2bc 
1  a  b  c  
1


 .
2
4
2
4
8
2

Hay  a3  b3  c3    a 4  b4  c 4  

1
1
  a3  b3  c3    a 4  b4  c 4 (đpcm).
8
8

b) Sau mỗi bước số sỏi giảm đi 1 và số túi tăng lên 1 suy ra tổng số sỏi và số túi không thay đổi
sau mỗi bước.Tổng này là 2021.
Giả sử sau một số bước có thể tạo ra trường hợp mà mỗi túi có đúng 2 viên sỏi, khi đó tổng số
tỏi và số túi phải chia hết ho 3.
Do 2021 không chia hết cho 3 nên mâu thuẫn suy ra điều giả sử là sai.
Vậy không thể tạo ra trường hợp mà mỗi túi có đúng 2 viên sỏi sau một số bước.
 HẾT 

TOÁN TIỂU HỌC-THCS-THPT VIỆT NAM

www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/

Trang: 82