Nghiên cứu phương pháp Polynomial Chaos áp dụng cho hệ thống treo trên ô tô

LIÊN NGÀNH CƠ KHÍ - ĐỘNG LỰC

Nghiên cứu phương pháp Polynomial Chaos áp dụng
cho hệ thống treo trên ô tô
Study Polynomial Chaos method application for automobile
suspension system
Đào Đức Thụ, Phạm Văn Trọng, Trần Quang Thanh
Email:
Trường Đại học Sao Đỏ
Ngày nhận bài: 10/4/2019
Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 27/6/2019
Ngày chấp nhận đăng: 28/6/2019

Tóm tắt
Trong q trình nghiên cứu về động lực học của ô tô, việc sử dụng các phần mềm mô phỏng để nghiên
cứu sẽ giúp rút ngắn q trình thử nghiệm và giảm chi phí để tạo ra sản phẩm. Để mơ phỏng sát với
q trình thực tế thì số lượng trường hợp mơ phỏng là rất lớn và có nhiều tham số khơng chắc chắn.
Phương pháp Polynomial Chaos (PC) là phương pháp có thể đáp ứng các điều kiện trên với thời gian
mô phỏng ngắn. Đã có một số cơng trình trên thế giới nghiên cứu sử dụng phương pháp PC để mô
phỏng dao động trên ô tô [6,7]. Tuy nhiên, hiện nay trong nước việc nghiên cứu phương pháp PC cịn
hạn chế, do đó trong bài viết này chúng tôi đề xuất sử dụng phương pháp PC để mô phỏng dao động
của ô tô và dùng phương pháp Monte Carlo (MC) để kiểm chứng lại phương pháp PC.
Từ khóa: Phương pháp Monte Carlo; phương pháp Polynomial Chaos; động lực học; biến ngẫu nhiên.
Abstract
In the study of automobile dynamics, there use of simulation software to study will help shorten the
testing process and reduce the cost of creating product. Numerical simulation will help shorten the testing
process and the cost of the simulation process. To closely simulate the actual process, the number of
simulation cases is very large and there are many uncertain parameters. The Chaos Polynomial method
(PC) is a method that can meet the above conditions with a short simulation time. In this article we
propose to use the PC method to simulate the suspension system in the car and use the method Monte
Carlo method (MC) to verify PC method.

Keywords: Monte Carlo method; Chaos Polynomial method; dynamics; random variabletu.
1. GIỚI THIỆU CHUNG
1.1. Phương pháp Monte Carlo
Tên gọi của phương pháp này được đặt theo tên
của một thành phố ở Monaco. Với phương pháp
này sẽ lấy ngẫu nhiên mẫu và tính tốn trực tiếp
trên các mẫu này, như vậy số lượng mẫu lấy càng
lớn thì kết quả càng chính xác. Độ chính xác của
kết quả phụ thuộc vào số lượng và cách chọn
mẫu. Để có kết quả chính xác cần tính tốn với số
lượng mẫu lớn, do đó cần thời gian tính tốn rất
lớn. Người ta sử dụng phương pháp này để kiểm
chứng kết quả.

Hình 1. Sơ đồ khối phương pháp Monte Carlo
Với xi, x là tập hợp các mẫu được lấy, theo luật
số lớn thì giá trị trung bình được tính theo cơng
thức [4, 5]:

x MC =
Người phản biện: 1. PGS.TS. Trần Văn Như
2. TS. Vũ Hoa Kỳ

1
nMC

nMC

∑ x(ξ )
i

(1)

j =1

Với nMC là số lượng lấy mẫu.

Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 2(65).2019 43


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
1.2. Phương pháp Polynomial Chaos
Đây phương pháp tính theo xác suất. Với phương
pháp này người ta sẽ chọn một số lượng mẫu nhỏ,
tính tốn trên các mẫu này, các kết quả còn lại sẽ
được nội suy theo kết quả tính tốn ở các mẫu. Do
đó với phương pháp này tính tốn với số lượng
mẫu nhỏ nên thời gian tính tốn được rút ngắn,
tuy nhiên kết quả có sai số.

Hình 2. Sơ đồ khối phương pháp Chaos Polynomial
Với

xi là các mẫu được lấy trong tập hợp

,

giá trị trung bình được tính theo cơng thức [3]:

Theo tài liệu [1, 2], mơ hình dao động 1/4 trên ơ tơ

được mơ tả như sau :
..

.

.

(6)

ms x1 = −k s ( x1 − x2 ) 3 − c( x1 − x 2 )
..

.

.

mu x 2 = k s ( x1 − x2 ) 3 + c( x1 − x 2 ) + ku ( z (t ) − x2 )

(7)

Với
ms: khối lượng của phần được treo;
mu: khối lượng của phần không được treo;
ks: độ cứng của hệ thống treo;
c: hệ số cản giảm chấn;
ku: độ cứng của bánh xe;
z(t): độ nhấp nhô của mặt đường;
x1(t): hệ tọa độ gắn với thân xe;
x2(t): hệ tọa độ gắn với bánh xe.
Trong quá trình dao động của ô tô, một số thông

số của hệ thống treo trên ô tô là phi tuyến như: độ
cứng của lốp xe, ụ cao su,… Do đó, chúng tơi đề
xuất giá trị của độ cứng hệ thống treo và độ cứng
của bánh xe thay đổi trong khoảng 10%.

Np

xPC (ξ ) = ∑ x jφ j (ξ )

(2)

j =0

fj: đa thức của PC. Theo tài liệu [3], đa thức này
được tính theo công thức:
r

φ j (ξ ) = φ j (ξ1 ,...ξ r ) = ∏ Li (ξ1 ) ⊗ ...Li (ξ r )
k =1

( j)
1

( j)
r

(3)

Với Lik là đa thức Legendre được xác định bởi
công thức:

(n + 1)Ln +1(x) = (2n + 1) × Ln(x) - nLn-1(x)
Với
L0(x) = 1 và L1(x) = x

(4)

Np được tính theo cơng thức:

N p +1 =

( p + r )!
p!r!

(5)

Bảng 1. Thông số của xe ô tô được khảo sát [6]
Thông số

Giá trị

ks

400 N/m ± 10%

ku

2000 N/m ± 10%

ms

40 kg

mu

20 kg

c

600 Ns/m

Zmax

0,2 m

3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Với hệ phương trình trên, sử dụng chương trình
phần mềm Matlab ta được kết quả mô phỏng ứng
với trường hợp đầu vào là mặt đường được mơ
phỏng như hình 4.

Với r: số tham số không chắc chắn;
p: hệ số của đa thức (do người tính tốn chọn)
2. MƠ HÌNH DAO ĐỘNG 1/4 TRÊN Ơ TƠ

Hình 4. Độ nhấp nhơ của mặt đường
Qua hình vẽ trên ta thấy trong giây đầu tiên xe
chuyển động trên mặt đường bằng phẳng, sau đó
gặp mấp mơ với độ cao là 0,2 m, sau đó xe tiếp tục
đi trên mặt đường bằng phẳng.

Hình 3. Mơ hình dao động 1/4 trên ơ tơ

Với đầu vào được mơ phỏng như hình 4, khi tính
tốn với phương pháp PC với hệ số p = 1 và
p = 4 tương ứng với số lượng lấy mẫu là Np= 2 và

44 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 2(65).2019


LIÊN NGÀNH CƠ KHÍ - ĐỘNG LỰC
Np= 14, độ dao động của phần được treo trên ô tô
được thể hiện trên hình 5.
0.4
xMC

Trong đó:
xPC: tọa độ của thân xe tính theo phương pháp PC;
xMC: tọa độ của thân xe tính theo phương pháp MC.

giá trị trung bình xMC
xPC

0.3

max min mean

0.1

giá trị trung bình xPC

max-min lỗi

0.08

giá trị trung bình của lỗi

0.2

X1

0.06

0.04

0.1

0.02

0

lỗi

0

-0.02
-0.1

-0.04

-0.06

-0.2
0

2

4

6

10

8

12

14

16

18

20

-0.08

thời gian (s)
-0.1

Hình 5. Kết quả mơ phỏng giữa 2 phương pháp
MC và PC với hệ số p = 1

4

2

0

6

10

8

12

14

16

18

20

thời gian

Hình 7. Lỗi theo thời gian với p = 1

0.4

max min mean

0.03
xMC

max min của lỗi

giá trị trung bình xMC

giá trị trung bình của lỗi

xPC

0.3

0.02

giá trị trung bình xPC

0.01

0.1

0

lỗi

X1

0.2

0

-0.01

-0.1

-0.02

-0.2
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-0.03

20

4

2

0

6

8

thời gian (s)

Hình 6. Kết quả mô phỏng giữa 2 phương pháp
MC và PC với hệ số p = 4

Khi tính tốn với p = 4, sự khác biệt giữa giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của hai phương pháp xuất hiện
ở giây thứ 6,5. Tuy nhiên, giá trị trung bình của hai
phương pháp là gần hoàn toàn giống nhau.
Như vậy, sự khác biệt giữa kết quả của hai phương
pháp giảm đi khi hệ số p tăng lên.
Lỗi xảy ra trong q trình tính tốn được tính tốn
theo cơng thức:
e = xPC - xMC

(8)

14

16

18

20

Hình 8. Lỗi theo thời gian với p = 4
Qua hình 7 ta có thể thấy khi tính tốn với
p = 1, lỗi trong q trình tính tốn xuất hiện từ giây
thứ 1,7, cịn khi tính với p = 4 thì lỗi xuất hiện từ
giây thứ 3,5. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất và giá trị
trung bình của lỗi xảy ra khi tính tốn với p = 4 rất
nhỏ khi tính tốn với p = 1, điều này thể hiện rõ
hơn ở hình 8.
10

1.2

-4

e 2 (p=1)
e 2 (p=2)

1

e 2 (p=3)
e 2 (p=4)

0.8

2

Khi tính tốn với p = 1 thì sự khác biệt kết quả giữa
hai phương pháp là lớn, sự khác biệt này gồm cả
sự khác biệt giữa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và giá
trị trung bình. Sự khác biệt giữa giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của hai phương pháp xuất hiện ở giây
thứ 2,5 và sự khác biệt giữa giá trị trung bình của
hai phương pháp xuất hiện từ giây thứ 6.

12

0.6

e

Qua đồ thị ta thấy trong quá trình xe đi trên đường
bằng phẳng ở giây đầu tiên thì phần được treo
trên ơ tơ khơng dao động, khi vượt qua mấp mơ
của mặt đường thì phần được treo dao động nhiều
nhất, sau đó giảm dần theo thời gian.

10

thời gian

0.4

0.2

0
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

thời gian

Hình 9. Giá trị trung bình của lỗi theo thời gian
Ưu điểm của phương pháp PC có thể nhận thấy
rõ hơn ở bảng 2. Ta có thể thấy khi tính tốn với

Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 2(65).2019 45


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
phương pháp PC thời gian tính tốn với p = 1 là
7 giây chỉ là 1/3.960 và số lượng lấy mẫu chỉ là
1/500.000 so với thời gian tính tốn và số lượng
lấy mẫu bằng phương pháp MC, cịn khi tính với
p = 4 thời gian tính tốn là 49 giây tương ứng 1/566
so với thời gian tính toán bằng phương pháp MC
và số lượng lấy mẫu chỉ là 7/500.000.
Bảng 2. Bảng so sánh thời gian oán của hai
phương pháp và số lượng lấy mẫu
Thời gian
tính tốn (s)
Số lượng
lấy mẫu

MC

p=1

p=2

p=3

p=4

27.720

7

14

28

79

106

2

5

9

14

Như vậy, khi tính tốn với phương pháp PC thời
gian tính tốn và số lượng lấy mẫu được giảm một
cách đáng kể, tuy nhiên xuất hiện lỗi trong quá
trình tính tốn. Lỗi này sẽ được giảm khi hệ số p
tăng lên.
4. KẾT LUẬN
Khi áp dụng phương pháp này có thể giải quyết
được các bài tốn có khối lượng tính tốn lớn với
thời gian tính tốn hợp lý. Phương pháp này rất
hiệu quả cho việc nghiên cứu động lực học của hệ
thống trên ô tô.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]

Động lực học ô tô (2014), Nhà xuất bản
Giáo dục Việt Nam.

[2]

Wiener N. (October 1938), The Homogeneous
Chaos, American Journal of Mathematics,
American Journal of Mathematics, Vol. 60, No.
4. 60 (4): 897-936. doi :10.2307/2371268.

[3]

D. Xiu, Numerical Methods for Stochastic
Computations, A Spectral Method Approach
Princeton University Press, 2010.

[4]

Emmanuel Gobet, Méthodes de Monte-Carlo
et processus stochastiques - du linéaire au
non linéaire [archive], Éditions de l'École
polytechnique, 2013.

[5]

Michael Mascagni, Advanced Monte Carlo

Methods I & II, Cours du ETH de Zurich
(2005/2006).

[6]

Gaurav Kewlania, Justin Crawfordb and Karl
Iagnemmaa (2012), A polynomial chaos
approach to the analysis of vehicle dynamics
under uncertainty.

[7]

Ling Feng, Ma Ze-Yu, Tang Zheng-Fei, Chen
Yong-Fu (2013), Uncertainty Analysis of Vehicle
Suspension Systems Based on Polynomial
Chaos Methods.

THƠNG TIN VỀ TÁC GIẢ
Đào Đức Thụ
- Tóm tắt q trình đào tạo, nghiên cứu (thời điểm tốt nghiệp và chương trình đào tạo,
nghiên cứu):
+ Năm 2008: Tốt nghiệp Đại học chun ngành Ơ tơ - xe chun dụng, Đại học Bách
khoa Hà Nội
+ Năm 2012: Tốt nghiệp Thạc sĩ Kỹ thuật ô tô, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
+ Năm 2017: Học tiến sĩ tại Pháp
- Tóm tắt công việc hiện tại: NCS Kỹ thuật ô tô tại Pháp. Giảng viên khoa Ơ tơ, Trường
Đại học Sao Đỏ
- Lĩnh vực quan tâm: Cơ khí chính xác, mơ phỏng, kỹ thuật động cơ, ơ tơ, cơ khí động lực
- Email:
- Điện thoại: 0972802963

46 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 2(65).2019


LIÊN NGÀNH CƠ KHÍ - ĐỘNG LỰC

Pham Văn Trọng
- Tóm tắt quá trình đào tạo, nghiên cứu (thời điểm tốt nghiệp và chương trình đào tạo,
nghiên cứu):
+ Năm 2011: Tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Động cơ đốt trong, Trường Đại học Bách
khoa Hà Nội
+ Năm 2015: Tốt nghiệp Thạc sĩ Kỹ thuật ô tô, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
- Tóm tắt cơng việc hiện tại (chức vụ, cơ quan): Giảng viên khoa Ơ tơ, Trường Đại học
Sao Đỏ
- Lĩnh vực quan tâm: Kỹ thuật động cơ, ô tơ, xe máy, cơ khí động lực
- Email:
- Điện thoại: 0356071085

Trần Quang Thanh
- Tóm tắt cơng việc hiện tại (chức vụ, cơ quan): Giảng viên khoa Ơ tơ, Trường Đại học
Sao Đỏ
- Lĩnh vực quan tâm: Kỹ thuật động cơ, ơ tơ, xe máy, cơ khí động lực
- Email:
- Điện thoại: 0904155603

Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 2(65).2019 47