Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy

MỤC LỤC
1. Mở đầu…………………………………………………………………Trang 2
- Lí do chọn đề tài nghiên cứu…………………………………………….Trang
2
- Mục đích nghiên cứu…………………………………………………….Trang
2
- Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………Trang
2
- Phương pháp nghiên cứu……………………………………………..….Trang
3
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………………………Trang 3
2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm…………………… ……….Trang 3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm………..Trang 4
2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn
đề………………………………………………………………………….Trang 4
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường………………………………………..Trang 19
3. Kết luận,kiến nghị……………………………………………………Trang 19
- Kết luận…………………………………………………………………Trang
19
- Kiến nghị……………………………………………………………….Trang
19
Tài liệu tham khảo………………………………………………………Trang 20
Phụ lục…………………………………………………………………..Trang 23

1


1. Mở đầu:
- Lí do chọn đề tài:
+ Bất đẳng thức là nội dung khó với học sinh nhưng lại là một trong những

nội dung quan trọng trong các kỳ thi đại học. Trong quá trình học và ứng dụng lí
thuyết để làm bài tập học sinh thường gặp nhiều khó khăn, lúng túng khơng biết
xuất phát từ đâu, phương pháp giải như thế nào. Chứng minh bất đẳng thức hoặc
tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của một biểu thức là một dãy các bước biến đổi,
đánh giá thông qua các bất đẳng thức mà đảm bảo dấu “=” bất đẳng thức luôn
đúng tại mọi thời điểm. Sai lầm học sinh hay gặp là không kiểm tra dấu “=” của
bất đẳng thức có xảy ra hay khơng?. Như thế học sinh dễ mắc sai lầm khi áp
dụng các bất đẳng thức mà không xảy ra dấu “=”. Học sinh không biết xuất phát
từ đâu?. Làm cách nào để suy luận ra các bất đẳng thức cần dùng trong bài toán.
Dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy là một kỹ thuật suy ngược nhưng
logic, và tôi đã dựa trên “kỹ thuật chọn điểm rơi ” dự đoán dấu “=” trong bất
đẳng thức Cauchy để giải bài toán nhằm giúp các em hạn chế và giảm những sai
sót này trong q trình giải tốn. Đó là lí do tơi chọn đề tài này.
- Mục đích nghiên cứu:
Thơng thường khi gặp bài tốn bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất học sinh liên tưởng ngay đến dạng mẫu đã học và áp dụng ngay các bất
đẳng thức đã học nhưng thực tế nhiều bài toán trong các kỳ thi đại học, cao đẳng
học sinh gặp những dạng tốn phức tạp mà để giải địi hỏi phải có những nhận
xét đặc biệt. Một trong những nhận xét đặc biệt đó là dự đốn dấu “=” trong bất
đẳng thức Cauchy để giải toán.
- Đối tượng nghiên cứu:
Là học sinh lớp 10B2 và 10B3 trong quá trình học chương bất đẳng thức. Tôi
lựa chọn 2 lớp của trường THPT Lưu Đình Chất có những điều kiện thuận lợi
cho việc nghiên cứu ứng dụng.
+Học sinh:
Chọn lớp 10B2 là nhóm thực nghiệm và 10B3 là nhóm đối chứng và tiến hành
kiểm tra các kiến thức cơ bản để đánh giá và so sánh mức độ của hai lớp trước
tác động. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai lớp khơng có sự

2

khác nhau, do đó tơi dung phép kiểm chứng T- Test để kiểm chứng sự chênh
lệch giữa điểm số trung bình của hai lớp trước khi tác động
Kết quả :
Bảng 1. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
Đối chứng(ĐC)
Thực nghiệm(TN)
TBC
5,5
5,5
P=
0,43
P=0,43 > 0,05 , từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm
TN và ĐC là khơng có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương.
Bảng 2. Thiết kế nghiên cứu
Nhóm
Kiểm tra trước TĐ Tác động (TĐ)
KT sau TĐ
Thực nghiệm 01
Dạy học theo hệ thống
03
bài tập liên quan
Đối chứng
02
Dạy học theo hệ thống
04
bài tập có nhiều loại
Ở thiết kế này chúng tơi sử dụng phép kiểm chứng T- Test độc lập.
- Phương pháp nghiên cứu:

+ Tham khảo tài liệu, sách giáo khoa, báo Tốn học và tuổi trẻ.
+Thực hành thơng qua q trình giảng dạy.
+Điều tra kết quả học tập của học sinh từ đó thấy được mức độ và hiệu quả đạt
được của học sinh khi thực hiện đề tài. Qua đó rút kinh nghiệm và thực hiện tốt
hơn trong quá trình xây dựng đề tài.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
+) Dựa vào nội dung chương trình sách giáo khoa lớp 10.
Cụ thể là :”bài 1: Bất đẳng thức” thuộc chương IV đại số 10.
Khi giải các bài toán về bất đẳng thức trong chương trình sách giáo khoa 10
sử dụng một số định lí và tính chất như sau:
�
) a �b, b c
a
c.
�
) a b a + c
b + c.
) a
�
b
ac
bc (c > 0) .
�۳
)a
b
ac
bc (c < 0) .
�
) a�

 b ,c
d
a+c
b + d. .
�
) a�
 b ,c
d
ac
bd (a > 0, c > 0) .
�
��
)a b
a 2n+1 b 2 n1 (n N* ) .
�
�
�
a b

a 2n+1

b 2 n 1 (n

N* , a > 0) .

3


��


)a b
��

)a b

b (a > 0) .

a
3

a

3

b .

ab
ab �
, a,b �0
2
ab
ab 
� ab
2
1
) a+ �2 , a > 0.
a
) x �0, x �x, x � x.
)

) a > 0: x �a � a �x �a
x �a
�
x �a � �
x �a
�
) a  b �a  b �a  b .

+) Dựa vào một số tài liệu liên quan.
+) Học sinh lớp 10 trường THPT Lưu Đình Chất.
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Một là: Qua thực tế dạy học tơi thấy trong chương trình lớp 10 phần bất đẳng
thức, số bài tập trong sách giáo khoa hạn chế và thời lượng ít.
Hai là: Trong sách giáo khoa, sách bài tập đại số ban nâng cao và cơ bản đều
khơng có hoặc rất ít bài tốn bất đẳng thức yêu cầu nêu dấu “=” xảy ra?. Do đó
học sinh khơng có thói quen thử lại dấu “=” có xảy ra hay khơng? Đây chính là
sai lầm học sinh hay gặp phải.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để sử dụng giải quyết vấn đề như sau
+ Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả
năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiến
thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao).
+ Nội dung :
Bài toán mở đầu :
1
Bài toán 1. Cho x �4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A  x 
x
+) Sai lầm thường gặp :
1
1
�2 x.  2 .

x
x
+) Nguyên nhân sai lầm:
1
MinA=2 � x  � x  1 � vơ lý vì x �4
x
A x

4


+) Xác định điểm rơi:
1
Hàm số: f  x   x 
là hàm số đồng biến trên  4;� .
x
Vì x1 �x2 ; x1 , x2 � 4; � :
f  x2   f  x2 
1
1 15
1
1
 0
x2  x1
x2 .x1
4.4 16

1 17
 � x4
4 4

Do bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải
Nên MinA  4 

bằng nhau nên ta đưa tham số  sao cho tại điểm rơi x=4 thì cặp số

x 1
và phải
 x

bằng nhau.
Với x=4 cho cặp số:
�x 4

�
�
  � 4  1 �   16
�
 4
�1  1
�x 4
+) Lời giải đúng:
1 x 1 15 x
x 1 15.4 17
  
�2
. 

x 16 x 16
16 x 16
4

�x 1
17
� 
MinA  � �
16 x � x  4 � x  4
4
�
�x  4
A x

Lời bình: Bài tốn 1 áp dụng bất đẳng thức A  x 

1
1
�2 x.  2 . lời giải 1 tại
x
x

sao sai?
Lời giải 2 tại sao lại tách A  x 

1 x 1 15 x
  
?..? Làm sao nhận biết được
x 16 x 16

điều đó…?
Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua chuyên đề
này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các
bài toán cực trị.

A. PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy

5


Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức quen thuộc và có ứng dụng rất rộng
rãi. Đây là bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là cơng cụ
hồn hảo cho việc chứng minh các bất đẳng thức.
* Bất đẳng thức Cauchy
Cho n số thực khơng âm a1,a2,...,an (n �2) ta ln có:
a1  a2  L  an n
� a1a2...an . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  L  an .
n

* Một vài hệ quả quan trọng:
�1
�a1

 (a1  a2  L  an )� 

1
1�
 L  ��n 2 v�
�
i ai  0, i  1,n (1)
a2
an �

1 1

1
n2
v�
�
i ai  0, i  1, n
  L  �
a1 a2
an a1  a2  L  an

 2

 Cho 2n số dương ( n  Z ,n 2): a1,a2,...,an ,b1,b2,...,bn ta có:
n

(a1  b1)(a2  b2)...(an  bn ) �n a1a2...an  n b1b2...bn

 3

Trong chứng minh bất đẳng thức, đôi khi việc ghép và sử dụng các bất đẳng
thức cơ sở không được thuận lợi và dễ dàng. Khi sử dụng liên tiếp nhiều bất
đẳng thức ta phải chú ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để điều kiện này
luôn được thỏa mãn suốt quá trình ta sử dụng bất đẳng thức trung gian. Và bất
đẳng thức Cauchy là một trong những bất đẳng thức đó. Để thấy được kĩ thuật
này như thế nào ta sẽ đi vào một số bài tốn sau:
1
Bài tốn 2: Cho x �3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  x  2
x
+) Xác định điểm rơi:
1
Hàm số: f  x   x  2 đồng biến trên  3;� .

x
Vì x1 �x2 ; x1 , x2 � 3; � :
f  x2   f  x2 
1
1
1
1
25
1
 2  1 2  2 
0
2
x2  x1
x2 .x1 x2 .x1
3.3 3.3 27

1 28

� x  3 . Nên ta có :
32 9
+)Sơ đồ điểm rơi:
�x 3

�
�
  � 3  1 �   27
.
�
�1  1  9
�x 2 9

Nên MinA  3 

6


Ta phải tách làm sao để khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy thì sẽ khử hết biến và
dấu ''  '' xảy ra.
+) Lời giải:
1
x
x
1 25 x
x x 1 25 x 1 25.3 28
3




�
3
. . 
� 

x 2 27 27 x 2 27
27 27 x 2
27 3 27
9
x
1
�x

 2
28
� 
MinA 
� �27 27 x � x  3
9
�
�x  3
A x

Bài tốn 3: Cho x 4.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=2x 2 +

18
x

Sơ đồ điểm rơi :
�18 18

�
32 18
32
�x
4
� 
� 
x=4  � 2

9
4
�2 x  32

�

�
9 x 2 18 � � 9 � 2
18 �
9 x 2 18 23 2
2


Lời giải: S=x +
=� 
+
x
2.
� + x
�
�
x �16
x�
� � 16 �
16
x 16
2

=

9
2

2x x +

23 2 9
23
x  . 2.4 4 + . 4 2 =41
16
16
2

Vậy với x=4 thì Min S = 41
�x, y  0
Bài tốn 4 : Cho �
.
�x  y �3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  x  y 

1 1

x y

+) Xác định điểm rơi:
Do A là biểu thức đối xứng theo x,y nên dự đoán giá trị nhỏ nhất của A tại
3
2
+)Sơ đồ điểm rơi:
3
�x y
 
�
3 �
3 2

4
  2
x y  ��
�
 � 
2 �1 1 2
2 3
9
 
�x y 3
x y

+) Lời giải:
7


A x y
A �2

1 1 �4 x 1 � �4 y 1 � 5
  �  �
 �  x  y 
x y �9 x � �
9
y� 9
�

4x 1
4y 1 5
4 5

13
. 2
.   x  y  �2.2
 .3 
9 x
9 y 9
9 9
3

�4 x 1
�9  x
�
13
3
�4 y 1
MinA  � � 
� x y
9
y
3
2
�
�x  y  3
�x, y  0
�
�x, y  0
1
Bài tốn 5: Cho �
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S  xy 
xy

�x  y  1

+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo x, y nên ta dự đoán
MinS đạt tại x  y 

1
.
2

Sơ đồ điểm rơi :
� 1
xy 
1 �
4 1
4
�
x  y  ��
�  �   16
2 �1  4
 4
 xy 
�
+) Lời giải :
S  xy 

1 �
1 � 15
 �xy 
�
xy � 16 xy � 16 xy

1 15 17
 
2
�x  y � 2 4
16 �
�
�2 �
17
1
MinS 
� x y
2
2
S �2 xy.

1

16 xy

15

2



1
5
�x, y  0
, tìm GTNN của biểu thức P  2 2   xy .

xy
x y
�x  y �2
+) Định hướng cách giải: Do P là biểu thức đối xứng theo x, y , ta dự đoán MinP
đạt tại x  y  1.

Bài toán 6:Cho �

Lời giải:
8


1
1 �
1� 7
4
1
7
13


xy


�

2
xy
.


�
�
�
2
xy � 2xy (x  y )2
xy
x 2  y 2 2xy �
�x  y � 2
2�
�
�2 �

P

�x 2  y 2  2xy
�
13
�
� �x 2 y 2  1
� x  y  1.
Min P =
2
�x  y  2
�
1
2
2
�x, y  0
Bài toán 7: Cho �
, tìm GTNN của biểu thức S  3 3  2  2 .

x y
x y xy
�x  y �2

+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo x, y nên ta dự đoán
MinS đạt tại x  y  1và ta thấy: x3  y 3  3x 2 y  3xy 2  (x  y )3 vì thế ta muốn

xuất

hiện

(x  y )3 ,

ta

áp

dụng

bất

đẳng

thức

1
1
1
1
1

1
1
1
1
 2 
 2 
 2 
 2 
cho 9 số ta có:
3
2
2
2
x y
2x y 2xy
2x y 2xy
2x y 2xy
2x y 2xy 2
3

+) Lời giải :
Áp dụng bất đẳng thức cho 9 số:
S

1
1
1
1
1
1

1
1
1
 2 
 2 
 2 
 2 
3
2
2
2
x  y 2x y 2xy
2x y 2xy
2x y 2xy
2x y 2xy 2
3

81
81
9
S�
�
�
5(x  y )3
5(x  y )3 2
(x  y )3 
(x  y )3 
4
4
x


y

1
Dấu bằng xảy ra khi
.

�x, y, z  0
Bài toán 8 : Cho �
.
�x  y  z �6
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  x  y  z 

1 1 1
 
x y z

+) Xác định điểm rơi:
Do A là biểu thức đối xứng theo x,y,z nên dự đoán giá trị nhỏ nhất của A tại
x yz2
+)Sơ đồ điểm rơi:
�x y z 2
  
�
2 1
   
�
x  y  z  2��
�  �  4
 2

�1  1  1  1
�x y z 2
+) Lời giải:
9


A x y z

1 1 1 �x 1 � �y 1 � �z 1 � 3
   �  �
 � �  �  x  y  z 
x y z �4 x � �
4
� y � �4 z � 4

x 1
y 1
z 1 3
1 3
15
.  2 .  2 .   x  y  z  �2.3
 .6 
4 x
4 y
4 z 4
4 4
2

A �2

�x 1
�4  x
�
�y  1
15
�
MinA  � �4 y
� x yz2
2
�z 1
�
�4 z
�
�x  y  z  6
�x, y, z  0
�
Bài toán 9: Cho �
3 , tìm GTNN của biểu thức
x

y

z
�
�
�
2
S  x2 

1

1
1
2
2

y


z

.
y2
z2
x2

+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo a,b ,c nên ta dự đoán
MinS đạt tại x  y  z 

1
.
2

1
�2
2
2
x

y


z

�
4 1
4
�
�  �   16
Sơ đồ điểm rơi : �
 4
�1 2  1 2  1 2  4
x  y z 
�
+) Lời giải :
S  x2 

1
1
1
1
1
1
 ... 
 y2 
 ... 
 z2 
 ... 
2
2
2
2

2
16y
16y
16
z 4 2 4 16
z
16
x 4 2 4 16
x2
14
43
14
43
1442443
16

S � 1717

16

16

�
x2
y2
z2
x
y
z
17

17
17

17

17
 17 �
 17 8 16  17 8 16
16 32
16 32
16 32
8
16
� 16 y
16 y
16 z
16 x
16 z
16 x
�

�
x
y
z
� 17 �
3 3 17 8 16 .17 8 16 .17 8 16
16 z
16 x
�

� 16 y

�
�
�
�

�
1
3 17
� 3 17 3 17 8 5 5 5 
5
16 x y z
�
2.17  2 x 2 y 2 z 
�

10


3 17

3 17
�
15
2 . Vậy MinS  3 17 � x  y  z  1
2
x

2

y

2
z
�
�
2
2
2.17 �
�
3
�
�

�

Bài toán 10:
Cho x, y, z , t  0. Tìm giá trị nhỏ của biểu thức:
x
y
z
t
y  z t x  z t x  y t x  y t








y  z t x  z t x  y t x  y  z
x
y
z
t
+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo a,b ,c,d nên ta dự
đoán MinS đạt tại x  y  z  t  0 .
S

Sơ đồ điểm rơi :
y
z
t
1
� x




�
3 1
�y  z  t x  z  t x  y  t x  y  z 3
�  �  9
�
 3
�y  z  t  x  z  t  x  y  t  x  y  t  3
�
y
z
t


� x

+) Lời giải :
S

� x

��y  z  t 

x , y , z ,t

S �8 8

�

y  z t �
8 y zt
� � .
9 x � x , y , z ,t 9
9x

x
y
z
t
y  z t x  z t x  y t x  y t
.
.
.

.
.
.
.
y  z t x  z t x  y t x  y  z
x
y
z
t

8 �y z t x z t x y t x y
 �          
9 �x x x y y y z z z t t

z�
�
t�

8 8
y z t x z t x y t x y z 8 8
40
�  .1212 . . . . . . . . . . .   .12 
3 9
x x x y y y z z z t t t 3 9
3
40
� x y  z t 0
3
�x, y, z  0
�

Bài tốn 11: Cho �
3 , tìm GTNN của biểu thức
x yz �
�
�
2
MinS 

S  x2  y2  z 2 

1 1 1
  .
x y z

+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo a,b ,c nên ta dự đoán
MinS đạt tại x  y  z 

1
.
2

11


1
�2
x  y2  z2 
�
2 1
4

�
�  �  8
Sơ đồ điểm rơi : �
 4
�1  1  1  2
x  y z 
�
+) Lời giải :
S  x2  y 2  z 2 

1 1 1
 
x y z

�
1
1
1
1
1
1 � �1 1 1 �
= �x 2  y 2  z 2  
  
 � �   �
8 x 8 y 8 z 8 x 8 y 8 z � �x y z �
�
1 1 1 1 1 1 3� 1 1 1 �
S �9 9 x 2 . y 2 .z 2 . . . . . .  �
33 . . �
8x 8 y 8z 8x 8 y 8z 4 � x y z �

Bài toán 12 : Cho
9 9 1
9 9
1
9 9
27
  .
�  .
  .2 
4 4 3 xyz 4 4 x  y  z 4 4
4
3
27
1
MinS 
� x yz
4
2

�x, y, z  0
.
�2
2
2
�x  y  z  1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S  x  y  z 

1
xyz

+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo x, y nên ta dự đoán
MinS đạt tại x  y  z 

1
.
3

Sơ đồ điểm rơi :
1
�
x

y

z

�
3
1
3 3 1
�
x yz
��
�

�  9

3 �1
3 3
3


�
 xyz

�
+) Lời giải :

12


�
1 � 8
S  �x  y  z 
�
9 xyz � 9 xyz
�
1
8
4
8



4 3
9 xyz
�x 2  y 2  z 2 � 3
3
9�
�
3

�
�
1
MinS  4 3 � x  y  z 
3
S �4 x. y.z.

�x, y, z  0
�
Bài tốn 13 : Cho �xy �12 .
�yz �8
�
�1
�xy

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S   x  y  z   2 � 

1
1� 8
 �
yz zx � xyz

�x, y, z  0
�
+Dự đoán giá trị nhỏ nhất của đạt được khi �xy  12 tại x  3, y  4, z  2
�yz  8
�
+ Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số khơng âm ta có:
x
y

2
x y 2 1


�3 3 . . 
18 24 xy
18 24 xy 2
x z 2
x z 2
  �3 3 . .  1
9 6 xz
9 6 xz
x z 2
x z 2 3
 
�3 3 . . 
16 8 yz
16 8 yz 4
x z y
8
x z y 8
  
�4 4 . . .
1
9 6 12 xyz
9 6 12 xyz
13x 13 y
13x 13 y
13 13
13


�2
.
�2
. .xy �
8
24
8 24
8 24
3
13 x 13 y
13x 13 y
13 13
13

�2
.
�2
. .xy �
48 24
48 24
48 24
4

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được :
�1
1
1� 8
1
3

13 13 121
S   x  y  z   2 �   �
� 1 1  
4
3 4 12
�xy yz zx � xyz 2

�x, y, z  0
�
Bài toán 14 : Cho �1 1 1 .
�x  y  z  1
�
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
13


1
1
1


x  2 y  3 z 2 x  3 y  z 3x  2 y  z
+) Định hướng cách giải: Do A là biểu thức đối xứng theo x,y,z nên dự đoán
giá trị nhỏ nhất của A tại x  y  z  3 .
1 1 1
   1 thì :
Để A có thể xử dụng gỉa thuyết
x y z
A

1
1
1
,
,
2 x  3 y  z x  2 y  3 z 3x  y  2 z

phải được tách thành tổng các số hạng

1 1 1
, , .Từ một số hạng ban đầu tách thành nhiều số hạng nghĩ ngay đến hệ quả
x y z
(2):
Do đó:
1
1
1 �2 3 1 �

� �  �
2 x  3 y  z x  x  y  y  y  z 36 �x y z �
1
1
1 �1 2 3 �

� �  �
x  2 y  3 z x  y  y  z  z  z 36 �x y z �
1
1
1 �3 1 2 �


� �  �
3 x  y  2 z x  x  x  y  z  z 36 �x y z �
1
1
1
1 �6 6 6 � 1


� �   �
2 x  3 y  z x  2 y  3 z 3 x  y  2 z 36 �x y z � 6
�x, y, z  0
�
1
�1 1 1
MaxA  � �    1 � x  y  z  3
6
�x y z
�
�x  y  z
�x, y, z  0
Bài toán 15 : Cho �
.
�x  y  z  1
nên:A=

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S  3 x  y  3 y  z  3 z  x
+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo x, y, z nên ta dự đoán
MinS đạt tại x  y  z 

1

.
3

Sơ đồ điểm rơi :
1
2
x yz �x y yz zx
3
3
+) Lời giải :
14


2 2
�
x y 
�3
9
2
2
9
3 3
� x  y  3 . 3  x  y  . �3 .
4
3 3
4
3
�
2 2
�

yz 
�
9
2 2
9
3 3
�3 y  z  3 . 3  y  z  . �3 .
4
3 3
4
3
�
�
2 2
zx 
�3
9
2 2
9
3 3
� z  x  3 . 3  z  x  . �3 .
4
3 3
4
3
�
�
9 2 x  y  z   4 3 9 6 3
S  3 x  y  3 y  z  3 z  x �3 .


.  18
4
3
4 3
1
MaxS= 3 18 � x  y  z 
3

�x, y, z , t  0
Bài toán 16 : Cho �
.
�x  y  z  t  1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S  3 2 x  y  3 2 y  z  3 2 z  t  3 2t  x
+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo x, y , z ,t nên ta dự
đoán MinS đạt tại x  y  z  t 

1
.
4

Sơ đồ điểm rơi :
1
3
x  y  z  t  � 2 x  y  2 y  z  2 z  t  2t  x 
4
4
+) Lời giải :
3 3
�
2x  y  

�
3
3
4 4
�3  2 x  y  . �
4 4
3
�
3 3
�
2
y

z


�
3 3
4
4
3  2y  z
. �
�
�
4 4
3
�
3 3
�
2z  t  

3
3
�3  2 z  t  . �
4 4
�
4 4
3
�
3 3
�
2
t

x


�3 2t  x 3 . 3 �
4
4


�
4 4
3
�

15


�3

3 x  y  z   6
9 �
3 2 x  y  3 2 y  z  3 2 z  t  3 2t  x �
�
�
16 �
3

9
3

�
S 3
16

S

3

48

23 6

x

y

z

1
4

t

9 2 x  y  z   4 3 9 6 3
S  3 x  y  3 y  z  3 z  x �3 .

.  18
4
3
4 3
1
MaxS= 3 18 � x  y  z 
3

2.

Bài tập vận dụng:

1
x
18
Bài 2: Cho x �4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S  2 x  2 .
x
8
2
Bài 3: Cho x �9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S  x 
.
x

Bài 1: Cho x �2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S  x  .

�x, y  0
.
�x  y �1

Bài 4: Cho �

1
x

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S  x  y  

1
.
y

�x, y  0
.
�x  y �1

Bài 5: Cho �

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S 

1
1 x  y
2

2



3
.
2 xy

�x, y  0
.
�x  y �1

Bài 6: Cho �

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S 

1
1

 6 xy .
x 2  y 2 xy

�x, y  0
.
�x  y �1

Bài 7: Cho �

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S 

1
2
2


.
x 3  y 3 x 2 y xy 2

�x, y  0
.
�x  y  z �4

Bài 8: Cho �

1
x

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S  x  y  z  

1 1
 .
y z

16


�x, y, z  0
Bài toán 9 : Cho � 2
.
2

2
�x  y  z  2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S  x  y  z 

3
.
xyz

1
1 1 1

 
a 2  b 2  c 2 ab bc ca
1
1
1
1 1 1
S 2 2 2 2 2 2
 
ab bc ca
a b
b c
c a
1
1
1
1 1 1
Q 2
 2
 2


 
a  bc b  ca c  ab ab bc ca
P

�x, y, z  0
�
Bài tốn 10 : Cho �1 1 1
.



2
�x y z
�
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
1
1
A


2 x  3 y  4 z 2 y  3z  4 x 2 z  3x  4 y
�x, y, z  0
Bài toán 11 : Cho �
.
�x  y  z  2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S  3 2 x  y  3 2 y  z  3 2 z  x
�x, y, z  0
, tìm GTNN của các biểu thức sau:

�x  y  z �1

Bài12: Cho �

1
1 1 1
  
2
2
xy yz zx
x y y
1
1
1
S 2



x  y 2 y 2  z 2 z 2  x2
1
1
1
Q 2
 2
 2

x  yz y  zx z  xy
P

2

1 1 1
 
xy yz zx
1 1 1
 
xy yz zx

Chú ý:
Cần chú ý bất đẳng thức Cơsi, có điều kiện các số dương thì khả năng
nghĩ tới Cơsi. Cách giải phải đi ngược qui trình thơng thường. Đầu tiên phải dự
đốn được điểm rơi xảy ra tại đâu, sau đó lồng ghép các số trong bất đẳng thức
sao cho khi xảy ra dấu bằng tại đúng điểm rơi đã dự đoán…

17


2.4. Hiệu quả sau khi sử dụng
+ Học sinh:
Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú
hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở ra một cách nhìn
nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học
sinh tự học và tự nghiên cứu.
+ Bản thân : Sau khi áp dụng đề tài này tơi thấy trong q trình giảng dạy
học sinh học tốt hơn và đa số không mắc sai lầm khi giải bài toán bất đẳng thức.
3. Kết luận, kiến nghị:
- Kết luận:
Một bài tốn có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp
lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc khơng dễ. Do đó đây chỉ là một
chun đề trong rất nhiều chuyên đề, một phương pháp trong hàng vạn phương

pháp để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh. Giáo viên trước hết
phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp
cho học sinh cách nhận dạng bài tốn, thể hiện bài tốn từ đó học sinh có thể
vân dụng linh hoạt các kiến thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ
đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh khơng sợ khi đứng
trước một bài tốn khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê mơn
tốn, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu.
Tuy nội dung của chuyên đề khá rộng, song trong khn khổ thời gian có
hạn người viết cũng chỉ ra được các ví dụ, bài tốn điển hình.
Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để
chuyên đề này được đầy đủ hoàn thiện hơn.
- Kiến nghị:
Qua thực tế khảo sát học sinh đa số các em chưa học tốt nội dung bất đẳng thức
nên rất ngại học nội dung này, nhiệm vụ giáo viên chúng ta là cần hệ thống bài
tập và lựa chọn sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh để giúp các em
nắm vững kiến thức cơ bản cũng như kỹ năng giải tốn, có như vậy các em mới
u thích mơn tốn và đạt kết quả cao hơn. Trong q trình hồn thành đề tài tôi
biết ơn các đồng nghiệp đã nhiệt tình giúp đỡ, tơi mong muốn nhận được ý kiến
đóng góp để sáng kiến nhỏ mang lại nhiều lợi ích cho các em học sinh.

18


Tài liệu tham khảo:
1.Đại số lớp 10, bài tập đại số lớp 10- nhà XBGD năm 2016
2.Tạp chí Tốn học và tuổi trẻ năm 2016.
3.Các dạng Toán LT ĐH của Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002
4. 263 bài bất đẳng thức của Nguyễn Vũ Thanh- NXB Giáo Dục
5. Bất đẳng thức của Trần Văn Hạo- NXB Giáo Dục năm 2009
6. Sáng tạo bất đẳng thức của Phạm Kim Hùng

SVK9- Trường ĐHKHTN- ĐHQGHN (NXB Tri Thức).

19


Phụ lục 1. Kiểm tra tìm hiểu thực trạng:
1
x

Đề bài. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  . Biết :
b) x �4

a ) x>0

Biểu điểm và đáp án:
a) Do x>0 nên

1
 0 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
x

1
1
�2 x.  2 …………………………………………………..2 điểm
x
x
� MinP  2 tại x = 1…………………………………………………..2 điểm
P x

b)

P  x

1 �x 1 � 15 x
 �  �
x �
16 x � 16 ....................................................................1,5

điểm
�2

x 1 15 x
. 
16 x 16 ……………………………………………….............1,5 điểm

1 15 x
= 
2 16 ………….………………………………………………........1 điểm
1 15 17
�   ………….………………………………………........1 điểm
2 4
4
� MinP 

17
……………….………………………………………........1 điểm
4

20

Phụ lục 2. Kiểm tra sau tác động.
Bài toán: Cho x,y,z là 3 số dương thõa mãn điều kiện: x  y  z �1.
2
x

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P  3x  3 y  3z  

2 2

y z

Biểu điểm và đáp án:
2 2 2 �
2��
2� � 2�
P  3x  3 y  3z    = �
18x+ � �
18y+ � �
18z+ � 15  x  y  z  …4 điểm
x y z �
x��
y��
z�

Do x,y,z là 3 số dương nên

1 1 1
, , cũng là 3 số dương .
x y z

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
18x+

2
2
�2 18x. =12
x
x

 1 …………………………………………..1 điểm

Dấu bằng xảy rakhi và chỉ khi 18 x 

2
1
�x
x
3

………………………………………………………..1 điểm
Tương tự ta cũng có:
2
2
�2 18y. =12
y
y

 2  ….………………………………………..1 điểm

2

2
18z+ �2 18z. =12
z
z

 3 …………………………………………..1 điểm

18y+

Mà 15  x  y  z  �15

 4  ………………………………………...1 điểm

Cộng (1), (2), (3), (4) ta có P �21 .
1
3

Gía trị nhỏ nhất của P bằng 19 khi x  y  z  . ............1 điểm

21


Phụ lục 2.
Bảng điểm lớp thực nghiệm:
Stt
1
2
3
4
5

6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35

36
37
38
39
40
41
42

Họ và tên
Lê Tuấn
Anh
Nguyễn Thị Mai
Chi
Võ Thị
Chiến
Lê Thị
Dung
Nguyễn Thế
Dũng
Ngơ Hùng
Đức
Tào Minh
Đức
Nguyễn Thị
Hạnh
Đỗ Ngọc
Hồng
Trần Thị
Hồng
Đỗ Thị

Huyền
Nguyễn Tác
Hùng
Nguyễn Thị Lan Hương
Lê Cung
Kỳ
Lê Thị
Lan
Nguyễn Thị
Lan
Nguyễn Tuấn
Lâm
Đỗ Đức
Linh
Nguyễn Khánh
Linh
Nguyễn Thị Kiều
Loan
Đặng Văn
Luân
Phan Thị
Lưu
Nguyễn Thị
Mai
Nguyễn Văn
Nam
Nguyễn Thị
Nga
Nguyễn Linh
Ngọc

Lê Thị
Oanh
Tào Minh
Phong
Ngô Khánh
Phương
Nguyễn Thị
Phương
Lê Thị
Qúy
Nguyễn Hữu
Thông
Lê Văn
Thống
Lê Thị
Thùy
Lê Thị
Thúy
Lê Thị
Thủy
Nguyễn Thị Vân
Thư
Nguyễn Thị
Thương
Nguyễn Thị
Trang
Bùi Văn
Tuấn
Nguyễn Hoằng
Tuấn

Lê Thị
Yến

KT trước tác động
7
6
4
7
7
4
5
6
2
4
2
4
6
5
6
5
6
6
4
6
8
6
8
7
6
2

8
7
4
8
4
7
3
4
7
4
6
6
6
7
5
6

KT sau tác động
9
8
5
6
6
6
6
10
5
7
5
7

6
7
9
7
8
7
8
7
8
7
9
7
8
5
9
8
9
9
8
10
5
10
9
6
7
6
8
8
8
8

Bảng điểm lớp đối chứng.
Stt
1
2
3
4

Họ và tên
Lê Phương
Lê Thị Mai
Phan Hoàng
Trần Việt

Anh
Anh
Anh
Anh

KT trước tác động
5
5
6
5

KT sau tác động
7
5
5
6

22


5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

31
32
33
34
35
36
37
38

Vũ Văn
Nguyễn Đức
Mai Văn
Tào Quốc
Nguyễn Tuấn
Đỗ Văn
Hoàng Anh
Lê Minh
Lê Trung
Phạm Văn
Lê Trung
Nguyễn Văn
Tào Thị
Hoàng Văn
Lê Văn
Hoàng Thị
Lê Đăng
Lê Thị Hoài
Lê Xuân
Vũ Thị Ngọc
Nguyễn Thị Lưu

Lê Đình
Trịnh Thị
Trần Thị Kim
Lê Thành
Lưu Hồi
Nimh Xn
Lại Thị
Nguyễn Viết
Ngơ Văn
Phạm Văn
Lê Xn
Lê Ngọc
Đồn Thị

Bình
Chính
Chung
Cường
Duy
Dũng
Đức
Đức
Đức
Đức
Hải
Hậu
Hiền
Hoan
Hịa
Hồng

Linh
Linh
Linh
Linh
Luyến
Nam
Nguyệt
Oanh
Sơn
Sơn
Sơn
Thanh
Thanh
Thái
Thắng
Thu
Thuận
Thủy

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

6
4
4
7
5
7
4
7
5

4
6
5
6
5
6
5
6
7
5
6
4
4
6
6
6
7
5
4
6
5
7
4
8
6

5
7
6
8

5
5
6
7
6
7
5
6
7
6
6
6
7
6
5
7
5
6
8
7
5
6
5
5
6
5
7
5
8
7

Thanh Hóa, ngày20 tháng 5 năm2016.
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.
Người thực hiện

Hoàng Thị Thúy

23


24