Đề thi HSG 9(có DA)

PHÒNG GIÁO DỤC GIA VIỄN
TRƯỜNG THCS GIA PHƯƠNG
----------------------
MÃ KÍ HIỆU
T-DH01-HSG9-09
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2009-2010
Môn thi : TOÁN
Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề
(Đề này gồm 06 câu trên 01 trang)
---------------------------------------
Câu 1 : 3,5điểm
1/ Tính : A =
5210452104
+−+++
2/ Cho a, b, c thoả mãn:
a b c b c a c a b
c a b
+ − + − + −
= =
Tính giá trị biểu thức: P =
1 1 1
b c a
a b c
   
+ + +
 ÷ ÷ ÷
   
Câu 2: 3,5điểm
1/ Cho ba số x, y, z tuỳ ý. Chứng minh rằng
2

2 2 2
3 3
x y z x y z+ + + +
 
≥
 ÷
 
2/ Chứng minh rằng nếu
1 1 1
2
a b c
+ + =
và a + b + c = abc thì ta có
2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =
Câu 3: 4điểm
1/ / Giải phương trình :
12428
1
4
2
36
−−−−=
−
+
−
yx

yx
2/ Tìm giá trị cuả m để hệ phương trình
2
3 5
mx y
x my
− =


+ =

có nghiệm thoả mãn hệ thức :
2
2
1
3
m
x y
m
+ = −
+
Câu 4: 5điểm
1/ Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD
a) Chứng minh hệ thức:
2 1 1
AD AB AC
= +
b) Hệ thức trên thay đổi như thế nào nếu đường phân giác trong AD bằng đường phân giác
ngoài AE
2/ Cho tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác.Biết IA =2

5
cm,
và IB = 3cm. Tính độ dài AB.
Câu 5: 2điểm
Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
Chứng minh rằng: sin
2
2
A a
bc
≤
Câu 6: 2điểm
Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + 2 ). x
2
+ 1 = y
2

------------------------------------Hết-----------------------------------------
PHÒNG GIÁO DỤC GIA VIỄN
TRƯỜNG THCS GIA PHƯƠNG
----------------------
MÃ KÍ HIỆU
T-DH01-HSG9-09
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2009-2010
Môn thi : TOÁN
Thời gian: 150phút không kể thời gian giao đề
(Hướng dẫn chấm này gồm 5 trang)
-------------------------------------
Câu Đáp án Điểm

Câu 1
3,5điểm
1. (2điểm)
Vì
52104
++
> 0;
52104
+−
> 0 ⇒ A > 0 (1) 0,25đ
A
2
=
52104)52104)(52104(252104
+−++−+++++
0,25đ
=
52101628
−−+

=
152528
+−+
=
2
)15(28
−+
=
1528
−+

= 8 + 2
25
−

=
2
)15(
+
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: A =
15
+

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2. (1,5điểm)
Từ gt ta có
2 2 2
a b c b c a c a b
c a b
+ − + − + −
+ = + = +

0,25đ
suy ra

a b c b c a c a b
c a b
+ + + + + +
= =
0,25đ
Xét hai trường hợp
* Nếu a + b + c = 0
⇒
a + b = -c b + c = - a c + a = -b
P =
1 1 1
b c a
a b c
   
+ + +
 ÷ ÷ ÷
   
=
a b b c c a
a b c
+ + +
   
 ÷ ÷ ÷
   
=
( )c
a
−
.
( )a

b
−
.
( )b
c
−
=
abc
abc
−
= -1
0,25đ
0,25đ
* Nếu a + b + c
≠
0
⇒
a = b = c
⇒
P = 2.2.2 = 8
0,25đ
0,25đ
Câu 2
3,5điểm
1. (1,5điểm)
Áp dụng BĐT Côsi ta có: x
2
+ y
2

≥
2xy (1)
y
2
+ z
2

≥
2yz (2)
z
2
+ x
2

≥
2zx (3)
0,25đ
Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x
2
+ y
2
+ z
2
)
≥
2( xy + yz + zx ) 0,25đ
⇒
2( x
2
+ y

2
+ z
2
) + ( x
2
+ y
2
+ z
2
)
≥
( x
2
+ y
2
+ z
2
) + 2( xy + yz + zx )
⇒
3( x
2
+ y
2
+ z
2
)
≥
( x + y + z )
2

0,25đ
0,25đ
chia hai vế cho 9 ta được

2 2 2 2
( )
3 9
x y z x y z+ + + +
=

hay
2
2 2 2
3 9
x y z x y z+ + + +
 
=
 ÷
 
0,25đ
0,25đ
2. (2điểm)
Từ
1 1 1
2
a b c
+ + =

⇒

2
1 1 1
4
a b c
 
+ + =
 ÷
 

⇒

2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 4
a b c ab bc ca
 
+ + + + + =
 ÷
 
0,25đ
0,50đ
⇒

2 2 2
1 1 1
2 4
a b c
a b c abc
+ +
 

+ + + =
 ÷
 
0,25đ
mà a + b + c = abc
⇒

1
a b c
abc
+ +
=

0,25đ
0,25đ
⇒

2 2 2
1 1 1
2 4
a b c
+ + + =

⇒

2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =

0,25đ
0,25đ
Câu 3
4,0điểm
1. (2,5điểm)
Phương trình
12428
1
4
2
36
−−−−=
−
+
−
yx
yx
(1) có ĐKXĐ là : x > 2, y > 1
* Với điều kiện : x > 2, y > 1 ta có :
+ Phương trình (1) ⇔
028
1
)1(4
2
)2(436
2
2
=−
−
−+

+
−
−+
y
y
x
x

⇔
0
1
)12(
2
)226(
2
2
=
−
−−
+
−
−−
y
y
x
x
(2)
+ Với x > 2, y > 1 ⇒








>−
>−
≥−−
≥−−
01
02
0)12(
0)226(
2
2
y
x
y
x
(3)
Từ (2) và (3) ⇒





=−−
=−−
0)12(
0)226(

2
2
y
x
⇔





=−−
=−−
012
0226
y
x
⇔





−=
−=
12
226
y
x
⇔




=
=
5
11
y
x
Thử lại ta thấy x = 11và y = 5 là nghiệm của phương trình
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,50đ
0,25đ
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (11, 5)

2. (1,5điểm)
Hệ phương trình
2
3 5
mx y
x my
− =


+ =



Rút y từ phương trình thứ nhất , rồi thế vào phương trình thứ hai ta có:
(m
2
+ 3)x = 2m + 5. Do m
2
+ 3 > 0 với mọi m nên ta có

2
2 5
3
m
x
m
+
=
+
,

2
5 6
3
m
y
m
−
=
+

Theo đề bài ta lại có :
2
2 2 2
2 5 5 6
1
3 3 3
m m m
m m m
+ −
+ = −
+ + +
(*)
Giải phương trình này ta được m =
4
7

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,50đ
Câu 4
5,0điểm
1. (3,0điểm)
a. (2,0điểm)
a. Đặt AC = b; AB = c Ta có S
ABC
=
1
2

bc
⇒
bc = 2 S
ABC

= 2 S
ABD

+ 2S
ADC

= AD.AB.sin45
0
+ AC.AD.sin45
0
= ( AB + AC )AD.sin45
0
= ( b + c )AD.sin45
0
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
E
D
C
B
A

Suy ra bc = ( b + c )AD.

2
2
= ( b + c ).
2
AD

⇒

2
AD
=
bc
b c+


⇒

2
AD
=
1 1b c
bc c b
+
= +

Vậy
2 1 1
AD AB AC
= +
(đpcm)

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b. (1,0điểm)
Ta có bc = 2 S
ABC

= 2 S
ACE

- 2S
ABE

= AE.AC.sin135
0
– AE.AB.sin45
0

= ( b – c )AE.
2
2

⇒
bc = ( b – c )AE.
2
2
= ( b – c ) AE.
2
2

⇒

2
AE
=
1 1b c
bc c b
−
= −

Vậy
2 1 1
AE AC AB
= −
hay
ABACAD
112
−=
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2. (2,0điểm)
Kẻ AM
⊥
AC, M thuộc tia CI
Chứng minh được ∆ AMI cân tại M
⇒
MI = AI = 2

5
Kẻ AH
⊥
MI
⇒
HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > 0 )
Xét ∆ AMC vuông tại A ta có AM
2
= MH.MC
⇒
(2
5
)
2
= x.(2x + 3)
⇒
2x
2
+ 3x – 30 = 0
⇔
( 2x – 5)(x + 4) = 0
⇒
x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0)
Vậy MC = 8cm
Ta có AC
2
= MC
2
– AM
2

= 8
2
– (2
5
)
2
= 64 – 20 = 44
⇒
AC =
44
= 2
11
cm
⇒
AB = 2
11
cm
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
I
H
M
C
B

A
C
B