Đáp án Phương pháp toán cho vật lý 1 đề số 1 kỳ 1 năm học 2017-2018 - HUS - Tài liệu VNU

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Đáp án: PHƯƠNG PHÁP TOÁN CHO VẬT LÝ 1
Mã học phần: PHY2201 Số tín chỉ: 3 Đề số: 1

Câu I.(3đ)

Tích phân phương trình vi phân sau:

y00+ 4y = 4t2+ 10e−t,
với điều kiện ban đầu y(0) = y0(0) = 0.

Đáp án: Nghiệm tổng quát:

y(t) = c1cos (2t) + c2sin (2t) + t2−

1
2 + 2e

−t_.

Áp dụng điều kiện ban đầu, nghiệm của bài toán:
y(t) = −3

2cos (2t) + sin (2t) + t

2₋1

2+ 2e

−t_.

Câu II.(2đ)

Khai triển hàm sau thành chuỗi Laurent theo luỹ thừa của z

f (z) = 1

(z − 1)(z − 2)
1) trong miền |z | < 1,

1

(z − 1)(z − 2) =
1
(z − 2) −

1
(z − 1) =

1
(1 − z) −

1
2

1 −z₂
= 1 + z + z2+ ... + zn+ ...
−1

2


1 +z

2 +

z
2

2

+ ... +
z

2
n

+ ...


= 1
2 +

3
4z +

7
8z

2_{+ ... +}



1 − 1

2n+1



zn+ ...
2) trong miền |z | > 2.

1

(z − 1)(z − 2) =
1
(z − 2)−

1
(z − 1) =

1
z

1
1 −2_z −

1
z

1
1 −1_z
= 1

z 1 +

2
z +

 2
z

2

+ ... + 2
z

n
+ ...

!
−1

z 1 +
1
z +

 1
z

2

+ ... + 1
z

n

+ ...

!

= 1
z2 +

3
z3 +

7

z4 + ... + 2

n+1_{− 1}
1
zn+2 + ...

Câu III.(1,5đ)

Hãy chỉ ra rằng hàm số f (z) = |z|2 chỉ giải tích tại z0 = 0 mà khơng giải tích tại bất kỳ điểm

nào khác.
Đáp án:

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Ta có, f (z) = |z|2 = u(x, y) + iv(x, y), do đó u(x, y) = x2+ y2 and v(x, y) = 0. Đạo hàm bậc
nhất của u và v liên tục mọi nơi. Nhưng, ux= 2x bằng vy = 0, và uy = 2y bằng −vx = 0 nếu và chỉ

nếu x = y = 0. Do đó, hàm số f (z) = |z|2 chỉ giải tích tại z0 = 0.

Câu IV.(3,5đ)

Tính các tích phân sau:

1)
Z

γ

ez+ z
z − 2dz,

trong hai trường hợp: a) γ = {z : |z| = 1}; b) γ = {z : |z| = 3}.
Đáp án:

a)R_|z|=1e_z−2z+zdz = 0, do 2 /∈ {z : |z| = 1}.
b) R

|z|=3e

z_+z

z−2dz = 2πi(e

2_{+ 2), do 2 ∈ {z : |z| = 3} là điểm cực đơn.}

2) I =
Z ∞

0

t sin (αt)
1 + t2 dt =

1
2

Z ∞

−∞

t sin (αt)
1 + t2 dt =

1
2Im

Z ∞

−∞

teiαt
1 + t2dt.

Hàm biến phức f (z) = z

1 + z2 có các tính chất sau:

(i) là hàm giải tích ở nửa trên mặt phẳng phức trừ tại điểm z = i, và
(ii) |f (z)| ∼ z−1 → 0 khi |z| → ∞ trong nửa mặt phẳng phía trên trục thực.

Do α > 0, các điều kiện của bổ đề Jordan được thoả mãn và ta có thể xem xét tích phân
J =

Z

C

zeiαz
1 + z2dz

trong đó, C là đường trịn nằm trong nửa mặt phẳng phía trên trục thực có R → ∞. Bổ đề
Jordan cho ta tích phân dọc theo nửa đường trịn Γ tiến tới 0 khi R → ∞. Định lý thặng dư khi đó
cho ta,

Z ∞

−∞

teiαt

1 + t2dt = 2πi Res_z=i

zeiαz

1 + z2 = 2πi

ie−α
2i .
Lấy phần ảo của kết quả trên ta nhận được

Z ∞

−∞

t sin (αt)
1 + t2 dt = π

e−α
2
và kết quả của tích phân là,

I = 1
2

πe−α

2 =

πe−α
4 .

Hà Nội, Ngày 3 tháng 1 năm 2018
Người làm đáp án

</div>

<!--links-->