Đề thi và đáp án Đại số tuyến tính đề số 2 kỳ 1 năm học 2018-2019 – UET - Tài liệu VNU
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (273.27 KB, 3 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>Đề thi Kết thúc môn học, Đông 2018</b>
<b>Mơn: Đại số tuyến tính</b>
Trường Đại học Cơng nghệ - Đại học Quốc gia Hà Nội
<i>(Thời gian làm bài: 120 phút)</i>
<b>Bài 1.</b> <i>(2 điểm) Xét hệ phương trình tuyến tính sau, ở đó x, y, z là ẩn và m là tham số:</i>
5x+5y− 3z = −1
2x+3y− 3z = −5
x− y+ (m+2)z =9
(a) Giải hệ phương trình với m =1.
(b) Biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo m.
<b>Bài 2.</b> <i>(2 điểm) Tìm nghịch đảo của ma trận</i>
A=
1 1 1
6 5 4
13 10 8
.
<b>Bài 3</b> <i>(2 điểm)</i>
Cho ánh xạ tuyến tính T : <b>R</b>3 →<b>R</b>3được xác định như sau:
T(x, y, z) = (x+2y−z, 2x+3y+z, 4x+7y−z).
(a) Tìm ma trận của T đối với các cở sở chính tắc (chuẩn tắc) của<b>R</b>3.
(b) Xác định xem(0, 3, 3)có nằm trong ảnh của T hay khơng?
(c) Tìm một cơ sở của khơng gian ảnh im(T)của T.
<b>Bài 4.</b> <i>(2 điểm) Cho V là không gian con của</i> <b>R</b>4<sub>, cùng với tích vơ hướng thơng thường</sub>
trong<b>R</b>4, sinh bởi tập
S= {(2, 1, 0,−1);(1, 0, 1, 0);(1, 1,−1,−1)}.
(a) Tìm một cơ sở của V và dùng Gram-Schmidt để đưa cơ sở tìm được về cơ sở
trực chuẩn.
(b) Tìm hình chiếu của vectơ x= (1, 1, 1, 1)lên V.
<b>Bài 5.</b> <i>(2 điểm) Cho ma trận A với tham số thực a: A</i>=
a 0 0
2 1 −a
3 −a 1
.
(a) Tìm tất cả các giá trị riêng của A. Chứng minh rằng nếu a = 1<sub>2</sub> thì ma trận A
khơng chéo hóa được.
(b) Khi a =0, hãy tìm một ma trận P khả nghịch (nếu có) sao cho P−1APlà một
ma trận đường chéo. Viết ma trận đường chéo nhận được.
<i>Không sử dụng tài liệu, máy tính bảng, điện thoại thơng minh. Cán bộ coi thi khơng giải thích</i>
<i>gì thêm.</i>
1
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
<b>Đáp án: Đề số 1</b>
<b>Bài 1.</b> (a) Với m =1, ma trận hệ số mở rộng tương đương với:
A=
1 −1 3 9
0 5 −9 −23
0 0 0 0
Hệ có vơ số nghiệm: x= 22<sub>5</sub> −6
5z, y= −235 +95z, z∈ <b>R.</b>
(b) Ma trận hệ số mở rộng tương đương với:
A =
1 −1 m+2 9
0 5 −2m−7 −23
0 0 −m+1 0
Từ đó hệ có vơ số nghiệm nếu m = 1 (câu trên), và có nghiệm duy nhất
(22<sub>5</sub>, −23<sub>5</sub> , 0)nếu m 6=1.
<b>Bài 2. A</b>−1 =
0 −2 1
−4 5 −2
5 −3 1
.
<b>Bài 3.</b> <i>(a) (0.5 điểm) Ma trận của T đối với cơ sở chính tắc:</i>
A =
1 2 −1
2 3 1
4 7 1
.
<i>(b) (0.5 điểm)</i>(0, 3, 3) =T(1, 0, 1)nằm trong ảnh của T.
<i>(c) (1 điểm) Ảnh là không gian cột của ma trận A. Một cơ sở của nó là</i>
{(1, 2, 4),(2, 3, 7)}.
<b>Bài 4.</b> (a) Xét ma trận
A=
2 1 0 −1
1 0 1 0
1 1 −1 −1
.
Khi đó, V là không gian hàng của A. Đưa A về ma trận bậc thang, ta được
A →
1 0 1 0
0 1 −2 −1
0 0 0 0
.
Cơ sở của V:{u1, u2} = {(1, 0, 1, 0);(0, 1,−2,−1)}.
Áp dụng quá trình Gramschmidt, ta được
w1 =u1 = (1, 0, 1, 0);
w2 =u2−
hu2, w1
hw1, w1i
w1= (1, 1,−1,−1).
Cơ sở trực chuẩn của V:{v1, v2} = {(√1<sub>2</sub>, 0,√1<sub>2</sub>, 0);(1<sub>2</sub>, 1<sub>2</sub>,−1<sub>2</sub>,−1<sub>2</sub>)}.
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
<i>Cơ sở của V cũng có thể lấy là</i>{(2, 1, 0,−1);(1, 0, 1, 0)}. Khi đó, cơ sở trực chuẩn
<i>tương ứng là</i>{(√2
6,
1
√
6, 0,−
1
√
6);(
1
2√3,−
1
2√3,
√
3
2 ,
1
2√3)}.
(b)
projV(x) = hx, v1iv1+ hx, v2iv2= (1, 0, 1, 0).
<b>Bài 5.</b> (a) Ta có đa thức đặc trưng của A là |λI3−A| = (λ−a)(λ−1−a)(λ−1+a).
<i>Do đó A có các giá trị riêng λ</i>1= <i>a, λ</i>2=1+<i>a, λ</i>3 =1−a.
Nếu a= 1<sub>2</sub> <i>thì λ</i>1=<i>λ</i>3= 1<sub>2</sub>(bội 2)<i>, λ</i>2= 3<sub>2</sub>.
Xét
<i>(1) λ</i>1I3−A = 1
2I3−A =
0 0 0
−2 −1
2 12
−3 1<sub>2</sub> −1
2
−→
Gauss-Jordan elimination
1 0 0
0 1 −1
0 0 0
<i>Do đó khơng gian riêng của A tương ứng với giá trị riêng λ</i>1= 1<sub>2</sub>là V1/2(A) =
span({
0
1
1
}), tức là khơng thể tìm được 2 vector riêng độc lập tuyến tính
<i>tương ứng với giá trị riêng λ</i>1 = 1/2 (bội 2). Vì vậy, khi a = 1<sub>2</sub>, ma trận A
khơng chéo hóa được.
(b) Khi a =<i>0, ma trận A có các giá trị riêng: λ</i>1 =<i>0(bội 1), λ</i>2 =<i>λ</i>3 =1 (bội 2).
<i>Với λ</i>1=0:
<i>(2) λ</i>1I3 − A = −A =
0 0 0
−2 −1 0
−3 0 −1
−→
1 0 1/3
0 1 −2/3
0 0 0
<i>Do đó khơng gian riêng tương ứng với giá trị riêng λ</i>1=0 là
V0(A) = span({
−1
2
3
}).
Chọn p1 =
−1
2
3
.
<i>Với λ</i>2=1:
(3) <i>λ</i>2I3−A= I3−A =
1 0 0
−2 0 0
−3 0 0
−→
1 0 0
0 0 0
0 0 0
<i>Do đó khơng gian riêng tương ứng với giá trị riêng λ</i>2 = 1 là V1(A) =
span({
0
1
0
,
0
0
1
}).
Chọn p2 =
0
1
0
, p<sub>3</sub> =
0
0
1
.
Lấy P=
−1 0 0
2 1 0
3 0 1
. Khi đó P−1AP=
0 0 0
0 1 0
0 0 1
.
</div>
<!--links-->
