Khái niệm và Các bài giảng về bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (93.8 MB, 182 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CÁC BÀI GIẢNG VỂ

BẤT ĐẲNG THỨC

NHÁ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
rr 11-1 \ • ĐHQGIIN

V - C ỉ l

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ĐAI HỌC QUOC GIA HA NỌI

T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự N H IÊ N• • I I

KHỎI 111PT C I 1UYẼN TOÁN - TIN

NGUYỄN VÚ LƯƠNG (Chủ biên)
NGUYỄN NGỌC THẮNG

CÁC BÀI GIẢNG

VÊ BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

C ác !’ài ciảng về bất dáng thức Burthiacópxki

MO DẢI.

Bít đẳng thức được áp dụng rộng rãi tronq nhiều lĩnh vực của toán

hex; 'à nhiều ngành khoa học tự nhiên. Đã có những cuốn sách chun
kháo viết dẩy đủ về bất đảng thức, nhưng chi dành ricng cho các chuyên
gia, các tháy cơ giáo dể có hiếu biết, có kiên thức sâu vé bất đảng thức.
Nhữrg cuốn sách biên soạn vé bất đẳng thức dành cho học sinh trung học
cơ sc hay trung học phổ thơng cịn rát ít. Hai hất đẳng thức cơ bản quen

th u ộ c nhíu đối với các em học sinh là bất đảng thức dạng trung hình

rừ nhữnt’ bài giảng cho học sinh Khối chuyên Toán - Tin Trường

Đại iọc Khoa học Tự nhiên các tác giả muốn trình bày một cách tiếp
cận nới vé hai bất đẳng thức dược áp dụng rộng rãi nhất này. Cuốn sách
chia hành các bài giảng độc lập được sắp xếp mổt cách trình tự. Sau

này (húng ta có thổ bổ sung các bài giảng mới để cuốn sách naày càng

dầy củ hơn. Mỗi bài giảng có một nội dung được hoàn thiện và sấp xếp
từ dí đến khó đổ độc giả có thể tư học. Bạn đọc nào đã làm quen với
cuốn sách " Các bài giảng vé bất đảng thức Côsi" là bất đẳng thức dạng
trung bình đã được xuất bản cùa cùng các tác giả cuốn sách này thì chắc
chiinsẽ dc dàng hơn khi đọc cuốn sách dang có trong tay các bạn "Các

bài gàng về bất đảng thức Bunhiacốpxki Nếu nhiểu phương pháp giải

liav, :ác bài toán khó được các em học sinh, các dộc già hiểu thấu đáo

và can thấy đơn giản thì đó chính là điểu mong muôn của những người

viết (Uốn sách này.

Như các bạn đã biết, khi viết vé một nối dung phong phú và khá

kinh điển thì chắc chắn sẽ cịn nhiéu thiếu sót nẽn các tác giả rất mong

sự g(p ý của các bạn độc giả. Các ý kiến cóp ý xin gửi về địa chỉ:

11 1 = 1

và bíí đẳng thức Bunhiacôpxki

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Mục Lục

Kiến thức cơ bản 3

1 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki dạng đơn g iả n ... 3

2 Bất đẳng thức hàm l ồ i ... 19

3 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki... 28

4 Một số dạng hệ quả ... 43

5 Một số dạng mở rộng và liên q u a n ... 52

6 Một số kết quả làm mạnh bất đẳng thức Bunhiacôpxki 62
Một sổ phương pháp xây dựng bất đảng thức 69
1 Một phương pháp xây dựng bất đảng thức dạng phần thúc 69
2 Một dạng hệ quả của Bất đẳng thức Bunhiacôpxki và áp
d ụ n g ... .. ... 81

3 Bất đẳng thức tam g iá c ... 99

4 Dạng hằng đẳng thức của Bất đẳng thức Bunhiacôpxki . 111
5 Sử dụng cơng thức tính tổng hữu hạn trong Bất đẳng thức
Bunhiacopski... 117

6 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki và một sô' dạng bất đẳng thức
chứa căn t h ứ c ... . 125

7 Phép biến đổi thuận... 138

8 Phép biến đổi nghịch Bunhiacôpxki...155

9 Sừ dụng bất đảng thức Bunhiacôpxki xây dựng bất đẳng
thức có điều kiện thứ t ự ...163

10 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki giải một sơ' bài tốn
trong tam giác ... 173

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Chương 1

Kiến thức cơ bản

1 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki dạng đơn giản

Bất đẳng thức Bunhiacôpxki tronu trường hợp đơn giản được thể hiện
trong ví dụ 1.1 sau đây

Ví dụ 1.1. Chứng minh rằng \/a,b,c,x, y, z 6 R ta có

1) (ax + by)2 < (a2 + b2)(x2 + ỳ2) (*)

2) (ax + by + cz)2 < {á2 + b1 + c2) ( j 2 + y2 + z2) (**)

Giải

1) Bất đẳng thức (*) tương đương với (bx - ay)2 ^ 0

Đảng thức xảy ra khi - =

X y

2) Bất đẳng thức (**) tương đương với

2abxy + 2 b c y z + 2 c a z x < n 2(ĩj2 + z 2 ) + b2 { z 2 + X 2 ) + c 2 ( x 2 + y 2)

o (ny — bx)2 + (bz — cy)2 + (cx — az)2 ^ 0

, . a b c

Đang thức xảy ra khi — = - =

X y z

Sau đây xét một số áp dụng của bất đẳng thức (*),(**).

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

4 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Thắng

Ví dụ 1.2. Với a, b, c > 0, chứng minh rằng

a2 62 c2

-7—I—- H—— ^ a + 6 + c.

o c a

Giải
Ta có

{a + b+c)2 = ( v b V ~b + V Ĩ V 'c + ử V *)

Suy ra

/ h? \

( a + 6 + c)2 < ( t - + — + — ) ( a + ò 4 - c )

\

0

c a /

c? b2 (?

= > ~ r + — + - - ^ ( a + b + c) (đpcm).

b c a

Ví dụ 1.3. Với a, 6, c > 0, chứng minh rằng

a2

b2

c2 a+ b+ c

+ —— + —r ^ ^ --- •

b + c c ũ ũ "4* b

Giải
Ta có

(a + 6 + c)2 =

(

7

Vb+~c+

7= = n/c + a H— 7 = = V a

Vx/fc + c \/c + a n/ Õ Tò /

Suy ra

(a + b + c)2 < (7““ — + + ——-r Ì 2 (a + ị + c)
v ' \ b + c c + a a + bJ

á 2 b2 c2 a + b + c

<=> T-— + —— + —TT ^ — o— (dpcm).

b + c c + a 0 + 0 2

Ví dụ 1.4. Với a ,b ,c > 0, chứng minh rằng

a b c

+ + — —- ^ 1.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Giải
Ta có

(í). + b + c)2 =

= ( \ f b ĩ ĩ c ^ + 2 c ) + ' ị T Ỉ T a ^ + ĩ u ) \ Ị Ĩ T ã ^ c ( n + W ] )

Suy ra

(a + b + c)2 < ( 7 a H--- + - —r r ì ■ 3(aỉ> + bc + ca)
' \ b + 2c c + 2a a + 2bJ

a b c (a + b + c)2 ___

° /7+2^' + c + 2a a + 2b 3(ab + bc + ca) (

Ví dụ 1.5. Với x ,y, z là những số thực thoả mãn đảng thức
|a: + 2y + 3z\ = %/Ĩ4, chứng minh rằng

X2 + y 2 + z 2 ^ 1.

Giải
Ta có

14 = (x + 2y + 3z)2 < ( l2 + 22 + 32)(x2 + y2 + z2)

o X2 + y2 + z2 ^ 1 (đpcm).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Các bài g iả n g về bất (láng thức B u n h ia cỏ p x k i 5

( \x + 2 y + 3z| = y/ĨÃ.

Ví dụ 1.6. Với X, y , z là những số thực thoả mãn đẳng thức

X2 4- 2y2 + 3z2 = 1, chứng minh ràng

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

6 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Thũng

Giải
Ta có

(x + y + z)2 = ( x + - j = - V2y + • \/ã z )

<

{1 + ị + ị ) ( x 2 + 2y2 + 3z2)

=

Ỵ

=> \x + y + z\ <

ề

(đpcm).

Trong một sô' trường hợp ta đưa vào tham số điểu chỉnh sẽ nhận órọtc
những lời giải rất thú vị.

Ví dụ 1.7. Với a, b > 0, a + b > 1, chứng minh rằng

b2

á2 +

(a + 6 ) 2 - 1
Giải
Ta có

(a + ò)2 = (a + = \Jã.b)2 < (1 + — )(a2 + aò2)

\JGl a

Ta chọn Q > 0 sao cho

(a + 6)1 = (1 + ! ) « . < , = —

ỉ —

> 0

a (a + b y — 1

Và thu được

1 < a 2 + b2

(a + 6 ) 2 - 1 (đpcm).

Ví dụ 1.8. Với x , y > 0 ,x 2 + y2 = 2, hãy tìm giá trị lớn nhất ciủa 
biểu thức

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Các bài giảnỉ vê hat đắng thức Bunhiacơpxki

(ỉiải

Tíi có

‘Suy ra

p 2 = ( —J= ự-as + Ư2y) < (— + l)(n-r + 2y) (rtr > 0)

\sj(\ J n

p ' < (1 + - ) 2(o2 + 4)(:r2 + y2)
a

^ p ' < (1 + - ) 2(o2 + 4)2

/ “ 1

p < \/2 ( a 2 + 4)(1 + - ) 2

V cv

1DÁU đ á n g t h ứ c x ả y r a k h i v à c h ỉ k h i

ữựĩ: = s/2ỹ I a 2x = 2y

£ = y ^

n 2

Suy ra a 3xy = 4xy <=> a = \/4.

Vậy dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

n/ĨCx = 2 y

y3 = 2.T3

..2

D o đó />„„ = Ự 2(n/Ĩ 6 + 4)(1 + - ^ ) 2.

V í dụ 1.9. Với ha,h i,h c là độ dài các đường cao của một tam giác,
r là độ dài bán kính đường trịn nội tiếp. Chứng minh ràng

n/ 3 2 y/5 < y/Ĩ2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

8 Nguyẻn Vũ Lương, Nguyên Ngọc Tháng

Giải
Ta đã biết -L + i - + i - = ỉ , do đó

ha rib hc r

( Ẩ + Ẳ + A ị ) - ( 3 + 4 + 5 > ( h i + h t + i r J =

\/3 . 2 >/5 ^ y/Ĩ2

12
r

4 9 V K + V Ỉ Ị + s / K V ĩ '

Ví dụ 1.10. Với a ,b ,c > 0, chứng minh rằng

a 26 3c 6(a + b + c)

1 + a 2 + 6 3 + c — 6 + (a + 6 + c)
Giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

/_ 2 ___ u , / 26 _ . , 3c 6(q + ò + c)

1 + a ^2 + 6 3 + c 6 + (a + 6 + c)

1 4 9 36

— + r — r + ^

1 + ữ 2 + 6 3 + c

6 + a + b +

c

Ta có

36 = (1 + 2 + 3)2

= ( —J = = \ / 1 -f Q H— ỵ. •••• V2 + b H— /=■• = \/3 + cì

Vv/1 + a v/2 + fe \/3 + C /

Suyra 3 6 < ( _ l _ + _ i _ + _ l _ ) (6 + 0 + 6 + (:)

1 4 9 36 ,

~ r h + 2T t + 3 T Ĩ » 6 + a + 6 + c <dpcm)

Ví dụ 1.11. Với a ,b ,c > 0, chứng minh rằng

1 1 7 15

+ ~ + T ~

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

( ^ • •» •

ỉiai
Ta :ó

1 f i 1 7 V2

1 - ( 5 + 3 + ĩ s )

_ / Í T Ị ã / T Ịb Í T ' Ị ĩ ẽ y

~ V V 5a V 5 + V 36 ’ V 3 V Ĩ5c V 15/

/ 1 1 7 \ / a ft 7c\

0 l í ( è + ả + l 5 ĩ ) ( 5 + 3 + 15)

° 5Ũ + 36 + Ĩ5c ? 3+7c (‘•í’™ )

Ví dụ 1.12. Với a, c > 0; b ^ 0, chứng minh rằng

1 1 4 8

—— 7 + 7--- + - — 7 ^ ~— 7---■

a + b b + c c + a a + b + c

Giải
Ta :ó

16= (l + l + 2 ) 2 = ( —J=t = \Jã + 6+ . L •=y/b + c+ —7= = = y/c + q)

V \/a + b ự b + c y/c + ã /

Su' ra

16 < ( - - - + 7—^---h — —ì • 2(a + 6 + c)

\a + b b + c

c + aJ

v

1 1 2 8

——7 + T—— + —— ^ ---- 7---- (đpcm).

a + 6 b + c c + a a + b + c

Cá: bài g iả n g về bấl đ ẳ n g thức B u n h iacôp xk i 9

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

10 Nguyên VQ Lương, Nguyén Ngọc Thẳng

Ví dụ 1.13. Với a,b,c > 0, chứng minh rằng

v / a 2 + (a + b ỹ + s/b1 + (b + c)2 + \fc* + (c + a ) 2 ^ s/h(a + 6

4-Giải
Ta có

a2 + (a + b)2 = ị[ « 2 + (a + ị)2][l2 + 22Ị

+ 2(a + 6))2 = “ (3(1 + 26)2

5 5

Suy ra ^/tt2 + (a + b)2 ^ -ỵ=(3a + 26)

v 5

Lập luận tương tự ta thu được

v/ò2 + (6 + c)2 ỉ? Ậ ( 3 ò + 2c)
v 5

v / c2 4- (c + a)2 ^ - 4 = ( 3 c + 2 a )
V5

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta thu được

V^a2 + (a + bỹ+y/ĨP 4- (6 + c )2+ v / c2 + (c + a)2 ^ v/5(a+6+c) (đpcm)

Ví dụ 1.14. Vái Qr,

/3,rf

>0 ;

a

+ p

+

7 = 1 ;

a,b,c> 0,

chứng minh rằng 3 + Y +- “ ^

a 6 c c*a + /?6 + 7C

Giải

Ta có

1 = (a + /? + 7)2 = +

< ( - + 7 + — )(cfca + (3b + 7 c)

a b c

và suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 1.15. Với a,b,c > 0, ab + bc + ca = abc, chứng minh rầng

.1 1 1 w a 6 t \

( , + j ~ + )( ir + + ) ^ !•

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

la có

(lì) -f l)(' -f cu - (ìhc <^> f - ■+• — — 1

a I) (‘

Clì() (i và áp ctinm bát dáĩìu thức trong ví du 1.14 ta

b c n

1 I ] ^ ]

a b be co (I b c

b (' (Ị

Suy ra điều phải chứng minh.

Ví du 1.16. Với aj),c > 0, chứn<4 minh rằne

a1 /l1 r1 (ỉ + b + c

b2(b + c) r2(c + (ỉ) a2(a + h) ^ 2

Giai
Ta có

(lí -f I) + r)-’ =

" /r b r - (' 1— -)<I' /r r , ,

=-- (~ \/l> + —p \ f c + —Ị=\fĩi) < (-7- + — + —)(a + l> + c)

VI) \Jc \A' 0 c (l

> ì 2I) c ,2
u + !) + (•< ( --- h ----h )

I) <• (I

v , /«-’ /r r - y

o (í/ + 6 + r)~ < ( -7-- + — + — ) =

V b c (I ì

' ) Ị ' 2

=: (7—7 =: + <" H---7=—— \/r + 0 + \At + M
' b y / ĩ ĩ + c c - \ f c + a ( i \ / ã + !) '

Suy ra

(u + 6 + c)" < f —Ty ---- - -f--- —--- - + —77——rr ì ■2(« + b + c)

\ b 2{b + c) c2(c + a) a~{a 4- b) /

a1 l)x (A (I + I) + r

+ - r p — + ..0 7 -T Y v > — (đpcm).

l r [ b + c ) ( ~ ( c + a ) a - ( a + b) 2

V'i dụ 1.17. Với a, 6, r > 0, chớm: minh rã ne

C ác bài g iả n g về bất chim: ỉluh Bunhiacỏpxki 11

(7; + /«■)

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

12 N g u y ễ n V ũ Lưưng, N g u y ề n N g ọ c 'Phàng'

Giải

Với «, > 0, b, > 0 (i = 1.2,3), ta có

(ni02«3 + kịbib-t)'* < (n'Ị4- 6ị)(a2 + b ị ) ( a 3 + />3) (*)

Thật vậy, đặt Xj = yt = 6? (i = 1,2,3) suy ra cần chứng minhi

V ^ i X ọ X i i + ỳ y ỹ ĩ ũ m < ỳ ( x 1 + y i ) ( x 2 + ỉ / 2 ) ( * 3 + 2/3 )

o p X1X2X3

( ^ 1 + ĩ /1 ) ( ^ 2 + y ì ) { x ^ + 2/3 )

Ta có

+ 3/ ___ -____ ĨMMto.... ,_____ < !

V (X1 + Vl)(x 2 + V ĩ) ( x 3 + 2/3)

£ 1 f 2 £ 3

p <

£ i± J ầ

£ i ± £ 3 + j/3

;»/! _ j f c ___ ?/3

+ 2/1 X2 + ^ _ i i L ± J /3 = J (đ p cm )

3
Áp dụng bất đẳng thức (*) suy ra

(a + bcf = (1.1.a + l.b.c)3 < ( l 3 + 13)(13 + ò3)(a3 + c3)
(n + bc)3

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

('ác bài giánu VC bất .i.ihr (hơi Bimhí.i(.(>|>\ki 13
HAI I Ạ r

Bài í. Với /'. //. ; "> 0. ; 1 • //' t . 1 lìm Íiiií trị lớn nhất của bicu
thin

/' / +•

ỊỊ

4-

2

:.

H;ũ 2. Với c.lì.r > 0 thou mãn Iihr ■ 1, chứng minh rãnsĩ

1 1 1 1

--- -f , --- 1 .{ô/,+ /ằ<ã+ OTè

a:i(b + <ã) />(<• * </; ' :;w/ r /•) 2
Hài 3. Cho (I.h.c.d là các M) thực thoa mãn

(1 + í/2)(l + lr){ \ + r2)(l (/-’) = 16.

Bài 4. Vái a,b,c > 1 thoả mãn - + - + - 1, chứrm minh rằng
(I b e

((« - l ) 3 + ì ) ( ( b - l):i + 1 )((<•- l);i + 1) ^ 729.
Bài 5. Với (1,1). c > 0, chứne minh rằng

(IG //’ c:1’ (ú) + bc + ca

/;3(c + (i) ới(a + b) aẰ(l) + c) ‘2

Bài 6 Vứi c > 0 thoả mãn (t + b + c + — 4, chứng minh rằng
nbc(3 + íi:t)(3 + í»;ỉ)(3 + r:t) Ĩ5 04.

Bài 7. Với a,b,c > 0, chứng minh rằng

(íi^ + -t- 1) (/>"+ c ” - t - l ) ( f 2 +<7“ + 1) ^ b e f 1) . + 1 ) ( c c i- ị- ă b - ị- 1).

Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

n Sa 4Ò 5c

p — Ị |.

-ờ + c c + a (I + li

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

14 Nguyễn Vũ Lương, Nguyền Ngọc Hiếng.

LỜ I G IẢ I

Bài 1.

Ta có, với a > 0

p 2 = ( - ^ = ự ã x + ~ ^ = \ / ã y + 2 z ) < ( - + l ) ( a x 2 + ay2 + 4 r 2)

\ y / a v/a / a

Suy ra

p* < { - + 1) 2(2a2 + 16)(x4 + y4 + 24)

a

** p < \ / 3 (- + l)2(2a2 + 16)
a

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x = y
x = y

ax = 2z ^ l a2x2 = 4z2

4x2 — az2
X2 z 2

a 4

=> a3x 2z2 = 16:r2z2 <=> a = V^Ĩ6 
Vậy dấu đẳng thức xảy ra khi

X = y

z 4 = > /Ĩ6x4

X4 + y4 + z 4 = 3.

hay khi

1 = y = i f ĩ ĩ W ’ z =

3 ( _ + l)2(8<y4+16).

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Bài 2.

Vì (ibc — 1 ncn

{(lb + br + c a ) 2 = ( - + Ị- f - ) - =

(ì I) c

= ( — 7 = 7 7 = 7 V " ( ' ’ + '•) + ■

7n====\

\ A ( c + « ) +

í/>/a(6 + r) -Ị- í;)

+ 7 7 i 7 T =-7T +

C \ / c ( r + ò)

— ( I 7--- T + 757— "— T + 7 ---TT ) • 2 ( í ỉ 6 + b c + C fl)

a !(ò + c) b^{c + a) r !(a + ò)

Suy ra

"TTT---- T + 7TT~----7 + ~rr~—7T ^ + Ỉ)C + ca) (đpcm).

n:i(b + c) b:ị(c + a) c3(n + b) 2

Bài 3.
Ta có

p — 1 = (a + b)(c + d) + (1 — ab)(cd — 1)

Suy ra

(P - 1)- < Ị(ft + b)2 + (1 - a/;)2][(r: + (ì)2 + (cd - ĩ ) 2}
Ta có

(fl + />)” + (1 — (ib)~ — (1^ -(- b* 4- 1
= (1 + fl2)(l + b2)
(c 4- d)~ + {ctl — 1)" = (1 -4- c~)( 1 + d~)

Vậy

(P - l)2 < (1 + <r)(ì + lr){ 1 + c2)(l + (ỉ2) = 16
<=> - 4 < p - 1 < I

- 3 < p < 5

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

16 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc ThỀng

Pmax = 5 (Khi a = b — c = d = 1)

Prniu = —3 (Khi min a = c. — 1, b = (i — —ì).

Bài 4.
Ta có

1 1 1 9

1 = —h — + - ^ ---7-- 'O Cl+ b •+■ c 9
a b c a + b + c

Từ điều kiện suy ra

ab + bc + ca — abc

hay

(a - 1 )(ò — l)(c — l) = a + 6 + c —1

Do đó

729 < (« + b + c)3 = ((a - l)(ò - l)(c - 1) + l) 3 <

< ((a - l)3 + 1 )((6 - 1):’ + l ) ( ( c - l)3 + 1) (đpcm).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = I) = c = 3.

Bài 5.
Ta có

a

Cộng vế với vế các bất đảng thức trên ta nhận được

( ỹ + — + —^ + (ab + bc + ca) ^ 2(a2 + b2 + (?) > 2(ab + bic -Ị- (ca)

. a3 63 c3

hay ao + bc + m < — H---

1----fc3

- + b c > 2b2
c

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

, V

'I Ợ d ự i "i <’)
<

(l ị h f I j J

/ u 1’ lí' <■'• \ , , ,

( 7 7 / ---7 + , + —777--- T ) ■ + f>c + ca)

\ l ) ( í ' + n ) I ( d \ h) (I ’ (/) + (■)/

Sin ra

( / ' li' c 6 a b + b c + c a

— 7 + -T-—— T7- + - 7 — - > — . ' -.— (đpcm).

!)'{(■ + (i) r 5(<7 + h) + (■) 2

Bài 6 .

Trưíc hết ta chứng minh

(abc + x y z Ý < ( d :i + x ;i) ( ò :ỉ + //:!)(r:3 + £ 3 )

<í=> S a 2b2c 2x y z + ‘Ằ a b c x 2ỊJ2z 2 < c :ịl)\r'i + a 3r 3y 3 + a 3 63 z 3 +

+c:í .;•*//’ + ị V c:t + fl:y v

Điềi này suy ra từ

r :,/>3 r :ỉ + í ỉ V V * + r /V /V * ^ 3(72ỉ r c 2. r y z

( ? x 3 y 3 + f)i x 3 z 3 + Ít VV* ^ 'ị a b c x 2y 2 z 2 .

(tĩ — 1)(^ 4" l)(c + 1) + (o — 1)(^ — 1)(^ 1) = 2(a + b + í’ + (ibc) = 8
Suy ra

5: [(° + 1 ),f + (íi — 1 )■*] Ị(ị + 1) * + (6 — 1 )■*] [(c + 1) ! + (c l)'5]
<=> 83 < 8abc(3 + «;*)(3 + ị3)(3 + c3)

<=> abc(3 + a:t)(3 + 63)(3 + c3) ^ 61 (đpcm).

B ả i 7.

Ta C)

( á 2 + b2 + \ ){b2 + r + 1 ) > ( « 6 + be + l ) 2

(ò2 + c2 + 1 ){c2 + Cl2 + 1) > (òc + m + l) 2 _

(c2 + a2 + l)(a 2 + /r’ f 1) > (ca + ( I p j r GlAl HA N9 I
-tAm t<ịQng tin THưviỆN

v - « 1 - / 0 5 2 7 5 5

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

18 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Tháng

Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cán
chứng minh.

Bài 8.
Ta có

p + l 2 = b + c + 3) + ( r rc + a 7 + 4 ) + ( 7 7 - 1 + 5 )a + b

/ L X/ 3 4 5 X

= (a + b 4- c)( —— - + —— — + —— -)

b + c c + a a + b

= ị ( { V b + c)2 + (y/c + a Ý + ( V Õ + Ò ) 2) +

^ 1 / /Ị—— V3 2 r — r V I \ 2

^ J- [ y/b + c + \ / c + a —ị= = = + VQ + b =- Z )

2 V y/b + c y c + a \/a +* b'

Suy ra p 4-12 ^ Ì (n/ 3 + 2 + v/5)2

Vậy Pmin = i(v /3 + 2 + >/5)2 - 1 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

b + c _ c + a _ a + b

y/3 2 y/5

Bài 9.
Ta có

(x + 2 + y/2Õcỹ)2 = (la; 4- y / ĩĩy / ỹ + l z ) 2 <

< (x2 + 2 x + 1)(1 + z2 + y ) < { x + 1)2(1 + z2 + y)

(X + z + s / ĩ x ỹ \ 2 . , 2 r. ^ ,

° ( ^ T i

) 51 + 2 + í t í P s l

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

2

Bất đẳng thức hàni lồi

bịnh nghĩa 2.1.

Hàm sỏ liên tục y = f(.r) được gọi là hàm số lồi trên [«,/;] nếu với

mọi giá trị € [rt,6] ta có

f { - r \ ) + /(•*■ 2 ) ^ f/ J"i + t 2 ,

2 ^ •' V ọ / •

Đôi với hàm số lồi chúng ta có các kết quả sau

Ví dụ 2.1. Giả sử Ị/ = f ( x ) lồi trên đoạn [ a ,6], Xk G [a,b] { k = 1,71.),
chứng minh rằng

- £ / ( * * ) > / ( i ỷ > ) (2.1).

7 Ỉ ' 71

fc=l fc=l

Giải
Bựởc 1

(Ta chứng minh bất đảng thức đúng với n = 2k).
Với n = 2 bất đẳng thức đúng theo định nghĩa.

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = 2fc, ta chứng minh bất đẳng thức đúng

với n = 2k+ì.

Ta có

1 ự . ị £ ? : , /(* .) + ế /<*<)

2*71 E / t e ) = ---2

---/(ẢEZ,.) + /(ể ư .,* < ) ... .

^ —--- ---- --- (theo giả thiết quy nạp)

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

20 Nguyẻn Vũ Lương, Nguyẻn Ngọc Thing

Bưức 2

(Ta chứng minh nếu bất đẳng thức đúng với n = m thì cũng đúng với 
n = m — 1).

Ta cần chứng minh

1 m -1 1 m-1

i= 1 t=l

771 — 1 1 m— 1 m—1

«

p

= £ / ( X . ) + / ( ^ £ ; X.) 5*

1=1 1=1 i=l

Vì theo giả thiết quy nạp bất đẳng thức đúng với n = ra, ta suy ra

, Y ? - ' + — í— y ^ T 1 X j\ , m-1

' >"/(

r 1

) -

< s h i t

■) w’m

)

Áp dụng bất dẳng thức (2.1) chúng ta thu được kết quả mà nhiểu ; u ô n 
sách lấy làm định nghĩa hàm lồi.

Ví dụ 2.2. Giả sử y = f ( x ) lồi trên đoạn [a,6], 0 < a < 1, Xi,c2 €

[a,b], chứng minh ràng

ữ f ( x i ) + ( 1 - a ) f ( x 2) > f ( a x I + ( 1 - a ) x 2) (2 .2)

Giải

*) Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với a hữu tỷ. Đạt a = - (phân
9

số tối giản).

Bất đẳng thức cần chúng minh tương đương với

- / ( * i) + ^ —^ / ( *ơ 0 2) = / ( - * ! + )

\ Q Q /

^ ~ [ / ( x i) + • • • + / ( x i ) + f ( x 2) + • " + / (3-2)J ^

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Các bài g iả n g vé hất dẳng thức Bunhiacôpxki 21

^ ỉ ( ~ ị x ' + ' ■\ q '---s,--- ' ■•r ‘) + ~ ị x 2 + ■• • + x 2\) = ỉ { - X \ + ---- - Xí/v--- v---' ) \ q q 2/)

p số hạng q-Ị, số hạng

Bất đẳng thức đúng vì là một trường hợp riêng của bất đẳng thức (2.1).
*) Xét trường hợp Q e R.

Khi đó tồn tại

{a„}+i°i,

a n

€

Q,

lim an =

a

(n

—♦ +0 0)

Áp dụng kết quả vừa chứng minh trên ta có

o t n ỉ M

+ (1 -

0

tn)ĩ(x

2

)

f ( anx

1 + (1 -

an)x2)

Qua giới hạn 2 vế của bất đảng thức trên ta thu đựơc

a f ( x i) + (1 - a ) f { x2) ^ f ( a x 1 + (1 - a )x 2) (đpcm).

Bất đẳng thức (2.2) có thể mở rộng để thu được bất đẳng thức Jensen sau
đây:

Ví dụ 23. Giả sử y = f ( x ) là hàm lồi trên a t ^ 0,

= 1, Xi e [a, b] (i = l,n ). Chứng minh rằng

ữiXi)

(2-3)-t=i 1=1

Giải
n = 2 (chính là bất đẳng thức 2.2).

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = m — 1, ta chứng minh bất đẳng thức 
đúng với n = m.

Ta có

m r n - 1 m - 1

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

22 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Thẳng

Kí hiệu

m— 1 m— 1

Á — ^ (\ị 1 1 y ^

Í=1 i=l

a ' = 1

E m — ỉ

”=1 rt«
Áp dụng giả thiết quy nạp la có

$ > / ( * < ) ^ (1 - « m )/( 5 ^ T - ^ — -Ti) + a;nf { x m)

i=i v ,=1 1 rv"‘

Áp dụng bất đảng thức (2.2) ta thu được

r f t ./ 0 « ) > /((1 - «w) 5 ^ r - ^ — Xi + ftmx fl,]

i=i

i=» 1 a"1

= / < ! > * , ) (đpcm).
1=1

Bất đắng thức hàm lồi là một dạng mở rộng của bất đẳng thức Bunhi-
acôpxki nên bao gồm một sô' lượng lớn các bất đảng thức cơ bản nnà
chúng ta thườníĩ gặp. Sau đây chúng ta xét một số ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 2.4. Hàm liên tục y = f ( x ) thoả mãn tính chất / ” (z) 'ỷ 0 
với mọi X € [«,/>] thì f ( x ) là hàm lồi trên đoạn [a,ỉ>].

Giải

Với mọi :iị,x> € [ri, b] (giả sử Xị ^ :r2) ta cán chứng minh

Ỉ M + Ĩ M > f ị Xi

2 2

ôã /( * ,) - í ậ ^ Y 1 ) > K — 1 ) - Ỉ M

Áp dụng định lý Lagrăng ta thu được

w M

trong dó

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Cát bài mánu VC bất (lắnu Ihức Bmihiacơpxki 23

Vì /'•• (.7 ') ^ 0 suy ra /'{■!') là liàni đơn điệu tăng.
Vậy hất đẳng thức f ’(<■]) f {('■>) tlúng.

Hàm liên lục Ị/ = /(.;•) là hàm lõm trên {(1.1)} nếu hàm y = —f ( x ) 
là hàm lồi trên \(i,b]. Vậy hàm liên tục ỊJ — f ( . r ) là hàm lõm trên [í/,b]

, w , i M - ./ ( ' I ) +/(•''•->) - f r r ì + I ’ s ^ ,
-nêu v./-|..r> € |ơ.ịj có --- --- < / ( ——----). Tương tự như ví

dụ 2.3 có ihể chứng minh dược nếu ỊJ — /(./') là hàm lõm trên [«,/>] thì
V.7-, e Ịu.ị], A, > 0 (/' — 1,/ỉ). Y l'i-1 °> ~ * la có

Í=1 Í=1

Tirơnu tự như ví dụ 2.4 la chứna minh dược nếu hàm liên tục thoả mãn
tính chất /"(./) < 0 v.r G [«,&] thì /(.;:) là hàm lõm trên

Cũng xin lưu ý bạn đọc tên gọi hàm lồi, hàm lõm trong một sô tài liệu
gọi ngược nhau nôn hiện người ta ihường gọi là hàm lồi lên phía trên
hoặc lồi xnc phía dưới.

Ví (tụ 2.5. Với (1,1), c > 0, chứng minh rằng

p = Vã + b + '2\/l> + r + 3\ f i 4- ũ < x/õ • \ÍÃŨ + 36 4- 5C.

Giải

Rõ ràiìỉĩ hàm /(.;•) = s/x có / ” (.r) < 0 Vx > u nên la có

p = \/a + /; 4- + c + y/b + c + \Jc 4- n 4- ực + r/ + y í' + a <

/ 4 ít + 3/j + 5c'

< 6 ự - — f —

<=> p < y/ũ ■ \/‘lu + 3Ớ + 5c.

Ví dụ 2.6. ''ớ i a A c > 0, chứng minh làng

1 1 ■ 1 1 1 1 ì

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

2 4 Nguyễn Vũ Lương, Nguyền Ngọc T hing

G * 3 •

lải

Ta có

_ L _L _L > 9

y/ũ \/b y/b y/ã + y/ĩ> + \fĩ)

3 3n/3

Tương tự

^ - 
V

'a

+ 26 y/õ, + 26

1 3v/3

7 b + v ^

Vb + 2'c

1

+ 4 ^ 3\/3

Cộng vế với vế các tất đẳng thức trên la thu được fc.it đảng thức cần
chứng minh.

Ví dụ 2.7. Với a ,b ,c > 0, chứng minh rằng

Giải

Ta có

f(x)

= X x tá:'. X €

R+

r. hà:r. ’oi vì

/(* ) =

exhtJC -* f ( x ) = exlnj:{inx

+ 1)

-» f " ( x) = exlnx(ì + lux)2 + cxlnx- > 0 khi X > 0

X
Suy ra

/(» ) + /(6) + /(c) a + 6 + C

3 ^ 3 '

ua

+

l'b

H-

(f ( a + b + c \

a±3±£ , , .

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Các bài giảng về bất đắng thức Runhiacôpxki 25

BÀI TẬP

Bài 1. Với 0 < (1,1), (■ < 1, chứne minh rằng

1 1 1 1 1 1

\f\ + o3 sỉ 1 + bÀ \J 1 + c* — \J 1 + aò2 \ / 1 + òc2 + cã^

Bài 2. Chứnc minh rằng với /1. D, c là các góc của một tam giác thì

p = V sỉn/Ĩ + 2 y!sin — + 3 \/sin — <

2 -V 3 - \/2

Bài 3. Chứng minh rằng với

A, B , c

€ (0,7r) thì

. 4 . „ . „ „ ... .4 + 2D . D + 2C . C + 2D
sill A sin D sill c < sin — —— • sin — —---- sin — —

---o ổ ố

Bài 4. Với a,b,c > 0, chứng minh ràng

4 .4 4 ^ / a H- 26\ ( b + 2 c \ 4 / c + 2 a \ 4

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

2 6 N g u y ề n V ũ Lương, N g u y ễ n N g ọ c T h i n g

LỜI GIẢI

Bài 1.

Với 0 < a, b, c < 1 ta có bất đẳng thức

1 1 1 3

1 + a

1 + b

1 + c

1 -f

\fabc

Ta có

1 1 1

V Ĩ T ã 5

V ĩ

4- ft3

\/i +

b3

<

1 1 1

+ T— TT +

1 + a3

l + ò3

l + ò 3

<

V I

+

ab2
Tương tự

1 2 3

v T T F

v T T c5

V ĩ + bễ

1 2 3

-- :;.... — -f" ----p=z=z ^ --~pz

---vTTc? v/1 +

n / Ĩ W

C ộng các bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứng, raimh

Bài 2.

Vì hàm J(x) = sin x có / ” (x ) = - s i n x < OVi 6 (0,7r) nên suy ra

p<

6

\

D D c c c

sin i4 + sin — + sin — 4- sin — + sin — + sin —

p < \ sin

.

B

D

c c c

/ 1 + f + 2 + 3 + 3 + 3

6

« P < 6. , / si n ĩ = A

Bài 3.

Ta có

, _ / s i n A + sill D + sin B \ 3 . A + 2D'

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

—---Tương tự

, A l ì + 2C
s i n l ỉs i n ( ' < sill

:ỉ

, C + 2 .4

sin ( ' sin . \ < sin —

Nhân vố với vế các bất đáng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần
chứng minh.

Bài 4.

Ta có /( ./') = x ‘ có / " ( . ' ) — ^ 0 nên

(1

1 +

bx

+ 6’

/a

+

'2b\

Các bài g iả n g VC bất dắna thức Bunhiacôpxki 2 7

//' + c 1 + r'1 / ò + '2(7 \ 1

m

3 V 3

c 1 + a 4 + ( ỉ 1 / c + 2(1 V 1

. ..

3 V :ì

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

3 Bất đẳng thức Bunhiacỏpxki

Ví dụ 3.1 (Đ ẳn g thức Lagrăng).

tì rì TI

Ệ " ì !h E ^ = £ h,^ 2 + Ĩ 2 ("ibj - <ụ>i)'2 (3.1)

1=1 t = i 1=1 I < « < j < «

Giải

Ta chứng minh đẳng thức trên bằng phương pháp quy nạp.
Với II = 2 ta có

(fỉị + nị )(6ị + bị) = (íi-ibi + (/'2^2 )2 + ((ĨỊỜ2 — (Iọl)\)2

(H iển nhiên đúng)

Giả sử công thức d ú n g với rri — 1 ta chứng minh cô n g thức đú n g với

11

=

m.

Tà cần chứng m inh công (hức sau đúng:

m m m

p =

( “0 ( s

lìỉ

) =

a'b‘)

+

~ aJh')2 = Q

i = l t = l 1 = 1 1 < Í < J < 7 / Ỉ

Ta có

m—1 m —1 m—1 m-1

p

' ^ 2 bi

+ am ^ + Ò»* s

a' + a”'b™

t=l i=l i-1 1=1

m - 1

Q = r {atbj - njbt)2 + {ữịbm - a,nbiỹ+

ấ ắmmmmmăề

l<t<j<77l-l 1=1

+ ( y : o,7>ộ + 2 ( 1 , n b m a i ỉ)i + a l J > m

i=l i=l

Sử dụng giả thiết quy nạp ta thu được

m — 1 lì1—1

P = Q<=> a;n • 1)2‘ + fcm ^2 (,ĩ =

28 N g u y ẻ n V ũ Lương, N g u y ễ n N g ọ c T h ắ n g

1=1 1=1

m - 1 m —1

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

( Đ a n u t h ứ c h i ế n n h i ê n đun'..:).

Ví (lụ 3.2 (Bell d áng link Bu nhia- cop -ski).

V ớ i (I, G IỈJ>t E /? (/ I. lì), c h ứ n i Ị m i n h r a n ụ

(Ĩ>)''<(Ệ

ô?)(!>:)

(3-2)

/ã= 1 / I / 1

(1 • ' •
liai

C á c h 1 (Sử d ụ n c đ ẳn g t h ứ c Lagrãng).
Từ đảng thức

= ( ] T / ' Á ) 2 + X ì ( « j \ i - d j b , ) 2

1—1 1—1 / - 1 1 < ỉ <J < n

suy ra ( e ;',,«a ) ’2 < ( Ê : . , ô ? ) ã ( É : ,.* ? )

Đẳng thức xảy ra khi và chi khi

Í Ỉ 1 (I> a n

I) I lh b n

C á c h 2 (Sử dụng tính chất cúu hàm bậc 2).
Xét hàm sò

/(., ) = ^ «2 - 2.t( +

^ 2 b‘ =

i=l t— 1 Ỉ=1 I- 1

Ta có /(./■) ^ 0 với mọi giá trị của X.

Nếu Y2't‘ ! áj = 0 —» a, = 0 với mọi 7 = 1, II thì bất đẳng thức hiển nhiên
đúng.

Áp dụng tính chất củ a hàm bậc 2 khi V " ! àf >0 suy ra

1-1 1=1 1

C ác bài g iả n g vé bất đátì‘j iliức Bunhiacópxki 2 9

« ( £ > a ) ' <

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

3 0 N g u y ễ n V ũ Lương, N g u y ễ n N g ọ c T hắn g

Đ ẳn g thức xảy ra khi và chỉ khi

a

n

bi b2 bn '

Cách 3 (Á p dụng bất đ ẳ n g thức trung bình ).
Ta c ó ^ { x ị + yị) ^ x kyk với m ọi k = Ĩ 7 n
C ộng các bất đẳng thức ta thu được

Kí hiệu A = v ' E K B = s / T O I A

ak bk

C họn x k = yk = ta có

= 1

Jt=l A.-1
và thu được

Ỹ ^ < 1

A . B

k=

° ( ữfcbfc) - =

(dp001)-1=) i=l »=1

Đ ẳng ihức xảy ra khi và chỉ khi = ỉ/fc <=► với m ọi k.

Ok

ũ

Cách 4 ( Sù (lụng tính ch ất hàm số l ồ i).

Á p dụr.g bất dăng thức (2.3) (tính c h í t của hàm số lói) ta suy ra

trong đó òtị > 0, £ ”=1 > 0 và X3Í‘=1 v^r*- = 1

2-^1= 1 ° *

C họn /(.::) = X 2 lá h àm số lồi trên R la thu được

E

7=1

n

- V'"

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

<=* ( > : n,./-, j < ) " n , • (ÌIJ'Ỉ

l ĩ r 1 ỉ = 1

C h o n (\.ị = Ik. = ~~ ta ílu i clư ơc

I>1

(

b'"1) -

zL ' 1C

(dPcm)-1-1 t — I r. I

Sau đây chúng ta xét một sơ ví dụ minh hoạ.

Ví d ụ 3.3. Tìm giá trị lớn nhất của biêu thức

p _ Í£ + ÌỈL + j ì l l + Ííỉ ~

~ j:2 +

ĩ/

+

Z2

G iải

Từ đẳng thức

( a 2 + 62 + c 2 ) ( . r 2 + y 2 + z 2) =

— ( a x + b y + C 2 ) 2 + ( a ỵ - b x ) 2 + ( n z - r x ) 2 + ( b z

Suy ra

( à 2 + b 2 + c 2 ) ( j ' 2 + !/2 + 22) ^ («./: + I)ỊJ + r z ) 2 + (n y —

Chọn a = l ,6= 2, c = 3 t a thu được

1 4 ( . r 2 + y 2 + z 2) ^ ( x + 2y + 3z f + ( y - 2 x ) 2

p < 14

pmax

= 14

y z

Đáng thức xảy ra khi và chỉ khi X — J —

*L « )

Ví du 3.4. C hứng m in h rằng

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

32 N g u y ễ n V ũ Lưưnu, N ẹ u y ễ n N g ọ c T h ắn g

Giải

Ta có

/ > = f - L . JL + _ L . ± + _ L . J L y

\ ự ĩ ự2

ự ĩ ự ĩ

ựã ự ã ì

Suy ra

/1

1

l \ / a 2

<?\ / a 2 b2 c2\

^ - ( ề + 3 + ề ) ( 2 + 3 + 6 ) _

( 2

+ 3 + f ) ( P C I T )

Ví d ụ 3.5. Với nk G R, tbk € R (k = 1 , n ) , chứng minh rằng

( ị > \ > ' s ( í > 0 3 Ẻ I

<33>

fc=l fc=l fc=l *

G iả i

Ta có bất đẳng thức đối với h àm lồi /

ỉ ( Ỵ ]

v=Sr~— ) <

S i r -1’— (Bất

đẳng

thức

Jensem )

^ £ * = 1« * ' Ế í E Ĩ - i " *

trong đó a fc ^ 0, > 0 (/c = I7n ) .

Chọn hàm lồi / ( X) = X 4 trên R ta thu được

( E L i i W < E L i H i í í

fc=l fc=l k=ì

Chọn íV/t = bị, Xk — — ta thu được

bk

{ t ^ Ỵ < ( ± b l Ỵ - ± ị ( d p a n ) .

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Các bài aiánu về bất ilanu (hức lỉuiihiacópxki 33

Ví (lụ 3.6. Với ./•. //. /)’ t h o á m â n l . i1 I- //' t- 1 3 6 , chứng minh

r ầ n tỉ

|.r -*•_>// + 2; I < 9.

G iái

Áp dụng kết q u ả c ủ a ví dụ (3.5) ta có

(r + 2y + 2zÝ < (1" + 2- + 22):ỉ( y + Ệ + Ậ )

y:i

{ x + 2y + 2 c ) 1 < j ( 4 . r ' + //■' + z ' ) = 9 1

|.r + 2/y + 2í | < 9 (đpcm).

Ví dụ 3.7. Với a fc > 0, bk > 0 (k = 1, /;), chứng minh rằng

( Ẻ ^ K Ẻ ^ * ộ * đ *

(ằã<)ã

fc=l fc=l k=l

G iải

Theo bất đảng thức Cịsi ta có

Suy ra

x ỉ 4“ 2 y ỉ n .

k Jk- > Xkìil ( x , > 0, y k > 0 )

n '1 ~ I n

t TM ^ b ± n „ ỉ ( 3 . 5 )

fc=l k=\

Kí hiệu A = i / Ẽ L r »1 II = < ỵ Ẽ L A ’

n- _ , _

b ... '

Đặt Xk = - ị , Vk = ~B °

n n

Z > ỉ = i . Ị y

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

3 4 N g u y ễ n V ũ L ư ơ ng, N g u y ề n N g ọ c T h á n g

Thay vào bất đẳn g thức (3.5) ta thu được

( è ^ ) 3-

- ( Ẻ O ( È * ỉ ) 2 «*"»

fc=l ■ fc=l fc=l k = l

Ví dụ 3.8. Với x , y , z thoả mãn đẳng thức X 3 + y3

+

z 3

=

17, chứng 
minh rằng

X + 4y + 4 z < 17.

Giải

Á p dụng bất đ ẳn g thức (3.4) ta c ó

(x + 4y + 4z f < (x3 + y3 + 23)(13 + 23 + 23)2 < 173

<í=>

X

+

Ay

+

4z <

17 (đpcm).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi X = 1, y = z = 2.

Ví dụ 3.9. Với

a,b,c >

0, chứng minh rằng

a ■i b4 ĩA é „4 a + b + c

+ 7— —Tĩ + 7— ; rr, ^

(6 + c)3 (c + a)3 (a + 6)3 8
Giải

Á p dụng bất đẳn g thức (3.3) ta có

(a + b + c)4 — ( 7 = ...\/b + c H— 7==== \/e + a H—7= = ' / « + ị)

V v6 + c >/c + a \/n +

b

)

ĩnằ

,

a1

61

c 4

\

< [2(a + 6 + c)]‘ ( J7--- TT -+■ 7—---- -T7 + 7—---- r r r )

V( 6 + c)3 (c + a) 3 (a + b)3/

a4

b4

c4

a 4- 6 +

c ____

~ W T Ĩ ỹ + ( ĩ t ĩ ỹ + ( Ĩ T W * 8 ^ (đpcm)

Ví dụ 3.10 (R um ani 2004).

Cho các số thực a i , a 2, • ■ a100 thoả mãn điều kiện

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Chứng minh rằng |íỉa| < 1(* với mọi A' = 1,100.
( 1 • 2 !

ỉiá i

Giả sử có tồn tại rt; sao cho |íí/,.| > 10, không giảm tổng q uát ta giả
sử

|ai| > 10 ã<=>ô?> 100 (3.6)

Mt khỏc ta có

101 = + (lị + • • • + ÍỈJ00 (a ì + ^2 + • • • 4- íiioo)2 >

> 100 Q2 + (I3 + • • • + ^foo (^1 + ÍỈ2 ®ioo)”
Suy ra ô2 O3 + ã ã ^100 "t" (đ1 + 02 + '"' flioo)^ <

1-K í hiệu

s =

«1 + a-2 + ■ • • Oioo f li

= s —

(0 2 + 03 + • • • G100)
Suy ra

ữ"Ị = (S — (12—03 • • • — Oioo)^ ^ 100(S'2-ị-ữị + ■ ■ ■■t'tJioo) ^ 100 (3-7)
(Bất đẳng thức Bu-nhia-cop-ski)

T ừ (3.6), (3.7) suy ra m âu thuẫn. V ậy bài toán được chứng m inh.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

36 N g u y ổ n V ũ Lưorng, N g u y ẻn N g ọ c TTháng

B À I T Ậ Pể

Bài 1. Với ak > 0, > 0 (A: = 1, rỉ), chứnc m inh rnc

ô * - ( Đ Y > ( ± £ ) '

m .

k=i

k=

1 * fc=i *■

Bài 2. Với a, 6, c > 0, ch ứ n g m in h rằng

(a + b + c):i < ( -T—----1--- ---1---—- r ì( r t\//> + c + bs/c + a + c y /a ' + ũ)2 .

’ \ b + c c + a a + bỉ

Bài 3 (IM O 1997). Với (lị.ai. • ■ • a n là 11 số ncuycn dương p h â n biệt
chứnc minh rằng

n> a„ 1 1 1

+ rrz + • • • + —T -•+- — + ••• —

2- 71 1 2 n

(lỵ a 2 
l2

Bài 4 (China 2003).

Với 0 1, (1-2, • • • ,a„ ^ 0 thoả m ãn đảng thức 53"= 1 I — = 1* ckứng

1 ~f“

(lị

minh rằng với mọi số tự n hiên n > 1 ta có

A

ạụ

è í ( « - ! ) + « ?

< 1.

B ài 5 (Korea 2002).

Với X,,ỊJ, (i = 1 ,71) là n h ữ n g sô' thực dương Ihoả m ãn điéiu kiiện

E " = I J '. - È r = i ù ỉ = 1. c h ứ n g m i n h r ằ n g
?l

(.r,Ỵ/2 - x-ìUxÝ < 2\Ì - Ỵ ^ x ty,\.

i=l

Bài 6. Với a .b .c > 0, ch ứ n g m inh rằn c

</2

+ ÍT* + \ / 2 + -f-

</2

í"*

^ I {** * b ^ () •

Bài 7. Với H.fo, c > 0, chime m inh rằng

(i'J Ip ờ' a + 6 + c

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

C á c hài uiảnu về hát cíáne thức B u n h iaeôp xk i 37

Hài 8. V ớ i ư,/>. r > 0 t h o á m à n đ i é u k i ệ n (ib + b(' + ca = \\dì)(\ chi rnt z
m i n h r ầ n u

1 1 1 9

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

38 Nguyên Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Tlháng

LỜI GIẢI

Bài 1.

Áp dụng bất đẳng thức Jensen đối với hàm lồi /

Vfc=i^«=Ja ‘ fc=i^»=iai

trong đó 0ti 'ỷ 0, 5Z"=1 cti > 0.

Chọn hàm lồi

f ( x ) = ụ= ( x e R +)

ta có

n / e : =, q» < 1 ỹ '

Qk

\ Z T 7k Z E r = l a * v * k

1=1 Ar= 1 fc=l V *

Chọn

Xk

=

aị, c*k

= — ta thu được

Uk

( è ^ ) ( Ẻ | ) M Ẻ £ ) 3 <“*"»■

fc=i fc=i * fc=i

Bài 2,

Áp dụng bất đẳng thức (3.8) ta có

(a + ố + c)3 = + ý + <

\ TbTc y/cA-a y/a+b)

< ( T~— ^ —~ ~ + •—~ r l + c + ò\/c + a + c v /a + l) 2"’

V/; + c c + a a + ò/

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Các bài g iả n g vể bất đ ẳn g thức B u n h ia cơ p x k i

í ( ; , L + “\Í/|

a

2 + z ) ( ĩ ỉ + l

<1,1

/ VI2 22 + " + S )n2/

Vì « 1, n 2, • • • « 7 , là n số nguyên dương phân biột ta suy ra

1 1 1 1 1 1

— + — + • • • — < Y + ^

H---«1 a n 1 2 n

Suy ra

1 1 1 «1 a 2 ữn

i + i + ... + i < 2i + | + ... + ^ ( đ p c m ) .

Đẳng thức xảy ra khi ữi = 1, ữ2 = 2... an = TI.
Bài 4 .

Ta có

( n - 1)2(1 + « , ) 2 = ( n - 1 + (n - l ) a , ) 2 =

=

(y/n —

1 • \/n — 1 + (n — l)a,)2

Suy ra

(n — 1)2(1 + a t )2 < (n — 1 + (n - l ) 2)(n - 1 + a 2ị )

\ < w ( n - 1) = n Ị

n — 1 + a? — (n — 1)2(1 + Oj)2 n — 1 (1 + a,)2

«1 ^ ^ w * _ 1

---

TT

7ỹ

5^ “ *

~7~

V

,y

Vz — 1,71

( n - l ) + a% n — 1 ( l + f l j ) 2
Suy ra

p

< n V '' _ n. + 1 — 1

n -

1 Ế í + ° fc)2 ~ n _ 1 Ề í ^ + ° fc)2

« ^ n — 1 - - ^ T 71—1 “ (1 + ajfc

è

T T ^ - S )2 (3-9>

M ạ t khác ta c ó

n J 2 n J

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

40 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Tháng

— ỉ r r ĩ È ĩ ĩ T ^ — T ( 3 ' 1 0 )

Từ (3.9), (3.10) ta suy ra

r ,

n

p < ——— — — - — = 1 (đpcm).

n — 1 rí — 1

Đảng thức xảy ra khi rti = a2 = • • • = an = n — 1.
Bài 5 .

Ta có

2\l

= I +

i=l i—1 i=l i=l

- y^(x‘ - y*)2

i=l
Suy ra

2|1

-Ỵ^X iV iị >

(*1 -

VìÝ

+

(x2 - yiỹ

i= 1
Vì

ýị

+

ýị

< 1 ta suy ra

2|1 -

^ X i V i

I ^ [(* 1 - ỉ/i)2 + ( * 2 -

y

2

Ỹ]{{ýị

yị))

1=1

^ [ (* 1 -

yi)V

2

+

(ỉ/2 - ^2)ỉ/l]2

^ (xjt/2 -araĩ/i)2 (đpcm).
Bài 6.

Theo (3.4) ta có

(l(l + l + l)2 + l(l + l + l )2+íi(n+6+r)2):i < (2+a3)(33+33+ (a+ 6+ c) 3 Ý
<=> 3' + 32 + (lịa + b + c)2 < \/'2 + (ỉ:! • ự (3:i + 3 ! + (a + b + r)'*)2

Tương tự ta có

32 + 3- + b ( a + b + C Ý < \ / 2 T P • ự (3;ỉ + 3' + (n -f b +■ c):ỉ)'-

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Cộnu vò với vê các hái ikinu thức trôn ta nhận được

.V* t- ■Ỉỉ + (f/ -ị h t r)'* < ( \ f ĩ -Ị- (> '' + ộ'1 + />' +
- v‘ 2 r . '■) \ :?-r i-:V‘ + (« + +

c):‘)-o V 2 + í/:i + n/Í2 -t /»•* f V 4 r ;ì 5= \/ ^ ! + <i:t + (í/ -t- /* + <")•’ ^

ự' 2 7 (<7 f h + (■) (đ pc m ).

( ;íc bài niáne VC bât (lane Ihức Bunliiacôpxki 41

Bài 7
Ta có

/ « + l ) T C \ ' - / </'■ l)~ c* Y

V 2 / — \/< + r r + í/ (1 + 1)/

:< .{ .ỉ

/ (l - I I) - ,1 C- I \

-= 7— — • // -■ + — — • />- + —--- r ỉ

V b + c r + <7 r + (I /

< / (/■■* /i:< r;ỉ X

((TTTTp + + (^ T Íf ) (" + ''+ °

/í/+/> + r \ - /

<i:i

l>:i

<:i \ 2

V 4 / ~ V (/> + <■•)■ (r + «)2 {(1 + I))2 /

(

°'

b'

c '

\ /

1

\

\ Ị b ^ + Ụ T ĩ r r + ( T T ũ ỹ r + l,+r)

('i±!Ltsy'< ( -"! + - ĩ . + —

V

V 1G / \ ( b + c) A (c + í/)1 ( a + /))*/

<

o

, r

a,J

b"

L(/> + r)« + (<■ + «)« + (« + />)"

T ù clàv suy ra íliéu phái chứng minh.

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

4 2 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ề n N g ọ c Tữiắng

Bài 8.

Ta có

( - + 7 + - ) 2 = ( —y=L = ựa{b + c)+

\a

b

c)

\a.sfõỊị)

+ c)

+ ụ é + ĩ ) + c > ( i + T ) n / ĩ ỉ ° t ĩ ? ) 2

- ( ĩ ỉ (6T Ỉ ) + ^ ( Ĩ T Í ) + ? ( Ĩ T Ĩ ) ) ’ 2<aí’ + 6 c+ ca )

1 1 1

** a?(b

4-

c)

^ (c + a) +

(?{c

+ a)

ab

4-

bc

+

ca

_ 9

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Các bài giảng v ể b ấ t đ á nu t h ứ c Bunhiaeỏpxki 43

M ộ t sô dạng hẹ quá

Trong tiết này ch ú n g ta trình bày một sổ dans’ hệ quả của bất đẳng thức
lìu-nhi-a-cop-ski .

Ví d ụ 4.1 (Bất đ ẳ n g thức tam giác).

Với ,rfc 6 ỉì,yii € R (A‘ = 1. »), chứng minh rằng

\

£ •

k=ì

\

Tí n

fc=l \ Ấc= 1

G iải

Ta có

n 0 n n

( £

XkiXk + VkỶ) < ỵ ^ 4 . ■

+ Vk)

fc=1

k=ì

k=ì

Suy ra
71

+

Vk)

<

k=ì

\

Ẻ*i

\

n

£ > * + s,)2 (4.2)

fc = l

Tương tự ta có

n n ri

y^Xk

+

y*) -

\

+ y ^ 2

fc=l \ Ar=l \ fc=l

C ô n g vế với v ế của bất đảng thức (4.2), (4.3) ta suy ra

(4.3)

J 2 ( x k + ykf <

£ ( . r t + !A)2( . £ 4 +

fc=l \ * = 1

V

\

\ k=\

\

£

k=

ĩ/ỉ

<=>

\

n n n

J2(Xk+y^2 - \ 1

l

xl + \ Y

ẩ

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

44 N g u y ễ n V ũ L ương, N g u y ỗ n N g ọ c T h ắrg

Ví dụ 4.2.

Xk e

R, ĩ)k £ R (k — l , n ) , chứng minh rằng

(ELiXfc)2

y* E L i Vk

Giải

Ta có

n o n _ o n „2 n

Ẻ * 0 - Ẻ ^ / K S Ẻ Ỉ - Ẻ

fc=l fc=l VyK fc=l *=1

ỉ/fc

Ví dụ 4.3. Với a € /? + , chứng m inh ràng

i X > a i < j X > ỉ + j X > i

k=1 fc=l fc=l

Giải

Bất đẳng thức đã ch o tương đương với

f ( x ) = a 2 Ỵ ^ b ị - 4a\ akbk I + 4 <z* ^ 0.

fc=i Jfc=i fc=i

Giải

N ếu Ylk= 1 = 0, suy ra = 0 với mọi k = 1, n nên bất đẳng thức hểin
nhiên đúng.

Nếu J2k=i bị > 0 ta có

A' = 4 | ^ a A |2- 4 ^ 6 Ỉ . ^ a | < 0

fc=l k= 1 k=l

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

('á hài giáim vồ hâì ihức Bunbiiicõpxki

Ví i ụ 4.4. Chứng minh rang Vui mọi Ả • 0 la có

(ỉiái
la :o

: í H ^ Uk

k-

1 \ Ảr=1

- / L

k'aì

s

l~ệ

(đPcm)-A 1 k= I

Ví iụ 4.5. Chứng minh rằnti với mọi k > 0 ta có

ĩì tì 11 1

{ ± ĩ U ± * 4 ± ị

k

=I *=1

k=ì

G iải

Ta íó

( ± a

k— 1

i Ỵ = ( p ^ - á ù

A*=l A VA

Ti 7Ỉ 1

^ A"v * • s *5

fc= I *:=1

V í <11 4.6. Chứiig minh rằng

( £ ' < ) ’ í X X ’ - i x 1

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

4 6 N g u y ễ n V ũ L ương, N g u y ễ n N g ọ c Thiáng

G iả i

Ta có

{ t < y = { t - T ■

k — 1 k — 1

^ H

ak+q ■

°*-9 (đpcm)-

fc=i fc=i

Ví dụ 4.7. Chứng minh rằng

( 5 Z ữfc) ^ (n _ + 2 a i° 2)'

k

—1

k

—1

Giải
Ta có

( x ^ ữfc) = ((°1 + °2) + < (n — 1)[(qị + a2)2 + y ] ttfr]

fc=l /b=3 fc=3

n 2 n

«♦ ĩ » S ( n - + 2ai<z2) (đpcm).

k = ì k = i

Ví dụ 4.8. Chứng minh rằng

( ± « ky < n ± a ị

fc=1 fc=i

Giải

Ta có ế

( t < * y - { ± ' « Ỵ s p ' - ± 4 - ” ± ý

k= 1 fc=l Jfc=l fc=l fe=l

Ví dụ 4.9. Với

ũk

> 0 , bk

>

0 (Ả; = l,n ) , chứng minh rằng

p

= ị > + M 2 • Ê i > 4"2-

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

C ác bài g iả n g vẻ bất đáng thức R unhiacôpxki 4 7

( ỉiá i

Ta có (nk + b k )2 Ịĩ UiK-bk suy ra

ĩl n J

v > \ Y . akbk' Y l

k- 1 k= i

(Ikh

=

4 j 2 ( S a M ‘ Ì 2

> ■*( è ‘ ) 2 = 4" 2 <dpcm)

k

•—1

k

—1 Ả' —1

Ví dụ 4.10. Với a k

>

0

(k

= 1,

n),

chứng minh rằng

_ 2 _ 2

«0 a

p = — + — + ••• +

2 /I2 n

— + — ^ y '

« n a , ^

afc.

«2 «3

Giải

Ta có

( Ẻ * ) ’ - ( ^

+ ^

+ -"+ ^

+ ^

) ’

< p e ; = ,

-Suy ra p ^ Hk (đpcm).

Sau đây chúng ta xét m ột số ví dụ minh hoạ đơn giản

Vi dụ 4.11. Với a ,b ,c > 0, chứng minh rằng

y/ĩ + o2 + ò2 4- V 1 + b2 + r2-Ị- \ / l + c2 + rt2 ^ v/õ^-t- 2 ( a + b + c ) 2.

G iả i

ĩa có

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

48 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ c T h ắ q g

r* 3 •+■ 0,(ữ -t~ b + c) -Ị- b(a + 6 “H c) ^ \ / l *1" ~Q? H- 6^ • \ / 9 + 2(ữ 4” 6 -H c) ^
Tương tự ta thu được

3 +

b(a

b

+ c) +

c(a

+

b + c) < V l + b2 + c2 ■

\ / 9 +

2(a +1)

f cp
3 + c(a + b + c) + a(a + b + c) < \ / 1 + c2 + a 2 • \ / 9 + 2(a + ò -H t)2
C ộng v ế với v ế các bất đảng thức trên ta thu được

9 + 2 ( a + b + c ) 2 5Í

< ( \ / l + a2 + 62 4- \ / 1 -f ò2 + c2 + V ĩ 4- c2 + a2) \ / 9 + 2(a + 6-1- c)z

Suy ra

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Các b ài giảng về bất dẳnụ tluiv Runhiacỏpxki

B \ ỉ T Ậ P

lỉà 1. C hứng m inh ráng (I, • > 0 (/ ] .//) , ta có

h

s '

lỉà 2. G iả sử a,b,c là nhữnạ số thực dương, chúmg m inh rằng

1 1 1 6

“ 2 (0 + 6 ) 3(6 +

r)

+ 6(c

+ a)

ÃãTĩb + ĩc'

Iỉà 3 . G iả sử X i > 0 (? = I, n ) , chứng minh rằng

n . n ,

p = - .y;- - 1— r + V ^ ^ ^ Y , ị .

(^n ^ l) * .(Zi ”ỉ~ 2 Xj

B à 4. G iả sử Tị > 0 (i = l , n ) , chứng minh rằng

i

=1 i=l

li à 5 . G iả sử a, 6, c là các số thực dương, chứng minh rằng

_ 6 £ __ a_ > 1 / 1 1 1 \

n(a + b) + ò(ò 4- r) + c ( f f rt) ^ 2 \ ã + b + c )

LỜI GIẢI

Bà 1

Ta :ó

~— o n n

fVí /— \ ^ V

°I

\

— x/í),.r, 1 < 2 ^ — 2 - f

ữiXi

x* t=i

Xl

1-1

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

5 0 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g , N g u y ễ n N g ọ c T T iỉn g

Bài 2.

Á p dung bài 1 với a = ^ , 0 = ^ , 7 = ^ ta có

2 3 6

ĩ 1 1 ____________ Ị____________

2( a + í>)+ 3(6 + c) + 6(c + a ) ? l (a + b) + 1 {4 + c) + l (c +

2 3 0

< = > p > 4 Ĩ T ẳ T 3 Ĩ ( d p c m ) '

Bài 3.

Ta có

( £ - i ) 2

(

1

/1

1

xm

/

H----V *1

x 2

1 1 1 / 1 1 \ 2

----1---f--- h

X2

/ 1 1

ì/.r„ Zi)

x"\ —

V ín

+

Xí

lỉài 4.

Ta có

(|» = (^r+S'/ĩr H

l2+

H— 7 = 4 = n/^ 2 + ^3 + ••••+— 7= w = VẼŨ 4- 3-1)

« ( X » ’ 2 f >

i=l

1=1

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

C ác bài g iả n g v ề bất đ ả n g thức B u n h ia cô p x k i 51

Bài 5.

Áp dụng kết quả bài 3 ta có

£2 x3 Xị |

, d ( x i + x 2) .r2(.r2 + £ 3 ) x 3( x 3 + x 4)

| £6 f l

+ X5) a:5(:r5 + £6) :r6(.T6 + £1)

1 / 1 1 1 1 1 1 \

^ ^1 — + — + — + — - f — )

2 \ X ị X'2 x 3 x 4 £5 X(ỳ)

(trong đó Xị > 0 ( i = 1,6)).

Chọn Xi = a, x2 = x3 = b, X4 = x5 = x6 = c ta thu được

b_ 1 c J_ j_ a 1 / 1 2 3\

a(a + b) + 26 + 6 (6 + c) + 2c 2c c(c + a) ^ 2 Va b c )

b c a ^ 1 1 1

<í=> —

7——77 + 777--T + —

7—

----“T íỉ

7“—H tjV + — (đpcm).

a(a + b) 6(6 + c) c(c + a) 2 o 26 2c

Chúng ta có thể giải cách khác như sau

íi 4“

b

--- . --- Ị.

a(a + 6) V ab

/ 6 c

a

\ /1 1 1\

\a(a + 6) ^ 6(6 +

c) c(c

+ a)/ vã ^

b

^

c)

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

5 2 N g u y ê n V ũ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ c T hắng

5 Một số dạng mở rộng và liên quan

Trong bài giảng này chúng ta sử dụng đạo hàm và tính chất của đa thức

bậc 2 để xây dựng d ạn g m ở rộng hoặc tương tự của bất đ ả n g thức Bun-

hiacơpxki .

I. Sử dụng tính chất của đa thức bậc 2

Ví dụ 5.1. Giả sử

a\

^

Y%=

2

aỉ'

chứng minh rằng

(aibỉ - akbk)2 > bfc) (5.1)

k

k=2

. fc=2
Giải

Nếu ai = 0 thì

a2 = a3

= • • • =

an

= 0, bất đẳng thức đúng .

Với

ŨỊ Ỷ

0 xét đa thức bậc 2

f(x) =

(

axx - bỉ)2 - ^ 2 ( a kx -

ịfc)2

Jfc=2

Ta có

/ ( - > < 0 (a, # 0)

d\

f{x)

= (a? -

aị)x2 - 2(albl -

*kbk)x + (bĩ ~ Y l

fc = 2 ' fc= 2 fc=2

Từ giả thiết suy ra

A

=

(iị

—

dị >

0

(Nếu

áị — Y

% =2

aỉ = Q

thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng)

Vậy ta thu được

A f ( — )

< 0, suy ra phương trình

f(x) —

0 có n;gHệm. 
Suy ra

A' =

('aibi - J 2 a*bk) -

( “ì— 5 3 ° * ) ( fei “ S

6*) ^ 0

Ẳ:=2 *=2 Ac=2

<=> (aA - ^

^ (a? -

^

aĩ) (&1- bỉ)

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Hoàn toàn tưưng tự như bất đẳng thức Bunhiacôpxki , từ bất đẳng thức

(5.1) chúng ta có thể xây dựng các bất đảng thức hệ quả mới.

Ví d ụ 5.2. G iả sử a\ ^ Y^k-2 / ’ c ^ứng m inh rằng

À*

(a ,6,

- J 2 a kbkỴ

j ) ( bĩ - ị ,

kbỉ)-fc=2

k—2

k-2

Giải

Ta có, theo (5.1)

(aibị - y > fcfefc) = (ciịbi — ^ . V k b k \

k

=2

V

k

=2

v k )

> (fl?

fc6*)

Jfc=2 fc=2

Ví dụ 5.3. G iả sử

áị

^

aĩ '

chứng minh rằng .

((n - l)ai

- Ỵ 2 (lk)

^ (n - !)(n - 2) ( ai - 5 Z aÌỘ-

fc=2 fc=2

Giải
Ta có

( ( n - l ) Q l ~ 5 ^ a * ) > ( a ? - a * ) ( ( n ~ ! ) 2 “ 5 Z 1)

k

=2

fc=2

fc=2

^ ( ai ~ X / afc) ' (n ~ ^)(n ~ 2) (đpcm). 
fc=2

2a2

V í d ụ 5.4. G iả sử a,b,c > 0; , ^ — ---1— và b + c > 2a,

0 ~Ị- c c -ị- (I (1 b

chứng minh rằng

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

5 4 N g u y ễ n V ũ L ừ ơ n g , N g u y ễ n N g ọ c Tlhấng,

Giải

Ta có

(2

a - b - c ) 2

=

(

. ^

2(6 + 0 ----

-Ằị

•

y/ẽ

+ ạ ---- L \/a 4-*?)

v V ò T c s / c + a y / a + b )

/ 2a2 • 62 c2 \ /L

> í 7—--- —

-

, ) (ò + c - 2a)

\b + c c + a

a + b/

/ 2a2 \

= (-=21-? _ _ _ ± _ ) | 6 + c _2a|

(vì

6 + c > 2a)

Vò + C c + a a + 6/ 1

2a2

b2

C2

«=> |2a - 6 - c| ^ T—--- —— --- —— (đpcm).

1 6 + c c + a a + 6 ^

II. Sử dụng đạo hàm

Chúng ta chứng minh một số kết quả phụ cần thiết.
Ví dụ

5.5.

Với

a,/3 >

0,

a + /3 =

1, chứng minh rằng

aa

+

Ị3b > a°bP

(5.2)

trong đó a,

b

là những số thực dương.

Giải
Chia hai vế bất đẳng thức cho

b >

0 ta có

a ộ + ( l - a ) > ộ “

Đăt t = Y > 0 ta thu đươc

b

•

(5.2) 4* f ( t ) = t a - a t + a - 1 < 0 ( t > 0)

Ta có

f ' { t) = a ( í “-1 - 1) = 0 =► í = 1

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

C ác bài g iả n g về bất đ ẳn g thức B u n h ia cơ p x k i 55

Ví dụ 5.6. G iả sử a, />, c, <-*, /i, 7 là những số thực dương thoả m ãn
(V t- Ị3 + 7 = 1, chứng minh ràng

p = a a + ftb + 7 c ^ aal/}c r (5.3).

Giải

Sừ dụng bất đảng thức(5.2) ta thu đựơc

0

p = (rt + /í) a a +

La + /3 ữ + /? J + 7 C ^ ( a 4- / ? ) ^ a a + fl • 4- 7C

(Vì a + = 1)

a + Ị3 a + Ị3

Suy ra (áp d ụ n g bất đẳng thức 5.2)

p ^ í a"+0 • J • c7 = cPbPc1 (đpcm).

C h ú n g ta dễ dàng thu được kết quả tổng quát sau dây bằng phương ph áp
c h ứ n g m inh quy nạp.

V í dụ 5.7. G iả sử dị > 0, a t > 0 (i = l , n ) , y ^ » = ia * = c húfng
m in h rằng

y > ta, ^ n"=1a“’ (n ^ 2) 
(5-4)-i=l

Giải

V'ới n = 2, bất đẲr.g thức đú n g (bất đẳng thức 5.2)

G i ả sử bất đ ản g thức đ ú n g khi 71 = m ta chứng m inh bất đ ẳng thứ(?
điúrg vứi n = m + l.

Túi có

m - f l m rn

^ ^ Qịílị = ^ ^ ^

ctị

* ^ ^ ^m+l

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

56 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Tháng

S'V dụng giả thiết quy nạp ta nhận được

(Vì --- —---1---1- — = 1)

VY1 TT-\m _ ' _ L /

2^1=1 ữ» 2^i=iữ* A*i=ia *

Suy ra

Ci,

« / rsm

---53 aifli ^ f nỊVi

1 a’ J

• (am+i)“"+*

= (đpcm).

Sử dụng kết quả nêu trên ta xây dựng dạng mở rộng của bất đẳng hức 
Bunhiacơpxki sau:

Ví dụ 5.8. Giả. sử

ak > 0,bk

> 0 (A: =

ì , n ) , a , p

> 0;a + /? =• 1, 
chúng minh rằng

Ẻ < « * í s ( Ị » ' ( ị » '

fc= 1 *= 1

k=l

(S.S).

. fe=l

Giải

Bất đẳng thức đã cho được viết lại dưới dạng tương đương

p - í r í v E f c = x

Ẻ

t e r r ) * - ( v r r ) ' s v E f c = i 0* ' 1
Áp dụng bá? đẳng thức (5.2) ta thu được

( = £ - ) •

• ( * - ) ' < a ( = ? M + /j ( * )

Suy ra

fc=i *=1 ^ = 1 °'

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

ChJ ý 1. Xét trên R 1 bất đảng thức Bunhiacôpxki được viết dưới dạng

( ± > l i ’l ) 2 < £ a* ± h

k=1 fc=l fc=l

« Ẻ “M < ( Í » Ỉ ' ( Í » Ỉ

fc=i fc=i fe=i

, 1

Là rường hợp riêng cúa bất đãng thức (5.5) khi <ỵ — 13 =

Chi ý 2. Khi xét trên R + dạng c ủ a bất đẳng thức trung bình và bất
đảrtỊ thức B unhiacôpxki trong trường hợp m ở rộng có thể xem như là
m ộ bất đẳng thức .

Bất đẳng thức d ạn g trung bình

1=1

ĩ 1

là t ường hợp riêng c ủ a bất đ ăn g thức (5.4) khi a 1 = a 2 = • • • = ữ n = — •

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

58 N g u y ẻ n V ũ L ư ơng, N g u y én N g ọ c T h á n g

BÀI TẬP

Bài i. Giả sử

a, b

là những số thực dương, chứng minh rằng:

D £ ± ĩ -

2

ạ ± ì y véi a > 1 Koạc Q < 0

2). ^ < ( ^ ) “ v « 0 < a < l (5.6).

Bài 2. Giả sử a, 6,

C

là những số thực dương, chứng minh rằng:

1\ aQ + 6Q + c“ /a + 6 + c \ ° n u X 1 / _

1) ---^ ^ ^--- J khi a < 0 hoặc a > 1 ( 5.7)

a° + ba + ờ* /a + b + c \ a , , . n

,

2) ---^ ^ -J khi 0 < a < 1 t 5

-*)-Bài 3. Giả sử

dị,

ai (i — 1 ,n) là các số thực dương thoả mãn đẳng thức

C =1 tti — 1, chứng minh rằng

n"=i(l •+•

dị)0*

^ 1 + n"=1af‘ (5.9)

Bài 4. Với

a, b, c

là nhũng số thục dương, chúng minh rằng

a2 + b2 + c2 a t ị
" ... - -... ^ d O + H c • Q a + H c . (Jo+i+c ệ

fl -f- 6 -f- c
Bài 5. Chứng minh rằng

y = (sin2 re)8'"21 • (cos2 x )008* * + 2 sin2 X COS2 X < 1.

Bài 6. Giả sử a, 6, c ỉà những số thực dương thoả mãn điều kiện

a + b + c =

1, chứng minh rằng

aabbcc

+

abbcca

+

acbacb

< 1.
Bài 7. Giả sử

a, b, c

là những số thực dương thoả mãn

2bc

ca

ab

1 1 2

a?(b + c) ' b2(c +

a) + c2(a

+ b)

b

c ' a

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

Các bài giảng về bất đáiií’ thức Hunhiíicópxk 1

l. (ỈIẢI

Bài 1.

Bất đẳng thức tương dương với
/ a \ ° / b \ 1

( —, } + ( ——— ) ^ 2{-Ỵ ' với a > 1 hoãc a < 0

Va + 6/ \ữ + b) 2

/ a \ a / ò \ " 1

( — - I ) + ( — ĩ ) < 2 Q ° với 0 < a < 1.

Va + 6/ \n + bJ 2

Đăt t = — / suy ra 0 < t < 1 và

a + b

f ( t ) = t n + (1 — í ) ° ^ 2 ( ị ỵ* v ới a > 1 h o | c a < 0

f ( t ) = t° + (1 - t)Q < 2 { ị ) a với 0 < a < 1.
Ta c3 f ( t ) = — q(1 — í) °-1 = 0 => +^.

Khi a < 0, a > 1, n h ờ xét dấu đạo hàm ta suy ra

m > f ( ị ) = 2 ( ị r ( đ p c r o ) .

Khi 0 < a < 1 , n h ò xét dấu đạo hàm ta suy ra

f(t ) < f ( ị ) = 2(ị)°

(đpcm).

Bài

Bất (ảng thức (5.7) tương đương với

P . , + i r + , + ( ! ± * ± f ) * > 4 ( * ± | ± £ )

khi c < 0 hoặc a > 1.

Áp ding bất đ ẳn g thức (5.6) ta có

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

60 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ c T h in g

a

+ 6 -f-

c

a + ò + cH--- ^---\ / a + b + c x «

& p >

41 --- 3---

= 4 í a + 0 + c\

/a + o + c \«

V--- 3--- / (đpcm'

Tương tự, áp dụng (5.6) cho trường hợp 0 <

a

< 1 ta chứng miph được 
(5.8).

Bài 3.

Bất đẳng thức đã cho tưcmg đương với

p =

n?=1( - ± —

Ỵ '

+ n ”=1( - ^ - ) Q‘ < 1 (áp dụng (5.4) (đpcm)).

\ 1 + Oi / VI + a, /

Bài 4.

_ a - 0 c

Đăt

a =

----7---

,p —

-— -- , 7 = -—

7---a + b + c

a + b + c

a + ò + c

Ta có

a

+

/3

+ 7 = 1. Áp dụng bất đẳng thức (5.3) thu được
a2 + b2 + (?

a

+

b

+ c ^ fla+ỉ+c . fto+fc+c . C“+£+c (đpcm).

Bài 5.

Chọn

a

= sin2

X, 13

— COS2a; ta có Q +

(3 =

1 và áp dụng (5.2) ta thu 
được

(sin2 x)8’"2* • (cos2

x)co*ĩx +

2 sin2

X

COS2 X <
< sin4

X

+ cos4

X +

2 sin2 X COS2X = 1 (đpcm).
Bài 6.

Áp dụng bất đẳng thức (5.3) thu được

aabbcc < a2 + b2 +

c2

abbcca <ab + bc + ca

arbach <ac + ba + cb

Cộng vế với vế các bất đảng thức trên thu được

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

C ác bài g iả n g vé bất dã MỊ’ ihức Bunhiacỏpxki

Bài 7

Ta có

( ' 2

' )

Va b <■)

ỵ

-ĨY

b

I . 1

.-I—

') c

1 IV 1

ặ ===f v « + 6

c\ a

I,

1 1 ] f 1 1

il l ,

i J

l b + c

2be en ab

1 1 2 ______ ________________

^ b c a ^ a2(b + c) b2(c + a) c2(a + b)

_

a.

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

6 2 N g u y ễ n V ũ L ư ơ ng, N g u y ễ n N g ọ c T h in g

6 Một số kết quả làm mạnh bất đẳng thức

Bunhiacôpxki

Trong bài này chúng tơi trình bày một sô' bất đẳng thức mới mạnh hiơn 
(chặt hơn) và áp dụng.

Ví dụ 6.1. Giả sử

di

€

R,bị e R,ữị

+

bị Ỷ

0 (» = ĩTrâ), ciứsng 
minh rằng

ỉ ) ±

^

<

p

l p

i=l

i=l »=1 . * +

'

i=l

i=

Giải
Ta có

( ! > ) • .

n n n 2u2

i= 1 i = 1 a ĩ + ° ĩ

<

Ta chứng minh bất đẳng thức

n n 2^2 n n

è ( ° ỉ + w - Ẻ M í Ẻ ° ? - p ỉ

i= 11=1 * + t t=l i=l

ô* ấ ã? [ i > ? + ỉ> - Ê ■?] > Ê M + ỉ) • Ê ^

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

Bất đảng thức đúng VI

1=1 1=1 V ai ^ U1

Các bài g iả n g về bất (lang thức B iinhiacõpxki 6 3

Đ “? + t ỉ ) ' ị

1-1 1=1 »? + 'í

(Do đó - E r „ . e : . , ^ .

Ví d ụ 6.2. C hứng m inh rằng

9 x 2 1 Gỉ/2 25z2 (3.r + 4y 4- 5^)2

9 + X2 16 -t- ỉ/2 25 + í2 ^ 50 + X2 + y2 + z 2

G iải

Sử dụng kết q uả c ủ a ví dụ (6.1) ta có

( « + w <

la>+^

+

W

) ( J ^ + J

^ + £ y

Chọn a = 3, ò = 4 , c = 5 chúng ta thu được bất đẳng thức cần ch ứ n g
minh.

Ví d ụ 6.3. G iả sử Oi e R +,b, e R + (i = 1, />)•
Kí hiệu

a = m in { a j} , /1 = n ia x Ị íi,}

b ~ m in {6j}, D = m ax { ò ,} (i = 1 , n ) .

Chứng minh rằng

( s r - " ? ) ( E r - ^ )

/ v^n , V" ~ AabAB

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

6 4 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g , N g u y ễ n N g ọ c T h i n g

Giải
Ta có

b ^ bị_ D -—

A - i - a ( i = 1 ' n)

- - 3 ) Ể - ! ) s 0

\ ã i A J \ữ j a /

bĩ bB ( b B \ b i

^ ~ 2 ”1---7 5Í ( ~7 H---)

a;“ a/1 V A a / ữi

^ + !

m

“- - (1+ f )aA (i =

Cộng các bất đảng thức trên ta thu được

P

+ M

ị a ỉ ĩ . ± ± A B . ị

t = l i = l 1 = 1

1=1 i=i 1=1

4bD

> 7 Ã

< £ “?><£*>

i= 1 1=1

Ví dụ 6.4. Giả sử Oi €

R+,bt eR +

( i = 1, n)

Kí hiệu

a = min{at},i4 = rnax{a,}

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

C ác bài g iả n g v ề bất dán g thức B uuhiacópxki

C hứng m inh rằng

E”

t i “ Ả

X L i l L ầ < ( J A

t l - M W b

liái
T ương tự như ví dụ 6.3 ta thu dược

bD

aA

n I i r> n n

E

1=1

■?S= Ỉ F Ẹ ‘* - Ẹ ,f

ọ cứ) -+■ / l i J l —1 1 = »91

<=>

n

»=1

2 nò + A B v . ,

1=1

aA

b õ

A J L
ềi = ỉ*

EJLi

Ể

< o/- +

AD

_ ayl J k j L
E r

.1

a ‘ ò ‘ b B b D E

,=1

a A

E,W

=1 «i

s k g A

£?=Y«A £ '= 1 ỏ?

<ab + A B

~bD

[ £ d . + E Ị U a A '

-bB

£ ,n=i «>ị> E ,=1^

-Á p dụng bất đẳng thức trung bình ta có

SLiM , ỵ k ĩ ế >9,fcà

l>B 'TÌ,a,b, t i , lị \ bD

Suy ra

Ta (hu được

■£d S k g Ị

- ^ ' E T l i O í í

< - 2

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

66 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ c T h in g

Ví dụ 6.5. Cho ba bộ sô' thực

dị,

bị,

Xi

(i = l , n) m ỗ i b ộ không đồng 
thời bằng không thoả mãn

5Z"=1

aixi —

5Z"=1

bịXị

= 1, các bộ {di},

{bt}

khơng

tỉ

lệ. Chứng minh
rằng

h

(ELi «?)(C.ií)1 (E?-1 «.M2'

Giải

y ;

ũiXịt

= 0 Ví e /?, 
i—1

' ra

^ ( ữ i í + 6i)xi = 1 Ví e /ỉ 
i=i

có

1 = Ị J ^ (a ,í + &i)xi] < ^ ( a i í + ịj)2 Ví

i=l i=l i=l

Ụ ' 2 > ____________ 1_______________ _ ______ Ị______

h Xl

(C.1 «i )*2 + 2(E”=1 «A)i + ET-I

+ 2ƠÍ f C1 ’

trong đó A = £ " =1 ai >5 = £ 2.1 ° A

, c

= £ ,= 1 6i • 
£

Chon í = — 7 ta thu đươc

■ A

n

txỉ

i=l

1 1

D2 „ A C - B 2

-T- + c

í > ?

t=l

C «1«?

( E r = i« ? ) E L i6? ) - ( E r = : i ^ ) a

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

Các bài giảng về bấi.đảng thức Bunhiacôpxki

B A I T Ậ P

Bài 1. G iả sử bl G IV , rt, G i r .Ả' G iV *, chứng minh rằng

(EỈL.M*

Ẻ | -

r r < (EiLì Oi)*

Bài 2. G iả sử «,/>, c là những số thực dương thoả m ãn

ah + bc + c + a = 4abc, chứng m inh rằng

Bài 3. G iả sử a, b, c là những số thực dương thoả mãn

abc + bc + ca + a2b2c = 4a2b2c2. Chứng minh rằng

~ 7 + 77 + —7 ^ 3.

a4 b4 c4

B ài 4. G iả sử a, b, c là những số thực dương, thoả m ãn điều kiện

2(IC + a + 2b = 5bc. Chứng minh rằng

fl3 + 7J — 3 5^ 3.

tr

r ‘

LỜI GIẢI
Bài 1

Ta cố

(è-b‘ = í

ị r ỉ Vv--- V—

••

■

{ / ẫ - +" ■

V < ---

+

> V 0*

■

\ Ậ

fc-i thừa số / t - i t h ừ a s ố

< s k - ìí Mị b2 6j \

< (ill + ô2 + ã ã • + «,,) (■ k ! H— Ị—ĩ + ••••+ fc-T )

Vaf 1 «2 1 af

Suy ra

n /,*:

ị1 = 1 ề ỉ

> (ẽ ’“ ' ) t , (dPcm)

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

6 8 N g u y ê n V ũ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ c T h i n g

Bài 2.

Từ giả thiết ab + be + c + a — 4abc ta thu được

1 1 1 1

P — - + - + -7 + ^ - —4

c a ab bc

/ 1 1 1 ! \ 3

=>64” (ỉ + ĩ + ầ + ẻ ) =

/\ 1 t 1 , t 1 1 , 1 1 , \

= (1 • — 1 H— • 1 • 1 H— •-“ •1 + 7 * — *1 )

V c c c aa ■6 b c /

í ,

1 1

- (i + ả + ẻ

\2 \ 1C ^ D . 1

1 \ 2 ,

+ ẳ)

' 4

<í=> ( P + l)2 ^ 16 o p + 1 <=> p ^ 3 (đpcm).

Bài 3.

Từ điều kiện suy ra

Ta có

J_

J _ _Ị_ Ị

abc a2bc ò2c a c

4 / 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \ 4

\ a b c a b a c

b c b a c

/

W , 1 1 ! \ 4

- ( 1 + Ể + £ + ấ)

^ 4 Í + + ể +

(dpcm>-Bài 4.

Từ điểu kiện ta suy ra

o / a a a l 1 \ 3 
5

= ( ò+ ỉ + 6 c + ỉ)

- (° 3 + Ậ + ự + 1 + *X p + 1

+ a3 +

1 + ự X1 + “3 +

ụ

+ J3+- 1)

í

<“34

4

+2>3

ĩ 1 1

5 < rt + TỊ 4- 3 + 2

0"5 c3

« 1 1

<=>a+pr + - - r ^5 (đpcm).

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

Chương 2

Một sô phương pháp xây dựng

bất đẳng thức

1 Một phương pháp

x â y

dựng bất đẳng thức

dạng phân thức

C húng ta bắt đẩu với hai bất đảng thức khác nhau vể thứ tự biến số.

V í dụ 1.1. Với a,

b,

c là các số thực dương, chứng m inh rằng

a b c

Giảỉ

Ta có

(a + b + c)2 = ( ĩ - Ệ ĩ -ự a {b + 2c) +

Suy ra

(fl + b + c f < p • 3(ab -f bc + ca)

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

70 Nguyễn Vù Lương, Nguyễn N gọc Thấng

Ví dụ 1.2. Với a, 6, c là các sô' thực dương, chứng minh rằng

p —

a

^

c

>

0

.

-ị" 26

b

-t- 2c c -t- 2a

Giải
Ta có

Suy ra

(a

+ 6 + c)2 — ( ^ a + 26 ^ a (a + 2^ +

+'fbT2c^'b

+ 2c) +

'Ị

ĩ

+T

m

'^ C

+ 2a))

(a + 6 + c)2 <

p

• (a + 6 + c)2 <i=> p ^ 1 (đpcm).

Để xây dựng bất đảng thức phân thức khó hơn chúng ta sử dụng

các

kỹ 
năng sau:

• Đưa thêm tham số
• Đổi bộ biến sơ'

• uồe lượng một biểu thức đối xứng
I. Đưa thêm tham số

Ví dụ 13. Với

a,a,b,c

là các số thực dương, chứng minh rằng

_ a

b

c

3

+ - - - + — ^-7 ^

b + ac c + aa

a + ữb

1 + a

Giải
Ta có

a

(ữ +

b

+ c)2 — ( 4/ —----— aỊb + Q;c)+

b + atc

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

Suy ra

(a + b t ('Ý ' / }(l + ot)(ab ‘ in ; ca)

(a + b f r ) 1 3

<=>

p

^

7---

~rr~r

—t—---7 ^ (đpcm).

(1 -f a)(aỉ) f be + ra) I + (\

Ví d ụ 1.4. Với a,b,c là các số thực dương, a fì 2, chứng m inh rằng

_ a b c . 3

p — --- --- — I— —-Ịặ --- --- .

Cl + ab I) + a c c + an 1 + Q;

C ác bài giảng về bất dáng thức B nnhiacỏpxki 71

Ta có

+

Hướng dẫn

{a + b + c f = { Ì ^ 7 7 Ã ' f i Ị ; r ĩ " F)+

- ựb(b + (*c) + \ ——— \J<ịc + cva))

• y c + aa /

b + ac
Suy ra

(a + b + c)2 + b2 + c2 + a (íỉb 4- ịc + ca))

—P{(a + b + c)2 + (o — 2)(ab + bc + c a ))
<P((a + 6 + c)2 + — —(a + 6 + c)2)

o

_, Oí — 2. 1 1 ữ.

^ 1 < P (1 + ^ ) = P ( ~ ^ )

3

<#p >

1 4- a

Các ví dụ (1.1), (1.2) là hệ quả của (1.3), (1.4) với

(t

= 2.

Từ các kết quả ở ví du (1.3), (1.4) chon

a =

-Ị - chúng ta thu đươe:
abc

Ví dụ 1.5. Với o, 6, c là các số thực dương, chứng minh rằng

a2b b2c (?a 3abc

+ . I : H---- #5

ab2 + 1 bc2 4- 1 ca2 + 1 1 + abc
Hướng dẫn

Đãt ữ = — ch u y ển bất đẳno thức về dang tham số ở ví du 1.3.

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

72 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ c H ù n g ’

Ví dụ 1.6. Với

a, b, c

là các số thực dương thoả mãn điều kiện

a +

6 + c = 1, chứng minh rằng

a2c

b2a

c2b

a2c + 1 b2a + 1 c2b+ 1 """ 9(1 + abc)

Hướng dẫn
Ta có

a b c'< ( a

- ± Ì Ỉ S Ỹ = L

- V 3 ) 27

Đặt

a

= - ị - ^ 27 và áp dụng ví dụ (1.4).

abc

Chúng ta có thể đưa thêm nhiều tham số như sau:

Ví dụ 1.7. Với

a, b, c, a, (3

,7 là những số thực dương, chứng minh ỉầrng

a

b

c

\ /1

aac

+

Ị3ba

+ 7

cb\

b + ac c + P a ^ a +76/ \3 + (a + b + cy ì ' '

Giải
Ta có

(a + b + c)2 =

+\jĩTfa'/b{c+0a) + \ỊĩTTb'/c{i 4 7i>))

Suy ra

(a+b+c)2 <

(-— ---- 1---7T"+----

^—T>\(ab+bc+ca+aac+l3ba-+'Ỵ(cb)

Vò + ac c + /?a a + 76/ v

~ 1 < í Q + 6 4. £ A

( ì

4. + +

vị + ac c + /?a a + 7 Ò/ \ 3 (a + ò + c) 2 /

Áp dụng kết quả của v í dụ (1.7) và chọn bộ th a m số a , /3, 7 cụ thể diúing
ta thu được các bất đ ẳn g thức:

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

Ví ílụ 1.8. Với (/,/;, ( la nhừiiLỉ so thực cliro!h iho/i mãn điều kiên

2<il) + ĩ)hc = 2( r r + lí' f- f “) ; (li , chứnu lììinhi .áng

a

_ ^ /> í'

I)

f r r f

2(1

(I

+ .*?/>

Các bài giảne vé bất claim liiức Runhiacopxki 73

(' 'I • ■* •
liai

Điều kiện của bài toán dược viết dưới dạng
ae + 2nb + 3 bc 2

(a +

I)

+ c)2 ~ M

Áp dụng kết quả của ví dụ (1.7) với (\ ■- 1. ,j - 2 , 7 = 3 chúng ta thu

được bất đảng (hức cần chứng minh.

Ví d ụ 1.9. Với 0,6, c là những số thực đ ư ơ n g , chứng minh rằng

/ á 2 ỉr c2 \ /1 3 \ >

Vaò + 1 be + 1 ca + 1/ \3 (a + b + c ) 2 J ^

Giải

Sỉr dung kết q uả của ví du 1.7 và chon

a

— —

J1 —

-ĩ- , 7 =

Ậ-

chúng

■ ac ab bc

ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.

Ví d ụ 1.10. Với a, 6, c là những sô thực dưưng, chứng m inh rằng

(&TT + Í T Ĩ + iT T ĩX s + ã ĩk T T :) ?

L

G iải

3ử dung kết q uả của ví du 1.7 và chon a = -,/.? = - , 7 = 7 ch ú n g

' ' c a b

a thu được bất đảng thức cẩn chứng minh.

Ví d ụ 1.11. Với (1,0,0, là n h ữ n g s ố thực d ư ơ n g , chứng minh rằng

ạ2 b2___ . ___

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

74 N g u y ê n V ũ L ư ơ n g, N g u y ẻ n N g ọ c T h ắ n g

Giảỉ
Ta có

Suy ra

(a + b + c)2 =

(-.

J= = = = yjb(a

+ 2 c)+

' i / 6(a + 2c)

—

J======

\ J

c(b

+ 2a ) H--- = = = = = \ / a ( c 4- 26)^
v / c(6 + 2a ) v v / a ( c + 2 6 ) v v V

( ữ +

b

+ c)2 ^

p

• 3(aò +

bc

+ C ữ )

2
<=>

II. Đổi bộ biến số

Từ các bất đẳng thức ở ví dụ (1.1), (1.2) chúng ta thay đổi bộ biến số để 
thu được các bất đẳng thức mới sau đây.

Ví dụ 1.12. Với

a, b, c

là những số thực dương, chứng minh rằng

a + ò

b + c

c + a

_ Ị _ _ _ _ ^

2a +

b

+ 3

c

26 +

c

+ 3ữ 2c -h

ữ

+• 36

Giải

Đặt X

— a + b,y = b+c,z = c+a

ta thu được bất đẳng thức tương đtơmg

z

X y

+ --- +

ỉ/ + 2z 2 + 2rr X 4-

2y

'ỳ

1 (xem ví dụ l.i).

Ví dụ 1.13. Với

a,b,c

là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng nịmh 
rằng

a + b —c

b + c —a

c + a —b

J

36 4" c — fl 3c -f- ữ —

b

3a

b

— c

Giải

Đạt X

= a + b -

y = b + c — a, z = c + a — b

ta thu đựơc

X y z

+ + ^ 1

(x,y,z >

0) (xem ví dụ 1.2.

X +

2

y

y + 2z

z

+

2x

Ví dụ 1.14. Với a, 6, c là những số thực dương, chứng minh rằng

bc

ca

ab

+ +

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

C á c bài giảng về bất đ á n g thức Munhiacơpxki 75

ìiái

Đăt X — y = 7 ,c 1 ta thu đươc

a ' 0 c

- — + — > 1 (Ví dụ 1.2).

y + 2z z + 2.1' X + 2 y

Ví d ụ 1.15. Với a, 6, c là những sô thực dương, chứng m inh rằng

ac

+

ba

ac + 2ò2 òa + 2c2 cb + 2a 2
C->I • 2 •

ỉiả i

_ a I) c

Đ ặt X = 7 ,y = 2 = - ta thu được

b c

n

X

+ +

X 4- 2y IJ + ‘2z z + 2.7- ^ r 1 (Ví dụ 1.2).

III. u&c lượng một biểu thức đôi xứng

Thực chất khi thay thế một biểu thức trong bất đẳng thức bởi một biểu 
thức đối xứng khác sẽ nhạn dirợc một bíít đẳng thức hộ quả (yếu hơn).

Mãc dù vậy trong dạng phân thức thì bất đảng thức mới khó hơn nhiều 
trong việc tìm cách chứng minh vì bậc của các số hạng thay đổi hay tính 
đơi xứng thay đổi.

Trong phần này chúng ta trình bàv cách chứng minh những bất đẳng
thức như vây.

Ví d ụ 1.16. V ới a,b ,c là những số thực dương thoả m ãn điều kiện

X -f b + c — 3, chứng minh rằng

a 2 b2 _ c2

“ a + 2h2 + b + 2c2 + c + 2a 2 ^
G iải

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

76 N g u y ễ n V ũ L ư ơng, N g u y ễ n N g ọ c T h i n g

Ta có

(á2 + 62 + c2)2

a4 + Ễ>4 + c4 + 2(a2 62 + 62c2 + c2a2)
Từ bất đẳng thức

a4 + ò4 +

c4 ^

ị ( a3 + ò3 + c3)(a +

b

+ c) ^ a3 + 63 + c3
o

Suy ra

_________ (q2 + ò2 + c2)2____________

a4 + ò4 + c4 + 2 (a2ỉ>2 + 62c2 + c2a2) —

(a2 + 62 + c2)2

— a3 + 63 + c3 + 2 (a2ò2 + ỉ^c2 + c2a2)

^ (ữ2 ■+• 62 + C2)2

- a2(a + 262) + 62(6 + 2c2) + c2(c + 2a2)

Ta có

(a2 +

b2

+ c2)2 =

(

——° ■■ ■—-ay/a + 2fr2+
W a + 2Ò2

H—y Ằ = bVb + 2c2 H— 7.. - - cVc + 2a2)

>/& + 2c2 Vc + 2a2 /

< P(a?(a + 2b2) + 62(6 + 2c2) + c2(c + 2o2))

(a2 + {,2 + ^2\2

^ p ^ a 2(a + 262) + 62(6 + 2c2) + c2(c + 20*) ^ 1 (đ p c m )

Ví dụ 1.17. Với a,

b, c

là những

số

thực dương thoả mãn điểu kiiện

abc

^ 1, chứng minh rằng

_

ab2

bc2

ca

ab2 + 2 ^ bc2 + 2 ^ ca2 + 2 ^

Giải
Vì

abc

ầ 1 nên ta có

(ab

+

bc

+

ca)2

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

-(lib f be + ca)

~ a 2 !)2 I h-c~i c - d * 4- 2 ( a + b + c)

Các bài giảng vé bất đẳng thức Buiihiacốpxki

( n b + b c + c u ) 2

~ a(ab2 + 2) + b(bc2 + 2) + c(ca2 + 2)

Ta có

(ab + bc + ca)2 = ( = \J(lịab2 + 2) +

V

\J (ii)2

+ 2

Suy 'a

(ab + bc+ c a)2 < P(a(ab2 + 2) + b(bc2 + 2) + c (c a2 + 2))

hay ° ^ 1 (đpcm).

Ví d i 1.18. Với a, b, c là các số thục dương, chứng minh rằng

_ ac. ba cb ^

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

7 8 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ c T h ốn g

Ta có

á2 a

v + 1 > 2 b

b2 b

- 2

+ 1 ^ 2 -

cr c

(? c

— + 1 ^ 2—

az a

Cộng vế với vế bốn bất đẳng thức trên ta thu được

a2 b

2 c2 ã

b c

b2 c2 a2 ^ b C a

Suy ra

1 <

Ta có

,a

b c.0

,a

b

c. 0 ■

Ĩ + - + - 2

G + - + 1 )2

_____

_b

c

a

_______ ____________ o c a ________

a

b

c

a

b

c

1 2 12 1

2.

7 + - + - + 2 ( - + - +

J-)

a(ỵ + - ) +

b(-

+ - ) + c (- 4 Ị )

b

c

a

c a b

b e

c a

a

b

,a

b C.O

/

y/ã f ~ ĩ

2.

( 6 + c + a) = ( - ^ f \ / < + !>+

b\ l b + c

sTb Ị 7 Ã 27 ự~c r i 2~\2

H---, -— \/b{ + ) H---7== = : \ c( — + ^ ))

/1 2 V c

a ’

[ ĩ

2 V a ÒV

Ca / - + - a \ / - + 7

V c a

\ a

b

(

ac

ba

cb

W .1 2. 12 1 2. \
- ÍR 2 6 T Ĩ) + ĩ (2? T ĩ j + ã(2a + í.j)v a (ị + ĩ )+ i’( c a ) + c ( « í v

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

C á t bài giảng về bất dẳng thức Bunhiacôpxki

HÀI TẬP

B ài 1. Với (>,b,c > 0, chứim minh rằng

( I 2

l r

c2

^ a

+

b

+

c

p - _ — I--- — ị---:— > --- _ -.

b + 2 r c + 2 a a + 2 b 3

B à i 2. Với a,b,c > 0, chứng m i n h rằng

a3c

bi0 a

c3b

b2(2c2 + ab) + c2(2n2 + bc) a 2(2b2 + ca) ^
Bài 3. Với 0,

b, c >

0, chứng minh rằng

■2 b2 C 2 a + b + c

a

0

c

p = — + _ — + — 1— >

b

ac

c +

a a

a

+ ab 1 + à

B à i 4. Với

a, b, c

là những sô' thực dương, chứng m inh rằng

a3b

b3c

(?a

abc(a + b + c)

■"t" 7 õ !

z

I õ " 7

GÒ2 + 1 be2 + 1 cá2 + 1 1 + abc

LỜI GIẢI
Bài í

Ta ó

( a + b + c f = 2 c +

H— 7 = = = = = \ / c 4 - 2 0 + —]= = = =

Vã

+

2b)

VC + 2 0 y /n + 2b /

c) <=>

p

^ Q + k — (đpcm ).

Ỏ
Bài i.

_

a

6

c

Jặit r = ^ t y = - . 2 = - ta có :c + Ị/ + z ^ 3

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

80 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Tlnấig

Bài 3.
Ta có

Bài 4.

Đặt Q = 4 -

abc

(Xem bài 3).

(a

+

b +

c)2 =

(

° —

y/b

+ Q C +

V

Vb + ac

■

= y/c~+ ãã

H— 7 Va + afci

v c + aa Vfl + <*0 /

<

P(

1 + a)(a +

b

+ c)
_ * a + ò + c

<=>

p >

N 7~~7~~T. (đpcm).
1 + a

> 0 ta thu được
a'

+ ò2 + c2 a +

b

+ c

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

Các bài g iả n g vé bất đẳng thức B u n h ia cỏ p x k i 81

2 Một dạng hệ quả của Bất đẳng thức Bunhi-

acôpxki và áp dụng

Trong bài này chúng ta xây dựng m ột sô' d ạn g hệ quả của bất đẳng thức
Bunhiacôpxki và các áp dụng của các dạng hệ quả này trong việc chứng
minh m ột số dạng bất đẳng thức.

DẠNG HỆ QUẢ 1.

Với a, € R, bị G R + (i = 1, n ) ta có

Ví dụ 2.1. G iả sử a , b , c là các sô' thực dương, chứng m inh rằng

i=l

(2.1)

Giải

Ta có

á 2 b2 C2 a + b + c

— + — — + r ^

Giải

Á p dụng bất đẳng thức (2.1) ta thu được

(a + b + c ) 2 _ a + b + c 
^ 2(a + b + c) 2

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

82 N g u y ễ n V ũ L ư ơ ng, N g u y ễ n N g ọ c T h ắ n g

Giải
Ta có

2 _ 2

p =

Ĩ1

,

y

Ị í !
x ( a y + bz) y ( a z + bx) z ( a x -f by)
Áp dụng bất đẳng thức (2.1) ta thu được

f > _ 4 t 3 ± £ g _ » » (đpcm).

(a +

b)(xy

+ t

+

zx) a + b

Ví dụ 2.3. Giả sử

a, b, c

là các sô' thực dương, chứng minh rằng

^ b(c + a) a(b + c) ^ á2 + b2 ^ a + b

Giải

Từ bất đẳng thức (2.2) ta chọn X =

a,y = b,z

= c

_ ' 3 ' x

suy ra

p

^ ——7 (đpcm).

ữ + 6

Ví dụ 2.4. Giả sử a, 6,

c

là các số thực dương, chứng minh rằng

_

a

b

c

^ 1

ũ *+- 26 •+• 3c b -b 2c + 3o c 4- 2q -h 36 2

Giải

Ta có

_

a2

b2

c2

+ rr:---- r---- r-T +

a(a

+

2b

+ 3 c)

b(b

+

2

c + 3

a)

c(c

+ 2

a

+ 36)

Áp dụng bất đẳng thức (2.1) ta thu được

r> > (íỉ + 6 + c)2 ___ (a + ò + c)2

^ a2 +

b2

4- c2 + 5

(ab + bc + ca)

(a + b + c)2 +

3

(ab

+

bc

4

cta)

Vì (a +

b

+ c)2 ^ 3(aò +

bc

+ ca) suy ra

n ^ (a + b + c ) 2 _ 1 /#t

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

C ác bài giảng vể bất đẳng thức B u n h ia c ơ p x k i 83

Ví (iụ 2.5. G iả sử (I. I). (■ là các sô thực dương, chứng m inh rằng

a 2 ì r c2 3

(u + b)(a + <■) + (b + (■){!> + a) + (c + a)(c + b) ^ 4

Giải
Á p d ụ n g b á t đ ẳ n g t h ứ c ( 2 . 1 ) t a t h u đ ư ợ c

> _________(ạ + 5 + r )2___________ _________ (ạ + b + c )2________
^ á2 + b2 + c2 + 3(ab + bc + ca) (a + b + c)2 + (ab 4- bc + ca)

Suy ra

(n + b + c)2 3

p > --- --- 1 --- = 2 (đpcm).
(a + b + c)2 + ^ (a + b + c)2

ó

Ví dụ 2.6. Giả sử

a,b,c

là các số thực dương thoả mãn

abc

= 1, chứng 
minh rằng

1 1 1 3

a3(fe + c) + fe3(o + c) + c^a + 6) ^ 2

Giải
Ta có

1 1 1

"5 62 C2

P = - r ^ —

+ r - 2V +

ab + ac

ba + bc

ca + cb

Áp dụng bất đảng thức (2.1) và điểu kiện

abc

= 1 ta thu được

,1 1 1,2 /

p

> ạ +

b

+ c' = (gb + 6c + m ) > 3y/(qfrc)2 = 3

2(a6 + 6c + ca) 2 ^ 2 2

Ví dụ 2.7. Giả sử a, ò, c là các sô' thực dương, chứng minh rằng

o. b~ ' bc2 coĩ 1

p = ị + ^ L{ab + bc + ca)

</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

84 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ c T liể n g

Ta có

a 2b2 b2c2 c2a2

p — _j--- r ---1--- -—

a(b

+ c) ò(c

a) c(a

+ ò)

Áp dụng bất đẳng thức (2.1) ta thu được

(aò +

bc

+ ca)2

ab + bc + ca

^ 2(a6 4- bc + ca) 2

Ví dụ 2.8. Giả sử a, b,

c

là các sô' thực dương thoả mãn điều đện

ab

+

bc

+

ca =

Chứng minh rằng

ổ

a b c 1

+

Tn

----

7

H õ---- ,—~T ^

a2 —

b e

+

1 b 2 —

ca

+ 1 C2 —

ab

+ 1

a

+

b

+

c

Giải

Từ điều kiộn đề bài suy ra

a2

—

bc+

1 > 0,

b2 - ca

+1 > 0,

c2

—

ab+

1 > 0.

Ta có

b2

c2

à 2 b 2

p

= -=— -7— — + Tơ---r---- r +

íỉ3 — afec + a ò3 —

bca

+ b c3 — caò + c 
Áp dụng bất đẳng thức (2.1) ta thu được

p

>

(ạ -I- 6 + c)2

^ a 3 + b3 + c3 —

‘Ầabc

+ (a + 6 + c)
Ta có

íỉ3 4-

b3

+ c3 — 3aỏc

= (a

+

b

+

c)(a2

+

b2

+

c2

—

ab

—

bc

—

ca)

,2 I l2 I „2 1

(a + 6+ c)(a +

b

-I-

c — ị )

ó

Suy ra

a* + l?+<? + ị

,

p ^ --- — =---= --- J--- (đpcrm)

(a + ò + c)(a2 + ò2 + c 2 - Ỉ- + 1) -a + b + c

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

( ’ác bài giảniỉ về hất clang thức Biiiihiacôpxki 85

1 ) Ạ N ( Ỉ H Ệ Q U Ả 2

VỚI (I,,l)t € ỉ i + (i = ì. li) ta có

" :ì
°

ẳl

i=l '

n 1

2)

ị í

n
> .

(L,

1 — J t I 1

(Ẽ;ŨT)

(2.3)

Giải

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ:

V ới (lị. bị, d , dị > 0 (i = 1,7?.), chứng minh rằng

( £ > A c ,)3 < ĩ > ; ’ • ỉ > ? ' ẻ c? <2 '5 >

i=l t— 1 i —1 i=l

(23

OịbiCidi)4 < °i ' Ỉ 2 bt Ỉ 2 C* d‘

í2-6)

i=l i=l i=l 1=1 i=l

Ta chứng m inh bất đẳng thức (2.6) (bất đẳng thức 2.5 chứng minh tương

tự).

Đ ạ t A t = dị, Dị = bị, Cị = c'j, Dt — dị (i = 1, n )
Ta có

(2.6) « £

ựA.D.C.D, <

• Ỳ /Ai ị , B l -Ỳ iCt - Ỳ iDi

i= 1 \ i = 1 t-1 1—1 1=1

° M = l r

/ÍÃ

e ’Ẵ e a £ ơ, s 1

Á p dụrig bất đẳng thức d ạn g trung bình ta suy ra

Ai Di Ci Di

M < ý ' Z A z Bi Z C i Z D i

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

86 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ c T h ốn g

E n . V''” ^ I V"'”

Ĩ=1 V" A + 2-á=i n + 2_>i=i n 2^,=1

M , E A j E C , E Q E p . 4 t

4 4

Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức (2.3).
Áp dụng (2.5), ta có

{ ± 4

1=1 »=1 V ui 1=1 * i=i

Suy ra

" a ? ( c u «i)

i=i

bi (

r , 6,ì

Ta chứng minh bất đẳng thức (2.4).
Áp dụng (2.6), ta có

( i > ) 4 - ( ẻ m r t - r t - r t ) 4 * ề ỉ ( è « y

i= 1

i= i v wt i=i » >=1

•

Si'feS

< đ p c m ) '

Sau đây là một số ví dụ áp dụng:

Ví dụ 2.9. Giả sử

a, b

, c là những số thực dương, chứng minh rằng

a

b

c

^

- (a + 26 + 3 c)3 + (6 + 2c + 3 a)3 + (c + 2 a + 3Ò)3 8(a + í> + c );2

Giải
Ta có

p - ,,

. +ĩĩ

61

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

Áp dụng bất đẳng ( h ứ c (2.4) ta s u y ra

_ (a + ỉ>+ <•)'' _ (a + ò + c)'1

: («- 4- ỉr + c? + 5{(lĩ) + bc + ra))3 [(« + 6 + c)2 + 3(a6 + bc + ca)]3
Vì (a + h + c)2 ^ 3(ab + be + ca) ta suy ra

(a + b + <■)■'

1 ^

p

» P (i + t + c )y = 8 ( ,.tĨ /+ ^ <đpcm)'

V í dụ 2.10. Giả sử a, b, c, X ,}) là những số thực dương, chứng m inh rằng

^

(bx + cy

(cx

+

ay)3

{ax + by)3 ^

> -_____ —— --- (2.7)

^ (x + y)3(ab

+

bc

+

ca)

C ác bài g iá im vé bất đẳng thức B u n h ia cỏ p x k i 87

Giải
Ta có

a4 ị'1

c4

a3(bx

+ q/)3 +

b3(cx

+

ay

)3 (^(crr +

by)3

Á p dụng bất đ ẳn g thức (2.4) ta suy ra

^ (a + ò + c)4 ^ 9(aò +

bc + ca)2

(x + y)3(nb

+

bc

+ ca)3 (x +

y)3{ab + bc + ca)3

(đpcm).

(x +

y){ab + bc + ca)

V í dụ 2.11. Giả sử

a, b, c

là những số thực dương, chứng minh rằng

a

b

c

(ò + 2c)3 (c + 2o)3 (a + 26)3 ^ 3

(ab

+

bc + ca)

Giải

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

88 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g , N g u y ễ n N g ọ c T h in g

Ví d ụ 2.12. G iả sử a, b, c là những sô' thực dương, chứng m in h rằng

a b c 9

b^(c + a ) 3 a 3(ò + c)3 (a2 + ò2)3 ^ (a + b) 3( a b + bc + ca)

Giải

Áp dụng bất đẳng thức (2.7) với

X = a, y = b.

Ví dụ 2.13. Giả sử a,

b,

c là những sô' thực dương, chứng minh rằng

1 1 1 1 1 1 1 1

a5(6 + c)2 + b5(c + a)2 + à{a + b)2 * 8 (ã + b + c ’ {abcỴ

Giải

Ta có

J_ 1 1

^

a2(b + c)2 ^ bĩ (c +a)2 ^ c2(a + b)2

Áp dụng bất đẳng thức (2.3) ta suy ra

,1 1 1.3

p

> (fl + 6 + c } = + te t ca) = 1 1 1 1 1

[2(aò + bc +

ca)]2

8

(abc)3

8 a

b

c (abcy

DẠNG HỆ QUẢ 3.

</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

7^ vA

E"=1

y/bi

Báì lánu thức (2.8) suy ra trực tiếp từ bất đẳng thức (2.1) khi thay bj bởi

y/ĩĩi Sau dây chúng ta xét một sỏ ví dụ áp dụng.

Vi (Ụ 2.14. Giả sử (I. b, ( là n h ữ n g sô thực dương, chứng m in h rằng

Các bài giân u về bất c!ổrm thức ỉìu n h ia cỏ p x k i 89

V^“ S + ' ' V r r 2 7 + , y

... - , a + b + c

I — a

c +

2« - /3

G iải

Ta C)

p = a 2 b2 c 2

s /ã Ụ i + 2 6 ) \ J b {b + 2 c) c ị c + 2 0 )

Áp cụne bất đảng thức (2.8) ta thu được

r ^ ( a + b + c ) 2 ^ (a + b + c ) 2

/

^

r.

... ....7 ... ... - = ---—....

^

ÕỊã + 2 6 ) + \ / ò ( / j + 2 c ) + y / c ( e 4- 2 0 ) / ( a + 6 + c ) 2

3 V - 3

a + 6 + c

^ p ^ — -ụ=-— (đpcm).

Ví cụ 2.15. G iả sử a, 6, c là những số thực dưcfng, chứng m in h rằng

p _

a2

b2

C2

a +

b

+ c

y/Ịã + ò )( a + c) ^ /( 6 + c)(ò + o) i / ( c + a ) ( c + 6) ^ 2

Giải

Áp (Ịing bất đảng thức (2.8) ta thu được

p > ______________ (ạ + 6 + c)2___________________ >

+ c) + \/(fr + c)(6 -t- ữ) (c + fc)

(a 4- b + e)2

o 2 + Ir + c 2 + 3 ( a b 4-

be

+ ca)

</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

---9 0 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ c T h ẳ n g

Suy ra

p > __________

(a + b +

c)2__________ >

^ f l + ^ + c

> __________ (ạ + b + c)2__________, : : ■■:■= =

& p >

---

-

</div>
(93)<div class='page_container' data-page=93>

BÀI TẬP

Các bài giản g về bát danu 111 ức B u n h iacôp xk i

Bài 1 Giả sử u , b , ( l à nhiíi sơ thực dương, chứng m i n h rằng

p a ' J.* '... ° 2

:>

{a + I) + c ) ị

<yĩ) + 2 (■ x / c + 2(1 \ / n + 2Ĩ) 3

Bài 2. Giả sử a ,b ,c là những số thực dương, chứng m inh rằng

ạ 2 i f _ c2 9

b2(b + c ) c2(c + a ) a 2 ( a + b ) ^ 2( a + b + c )

p =

Bài 3. Giả sử «,,

I), £ fí+,

chứng minh rằng

V '

(Ế

h

1

h'

(E I L iv ^ )2'

Bài ỉ. Giả sử a ,b ,c là những sô thực dương, chứng minh rằng

a3 63 c3 (a +

b +

c)2

— --- - Ị - --- - Ị - --- --- ,

b + 2 c c + 2 a a + 2b 27

Bùi 5. Giả sử a , 6, c là những số thực dương, chứng minh rằng

a6 ò6 c6 a + 6 + c

63(6 + c)2

c^(c

+

à)2

a3(a + 6)2 ^ 4

Bùi >. Giả sử ữ ,b ,c là những số thực dưofng, chứng minh rằng

a 3 b3 c3 27

- fc3(a + ò)2 + c3^ + c )2 + a 3(c + a ) 2 ^ 4 (a + 6 + c )2 '

B ài 1. Giả sử a , 6 , c là những sô thực dương, chứng minh rằng

p = (6 + c)2 + (c + a)2 + (a + ỉ))2 ^ 4(a + 6 + c)'

</div>
(94)<div class='page_container' data-page=94>

9 2 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ c T h ắ n g

Bài 9. Giả sử

ãị

R+, bị e R +

(i

= 1,

n),

chứng minh rằng
,4

n ^ U b i

Bài 10. Giả sử a, 6, c ỉà những số thực dương, chúng minh rằng

2

b

+ 3c 2c +

3a

2a + 3b

5

+ ~ ~ ~ ~ — I---- i

~-Q + 26 + 3c 6 *f* 2c + 3a c *f- 2fl ■+• 36 2
Bài 11. Giả sử

a, b, c

là những số thực dương, chúng minh rằng

ab

bc

ca

a + ỉ> + c

+ 7— = - + --- <

ữ + 26

b

■+■ 2 c c + 2a

Bài 12. Giả sử a, 6, c là những số thực dương, chứng minh rằng
a'

+

b3

+

a + b + c

a2

+ 3ÒC ố 2 + 3ca c2 4- 3 a 6

Bài 13. Giả sử

a,

6, c là những số thực dương, chứng minh rầng

p

= a' + 63 +

b?(c + a) + abc

c?(a + b) + abc

a?(b + c) + abc

Bài 14. Giả sử a, 6, c là những số thực dương, chúng minh rằng

p =

a4

b*

c4

bc(2a?

+

bc)

ca(262 + ca)

ab(2c2

+ a6)

Bài 15. Giả sử

a, b, c

là những

số

thực dương, chúng minh rằng

p =

a‘

+

b2

+

b2

+ c2 +

bc

c2 + á2 + ca

a2

+

b2

+

ab

</div>
(95)<div class='page_container' data-page=95>

C ác bài g iả n g vé bất đẳng thức B u nhiacôpxki 9 3

Bai 17. Giả s ử a , G I V , b t £ /?'

(i =

1, n), chứng minh rằng

Bài 18. Giả sử a, 6, c là những số thực dương, chứng minh rằng

p a i bỉ c§ (a + 6 4- c)2

\/6* + c2 + bc \/c2 + a2 + ca v^a2 + 62 4- aò

LỜI GIẢI

Bài 1.

Áp dụng bất đẳng thức (2.1) ta thu được

p >

(a + b + c)'

\/ b

+ 2 c + v^c + 2(1+ + 26
J o + 6+ £ = _ (a + 6 + c)!

3 ^ / ( a + ò + c) 3 ^

Bài 2.

Áp dụng bất đẳng thức (2.1) ta thu được

,a

b

c .,

^ ^ - ề X

> ^

\

---7 (đpcm).

2(o +

b

-Ị- c) 2(a -|- 6 + c)

Bài 3.
Ta có

</div>
(96)<div class='page_container' data-page=96>

9 4 N g u y ễ n V ũ L ư ơng, N g u y ê n N g ọ c Thắnsg

Bài 4.

Áp dụng bài 3 ta có

p > (q + ò + c)3 > (ạ + 6 4- c)3

^ (y/b + 2c + a/c + 2a + v/a + 2 Ò ) 2 ^ 3(3(a + 6 + c))2

<=>

p

^ ~ ~ 27+ ^ (đpcm).

Bài 5
Ta có

p =

Áp dụng bài 3 ta nhận được

á2

b2

(?. o

/T +

b

+ 7T

o c a

a 2

b2

c2 ..

( y )3 ộ 3 ( ^ ) 3

(6 + c)2 + (c + a)2 + (a 4- ò)2

(a + 6 + c)3 _ a +

b + c

Bài 6.
Ta có

p = (

(ữ -i

Áp dụng bài 3 ta nhận được

4(a

+ b + c)2

4(a + ò + c)2

( | ) 3 ộ 3 ộ 3

( a + 6 )2 + (c + 6 ) 2 + ( a + c)2

/ a & C . ,

X + - + - 3 27

o c a >

t l

[2(a + 6 + c)]2 ^ 4(a + 6 + c)2

Bài 7.
Ta có

a3 63 c3

a2(6 + c)2 +

b2(c + a)2 + c2(a + b)2

Áp dụng bài 3 ta nhận được

D ^

(a + b + c)3

^

(a + b +

c)3 9

ểA

_ x

</div>
(97)<div class='page_container' data-page=97>

Cat bài g iản g VC bất clang thức B u n h ia cô p x k i ___ 95

Áp dụng (2.5) ta có

t=i 1=1 v ' Í=1

1

1=1

(dpon,.
t r b> n £ , = 1 bi

Bài 9.

Áp jụ n g (2.6) ta có

( p . ) ‘ Ht=i ị w1=1 v . </ĩ'1 i i y <- 1=1ị ai ị1=1 b‘ K

<=>

Ễ M S Ổ

( đ p c m ) '

Bài 10.

Bất đẳng thức trên tương đương với

26 "f" 3c 2c 3a 2ữ -t- 3b 5

- 1 + 7 . ■ õ - 1 + . --- -- - 1 < ^ - 3
íI -f- 2b -|- 3 c b -f- 2c -f- 3(I c •+■

2ữ

+ 36 2

a b c 1

(1 -f 26 4“ 3c b -f- 2c 4“ 3íi c 4“ 2rt 4" 36 2

a2 b2 c2 1

^ á 2 + 2aò + 3

ac

62 + 2bc + 3òa c2+ 2ca + 3c6 ^ 2
Theo (2.1) ta có

p ^

_______ (q + fr + c)2_______ (ạ + 6 + c)2 = 1

^ (n + b + c ) 2 + 3(«í> 4- bc + r a ) ^ (a + b + c)2 + ( a + b + c )2 2

Bài 11.

Bíít lẳng thức tương đương với

ab a be b ca c a + b + c a + b + c

</div>
(98)<div class='page_container' data-page=98>

9 6 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g , N g u y ễ n N g ọ c T h ế n g

_ a 2 b2 c2 a + b + c

<3 p = ---—---1----—---ị--- — -- >

a + 2b b + 2c c + 2 a

Ta có

( a + 6 + c ) 2 a - f f e + c ,

3 ( đ p c m > '

Bài 12.

Áp dụng bài 3 và

( \ / a 2 + 3ÒC + + 3ca + \/c 2 + 3afe)2 < 3[(a + 6 + c)2 + aò + òc + ơa]
ta nhận được

(fl + b 4- c ) 3 _________ (ạ -h b + c ) 3_________

3[(fl + b + c y + ab + bc + ca] ** 3Ị(a + + c)2 + 1 (a + 6 + e)2i]

ó

Bài 13.
Ta có

(a + 6 + c ) 3 ^ 3 (a ò + be + c a ) ( a + - f c)
^ 3[a2(6 + c) + 62(c + a) + c2(a + 6) + 3afrc]

Ta có

p > _______________ (fl + 6 + c ) 3_______________ (ạ 4- 6 + c )3 _
^ 3[a2(ò + c) + ỏ2(c + a ) + c2(a + 6) + 3a6c] ^ (a + b + c )3' *

Bài 14.

Ta có

(a + ị + c)4 ^ 9(aò + bc + ca)2 
(a + b + c ) 4

4- b2c2 + c2a 2 4- 2abc(a + 4- c))

(a + 6 + c ) 4

</div>
(99)<div class='page_container' data-page=99>

Các bài g iả n g về bất đ ẳ n e thức B u n h iacôp xk i 9 7

Hài 15.
lìi có

p =

a

a

u

c

(IP

+ a 2 ) - f

(Ihe b(c2

(I2)

(Ihr c(a1

I)2)

cibc

Suy ra

(a + b + c)3
Vi

Suy ra

^ 3[a(b2 + a 2) + b(c2+ a 2) + c(a2 + Ò2) + 3a6c]

(a + b + c) :i ^ 3 (a + 6 + c)(ttfr + be + cn)
^ 3[a(62 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 +

b2)

+

3a.be]

_ (a + Ò + c)3

(° + 6 + c)3 = 1 < d p c m ) '
Bài 16.

Ta CÓ

a 2

+ b2 + b2 {a + 2 b)

X y y x + 2 y

b2

+ C2 + c2 (b + 2 c ):
y y y y + 2 z

c2

+ a 2 + a 2 (c 2a)

-y X X z + 2 x

Cộng vế với v ế ba bất đ ẳ n g thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứng
m inh.

Bài 17.

</div>
(100)<div class='page_container' data-page=100>

9 8 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ễn N g ọ c T h in g

Bài 18.
Ta có

p

aa

n

V^3a62 + 3ac2 +

3abc

ò3 c3

+

^3 òc2 + 3 òa2 + 3

ãbc

v^ca2 + 3cò2 T 3a6c
Suy ra

p

>

ý 3

(a + b +

c):

3[v^3aò2 + 3ac2 + 3a6c +

\/3bc2

+ 3òa2 + 3aòc +

^3cã?

+ 3cò2 -+- cafc)c]

^ _ £ . > (q + 6 + c)3

^ 3 g ^ 3 a (ò 2 + c2) + + a2) + 3c(a2 + ò2) + 9aòc

(a + 6 + c)3 (a + 6 + c)2

(a + 6 + c) P s ' 3 ^ (dpcm)'

^ 3

</div>
(101)<div class='page_container' data-page=101>

C á i bài liia n ti VC Hat ttani: ihii'i B u n lr i , i k,

3 Bát đẳng thức tam giiic

T r o m phần n à y c IÚU1ÌỊ la (rình k i \ mót plurơi ;> pl‘;;ip c h ứ n g m in h và x â y
ciựrụ c á c dạng m ỏ rộ nu cua hãi d.uu! th ú ' 'am ụi.úc.

V í ] ụ 3.1. C h ú n i t ỉ m i n l i r ằ n ụ

p

-\

n tỉ

Ẻ « ? + J Ẻ ' Í

1=1

\

1=1

(ỉiai

ỉ

\ / S (,<

\ 1

Ta íó

n .) ĩ ỉ n

(

ai(ai

+

hi

+ cỉ)) — zL/^

(°1

^

Cị}

1=1 1-1 1-1

r r

71
(a, + b, + Cị ) < .

P i

T ư c n g tự ta thu đ ư ợ c

n n

Ỵ ^ b t{at +bt +ct)<

Y^lr

t=i \ 1= 11 \ > 1

lì

vM " i + b i + Ci)2

3 s c i ( a i + bt + Cj) < t~ • I 2_^

1=1 \ í - I \j i -• 1

Cộrg v ế với vê' các bất đảng thức trên ta thu được

(a, + ì), + (■,)- <

Ì2

1=1

\

11 í T ì í / " \

</div>
(102)<div class='page_container' data-page=102>

100 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ c T h ắ n g

<=>

p

^ +

b'

+ c’)2- 
N i=1

Ví dụ 3.2. VỚI

a, b, c

là những số thực dương, chứng minh rằng

\ / 5 a 2 + b2 — 2ab + ựbb2 + c2 — 2be + \ / 5 c 2 + a 2 — 2ca ^ 2 ( a +• ị 4- r).

Giải
Ta có

v/2 • \ / 5 a 2 + b2 - 2nb = y /(ã + 6)2 + (3 a - 6)2 ^ \ / 2 ( 2 n )

\/5a2 + b2—

2ab

^ 2a
Tương tự

V5Ò2 + c2 — 2bẽ ^ 26
\/5c2 + a2 — 2ca ỉ? 2c

Cộng vế với vế bất đẳng thức trên chúng ta thu được bất dẳng thức cần 
chứng minh.

Ví dụ 3.3. Với

a

, 6, c là những số thực dương, chứng minh rằng

V ĩ

+ a2 + ò2 + v T T P T c * + \ / l + c2 + a2 ^ \/9 + 2(a 4- 6 +- c)2.

Giải
Ta có

(3 +

a(a + b + c) + b(a + b +

c))2 < (1 +

n2

+

b

2)(9 + 2(tt

+- b

-H c)2) 
Suy ra

3 + (« + b)((ì + b 4- c) 5: \/ l + 0^ + 6^ • \/9 + 2(o + 6-1- c)^
Tương tự có

</div>
(103)<div class='page_container' data-page=103>

Các bài giảnụ VC bất đ ả n g thức B u n h ia cô p x k i 101
•') f {<■ + + l> + (') < \ / T ĩ r T i r • \ / ỹ + 2(17 + b + c)

Cộim vê với vế các bất đ ẳ n g thức trên ta thu được

V 1 + (I + I)2 + V l + I)2 + c~ + \ / ĩ + c 2 + (ì2 ^

^ \ f (J 4- 2(fl + b + c)2 (đpcm).

Xét trường hựp mở rộng

Ví (lụ 3.4. Giả sử ( i i , b t ,Ci G / ? + (i = 1, n), chứng m inh rằng

\ í

11 n n n

£ « ? + ỉ E ‘ỉ + ; E ' ? í ỉ £ ( “• + * » + c-)3

ir 1 \ 1=1 \ t=l \ , = 1

Giải

Ta có

n 3 n 3

( £ rtj(ữi + ò, + ct)2 íiị + b2 + Ci)((ii + bt + Cị)^ <

i—1 1—1

n 71

< ^ ^ 2 i a i + b ị + C j)3 )

t=l i=l

Suy ra

n n n 2

Ỵ 2 a Ả (h + b i + C ị ỷ < ? Ỵ 2 a t ( ] C ( a « + b i + c *)3 ) 3

i=l \ j=l 1=1

Tương tự

Tì n / n

b i(rt, + 6, + c,)2 < ■Ị + Cj):

1=1 \ i=i V t=i

n Tì / n

Ciifli + 6« + c,)2 < “ • Ị ^ ( a , + 6, -f C i )

1=1

\ i=l

V t=l

</div>
(104)<div class='page_container' data-page=104>

102 N g u y ền V ũ Lưưng, N g u y ễ n N g ọ c T h á ig

Ví dụ 3.5. Giả

sử at,bt,c,

G

R+

(i = 1, r ỉ ) , chứng minh rằng

\

Ê « ỉ + i Í 2 b ỉ +

t=a \ i=a

\

I=a

Giải

\

+ b t + C j ) 4

i=a

Áp dụng (2.6) ta có

n 4 n n

( £ ữị(ữi + bi + C j ) ^ £ H a ? ( £ < * + b' + c*)4)

1=1 1=1 i=l

Suy ra

71 n n

+ Ci)3 < ^ a t ( + c>)4)

i=l \ 1=1 i=l

Tương tự

n n n

^ ^ bi{cii ~ị~ bị Cị) 5Í \ X ] ^ ^ +Ci)4)

i=l \ i=l i=l

n n n 3

Ciifti + + Ci)3 < * c? ^ + bi + c,)4)

t=l \ <=1 i=l

Cộng vế với vế bất đẳng thức trẽn ta nhận được bất đảng thức cần chinig 
minh.

Ví dụ 3.6. Giả sử

a, b

, c là những sô' thực dương, chứng minh rầng

</div>
(105)<div class='page_container' data-page=105>

(ỉiái

Tit l ó

(1 ■ 5“ -f (I(a f- I) f ■ i ' (1 -Ị- ( I ')( - 1 f (<I -f" b T ( ' ) ' * ) ~

<=✓19 + <i(d 1) -r c)~ < sfl ~+ <t \27 + (a + b + c)*)5

Tương tự

1 ã 9 + lớ(ô + I) + (•)■’ < <ỵ 1 + ĩr*(27 + (a + b + c ) 3)s

1 • 9 4-

(

ị

((

i "t~

l>

4~ <■/ V l + í"'(2í +

(o

+

b

+ (')*)■*

Cộníĩ vé với vê ba bất đánu thức trên ta thu được bất dảníĩ thức cần chứng

m i n h .

Ví d ụ 3.7. G iã sử a j) .c là những sổ thực dương, chứng m inh rằng

\ f \ + + b' + < / T + h ' + r ' + \ / \ + r ' + (T* ^ ^ 8 1 + 2 ( « + ĩ) + c Ỵ .

Giải
Ta có

(1 • 3:1 +a(a + b + c )3 + b(a + b + e)'5) 1 < (1 + « ' + ò 4)(81 + 2 ( a + 6 + c )4)3

Suy ra

1 • 3 ' + (a + b)(n + ỉ) + e ):l < \íĩ~+ 7Ĩ' + />1 (81 4- 2 (n + b + c )4)<

Tương tự ta có

1 • 3J +

(b + c)(a

+

b

+

c f

< \/l + //' T f'1 (81 + 2(a + 6 + c)4)<
1 • 3J + (c +

a)(a + b + c f < \il + ?

+ ^(81

+ 2(a + b +

c)4)f
Cộng VC với vế ba bất đẳng thức trên ta thu dược bất đẳng thức cần chứng 
minh.

V í d ụ 3.8. G iả sử (1,1). c là những sỏ thực dương, chứní; m inh rằng

p = - v V + <A + 7V ữ T ã * + - s i ^ T h * > 9 + (a + b + c)2.

n I) c

</div>
(106)<div class='page_container' data-page=106>

104 N g u y ễ n V ũ L ương, N g u y ê n N g ọ c T h in g

Giải
Ta có

p “ ' / l

+ ầ + v1 + ế + v1 + ^

Suy ra

/ /

(p'

d

2 ủ2\ 2

---p ^ Y 9 + ^---- í- ——I— ^ \/9 + (a + ò -i- c)^ (đpcm).

Ví dụ 3.9. Giả sử

a, b

, c là những sô' thực dương, chứng minh rằng

p

= T-i—

ự(b +

c)2 + a4 H---- ỉ— \ / ( c + a)2 + k4 +

0

+ c

c + a

— y / Ị ã + ò ) 2 + c 4 ^ \ / 9 + ^(a + 6 + c)2.

a + o V 4

Giải
Ta có

P = ,I I +

— ° 4.. -- + J 1 + 4 — + 4 /1 + fJ

(ò + c )2 V (c + a )2 V (a + ồ)

Suy ra

Ắ

+ + - í - + - A ) 2 >

J o + l-{a + b + cỴ

V

VÒ4-C c + a a + 6/

V

4 V

Ví dụ 3.10. Giả sử a, 6, c là những sô' thực dương, chứng minh rằng

\ / l + a3 + \ /1 + ò3 + \ / l + c3 ^ 1 + )3+

</div>
(107)<div class='page_container' data-page=107>

( iiai

l a có

vY T Ũ H v ^ ^ - f \/T í 6s v/27+~(a + />' + òp = ự21 + {a + 2uy

Các bài £Ìáng v é bất (lãng ill ức B unhiacôpxki 105

\ / 1 + l)A 4 2 V 1 -f ( ] ^ \/-7 + (I) + 2c)3

s/l + r:ỉ 4- 2v ĩ + f/:ỉ ^ \/27 + (r 4- 2a)3

</div>
(108)<div class='page_container' data-page=108>

106 N g u y ễ n V ũ L ư ơng, N g u y ẽn N a ọ c T h i n i

BẢI TẶP

Bài 1. Giả sử

a,b,c

là những số thực dương, chứng minh rà n g

p = \ / l + a 2 + \ÍÃ + 62 4- \ / 9 + c2 ^ \ / 3 6 + (a + 6 + C;2.

Bài 2. Giả sử a, 6, c là những số thực dương, chứng minh rằng

p = y / l + ( a 2 + 2n/6)2 + ^ / l + (ft2 4- 2 \ / c ) 2+

+ ■^1 + (c2 + 2\/S )^ ^ ' 3 \ / T + (q + 6 ■+■ c)2.

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 4. Tim giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = v ^ l + sin 6 X + v^8 + sin 6 X.

Bài 5. Gọi /ia , /ty, hc là đ ộ dài đường c a o hạ từ các đỉnh tuơ ng ứng

A,

D,c

và r là bán kính đường trịn nội tiếp A ADC. Chứng miruh rằng

Bài 6. Gọi r, R, p tương ứng là bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp
và nửa chu vi A A D C . Chứng minh rằng

y = V 1 4- sin 8 X + v^l + COS8 X.

V

Bài 7. Giả sử a ,b ,c là những số thực dương, chứn" minh rằ n g

</div>
(109)<div class='page_container' data-page=109>

Các bài g iả n g về bất đ ản g thức B u n h ia cô p x k i 107

Bài 8. Giả sử «, h. c là những sô thực dương, chứng m inh rằng

\fa- + b2 + 4ab + s/ĩ)1 \- c2 + 4 bc + n/c2 f ã 2 + 'lm < Vg(a 4- b + c)
Bài 9 Giả sử a, I), c là nhữn<z số thực dương, chứng minh ràng

p = + 2Ĩ? + 9ãb2 + \/7b:i + 2c:t + %c2+

+ v/ 7 ỡ ỉ + 2(1* + 9 r a 2 ^ \ỵ 7 8 (a + b + c ) .

Bài 10. Giả sử a, b,c là những số thực dương, chứng m inh rằng

ựb(2n - b)(2á2 + b2 - 2ab) + ực{2b - c){2b2 + C2 - 2bc)+

+ { /a (2 c — a)(2c2 + a 2 — 2ca) < a + ò + c.
LỜI GIẢI

Bài 1
Ta có

p = v / ĩ + «2 + \ / 2 2 + ồ2 + v/32 + c2 ^ v ' o + 2 + 3)2 + ( a + ò + c )2

& p ^ \ / 3 6 + (a + 6 + c )2 (đpcm).

Bài 2
Ta có

Ta có

p > \fÕ + (a2+ ò2 + c2 + ĩ ỹ a + ĩ ỹ b + 2 \ / c ) 2

b2 4" \/ỉ) -4- \ / ò ằ 36

Suy ra

Vậy

+ (? -Ị-

2\fa

-f-

2\ỉb

4- 2 \ / c ^ 3(ứ -ị- b 4- c)

</div>
(110)<div class='page_container' data-page=110>

108 N g u y ễ n V ũ L ương, N g u y ễ n N g ọ c T h á n g

Bài 3.
Ta có

y

= \ Ị ì

+ (sin2 x)4 + ^ 1 + (cos2x)4 ^ ^ / l6+ (sill2X+ COS2X 4
Suy ra

Bài 4.
Ta có

Suy ra

Vmin

=

\ / Ĩ 7 ( đạt khi sin2X = i ) .

y = ự T T ^ + 2 f 7 ( ^ f

y ^ ^/27 + (sin2

~x

+ cos2 x)3 = v^38 
(đạt khi 2 sin2X = COS2X ).

Bài 5.
Ta có

Bài 6.
Ta có

Suy ra

p = \l 1 + tg2 ệ + y ĩ + tg2 J + ^1 + tg2 J

\

9 + I t g ^ + t g ^ + t g ^ j

= J

9

+ (——~ — )2

(đpcm)

</div>
(111)<div class='page_container' data-page=111>

Các bài ạiánq v ề bất claim thức B u n h iacôp xk i

Suy ra

— +

ĩ)

+ (ã) \/3(ô + + c)

C ỏ d i 2.

T a c ó

n2 + b2 + = --(« + ị)2 + -(o — 6)2 ^ -(a + í>)2

4 4 4

Suy ra

________/õ

n/rt2 + b2 + ab ^ (ô + b)

ãL

V) thu được

p

^ ——(<ĩ + 6) +

——ịb

+ c) +——— (c -f- a) = \/3(a + 6 + c).

Á J M ^

Bài 8.

Bíít Jang thức đ ã cho tương đương với

p ^ 4 + 2 o 6 + ^ +26c+

+ V 2 + 9 + + ^ + c)

Ta C)

y + Y +

2ab =

5(a +

b f

- i( a - ò)2 < ?(a +

b)2

Suy a

^ 7 \/3 ,

Y — + — + 2ab < - y í 0 + b)
Vậy / J < v/3(a+ ò + c).

Bài ♦.

Ta co

</div>
(112)<div class='page_container' data-page=112>

110 N g u y ễ n V ũ L ương, N g u y ễ n N g ọ c T h á n g

Tương tự ta có

7 6 3 + 2c3 + 9ÒC2 ^ 2 ( 6 + c) 3 + ò3

7c3 + 2a3 + 9ca2 ^ 2(c + a)3 + c3

Suy ra

-£= ^ ^ ( a + 6)3 + a 3 + ^/(6 + c)3 + ò3 + ^ ( c + a)3 + c3

y 2

Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong ví dụ 3.4 ta thu được

ỷ/

8

{ã

b

+ c) 3 + (ữ + 6 + c) 3 = \/ỹ (a + + c)

^ 2

<=> p ^ + 6 + c) (đpcm).

Bài 10.
Ta có

6(2a — b )(2 u 2

+ I)2 — 2ab)

= (a + (a —

b)(a — (a — b))(u2 + (a - b

)2) =
=

a4 — (n — b

)4 <

ÍL4

Suy ra

ựb(2a

- ị)(2íỉ2 H ỉ,2 - 2c6) <

u

Tương tự

< /c(2ò - c)(2 6 2 + c2 - 2òc) < 6
{ /a(2c — a)(2c2 + a 2 — 2cc) < c

</div>
(113)<div class='page_container' data-page=113>

4 Dạng hằng đáng thức của Bát đẳng thức

Bunhiacơpxki

Từ hằng đáníỉ thức

[2.r t -2ịj — 4- {‘l y + 2 z — .I')2 + ( 2 z + 2 x — Ịj)2 = 9( x 2 + y 2 + z 2 ) ( 4 . 1 ) .

C h ú m ta xây dựng các bất đảng thức d ạn g hệ quả của Bất đẳnR thức
Bu-rhi-a-cop-ski .

Ví dụ 4.1. Giả sử n , b , c , x , y , z là những số thực dương, ch ứ n g m inh
rằnị:

(i.r-ịby+cz+\/(à2 + ĩĩ2 + c2)(x2 + ỉ/2 + ~z*) ^ ^(a + b + c)(x+ y+ z) (4.2)

o
Giải

Ta c j

rự.x + 2!J - z) + a( 2y + 2z — x) + b(2z + 2X — y)

=c{:.v

+ 2

y + 2 z -

3

z) + a(2y + 2z + 2x

- 3x) +

b(2z + 2x +

y -

3

y)

=2(í

+ b + c)(z

+

y + z) - 3(nx + by

+

cz)

Suy a

(2(rtf

I) + r)(x + y + z) —‘ò{ax + by + cz))2 <

9

(n2

+

b2 + c2

)

(x2

+

y2

+

z2)

(Sử cụng dans thức (4.1))

& 2(a + b + c)(x + y + z) —

3

(ax

+

by

+

cz) <

< 3s/(ỹ- + b2 + c2)(.r2 + + P )

2

<=>

~(a

4-

b

+ e)(.T

+ y + z) <

o

I)2 +

r2)(.r2 +

ý2 + :2) + nx

+

by + cz

(đpcm).

</div>
(114)<div class='page_container' data-page=114>

112 N g u y ễ n Vũ Lương, N g u y ễ n N g ọ c T h in g

Từ hằng đẳng thức

. (x + y + 2 -

t)2

+ (y + z +

t

- x ) 2 + (z +

t

+ X -

y)2+

+(t

+ x + y - z)2 = 4(x2 + y2 + z2 +

í2) (4.3)
Ta xây dựng được bất đẳng thức

Ví dụ 4.2. Giả sử

a, b, c, d

, X,

y,z,t

€

R,

chứng minh rằng

(ax + by + CZ

+

dt) + ự(ã?

+ ỉ)2 + c2 + rf2)(x2 + ỉ/2 + 22 + í2) £

> ^(a + 6 + c + d)(a: +

y

+

z + t)

(4.4)

Giải
Ta có

p = d(x + y + z - t ) + a(y + z + t - x ) + b(z + t + x - y ) + c(t+x + i — z)

Suy ra

p

=

d(x + y + z + t —2t)+ a(y +

z

+ 1 +

X

— 2x)-¥

+b(z

+ t

+

X + y —

2y)

+ c ( t + X + y +

z — 2z)

p =

(a + 6 + c +

d)(x + y + z + t) —

(ax

+

by + cz + dt)

Suy ra

p 2

< 4 (o2 + 62 + c2 + ư2)(x2 +

y2 + z2 + t2)

(Sử dụng bất đẳng thức (4.3))

ự

(tt2 + 62 + c2 +

d2)(x2

+

y2

+

z2

-f

t

2) + (ax + fry +- C2 + <£) ^

^ ^(a + 6 + c + d)(x 4-

y + z

+

1)

(đpcm).

</div>
(115)<div class='page_container' data-page=115>

Vi <iu 4.3. Già sử (I.l).clà nluìne sô thực dương, chứng minh ràng

r z

~

...

r

2 1 1 1

i + J (á2

+ 62 + c-)(~2 + - i

+ -~)

>

rA +

<•)(- +

J +

-).

V (I2 li c2 3 a b c

iia i

Sử tiinu hất đẳng thức (4.2) với :r = y = 7 , ' =

n b c

Ví ểụ 4.4. Giả sử (1,1), c là những số thực dương, chứng m inh rằng

Các bài tỉiảng về bất đáng thức B u n h iacôp xk i 113

3 X (b2 + c2 + l)(a2 + 2) ^ 4 + (6 + c)(2a + 1) — a.

Giải

Sử cụng bft't đảng thức (4.2) trong đó

X = y = ì, z = a 
a = b, b = c , c = 1

ta tlu được

b+ c - a+ (b2 + c2 + 1)(2 + a2) > ^(6 + c + 1)(2 + à)

Ỏ

3v/(62 + c2 + l)(a2 + 2) ^ 4 + (6 + c)(2a + 1) - a 
Đẳn» thức xảy ra khi và chỉ khi

a

= b

= c

= 1.

Ví tụ 4.5. Giả sử

a,b,

c là những số thực dương, chứng minh rằng

v V ' + 2)(&2 + 2) + ự ĩ ỹ + 2)(c2 + 2) + v/(c2 + 2)(rt2 + 2) ^

^ ~(íĩ + /> + c) — ~{(ib + òc + Cữ) + 2.

o o

Giải

</div>
(116)<div class='page_container' data-page=116>

114 N g u y ền V ũ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ t T h i n s

ta nhận được

X = b, y — z = 1

3 \ / (ữ^ + 2) (ĨÃ 4- 2) ^ 4 ( a "hỉ*) — ob ■+ 2

Tương tự ta có

3 v/( 6 2 + 2 )( c 2 + 2) ^ 4(6 + c) - bc + 2

3 \/(c2 + 2)(a2 + 2) ^ 4(c + a)

— ca

4-2

</div>
(117)<div class='page_container' data-page=117>

B À I T Ậ P

C á c b à i gi arm VC hất ( l a n g t h ú c B i i n h i í i c õ p x k i

Bai 1 Giả sử <•;,/; là những sơ thực đương, chứng minh rằng

'àự(2a'2 + \ ){2Ĩ>’ + 1) ^ 2ab + l(a + 6) - 1

Bai 2. Chứng m inh ràng

2 s k + K + ầ ) + r + " 2 * c ‘ ) [ k + 4 + f t p >

Bai 3. Giả sử a ,b ,c là những sô thực dương, chứng m inh rằng
3 + 2 y/(3íz^ + 1)(3Ò“ + 1) + 2\J{ ‘Ab“ + l)(3c^ -t- 1) +

+2 \ J (3c2 + l)(3 a 2 + 1) ^ 3(cib+ bc+ Cũ) + G((Z + b c)

LỜI GIẢI

Bài I.

Sử dụnỉg bất đẳng thức (4.2) với

n = b = a, c = 1

X = y = b, z = 1

ta nhậm dược

2a b + 1 + V Ĩ 2 ã 2 + l)(2ft2 + 1) ^ ~(2a + 1)(26 + 1)

o

^ 3 x / ( 2 a 2 + 1)(2/)'2 + 1) ^ 2ab + 4 (a + 6) - 1 (đpcm).

B à i 2.

Áp dụnig bất đẳng thức (4.2) với X = /ì„, 1J = /ỉb, z = h c ta có

j 77" + T~ + \ / (°2 + +

c2)(j2

■+■ 7T ^

</div>
(118)<div class='page_container' data-page=118>

116 N g u y ễ n Vũ Lương, N g u y ễ n N g ọ c T h á n g

,

1 1 1

^

^{a + b + c)(j- + J- + T-)

3 h a hị, h c

Sử dụng đẳng thức

J_ J_ J_ _ i

h a hị, h c r

ta thu được

2s(4 +4 +4)+\/(aĩ+i’2+c2)(ẩ +4 +4)> 3?

<đp'm)

Bài 3.

Áp dụng bất đẳng thức (4.4) với

a = b = c,d =

X = y — z = b, t — l

ta nhận được

1 + 2 ( 3 a 2 -j- 1)(362 “I" 1) ^ 3aò -j- 3(fl + ị)

Tương tự ta có

1 + 2\/(3ò2 + l)(3c2 + 1) ^ 36c + 3(6 + c)

1 ■+■ 2 (3c2 •+■ l)(3 a 2 "1“ 1) ^ 3ca + 3(c H- ữ)

</div>
(119)<div class='page_container' data-page=119>

5 Sử (lụng coII

54

thức tính tổng hữu hạn trong

Bát đảng thức Bimhiacopski

IVoríi bài giáng này chúnu ta sứ thum cúc cõng thức tính tone hữu hạn
và bít đáng thức Bunliiacopski xáy dựnu mọt sỏ ciạnu bất dáng thức.

Ví (Ụ 5.1. G iả sử a, 6 / r (/ 0, lì), chím 2 minh rằng

ì( ■) n

r - ± ị > l £ ° l

I tì 71 I - 0

71!

tron: đ ó C'n = - 7j-ị là số tố hợp chập / của tặp hợp gồm n phn t.

('ô ã iii

z

ã

Ta C) công t h ứ c

C ác bài g ià n ẹ vé bất đáii!' líiuv B unhiaẽpxki 117

ĩì

£ c ; , = 2"

1-0

suy a

n n o n 9 rì

( ĩ > ) * t ế - ± c i

i = 0 2—0 V L 71 1=0 n ị=()

~ r

± ề > ( ị 4 « * “ *>■

1=0 " 1=0

Ví dJ 5.2. G iả sử a, € R + (i = 0, n), chứng minh rằng

ỳ v

'A

s

->“•)’

•

i( ỉ + 1)0' + 2) n(n + 1 )(// + 2)(n + 3 ) '

ỉiai

ĩa k' hiệu

S' = V lịị 4- 1)(/ + 2) = 1 • 2 • 3 + 2 • ■ 1 +■ ■ ■ • +- n(n + l ) ( r r + 2)

</div>
(120)<div class='page_container' data-page=120>

118 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ẻ n N g ọ c TTắrg

S

3!

T , = c ỉ + c ỉ + c ' ỉ + - + c 3

n+2

Áp dụng công thức 
ta thu được

Suy ra

s

=

Ta có

£ _ r » -1 = r * = (n + 3)(re + 2)(n + l)n

gl n-f3 n+3 4Ị

(n + 3)(n + 2)(n + l)n

<

_ a? n(n + l)(n + 2)(n + 3)

= è í *(* + 1W + 2) *

Suy ra i

" a,2 4( E r = i a»)

^ i(i + l)(i

+ 2) ' n(n

+ l)(n + 2)(n + 3)
Ví dụ 5.3. Chứng minh rằng

„ 1 1 1 1

= 2 + 3 + 4 ' 1 *" n + ĩ <
Giải

Ta có

r>2 / 1 1 1 1 \ 2 ^ 1 1 1 \

p, “ ( 2 + 3 + 4 + " ' + ^ t t ) - " ( ả + ề + " ' + ( ĩ T ĩ ỹ )

Ta có

</div>
(121)<div class='page_container' data-page=121>

Suy ra

P1 < n ( l - ị + ị - - 4...f --- ) = n ( l ----l— ) < n

V 2 2 3 n 1 1 +1 / v n + \

Suy ra p < ựrĩ. (đpcm).

Vi dụ 5.4. Chứntỉ minh rằng

p — —T + —J + • • • + ---3 <c V2/I.

21 3 *

{n + \)i

Các bài g iả n g vé bất (lắng ill ức B unhiacõpxki 119

Ta có

Giải

/ 1 1 1 \

p

^

71

( ~T “I--- T + • • • H---

J

)

V2Ì 35 (n + 1) 2 /

1 1 _________ Ị________

(Ả,' + 1)2(/1 + 1)

\/k

\J~k(k

+ 1) •

\/k

+ 1
Suy ra

1 ________1_______ ____________ 1__________

2(k

4* 1)2

\ỵk(k

+ 1) • 2v/ A' + 1

k{k

+ l)(v/A: + 1 +
Suy ra

1 >/fc + 1 - >/Ê _ J _ _ 1

2(/c + 1)2 \J A'(Ả' 4-1) \/Ã! \ /f c + T

Suy ra

n2 . o _ / 1 1 1 1 1 1 \

r ^

2

71 ( —— —

—-=. H---— —

—

— +••••+■ —p= —

—

)

v / ĩ > / 2 y/2 n / 3 \ / n > / n + 1 /

p2 < 2n(l - -7= L = ) < 2n o

p

<

ựĩĩi

(đpcm).
V n + 1

Ví dụ 55. Giả sử X i

€ R+ (i

= 0,n), chứng minh rằng

£1 X‘2 £3

+ 7--- “ T--- Õ + 7--- ^ ---Õ + --- +
1 + 1 + x\ + x \ 1 + x\ + x \ + X3

x t

</div>
(122)<div class='page_container' data-page=122>

120 N g u y ễ n V ũ L ương, N g u y ễ n N g ọ c T lnắng

Giải

Ta có

, ° ° ’ x n

( ĩ ^ ) , + ( ĩ ^

) , + - + (

1 + Xị + • • • + x%

Ta có

(

xk

Y

_______________

xị

________________

\ 1 + Xj + • • • + / (1 + X? + • • • + )(1 + Xị + • • • -*-

x ị)

_______ Ị_________________ 1

< 1 + x \ H--- + x \_ x 1 + X ị H--- h X2

k

( —Ĩ 1

— I < ....

ĩ i

.- = 1 - _ J _

\ 1 + X j/ 1(1 + Z ị)

\ +

x

\

Suy ra

p2 < n (1 - H b ? + ĩ T ĩ f 1 + x\ + x ị

1________________1 N

+ \ + x \ + • • ■ X 1n _ x 1 + X j H ---h x ị /

4^ p 2 < n i l — ---5— --- r ì < n <=> p < \/n (đpcm).

V 1 + x ị H---\- x ị j
Ví dụ 5.6. Chứng minh rằng

™ 1 1 1 \ /2n+1 — 1 \ 2

C? - ( 1 + é + Ể + ' + ( ^ T 7 ) 0 > ( - ^ r ) '
Ở đây C* là số tổ hợp chập

k

của tập hợp gồm

TI

phần tử.

Giải

Ta có

n r*k 1 n o rí 4-1 _ 1

E

k + 1

L ĩi

n + _ 1 y - r^’*1n+ì = 71+ 1

</div>
(123)<div class='page_container' data-page=123>

Các bài giang vé bát íl.uụ.! íhnv Bunhiacỏpxki

li) có

( I : ./•)"( ỉ I r ) " (1 ị- , r f '

ki)

li)

/ - 0

Đổim nhất hệ số bậc C • . ỉ) ờ hai vê của đánu thức ta thu dượcc •

n „ = (":<:: + d,c;: ' + --- + C X

::

= + ( O 1’ + •' - + )■’

Ta có

Suy ra

/ "

( 'h

N ■> " " 1

( ± r h ) í ỳ < y ỳ

k=0

k—

k—0

/ 9 « + 1 _ Ị \ 2 _ ” 1

« — < ^ . X ; < F r i > ’

A - 0

c

:

ỉ

" Y .

ẹ j ì

f > ( n + n

(dpcm)

</div>
(124)<div class='page_container' data-page=124>

122 N g u y ễ n V ũ L ương, N g u y ễ n N g ọ c Tlhcing

BÀI TẬP

Bài 1. Giả sử

at

6

R {i —

1,

n)

thoả mãn đẳng thức
2 n —1

] P ( a i+i - at)2 = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

p —

( f l n + l + f ln + 2 + • • • + 02n) — (^1 +

Ũ2

+ • • • + a n ) .
Bài 2. Giả sử X i

e R+

(i = 1, n;

n >

2) thoả mãn đẳng thức

p = (f l 2 n — 0.n ) + (a2n- l — + --- h ( « n + l — Ol)

Đặt 6, = ai+1 — dị (i = 1 , 2 n — 1) ta có

a 2n — a n = a 2n — f l 2 n - l + f l 2 n - l + f l 2 n - 2 + ---H ữ^ + l ~ <a v
= f>2n-l + hn-2 + ---1- b„

« 2 n - l - O n - 1 = & 2 n - 2 + f>2n-3 + ----h ỉ > n - l

Qn + 1 - f l l = + f r n - l + • • • +

Chứng minh rằng

LỜI GIẢI
Bài 1.

</div>
(125)<div class='page_container' data-page=125>

Các bài giánu về bất đầnti thức B u n h ia cô p x k i 123

S u y a

l ‘ — ì)),, I :(+ ' ■ ■ + n/>,|-I-(/ỉ — 1 )ịr, _ I + (/í — 2)ịri_2+ 20-2

Víìy

I ’ — />| 4 '21 h — ■ ■ ■ + lib,, + ( n — 1 )bn + 1 + ( n — 2 ) b n+2 + • • • + 26-2,1 -2 +^2n.1

Áp (ting bất bất đảng thức Bu-nhi-a-cop-ski ta có

P" 1 ( l “ + 2 “ — • • - + ( n —1) “ + ■ / ) “ + ( « —1) 2 + - ■ - + 2 “ + l “ ) ( ò | + 6 2 + - • ’ + Ủ 2 n - i )

rhe( giả thiết ta có 1 l>ỉ —

1-Suy a

P2 < 2(124-22H--- Hn2) —n 2 = /i(rt + l)(2/ỉ + 1) 2

3 n

n ( 2 n 2 + 1)

Dấu lẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

b

j . = h

1 2

^2n-2 _ ^2n-l

2 “ 1

^1 = ^ 2 n - l = t

&2 = b'ỉn—2 = 2 í

íuy r;

</div>
(126)<div class='page_container' data-page=126>

124 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ c T h ắ n g

Bài 2
Ta có

£ ( | + | - 2)2 =

1 < i< j< n 3 1

_ £ ( 4 + 4 - 4 * 1 - 4 3 + 6 )

£m m m ^ fỴ*+0 7 7* / T ' .
\< i< j< n J 1 J

= ( p ỉ ) ( ị ^ - i p ò ( ị ề ) + 3 n

1=1 i=l * 1=1 i=l

Áp dụng bất bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-ski ta có
£ ( ĩ í + ĩ í _ 2) ^

l ì é í s . x < n ( n - . l )

Suy ra

( ẻ * 0 ( Ẻ Ậ ) > » 2 + 4 + S ( S 3 1 )

ị±=l t = l 1 v 7

Đẳng thức không xảy ra vì khi Xi =

x2 =

• • • =

xn

thì

ỉ > £ ^ n * + 1

i = l j = l *

Vậy ta có

</div>
(127)<div class='page_container' data-page=127>

(đpcm)-Các bài g iả n g về bất claim thức B u n h ia cô p x k i 125

6

Bất đảng thức Bunhiacôpxki và một sô dạng

bát đẳng thức chứa căn thức

Một sỏ bất đảng thức chứa căn thức có thê sử d ụ n g bất đáng thức d ạng
trung bình hoặc bất đẳng thức Bunhiacôpxki đê chứng minh.

Ví dụ (IMO 2001). Giả sử

n,b,c

là những số thực dương chứng minh

rằne

b c

ĩ } —

—~

r

-■■■•.= ■+■ —. = 4" —, = ^ 1 •
\J a 2 + 8bẽ \/b2 + 8 ca \ị<? + sãĩ)

Giải

Cách 1 (Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ).

Ta có

p a2 ị2 c2

y/ã ■ \ Jrt(n2 + 8be) Vĩ) ■ y/JW~+8ca) c ■ \ J(c2 ■+• 8ãb)

Suy ra

p (a + b + c)2 _ (a + b + c )2

^

a\/ã?

+ 86c +

b\/b'2

+ 8ra +

C

a

/ c2

+

8Õb

s

i r o n g đ ó s = a s / á 2 4- 8bc + by/b2 + 8cã + C \ /c 2 - f 8ab.
Ta có

s 2 = (\/ã\/a(«2 + 8be) + \/b\/b{b? + 8ca) + \/c\/c(c2 +

Sab))

< (a + b +

c)(a3 + 63 + c3 + 24

abc)

Ta CÓ

(a + b +

c)3 = a3 + ft3 + c3 + 3(a 4-

b)(b

+ c)(c + a)

^ a3 + ft3 + c3 + 24a6c

Suy ra

“S'2 < (a +

b

+ c)4

&

s

< (a + 6 + c)2

Vậy

p >

= 1 (dpcm).

</div>
(128)<div class='page_container' data-page=128>

126 N g u y ễ n V ũ L ư ơng, N g u y ễ n N g ọ c T h á n g

Suy ra

Cách 2 (Sử dụng bất đ ản g thức trung bình).
Ta có

(a3 + b * + C*)2 — (a s)2 = (a'3 + a* + b* + c*)(b* + t'3)

m à

a* + a* + ỉ>3 + C* ^ 4a»Ò303

_ 4 4 , 2 2

65 + C3 ^ 2ỈPC3

. 4 4 ầ \ 0 / ỉ \ o 2 ,

(«3 -f P + cẳ) — (aâ) ^ 8aófcc

ãô> (a* + 03 -f C*)2 ^ (a*)2 + 8ơ ị b c ^ 03(a2 + 8ịc)

<í=> 03 + 03 +

Ặ

oS

\/a2 + 86c

, 1

1 a ẳ

\/a2 + 86c as + 03 -f- C3

C

L

a

3 ,

I — ^ ^ --- - (6.1)

v a J + O0C a 3 -f- 0 3 - f C3

Tương tự ta thu được

6 > fe 3

\/ò2 + 8ra 0 3 4- 6» + C3

(6.2)

w = , > -7— 4 ---- r (6.3)

v r 4- 8

ab

03+63 + cỉ

C ộ n g v ế với vế các bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thiức c ầ n
chứng minh.

Từ hai cách giải trên ta nhận thấy khi chúng ta ch ứ n g minh CẾC íbait
đẳn g thức dạng căn thức thì sử dụ n g bất đảng thức Bunhiacôpxki Itiện ích
hơn nhiều.

Ví dụ 6.2 (China 2004). G iả sử a , b, c là những sô thực dương., chiứng
m inh rằn?

a b c 3

p — -I— - ... -I— —■ < .

</div>
(129)<div class='page_container' data-page=129>

'iic 'ùn g i á n g VC bất d a n g thứ c B u n h i a c ơ p x k i 127
(ìiái
ra C(

lr

)

(ỉ~

+ < 3

1 +

a

r2

v/2

Dăt ./

I ■2

i)

(l

Õ..V

c

ĩĩ2 ' - ta thu được bài toán tương đươ ng sau

iiá sử ,r, 'Ị. z > 0 ,XIJZ — 1, chứng minh rằng

1 1 1 / 3

I

— —....— = -f- —7=... = H----7= = 5: —7= •

V 1 + \ / ĩ + Ị/2 \/l + c2

Chôrg giam tổng quát, giả sứ ; ^ 1, suy ra x y < 1 ta có

1 2

— -— — H--- <

---1 + X 2 1 -f- y 2 1 + x y

„ 2 + (x2 + I/2) < 2

1 + X2 + .í/2 + x 2y2 ~ 1 + x y

& ‘l + 2./-Ỉ/ + (.r2 + y 2) + x y ( x 2 + IJ2) < 2 + 2(.r2 + y2) + 2x 2y 2
o (-r2 + / ) U - - n / ) + 2xy(j-Ịj - 1 ) 2 0

•í=-(] - r y ) ( x - y ) 2 'ĩì 0 (Hiển nhiên đúng vì x y < ì)

Hiy ri

- ...+ —- == < 2\

VTT .r2 x / ĩ + y 2 '

vậy ti có

1 1

1 + X 2 f 1 + ịi~ < 2
V1 +

x v

2 1

/ 5; —7 = 1 "I" —7"" =

V ĩ T T ỹ s / T T z ' i

2 1

</div>
(130)<div class='page_container' data-page=130>

ựz

t

1_
- Z'

Ta có

128___________________ _________ N g u y ê n V ũ L ư ơ n g, N g u y ẻ n N g ọ c Tháng

p <

7 = + - = = „

ự z T ĩ

v T T - 2

1 + 2 ^ ^(2 + 1) <=> —=====

<

2 \ / l + 22 2 + 1

Suy ra

p ^ ‘l y f z y/2 2 y /z ( z + 1) + \ / 2 V ^ 2 ( \ / 2 2 ( 2 -ị- 1) 4 1)

\/z + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1

Suy ra

\/2

/1z

+ 2 + 1 \

y/2

3

(z

+ 1 ) 3

F S I T ĩ ( 2 ^ + 1) = Ĩ T Ĩ ' 2 < * “ *

Đẳng thức xảy ra khi X =

y — z

= 1.

Từ bất đẳng thức trên ta có thể mở rộng và thu được các bất đảnị thúc
sau đây:

Ví dụ

6.3.

Giả sử

a

^ 6 ^ c > 0, chứng minh rằng

_

a b c < 3

Giải

Trước hết chúng ta chứng minh bất đẳng thức trung gian sau:
Giả s ử a ^ b ^ c ^ d > 0 , chứng minh rằng

M ~

v/õr T F +

ự v T ẻ

+ v'c3 + d3 + V ^ T Õ5 ~

\/ĩ

\F+Ĩ \F+Ỉ

b

c

d

a

Đăt X = —, y = T, z = —,t = T ừ điểu kiên thứ tư ta nh ân đưoc

a

b

c

d

</div>
(131)<div class='page_container' data-page=131>

Các bài g iả n g về bất đẳng thức B u n h iacôp xk i 129

1 1 1 1 4

~ w + r > +

f

+ v'TTr* + s /Ĩ T Ì5

1/2

Vì 0 < X , y, z < 1 ta có

‘ + ' + 1 < _ _ L _ (6.4)

1 + X 3 1 + ỉ / :ì 1 + z 3 1 + X Ỉ /2

1 1 1 1 4

ỉỉ

— --- - + --- T 4* --- r + --- —-- 5Í ---

~---1 + x ỏ 1 + y :i 1 + z á 1 + x y z 1 4- x y z

ĩa có

2 2 4

^ ~ 1 + ( x ỉ / ) 3/ 2 1 + z 3/ 2 ( x y z y / 2 ~ 1 + z y z ( p ° )

Suy ra

1 1 1

<

___1___ 1 1

\ / l 4- X3 ự \ + y3 v/m 3

< 3 \ 1 + X3

l + yz

1 + 23 Ị - ^

r ừ các bất đẳng thức (6.4),(6.5) ta suy ra

thu dược

1 1 1 3

v ' T T z 5 + ự \ + lý + ^ 1 + 23 ~ ^ 1 + x ỹ z

3 1 _ 3^7 1

Ạ/ < 1- —— = ——---1- —— 
- 3 r T t f T T F y m V Ĩ T P

Ta có

1 + í3 j 2 ( L + Í ) 3 = » ( l + í ) 3

„ ^ r n ĩ s l + Ị «. — L = < - i i

\/4 \ / l 4* í 3

t

+ 1

Suy ra

ý ĩ _

3\/t(t

+ l)2 + \/4

i i i < - - = = 2 z + — — — = --- ---

</div>
(132)<div class='page_container' data-page=132>

130 N g u y ễ n V ũ L ư ơng, N g u y ẽ n N g ọ c T háng

Vì

ự t(t + l)t = ~ ự 2 t ( t +

1)2 <

^ 1

2t + t + l + t + ĩ _

4t + 2

# 2 ' 3 ~ ự ì ' 3

Suy ra

■„ (4£ + 2) +

W ^ ^ 2 1 4Í + 4 4

M < - i —--- = —=. • — -— = —y= (đpcm)
í + 1

V2 t + ì

ự2

Áp dụng bất đẳng thức trung gian khi cho

c

=

d

ta thu được

s/a3 +

b3

w

+ c3 \ /2c* ý c3 + a3 ~~ \/2

* ĩ é r P + ỹ ĩ k ĩ i + w k r > - ề

<đpcm|-Bây giờ chúng ta xét một số bất đảng thức có điều kiện.

Ví dụ 6.4. Giả sử X ,

y,

z là những số thực dương thoả mãn
y z X

£ + r + 1 = 3.

X

y

z

Chứng minh rằng

\/2x

-

y + Ự ĩ ỹ - Ĩ

+

ự2z

- X

<

\/3(.T

+ y + z).

</div>
(133)<div class='page_container' data-page=133>

/ / -

I - 1'

—

I/

- !-</

~

r- i - z ~ J' \ 2

y v r \J 7 “ + V u ỹ Ị... + V ' Y — I J — 'K-' + fj + ~)

- > y / •}."/• ~ !J + y 2 / / - c + \ / ' l z - X < y / ĩ i ị . r + II + z ) ( d p c m ) .

Vi (II 6.5. Ciiả sir r. //, £ là nh ữ n c số thực dương thoá mãn các điều kiện

__1 1 1

^ —z. - '2tj. I/ '£j 2 . r . — ~f" — -Ị- ~ — 3 .

./•

y z

Chứta minh rằng

ự ĩ x

- ỹ + v/2,y - 2 + V 2^ - ,f < v/9(xịị/ + i/c + zĩ).

Giải
ĩa C )

Car hài tiiàng VC hut dang thức Bunhiacổpxki 131

2.r — ?/ 2/y — z 2z — X 1 1 1

--- £ + Z1L--- -- 4- _ = L + L + 1 = 3

./// y z z x X y z

Ta co

(ự 2 x - y + ự 2 y - z + \J2~Z - x f =

< 3(.r?y + IJZ + :.r)3

y ĩ r — ;íý + ( /2ỉ/ — 2 4- s /2c — J' < \ / 9 (./'(/ + yz + 2.ĩ;) (đpcm),

Ví di 6.6. Giả sử r, y, z là nhữní’ số thực dương thoả mãn điều kiện

1 1 _ J _ _ 3

J + 1 y + 1 2 + 1 2 I

t

:hiứig minh ràng

/3 9

</div>
(134)<div class='page_container' data-page=134>

132 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ c T h ắn g

Giải
Ta có

X y z n . 1 1 1 . 3

+ —- 7 + —TT = 3 - ( — TT + — TT + r ) =

x + \

y +

1 2 + 1

x + l

y

+ 1

z

+ 1 2
Ta có

( ự ĩ + ự ỹ + ự ĩ ?

= ( ' / ĩ + ĩ v ^ + ' ^ T Ĩ \ / y + i + '/7T Ĩ V ĩ ? ' )

3

< 2(z + y + 2 + 3)
Suy ra

v/z + \/ỹ + \ / z < y ^ ( z + y + 2) + ;j

Wp01")-Ví dụ 6.7. Giả sử

a,

6, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thoả mãn

a

b

c

3

7 - + —--- - + —---- =

b + c

c + a

a + b

2
Chứng minh rằng

p

=

Va + b — c

4-

Vb + c — a

+

ực

+

ã

— 6 < \/3(a +

b+

c).

Giải
Ta có

a + b —c

b + c —a

c + a —b

_ 2 3 _ 3

a + b

6 + c

c + a

2 2

Suy ra _______ _______ _______

(\/a + 6 — c + \/b + c -

a

+ v/c + a — 6)2 =

í /— TT /a + 6 — c /, /6 + c - a /—-— / c - f a - 6 \ J

< 2(a + 6 + c)^

</div>
(135)<div class='page_container' data-page=135>

Các bài g iả n g vể bất đang thức B u n h ia cô p x k i 133

BÀI TẬP

Bai 1. Chứng minh rằng với a j ) , c là các cạnh, p là nửa chu vi và r là
bán kính đường trịn nội tiếp A A D C ta có

1 - 1 1

J v

— :---1--- :---1-:— <

YJL

yjp — ã y/p — b \fp c r

Bài 2. Chứng minh rằng với A, B , c là các góc của A A B C ta có

/ A ũ D ;

c

1 C

; A ^ 
p = ư t g ị sin I + J t g I sin ~ + J t g | s in ‘ị <

^

A

D

c

< \ / C O S ---1- C O S ---1- COS — .

V 2 2 2

Bài 3. Giả sử

a

^ 6 ^ c > 0, chứng minh rằng

a b c 3

w + ~ W T à +

w

Bài 4. Giả sử

n

^

b

^ c > 0, chứng minh rằng

b

c

3 . ^ _

—/ _ = —7 = “1“ —7=... —= ^ —7= (tỉ ^ 2).

< / F T c " Á/c" + a ” y 2

Bài 5. Chứng minh rằng

/■* = \ fĩ ĩ a + "í" \Z~hb~~^ h c + \ / / i c + /i(j < \/ĩĩã h b ~t~ h b h c +

</div>
(136)<div class='page_container' data-page=136>

134 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ c T h ắ n g

LỜI GIẢI

Bài 1.
Ta có

1 1 1 1

--- ---1--- ---1--- --- = __
(.p - a ) { p - b ) ( p - b ) ( p — c ) ( p — c ) ( p — a ) r2

Suy ra

( v ỹ + '(/) - 6)(p - c )

+ v ĩ r r 5 . / í „ - l „ _ „ 0 \ f ( p - c)(p - a ) - v ' h

Suy ra

1 , 1 , 1 ^ \/P (đpcm).

Bài 2.
Ta có

„2 /

I A

D

I B

r~ D ~ ~ C

I c*

p = ( y lK 2 tg 2 V 2 + v tg 2 tg 2 v 008 2 +

Suy ra

I

/1\ 2

+ V t g 2 t g 2 V COS2)

„1

.

A

B

c s

p < l ( c o s — + COS — + COS — )

éL ém*

, ~ Ã

ã —C .

<=> -P < \ / c o s — + COS — + COS — (đpcm).

</div>
(137)<div class='page_container' data-page=137>

Các bài gLiniỉ vê hát tlánt! Iliức B un h iacõp xk i 135

Hai 3

l a c h i m e m i n h b ấ t đ ả n g t h ứ c t n i n í i u i a n s a u :c CT1 C- c?

Giá sứ II I) ^ ( ^ (I ^ < ..> 0, chứng minh rằne

I’ (I b

s/a^+ b'

~ỹb' T c ]

1 n/ữĩ + í/ 1

(I

(

■)

v/7/> +'r' ^ 1 + u' \/2

í/i + ^ í / i + í

f 4 ' f ĩ '

1 . _5_

, / T 7 Z ^ ^

V ^4

_ - . d c n

Đ ãt :r = y = -,z = -,t = -.11 — - ta có

(•

(ỉ

c

l) c d

a

b ' z

0 < ./•. y, - , < 1, II ^ 1 và .ryztu = 1.

1 1 1

p =
Ta có

1 1

n /ĩT t* + ỹ ĩ T P + vT+T* + +

</l

+ «■>

1 ___ Ị _ __ Ị___ 1 <

<í

\ + F y r + v v ^r+ x / TTF

< 4 \

1 1 1 1

_ | _ -- --- -- _ Ị - -- --- -- _ | _

1 + r 1 1 + Ị / 1 1 + 2'1 1 +

t4

S uy ra

1 1 1 1 4

v / ĩ T r * y 1 + ự x ỹ ĩ ĩ ? \ / ĩ + t 1 ~ \ / ĩ + x ỹ ĩ i ,

1 + -

u

T h u dược

;> < J ^ L + >

</div>
(138)<div class='page_container' data-page=138>

136 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g , N g u y ễ n N g ọ c T h in g

Ta có

^1 + u4

'ỷ

~ ( 1 +

ù)

-^8 ^ T + u * 1 + «

Suy ra

< 4 ^ 5 y/ặ 4 { / u ( u + l)3 + ^8

” v^lt + 1 u + 1 tt + 1

Ta có

Suy ra

+ 3 4 / 0

_ ^ _ 1 5 ( « + l ) .. 5

- u + 1 ^

2

' ( t t +1 ) #2 ( F

Áp dụng bất đẳng thức (6.6) với c =

d = e

ta thu được

v V + ò4 * v^ò4 -f c4 v^2 1^ 2 v^c4 + a4 v^2

v^a4 + 64 v^64 4- c4 v^c4 + a4 v^2
Bài 4.

Tương tự ví dụ 6.3 và bài tập 3 chúng ta chứng minh kết quả trung gian 
sau:

Giả sử

ai

^

a2

^

a3

^ ^ an+i > 0, chứng minh rằng

Qị 0 2 __Qn+1 > n + 1

\ / õ f + «2 \ / a 2 + a 3 > / < 7 7 + 0 ? \/2

Sau đó áp dụng bất đẳng thức trên với

</div>
(139)<div class='page_container' data-page=139>

Các b à i giả n g về bất đáng thức B u n h iacổp xk i

Bai 5.

, 1 1 1 1

Vi - suy ra

ha h b h c r

'h a + hb hị, h c h c + h n 2

h a h b h b h c h c h a r

Ta có

+ + ^ K K

2

< — (h a h b + h b h c + h ch a)

r

</div>
(140)<div class='page_container' data-page=140>

7

Phép biến đổi thuận

Trong bài giảng này c h ú n g ta trình bày một phương pháp sử d ụ n g bất

đẳng thức Bunhiacôpxki giải một sô' bất đảng thức. Khá nhiều bất đảng 
thức trong các kỳ thi quốc tế, thi vố địch các quốc gia được giải một 
cách dễ dàng bằng phương pháp mà chúng ta trình bày trong bài giảng 
này.

Phép biến đổi sử dụng biểu thức dạng

ịax

+

bụ

+

cz)2

mô tả các hiếu 
thức trong các bất đảng thức chúng ta gọi là biến đổi thuận Bunhiacỏpxki. 
Những bất đẳng thức dạng phân thức có bậc ở mẫu số lớn hơn hoặc bằng 
bậc ở tử sô' thường được chứng minh bằng phép biến đổi thuận Bunhi-

acôpxki .

I. Phương pháp giải ( biến đổi thuận Bunhiacôpxki)

1. Để tìm biểu thức xuất phát chúng ta bỏ đi những thừa số phức tạp ( 
biểu thức có phép tốn cộng). Giảm một bậc đối với thừa sô' bậc lẻ ở 
mẫu số, tăng một bậc đối với thừa sô bậc lẻ ở từ số. Khai căn bậc 2 khi 
các thừa sô' đều bậc chẵn ta thu được biểu thức xuất phát cần tìm.

2. Biểu diễn các số hạng ở biểu thức xuất phát dưới dạng tích của 
luỹ thừa ^ của từng số hạng trong bất đẳng thức và một thừa sổ.

3. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacồpxki cùng với một sô' bất đảng thức 
trung gian cần thiết.

Sau đây chúng ta xét các bài giải mẫu:

Ví dụ 7.1. Giả sử

a, b, c

là các sô' thực dương, chứng minh rằng

_ a b c 9

b~(c + fl) c2(n + b) a2(b + c) ^ 2{nb + bc + ca)
Giải

Phương pháp giải

I . Từ sô' hang — - — - ta bỏ thừa số phức tap c + a. G iảm m ôt

b 2 ( c + a )

</div>
(141)<div class='page_container' data-page=141>

Các bài u ià n c vé bãi ilánsi thức B u n h iacôp xk i

Biếu 111 ức xuất phát lá

139

2. la có

<!

ì)

I c

, \ j h + \ c

v ò

/d

I

(I r

---V

ỉ =

V

ÍFi777)

'

v*r

+ '°

[

a

x ,

troniZ đó / — —--- là cân bâc hai của môt số hang trong bất đắng thức.
y/ r ( c + a)

3. Áp d ụ n g bất đẳng thức Bunhiacơpxki ta có phương pháp giải như
sau:

a

\/b(c

+ «) +

+

a 2(6 + r)

V b2(c 4- a) v v y c2(a + 6)

y/õỊb

+ (••) j <

p • 2(ab + bc + ca)

v/c(a + b) +

^ 3 ta suy ra

2(ab + bc + ca) (đpcm)

Ví dụ 7.2. Giả sử a ,b ,c là những sô thực dương, chứng m inh rằng

p a:ìc b:ia c:ib 1 1 1 1

ò5(a + c) c*(6 + a) ^ a5(c + b) ^ 2 ab bc ca

L Từ số hạng —

1 - 2

ữ c

a

= (,5(i + I)

c rt

Giải

+

—j-— rj— bỏ thừa sô' phức tạp — I—

( - + - ) ° "

c a

(ỉ . . .. . . ...

</div>
(142)<div class='page_container' data-page=142>

140 N g u y ễ n V ũ L ư ơ ng, N g u y ễn N g ọ c T h ắ n g

2. Ta có
a

63

a

fl ~ l

T

\J b (c + a )

3. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki ta cóphương pháp giải nỉhu sau

/ a 6 c \2 /

a

/ l 1 T7

U ' + ĩã

+

ĩĩJ

- I

7TT

1 V ò( c + ã )+

V 0 c a

6 /ĨT Ĩ 17 c /17 1 I 7 \*

+ 7 7 v Ợ c a + b T ĩ ậ V Ỉ f t * ? ) í

- ‘ ao 0C ĨT + — )ca

/ a 6 c \2 / 1 1 1 \ 2

w (ẽ + l + ắ) ặu + Ể + Ể)

Suy ra

r, 1/ 1 1 1 X

p ? 2(ả + ẻ + ẩ

)-Ví dụ 7.3. Giả sử

a, b, c

là những số thục dương, chứng minh rằmg

_

a2

b2 c2

6(6 + 2c) ^ c(c + 2a) a(a + 26) ^
Giải

Ta có

(“ + 6 + c )2 = ( ^ r a v / R r f l ĩ ĩ +

7 ầ = : = 1/ c(c + 2a) -f 7= L ■ y a ( « + 2/>j)

</div>
(143)<div class='page_container' data-page=143>

Suy ra

(a + b +

c)2 <

P(ù2

+

b2

+ c2 + 2

ab

+ 2

bc

+ 2

ca)

— P(a + b +

c ) 2

<=> p ^

1 (đpcm).

Ví dụ 7.4. Giả sử a ,6, c là những số thực dương, chứng minh rằng

bc2

ca?

ab2

a2(b

+ 2c)

b2(c

+ 2a) c2(a + 26) ^

Giải
Ta có

A

1 1,2 /

í - 4- - 4- - r = I . _____
a > / a 2ò(ò + 2 c)

Các bài giảng về bất dẳní’ thức B u n h ia cô p x k i 141

( - + I + - ) 2 = ( 7= = y/q2fr(fr + 2c) +

a 6 c' \ aJa?h(h 4-2rì

H--- — .... = ..\ / b 2c ( c 4- 20) H---7 — v / c 2f l ( q + 2ò)

by/b2c(c

+ 2 a)

Cy/^ãỊã

+ 26)

Suy ra

( ---- ^ 7 “t" ~

Ý

— ( —77 77---7T T + l 4 /--- r T T T

ĩ—7---a b c

a4b(b

+ 2

c)

b4c(c +

2 a)

c^aịa

+ 26)

1 1 1 1

^ a46(6 + 2c) ^ 64c(c 4- 2a) (^ (a + 26) ^ a2ò2c2

bc2

cá2

ab2

___

^ a2(6 + 2c) + />2(c + 2a) + c2(a + 26) ^ ( pcm)'

Ví dụ 7.5. Giả sử a, 6, c là những số thực dương, chứng minh rằng

ab

bc

ca

</div>
(144)<div class='page_container' data-page=144>

142 N g u y ễ n V ũ L ư ơng, N e u y ễ n N g ọ c Thắnig

Giải
Ta có

,a

b

c.ọ

I

a

I , n

2Ĩ

ẽ ( r ứ 7 T T { * ‘ ) +

bT (v + V

CT (ị + a)

a\ c{a* + b)

Suy ra

(7 + - + - ) 2 <

p ■

(7 + - + - ) 2

p

^ 1 (đpcm).

b

c a

b c

a

Ví dụ 7.6. Giả sử

a,b,c

là những sô' thực dương, chứng minh rằmg

a

4

b

4 c4 3

b3(a

+ c) "**

c?(a

+

b)

+ a3(ị + c) ^ 2

Giải
Ta có

á 2 b2 C2 2 / ° 2 /77---\
(-7—I— - H——) = ( — ========= \ / b ( a + c )+

b

c

a

'b^b(ã +

c)

62 r2 \ 2

4*— = = \/c(fl + b) H-y- ===== ỵ/fl(fe -f- c) j < .P*2(íiị + fec4“<ctì)

c\/c(a + b

) a\/a(fc + c) '
Mặt khác ta có

Suy ra

p >

( a2

b2

c2\ 2 2
( — H---1---- )

^ (n + b + c)

\ b

c a

/

( f t +

b

+ c ) ^ 3{cib+

bc

-(- C(ỉ) 3

2(aò +

bc

+

ca) ^

(ab + bc

+

ca)

2 ^

Ví dụ 7.7. Giả sử tt, 6 , c là những số thực dương, chứng minh ràmg

a

bG

1,6 c„66 _ a ! + ò3 4- c3

</div>
(145)<div class='page_container' data-page=145>

Giải

Ta cổ

(«3 + 6:i +

CA)~

= í -

y==

..=====

s J W 2

+

(í

2) +
V s j b { c 2 + á 2)

+ ~7 , 4 r ĩ f t - v/r(n " + /r>) + v «(fr2 + c2) )
ự r ( a 2 -|-62) i / r t ^ + c2) '

Suy ra

(a;,+6:ỉ + c3)2 6(c2+ a2)+ c(a2+62)+a(ò2+ c 2)) < p.2(a3 + fc3+ c 3) 
Suy ra

E> ^ + c3

p

Ịặ --- —--- (đpcm).

C ác bài g iả n g vế bất đắng thức B u n h ia cô p x k i 143

Ví dụ 7.8 (Rumania 2004). Giả sử

a, b, c

là những sô' thực dương, chứng 
minh rằng

p =

a

b

c

27

bc(c + a).

ca(a + b)

ab(b + c) ^ 2(a + b+c)2

Giải

/

la

I b

lc

Ta có

\ =

\\J bc(c + a)

( \ í i ĩ ~ ~ r v/ẽ~ + a + \ Ị

\ c.a(a + b)

- / ^ + f r + \ / ..Y

ab(b + c)

n r ~ \ ^ + c )

)

< p • 2(fl +

b

+

c)

Ta có

Suy ra

0,1 1 lx 27

^ 3(— + 7 H— ) ^ ——

Ị---a

b

c a + b + c

27 „ 2 7

2(a + ft + c) o p ĩ?

</div>
(146)<div class='page_container' data-page=146>

144 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g , N g u y ễn N g ọ c T h ắ n g

Ví dụ 7.9 (Japan 2004). Giả sử

a, b,c

là những số thực dương thíoảmãr 
điều kiện

n

+

b

+ c = 1, chứng minh rằng

1 + a 1 + 6 1

+ c

n .b

c

a,

f 2—: +

< 2 { - + l +

- .

1 — a 1 — 6 1 — c a b c

Giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

a

26 2c

^ n,b

c

a.

3 + 7--- + —----— + —---7 s 2( — + - H— )

b + c

c + a

a + b

a b

c

r l 1 1 L f ! 1 1 r 1 1 w 3

o- a ----7---] + 6[— — —— -] + c[—--- -] ^ —

c 6 + c a c + a

b a+b

<=>p =

ab

bc

ca

3

c(b

+ c) a(c + a)

b(a

+ 6) ^ 2
Ta có

õ ĩ
c(6 + c)
2(a + 6 +

c)

Ta có bất đẳng thức

' / S T i + v S ^ ) v / i T i + v S ) v ^ ) 2 s

ab

bc

ca ^

—

H—— -+—7"

^ a + b + c

c a o

Suy ra

' ' 2

Thu được

^ 3(a + 6 + c)

3

3(íỉ + b

+ c) <

p ■ 2(a -h b

+ c) <=>

p ^

~

(đpcm).

</div>
(147)<div class='page_container' data-page=147>

Các bài g iả n g về bất dắng thức B u n h ia cơ p x k i 145

Ví dụ 7.10. G iả sử n ,b ,c là những số thực dương, chứng m inh ràng
p = _ _ L _ _ i _ _ J L _ > 36

1 + a 2 + b ^ 3 + c ' a + 6 + c + 6

Giải
ĩa c ó

36 = ( 1 + 2 + 3 ) 2 = í — --= \ / l + qH— , V2 + ÒH— ■= = = \ / 3 + C^Ị

V v / Ị T ã y/2 + b y/3T ẽ /

Suy ra

36 < P(6 -t- ữ + 6 + c)

p

^ —— —— —— — (đpcm).

U + (ứ + 0 + c)

Ví dụ 7.11. Giả sử

a, b, c >

1, chứng minh rằng

p

_ Iogb ạ | logc

b

[ loga c > 9

a + b

b + c

a + c ^

(a + b + c)

Giải

Vi a , b , c > 1 suy ra log6 a > 0, logc b > 0, loga c > 0

Ta có

(v /l°go<'+ b + \ / log6 «)

\ J ^ V b T ~ a

+

M j - y f c T k

+

b + fì V c + Ò V a + C J

b -f c)

tlàt khác

</div>
(148)<div class='page_container' data-page=148>

146 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ c T hắng

Suy ra

p > 2(a + b + c)

(đpcn,)'

Ví dụ 7.12. Giả sử O i ,«2.«3,^11 &2,&3 là những sô' thực dương, diứng

minh rằng

ữ ị b ị ^ (Ỉ2&2 0 36 3 ^ (ữi + 0.2 + CL^)(b\ -+- ỉ>2 -+■ 6 3)

d i + b \ 0 2 + 6 2 0 3 + ^ 3 d i + 0,2 + 0-3 + bi + b2 + 6 3

Giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với

O ị + 0 ] 0 2 + O2 <13 + 0 3 ( a l + a.2 + 0.3) + (bỉ + 6 2 +■ í> 3 /

Ta có

(<Zi + 02 + q3 ) 2 =

- ( /

==

r~\ / Qi + 61 + 7=-~ ^ -r~ \ / f l2 +

h

+ /— x /ã ã -H>3 )

' V ữ l + O i VCI2+ O2 V ÍI3 “h 63 "
^ (ữi + ữ2 + ữ3)(^l + &2 + 63)

+ Ỡ2 +

a3

■+* ^1 + + ^3 —

(d\

+ Ữ2 + Ỡ3)

{d\

+ Ơ2 + Ơ3 )2

<P(ữi +

0,2

+

d'Ầ

+ 61 + ỉ>2 + ^3)

^ p

> (Qi + °2 + flạ)2

flj + Íl2 + a 3 ■+■ + ^2 + ^3

</div>
(149)<div class='page_container' data-page=149>

Các bài giáng vé bất (lảng Ihức Bunhiacôpxki 147
HẢI T Ậ P

Bài 1. Già sứ I i . b. c là nhữnu số thực dư(Jng, chứng minh ràng

1 1 9 18

p = — — H--- --- 1--- — ^ --- — ---.

a + b b + c c + í/ (I + b + c

B ài 2. Giá sử a ,b ,c là nhũnig số thực dương, chứng minh rằng

J - — — — 9

ỉr (r* + n:i) c2((i:ị + //') + c3) ^ 2(a:ị + 6:ì + r ! )

Bài 3. Giả sử

n, b, c

là nhữiig sỏ thực đương, chứng minh rằng

ab

bc

ca

3

c(c + b) + a(ỉ) +

c) +

b(c

+

a) '

B ài 4. Giả sử n ,ò , c là những sô thực dương, chứng minh rằng

a2

p

= TT---- r-TT7--- r +

l>2

(b + 2c)2(c

+

a)

(c + 2a)2(a + b)

c2 1

(a +

2b)2(b + c) ^

(a + b + c)

Bài *. Giả sử

n,b,c

là những sô thực dương, chứng minh rằng

a6

bF'

c6

á2

+

1)2

+

c2

cb2(a

+

b

)

ac2(b

+

c)

bn2(c + n) "

3ài

1.

Giả sử

a, b, c

là những số thực dương, chứng minh rằng

_ r?4

b'

c4 3

b(c

+ n ) ( b + c)2

^ r(n

+ b) ( c

+ n)2 a(b

+

c)(a + b)2 ^

ỉ à i í. Giả sử (1,1), c là những số Ihực dưomg, chứng minh rằng

r

b2

c2

. a + b — c b + c — a

,

C. + a — b

4" ~7--- TT H----77--- r ^ --- :— H---:--- H

</div>
(150)<div class='page_container' data-page=150>

148 N g u y ễ n VQ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ c T h ắ n g

Bài 9. Giả sử

a,b,c

là những số thực dương, chứng minh rằng

á2

b2

c2

3 a(a —

b)

b(c

+

a)

+

c(a

+

b)

a(b + c) ^

2 (6 + c)(c +

a)

6(6 — c) c(c —

a)

(c + ũ)(o +

b)

(a + b)(b

+ c)

Bài 10. Giả sử ft,

b,c

là những số thực dương, chứng minh rằng

.

(1.0

26 2 . 2c 2 (a 4-

b

+ c)2

( H - - ^ - ) 2 + ( l + — )2 + ( l + - - ) 2 ^ 9 v 7

6 c a (aò + b c + ca)

Bài 11. Giả sử a,

b, c

là những sô' thực dương thoả mãn

a + b

-h c = 21

Chứng minh rằng

a2

b2

c2

Bài 12. Giả sử a ,6,c là những số thực dương thoả mãn

abc

= 1. Chứnị 
minh rằng

(1 + 2 ■

b + 2

e + 2

Bài 13. Giả sử

a, b, c

là những sô' thực dương, chứng minh rằng

a°

b3

c3

^ a + b-h c

p = ______I_____ I______ I______I____ >

</div>
(151)<div class='page_container' data-page=151>

C ác bài g iả n g về bất đảng thức B u n h ia cô p x k i 149

LỜI GIẢI

♦
Bài 1

Ta có

2 3

3() = (1 +2 + 3)2 =

(

—7

\/a

+

b-ị

— .—7

\/b

-+• cH— =====

\fc~~\~

(í')

V a + Ồ \Jb + c \Jc

+ a

36 ^

p

• 2(íi +

b

+ r)
18

p ^

---- -7--- (đpcm).
(I +

b -ị-

c

Bài 2.
Ta có

.«

b

c . 0

(T + - + -

o c a

2 =

— ( - = = v/c3 + a 3 4---7= = = = \ / a 3 + 4-= \/fe3 + c3)

W e 3 + a 3 C \ / a 3 + 6 3 a \ / b 3 + c 3 '

Suy ra

( ỉ + - + - ) 2 2( , + cs)

b c a

a b

c

9

Vì £ + - + - ^ 3, suy ra

p

^ — 3 "

b c

a

2 (o3 + ị3 + c3)

Bài 3.

Ta có

c(c + 6)
•

2(a + b +

c)
Ta có

\ 2 .

) ^ 3(a +

b

+ c)

Suy ra

p í2 -

(đpcm)

</div>
(152)<div class='page_container' data-page=152>

150 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ẽ n N g ọ c T h áng

Bài 4.

Ta có bất đẳậi thức

b + 2c c + 2 a a + 26
Ta có

Ị a b c \ 2

\ b + 2c c + 2a a + 26/

= ( — ... ậ --- ự c + a + ---, V a + b +
( \ / c + a)(& + 2c) (c + 2 a ) \ / ã + 6

x/T+c^
(o 4- 26)

\/{b

c)

Suy ra

1 < (r -^ — + — —T— + c ) 2 <

p ■

2 (a + 6 + c)

\ò + 2c c + 2a a 4- 26/

~

p

» 2(„ + t T c ) (đpcm)'
Bài 6.

Ta có bất đẳng thức sau

a 3 yì ơ 3 2 2

——I-1

—— ^ ữ~ -\- b

+

c

b

e

n

Ta có

/ a 3 63 C"3 \ 2 ( a3 r~--—

( b + c + a ) = ( v é r ^ v A ĩ r T Ĩ >+

V Ỉ T 7 ) + 2

^

p ■

2(ab

+

bc

+ ca)
Suy ra

(a2 +

b2

+ c2)2

ca) < p

• 2

(a2

+•

b2

-f c2)
f c

a 2 + 62 + c 2

</div>
(153)<div class='page_container' data-page=153>

Các bài eiảng vé bất đ ẳn ẹ thức Bunhiacơpxki

Bai 7.

Ta có bât dẳng thức

(I~ l r c _ n + !) + (•

H--- 1---^

b + <

■

c + (I n

+

b

Ta có

( J L +

J L +

=

(

*

... ' V ^ n õ +

\b¥c c + a a + l)J V (fe + c) ^/ỉịc + a)

r2 \

y/c(a + b} + ---- --- — — y/a{b + CM

(a +

b)y/aỊb

c)

'

b2

-f---

—J = = L

{c + a ) y / c { a + 6)
Suy ra

(a + 6 + c )2

<i=>p ^ - (dpcm). 
o

Bài 8.

Bất đảng thức đã ch o tương đương với

—— — <

p ■

2(ab + bc + ca)

4

(n + b

+ r)2 3

(ab

+

bc

+

ca)

8(nb +

bc

+

ca) ^

8

(ab

+

bc

4-

ca)

3

a2 + b2

b2

+

(?

c2 + a2

b(c

+

a)

c(a + b)

a(b

+ c)

p = TT—

--- r + 7 + 77 ---r ^ 3

Ta có

( ự a n n ? + y/ữ T c*

+

y/cíTa*)2

=

( ự é r S v ^ ) + ^ ^ õ ) +

+ ] l a ^ + c ) V /a(/> + r ) ) - R 2 ( n b + b c + c a )

Ta có

a 2 +

b2

^

~(a + b)2 => V

a2 +

b2

^ -4=(a + 6)

</div>
(154)<div class='page_container' data-page=154>

152 N g u y ễ n V ũ L ương, N g u y ễ n N g ọ c T h á n g

Suy ra

Va2 + b'2 + Vb2

+ c2 +

\fc2 +

a2 ^ v/2(a + 6 + c)

Từ đó suy ra

2(a + 6 4- c)2 <

p ■

2(ab + bc + ca)

(a + b + c)2

3{ab + bc + ca)

___

p >

t— L---— ^ - 4 — 7—--- 1 = 3 (đpcm).

ab + bc + ca

ab + bc + ca

Bài 9.

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

a2

b

2 c2 ^

b(c

+ a) c(a + ò)

a(b + c) ^

' 3 f 1 1 , ư 1_____ Ị_, _ f_ Ị_____ Ị__,

^ 2 6 + c c + a c + a a + ỉ) a + 6 6-1-c

_ a2 + b2 — ab b2 + c2 — bc

c2 + a2 - 1

ca

3

^ 6(c + a) c(a + 6) a(ỉ> + c) ^ 2

Ta có

(\/a 2

+ b2 — ab

+ v/62 + c2 — fee + \/c2 + a2 - ca)2 =

( \ Z \ | c + ã ) a i , ' /6 < C + a ) + \ / í ’ í '| a + 6 ) 6 C ' / c < a + 6 ) +

^ ---- jj— \/a(6 + c)^ <

p.2(ab + bc + ca)

Ta có

a2 +

b2 - ab

= 7(a + 6)2 + 7(a - ò)2 > ị( a + fc)2

4 4 4

\/a 2 + ò2 — aò ^ ^(a + 6)
Suy ra

ựa2 + b2 - ab

+ \/fe2 + c2 —

be

+

\/c2 + a2 — cã ^ a + b+ c

Do đó

</div>
(155)<div class='page_container' data-page=155>

1(1

I)

+ f ) 2 3

<=> p Ị> 2— ^ - (đpcm).

2{(tb f hc + ca) 2

Bài 10

J

a b c a 2 b2 c2 (a + b + c ) 2
7 4---- f — = — + 7--- h — ^ —7---- 
—---6 c

a ab

bc

ca

ab + bc + ca

2(1 ọ , 26.0 , 2 r x2 1 / a 6 C N\ 2

1 + ^ 2 + 1 + - 2 + 1 + - 2 £ ^ 3 + 2 G + - + - ^

b

c

a

3 V

b

c

a

/

Các bài giảng về bất dáng thức B u n h ia cỏ p x k i 153

> 1 Í3 t 2(a + b + cM

^ 3 V

ab

bc + ca ì

,2x 2

3 v~ '

ab + bc + ca

Suy ra ta cần phải chứng minh

2(a + I) +

c ) 2 \ 2

(a + b +

c ) 2

^ %J
Ị / 3 + 2(q +

b + c.ỵ\

3 V

<ib

+

bc

+

ca )

3 V ab + + ca / «ị + bc + ca

ÍI + 6 + c)^

ĐiU ‘ = —— 7--- ta thu đươc

t

^ 3 và

(10 + 0C +

ca

(3 + 2 0 2 ^ 27

t

4t2 -

15í + 9 ^ 0

«=>

(t

— 3)(4< — 3) ^ 0 (Hiển nhiên đúng vì

t

^ 3).
Bài 11.

Ta Cí

a ' ò 1 C‘1

p = -■>.“ . . . + -,v ^TTÕ õ +

a3 +

2a2b2

ò:ỉ + 262c2 c3 + 2c2a2 
Suy a

^ a3 4- 63 + c3 + 2(a262 + ỉ^c2 +

c2a?)

Vì n+ 6 4- c = 3 ta suy ra

a4 + ò1 + c4 (a 4- 6 + c) a3 + 63 + c3 _ a3 -I- 63 + c3

3 3 3 = 3

Bất Jẳne thức thứ tự Trebưsep)

</div>
(156)<div class='page_container' data-page=156>

154 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g , N g u y ễ n N g ọ c T h ắ n g

Suy ra

(a2 +

b2

+ c2)2

Ẩ

a4 + + c4 + 2(a262 + b2c2 + c202)

Bài 12.

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

( - 5 ĩ ĩ M * - ĩ ĩ ĩ M - £ ) > 1

ạ 6 c

^ 2 - f a " ^ 2 + 6 2 + c ^

Vì abc

=

1 suy ra có tổn tại những sô' thực dương x , y , z cho sao

a =

6 = c = - và bất đẳng thức cần chứng minh là

V z X

p

=

>

1 (đpcm).
Bài 13.

Ta có

~ X y

2

p — ______ Ị. y > I

X

+ 2

y y +

2z

z + 2x

X

2 ỉ/2 22

+ a ---- - + - s - r~ — ^

X

2 + 2;ry y2 + 2ỉ/2

z2

+

2zx

_________

{ x _ + y + j f

________

(;

X

2 +

y2 + z2)

+ 2

(xy + yz + zx)

4 64 c4

a

p =

-=---r:--- TT + Tí----;T • •-.•-■X +

a3 4-

á2b

+

ab2

ò3 4-

b2c + bc2

c3 + c2*! + ca2

Suy ra

( a 2 + 62 + c2)2 _ n2 4- b2 + c2 > 1 (« + /-»+ c )

(rt + 6 “h c)(ữ^ 4" 4" C")

(I

•+■

b

-t~

c

3 íi + í) -t- 'C

_ rt +

b

+ c

</div>
(157)<div class='page_container' data-page=157>

Các bài giảng về bất dẳng thức Bunhiacôpxki 155

8 Phép biến đổi nghịch Bunhiacôpxki

Biếr đổi một bất đẳng thức đưa về sử dụng dạng hệ quả của bất đẳng 
thức Bunhiacôpxki

( b , e R + , i = T J r ĩ )

(8.1)

i=i «=1 1 1=1

dưự: gọi là phép biến dổi nghịch Bunhiacỏpxki .

Thực chất một bất đ ả n g thức đã giải được nhờ phép biến đổi thuận 
thì cũng giải được bằng phép biến đổi nghịch và ngược lại. Nhưng tuỳ 
thec dạng bất đẳng thức mà chúng ta sử dụng các phép biến đổi thích 
hựp Trong bài giảng này chúng ta quan tâm nhiều hơn đến các dạng bài 
toár cực trị khi a, là các hằng số hay những dạng mà khi dùng phép biến 
đổi nghịch sẽ ngắn gọn và đơn giản.

I. Phương pháp giải

1. Tiêm các hằng

số

vào từng sô hạng của bất đẳng thức để có thể rút 
tổtnị

(n + b + c)

hay một biểu thức đối xứng làm thừa số chung.

2. Sử dụng hệ quả (8.1) tìm cực trị.

Sau đây chúng ta xét một số ví dụ minh hoạ:

V í ểụ 8.1 (M.S.Klamkin). Giả sử p, <7, r, X, y, 2 là những số thực không 
âm, chứng minh rằng

M - —

—

X2

H---—

y2

H---- —

z2

^

xy

+

yz

+

zx — \ ( x 2

+

y2

+

z2).

q + r r + p p + q 2

Giải
Ta có

N —

( p j l + X2) + + ý 1) + + z 2) - ( x 2 + y 2 + z 2)

q + r r + p p + q

2 2 2

<=> M = (p + q + z ) ( - - + + — — ) - (z 2 + y 2 + z2)

</div>
(158)<div class='page_container' data-page=158>

156 N g u y ễ n V ũ L ư ơ ng, N g u y ễ n N g ọ c T h á n g

Ta có

M = K ( , + r ) + ( r + í ’ ) + ( p + , ) ) ( ĩ T ; + ^ + ? f ĩ ) _ < : c 2 + ! ' i + l 2 )
Áp dụng bất đảng thức (8.1) ta thu được

M ^ ^{x + y + z)2 - (x2 + y 2 + z 2) = (xy + y z + zx) - ị ( x 2 + ý ỉ 4 z 2)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

V

= <7 =

r

y + z — x x + z — y x + y — z

Ví dụ 8.2. Với

a,b,c

là độ dài 3 cạnh của một tam giác,

x , y ,z

€

R.

Chứng minh rằng

ax2

by

2

cz2

p =

-

--- + —-—-7 +

— ~ r — ^ x y + y z + z x .

b + c —a

c + a —b

a + 0

—c

Giải
Ta có

p

(

ax2

1 * M (

^ I y2ì .
p = (f t T ^ + 2 ) + (^ r r & + 2 )+

cz2

z2

X2

y2

Z2.

+( ĩ ĩ b ^ c +

2 ) _ ( 2 + 2 + 2>

^ 2 ^ 2 ^ 2

p = (a + b

+

c)

[ K 2 + — 2— T + V - 1 - ỉ ( z 2 + y 2 + 2:2)

b + c —

a

c + a —6

a + b —

CJ 2

r ị * 2 o y 2 -

2

p = ((6 + c -a )+ (c + a -6 )+ (a + & -c )) —-2--- - 4 2 1 2
Lo + c — a6 + c — a c + a — 6 a + 6 - <c.
^0r2 + y2 + 22)

Suy ra

</div>
(159)<div class='page_container' data-page=159>

Các bài g iả n g về bất đ ẳn g thức B im h ia cô p x k i 157

Ví dụ 8.3. Giả sử

<

1

.

b, <■là những sô thực dương, hãy tìm giá trị nhỏ nhất 
cùa biểu thức

'Ằn

4

b

5

c

— 7--- 1---7 + ~ --- 7 •

b

+ c c +

a

n +

b 
Giải

Ta có

p =

+ 3) + (— + 4) +

(—

+ 5) - 12

b + c

c + a

a + b '

p = (a + b + C ) ( J - + — + — J - 12

b + c

c + a

a + b

p = ị[(6 + c) + (c + a) + (a + í,

)

]

+ J L +

-Suy ra (áp dụng bất đẳng thức (8.1))

p ỷ {V

3 -f 2 + \/5 )2 — 12 và dấu đẳng thức đạt được khi

b + c _ c + a _ a + b

7 T “ ~~2 ~

~ Ụ f '

VậyPmtn=:(v/3 + 2 + v/5)2 - 1 2 .

Ví dụ 8.4. Giả sử

a, b, c

là những sơ' thực dương, hãy tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức

„ 3

bc

4

ca

bab

p = -Ị- — - +

1 1 1 _

Đạt c = y = - , 2 = - ta thu được

a b

c

a( b + c)

b(c

+

a

) c ( a + ò)

Giải

P = _ Ẽ Ĩ _ + - Ì L . + 5z

y

+ z

z +

X x + y
Và có pmm = (v /3 + 2 + \/5)2 - 12 (Xem ví dụ 8.3).

</div>
(160)<div class='page_container' data-page=160>

158 N g u y ễ n V ũ L ương, N g u y ễ n N g ọ c T h ắ n g

Ta có

^

<*«»>.

»=1 1=1 v w» Ĩ=1 » «=1

Ví dụ 8.5. Giả sử a, 6,

c

là những số thực dương, hãy tìm giá trị nhỏ nhá? 
của biểu thức

16c 54

a

128

b

8 c2 27a2 6462

p = ——r 4- r—- + —— + 7~ ■ ~.\o + 7T-— +

a + 6 6 + c c 4- a (a + 6)2 (6 + c)2 (c +

a)2

Giải

„ ro 16c 8c2 . . 54

a

27a2 ,

p = f 8 + r ^ + ( i T ^ l+|27+ ^

+ (M^5|+

1286 646s . „ „

+ | 6 4 + + ( ^ p 1 - (8 + 2 7 + M )

t * P = ( a + Ì + c)2(( Ĩ T Ĩ ) ĩ + ( Ĩ T Ĩ ) ĩ + ( Ĩ T Ĩ ỹ ) - 99

P = i ( ( o + 6) + (ò+c) + ( c + a))2( ^ ĩ55 + ĩ ĩ ^ 5 + ĩ^ Ị ) - 9)

Áp dụng bất đẳng thức (8.2) ta suy ra

p >

|( 2 + 3 + 4)3 - 99 = ~

rvi ^ 8 27 64

Đầng thức xảy ra khi ---7 = -—— = —— .

a + b

b + c

c + a

vạy

pm,n

= ^ .

4

Ví dụ 8.6. Giả sử

a, b, c

là các số thực thoả mãn điéu kiên

í

a2

+

ab + b2

= 3, 
ị b 2 +

bc + c2 =

16.

</div>
(161)<div class='page_container' data-page=161>

(ỉiâi

Các bài u iá n g về bất chum ỉhức H u n h iacỏp xki 159

Ta có

48 --- (<I2 + (li) f l r ) ( l r + bc + (?) =

(II + - +

v

■)'

.1

Suy ra

/

b \/ĩịr

(■ s/sb\2

18 ^ ^((/ + - ) - ỳ +■

'ị

<í;:r> 18 ^ ~ {h~ l)(‘ C(i)~ 4* b c ~j~ C(1 ^ 8 .

Ví dụ 8.7. Giá sử

a,b,c,(Ị

là các sô thực dương thoả mãn điều kiện

dhiiì = I, chứng minh rằng

(1 + « 2 ) ( 1 + 6 2 ) ( 1 + <■'“ ) ( 1 + (í2) ĩ í (n + b + c + í / ) 2 .

Giải

Vì = 1 suy ra có tồn tại 2 số

I), d

(không giảm tổng quát) sao cho 
chúng cùng lớn hơn hoặc bằng 1 hoãc cùng nhỏ hơn hoặc bằng 1.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki ta có

( l + rt2) ( l + ò 2) ( l + c 2) ( l + r f 2) = ( l + r t 2 + ò2 + a 2ò2)(c2+ l + đ 2 + c 2ư2) ^

^ (lc + aỉ + bd + abaỉ)2 = (c 4- a + bd + l)2

Đê chứng minh bất đẳng thức đã cho đúng ta cẩn chứng minh

c

"t" 4"

bd

4" 1

^ n,

b -ị- c -ị~ d

b(ỉ

-+- 1

'ỳ b

“I"

d

</div>
(162)<div class='page_container' data-page=162>

160 N g u y ễ n V ũ L ư ơ ng, N g u y ễ n N gọc T h ắ n g

BÀI TẬP

Bài 1 . Giả sử

a, b, c

là độ dài 3 cạnh của một tam giác, a + í) + f = ]. 
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

_ a 6

c

+ T---

X

---S +

1 +

b2

+

c2

1 + c2 + a2 1 +

a2

4-

b2

Bài 2. Chứng minh rằng

5 1 1 9 1 1

6 (p — a ) 2 (p — b)2 8 (p — c)2 ^ r 2

Trong đó

a, b,

c là các cạnh,

p

là nửa chu vi ,

r

là bán kính đường trịi
nội tiếp của một tam giác.

Bài 3. Giả sử o, fe, c là những số thực dửơng, tìm giá trị nhỏ rahít cỉa 
biểu thức

p =

3 (c-fe) 4 ( a - c ) 5(6- ạ )

26 +

ữ

b

+ 2

c

c

+ 2a

*

LỜI GIẢI

Bài 1
Ta có

P(a(

1

+ b2 + c

2) + b(1 + c2 +

á2)

+ c(l + a2

+

b2))

^

a

z

( I/ ! + (,2 + ự V (! + & + <?)“+

+ ' / 1 + c 2 + a2V/ (l + C2 + «2)í’+

</div>
(163)<div class='page_container' data-page=163>

C ác bài g iả n g vể bất đả nu thức B u n h ia cô p x k i 161

Suy ra

( í t + b+ (")- 1

^ 1 -f nb(a + b) + br(b + r) + cn(c + rt) 1 + nb(n + b) + bc(b + c) + ca(c + n)
Ta có bất đảng thức

(n + b — r ) ( b + c —

n)(c

+ a — b) < nb c

Vì

a + b + c —

1 suy ra

(1 - 2a)(l - 26)(1 - 2c) <

abc

Ta có

Suy ra

ab + bc + ca <

- +

-abc.

4 4

Q — ab(a

+

b)

+

bc(b

+

c)

+

co(c + n

)
=

ab(

1 — c) + òr(l —

a)

+ ca(l —

b)

— ab + bc + cu — 'Ầabc

1 9 1 3 1

Q <

- +

-nbc —

3nbc

= — a.be <

-4 4 4 4 4

1
Dấu dắng thức xảy ra khi

a =

0,

b

=

c =

ềmề

1 4

Vậy

p >

— í-y =

-

" x+

5

4 1

Suy ra

Pinin =

- đat khi

a —

0,

b

= c =

5 2

Bài 2

Ta có đảníỊ thức

1 1 1 _ 1

iỉ> ~ a )(p -b

) (

p - b ) ( p - c ) (p - c)(p - a) ~ r2

Áp dung kết quả ở VI dụ 8.1, với

</div>
(164)<div class='page_container' data-page=164>

162 N g u y ẽ n V ũ L ương, N g u y ễ n N g ọ c T h á n g

1 1 1

X

=

— — ,y

= ——7 ,- = —

p — a p — b p — c

ta thu dược

1 I I 1 5 1

3 (p — a)2 + 2 (p - b)2 + 8 (p - r )2

_ _ L ____ ________ ỉ ____ \

^ r'2 2 V (p — à) 2 (p — b)2 (p — c )2 )

5 1 ĩ 9 1 j_

^ 6 (p — a ) 2 (p — b)2 8 (p — c)2 ' r 2

Đẳng thức xảy ra khi

3 4

1 1 1 “ 1 1 1

7 H---_ — _ ---- 1--- _ ---~ ~ T
p — 0 p — c p — a p — a p — c p — b

5

“ 1 1 1 •

— — 1— I T T

---p — a p — b p — c

Bài 3.
Ta có

P = ( M £ ^ + 3) + ( Í Í 1 ^ -m ) + (ỉ< ^ + 5 ) - 1 2

V a + 2b ) V b + 2c / V c + 2« /

Í’ = (a + Í,+ C)( Ĩ T 2 6 + Ĩ T 2 Ĩ + Í T 2 Ĩ ) “ 12

p = i ( ( « + 26) + (6 + 2 r) + ( c + 2 n ) ) ( ^ + ^ + ĩ ^ ) - !2

p ^ ị ( v / 3 + 2 + v /5 ) 2 - 12

và dạt dấu đẳng thức khi

ữ

4-

2b

b

“H 2c c “H 2(ỉ

v/3 = 2 = v/5

Suy ra

</div>
(165)<div class='page_container' data-page=165>

9 Sư dụng bát (ỉiiiìị* thức lUinhiacôpxki xây

dựng bát đẩn^ thức có đièu kiện thứ tự

T r o r i i h à i u i á n u n à y c h ú n u tơi t r ì n h b à y p h i r c t i i ụ p h á p x â y d ự n e b ấ t đ ả n g
l tì ức t h ứ l ự k l ì ỏ t ừ c á c b ấ t i l á i m t h ứ c t h ứ t ư đ ơ n u i á n .

V í c ụ 9 . 1 . Ci i ả s ử ./• 5? // > c > 0 , c h ứ n u m i n h r ằ n ẹ

) ) ) > > >

.ru Ịj z z X ị Ị .ỉ' z ỊỊ

— + — + —

'ỷ

1 -+ + — (9.1).

c X Ị/ // ./•

C á c b à i g i a n t ! VC h ấ t clìiiií' l i n k B i m l i i a c ó p x k i 163

■iái

Bất tảnu thức đã cho tưttiiíi đương với

I •) i •> ỉ ° \ ỉ > ỉ > 1 >
/• /y + ự z + c I ^ ./• : +

Ị/

.1 + c y

& x 2y2(x - y) +

- ỊJ2)

- ;2(.r:i - //’) ^ 0

<=>(./• - y)[.r 2y 2 - z 2 ( . r + / / ’ + .;•</) + : '(./• + y ) ] ^ 0

<=>(.r - ; y)[ .r 2 (.í/2 - r ) -

z2ịj(ịi - :) - z2.r(y

- c ) ] ^ 0

<=>(r - y)(y

- z )k 2(ỉ/ + =) - ^ 0

ô=>(ã'' - //)(// - -)[//(•'■ - -■) + - ')] > 0

( H i c a n h i ê n đ ú n g ) .

Nhậi xét:

Khi :hứng min h các bat đ ã n u t h ứ c với d i ề u k i ệ n t h ứ t ự r ^ y ^ z > 0
c l ì ú r ụ t a t ì r n g b ư ớ c n h ó m các s ỏ lianti c ó c h u n u t h ừ a s ố l à X — y , s a u đ ó

</div>
(166)<div class='page_container' data-page=166>

164 N g u y ễ n V ũ L ư ơng, N g u y ễ n N g ọ c T h á n g

Ví dụ 9.2. Giả

sử

X

^ y ^ z >

0, chứng minh rằng

xy3+ yza + zx3 < x3y + y3z + Z3X

(9.2).

Giải

Bất đảng thức đã cho tương đương với

xy(y2 -

J

2) + yz(z2 - y2) + zx{x2

-

z2) <

0

<=>xy(y2 — X2 ) + y ~ ( z 2 — X 2 + X2 — y 2) +

zx(x2

- z 2 ) < 0

Oỉ/(.r2 - y2)(z - x ) + z(z2 - x 2)(y - x) < 0

<*(x - y)(x

-

z)[-y(x + y) + z(z +

x)] < 0

<*(x - y)(x

-

z)[{z2 - y2)

+

zx - yx} <

0

<=>(x —

y)(x — z){z — y)(x + y + z)

< 0 (Hiển nhiên đúng).

</div>
(167)<div class='page_container' data-page=167>

(Sử lụng bất đáng thức 9 I).

Suy r a

•? 9 >

o o •) 1 Ị/ 'ỊỊ z z X

X + y + z < - - - + — + — (đpcm).

r

Ị/

Ví (ỊI 9.4. Giả sứ ./ > Ị) ^ ' > 0, chứng minh rằng

.r;ỉỉ/ + ?y;,2 + ZAX > + ~’2.t'2 (9.4).

C ác bài g iả n g về bất tlảng thức B unhiacôpxki 165

ỉiai

Ta C)

( x V + y V + Z 2X 2 )2 =

(

xtyifiy-ạ 1 i 3 + yĩ zĩ yi z3 i i 3 2 + Z2X3 I 2 z*xĩl 3 \ 2 1

< ( x 3 y + Ỉ/3 C +

z3x){xi/

+ XJZ3 + 2 X 3 )

< { x :iy + ị/3z + 23.r)2

<=>x2y2 + í/2 í 2 + 22x2 (Sử dụng bất đẳng thức 9.2)

< £:tí/ + ỊỊ/:ỉ2 + 23x (đpcm).
Ví dJ 9.5. Giả sử X^

y

^ z > 0, chứng minh ràng

x2ịị/

y

22

2 2.r ^

— Ỳ + — f ^ -r + y + ' (9 -5 )

2 2 X2 ) /

Giải
Fa C(

</div>
(168)<div class='page_container' data-page=168>

166 N g u y ễ n V ũ L ư ơng, N ííu y ẻ n N c ọ c T h in g

Ta chứng minh bất đăng thức

2 .2 ‘2~ 2 —2 2

3 ?/ _

±

_4_ 1/2

'1

___ị___L. > _Ì1 _ị__1___L LL_2T1/ nr 2 </./;

2 2 X2 X2 y 2 z 2

Bất đẳng thức tương dương với

* v + ỉ/ . r 3 + Z4X* > :r3y 4 + Ị/324 + Z ' V

<^xyi/(x - y)

+ ỉ/V(/y

- z) + z*x:i(z - x)

^ 0

<í=>x3(,</3 - z 3 + 23)(x — y) +

y3z*(y

— z ) + z Ax ^ { z — x ) > 0

< * r 3 ( ỉ / 3 - í 3 ) ( x - y ) + 23 [ j 3 ( c - y ) + y 3 (ĩ/ - z)} ^ 0
<=>.r3(//1 - s 3 ) ( x - y ) + z* {z - ịj) {.r:i - //■*) ^ 0

<=>((/

-

c)(.r -

Ij)[r\f/2 + yz + z2) - z3(x2 + xy

+

ý 2)]

Ỉỉ 0

<&{y

-

z)(x - y)Uj2(x:i -

23) +

.ryz(x2 - z2)

+

x2z2{x - z)} ^

0

O ’Uj ~ z )( l' ~ y) ( r ~ ~)[y2(-r2 + J ~ + ~2) + . r y z ( x + z) + X2Z2] ỹ (0

(Hiển nhiên đúng).

</div>
(169)<div class='page_container' data-page=169>

la c h i m e 111 inh b á t clans: 111 ứ c

) ) ■) ) ) ‘2

II

z

./• ./• //

- r ĩ (/i ; :i ^ (y:t + + —

<=>//■’ + c'\r:ỉ + ./• ’í/1 ^ c:l + </’./•* + -'V*

<=>./■ V'C'2 — //) + ,f/! :'*(//

-

c:i.r:t(c“ — .r2) ^ 0

<=>./ '( ( / - c;; + c ’ )(.r2 - ỉ/2) + y :iz ' \ f j 2 - Z1) + : V ( : 2 - ;r2) ỉ? 0

<=>./•*(//’ - c )(.r2 - ỉ/2) + z :i[ .r \ .r 2 - ỊJ2) + / / ’(;/- - 22) + .r:,(c 2 - X2)] ^ 0

* * j \ y 3 - 2* ) ( z 2 - y 2 ) + ~ V ( - 2 - ý 1 ) + Ỉ / V - -■’ )] >

0 <*x3(y - z)(y2 + yz

+

z2){x - y){x

+

y)+

+

2 3

(ỉ/ -

ĩ){y

+

z)(y -

z)(z

+

xy + y2) ^ 0
<=>(-T - y)(y - s)[x3(x 4-

y)(y + z)2

-

x:ịyz(x

+ (/)-

; ;’(í/ + 2) ( r + í/)2 + z :ixy{y + c)] ^ 0

< * ( * -

y)(y -

- ) [ ( * +

y)(y +

' ) [ J,3(.V

+z) -

+

y)]+

r y z ( y z 2 + z 3 - X3 - x 2fj)} ^ 0

c=>(.r - y ) ( y - z) ( . r - c){(.r + ;</)(// + z) { t j(.r2 + ,rz + z 2) + x z ( x + 2) ] -
x y z (x 2 + JZ + z 2 + y(x + ; ) ) } ^ 0

- y)(ỉ/ - s ) ( x - z ) { ( . r2 + x c + ; 2)((.r + y)(y + z)y - x y z)+

■+■ .r;(.r + :)(.r + y ) ( y + c) — Ị/2} íỉ 0

</div>
(170)<div class='page_container' data-page=170>

168 N g u y ễ n V ũ L ương, N g u y ề n N g ọ c T h in g

Vì

{x + y)(y + z)y - xyz

^ 0,

(x

+

y)(y

+

z)

-

y2

^ 0. 
Vậy bất đảng thức cuối cùng hiển nhiên đúng.

Suy ra

/ 1 1 1 \2

í*2

ý1

z2\2

\ ự ỉ y + j f z + ự B ) - \ ị + ^ + x Ô

1 1 1

X

2

ý1

< - + +

<ị=> — - -j----—— -ị--- \

ự x ỹ y/ỹz sfz x yz

Đảng thức xảy ra khi và chí khi X — y — z.

Từ điều kiện thứ t ự a ; ^ i / ^ 5 > 0 t a suy ra các điều kiện thứ tự hệ quả 
và dùng điều kiện thứ tự mới sẽ xây dựng được các bất đẳng thức nới.
*) Từ X ^

y

^ 2 > 0 suy ra

xy

ỉ?

xz

^ 1/2

>

0.

Sử dụng kết quả của ví dụ (9.5) ta thu được

Ví dụ 9.7. Giả

sử

X

^ y ^ z > 0,

chứng minh rằng

1,3 ,.3

— + — ■+■ — ^

xy

-4-

yz

■+■

zx

(9.7).

z X V

Giải

Đặt u

=

xy,

V =

x z,

t =

yz.

Từ X

^ y ^

z

>

0 suy ra

u

^

V

^

t. >

0, khi đó

U2V v 2t t2U

(9.7)

<=>

— h

—

H

— Y ^ u + V + t

tl

ù

V*

Đó chính là (9.5) đã được chính minh.

Ví dụ 9.8. Giả sử X ^ y ^ z

>

0, chứng minh rằng

? +

X

X3 z3 X z x z

2--- +* 3 ^ + + 2 •

y*z

yỏ y

y

y2

Hướng dẫn
* Từ ;r > y ^ c > 0 suy r a - ^ l ^ - > 0

y

y

Áp dụng kết quả ở ví dụ 9.7 bằng cách thay bộ ba

(x,

y,

z)

theo cùrg thir

</div>
(171)<div class='page_container' data-page=171>

BÀI TẬP

Bài 1. Với X ^ í/ > z > 0, chứng minh rằng

■r2y . r ~ . ' 2jr 2 [ ỹ , , r , 2 í:

—- + ---1---

^ X \ + y + z

-z X y . \ z x y

Bài 2. Với .r ^

y

^ 2 > 0, chứng minh rằng

X3?/ y32 23x x32

y3x

zAy

“f" ^ ■ “f*

2 X- y y z X

Bài 3. Với X ^

y

^ 2 > 0, chứng minh rằng

z 3 y , y 3Z Z3X 3 3 3

—— H--- 1-ỷ X + y +

z .

z X y

Bàí 4. Giả sử

X

^

y

^ 2 > 0, chứng minh ràng

y Ể l

f!_ > 1 , ỹ* f !

2 .T4 x 2y ^ X3 X3

Bài 5. Già sử

X

^

y

^ 2 > 0, chứng minh rằng

y z X X z y

+ 1 +

-X y z y X z

Bài 6. Già sử

X

^

y

^ 2 > 0, chứng minh rằng

y/xz

s/yz

< y £ £

y X z X y z

Bài 7. Giả sử

X

^ y ^ 2 > 0, chứng minh ràng

C ác bài g iả n g vé bất d án g thức B u n h ia cô p x k i

y/gf \/fỹ

< ỵ + £ +

y X

z

X y y

x z

</div>
(172)<div class='page_container' data-page=172>

170 N g u y ễ n V ũ L ư ơng, N g u y ề n N g ọ c Tlhãng

LỜI GIẢI

Bài 1
Ta có

= ( x \ Ị ĩ x + y \ í l y + z \ f l z Y

^ ( X 2\ị y 2z Z2X \ , 9 ọ 2 ,

< ( — + — + — ) z 2 + ỉ/2 + z2

V 2 X y /

<

ị x2y + Ể± + — Y

~ \ z X y )
( Áp dụng kết quả của ví dụ 9.3).

Suy ra

ỵ + 1? J Ì + * ĩ ỉ ) < Ù L + t l + Ù .

(đpcm) 
2 V

X

\ V'

z

X

y

Bài 2.

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

x4y2 + y4z2 + z*x2

^

X4Z2 + y4x 2

+

z4y2

<$x2y2(x2 - y2)

+

y2z2(y2

-

z2) + z2x 2(z2

- X 2 ) ^ 0

0 \ r 2(f/2

— z2

+

z2)(.v2

— y 2) +

y2z2(y2

— z 2) +

z2x 2{z2

- X 2) ^ )

2(y2 - z'2)(x2 - y2)

+

x 2z2{z2 -

y 2) +

y2z2(y2 - z'2)

^ 0

<=>.r2(/y2 -

z2){x2 -

ỊJ2 )

+ z2(z2

- /y2)(.r2 -

y2)

^ 0

</div>
(173)<div class='page_container' data-page=173>

C ác b à i niáng vế bát dáiiL' thức B u n h ia cô p x k i 171

Hài .V
Ta co

+ y :ị + r_')2 = -+

+ V \Jĩí • ÌJ ự ũ \ị~- + r /- n r 2

V // V

< ( U i + iL-l + _ ) ( _ + *JL + _ )

V c ./• Ị) / V /y 2 1/ /

/./■*;/ z :\ r \ ' 2

< ( 1 _" + Ì L I + _ (áp dụng bài 2).

V 2 ./• II )

<* , » + ?/ + =•■» < Ạ + ệ + — (đpc m)
/7

Bài 4

Từ giá thiết

X

^

ỊJ

^ z > 0, suy ra 1 ^ ^ - > 0.

1

1

7 ~

Trong bài tập 3 ch ú n g ta thay (./•. //. r ) bửi bộ (1, - , ta thu được bất

X X
(lảng thức cần chứng minh.

Bài 5.

Bất đ ắ n g thức cẩ n c h ứ n g minh tương d ư ơ n s với

Ị)2

z +

Z'.r

+ ./■*// ^ . r ~ z + z 2y + ÌJ2 V

Ị)z{y - r ) - z2{ịj - ./•) - XỊ/iy - x) + x z ( y - x) $5 0

</div>
(174)<div class='page_container' data-page=174>

172 N gu yễri V ũ L ư ơ n g , N g u y ê n N g ọ c T h á n g

Bài 6
Ta có

/ V /ii V P y /* ỹ \2

V

y

X z )

< ( -

\ x + ^ + - ) ( Ẽ + “ + ' )

y

z ỉ \ y X z )

< ( 3 + - + -•) (áp dụng bài 5).

V i y ZV

Bài 7.

Áp dụng kết quả của bài 6 bằng cách thay bộ (x,

y, z)

theo thứ tự tưcrtiỊ 
ứng ồởi bộ ( - , 1, - ) .

y

y

Bài 8.

Bất đảng thức đã cho tương đương với

Z6X4 +

x6y4 + y6z

4 ^

y6x4 + zGy

4 +

x6y4

</div>
(175)<div class='page_container' data-page=175>

10

Sử dụng bát đáng thức Bunhiacôpxki giải

một sô bài toán trong tam giác

Các bài g iá n g về bất đanu thức B u n h ia cỏ p x k i 173

Việc giái các bài toán trong tam giác thường sẽ dễ dà ng hơn khi ta phát
hiện được các đảng thức tronu tam giác liên hệ tới các yếu tố có mặt
trong bài toán. Trong phần này chúng ta vẫn dùnu các ký hiệu: n, b, r

là các cạnh; A. B,

c

là các góc; /(„. III,. li, là đ ộ dài các đường c a o hạ từ
các đỉnh Á, B,

c

còn /„, //,, /, là đ ộ dài các trung tuyến, p là nửa chu vi;

s

là diện lích; /?, V lần lựơt là bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp
và ì'!,, r, là bán kính các đường tròn bằng tiếp của một tam giác.

Ví d ụ 10.1. Chứng minh ràng

3 4 5 5 v / 2

7h„ + 7h, - ~ ỹ ĩ '

Ta có

G iả i

a + b + c

Do đó

s = pr = r

2

1 _ _íỉ_

A .

— -

1 i

1

^ r ~ 2S + 2S + 2S ~ h~a + ĨTb + h (

/ 3 4 5 \ 2 1

y7K. + 7 K + 7 f r J

í 5 Ụ?

3 1 5 5 s /2

ự ĩ '
Ví dụ 10.2. Chứng minh rằng

3 4 5 < 5 y / 2

> /( p - « ) ( p - b) ự ( p - b ) { p - c ) \ / ( P _ 'c) ( P _ ° ) ~ r

G iả i
Ta có

1 1 1

(p - « ) ( p - l>) + (p - b)(p - c) + (p - c )(p - a)

</div>
(176)<div class='page_container' data-page=176>

174 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ c T h á n g

Do đó

/ 3 4 5 V2 _ 1

( —7= = = ...4- —. —-— — H--- p = = = = ■) < o() • —

V ( / > — «)(/> — \ / ( P - fe) ( P - < 0 y j ( p - c ) ( p - a ỵ r 1

3 4 5 5 / 2

——... 4- — = = — • = H---T = — = < --- •

v / ( p - « ) ( / ) - 6 ) v / ( p - b ) ( p - c ) y / ( p - c ) ( p - a ) r.
(Điều phải chứng minh).

Ví dụ 10.3. Chứng minh rầng

3^/tg 4 tg I + 4^/tg I tg I + 5 ^ / t g < 5 ^ .

Giải
Ta có đẳng thức

i4 B c C A , , 1X

t g 9 t g | + t g | t g ^ + t g | t g £ = i (1)

v ì ( 1 ) » t g | ( t g ^ + t g ^ ) = 1 - t g £ t g ệ

z? yl + c ,

° t g 2 tg 2 = 1

£ £

o tg — cotg — = 1 (đpcm).

Do đó

/

r ~ Ã ~ ~ D

,

r ~ D ~ c

r

r ~ c ~ Ã Ỹ ^

( :,v ' * 2 tg 2 + 4 V '* 2 tg 2 + 5 V tg 2 tR 2 ) - 501

° 3 / tg 2 l e ^ + 4 \A Kf tg 2" + 5 \ / tRf tR 2 - <đll*n’,)

Ví dụ 10.4. Chứng minh ràng

</div>
(177)<div class='page_container' data-page=177>

rác b à i g ia n g về bát (lánu t hức Bu n h i a c ó p x k i 175

(iiai
VI

.1 . />’ . c r

c o s . l 4 COS 13

\

CDS í I I I >ill

<\\\

si 11 1 -f- —
lớn

Y ^ c o s / 1 I v A ' O S

Tỉ

-■ ~> \A'< IS ( " ' ) ■ < o ý - • 1 - (dpcm)
Ví dụ 10.5. Chứng minh ráng

ĩa có đẳng thức

J L _ L - <

r>ỵì

v/õ: / r'

('I • > •

ỉiai

1 1 1 1

r„ n, I\. r

ìuy ra

( 3 1 5 "ị ’ < 50
V

s/ĩ\,

+ v ^ +

V 1' '

'■

3 1 rJ 5v/2'

o —== + : <

~ ~

(đpcm)

n,

v>'r

v r

ví

dụ ĩ 0.6. Chứng minh rằng

A B c r L r

3 COS 7 7 + 4 c o s — + 5 c o s -r- < 5 v 2 • I / 2 + —

</div>
(178)<div class='page_container' data-page=178>

176 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ỗ n N g ọ c T h áng

Suy ra

( 3 c o s ^ + 4cos Y + 5 c o s ^ ) 2 < 50(2+

. o

A

;

D

r

<=> 3 COS — + 4 COS — + 5 COS

ấ y h 4 f + R

(đpcm).

Ví dụ 10.7. Qiứng minh rằng

/ '

Ã

I

,

D

I

,

c

/20

3 y cotg

-ị

+ 4 y cotg — + 5 Y cotg — < 5 W— .

Ta có đẳng thức

Suy ra

Do đó

Giải

£

C a

cotg + cotg =

-C /1 6

cotg

Ỷ

+ cotg

=

-A

D

c

cotg

— +

cotg — =

-2

l

r

(3

s ị

cotg

J

+ 4 ^ cotg

ệ

+ 5 y^cotg < 5 0 - ^

3 W cotg ậ + 4 J cotg ^ + 5 t/co tg < 5 J — (đpcm)

Ví dụ 10.8. Chứng minh rằng

</div>
(179)<div class='page_container' data-page=179>

Các bài c iả n u vế bất đáng thức Bunhincôpxki

T a c )

M à

Suy a

Ta co

ìiai

A

D

c

t g 9 + ^ 2 + t g 2 =

/ 1 1 1 N

— /•(——----1---— + ——— )

p — a p — 0 Ị) — c

_r((p -

n)(p

- ft) + (/> - 6)(p - c) + (p - r)(p - ạ))
(p - a ) ( p - b){p - c)

3 p 2 — 2 ( « + + c ) p + (lb + for + c o

rp

—p

2 + «/> + 6r + ('«

rp

p2r2 =

s 2

= p(p - a)(p

- ft)(p - c)

<=>/>r2 = p 3 — ( r t + b + f ) / r + (r tò + Ỉ)C + c a ) p — a b c

<=>pr2

= —y;3 H- («/> +

bc + Cfí)p -

4

Rrp

<^ab + bc + ca = r 2 + / r + ARr

A D

c

r 2 + 4 7 ? r r + i R

tg 2 + tg 2 + tg 2 ỉ» ' V

r + 4 / ỉ

</div>
(180)<div class='page_container' data-page=180>

178 N g u y ễ n V ũ Lương, N g u y ễn N g ọ c T h ắn g

BÀI TẬP

Bài 1. Chứng minh rằng

, -J2 A 2 B ,

c

t g * | t g ^ (r + 4/i)2

~B

c

A

P3

cotg — cot.g — cotg —

Bài 2. Chứng minh ràng

, , 1 1 1 1

AI — — — ■+- — — 'V + ———— íỉ

9/t2 lG/ig 25/i2 5 0 r 2

Bài 3. Chứng minli rằng

, , 1 2 A 2 D 1 2 D 2 c 1 , C' 2 /1 1

A/ = - te — t g ---f — te — t g -h — te — tg — ^ —

9 2 s 2 16 2 2 25 2 2 50

LỜI GIẢI

Bài 1.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta thu được

, A D c v2 r + 4 ^ 2

<‘« 2 + l g 2 + t s 2 ) ( P 1

± + 4ỊỊÝ

*

D

c

A ~

p

u'

(apc™>

cotg ~2 + cotS

J

+ cot£

J

r

Bài 2.

— — — ( 1 1 1 ) 2

» / _

h:ỉ

.

hl

,

l)2r ^ [ha + hb + h j _

1 ^ x
M = — + - ^ + — > — ---- —--- — = — — (đpcni).

9 16 25 50 5 0 / - ^

Bài 3.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta (hu được

</div>
(181)<div class='page_container' data-page=181>

TÀI L I ỆU T H A M KHẢO
1 ị Andreescu. T. and. Feng.

z

(2000)

Malhermatical Olympiads: Pro blems and Solutions from Around the
World, Mathcrmatical Association o f America, Washington. DC.

*12] J. Michael Steele (2004)

The cauchy - Schwarz ma s te r class, Mathcrmatical association o f Am erc a,
Cambridge University press.

i] D. S. Mitrinovic, J. E. Pccaric and A. M. Fink

Classical and New inequalities in Analysis. Kluwer ac ad mic publishers
IỊ

c.

H. Hardy, J. E Littlewood, G. Pólya (1952)

Inequalities. Cambridge University press

</div>
(182)<div class='page_container' data-page=182>

NHÀ XU ỐT BÂN ĐỌI HỌC ọ u ố c c m HÀ NỘI

• • •

16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội

Điện thoại: (04) 9 7 1 8 3 1 2 ; (04) 97 24 77 0; Fax: (04) 9 7 1 4 8 9 9

Chịu trách nhiệm xuất bản :

Giám đốc: P H Ừ N G Q U Ố C BẢO

Tổng biên tập: N G U Y E N BÁ T H À N H

tìiên táp:

K H Ố I C H U Y Ê N T O Á N - T IN , Đ H K H T N

Trình bày:

B Ù I Q U A N G T U Ấ N

CÁC BÀI GIẢNG VỀ BẤT ĐANG t h ứ c BUNHIACOPXKI

Mã số: 1L-54 Đ H 2 0 0 7

In 2 0 0 0 cu ốn, khổ 16 X 24 cm, tại Nhà in Đại học Q u ố c gia Hà Nội
S ố xuất bản: 8 6 8 - 2006/CX B/20-180/ĐH QGHN, n g à y 17/11/2006
Q u y ế t định x u ấ t b ả n số: 1 18LK/XB

</div>

Khái niệm và Các bài giảng về bất đẳng thức Bunhiacopxki

<b>CÁC BÀI GIẢNG VỂ </b>

<b>BẤT ĐẲNG THỨC</b>

KHỎI 111PT C I 1UYẼN TOÁN - TIN

CÁC BÀI GIẢNG

VÊ BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI

<b>Mục Lục</b>

<b>Chương 1 </b>

<b>Kiến thức cơ bản</b>

<b>1 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki dạng đơn giản</b>

<i>\ </i>

<i>c a /</i>

<i>b2 </i>

<i>c2 a+ b+ c</i>

<i><b>(</b></i>

<i><b>Vb+~c+</b></i>

<i>{1 + ị + ị ) ( x 2 + 2y2 + 3z2)</i>

<i>Ỵ</i>

(a + 6)1 = (1 + ! ) « . < , = —

ỉ —

> 0

<i>6 + a + b + </i>

<i>\a + b b + c </i>

<i>c + aJ</i>

<b>——7 + T—— + —— ^ ---- 7---- (đpcm).</b>

<i>/3,rf</i>

<i>a </i>

<i>+</i>

<i>a,b,c> 0,</i>

£ i± J ầ

<i><b>ỊỊ</b></i>

<i><b>2</b></i>

<i><b>7n====\</b></i>

<b>° ( ^ T i </b>

<b>) 51 + 2 + í t í P s l</b>

<b>2 </b>

<b>Bất đẳng thức hàni lồi</b>

<b>---/(ẢEZ,*.) + /(ể ư * .,* < ) ... .</b>

<i>p</i>

<b>' >"/( </b>

<b>r 1 </b>

<b>) - </b>

<b>*■) w’*m</b>

<b>)</b>

<i><b>a n</b></i>

<i><b>Q,</b></i>

<i><b>a </b></i>

<i><b>(n</b></i>

<i><b>o t n ỉ M</b></i>

<i>0</i>

<i><b>tn)ĩ(x</b></i>

<i>2</i>

<i><b>)</b></i>

<i><b>f ( anx</b></i>

<i><b>an)x2)</b></i>

<b>i=i </b>

<b>i=» 1 a"1</b>

<b>/ 4 ít + 3/j + 5c'</b>

<i>'a</i>

<i>Vb + 2'c</i>

<i>f(x)</i>

<i>R+</i>

<i>exhtJC -* f ( x ) = exlnj:{inx</i>

<i>ua</i>

<i>l'b</i>

<i>(f ( a + b + c \</i>

<i><b>A, B , c</b></i>

<b>1 + a </b>

<b>1 + b </b>

<b>1 + c </b>

<b>1 -f </b>

<b>V Ĩ T ã 5 </b>

<b> 4- ft3 </b>

<b>\/i + </b>

<i><</i>

<b>1 + a3 </b>

<b>l + ò3 </b>

<b>l + ò 3</b>

<b>+ </b>

<b>v T T F </b>

<b>---/(ẢEZ,.) + /(ể ư .,* < ) ... .</b>

<b>■) w’m</b>