Đề kiểm tra điều kiện Đại số

BÀI TẬP ĐIỀU KIỆN
MÔN: ĐẠI SỐ
Sinh viên tùy chọn 3 trong 5 bài tập dưới đây
1) a) Đặt
1
V
,
2
V
lần lượt là hai không gian vectơ con của
4
gồm các véctơ
),,,(
4321
xxxxv =
thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II):






=−−−
=−−−
=−−−
022
04453
02332
)(
4321
4321

4321
xxxx
xxxx
xxxx
I
,





=−++
=−++
=+−+
04653
0342
09102
)(
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
II

Hãy tìm số chiều của các không gian con
1
V
,

2
V
,
1
V
+
2
V
,
1
V
∩
2
V
.
b) Cho ma trận










−
−=
411
121

221
A
, tìm ma trận
P
sao cho
APP
1−
có dạng chéo.
2) a) Cho ma trận










−
+
−
=
313
311
513
m
m
m
A

;
∈m
.
i) Với giá trị nào của
m
thì tồn tại ma trận nghịch đảo
1−
A
.
ii) Cho
1−=m
tìm
1−
A
.
b) Cho ánh xạ tuyến tính
44
: :: →f
xác định bởi:
)954,,23,8532(),,,( tzyxtyxtzyxtzyxtzyxf +++−−−−+−+++=
a) Viết ma trận của
f
trong cơ sở chính tắc của
4
4
.
b) Tìm một cơ sở của
Kerf
và
fIm

.
3) a) Cho ánh xạ tuyến tính
33
: :: →f
có công thức xác định ảnh

)8,352,32(),,( zxzyxzyxzyxf +++++=

i) Chứng minh rằng
f
là một đẳng cấu.
ii) Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược
),,(
1
zyxf
−
.
b) Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn
Oxyz
cho mặt bậc hai (
S
) có phương trình:
.364421077
222
=+−−++ yzxzxyzyx
Hãy tìm hệ trục toạ độ trực chuẩn sao cho
phương trình của (
S
) trong hệ trục toạ độ này có dạng chính tắc, gọi tên mặt bậc hai (
S

).
4) a) Cho hai hệ vectơ:
)3,1,3,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(
321
=−−== vvv
và
)1,3,1,3(),2,1,2,1(),2,0,2,1(
321
=== uuu
.
Đặt
1
V
là không gian vectơ con của
4
4
sinh bởi hệ vectơ
{ }
321
,, vvv
và
2
V
là
không gian vectơ con của
4
4
sinh bởi hệ vectơ
{ }
321

,, uuu
.
Hãy tìm số chiều của các không gian con
1
V
,
2
V
,
1
V
+
2
V
,
1
V
∩
2
V
.
b) Cho ánh xạ tuyến tính
33
: ::
→
f
xác định bởi:

)3,242,3(),,( zyxzyxzyxzyxf ++++++=
i) Hãy viết ma trận

A
của ánh xạ
f
trong cơ sở chính tắc.
ii) Tìm ma trận
P
sao cho
APP
1−
có dạng chéo.
5) a) Cho ánh xạ tuyến tính
23
: :: →f
sao cho
)1,1()0,0,1( =f
,
)0,3()0,1,0( =f
,
)7,4()1,0,0( −=f
.
a) Tìm ma trận chính tắc của
f
.
b) Tính
)8,3,1(f
,
),,( zyxf
b) Cho ánh xạ tuyến tính
33
: :: →f

có ma trận trong cơ sở chính tắc là










−=
003
041
120
A
. Hãy tìm ma trận của
f
trong cơ sở
{ }
321
,, vvv
;
)1,1,1(
1
=v
,
)0,1,1(
2
=v

,
)0,0,1(
3
=v
.
c) Tìm hạng
)(Ar
của ma trận












−−−
=
20961
8632
414
4523
m
A
.
--------------- Hết ---------------