Phân tích đặc điểm thụ động của động cơ không đồng bộ rotor lồng sóc, kiểm tra triển vọng thiết kế điều khiển trên cơ sở kết quả phân tích thu được (passivity based controller design)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA H NI

Triệu Đức Long

Phân tích đặc điểm thụ động của động cơ
không đồng bộ-rotor lồng sóc, kiểm tra
triển vọng thiết kế điều khiển trên cơ sở kết
quả phân tích thu đ-ợc (passivity-based
controller design)

Chuyờn ngnh: Điều khiển tự động

LUN VN THC SĨ NGÀNH ĐIỆN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TSKH. Nguyễn Phùng Quang

Hµ NéI - 2003


Lời cảm ơn

Tôi trân trọng cảm ơn thầy giáo, TSKH Nguyễn Phùng Quang đà h-ớng dẫn
và dành thời gian đọc, sửa chữa nội dung bản luận văn này.

Tôi chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong bộ môn Điều khiển tự động Tr-ờng Đại Học Bách Khoa Hà Nội đà giúp đỡ tôi trong quá trình học tập.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các cán bộ Trung tâm bồi d-ỡng sau Đại
học-Tr-ờng Đại Học Bách Khoa Hà Nội đà giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi
hoàn thành khoá học.

Hà nội,29/11/2004
Ng-ời thực hiện
Triệu Đức Long


Mục lục
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục
Ch-ơng 1
Mở đầu.
1. Lời nói đầu ...
2. Mục tiêu của luận văn ..
3. Nội dung của luận văn ..

Ch-ơng 2

Ch-ơng 3

Ch-ơng 4

Hệ Euler-Lagrange và ph-ơng pháp điều khiển dựa
trên thụ động .
1. Hệ Euler-Lagrange ...
2. Nguyên lý điều khiển dựa trên thụ động (PBC)
3. Ph-ơng trình Euler-Lagrange ...
4. Các đặc tính của hệ EL .
4.1 Đặc điểm thụ động của hệ EL ..
4.2 Khả năng phân tích hệ EL thành các hệ thụ động con .

4.3 Đặc tính bảo toàn hệ EL khi nối các hệ con với nhau ..
4.4 Đặc điểm thụ động của hệ kín ..
4.5 Một số giả thiết và định nghĩa khác .
5. Đặc tính ổn định của hệ EL...
5.1 Hệ suy giảm toàn phần .
5.2 Hệ suy giảm riêng
Mô hình động cơ không đồng bộ-rotor lồng sóc ...
1. Những yếu tố tạo nên đặc điểm phi tuyến của tham số mô hình động cơ
1.1 Hiện t-ợng bÃo hoà từ ..
1.2 Hiệu ứng dÃn dòng ...
1.3 ảnh h-ởng của nhiệt độ ...
2. Mô hình động cơ KĐB-RTLS ...
2.1 Vector không gian
2.2 Mô hình toán của động cơ KĐB-RTLS
2.3 Mô hình trạng thái liên tục của động cơ KĐB-RTLS ...
2.3.1 Mô hình trạng thái liên tục của động cơ KĐB-RTLS trên hệ
tọa cố định stator .
2.3.2 Mô hình trạng thái liên tục của động cơ KĐB-RTLS trên hệ
tọa độ từ thông rotor

Thiết kế bộ điều khiển dựa trên thụ động cho động
cơ KĐB-RTLS
1. Đặc tính điều khiển của động cơ KĐB-RTLS
1.1 Ph-ơng trình động học .
1.2 Đặc điểm thụ động của động cơ KĐB-RTLS ...
1.3 Đặc tính khả đảo của động cơ KĐB-RTLS ..
2. Điều khiển dựa trên thụ động đối với động cơ KĐB-RTLS .
2.1 Thiết kế bộ điều khiển dựa trên thụ động ………………………….

01

01
02
04
06
06
07
09
12
12
15
17
18
20
21
21
22
23
24
24
25
27
28
28
31
34
35
36
41
42
42

45
46
49
49


Ch-ơng 5

2.2 Xây dựng cấu trúc điều khiển ...
2.2.1 Phát biểu bài toán
2.2.2 Cấu trúc điều khiển PBC ..
3. Ph-ơng trình của bộ điều khiển trên hệ toạ độ từ thông rotor ..
Kết quả mô phỏng ...
1. Kết quả mô phỏng trên hệ toạ độ từ thông rotor ...
2. Sơ đồ bộ điều khiển trong mô hình Matlab-Simulink ..
2.1 Sơ đồ của bộ điều khiển PBC trong mô hình Matlab-Simulink
2.2 Sơ đồ của bộ điều khiển tốc độ trong mô hình Matlab-Simulink .
2.3 Tham số của động cơ và của bộ điều khiển ..
2.3.1 Tham số của động cơ ...
2.3.2 Tham số của bộ điều khiển ..
2.4 Kết quả mô phỏng
3. Kết luận

Các ký hiệu và chữ viết tắt
Tài liệu tham khảo

51
51
52
65

69
69
72
73
76
76
76
76
76
83


1
Ch-ơng 1

Ch-ơng 1

Mở đầu

1.Lời nói đầu
Có thể nói rằng, hiện nay lý thuyết điều khiển tuyến tính đà phát triển ở
mức gần nh- hoàn thiện. Do đó việc tổng hợp bộ điều khiển cho một đối t-ợng
tuyến tính đà có ®đ c«ng cơ lý thut ®Ĩ thùc hiƯn, c«ng viƯc thực tế chỉ là chọn
một ph-ơng pháp điều khiển phù hợp cho từng đối t-ợng cụ thể. Khi mà lý thuyết
điều khiển phi tuyến ch-a phát triển thì việc tổng hợp một bộ điều khiển phi
tuyến là rất khó khăn. Do đó, cách giải quyết trong đa số các tr-ờng hợp đối
t-ợng phi tuyến là, đầu tiên mô hình của đối t-ợng phi tuyến sẽ đ-ợc tuyến tính
hoá, sau đó mô hình xấp xỉ tuyến tính đó sẽ đ-ợc sử dụng để quyết định luật điều
khiển bằng lý thuyết điều khiển tuyến tính. Tuy nhiên trong nhiều tr-ờng hợp,
đặc biệt khi yêu cầu về tối -u trong hệ thống đ-ợc đặt ra thì việc sử dụng lý

thuyết điều khiển tuyến tÝnh ®Ĩ thiÕt kÕ mét bé ®iỊu khiĨn cho ®èi t-ợng phi
tuyến là rất khó. Bởi vì nếu sử dụng mô hình xấp xỉ tuyến của đối t-ợng thì có
nghĩa là ta đà phá vỡ đi cấu trúc vật lý của đối t-ợng. Vì vậy, xuất phát từ các
nhu cầu thùc tÕ, viƯc ph¸t triĨn mét hƯ thèng lý thut điều khiển phi tuyến là hết
Luận văn thạc sỹ ngành ®iÖn


2
Ch-ơng 1
sức cần thiết và thiết thực. Nhiều năm trở lại đây đà có nhiều tác giả xây dựng
một cách có hệ thống các công cụ và lý thuyết để giải quyết các bài toán điều
khiển áp dụng cho các đối t-ợng phi tuyến. Tuy nhiên, không giống nh- hệ tuyến
tính, các hệ phi tuyến rất phức tạp và đa dạng, nên việc xây dựng một hệ thống lý
thuyết điều khiển phi tuyến cho mọi hệ phi tuyến là không thể. Vì thế nhiều tác
giả thấy rằng để lý thuyết ®iỊu khiĨn phi tun cã thĨ øng dơng mét c¸ch thiết
thực trong thực tế thì cần phải phân loại ra thành các hệ phi tuyến riêng biệt có
những tính chất nhất định, đặc tr-ng cơ bản cho lớp các đối t-ợng thuộc một hệ
phi tuyến cụ thể, để rồi từ ®ã ®i x©y dùng mét hƯ thèng lý thut cã khả năng
ứng dụng cho hệ thống phi tuyến đó. Để có thể phát triển lý thuyết điều khiển phi
tuyến một cách thực dụng, thì đầu tiên ta phải xem xét những đối t-ợng có ý
nghĩa thực tế mà cấu trúc vật lý của nó phải đ-ợc tính đến từ đầu trong quá trình
thiết kế.
Cụ thể trong luận văn tốt nghiệp này, học viên sẽ trình bày về một lớp các đối
t-ợng phi tuyến thuộc hệ Euler-Lagrange, mà đặc điểm thụ động là tính chất cơ
bản của hệ, và công cụ để giải quyết bài toán điều khiển cho lớp đối t-ợng này
được gọi là Điều khiển dựa trên thụ động (Passivity-Based Control). Một lý dó
quan trọng mà ta đi phân tích các đặc điểm của hệ EL ngay trong phần mở đầu
của luận văn là hệ EL mô tả động học của phần lớn các đối t-ợng trong thực tế,
mà trong số đó có những đối t-ợng rất khó điều khiển bằng lý thuyết điều khiển
tuyến tính, và động cơ không đồng bộ-rotor lồng sóc (KĐB-RTLS) là một đối

t-ợng điển hình.
2.Mục tiêu của luận văn
Mặc dù, động cơ xoay chiều nói chung và động cơ KĐB-RTLS nói riêng
có kết cấu đơn giản và dễ sản xuất, thế nh-ng lại rất khó điều khiển, đặc biệt
Luận văn thạc sỹ ngành điện


3
Ch-ơng 1
đ-ợc sử dụng trong các ứng dụng điều khiển bám hoặc trong những hệ truyền
động đòi hỏi độ chính xác cao. Chính khó khăn này mà bộ điều khiển động cơ
một chiều đà một thời là giải pháp tối -u trong các hệ truyền động. Điều này là
bởi vì cấu trúc điều khiển động cơ một chiều là khá đơn giản, với quan hệ rất
t-ờng minh và độc lập giữa hai dòng cần điều khiển: dòng kích từ và dòng phần
ứng (dòng tạo mômen). Cụ thể là, khi động cơ làm việc ở dải tốc độ danh định thì
chỉ có dòng phần ứng đ-ợc điều khiển còn dòng kích từ đ-ợc giữ cứng. Còn khi
động cơ làm việc trên dải tốc độ danh định thì dòng kích từ sẽ đ-ợc làm yếu đi
(weak) để hạn chế sự tăng sức từ động cảm ứng trong các cuộn dậy. Tuy nhiên
một nh-ợc điểm rất khó khắc phục đối với động cơ một chiều đó là hiện t-ợng
đánh tia lửa điện ở chổi than và vành góp. Điều này dẫn đến sự mất an toàn trong
sản xuất. Và ngoài ra động cơ một chiều lại có giá thành cao, kích th-ớc lớn, khó
sản xuất, phải bảo d-ỡng th-ờng xuyên... Chính vì những nh-ợc điểm này đà thôi
thúc các nhà làm điều khiển cần phải thay thế các bộ điều khiển động cơ mét
chiỊu b»ng bé ®iỊu khiĨn xoay chiỊu. ThÕ nh-ng víi động cơ xoay chiều lại gặp
phải một khó khăn khác, đó là: động cơ xoay chiều có ba dòng pha có quan hệ
chặt chẽ với nhau và đ-ợc mô tả bởi vector dòng stator i s, do đó các dòng này
không thể đ-ợc điều khiển một cách độc lập. Không giống nh- động cơ một
chiều, không tồn tại quan hệ tuyến tính giữa is với mômen hoặc giữa is với từ
thông, mà quan hệ giữa dòng và mômen là quan hệ phi tuyến. Qua gần một thập
kỷ, đà có một vài ph-ơng pháp điều khiển khác nhau cho động cơ xoay chiều

đ-ợc giới thiệu, và có thể nhắc đến ở đây là ph-ơng pháp điều khiển tựa theo từ
thông rotor-ph-ơng pháp này đà đ-ợc ứng dụng rất thành công trong các sản
phẩm th-ơng mại. ý t-ởng chủ đạo của ph-ơng pháp này là cách ly thành phần
dòng tạo mômen isq với thành phần dòng tạo từ thông isd giống nh- quan hệ điều
khiển của động cơ một chiều. Để thực hiện đ-ợc điều này, mô hình phi tuyến của
Luận văn thạc sỹ ngành điện


4
Ch-ơng 1
động cơ phải đ-ợc sử dụng trong thiết kế. Vào thời điểm ph-ơng pháp này đ-ợc
giới thiệu, thì công nghệ về điện tử ch-a phát triển cao, nên với một công việc
tính toán lớn và đòi hỏi thời gian tính toán nhanh ph-ơng pháp này không thể
ứng dụng đ-ợc. Nh-ng những năm gần đây, điện tử công suất và kỹ thuật vi xử lý
đà có b-ớc phát triển rất mạnh mẽ, do đó nó cho phép thức hiện các ph-ơng pháp
điều khiển phi tuyến với khối l-ợng tính toán lớn, và do dó bộ điều khiển động
cơ xoay chiều ®· dÇn thay thÕ bé ®iỊu khiĨn mét chiỊu trong phần lớn những ứng
dụng trong công nghiệp.
Ngoài ra trong những năm gần đây, cũng có vài ph-ơng pháp điều khiển phi
tuyến cho động cơ xoay chiều đ-ợc để xuất và cũng cho những kết quả nhất định,
ví dụ nh-, ph-ơng pháp Backstepping, ph-ơng pháp tuyến tính hoá chính xác,
ph-ơng pháp điều khiển dựa trên thụ động. Mỗi ph-ơng pháp xuất phát từ những
ý t-ởng thiết kế khác nhau nh-ng đều dựa trên mô hình phi tuyến của động cơ.
Trong luận văn này, học viên sẽ đi phân tích đặc điểm thụ động của động cơ
KĐB-RTLS, kiểm tra triển vọng thiết kế bộ điều khiển dựa trên thụ động cho
động cơ KĐB-RTLS trên cơ sở kết quả phân tích đ-ợc và không bỏ qua đặc điểm
phi tuyến của động cơ.
3. Nội dung của luận văn
Luận văn đ-ợc chia làm 5 ch-ơng chính . Ch-ơng 1 giới thiệu khái quát về
tình hình phát triển về lý thuyết điều khiển phi tuyến và nội dung của luận văn.

Ch-ơng 2 nghiên cứu đặc điểm của lớp các đối t-ợng thuộc hệ Euler-Lagrange
và ph-ơng pháp điều khiển dựa trên thụ động. Ch-ơng 3 là phần mô hình động
học của động cơ KĐB-RTLS. Ch-ơng 4 đi vào chi tiết thiết kế một bộ điều khiển
dựa trên thụ động cho động cơ KĐB-RTLS. Ch-ơng 5 là các kết quả mô phỏng
thực hiện trên Matlab&Simulink và đ-a ra những nhận xét về kết quả mô phỏng
Luận văn thạc sỹ ngành điện


5
Ch-ơng 1
và h-ớng phát triển tiếp theo của đề tài. Phần phụ lục giải thích một số ký hiệu
toán học và chữ viết tắt có sử dụng trong luận văn.

Luận văn thạc sỹ ngành điện


6
Ch-ơng 2

Ch-ơng 2

Hệ Euler-Lagrange và ph-ơng pháp
điều khiển dựa trên thụ động

1. Hệ Euler-Lagrange
Vì sao lại gọi hệ Euler-Lagrange là thụ động? Tr-ớc khi trả lời câu hỏi
này ta sẽ định nghĩa thế nào là hệ thụ động.
Hệ thụ động là một lớp các hệ động học, mà sự trao đổi năng l-ợng của
hệ thống đóng vai trò chủ đạo. Cụ thể là, hệ thụ động không thể phát ra năng
l-ợng lớn hơn năng l-ợng mà nó đ-ợc cung cấp từ bên ngoài. Hoặc hiểu theo

một cách trực quan hơn là: Hệ thụ động không tự sinh ra năng l-ợng mà nó
chỉ đóng vai trò biến đổi năng l-ợng mà nó đ-ợc cung cấp thành năng l-ợng ở
dạng này hoặc dạng khác.
Từ định nghĩa trên ta thấy hệ thụ động có liên quan mật thiết đến bản chất
vật lý của hệ thống, đặc biệt là đặc tính ổn định. Và có thể thấy ngay rằng,
theo quan điểm ổn định vào-ra thì hệ thụ động là hệ ổn định, bởi vì năng
l-ợng nội tại của hệ không thể lớn hơn năng l-ợng do nguồn ngoài cung cấp.
Vậy Hệ Euler-Lagrange thụ động là hệ mà động học của chúng đ-ợc mô
tả bởi các ph-ơng trình Euler-Lagrange (EL) và bản thân hệ thống không tự

Luận văn thạc sỹ ngành điện


7
Ch-ơng 2
sinh ra năng l-ợng. Nh- vậy, từ nay trở về sau khi nhắc đến hệ EulerLagrange ta hiểu ngay rằng đó là hệ có bản chất thụ động.
Tr-ớc khi đi vào chi tiết các đặc điểm của hệ Euler-Lagrange và những
phát biểu về mặt toán học các đặc điểm đó thì d-ới đây sẽ đ-a ra một cách
vắn tắt những tính chất cơ bản của hệ EL sau:
ã Hệ EL xác định một quan hệ thụ động (quan hệ vào-ra) qua hàm l-u giữ
tổng năng l-ợng của hệ thống.
ã Khi nối các hệ EL theo kiểu phản hồi âm thì hệ thay thế vẫn là hệ EL.
ã D-ới những giả thiết hợp lý, thì có thể phân tích hệ EL thành hai hệ thụ
động đ-ợc nối theo kiểu phản hồi âm.
Tất cả những tính chất trên sẽ là cơ sở để xây dựng một nguyên lý điều
khiển, gọi là ®iỊu khiĨn dùa trªn thơ ®éng.
2. Nguyªn lý ®iỊu khiĨn dựa trên thụ động (PBC)
Điều khiển dựa trên thụ động (Passivity-Based Control) là thuật điều
khiển mà nguyên lý của nó dựa trên đặc điểm thụ động của hệ với mục tiêu
làm cho hệ kín cũng là một hệ thụ động với hàm l-u giữ năng l-ợng mong

muốn. Nguyên lý PBC đ-ợc xem nh- là mở rộng của kỹ thuật chọn hàm năng
l-ợng (Energy shaping) và kỹ thuật phun tín hiệu suy giảm (Damping
injection). Kỹ thuật chọn hàm năng l-ợng là quá trình thay đổi thế năng của
hệ thống để sao cho hàm thế năng mới là nhỏ nhất và duy nhất tại trạng thái
cân bằng. Tiếp theo là quá trình phun tín hiệu duy giảm, đó là giai đoạn làm
thay đổi năng l-ợng tiêu thụ (dissipation energy) để đảm bảo tính ổn định
tiệm cận của hệ thống.
Khi mở rộng kỹ thuật trên cho nguyên lý PCB thì có thể hiểu một cách đơn
giản nh- sau: Giai đoạn chọn hàm năng l-ợng là quá trình thiết lập một quan
hệ thụ động giữa đầu vào và đầu ra cần điều khiển để đạt đ-ợc hàm l-u giữ

Luận văn thạc sỹ ngành điện


8
Ch-ơng 2
năng l-ợng mong muốn. Hàm này bao gồm động năng ban đầu và thế năng
mong muốn của hệ thống. Còn phun tín hiệu suy giảm là quá trình củng cố
thêm đặc điểm thụ động đối với đầu ra (Output strictly pasivity). Và ngoài sự
kế thừa các kỹ thuật trên thì để xây dựng một nguyên lý điều khiển PCB hoàn
chỉnh thì cần phải bổ xung thêm những nhận thức rất quan trọng sau và có thể
xem nh- đó là các nguyên tắc trong quá trình xây dựng bộ điều khiển PCB
sau này:
ã Khi trạng thái của hệ thống không có khả năng đo thì tín hiệu suy giảm
phải được phun vào hệ thông qua việc mở rộng động học của hệ
thống.
ã Đối với hệ thống thiếu tác động điều khiển (underactuated system),
trong điều khiển robot th-ờng gọi là hệ hụt cơ cấu chấp hành, thì thế
năng của hệ thống không đ-ợc bỏ qua, mà nó sẽ đóng một vai trò quyết
định trong việc xây dựng bộ điều khiển PCB. Và nếu nh- cần phải thay

đổi động năng, thì đầu tiên, bộ điều khiển đ-ợc xây dựng ở dạng không
t-ờng minh (ch-a cã quan hƯ t-êng minh gi÷a tÝn hiƯu điều khiền và tín
hiệu ra của hệ cần điều khiển) và sau đó qua bước đảo động học của
hệ thống để đạt đ-ợc dạng t-ờng minh.
ã Vì trong hầu hết các tr-ờng hợp, động năng có tham gia vào việc xây
dựng bộ điều khiển, nên nó cũng phải đ-ợc thay ®ỉi (shaped). Nh- ®·
nãi ë trªn, nguyªn lý ®iỊu khiĨn PCB là gán cho hệ kín một hàm l-u giữ
năng l-ợng mong muốn (desired storage function). Tuy nhiên hàm này
không đơn thuần là tổng động năng và thế năng mới của hệ thống mà ở
đây hàm này sẽ đ-ợc chọn từ việc phân tích động học sai số (error
dynamic) của hệ kín thông qua việc chọn hệ số phù hợp ®èi víi lùc
(workless force) cđa hƯ thèng ®Ĩ cã ®-ỵc quan hệ tuyến tính đối với tín
hiệu sai lệch.

Luận văn thạc sỹ ngành điện


9
Ch-ơng 2
Tất nhiên nguyên lý PCB không chỉ gói gọn vào mấy phát biểu trên, mà đó chỉ
là những phát biểu có tính chất tổng quan. Nguyên lý này sẽ đ-ợc trình bày
một cách cụ thể và có hệ thống trong các công việc sau của luận văn, đặc biệt
khi áp dụng cho một đối t-ợng cụ thể là động cơ KĐB-RTLS.
3. Ph-ơng trình Euler-Lagrange
Đầu tiên ph-ơng trình EL đ-ợc sử dụng chủ yếu để mô tả động học của
các hệ thống cơ. Về sau này nó cũng đ-ợc sử dụng để mô tả các hệ vật lý, ví
dụ nh- hệ cơ-điện. -u điểm khi sử dụng ph-ơng trình EL để mô tả động học
của hệ thống là các công thức của chúng độc lập với hệ tọa độ đ-ợc sử dụng.
Ph-ơng trình EL có thể đ-ợc xác định bằng cách sử dụng các định luật về lựcgọi là luật DAlemberts, ví dụ nh- ta có thể sử dụng định luật Newton hai đối
với hệ thống cơ và luật Kirchhoff đối với hệ điện hoặc có thể sử dụng ph-ơng

pháp biÕn ph©n .
Ta biÕt r»ng, mét hƯ thèng cã thĨ xem nh- gåm c¸c hƯ thèng con nèi víi
nhau theo một cấu trúc nhất định và các hệ thống con này sẽ tác động qua lại
lẫn nhau thông qua việc trao đổi năng l-ợng giữa chúng. Nh- vậy một cách
suy nghĩ rất tự nhiên là, ta hoàn toàn có thể mô tả hệ thống bằng các đặc tính
năng l-ợng. Xuất phát từ ý t-ởng này mà việc mô tả toán học của một hệ có
thể bắt đầu từ việc định nghĩa một hàm năng l-ợng với các biến trạng thái
tổng quát (các biến trạng thái này có thể đ-ợc định nghĩa nh- là một hệ tọa độ
tổng quát x(t ) ) và một hàm, đ-ợc gọi là hàm Lagrangian đ-ợc xác định là
hiệu giữa động năng và thế năng. Sau đó sử dụng các ph-ơng pháp phân tích
động học để dẫn ra các ph-ơng trình mô tả hệ thống, ví dụ, có thể sử dụng
luật Hamilton.
Trong khuôn khổ luận văn này không trình bày các dẫn giải để có đ-ợc
ph-ơng trình EL, mà chỉ đ-a ra các mô tả tổng quát về ph-ơng trình EL.

Luận văn thạc sỹ ngành điện


10
Ch-ơng 2
Xét một hệ động học có n bậc tự do, động học của hệ có thể đ-ợc mô tả bởi
ph-ơng trình EL sau:
d L
L
x, x  x, x   Q
dt  x
 x

(2.1)

Trong ®ã x=(x1,x2,..,xn)T là vector trạng thái của hệ thống (hệ tọa độ tổng
quát), Q là vector lực tác động lên hệ thống, với Q Rn và L( x, x) đ-ợc gọi
là hàm Lagrangian đ-ợc định nghĩa nh- sau:
L( x, x )  K ( x, x )  P( x)

(2.2)

víi K ( x, x) là hàm động năng và giả thiết hàm này có dạng toàn ph-ơng
K ( x, x) 

1 T
x I ( x) x
2

(2.3)

I ( x)  R nxn : ma trận quán tính và thoả mÃn I ( x)  I T ( x)  0

vµ P(x) là hàm thế năng với giả thiết là bị chặn d-ới, nghĩa là tồn tại cR sao
cho P( x) c với x Rn.
ở đây có thể xem Q có 3 dạng sau:
ã Lực tác động điều khiển Bu  R n , víi u  R n lµ vector điều khiển và
u

B R nxnu là ma trận hằng

ã Tác động do nhiễu Qn
ã Tác động do sự tiêu thụ năng l-ợng nội tại của hệ, tác động này đ-ợc đặc
tr-ng bởi hàm tiêu thụ (dissipation function) có dạng sau

F
(x) , với
x

F (x ) đ-ợc gọi là hàm tiêu thụ Rayleigh, và thoả mÃn:

x T

F
( x) 0
x

(2.4)

Ví dụ nh- trong một mạch điện có thành phần trở r thì hàm này sẽ bằng
1
(q)r 2 , với q là điện tích.
2

Luận văn thạc sỹ ngành điện


11
Ch-ơng 2
Vậy lực tác động lên hệ thống có thể viết d-ới dạng tổng quát sau:
Q

F
( x) Bu Qn
x

(2.5)

Từ (2.1) và (2.5) ta thu đ-ợc:
d L
F
L
( x)  Bu  Qn
 x, x   x, x
dt x
x
x

(2.6)

Nh- vậy ph-ơng trình EL đ-ợc xác định bởi (2.2), (2.3), (2.4) và (2.6) và đ-ợc
mô tả bởi các tham số EL :
{ K (x, x), P(x), F (x), Bu, Qn }
Đến đây ta có thĨ hiĨu xt xø cđa tªn gäi hƯ EL, chØ đơn giản là động học
của hệ đ-ợc mô tả bởi các ph-ơng trình EL.
Ma trận đầu vào B có cấu trúc phụ thuộc vào quan hệ giữa tác động đầu vào
hệ thống và các biến trạng thái. Dựa vào cấu trúc của ma trận B mà có thể
phân hệ EL thành hai lớp sau:
ã Hệ EL hụt cơ cấu chấp hành (Underactuated EL system). Một hệ EL
đ-ợc gọi là đủ cơ cấu chấp hành (fully-actuated) nếu nh- số bậc tự do của
hệ bằng số tác động đầu vào, nghĩa là các tác động đầu vào bằng đúng số
trạng thái của hƯ hay n  nu vµ B  I n . Ng-ợc lại hệ đ-ợc gọi là hụt cơ cấu
chấp hµnh nÕu nh- nu  n . Víi hƯ nµy thì các biến trạng thái có thể chia
thành biến trạng thái đ-ợc tác động trực tiếp Bx (actuated) và gián tiÕp
B  x (non-actuated), víi B  lµ ma trËn trùc giao cđa ma trËn B . VÝ dơ nh-

trong động cơ xoay chiều ba pha dị bộ thì các thành phần dòng có thể tác
động điều khiển một cách trực tiếp, còn thành phần từ thông không thể
điều khiển trực tiếp đ-ợc.
Ngoài ra ta còn có khái niệm sau về hệ thống:
ã Hệ suy giảm toàn phần và hệ suy giảm riêng (Fully-damped and
underdamped system). Hệ EL đ-ợc gọi là suy giảm toàn phần nếu nhhàm tiêu thụ thoả mÃn:
Luận văn thạc sỹ ngành điện


12
Ch-¬ng 2
xT

n
F
( x)   i xi2
x
i

víi  i  0 , i  [1,...,n] . Vµ nÕu i sao cho i 0 thì hệ đ-ợc gọi là suy giảm
riêng.
Hầu hết các tr-ờng hợp trong thực tế, thì hàm tiêu thụ có dạng toàn
ph-ơng sau:
F ( x)

1 T
x RF x
2

với R F là ma trận đ-ờng chéo vµ RF  RFT  0 . NÕu hƯ lµ suy giảm toàn phần
thì ma trận R F xác định d-ơng ( RF 0 ) và là không âm ( RF 0 ) nếu hệ là suy
giảm riêng.
4. Các đặc tính của hệ EL
4.1. Đặc điểm thụ động của hệ EL
Phần mở đầu ta đà nhắc đến đặc ®iĨm thơ ®éng cđa hƯ EL, d-íi ®©y ta sÏ
®i khảo sát kỹ hơn đặc điểm này bằng các công cụ toán học. Tr-ớc tiên ta cần
định nghĩa một hệ có đặc điểm thụ động bằng phát biểu về mặt toán học.
Xét một hệ đ-ợc ký hiệu là có hàm tổng l-u giữ năng l-ợng H ( x, x) ,
vector tín hiệu điều khiển u , y là vector tín hiệu đầu ra và coi nh- hệ thống
không chịu tác động của nhiễu. Nh- vậy tốc độ cung cấp năng l-ợng cho hệ
thống sẽ là y T u . Hệ trên đ-ợc gọi là thụ động nếu:

T

y

T

u



H ( x(T ), x(T )) H ( x(0), x(0))

0

Năng l-ợng

Năng l-ợng

bên ngoài cung cấp

L-u giữ của hệ thống

Luận văn thạc sỹ ngành điện

(2.7)


13
Ch-ơng 2
Điều đó có nghĩa là : u y xác định một quan hệ thụ động bằng hàm l-u giữ
tổng năng l-ợng H ( x, x)
Ngoài ra nếu hệ thống đ-ợc nhận năng l-ợng từ bên ngoài với tốc độ cung cÊp
lµ uyT   o y , víi o>0 thì hệ thống đ-ợc gọi là thụ động bị chặn đầu ra
2

(ouput strictly passive-OSP) và công thức (2.7) ứng với tr-ờng hợp này sẽ có
dạng:
T

uy

T

T

0

o y  H ( x(T ), x(T ))  H ( x(0), x(0))
2

(2.8)

0

Từ công thức trên ta thấy hệ có đặc điểm thụ động bị chặn đầu ra có đặc điểm
thụ động mạnh hơn.
T-ơng tự, ta cũng có thêm khái niệm hệ thụ động bị chặn đầu vào (input
strictly passive-ISP), nghĩa lµ
T

 uy
0

T

T

   o u  H ( x(T ), x(T ))  H ( x(0), x(0))
2

0

Quay l¹i víi hệ EL, lấy đạo hàm theo thời gian đối với hàm L( x, x ) ta đ-ợc:
dL L dx  L  x
 
 
dt  x  dt x dt

T

T

(2.9)

Từ (2.1) ta rút ra đ-ợc ph-ơng trình
L d L
Q , thay vào (2.9) ta đ-ợc
x dt x
L  L  dx d  L 
 
   x  x T Q
dt  x  dt dt x
T

T

thay Q từ (2.5) vào ph-ơng trình trên và sau một vài phép biến đổi sẽ dẫn tới
ph-ơng trình:
T

d L
F
T

x L x Bu
dt x
x

Luận văn thạc sỹ ngành điện

(2.10)


14
Ch-¬ng 2
 L T

 x  L  K ( x, x)  P( x)  H ( x, x ) chính là
x


Nhận xét thấy rằng, đại l-ợng

hàm tổng năng l-ợng của hệ thống. Do đó tích phân ph-ơng trình (2.10) trong
khoảng thời gian [0, T ] ta đ-ợc ph-ơng trình cân bằng năng l-ợng sau:
T

H[T ] H[0] x T
0

Năng l-ợng
l-u giữ

T
F ( x)
dt x T Budt

x
0

Năng l-ợng
tiêu hao

(2.11)

Năng l-ợng
cung cấp

Do K ( x, x)  0 vµ Px   c nªn H ( x, x)  c víi  x , mặt khác theo (1.4) thì
T

x
0

T

F ( x)
dt 0 do ®ã
x
T

H (T )  H (0)   y T Budt ; y x
0

Vậy theo định nghĩa, hệ Euler-Lagrange là hệ thụ động. Từ (2.11) ta dễ dàng
nhận thấy, sự khác nhau giữa năng l-ợng của hệ thống (Hàm l-u giữ tổng
năng l-ợng-storage function the system total energy) với năng l-ợng do nguồn

bên ngoài cung cấp cho hệ thống chính là năng l-ợng tiêu thụ (Hàm tiêu thụdissipation function). Và từ ph-ơng trình trên ta có một số nhận xét sau:
ã Nếu u 0 thì năng l-ợng của hệ không tăng, vì vậy hệ sẽ ổn định tại trạng
thái cân bằng tầm thường.
ã Hệ sẽ vẫn ổn định nếu nh- đầu ra Bx T bằng không, trong hệ tuyến tính thì
hệ thống đ-ợc gọi là pha cực tiểu (minimum phase), tức là hệ ổn định
Lyapunov.
ã Ta thấy rằng tín hiệu suy giảm có thể đ-ợc phun vào một cách dễ dàng
qua các trạng thái đ-ợc tác ®éng trùc tiÕp bëi tÝn hiƯu ®iỊu khiĨn nÕu nhc¸c trạng thái đó có thể đo đ-ợc.

Luận văn thạc sỹ ngành điện


15
Ch-ơng 2
4.2 Khả năng phân tích hệ EL thành các hệ thụ động con
Giả thiết rằng hàm lagrangian L( x, x ) có thể phân tích thành dạng
L( x, x)  Le ( xe , xe , xm )  Lm ( xm , x m )

(2.12)

víi x  xeT , xmT  , trong ®ã xe  R n , xm  R n . Mét hÖ EL cã thể phân tích thành
T

m

e

hai hệ thụ động đ-ợc nối theo kiểu phản hồi âm nh- hình (H2.1). Ta gọi các
hệ con đó là e và m với hàm l-u giữ năng l-ợng t-ơng ứng là H e ( xe , xe , xm ) vµ
H m ( xm , xm ) .

Qe  Bue

e


xe  ye
.

x e  ye

yc

x m ym

m

Qm

+

H2.1 Phân tích hệ EL thành hai hệ thụ động con

Từ hình (H2.1) ta có các quan hệ thụ ®éng sau:
 Q  y 
e :  e    e 
 ym   yc 

m : ( yc  Qm )  ym

Trong ®ã yc 



Q QeT , QmT



T

Le
, đ-ợc gọi là tín hiệu t-ơng tác giữa hai hệ thống con và
xm

với Qe R n , Q m R n .
e

Luận văn thạc sỹ ngành điện

m


16
Ch-ơng 2
Để kiểm tra tính xác thực của phân tích trên, ta sẽ chứng minh rằng e , m là
các hệ EL thụ động.
Thật vậy, từ (2.1) và (2.12) ta có thể viết đ-ợc các ph-ơng trình EL sau cho
các hệ e , m (để đơn giản ta bỏ ký hiệu của các biến trạng thái trong ph-ơng
trình)
d Le  Le



 Qe
dt  xe  xe

(2.13)

d  Lm  Lm


Qm yc
dt x m xm

(2.14)

Lấy đạo hàm toàn phần của Le theo thời gian ta đ-ợc
T

T

T

L 
 L 
dLe  Le 
 x e   e  xe   e  x m

dt xe
x e
xm

(2.15)

Mặt khác ta cã:
T
T
T
d  Le    Le 
d  Le 
 xe   
 xe  
 xe

dt  xe    xe 
dt  xe 



suy ra,
T
T
T
 Le 
d  Le   d  Le 

 xe  
 xe   
 xe
dt  xe   dt  xe 
 xe 




thay ph-¬ng trình trên vào (2.15) ta đ-ợc :
T
d L T
d  Le 
 xe  Le    e  xe

dt  xe 
 dt  xe 


Tõ (2.13) ta cã:
T

T

 L 
d  Le 

 x e   e  x e  QeT x e
dt  x e 
 xe 

Ta biÕt r»ng
T

 Le 


 xe Le H e
x e

Luận văn thạc sỹ ngành điện

T

L
e xe
xe 

T

 L 
  e  x m
 xm 

(2.16)


17
Ch-ơng 2
đặt

Le
yc do đó
xm
T

Le

x m x mT yc

x
m

Thay tất cả các ph-ơng trình trên vào (2.16) ta đ-ợc
d
H e QeT xe x mT yc
dt

Tích phân ph-ơng trình trên từ 0 đến T ta thấy đ-ợc e là hệ thụ động với hàm
năng l-ợng H e , cụ thể là
T

H e (T )  H e (0)   (QeT xe  x mT yc )d
0

T-ơng tự ta cũng chứng minh đ-ợc m cũng là hệ thụ động với hàm năng
T

L 
l-ỵng H m   m  x m Lm
x m

Đây là một trong những đặc ®iĨm quan trong khi thiÕt kÕ bé ®iỊu khiĨn theo
ph-¬ng pháp PCB.
4.3 Đặc điểm bảo toàn hệ EL khi nối các hệ con với nhau
Nh- đà nói ở phần đầu, mục tiêu khi thiết kế bộ điều khiển PCB là làm
cho hệ ổn định bằng cách thay đổi năng l-ợng của hệ thống và năng l-ợng

tiêu thụ sao cho hệ kín vẫn xác định một quan hệ thụ động với hàm năng
l-ợng mong muốn. Nh- vậy khi nắp bộ điều khiển vào hệ thống thì hệ kín
vẫn phải là hệ thụ động và vì vậy vẫn giữ nguyên các đặc điểm của hệ EL. Do
đó yêu cầu khi thiết kế bộ điều khiển PCB là hệ kín vẫn phải là một hệ EL và
hàm l-u giữ năng l-ợng cũng nh- hàm tiêu thụ mới sẽ là tổng các hàm t-ơng
ứng của đối t-ợng và bộ điều khiển.

Luận văn thạc sỹ ngành điện


18
Ch-ơng 2
Cụ thể: Xét một đối t-ợng EL p cần ®iỊu khiĨn víi c¸c tham sè EL
{ K p ( x p , x p ), Pp ( x p ), Fp ( x p ), Bp } vµ bé ®iỊu khiĨn c{ Kc ( xc , xc ), Pc ( xc , x p ), Fc ( xc ) },
víi x p  R n vµ xc  R n . Theo [1] hƯ kÝn vÉn lµ hƯ EL nếu nh- p và c đ-ợc
p

c

nối với nhau qua tín hiệu điều khiển (xem hình H2.2) sau:
Bpu

Pc ( xc , x p )

(2.17)

x p

và có các tham số EL míi nh- sau
x  [ xcT , xTp ]T ; K ( x, x)  K p ( x p , x p )  Kc ( xc , xc ) ; P( x)  Pp ( x p )  Pc ( xc , x p )

F ( x)  Fp ( x p )  Fc ( xc )

Bpu

p
xp
c

H.2.2 Nèi theo kiĨu ph¶n håi cđa hai hƯ EL

4.4 Đặc điểm thụ động của hệ kín
Trong các bài toán điều khiển những đối t-ợng có tính động học cao, ví dụ
trong các hệ thống điện hoặc cơ điện thì việc thiết kế bộ điều khiển PCB chỉ
đơn thuần là thay đổi thế năng hoặc năng l-ợng tiêu thụ nhiều khi không đem
lại đáp ứng đầu ra mong muốn, vì thế để đạt đ-ợc đáp ứng mong muốn thì cần
tác động đến cả động năng của hệ thống , do đó trong công thức điều khiển
phải có thành phần phụ thuộc x . Ngoài ra ý t-ởng cơ bản của ph-ơng pháp
điều khiển PCB là làm cho hệ kín vẫn là một hệ thụ động. Do đó động học của
hệ kín đ-ợc mô tả bằng ph-ơng trình sai số phải xác định một quan hệ thụ

Luận văn thạc sỹ ngành điện


19
Ch-ơng 2
động. Theo [1] thì với ph-ơng pháp thiết kế PCB động học của hệ kín đ-ợc
đ-a về dạng
D( x)e  [C( x, x)  Kd ( x, x)]e  0

(2.18)

Trong đó e là sai số, K d ( x, x)  K dT ( x, x)  0 lµ ma trận suy giảm (damping
injection matrix), và C ( x, x ) là ma trận đ-ợc xác định bởi D(x) theo ph-ơng
trình
( x) C( x, x) CT ( x, x)
D

(2.19)

ViƯc ®-a ®éng häc cđa hƯ kÝn nh- (2.18) dùa trªn chøng minh r»ng, víi hƯ
thèng e cã động học đ-ợc mô tả bởi ph-ơng trình:
D( x)e [C( x, x)  Kd ( x, x)]e  

(2.20)

th× sẽ xác định đ-ợc một quan hệ thụ động bị chặn đầu ra e : e. Vậy e sẽ
bị chặn khi  = 0 víi tèc ®é héi tơ vỊ không phụ thuộc vào việc chọn ma trận
K d ( x, x) và các phần tử của ma trận C ( x, x ) .

Ph-ơng trình (2.19) còn t-ơng đ-ơng với ph-ơng trình sau:
( x) 2C( x, x)]z 0, z Rn
z T [D

(2.21)

điều kiện trên còn đ-ợc gọi là đối xứng lệch, một tính chất quan träng trong
thiÕt kÕ bé ®iỊu khiĨn PCB.
Chó ý r»ng ®Ĩ có đ-ợc quan hệ (2.19) thì các phần tử của ma trận C ( x.x ) có thể
đ-ợc xác định tõ c«ng thøc sau:

n

Cik   cijk ( x) x j
j

víi
1  d ( x) d jk ( x) d ij ( x) 
cijk ( x)   ik


2  x j
xi
xk

Với việc đặt các phần tử của ma trận C có dạng nh- trên thì ph-ơng trình EL
có thể đ-ợc viết d-ới dạng sau:

Luận văn thạc sỹ ngành ®iÖn


20
Ch-¬ng 2
D( x)x  C( x, x) x  g ( x) 

víi g ( x) 

F ( x)
 Bu Qn
x

(2.22)

P( x)
, trong các bài giảng về robot, lực này còn đ-ợc gọi là gia tốc
x

trọng tr-ờng.
Một nhận xét rất quan trọng rút ra từ phân tích trên là, nếu nh- ta chọn
đ-ợc các phần tử của ma trân C một cách phù hợp thì ph-ơng trình sai số cđa
hƯ kÝn sÏ cã quan hƯ tun tÝnh, nh- ph-¬ng trình (2.18)
4.5 Một số giả thiết và định nghĩa khác
Giả thiết 1 Tất cả các hàm động năng đều có dạng toàn ph-ơng
K ( x, x)

1 T
x D( x) x
2

với D(x) đ-ợc gọi là ma trận quan tính tổng quát. Ma trận này thoả mÃn
D( x) D( x)T 0

Giả thiết 2 Ma trận D(x) là ma trận đối xứng, xác định d-ơng và bị chặn trên
và chặn d-ới , tức là nó thoả mÃn bất ph-ơng trình sau:
d m  D( x)  d M 

víi d m , d M là những hằng số d-ơng
Giả thiết 3 Hàm thế năng P(x) là hàm xác định d-ơng toàn cục, và có điểm
cực tiểu duy nhất tại x  x * , tøc lµ x  x * là nghiệm duy nhất của ph-ơng trình
P( x)
0

x

Giả thiết 4 Đạo hàm bậc nhất và bậc hai của P(x) theo x là các hàm bị chặn
với mọi x , tức là tồn tại các hằng số d-ơng k g và kv sao cho
k g  sup
xR n

 2 P( x)
x 2

Luận văn thạc sỹ ngành điện


21
Ch-ơng 2
và
k v sup
xR n

P( x)
x

Định nghĩa 1 Ph-ơng trình (2.22) có thể đ-ợc viết d-ới dạng sau:
D( x)x  C( x, x) x  g ( x) 

F ( x)
 ( x, x)T 
x

víi   R q lµ vector tham sè h»ng vµ ( x, x)  R qxn đ-ợc gọi là ma trận hồi qui.

Hầu hết các tr-ờng hợp trong thực tế, thì hàm g (x) chÝnh lµ lùc träng tr-êng.
Ma trËn C ( x, x ) đ-ợc giả thiết là ma trận có đặc điểm đối xứng lệch với mọi x
và x
Định nghĩa 2 Ma trận C ( x, y) bị chặn đối với x và tuyến tính đối với y , có
các đặc tính sau:
C ( x, y) z  C ( x, z ) y
C ( x, y)  k c y , k c 0

với mọi z R n

5. Đặc tính ổn định của hệ EL
5.1 Hệ suy giảm toàn phần
Để đơn giản ta xét hệ thống không có tác động đầu vào (unforced EL system)
Xét một hệ EL có hàm thế năng P(x) thoả mÃn điều kiện: P(x) xác định d-ơng
và có điểm cực tiểu x * , x * là nghiệm của
P( x)
0
x

thì điểm cân bằng của hệ thèng sÏ lµ ( x, x)  ( x* ,0) và điểm cân bằng này sẽ ổn
định nếu nh- x * là nghiệm duy nhất.
Phát biểu trên đà đ-ợc chứng minh trong [1]

Luận văn thạc sỹ ngành điện