Đề cương ôn tập THPT quốc gia môn Toán năm học 2017-2018 | Lớp 12, Vật lý - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.11 MB, 49 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GD&ĐT LÀO CAI

TRƯỜNG THPT SỐ 2 BẢO N

ĐỀ CƯƠNG THAM KHẢO ƠN THI THPTQG MƠN TỐN

NĂM HỌC 2017-2018

Họ và tên: TRẦN HUY MẠNH

Tổ: Toán

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT

I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1. Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số

* Định lý: Cho hàm số :

y



f

(x

)

có đạo hàm trên K

a) Nếu

f

'

(

x

)



0

với mọi x K thì hàm số

f

(x

)

đồng biến trên K.
b) Nếu

f

'

(

x

)



0

với mọi

x



K

thì hàm số f x( ) nghịch biến trên K.

(Chú ý:

f

' x

(

)

dương trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó;

f

' x

(

)

âm trên
khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.)

* Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số:
- Tìm tập xác định.

- Tính đạo hàm y' f x'( ) tìm các điểm

x

;

x

;...;

x

n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc

khơng xác định.

- Sắp xếp các điểm

x

;

x

;...;

x

n theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên.

- Áp dụng định lý đưa ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
2. Phương pháp tìm cực trị của hàm số.

* Định lý. Giả sử hàm số : y f x( ) liên tục trên khoảng K (x0h;x0 h) và có đạo hàm trên K

hoặc K\

 

x0 , với h0.

a) Nếu f'(x)0 trên khoảng (x0h;x0) và f x'( ) 0 trên khoảng

(

x

;

x



h

)

thì x0là

một điểm cực đại của hàm số f x( ) .

b) Nếu f'(x)0 trên khoảng (x0h;x0) và f x'( ) 0 trên khoảng

(

x

;

x



h

)

thì x0là

một điểm cực tiểu của hàm số f x( ) .
* Phương pháp tìm cực đai, cực tiểu của hàm số

- Tìm tập xác định.

- Tính đạo hàm y' f'(x) tìm các điểm

x

;

x

;...;

x

n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc

không xác định.

- Sắp xếp các điểm .. theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên.
- Áp dụng định lý đưa ra các điểm cực đại, cục tiểu của hàm số.
3. Phương pháp tìm đường tiệm cận.

Đường tiệm cận ngang.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn 
( là khoảng dạng: (a;),(;b),(;))

Đường thẳng:

y



y

0 được gọi là đường tiệm cận ngang của hàm số y = f(x) nếu ít nhất một
trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

lim ( )

x f x  y ; xlim ( )f x y0

Đường tiệm cận đứng.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn 
( là khoảng dạng:

(

a

;



),

(



;

b

),

(



;



)

Đường thẳng: x x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của hàm số y = f(x) nếu ít nhất một

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>








)
(

lim

x
f

x

x ;








)
(

lim

x
f

x
x







)
(

lim

x
f

x

x ;







)
(

lim

x
f

x

x ;

4. Sơ đồ khảo sát hàm số.

* Tìm tập xác định của hàm số.
 * Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên:

+) Tính đạo hàm y' f'(x) tìm các điểm

x

;

x

;...;

x

n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc

khơng xác định. Xét dấu đạo hàm y' f'(x)

+) Từ bảng xét dấu suy ra chiều biến thiên của hàm số
- Tìm cực trị ( dựa vào bảng dấu của

y

'

)

- Tính giới hạn ( Tính các giới hạn tại vô cực và tại các điểm không xác định của hàm số; tìm
đường tiệm cận nếu có)

- Lập bảng biến thiên của hàm số.
* Đồ thị:

- Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố đã xác định vẽ đồ thị hàm số
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung

- Tìm giao điểm của đồ thị với trục hồnh
- Tính thêm một số điểm đặc biệt

- Chú ý đến tính chẵn, lẻ, tính đối xứng của đồ thị. Tính tuần hồn của hàm số.
B. BÀI TẬP

Câu 1 :Cho hàm số

2 1

x
y

x



 . Chọn phương án đúng trong các phương án sau

A.  1;2

1
min

2
y

  B.  1;0

maxy 0

  C.  3;5

11
min

4
y

D.  1;1

1
max

2
y

 

Câu 2: Cho hàm số

3 2

4 5 17

y  x  x  x

. Phương trình y' 0 có hai nghiệm x x1, 2. Khi đó tổng

bằng ?

A. 5 B. 8 C. 5 D. 8.

Câu 3: Tìm M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 33x29x35
trên đoạn



4;4



A. M 40;m 41; B. M 15;m 41; C. M 40;m8; D. M 40;m 8.
Câu 4 Các khoảng đồng biến của hàm số y  x3 3x21 là:



;0 ; 2;

 





 

0; 2 C.

 

0;2 D.
Câu 5. Điểm cực đại của đồ thị hàm số y x 3x22là:

 

2;0 B.

2 50
;
3 27

 

 

  C.

 

0; 2 D. 
50 3

;
27 2

 

 

 .

Câu 6: Cho hàm số

3 1

1 2
x
y

x



 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 3; B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x1; C. Đồ
thị hàm số có tiệm cận ngang là

3
2
y 

D. Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận.

Câu 7: Kết luận nào là đúng về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x x 2 ?
A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất và khơng có giá trị lớn nhất;

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

C. Hàm số có giá trị lớn nhất và khơng có giá trị nhỏ nhất;
D. Hàm số khơng có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất.

Câu 8: Cho hàm số





3 2

2 1 1

    

y x m x m x

. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A.  m 1 thì hàm số có hai điểm cực trị; B.  m 1 thì hàm số có cực đại và cực tiểu;

C. Hàm số ln có cực đại và cực tiểu. D.  m 1 thì hàm số có cực trị;

Câu 9: Trong các hàm số sau, những hàm số nào luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó:

4 2 3

2 1

( ) , 2( ) , 3 5 ( )

1
x

y I y x x II y x x III

x


       



A. ( I ) và ( II ) B. Chỉ ( I ) C. ( II ) và ( III ) D. ( I ) và ( III)
Câu 10 Cho hàm số y=3sinx-4sin3x. Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng

;
2 2
 

 

 

  bằng

A. 7 B. 3 C. 1 D. -1
Câu 11: Khoảng nghịch biến của hàm số y 3x x 3x

1 3  2 



là: Chọn 1 câu đúng.



;1



B. (-1 ; 3) C.



3;





;1

 

 3;



Câu 12: Khoảng nghịch biến của hàm số 2 3 3

1 4  2 

 x x

y

là: Chọn 1 câu đúng.



; 3

 

 0; 3



B. 


















 ;

2
3
2

3
;
0



3;





 3;0

 

 3;



Câu 13: Khoảng đồng biến của hàm số y 2xx2 là: Chọn 1 câu đúng.



;1



B. (0 ; 1) C. (1 ; 2 ) D.



1;



Câu 14. Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số 1

1
2





x
x
y

là đúng? Chọn 1 câu đúng.
A. Hàm số luôn đồng biến trên R.

B. Hàm số luôn nghịch biến trên R\{1}

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng



;1

 

và 1;



D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng



;1

 

và 1;



Câu 15. Trong các hàm số sau , hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng (1 ; 3) ? Chọn 1 câu đúng

A. 1

3




x

x
y

B. 2
8
4






x
x
x
y

C. y2x2 x4 D. y x2 4x5
Câu1 6: Cho hàm số f(x) x3 3x2. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai. Chọn 1 câu sai
A. f(x) giảm trên khoảng ( - 1 ; 1) B. f(x) giảm trên khoảng 






2
1

;
1

C. f(x) tăng trên khoảng (1 ; 3) C. f(x) giảm trên khoảng 



 ;3

2
1

Câu 17: Tìm m để hàm số x m
mx
y




 4

đồng biến trên từng khoảng xác định.
Điền vào chỗ trống:………

Câu 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hàm số y x mx mxm

2
3

đồng biến trên R.
Điền vào chỗ trống:………

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Câu 20: Giá trị của m để hàm số ymx4 2x2 1 có ba điểm cực trị là. Chọn 1 câu đúng.
A. m0 B. m0 C. m0 D. m0

Câu 21: Tìm m để hàm số y x4 2mx2 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông.
Điền vào chỗ trống:………

Câu 22: Trên khoảng



0;



. Kết luận nào đúng cho hàm số y x x
1



. Chọn 1 câu đúng.
A. Có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. B. Có giá trị nhỏ nhất và khơng có giá trị lớn nhất.
C. Có giá trị lớn nhất và khơng có giá trị nhỏ nhất. D. Khơng có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Câu 23: Trên nữa khoảng (0;3]. Kết luận nào đúng cho hàm số y x x

1



. Chọn 1 câu đúng.

A. Có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. B. Có giá trị nhỏ nhất và khơng có giá trị lớn nhất.
C. Có giá trị lớn nhất và khơng có giá trị nhỏ nhất. D. Khơng có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Câu 24: Giá trị lớn nhất của hàm số  x2

x
y

trên nữa khoảng ( -2; 4 ] bằng. Chọn 1 câu đúng.
A. 5

B. 3
1

C. 3
2

D. 3
4

Câu 25: Giá trị lớn nhất của hàm số yx3 3x2 9x35 trên đoạn [-4 ; 4] bằng. Chọn 1 câu đúng.
A. 40 B. 8 C. – 41 D. 15

Câu 26: Giá trị lớn nhất của hàm số y 54x trên đoạn [-1 ; 1 ] bằng. Chọn 1 câu đúng.
A. 9 B. 3 C. 1 D. 0

Câu 27: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1
1
1
2







x
x

y

trên đoạn [1 ; 2] bằng . Chọn 1 câu đúng.
A. 5

B. 3
10

C. 3
14

D. 5
24

Câu 28: Giá trị lớn nhất của hàm số 1
3






x
x
x
y

trên đoạn [ 0 ; 3 ] bằng. Chọn 1 câu đúng.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 29: Giá trị nhỏ nhất của hàm số x

x
y





1
1
2

trên đoạn [ 2 ; 3 ] bằng. Chọn 1 câu đúng.
A. 0 B. – 2 C. 1 D. – 5
Câu 30: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ysin3 xcos2xsinx2 trên khoảng 








2
;
2




bằng.
Chọn 1 câu đúng.

A. 27
23

B. 27
1

C. 5 D. 1
Câu 31: Giá trị lớn nhất của hàm số yx 2cosx trên đoạn 





2
;
0 

bằng. Chọn 1 câu đúng.

A. 2 B. 3 C. 4 1



D. 2


Câu 32: Giá trị lớn nhất của hàm số y|x2 4x5| trên đoạn [-2 ; 6] bằng. Chọn 1 câu đúng.
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
Câu 33. Giá trị lớn nhất của hàm số y x 1 x 2 bằng. Chọn 1 câu đúng.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Câu 34: Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 1






x
m
m
x
x
f

trên đoạn
[0 ; 1] bằng – 2.

Điền vào chỗ trống:………

Câu 35: Số đường tiệm cận của hàm số x
x
y





1
1

là. Chọn 1 câu đúng.

A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
Câu 36: Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào sao đây? Chọn 1 câu đúng.

A. x

x
y





1
1

B. 2
2
2





x
x
y

C. x
x
y





1 2

D. x
x
x
y







2
3
2 2

Câu 37: Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào sao đây? Chọn 1 câu đúng.

A. x

x
y

2
1

1





B. 2
2
2





x
x
y

C. x
x
x
y






1
2
2

D. x
x
y






2
3
2 2

Câu 38: Giá trị của m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x m
x
y



 2 1

đi qua điểm M(2 ; 3) là.
Chọn 1 câu đúng.

A. 2 B. – 2 C. 3 D. 0
Câu 39: Số đường tiệm cận của hàm số 2





x
x

x
y

là. Chọn 1 câu đúng.

A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
Câu 40: Cho hàm số 2

1





x
x
y

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai. Chọn 1 câu sai.

A. Đồ thị hàm số trên có tiệm cận đứng x = 2. B. Đồ thị hàm số trên có tiệm cận ngang y = 1
C. Tâm đối xứng là điểm I(2 ; 1) D. Các câu A, B, C đều sai.

Câu 41: Cho hàm số 1
1
1







x
x
y

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai. Chọn 1 câu sai.
A. Đồ thị hàm số trên có tiệm cận đứng x = -1 . B. Đồ thị hàm số trên có tiệm cận xiên y = x+1
C. Tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận. D. Các câu A, B, C đều sai.

Câu 42: Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.

A. yx33x2 1 B. y x3 3x2 1 C. y x3 3x2 1 D. y x3 3x2 1
Câu 43: Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

A. yx4 3x2 3 B. 4 3 3
1 4  2 



 x x

y

C. yx4 2x2 3 D. yx4 2x2 3
Câu 45: Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.

A. y x4 3x2 1 B. yx4 3x2 1 C. yx4 3x2 1 D. yx4 3x2 1

Câu 46: Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.

A. 1

1
2





x
x
y

B. 2 1
1




x
x
y

C. 1
1
2





x
x
y

D. x
x
y





1
2
Câu 47: Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.

A. 2

1
2






x
x
y

B. 2 1
1




x
x
y

C. 2
1





x
x
y

D. x
x
y





2
3
Câu 48: Đồ thị sau đây là của hàm số nào ? Chọn 1 câu đúng.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

A. yx3 3x4 B. yx3 3x2 4 C. y x3 3x 4 D. yx3 3x2 4
Câu 50: Đồ thị sau đây là của hàm số nào ? Chọn 1 câu đúng.

A. yx3 3x2 3x1 B. yx3 3x2 1 C. y x3 3x 1 D. yx3 3x2 1
Câu 51: Đồ thị sau đây là của hàm số nào ? Chọn 1 câu đúng.

A. yx4 3x2 3 B. 4 3 3
1 4  2 



 x x

y

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

A. yx4 3x2 B.

4 3

4
1

x
x
y 

C. yx4 2x2 D. yx4 4x2
Câu 53: Đồ thị sau đây là của hàm số nào ? Chọn 1 câu đúng.

A. yx4 3x2 1 B. 4 3 1
1 4  2 



 x x

y

C. yx4 2x2 1 D. y x4 2x2 1
Câu 54: Đồ thị sau đây là của hàm số nào ? Chọn 1 câu đúng.

A. 1

1
2





x
x
y

B. 1
1




x
x
y

C. 1
2




x
x
y

D. x
x
y






1
3

Câu 55: Đồ thị sau đây là của hàm số nào ? Chọn 1 câu đúng.

A. 1

1
2





x
x
y

B. 1
2




x
x
y

C. 1
1




x
x
y

D. x
x
y





1
2

Câu 56. Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của hàm số 3 2 3 5
1 3  2  

 x x x

y

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

C. Có hệ số góc dương D. Có hệ số góc bằng – 1

Câu 57. Cho hàm số yx3 3x2 3 có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) vng góc với đường
thẳng y x91 2017 là: Chọn 1 câu đúng

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

Câu 58. Số đường thẳng đi qua điểm A(2 ; 0) và tiếp xúc với đồ thị của hàm số yx4 2x2 là:
Chọn 1 câu đúng.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 59: Trong các khẳng định sau về hàm số 1




x
x
y

. Hãy tìm khẳng định đúng. Chọn 1 câu đúng.
A. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. B. Hàm số có một điểm cực trị.
C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. D. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Câu 60. Trong các hàm số sau, những hàm số nào luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó:

4 2 3

2 1

( ) , 2( ) , 3 5 ( )

1
x

y I y x x II y x x III

x


       



A. Chỉ ( I ) b. ( I ) và ( II) C. ( II ) và ( III ) D. ( I ) và ( III
.

CHỦ ĐỀ 2: MŨ VÀ LOGARIT 
I – TỔNG HỢP LÝ THUYẾT

1. Các tính chất của mũ và luỹ thừa
Cho a > 0; b > 0; ,   R. Khi đó

; ; ; ;

Nếu a > 1 thì a > a   > 

Nếu 0 < a < 1 thì a > a   < 

2. Logarit

1. Định nghĩa: a,b > 0; a  1. Số  thoả mãn đẳng thức a = b được gọi là logarit cơ số a của b

và kí hiệu là

2. Các tính chất:

3. Các quy tắc: a > 0; b1 > 0; b2 > 0; a  1 ta có:

- Với a > 0; b > 0; a  1;   R; n  N ta có:

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

4. Logarit thập phân, logarit tự nhiên: hoặc ;

II – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1. Tính đạo hàm của hàm số y =2017x

A. y¢=x2017x-1 B. y¢=2017 ln2017x C.

2017
ln2017

x

y¢=

D. yÂ=2017x

2. Tp xỏc nh ca hm s

3
log
1
x
y
x
ổ- ửữ
ỗ ữ
= ỗỗỗ + ữữ

ố ứl :

A. D = -

(

1;+Ơ

)

B. D = -

(

1;3

)

C. D = - ¥

(

)

D. D =

(

2;+¥

)

3. Nếu m là số nguyên dương, biểu thức nào theo sau đây không bằng với

( )

2 m

?
A. 42m B.

( )

2 . 2m m

C. 4 . 2

( )

m m

D. 24m
4. Kết quả

5
2

a



a0



là biểu thức rút gọn của phép tính nào sau đây?

A. a a.5 B.

3 7

a a

a C. a2 5. a

D.

5
4a

a
5. Cho 0 a 1. Mệnh đề nào sau đây là SAI?

A. 
5

2 2
1
a
a
 
B. 
1
5

a  a C. 2016 2017

1 1

a a D.

5 3

1
a
a 
6. Tập xác định của hàm số





5
2 3
 
y x
là:
A. 
2
\

3
D   

 
 2
4m
B. 
2
;
3
D  

 2 . 2m

( )

3m
C.

2
;

3
D   

 4 . 2m

( )

m D.

2
;

3
D   

 24m

7. Đạo hàm của hàm số 4
1
.
y
x x

là:

A. 4 9

5
'
4
y
x
 

B. 2 4
1
'
.
y
x x

 C. 
4
5
'
4

y  x

D. 4 5

1
'
4
y
x
 
8. Thực hiện phép tính biểu thức



 



2
3. 8 : 5: 4

a a a a

 

 



a0



được kết quả là:

A. a2 B. a8 C. a6 D. a4

9. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. 3 2

4 4 B. 3 3 31,7 C.

1,4 2

1 1

3 3

   

   

    D.

e
2 2
3 3

   
   
   
10. Cho lg2 = a. Tính lg25 theo a?

A. 2 + a B. 2(2 + 3a) C. 2(1 - a) D. 3(5 - 2a)

11. Hàm số y = 32x2 x 1 có đạo hàm là:

A.





2
2

4 1
3. 2 1

x
x x


 

B.









2
2

12x3 2x  x 1

C.





2
2
3
4 1
2 1
x
x x


 
D.



2



3 2 1

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

12. Cho hàm số

y

=

x

é

ë

cos(ln )

x

+

sin(ln )

x

ù

û

. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A.

x y

¢¢

+

xy

¢

-

2 y

=

0

B.

x y

¢¢

-

xy

¢

-

2 y

=

0

C.

x y

¢

-

xy

¢¢

+

2 y

=

0

D.

x y

¢¢

-

xy

¢

+

2 y

=

0

13. Biểu thức x x x.3 .6 5 (x > 0) viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là:

A.

2
3

x B.

7
3

x C.

5
3

x D.

x

14. Cho  > . Kết luận nào sau đây là đúng?

A.  <  B.  >  C.  +  = 0 D. . = 1

15. Cho f(x) = 3x x.6 . Khi đó f(0,09) bằng:A. 0,2 B. 0,4 C. 0,1 D. 0,3
16. Rút gọn biểu thức:





6
12
6 x x1

, ta được:

A. x x2 1 B. -x x6



1



2 C. x6(x + 1) D.





2 1

x x

 

17. Hàm số y = 31 x 2 có tập xác định là:

A. (-1; 1) B. R\{-1; 1} C. R D. (-; -1]  [1; +)
18. Cho f(x) = ln tan x . Đạo hàm f' 4



 
 

  bằng:A. 1B. 2 C. 3 D. 4

19. Cho log 5 a2  . Khi đó log 5004 tính theo a là:

A. 3a + 2 B.





1
3 2

2 a C. 2(5a + 4) D. 6a – 2

20. Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn một quý với lãi suất
1,65% một quý. Hỏi sau bao nhiêu q thì người đó có được ít nhất 20 triệu ?

A. 15 B. 18 C. 17 D. 16

21. Rút gọn :





3 2

3 12 6

.
.
a b

a b ta được :

A.a2 b B.ab2 C.a2 b2 D.ab

22. Rút gọn :

2 4 2 2

3 1 9 9 1 9 1

a a a a

   

   

   

    ta được :

A.

3 1

a  B. a43 1

C.

3 1

a  D. a13 1

23. Tập nghiệm của phương trình log 3 x 1 2

A.



3; 2



B.



10; 2



C.



4;2



D.

 

3
24. Số nghiệm của phương trình log .log 22 x 3



x 1



2.log2xlà

A.1 B.3 C.0 D.2

25. Phương trình 2 2

1 2

5 log x1 log x  có tổng các nghiệm là :

A.
33

64 B.12 C.5 D.66

26. Phương trình log log2



4x



1có nghiệm là :

A.2 B. 4 C.16 D. 8

27. Cho phương trình:









3 2

2 2 2

log x  1 log x   x 1 2log x0

. Phát biểu nào sau đây đúng:

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

28. Phương trình log 9 22





x x

  

tương đương với phương trình nào dưới đây

A.9 2 x  3 x B.x23x0 C.x23x0 D.9 2 x 3 2x
29. Số nghiệm của phương trình log log4



2x



log log2



4x



2 là:

A.0 B.3 C.2 D. 1
30. Tập nghiệm phươngtrình





3 1

log (4 x) 2 log 4x 15

là:
A.



5; 3



B.





5 3

3 ;3

C.
971

; 23
243

  

 

  D.

107
239;

 

 

 

31. Phương trình









log x 7x12 log 2x8

có bao nhiêu nghiệm:

A.0 B.1 C. 2 D.4

32. Phương trình log2



x 1 2



2khơng tương đương với phương trình nào sau đây:

A. x  1 2 4 B. x 1 6 C.x 1 6 D. x 1 2
33. Phương trình4 log25 xlog 5 3x  có nghiệm là:

A.x5;x 5 B.

1
1;

2
x x

C.
1

; 5

5
x x

D.
1

; 5

5
x x
34. Tìm m để phương trình:

3 3

log x m log x 1 0

có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1

A.m 2 B.m2 C.m 2 D.Khôngtồntại m

Chủ đề 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I, Ngun hàm

A- Tóm tắt lý thuyết

1. Khái niệm nguyên hàm và tính chất
1. Khái niệm nguyên hàm

— Cho hàm số f x( ) xác định trên K. Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K
nếu: F x¢ =( ) f x( ), " Ỵx K.

— Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên K thì họ nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K là:

( ) ( ) , .

f x dxì =F x +C const =C ẻ

ũ

2. Tính chất: Nếu f x g x( ), ( ) là 2 hàm số liên tục trên K và k ¹ 0 thì ta ln có:

ị

f x dx¢( ) =f x( )+C. ·

ò

kf x dx( ) =k f x dx

ò

( ) . 
·

ò

êëéf x( )±g x dx( )ûúù =

ò

f x dx( ) ±

ò

g x dx( )

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (vơi C là hằng số tuy ý)



1
x

x dxa a C

a

× = +

ị

( ) 1 ( ) 1

n

n ax b

ax b dx C

a n

+ × = × +

ị


1

dx x C

x× = +

ị

1 dx 1 lnax b C

ax b+ × = ×a + +

ị

 2

1 dx 1 C

x

x × = - +

ị

1 1 1

(ax b+ ) × = -dx a ax b× + +C

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>



ị

sinx dx× = - cosx C+

ò

sin(ax bdx+ ) = - a1cos(ax b+ +) C


ị

cosx dx× =sinx C+

ị

cos(ax b dx+ × = ×) a1 sin(ax b+ +) C

 2

cot
sin x× = -dx x C+

ị

1 1

cot( )

sin (ax b+ )dx= - a ax b+ +C

ị

 2

tan
cos x× =dx x C+

ò

1 1

tan( )

cos (ax b+ )dx=a ax b+ +C

ị



x x

e dx× =e +C

ị

eax b dx 1 eax b C

a

+ × = × + +

ị

 ln

x

x a

a dx C

a

× = +

ị

2 2

1 ln
2

dx x a C

a x a

x a

-= × +

-ị

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

2. Các phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số

Dạng tốn 1. TÍNH NGUN HÀM BẰNG BẢNG NGUN HÀM

Dạng tốn 2. TÍNH NGUN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Định lý: Cho

ò

f u du( ) =F u( )+C và u=u x( ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

( ) ( ) ( ) .

f u x u x dxờộở ỷựỳìÂ ì =F u xờộở ùúû+C

ị

Dạng tốn 3. TÍNH NGUN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUN HÀM TỪNG PHẦN

Dạng tốn 4. TÍNH NGUN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

Bài tốn tổng qt: Tính ngun hàm

( )
,
( )
P x

I dx

Q x

ị

với P x( ) và Q x( ) là các đa thức không
căn.

Phương pháp giải:

— Nếu bậc của tử số P x ³( ) bậc của mẫu số Q x( ) ¾¾ ¾PP ® Chia đa thức.

— Nếu bậc của tử số P x <( ) bậc của mẫu số Q x( ) ắắ ắPP đ Xem xột mõu s và khi đó:

+ Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng
của các

phân số.

+ Nếu mẫu số khơng phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về dạng lượng giác).
B- Bài tập trắc nghiệm

LOẠI 1: DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

DẠNG 1 : DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM

Câu 1. Nguyên hàm F x

( )

của hàm số

( )

2 2 3

5 2
f x

x x x

= + +

- là hàm số nào?

A.

( )

3
ln 5 2 2ln

F x x x C

x

= - - + - +

. B.

( )

3
ln 5 2 2ln

F x x x C

x

= - - + + +

.
C.

( )

3
ln 5 2 2ln

F x x x C

x

= - + - +

. D.

( )

3
ln 5 2 2ln

F x x x C

x

= - - - + +

Câu 2. Cho f x( )= - x3+3x2- 2x. Một nguyên hàm F x( ) của f x( ) thỏa F

( )

1 =0 là:
Tích của đa thức hoặc lũy thừa khai triển.

Tích các hàm mũ khai triển theo công thức mũ.
Chứa căn chuyển về lũy thừa.

Tích lượng giác bậc một của sin và cosin khai triển theo cơng thức tích thành tổng.
Bậc chẵn của sin và cosin Hạ bậc.

Phương Pháp

Định ly: Nếu hai hàm sô và co đa hàm và iin tuc ttrin th 
hay

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

A.

3 2 1

4 4

x x x

- + - +

B.

3 2 1

4 4

x x x

- + -

-C.

3 2 1

4
x

x x

- + -

-D.

3 2 1

4
x

x x

- + - +

Câu 3. Kết quả của

(

)

2 1

x x + dx

ò

bằng:

A.

(

2

)

1
( )

3
x

F x = + +C

B.

(

2

)

1
( )

6
x

F x = + +C

C.

2 3

( )

2 3
x x

F x = ổỗỗỗ +xửữữữữ+C

ỗố ứ D.

(

)

2 3

( ) 1

6
x

F x = x + +C

Câu 4. Tìm họ nguyên hàm F x

( )

của hàm số

( )

3 – 3x

f x = x

, ta được kết quả là:
A.

3 3

( )

ln3

x

F x =x - +C

B.

3 3

( )

ln3

x

F x =x + +C

C.

3 3

( )

3 ln3

x

F x = - +C

D.

3 3

( )

3 ln3

x

F x = + +C

Câu 5. Nguyên hàm của hàm sốf x( )= -(1 2 )x5 là:
A.

1(1 2 )

12 x C

- - +

B. (1 2 )- x 6+C C. 5(1 2 )- x6+C D. 5(1 2 )- x4+C

Câu 6. Tìm hàm số f x

( )

biết rằng f x’

( )

=2x+1 và f

( )

1 =5

A. x2+ +x 3 B. x2+ -x 3 C. x2+x D. Kết quả khác

Câu 7. Tìm hàm số y=f x( ) biết f x¢ =( ) (x2- x x)( +1) và f(0)=3
A.

4 2

( ) 3

4 2

x x

y=f x = - +

B.

4 2

( ) 3

4 2

x x

y=f x = -

-C.

4 2

( ) 3

4 2

x x

y=f x = + +

D. y=f x( )=3x2- 1
DẠNG 2: HÀM SỐ VÔ TỶ ( CHỨA CĂN)

Câu 8. Nguyên hàm của hàm số

1
( )

2x 1
f x =

- là

A.

ò

f x d

( )

x= 2x 1- +C . B.

ò

f x d

( )

x=2 2x 1- +C .
C.

( )

2x 1

f x d = - +C

ò

. D.

ò

f x d

( )

x= - 2 2x 1- +C

Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số

1
( )

3
f x

x
=

- .

A.

ò

f x d

( )

x= - 2 3- x+C. B.

ò

f x d

( )

x= - 3- x+C .
C.

ò

f x d

( )

x=2 3- x C+ . D.

ò

f x d

( )

x= - 3 3- x+C.

Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f x =( ) 2x 1+ .

A.

( )

(

)

x 2x 1 2x 1

f x d = + + +C

ò

. B.

( )

x 2

(

2x 1 2x 1

)

f x d = + + +C

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

C.

( )

x 2x 1

f x d = - + +C

ò

. D.

( )

x 1 2x 1

f x d = + +C

ị

.

Câu 11. Tìm ngun hàm của hàm số f x( )=3x- 2.

A.

( )

(

)

x 2 2

f x d = x- x- +C

ò

. B.

( )

x 3

(

2

)

3 2

f x d = - x- x- +C

ò

.

C.

( )

(

)

x 2 2

f x d = x- x

-ò

. D.

( )

x 1

(

2

)

f x d = x- - +C

ò

.

Câu 12. Hàm số

( ) (

)

1 1 2016

F x = x+ x+ +

là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A.

( )

(

)

1 1

f x = x+ x+

B.

( )

(

)

1 1

f x = x+ x+ +C

C.

( )

(

)

2 1 1

f x = x+ x+

D. f x

( ) (

= x+1

)

x+ +1 C

Câu 13. Biết một nguyên hàm của hàm số

( )

1 1

1 3
f x

x

= +

- là hàm số F x

( )

thỏa mãn

( )

1 2

F - =

. Khi đó F x

( )

là hàm số nào sau đây?
A.

( )

2 1 3x 3

F x = -x - +

B.

( )

2 1 3x 3

F x = -x -

-C.

( )

2 1 3x 1
3

F x = -x - +

D.

( )

4 1 3x

F x = -

-DẠNG 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 14. Cho hàm số f x( )=2x+sinx+2cosx. Một nguyên hàm F x( ) của f x( ) thỏa F(0)=1
là:

A. x2- cosx+2sinx+2 B. x2+cosx+2sinx+2
C. 2 cos+ x+2sinx D. x2+cosx+2sinx- 2

Câu 15. Một nguyên hàm của hàm số f x( )=tan2x là:
A.

tan
3

x

B.

tan 1

3 cos

x

x C. tanx x- D. 3

2sin
cos

x
x
Câu 16. Một nguyên hàm của hàm số f x( )=cos4x- sin4x là:

A. cos2x B.

1sin2

2 x C. 2sin2x D. cos x2

Câu 17. Biết

(

)

( ) 1 tan

F x =

ị

+ x dx

khi đó F x( ) là:

A. 2

1
( )

cos

F x C

x

= +

B. F x( ) tan= x C+
C. F x( )=- tanx C+ D. F x( ) cot= x C+

Câu 18. Gọi F x1( )là nguyên của hàm số

1( ) sin

f x = x thỏa mãn F1(0)=0

và F x2( )là nguyên của

hàm số f x2( )=cos2x thỏa mãn F2(0)=0. Khi đó phương trình F x1( )=F x2( ) có nghiệm

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

A. x= 2+k k Z, Ỵ
p

p

B. x= 2k k Z, Ỵ
p

C. x=k k Zp, Ỵ D. x=k2 ,pk ZỴ

Câu 19. Nguyên hàm của hàm số: y=cos .sin2x x là:
A.

1cos

3 x C+ B. - cos x C3 +

C.

1sin

3 x C+ D. Đáp án khác.

Câu 20. Một nguyên hàm của hàm số: y=cos5 .cosx x là:

A. F x

( )

=cos6x B. F x

( )

=sin6x
C.

1 1sin6 1sin4

2 6 x 4 x

ổ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ D.

1 sin6 sin4

2 6 4

x x

ổ ửữ

ỗ ữ

- ỗỗ + ữữ

ỗố ứ

Cõu 21. Tỡm

(sinx+1) cosxdx

ũ

l:

A.

(cos 1)
4

x+ +C

B.

sin

x+C

C.

(sin 1)
4

x+ +C
D.

4(sinx+1) +C

Câu 22. Nguyên hàm của hàm số y=sin .cos3x x là:
A.

1
( ) sin

F x = x C+

B.

( ) sin

F x = - x C+

C.

1
( ) cos

F x = x C+

D.

( ) cos

F x = - x C+
DẠNG 4: HÀM SỐ MŨ, LOGARIT

Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=ex- e-x.
A.

( )

x x

f x d =e +e- +C

ò

. B. f x d

( )

x= -ex +e-x +C

ò

.

C.

( )

x x

f x d =e - e- +C

ò

. D. f x d

( )

x= -ex- e-x +C

ò

.

Câu 24. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=2 .3x -2x.

A.

( )

2 1

x .

9 ln2 ln9

x

f x d =ổửỗ ữỗ ữỗ ữữ +C

ỗ

-ố ứ

ũ

. B.

( )

9 1

x .

2 ln2 ln9

x

f x d =ổửỗ ữỗ ữỗ ữữ +C

ỗ

-ố ứ

ũ

C.

( )

2 1

x .

3 ln2 ln9

x

f x d =ổửỗ ữỗ ữỗ ữữ +C

ỗ

-ố ứ

ũ

. D.

( )

2 1

x .

9 ln2 ln9

x

f x d =ổửỗ ữỗ ữỗ ữữ +C

ỗ +

ố ứ

ũ

Cõu 25. H nguyờn hàm của hàm sốf x( )=ex(3+e-x) là

A. F x( )=3ex + +x C . B. F x( )=3ex +exlnex +C .
C.

1
( ) 3 x

x

F x e C

e

= - +

. D. F x( )=3ex- x C+ .

Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )= e4x 2- .
A.

( )

2x 1

1
x

f x d = e - +C

ò

. B. f x d

( )

x=e2x 1- +C

ò

.

C.

( )

4x 2

1
x

f x d = e - +C

ò

. D.

( )

x 1 2x 1

f x d = e - +C

ị

.

Câu 27. Tính (3cos 3 )

x

x- dx

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

A.

3
3sin

ln3

x

x- +C

B. 
3
3sin
ln3
x

x C
- + +
C. 
3
3sin
ln3
x

x+ +C

D.
3
3sin
ln3
x
x C
- - +

Câu 28. Hàm số

( )

tan

x

F x =e + x C+

là nguyên hàm của hàm số f x( )nào?

A. 2

1
( )

sin

x

f x e

x

-B. 2

1
( )

sin

x

f x e

x

= +

C. 2

1
( )

cos

x

f x e

x

= +

D. Kết quả khác
DẠNG 5: HÀM PHÂN THỨC

Câu 36. Một nguyên hàm của hàm số

3 5
2
x
y
x
+
=

+ là:

A. F x( )=3x+4lnx+ +2 C B. F x( )= - 3x+lnx+ +2 C
C. F x( )=3x- lnx+ +2 C D. F x( )=3x+lnx+ +2 C

Câu 37. Một nguyên hàm của hàm số ( ) 1

x
f x

x
=

+ là:

A. lnx +1 B. x+lnx+1 C. x- lnx+1 D. 2lnx +1

Câu 38. Cho hàm số

2
2
2 1
( )
2 1
x x
f x
x x
+
-=

+ + . Một nguyên hàm F x( ) của f x( ) thỏa F(1)=0 là:

A. 
2 2
1
x
x

+
-+ B. 
2 2
1
x
x
+ +

+ C.

(

)

2ln 1

x- x+

D. 
2 2
1
x
x
- +
+

Câu 39. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số

( )

(

)

(

)

2
1
x x
f x
x
+
=
+
?
A. 
2 1
1
x x
x
-
-+ B. 
2 1
1
x x
x
+ +
+ C. 
2
1
x

x + D.

2 1
1

x x
x
+
-+

Câu 40. Cho hàm số

( )

(

)

2
2
3
1
x
f x
x
+
=

. Một nguyên hàm F x

( )

của f x

( )

thỏa F

( )

1 = - 4 là:
A. 
2
2
2
2ln 4
2
x x
x
+ - +
B. 
2
2

1
2ln 4
2 2
x x
x
+ -
-C. 
2
2
2
2ln 4
2
x x
x
+ -

-D.

( )

3 2

F x =x - x C+
LOẠI 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Câu 1. Tính 2
1
2 5
x dx
x x

-- +

ị

A. 2

2 2

2 5

x C

x x

- +

- + B. 2 x2- 2x+ +5 C

C.

2 2 5

x - x+ +C

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số

( )

2

1
x

f x

x
=

+ là
A.

( )

ln 1

F x = x + +C

B.

( )

2 1

F x = x + +C

C.

( )

2 1

F x = x + +C

D.

( )

(

)

3 1

F x C

x

= +

Câu 3. Một nguyên hàm của hàm số

( )

sin

cos . x

f x = xe

là
A.

( )

sinx

F x =e

B.

( )

cosx

F x =e

C.

( )

sinx

F x =e

D.

( )

sin

sin . x

F x = xe

Câu 4. Cho hàm số

( )

(

)

2016

2 1

f x =x x +

. Khi đó :

A.

( )

(

2

)

2017

1
4034
x

f x dx= + +C

ò

B.

( )

(

)

2016

2 1

4032
x
f x dx= +

ò

C.

( )

(

)

2016

2 1

2016

x
f x dx= +

ò

D.

( )

(

)

2017

2 1

2017
x
f x dx = +

ò

Câu 5. Hàm số

( )

x

F x =e

là nguyên hàm của hàm số

A.

( )

2 x

f x = xe

B.

( )

2x

f x =e

C.

( )

2
2
x
e
f x
x
=

D.

( )

2 x 1

f x =x e

-Câu 6. Kết quả của

ò

cosx sinx+1dxbằng:

A.

(

)

( ) sin 1

F x = x+ +C

B.

(

)

( ) sin 1

F x = - x+ +C

C.

(

)

( ) sin 1

F x = x+ +C

D.

(

)

( ) sin 1

F x = x+ +C

Câu 7. Kết quả của 3

x
x
e dx
e +

ò

bằng:

A. F x( )= ex + +3 C B. F x( )=2 ex + +3 C

C. F x( )=ex + +3 C D. 
( )

x
x

e

F x C

e x

= +

Câu 8. Hàm số

( ) x

f x
x
=

có các nguyên hàm là:

A. F x( )=ln2x C+ B.

1
( ) ln

F x = x C+

C.

1
( ) ln

F x = x C+

D. 2

1
( )

F x C

x x

= +

Câu 9. Tìm nguyên hàm F x

( )

biết 2

2
( )
1
x
f x
x x
=

+ - . Kết quả là:

A.

(

)

3 2 2

2 2

( ) 1 1

3 3

F x = x - x - x

-B.

(

)

3 2 2

2 2

( ) 1 1

3 3

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

-C.

(

)

3 2 2

2 2

( ) 1 1

3 3

F x = x - x + x

-D.

(

)

3 2 2

2 2

( ) 1 1

3 3

F x = x + x + x

-Câu 10. Tìm nguyên hàm F x

( )

biết

sin

( )

sin cos
x
f x

x x

+ . Kết quả là:

A.

(

)

( ) ln sin cos

F x = x- x+ x +C

B.

(

)

( ) ln sin cos

F x = x+ x+ x +C

C.

(

)

( ) ln sin cos

F x = x- x- x +C

D.

(

)

( ) ln sin cos

F x = x+ x- x +C

LOẠI 3: PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Câu 1. Một nguyên hàm của hàm số f x( )=xex là:
A. ex +C B.

(

)

x

e x- +C

C.

(

)

x

e x+ +C

D.

x

e +C
Câu 2. Một nguyên hàm của hàm số f x( )=(x2+2 ).x ex là:

A. (2x+2).ex B. x e2 x C. (x2+x e). x D. (x2- 2 ).x ex

Câu 3. Cho hàm số f x( )=xe. -x. Một nguyên hàm F x( ) của f x( ) thỏa F(0)=1 là:

A. - (x+1)e-x +1 B. - (x+1)e-x +2 C. (x+1)e-x +1 D. (x+1)e-x +2

Câu 4. Nguyên hàm của hàm số

( ) x

f x =xe là hàm số:

A.

( ) 2 x

F x = e B.

1
( )

x

F x = e

C.

( ) 2 x

F x = x e D. F x( )=ex2 +xex2

Câu 5. Cho 1

( ) ln

x

f x =

ò

tdt

. Đạo hàm f x'( ) là hàm số nào dưới đây?
A.

x B. lnx C. ln x2

D.

1ln

2 x

Câu 6. Hàm số f x( )=(x+1)sinx có các nguyên hàm là:

A. F x( )=(x+1)cosx+sinx C+ B. F x( )= - (x+1)cosx+sinx C+
C. F x( )= - (x+1)cosx- sinx C+ D. F x( )=(x+1)cosx- sinx C+

Câu 7. Gọi hàm số F x( )là một nguyên hàm của f x( )=xcos3x, biết F(0)=1. Vậy F x( ) là:
A.

1 1

( ) sin3 cos3

3 9

F x = x x+ x C+

B.

1 1

( ) sin3 cos3 1

3 9

F x = x x+ x+

C.

( ) sin3

F x = x x

D.

1 1 8

( ) sin3 cos3

3 9 9

F x = x x+ x+

Câu 8. Tìm

ị

xcos2xdx là:
A.

1 sin2 1cos2

2x x+4 x C+ B.

1 sin2 1cos2
2x x+2 x C+
C.

2sin2

x x+C

D. sin2x C+

Câu 9. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?
A.

2.cos

sin

x x

x xdx=- +C

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

C.

ò

xcosxdx=xsinx+cosx C+ D.

cos2 1

sin2 sin2

2 4

x x

x xdx=- + x C+

ò

Câu 10. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?
A.

3 1 3

3 9

x

x xe x

xe dx= - e +C

ò

B. xe dxx =xex- ex +C

ò

C.

.
2

x x x

xe dx= e +C

ò

D. x x 1x

xdx x C

e e e

-= - +

ị

II, TÍCH PHÂN
Khái niệm tích phân

① Cho hàm số f x( ) liên tục trên K và a b K, Î . Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của f x( ) trên

K thì F b( )- F a( ) được gọi là tích phân của f x( ) từ a đến b và được kí hiệu là

ị

( ) .

b

a

f x dx

Khi đó:

ị

( )× = ( ) = ( )- ( ),

b

b
a
a

I f x dx F x F b F a

với a gọi là cận dưới, b là cận trên.

② Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác nhau thay cho x, nghĩa là:

ị

( )× =

ị

( )× =

ị

( )× = ×××××= ( )- ( ).

b b b

a a a

I f x dx f t dt f u du F b F a

③ Nếu hàm số y= ( )f x liên tục và không âm trên đoạn é ùê úë ûa b; thì diện tích S của hình thang cong giới

hạn bởi đồ thị của y= ( ),f x trục Ox và hai đường thẳng x=a x, =b là:

ị

( )× ×

b

a

S f x dx

Tính chất của tích phân



-ị

( )

ị

( )

b a

a b

f x dx f x dx

và

ò

( ) 0.

a

f x dx



ò

( )

ò

( ) ,

b b

a a

kf x dx k f x dx

với (k¹ 0).



é ± ù = ±

ê ú

ë û

ị

( ) ( )

ò

( )

ò

( ) .

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx



= +

ò

( )

ò

( )

ò

( ) .

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

Dạng tốn 1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM

1. Nếu

ò

( )

0 f x dx 10 và

ò

( )

=
4

0 f x dx 7 thì

ị

( )

4 f x dx có giá trị là:

A. 17 B. 170 C. 3 D. –3

2. Cho

( )

ò

f x dx

và

( )

-ò

f t dt

( )

ò

f u du

có giá trị là :

A.– 2 B. – 4 C. 2 D. 4

3.Cho biết

( )

ò

5 5

2 2

3; 9

f x dx g x dx

. Giá trị của

( )

é ù

ò

êë + úû

A f x g x dx

là

A. Chưa xác định B. 12 C. 3 D. 6

4.Giả sử

ò

( ) 2

b
a

f x dx

và

ò

( ) 3

b
c

f x dx

và a < b < c thì

ò

( )

c
a

f x dx

bằng?

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

5.Cho hàm số f x

( )

liên tục trên đoạn ëéê0;10ûúù thoả:

ò

( )

ò

( )

10 6

0 f x dx 7, 2 f x dx 3. Khi đó, giá trị

của =

ò

( )

ò

( )

2 10

0 6

P f x dx f x dx

là

A. P = 1 B. P = 4 C. P = 3 D. P = 2

6.Nếu f

( )

1 =12, f x'

( )

liên tục và

( )

ò

' 17

f x dx

. Giá trị của f

( )

4 bằng

A. 29 B. 5 C. 15 D. 19

7.Nếu f x

( )

liên tục và

( )

ò

f x dx

thì

( )

ị

0
2

f x dx

bằng

A. 29 B. 5 C. 9 D. 19

8.Nếu

( )

ò

d
a

f x dx

và

( )

ò

d

b

f x dx

, với a d b< < thì

ị

( )

b

a f x dxcó giá trị là:

A. 7 B. 3 C.- 3 D. 5

8. Cho f x( ) là hàm số liên tục trên é ùê úë ûa b; . Đẳng thức nào sau đây sai?

-ò

( )

ò

( )

b a

a b

f x dx f x dx

= - " Ỵ

ị

( ) ¡

b

a

kdx k b a k

(

é ù

)

= + Ỵ ê úë û

ò

( )

ò

( )

ò

( ) , ;

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx c a b

ò

( )

ò

( )

b a

a b

f x dx f x dx

9.Biết

(

)

ị

2 4 0

b

x dx

, khi đó b nhận giá trị bằng

A.
é =
ê
ê =
ê

ë
1
4
b
b
B.
é =
ê
ê =
ê
ë
0
2
b
b
C.
é =
ê
ê =
ê
ë
1
2
b
b
D.
é =
ê
ê =
ê

ë
0
4
b
b

10.Tìm m, biết

(

)

ò

2 5 6

m

x dx

A. m=1,m= - 6. B. m=1,m=6. C. m= - 1,m= - 6. D. m= - 1,m=6.

11.Cho

ò

( ) ( )

x

F x t t dt

. Giá trị nhỏ nhất của F x( ) trên éë-ê ú1;1ùû là:

3 B. 1 C.

-5
6 D. 
5
6
12.Cho

( )

ị

2
0
3

f x dx

. Khi đó

( )

é - ù
ê ú
ë û

ò

2
0

4f x 3dx

bằng:

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

13.Các số thực x sau đây thỏa mãn đẳng thức

(

)

ò

- =

1 0

x

I t dt

là.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Dạng tốn 2. TÍNH TÍCH PHÂN BNG PHNG PHP I BIN S

ộ ựìÂ ì = ộ ù = é ù- é ù×
ê ú ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û ë û

ò

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b
a
b

f x u x dx F u x F u b F u a
a

Bươc 1. Biến đổi để chọn phép đặt t=u x( )ị dt=u x dxÂ( )ì (xem li các phương pháp đổi biến số
trong phần nguyên hàm)

Bươc 2. Đổi cận:

ì ì
ï = ï =
ï Þ ï
í í
ï = ï =
ï ï
ỵ ỵ
( )
( )

x b t u b

x a t u a

(nhớ: đổi biến phải đổi cận)

– Bươc 3. Đưa về dạng

ị

×
( )
( )
( )
u b
u a

I f t dt

đơn giản hơn và dễ tính tốn.

Câu 1.Biến đổi

ị

+ +

0 1 1

x

dx

x thành

ò

( )

f t dt

với t= 1+x. Khi đó f t

( )

là hàm nào trong các
hàm sau đây?

A.

( )

-2

2 2

f t t t

B.

( )

= +

f t t t

C.

( )

= +

2 2

f t t t

D.

( )

-2

f t t t

1.Cho tích phân

1
3
0

1x xd



,với cách đặt t 31xthì tích phân đã cho bằng với tích phân nào

A.

1
3
0

3 t dt



. B.

1
2
0



t td

. C.

1
3
0



t t

. D.

3 d



t t

.
2.Tích phân
2 3
2
2
3
d
3
I x
x x






bằng: A.6


. B.. C.3


. D.2

.

3.Tích phân





2 2 2

d 0

a

x a x x a



bằng A.

4
.
8
a

. B.
4
.
16
a

. C.
3
.
16
a

. D.
3
.
8
a

.

4.Biết tích phân

3
0

1 



x xdx M

N , với MN là phân số tối giản. Giá trị M N bằng:

A.35 B.36 C.37 D.38

5.Đổi biến x = 2sint tích phân

0 4



dxx

trở thành:
A.
6
0




tdt
B.
6
0





dt
C.
6
0
1




dt
t D.
3
0




dt
Dạng toán 3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Định lý: Nếu u= ( )u x và v= ( )v x là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn é ùê úë ûa b; thỡ:

ộ ự
Â Â
=

ũ

( )ì ( )ì =ờở( ) ( )× úû -

ị

( ) ( )× ×
b b
b
a
a a

I u x v x dx u x v x u x v x dx

hay
=

ò

= . -

ò

.
b b
b

a
a a

I udv uv vdu

Câu 1. Biết rằng tích phân

(

)

= +

ị

2x 1e dxx a be.

. Khi đó tích ab bằng

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Câu 2. Tìm a0 sao cho

2
0

. 4



ax e dxx
A.4. B.

4. C.

2. D.2.

Câu 3. Cho hàm số : 3

( ) .

( 1)

 



x

a

f x bxe

x Tìm a và b biết rằng f '(0) 22 và

( ) 5



f x dx

A.a 2,b 8. B.a2,b8 . C.a8,b2. D.a 8,b 2 .

Câu 4. Biết rằng :

cos 2 (as 2 cos 2 )
4

x xdx in b c



, với a b, , c Z . Mệnh đề nào sau đây là đúng:
A.2a b c   1. B.a2b c 0 . C.a b c  0. D.a b c  1 .

Câu 5. Cho m là một số dương và 0

(4 ln 4 2 ln 2)

m

x x

I 



 dx

. Tìm m khi I = 12

A.m4. B.m3 . C.m1. D.m2 .

Câu 6: Biết

2
0

(2 1)cos  



x xdx m n



. Tính T  m 2 .n

A. T  5. B. T  3. C. T  1. D. T 7.

Câu 7: Cho tích phân

p

ị

2 sin

0 sin2

x

I xe dx

. Một học sinh giải như sau:

Bước 1:́ Đặt t =sinxÞ dt =cosxdx . Đổi cận

p

= Þ =

Þ =

= Þ =

ị

1
0

0 0

2
1

t

x t

I tedt

x t

Bước 2:́ Chọn

ì ì

ï = ï =

ï ï

ï Þ ï

í í

ï = ï =

ï ï

ỵ t ỵ t

u t du dt

dv edt v e Þ

ị

1 = 1-

ị

1 = - 1 =

0 0

0 0 1

t t t t

tedt te edt e e

Bước 3:́ =

ò

1
0

2 t 2

I tedt

Hỏi bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A. Bài giải trên sai từ bước 1. B. Bài giải trên sai từ bước 2 .
C. Bài giải trên hoàn toàn đúng. D. Bài giải trên sai ở bước 3.
CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC

I. TỔNG HỢP Lí THUYT.
Dng toỏn 1.

ắắđ Phng phỏp gii:

Ã Bươc 1. Gọi số phức cần tìm là z= +x yi với x y Ỵ ¡, .

· Bươc 2. Biến đổi điều kiện K (thường liên quan đến mơđun, biểu thức có chứa z z, , z ,...) để đưa

về phương trình hoặc hệ phương trình nhờ 2 số phức bằng nhau, rồi suy ra x và

...
yÞ z=

 Lưu ý. Trong trường phức £, cho số phức z= +x y i. có phần thực là x và phần ảo là y với

x y Ỵ ¡ và 2

i =- . Khi đó, ta cần nhớ:

· Mơnđun của số phức z= +x y i. là z =OM = x2+y2
uuuur

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

· Số phức liên hợp của z= +x y i. là z= -x y i. (ngược dấu ảo).

· Hai số phức z1= +x1 y i1. và z2=x2+y i2. được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi

1 2
1 2

x x
y y

ìï =
ïí
ï =

ïỵ (hai số

phức bằng nhau khi và chỉ khi thực = thực và ảo = ảo).

· Trong bài tốn tìm thuộc tính của số phức z thỏa mãn điều kiện K cho trước, nếu K là thuần z

(tất cả đều z) hoặc thuần z thì đó là bài tốn giải phương trình bậc nhất (phép cộng – trừ – nhân
– chia số phức) với ân z (hoặc z). Con nếu chứa hai loại trở lên ( , , )z z z thì ta sẽ gọi z= +x yi,

( ; x yẻ Ă )ị z= -x yi. T ú s dng các phép toán trên số phức để đưa về hai số phức bằng nhau

khi và chỉ khi thực = thực, ảo = ảo để giải hệ phương trình tìm x y, Þ z.
Xét phương trình bậc hai az2+bz+ =c 0, ( )* với a ¹ 0 có biệt số: 2

4 .

b ac

D = - Khi đó: 
· Nếu D =0 thì phương trình ( )* có nghiệm kép: 1 2

b
z z

a

= =- ì

Ã Nu D ạ 0 v gọi d là căn bậc hai D thì phương trình ( )* có hai nghiệm phân biệt là:

b
z

a
d

- +
=

hoặc 2

b
z

a
d

-= ×

 Lưu ý

· Hệ thức Viét vẫn đúng trong trường phức £: 1 2

b
z z

a

và 1 2

c
z z

a

= ×

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
Dạng 1: Số phức

Câu 1. Trong những số sau số nào là số ảo: 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6 3

A. 3 B. 3 3 C. 5 3 D. 3;4 3;6 3

Câu 2. Số nào trong các số sau là số thực?

A.



3 2 i

 

 2 2 i



B.



2i 5

 

 2i 5



C.





2
1i 3

D.

2
2

i
i



Câu 3. Số nào trong các số sau là số thuần ảo?

A.



2 3 i

 

 2 3 i



B.



2 3 i

 

 2 3 i



C.





2 2i D. 2 32 3 ii
Câu 4. Phần ảo của số phức

z

2 biết

1
4 3

i

z i

i


  

 là:

A. 
644

25 B.

644

27 C.

644

29 D.

644
31
Câu 5. Số z z là:

A. Số thực B. Số ảo C. 0 D. 2

Câu 6. Số z z là:

A. Số thực B. Số ảo C. 0 D. 2i

Câu 7. Môđun của 1 2i bằng

A. 3 B. 5 C. 2 D. 1

Câu 8. Môđun của 2iz bằng

A. 2 z B.

2z

C. 2 z D. 2

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

A.

5 B.

10 C.

6 D.

26
12
Câu 10.Cho số phức thỏa

2(1 2 )

(2 ) 7 8

i

i z i

i



   

 . Môđun của số phức w z  1 i bằng:

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

Câu 11.Phần ảo của số phức

z

, biết z ( 2i) (12  2 )i là:

A.



2

B.

2

C.

2

D.



2

Câu 12.Môđun của số phức z   5 2i (1 )i 3 là :

A. 7 B. 3 C. 5 D.

2

Câu 13.Số phức z thỏa mãn z2



z z



 2 6i có phần thực là

A. 6 B.

5 C.



1

3
4
Câu 14.Cho số phức thỏa mãn z 



1 2i z



 2 4i. Tìm mơđun của w z2z?

A. 10 B. 10 C. 5 D. 5

Câu 15.Cho số phức z 5 2i. Số phức z1 có phần ảo là :

A. 29 B.

21

29 D.

2
29

Dạng 2: Biểu diễn

Câu 1. Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phần thực là 2 là:
A. x 2 B. x2 C. x1 D. x 1

Câu 2. Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phần ảo bằng 3 là:

A. x3 B. y 3 C. y3 D. x2

Câu 3. Trong mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn z  1 i 3
A. Đường thẳng y = 3 B. Đường thẳng x = -3

C. Đường thẳng y x 3 D. Hình tron tâm I(-1;1), R = 3

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn



8 

9 



3 

i

z

là đường tron có tọa độ tâm I và bán kính R lần lượt là:

A. I(8;-9), R = 3 B. I(8;9) , R = 3 C. I(8;9), R = 3 D. I(-8;-9), R = 3

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
i

z
z
i

z 2

2    

là một đường thẳng có phương trình:
A. 

1
4
y x

B.

 1 2

y x

C. 

1
2
y x

D.  

y x

Câu 6. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn

  
 

2 3
1
4

z i

z i là một đường thẳng có
phương trình:

A. 3x  y 1 0 B. 3x  y 1 0 C. x  y 1 0 D. x3y 1 0

Câu 7. Tập nghiệm biểu diễn số phức z thỏa

 
 1
z i
z i là:

A. Đường tron B. Điểm C. Elip D. Đường thẳng

Câu 8. Số phức z 2 3i có điểm biểu diễn là:

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Câu 9. Điểm biểu diễn của số phức

1
2 3

z

i



 là:



2;3



B.

2 3
13 13

 

 

 ;  C.



3;2



D.



4;1



Câu 10.Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện số
phức zi (2 i) 2 là :

A. 3x4y 2 0 B. (x1)2(y2)2 9
C. (x1)2(y2)2 4 D. x2y 1 0

Câu 11.Cho số phức z  0. Biết rằng số phức nghịch đảo của z bằng số phức liên hợp của nó. Trong
các kết luận nào đúng:

A. z  R B. z là một số thuần ảo

C. z 1 D. z 2

Câu 12.Trong mặt phẳng phức, các điểm A, B, C lần lượt biểu diễn của các số phức z1 = -1 + 3i,

z2 = 1 + 5i, z3 = 4 + i. Số phức với điểm biểu diễn D sao cho tứ giác ABCD là một hình bình hành là:

A. 2 + 3i B. 2 - i C. 2 + 3i D. 3 + 5i

Câu 13.Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức z1, z2. Khi đó đọ dài của véctơ AB

uuur
bằng:

A. z1  z2 B. z1  z2 C. z1z2 D. z1z2

Câu 14.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z, biết 3zi 4 2 là

A. Điểm B. Đường thẳng C. Đường tron D. Elip

Câu 15.Biết z i 



1i z



, tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phương trình?
A. x2y22y 1 0 B. x2y22y 1 0
C. x2 y22y 1 0 D. x2y22y 1 0

Câu 16.Số phức z = 2 - 3i có điểm biểu diễn là:

A. (2; 3) B. (-2; -3) C. (2; -3) D. (-2; 3)

Câu 17.Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tư là các điểm biểu diễn các số phức



 



4 2 6

; 1 1 2 ;

1 3

i i



 

  . Tam giác ABC

A. Vuông B. Vuông cân C. Đều D. Cân

Dạng 3: Biểu diễn

Câu 1. Trong tập hợp số phức, căn bậc hai của -4 là:

A.-2i B. 2i C.

2i

D. -2

Câu 2. Căn bậc hai của số thực a âm là:

a

i a

i a

i a

Câu 3. Tìm số phức z có phần ảo khác 0, thỏa mãn z  (2 i) 10 và z z. 25?

A. 4 3i B. 4 3i C. 3 4i D. 3 4i

Câu 4. Gọi z1 và z2 lần lượt là nghiệm của phươngtrình: z22 5 0z  . Tính F z1  z2

A. 2 5 B. 10 C. 3 D. 6

Câu 5. Giải phương trình trên tập số phức:

2 x



6 x



29 0



A.

3 7
2

i
x 

B. 1 2

3 7 3 7

;

2 2

i i

x   x  

C.

3 7
2

i
x 

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Câu 6. Tập hợp các nghiệm của phương trình

z
z

z i



 là:

A.



0;1 i



B.

 

0 C. 1 i D.

 

0,1

Câu 7. Nghiệm của phương trình sau trên C: z2  z4 50
 A. z1 1,z2 5,z3 2 7i,z4 2 7i B.

C. , , D. ,

Câu 8. Giải phương trình sau trên C: z49z218z 9 0,
A. 1,2

3 3

2
i
z  

, 3,4

3 3

2
i
z  

B. ,

C. , D. ,

Câu 9. Số nghiệm của phương trình

4
1

z i
z i

  
  

  trên trường số phức là:

A.2 B.3 C.4 D.5

Câu 10.Nghiệm của phương trình sau trên C:

2 2 35 0

z  z  

A. z 5 B. z 4 C. z 3 D. z 2

Câu 11.Nghiệm của phương trình sau trên C:



 



4 4

3 5 16

z  z 

A.
  
  


   

1
2
3,4
3
5
4 7
z
z
z i
B. 
 

   

1,2
3,4
3
4 7
z
z i
C. 
 

   

1,2
3,4
5

4 7
z
z i
D. 
 

   

1,2
3,4
3
4 7
z i
z i

Câu 12.Nghiệm của phương trình sau trên C:

4
16
z i
z i

  
  
 
A., 

  

  


  
 

1
2
3,4
3
1
3
4 3
5
z i
z i
i
z
B. 
 

  
 

1,2
3,4
3
4 3
5
z i
i
z

C. 
 

  
 

1,2
3,4
3
4 3
5
z i
i
z
D. 
  


 
 

1,2
3,4
1
3
4 3
5
z i
i
z

Câu 13.Tìm số phức z thỏa mãn z2   1 1 2 3i?

A. 1 3 à 1i v  3i B. 1 3 à 1i v   3i

C.  1 3 à 1i v  3i D. 1 3 à 1i v   3i

Câu 14.Gọi z1 và z2 là các nghiệm của phương trình z2 2z 5 0. Tính P z z

4 4

1 2

A. – 14 B. 14 C. -14i D. 14i

CHỦ ĐỀ 6: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Cần nhơ:

1
sin
2

ABC

S  ab C acsinB
2

1


=2bcsinA
1

( )( )( ),

4 2

abc a b c

pr p p a p b p c p

R

 

      

S ABC 2ah
1




</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Tam giác vuông: 2
1

S

tích hai cạnh góc vng

Hình vng: S  tích hai cạnh Hình chữ nhật: tích chiều dài và rộng

Hình thoi: S  tích hai đường chéo Hình thang : 2
1

S

(đáy lớn + đáy bé ).chiều cao

THỂ TÍCH HÌNH CHĨP : V 3Sđáy.h
1


( h: chiều cao của hình chop)
THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ: V Sđáy.h

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Câu 1. Cho khối chóp S ABC. có SA



ABC



, tam giác ABC vuông tại B, AB a AC a ,  3. Tính
thể tích khối chóp S ABC. biết rằng SB a 5

3 2

a

3 6

a

3 6

6
a

3 15

6
a

Câu 2. Cho khối chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên



SAB



và



SAC



cung vng góc với đáy. Tính thể tích khối chóp biết SC a 3

A.
3

2 6

9
a

3 6

12
a

C.
3 3

4
a

D.
3 3

a

Câu 3. Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cung vng góc
với (SBC). Tính thể tích hình chóp .

A.
3 3

a

3 3

a

3 3

a

D.
3 2

a

Câu 4. Cho hình chóp SA BC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vng góc
với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích hình chóp

3 6

48
a

B.
3 3

24
a

C.
3 6

a

3 6

a

Câu 5. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vng góc với đáy ABC và
(SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp

3 3

a

3 3

a

D.
3 3

a

Câu 6 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng có cạnh a và SA vng góc đáy ABCD

và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích hình chóp SA BCD

3 3

a

B.
3

2 3
3
a

C.
3 3

a

D. a3 3

Câu 7. Cho khối chóp S ABCD. có đay ABCD là hình chữa nhật tâm O, AC2AB2 ,a SA vng
góc với đáy. Tính thể tích khối chóp biết SD a 5

5
3
a

3 15

a

C. a3 6 D.

3 6

a

Câu 8. Cho khối chóp S ABCD. có đáy là hình vng cạnh a. Hai mặt phẳng



SAB

 

, SAD



cung
vng góc với đáy. Tính thể tích khối chóp biết SC a 3

A.
3

9
a

B.
3 3

a

C. a3 D.

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Câu 9. Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật AD2 ,a AB a . Gọi H là trung
điểm của AD , biết SH 



ABCD



. Tính thể tích khối chóp biết SA a 5.

2 3
3
a

4 3

3
a

4
3
a

2
3
a

Câu 10. Cho khối chóp S ABCD. có đáy là hình vng cạnh 2a. Gọi H là trung điểm cạnh AB biết





SH  ABCD

. Tính thể tích khối chóp biết tam giác SAB đều
A.

2 3

3
a

4 3

3
a

6
a

3
a

Câu 11. Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại a với BC = 2a , BAC120o, biết

( )

SA ABC và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45o . Tính thể tích khối chóp SABC

9
a

3
a

C. a3 2 D.

2
a

Câu 12. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng biết SA (ABCD),SC = a và SC hợp
với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp

3
48
a

6
48
a

3
24
a

2
16
a

Câu 13. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA (ABCD) , SC hợp với
đáy một góc 45o và AB = 3a , BC = 4a. Tính thể tích khối chóp

A.10a3 B. 40a3 C. 20a3 D.

10 3
3
a

Câu 14 Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn a bằng 60o và SA 

(ABCD)

Biết rằng khoảng cách từ a đến cạnh SC = a.Tính thể tích khối chóp SABCD

A. a3 3 B.

3 2

12
a

3 3

6
a

3 2

4
a

Câu 15. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại a và B biết AB = BC = a , AD

= 2a ,

SA (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o Tính thể thích khối chóp SABCD.

A. a3 6 B. a3 3 C. a3 6 / 6 D. a3 6 / 2

Câu 16. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường tron đường
kính AB = 2R biết (SBC) hợp với đáy ABCD một góc 45o.Tính thể tích khối chóp SABCD

A. 3R3 B. 3R3/ 4 C. 3R3/ 6 D. 3R3/ 2

Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều
nằm trong mặt phẳng vng góc với đáyABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

3
6

a

B. a3 3 C.

3
2
a

3
3
a

Câu 18. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC)
(BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o .Tính thể tích tứ diện ABCD.

3 3

12
a

3 3

3
a

3 3

9
a

D.2a2 3

Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC
vng góc với đáy, các mặt bên con lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.Tính thể tích khối chóp SABC

12
a

6
a

24
a

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Câu 20. Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng cân tại a với AB = AC = a biết tam giác SAB cân tại

S và nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 45o. Tính

thể tích của SABC. : A. a3 B.

3
6
a
C.
3
24
a
D.
3
12
a

Câu 21. Cho hình chóp SABC có 

BAC



90 ;

o 

ABC



30

o; SBC là tam giác đều cạnh a và (SAB) 

(ABC). Tính thể tích khối chóp SABC.

A.
3 3
24
a
B.
3
2
24
a
C.
3 3
12
a

D.2a2 2

Câu 22.Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng

vng góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD

A.
3 3
2
a
B.
3
3
a
C.
3

3

4 a

D. a3

Câu 23. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB (ABCD) , hai

mặt bên (SBC) và (SAD) cung hợp với đáy ABCD một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD

A.
3
8 3
3
a
B.
3 3
9
a
C.
3
8 3
9
a
D.
3
4 3
9
a

Câu 24. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và  SAD vuông cân

tại S , nằm trong mặt phẳng vng góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp SABCD.

A.
3 5
12
a
B.
3 5
6
a
C.
3 5
4
a
D.
3 3
12
a

Câu 25. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại a và D; AD = CD = a ; AB = 2a,
SAB đều nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD .

A.
3 2
2
a
B.
3 3
2
a

C.
3 3
4
a

D. a3 3

Câu 26. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vng tại A, AC=a, góc ACB bằng 600 .

Đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 300.Tính thể tích của

khối lăng trụ theo a

A. a3 6 B.

3 6
3
a
C.
3
2 6
3
a
D.
3
4 6
3
a

Câu 27 .Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt

phẳng vng góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC

A. 2
3
a

B. 4
3
a

C. 2
3
3a

D. 4
3
3a

Câu 28. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên của hình chóp tạo với đáy góc
0

60

. Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M,N.
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABMN.

A.
3
5 3
3
a
B.

3
2 3
3
a
C.
3 3
2
a
D.
3
4 3
3
a

Câu 29.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của
A’ xuống (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (ACC’A’) tạo với đáy góc

45

0. Tính thể tích khối
lăng trụ
A.
3
3
16
a
B.
3 3
3
a
C.
3
2 3
3

a
D.
3
16
a

Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB=a, AD=2a, BAD600, SA
vng góc với đáy, góc giữa SC và đáy bằng

60

0. Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỷ số 3

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

A.2 3 B. 3 C. 7 D. 2 7

CHỦ ĐỀ 7: MẶT TRÒN XOAY
A – TỔNG HỢP LÝ THUYẾT

I – MẶT CẦU VÀ KHỐI CẦU

1. Định nghĩa: Mặt cầu tâm I, bán kính R là

{

M

trong khơng gian IM



R

}

Khối cầu tâm I, bán kính R là

{

M

trong khơng gian IM



R

}

2. Diện tích mặt cầu:

S



4 

R

3. Thể tích khối cầu:

4

3 V





R

4. Giao của một mặt cầu vơi một đường thẳng

Trong không gian cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và đường thẳng 
Gọi H là hình chiếu của tâm I trên 

 Nếu IH > R thì  khơng có điểm chung với (S).

 Nếu IH  R thì  tiếp xúc với (S) tại H(Trong trường hợp này ta nói  là tiếp tuyến của (S) tại

H)

 Nếu IH < R thì  cắt (S) tại hai điểm phân biệt.
5. Giao của một mặt cầu vơi một mặt phẳng

Trong không gian cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và mặt
phẳng (P)

Gọi H là hình chiếu của tâm I trên (P)

 Nếu IH > R thì (P) khơng có điểm chung với (S).
 Nếu IH  R thì (P) tiếp xúc với (S) tại H

Trong trường hợp này ta nói (P) là tiếp diện của (S) tại H.

 Nếu IH < R thì (P) cắt (S) theo một đường tron (C) có tâm là H, bán kính r



R



IH

2
II – HÌNH NĨN VÀ KHỐI NĨN

1. Định nghĩa hình nón và khối nón

ĐN1: Cho OIM vng tại I quay quanh cạnh OI. Khi đó đường gấp khúc
OMI tạo ra 1 hình nón

 Điểm O gọi là đỉnh của hình nón.
 Đoạn OI gọi là chiều cao của hình nón.
 Đoạn OM gọi là đường sinh của hình nón.

 Cạnh IM khi quay quanh OI tạo ra mặt đáy của hình nón.

 Cạnh OM khi quay quanh OI tạo ra mặt xung quanh của hình nón.

ĐN2: Khối nón là phần khơng gian được giới hạn bởi 1 hình nón kể cả hình
nón đó

2. Diện tích xung quanh của hình nón :

S

xq





Rl

3. Diện tích tồn phần của hình nón :

đáy

tp xq

S



S



S





Rl





R

4. Thể tích khối nón:

1

3 V





R h

III – HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ

1. Định nghĩa hình trụ và khối trụ

ĐN1: Cho hình chữ nhật OABI quay quanh cạnh OI. Khi đó đường gấp
khúc

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

 Đoạn OI gọi là chiều cao của hình trụ.
 Đoạn AB gọi là đường sinh của hình trụ.

 Hai cạnh OA và IB khi quay quanh OI tạo ra hai mặt đáy của hình trụ.
 Cạnh AB khi quay quanh OI tạo ra mặt xung quanh của hình trụ.

ĐN2: Khối trụ là phần khơng gian được giới hạn bởi 1 hình trụ kể cả hình trụ đó
2. Diện tích xung quanh của hình trụ :

S

xq



2 

Rl

3. Diện tích tồn phần của hình trụ :

2

đáy

tp xq

S



S



S





Rl





R

4. Thể tích khối trụ:

V





R h

B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Gọi l h R, , lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của khối nón (N). Thể tích

V của khối nón (N) là:

A.V R h2 B.

1
3
V  R h

C.V R l2 D.

1
3
V  R l
Câu 2. Cho hình nón có bán kính đáy là 3a, chiều cao là 4a. thể tích của hình nón là:

A. 15 a 3 B. 36 a 3 C. 12 a 3 D. 12 a 3

Câu 3. Gọil h R, , lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ (T). Diện tích
tồn phần Stpcủa hình trụ (T) là:

tp

S RlR B. 2 2 2

tp

S  Rl R C. 2 2

tp

S Rl R D. 2

tp

S RhR
Câu 4. Cho hình trụ có bán kính đáy 3 cm, đường cao 4cm, diện tích xung quanh của hình trụ này là:
A.

24 ( cm ) B. 22 ( cm2)

C. 26 ( cm2) D. 20 ( cm2)
Câu 5. Một hình trụ có bán kính đáy 6 cm, chiều cao 10 cm. Thể tích của khối trụ này là:
A.

360 ( cm ) B. 320 ( cm3)

C.340 ( cm3) D. 300 ( cm3)
Câu 6. Gọi Rbán kính , S là diện tích và V là thể tích của khối cầu. Cơng thức nào sau sai?

4
3
V  R

B.S4R2 C. S R2 D. 3V S R.

Câu 7. Cho mặt cầu

 

S1 có bán kínhR1, mặt cầu

 

S2 có bán kính R2và R2 2R1. Tỉ số diện tích của

mặt cầu

 

S2 và mặt cầu

 

S1 bằng:

2 B.2 C.

4 D. 4

Câu 8. Cho khối cầu có thể tích bằng

8 6

27
a


, khi đó bán kính mặt cầu là:
A.

6
3
a

B.
3
3
a

C.
6
2
a

D.
2
3
a

Câu 9. Một hình nón ngoại tiếp hình tứ diện đều với cạnh bằng 3 có diện tích xung quanh bằng bao
nhiêu ?

3 3

p

B. 3p 3 C. 2p 3 D.

9 3

p

Câu 10. Một khối nón có thể tích bằng 30 , nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính khối nón đó
lên 2 lần thì thể tích của khối nón mới bằng:

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Câu 11. Một hình trụ có chu vi của đường tron đáy là c, chiều cao của hình trụ gấp 4 lần chu vi đáy.
Thể tích của khối trụ này là:

2
2

2c

 B.

2c

 C. 4 c 3

c


Câu 12. Một hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều với tất cả các cạnh bằng a có diện tích xung
quanh bằng bao nhiêu ?

2 3

a
p

2 3

a
p

4 3

a
p

D. pa2 3

Câu 13. Cho mặt cầu có diện tích bằng

8
3

a


, khi đó bán kính mặt cầu là:
A.

6
2
a

B.
3
3
a

C.
6
3
a

D.
2
3
a

Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a và cạnh bên là 2a. Bán kính của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:

2 33
11
a

11
11
a

C. a 33 D.

33
11
a

Câu 15. Cho tam giác ABC vuông tại B có AC =2 ;a BC =a; khi quay tam giác ABC quanh
cạnh góc vng ABthì đường gấp khúc ABC tạo thành một hình nón tron xoay có diện tích xung
quanh bằng:

A. pa2 B.4 ap 2 C. 2 ap 2 D. 3 ap 2

Câu 16. Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO ; A B; là 2 điểm nằm trên đường tron đáy hình nón
sao cho khoảng các từ O đến AB bằng a . Góc

· 30 ;0 · 600

SAO = SAB =

. Khi đó độ dài đường
sinh l của hình nón là:

A. a B. 2a C. a 2 D. 2 2a

Câu 17. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh bên AA’ = 2a. Tam giác ABC vng tại A có
2 3

BC  a . Thề tích của hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ này là:

A. 6 a 3 B. 4 a 3 C. 2 a 3 D. 8 a 3

Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a, SA vng góc với mặt phẳng
(ABCD), SA2a. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:

A. 6 a 2 B. 12 a 2 C. 36 a 2 D. 3 a 2

Câu 19: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và cạnh bên là 2a. Thể tích của khối cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:

16 14

49
a

2 14

7
a

64 14

147
a 

64 14

49
a

Câu 20. Người ta bỏ ba quả bóng bàn cung kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng
hình tron lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính bóng bàn. Gọi S1 là tổng diện

tích của ba quả bóng bàn, S2là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số 
1
2

S

S bằng:
A.1 B.2 C. 1,5 D. 1,2

CHỦ ĐỀ 8 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

1. Tọa độ của véc tơ và tọa độ của điểm
- Véc tơ u( ; ; )x y z  u xi y j zk  
- Điểm M ( ; ; )x y z OM  xi y j zk

   

- Véc tơ 0 (0;0;0) 

- Điểm A



x y zA; A; A



; B



x y zB; B; B



;C



x y zC; C; C



thì



B A; B A; B A



AB x x y y z z


và



 



2 2 2

B A B A B A

AB AB  x x  y y  z z

- Tọa độ trung điểm I của AB: 2 ; 2 ; 2

A B A B A B

I I I

x x y y z z

x   y   z  

- Tọa độ trọng tâm G của tâm giác ABC:

3 ; 3 ; 3

A B C A B C A B C

G G G

x x x y y y z z z

x    y    z   

2. Các phép toán

Cho









' ' '

; ; ; ; ;

u x y z v x y z
thì









'; '; ' ; ; ;

u v   x x y y z z   ku kx ky kz
;

'
'
'

x x

u v y y

z z
 

  

 

 

- u cung phương với





' ' ' '

' ' '

. . 0
x kx

x y z

v u kv y ky x y z

x y z

z kz
 


       

 


  

3. Tích vơ hương và tích có hương của hai véc tơ

Trong không gian Oxyz cho









' ' '

; ; ; ; ;

u  x y z v x y z
 3.1.Tích vơ hương của hai véc tơ

- Định nghĩa:́ Tích vơ hướng của hai véc tơ là một số: u v.  u v. .cos ,

 

u v

     

- Biểu thức tọa độ: u v x x .  . 'y y. 'z z. '; u  v u v .  0 x x. 'y y. 'z z. ' 0

- Độ dài véc tơ:

2 2 2

u  x y z

- Góc giữa hai véc tơ:

 

' ' '

2 2 2 '2 '2 '2

. . . .

cos ,

. .

u v x x y y z z

u v

u v x y z x y z

 

 

   

 
 

 
 3.2.Tích có hương của hai véc tơ

- Định nghĩa:́ Tích có hướng của hai véc tơ là một véc tơ và được tính như sau



' ' ' ' ' '



' ' ' ' ' '

, y z z; x ; x y ; ;

u v yz y z zx z x xy x y

y z z x x y

 

       

   

 

 

- Tính chất:́

o u v, u u v;  , v
     

o u cung phương với vu v, 0

   

- Ứng dụng của tích có hướng:́

o u v, , w

  

đồng phẳng u v, .w 0 ( )  
   

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

o u v, , w

  

không đồng phẳng u v, .w 0 ( )  
   

o Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng AB AC AD, . 0 ( )
  

(bốn điểm nằm trên một mặt phẳng).
o Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng AB AC AD, . 0 ( )

  

(bốn đỉnh của một tứ diện).
o Diện tích hình bình hành: SABCD  AB AD,  ( )

 

o Diện tích tam giác:

, ( )

ABC

S   AB AC 

;





2 2

. .

ABC

S   AB AC   AB AC
o Thể tích khối hộp: ' ' ' '

. , .AA ( )

ABCD A B C D

V   AB AD  

o Thể tích tứ diện:

, .AD ( )
6

ABCD

V    AB AC 
4. Phương trình mặt cầu

Dạng 1:



 



2 2 2 2

x a  y b  z c R

(1) , mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R.
 Dạng 2:́ x2y2z22Ax2By2Cz D 0 (2) , với điều kiện A2B2C2 D 0là
phương trình mặt cầu có tâm I(A; B; C) và bán kính R A2B2C2D.
5. Phương trình mặt phẳng

 Véc tơ n 0 vng góc với mặt phẳng

 

 được gọi là VTPT của mặt phẳng

 

 .

 Nếu u v , là hai véc tơ khơng cung phương có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng

 

 thì
,

u v n
  

   là một VTPT của mặt phẳng

 

 .

 Nếu ba điểm A, B, C không thẳng hàng thì AB AC,   n
  

là một VTPT của mặt phẳng (ABC).
 Mặt phẳng

 

 đi qua điểm M x y zo( ; ; )0 0 0 và có VTPT n



A B C; ;





có phương trình
A x x(  0)B y y(  0)C z z(  0) 0 ( ) .

 Phương trình dạng Ax By Cz D   0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng với
VTPT n



A B C; ;





6. Phương trình đường thẳng

 Véc tơ u 0 có giá song song hoặc trung với đường thẳng  được gọi là VTCP của đường thẳng
.

 Đường thẳng  đi qua điểm M x y zo( ; ; )0 0 0 và có VTCP u



a b c; ;





, khi đó

+ Phương trình tham số là:

0
0
0

;( )
x x at

y y bt t R
z z ct

 



   



  

 , t gọi là tham số.

+ Phương trình chính tắc là:

0 0 0 ( 0)

x x y y z z

abc

a b c

     

 Nếu hai mặt phẳng

 

 :Ax By Cz D   0và

 

 :A x B y C z D'  '  '  ' 0 giao nhau thì
hệ phương trình: ' ' ' '

0
0
Ax By Cz D
A x B y C z D

   




   

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

7. Khoảng cách

7.1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Cho điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và mp

 

 :Ax By Cz D   0 thì:

 





0 0 0

0; 2 2 2

Ax By Cz D
d M

A B C

    

 

7.2. Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song

Cho đường thẳng  

 

 : Ax By Cz D   0, M x y z0( ; ; )0 0 0 là một điểm thuộc 

 







 



0 0 0

0 2 2 2

, ; Ax By Cz D

d d M

A B C

    

  

 

7.3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho hai mặt phẳng song song

 

 :Ax By Cz D   0 và

 

 :A x B y C z D'  '  '  '0, khi đó

   







 



' 0 ' 0 ' 0 '

0 '2 '2 '2

, ; A x B y C z D

d d M

A B C

       

 

trong đó M x y z0( ; ; )0 0 0 là một điểm 

 



7.4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M x



M;yM;zM



đến đường thẳng

0 0 0 0 0

: ; ( ; ; ) , ( ; ; )

x x at

y y bt M x y z VTCP u a b c
z z ct

 




      

  




; được tính bởi CT:





, 0

, u M M

d M

u

 

 

 

 


7.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Nếu đường thẳng  đi qua điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và có VTCP u( ; ; )a b c



Đường thẳng ' đi qua điểm M x y z0'( ;'0 '0; '0) và có VTCP u' ( ; ; )a b c' ' '



thì





' 0 0'

, .
,

,
u u M M
d

u u

 

 

  

 

 

 





Lưu ý:́ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm nằm trênđường

thẳng này đến đường thẳng con lại, nghĩa là



 



' 0 0'

' '

0 '

, ,

u M M

d d M

u

 

 

    

 


, M0 .

8. Vị trí tương đối

8.1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Cho

 

 :Ax By Cz D   0 và

 

 :A x B y C z D'  '  '  ' 0 khi đó
+

   

'' ' ' ' '

n kn A B C D

A B C D

D kD

       








(A’,B’,C’,D’ đều khác 0)

   

'' ' ' ' '

n kn A B C D

A B C D

D kD

        






</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

 

 và

 

 cắt nhau









' : : ': ': '

n kn A B C A B C

   

 

 và

 

 vng góc vớ nhau n n.'  0 AA'BB'CC'0
8.2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng

0 0 0 0 0

: ; ( ; ; ) , ( ; ; )

x x at

y y bt M x y z VTCP u a b c
z z ct

 




      

  




' ' '

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

0 0 0 0 0

' ' '

: ; ( ; ; ) , ( ; ; )

x x a t

y y b t M x y z VTCP u a b c

z z c t
  


      

  




Xét hệ phương trình

' ' '

0 0

' ' '

0 0

' ' '

0 0

( )
x at x a t
y bt y b t I
z ct z c t
   


  



   

 , khi đó





'
'

' '

0 0

u ku

M M

 

    

   





, hay hệ phương trình (I) có vơ số nghiệm.





'
'

' '

0 0

u ku

M M

 


   

   






, hay u ku 'và hệ (I) vô nghiệm.

+  và ' cắt nhau  u ku 'và hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất





' '

0 0

, . 0

hay u u M M   

.
+  và ' chéo nhau  u ku 'và hệ phương trình (I) vơ nghiệm





' '

0 0

, . 0

hay u u M M   
8.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng

0 0 0 0 0

: ; ( ; ; ) , ( ; ; )

x x at

y y bt M x y z VTCP u a b c
z z ct

 




      

  




và mặt phẳng

 

 :Ax By Cz D   0 có VTPT n 



A B C; ;



.

Xét phương trình A x



0at



B y



0bt



C z



0ct



 D 0 ( ) ân là t, khi đó

+ 

 

  phương trình (*) vơ nghiệm



u n. 0,M0

 





 

+  

 

  phương trình (*) có vơ số nghiệm



u n. 0,M0

 





 

+  và

 

 cắt nhau tại một điểm phương trình (*) có nghiệm duy nhất



u n. 0



 

Lưu ý:  

 

  u kn

 

8.4. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt phẳng

 

 :Ax By Cz D   0 và mặt cầu ( ) :S



 



2 2 2 2

x a  y b  z c R

(S) có tâm I a b c b



; ; , án kính R



. Gọi



 



2 2 2

. . .

; A a B b C c D
d d I

A B C

   

 

  .

+ Nếu d  R

 

 và (S) không giao nhau.

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

+ Nếu d  R

 

 và (S) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tron (C) có bán kính

2 2

r R d và có tâm H là hình chiếu vng góc của I trên

 

 .

Lưu ý: Để tìm tọa độ tâm H của đường tron (C) ta làm như sau

- Lập phương trình đường thẳng  đi qua I và vng góc với

 

 .

- Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ gồm phương trình của  và phương trình

 

 .
8.5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Cho đường thẳng thẳng

0
0
0

x x at
y y bt
z z ct

 




   
  

 và mặt cầu (S):



x a

 

2 y b

 

2 z c



2 R2
Gọi





, 0

, u M I

d d I

u

 

 

  

 


, trong đó M x y z0( ; ; )0 0 0  ,u( ; ; )a b c



là VTCP của 
+ Nếu d  R  và (S) khơng có điểm chung

+ Nếu d  R  tiếp xúc với (S) ( là tiếp tuyến của mặt cầu (S))

+ Nếu d  R  cắt (S) tai hai điểm A, B ( gọi là cát tuyến của mặt cầu (S))
8.6. Vị trí tương đối giữa một điểm và mặt cầu

Cho điểm M x y z( ; ; )0 0 0 và mặt cầu (S):



 



2 2 2 2

x a  y b  z c R ,tâm I a b c b



; ; , án kính R



thì



 



2 2 2

0 0 0

MI  a x  b y  c z

+ Nếu MIR thì điểm M nằm ngồi mặt cầu (S)
+ Nếu MIR thì điểm M nằm trên mặt cầu (S)
+ Nếu MI R thì điểm M nằm trong mặt cầu (S)
9. Góc

9.1. Góc giữa hai đường thẳng

Nếu đường thẳng  có VTCP u ( ; ; )a b c và đường thẳng ' có VTCP u( ; ; )a b c' ' ' thì





' ' ' '





2 2 2 '2 '2 '2

cos , ; 0 , 90

.
.

u u aa bb cc

a b c a b c

u u

 

       

   




9.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Đường thẳng  có VTCP u( ; ; )a b c và mặt phẳng

 

 có VTPT n( ; ; )A B C thì

 





 





2 2 2 2 2 2

sin , cos , ; 0 , 90

. .

u n Aa Bb Cc

u n

u n A B C a b c

   

      

   

 
 

 
9.3. Góc giữa hai mặt phẳng

Nếu mặt phẳng

 

 có VTPT n ( ; ; )A B C và mặt phẳng

 

 có VTPT





' '; ;' '

n A B C
thì

   





 





' ' ' '

' 0 0

2 2 2 '2 '2 '2

cos , cos , ; 0 , 90

.
.

n n AA BB CC

n n

A B C A B C

n n

          

   




II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

A. y = –1; z = 2 B. y = 2; z = –1 C. y = 1; z = –2 D. y = –2; z = 1
Câu 3 Cho a = (1; –1; 1), b = (3; 0; –1), c = (3; 2; –1). Tìm tọa độ của vector u (a.b).c


 


A. (2; 2; –1) B. (6; 0; 1) C. (5; 2; –2) D. (6; 4; –2)
Câu 4 Tính góc giữa hai vector a = (–2; –1; 2) và b = (0; 1; –1)

A. 135° B. 90° C. 60° D. 45°

Câu 5 Cho a = (1; –3; 2), b = (m + 1, m – 2, 1 – m), c = (0; m – 2; 2). Tìm m để ba vector đó đồng
phẳng.

A. m = 0 V m = –2 B. m = –1 V m = 2 C. m = 0 V m = –1 D. m = 2 V m = 0

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hành ABDC với A(1; 2; 1), B(1;1; 0),C(1; 0;2).
Tọa độ đỉnh D là

A. (1; –1; 1) B. (1; 1; 3) C. (1; –1; 3) D. (–1; 1; 1)

Câu 7. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hành ABCD với A(1; 1; 0), B(1; 1; 2), D(1; 0;
2).

Diện tích của hình bình hành ABCD là

A. 1 B. 2 C. 3 D.4

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 1; 2), B(1; 0; 3), C(2; 0; 1). Tìm tọa
độ

đỉnh D sao cho các điểm A, B, C, D là các đỉnh của hình chữ nhật.

A. (2; 1; –2) B. (2; –1; 2) C. (–1; 1; 2) D. (2; 2; 1)

Câu 9. Trong khơng gian Oxyz . Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A( 1 ;0 ; 1 ), B( 2 ; 1 ; 2 ), D ( 1 ;

-1 ; 4 ) , C’ ( 4 ; 5 ;-5 ) Tọa độ điểm A’ là :

A. ( 3 ; 5 ; -6 ) B . (-2 ; 1 ; 1 ) C( 5 ; -1 ; 0 ) D. ( 2 ; 0 ; 2 )
Câu 10. Trong không gian Oxyz .Cho M( 2 ; -5 ; 7 ) Tìm tọa độ điểm đối xứng của M qua mặt phẳng
Oxy .

A. ( -22 ; 15 ; -7 ) B. ( -4 ; -7 ; -3) C. ( 2 ; -5 ; -7) D. ( 1 ; 0; 2)
Câu 11. Trong không gian Oxyz .Cho hai điểm A ( 2 ; 5 ; 1) , B( -1 ; 7 ; -3) . Điểm nào sau đây thẳng
hàng với AB

A. ( -4 ; 9 ; -7) B. ( 11 ; -1 ; 12) C. ( 14 ; -3 ; 16) D . ( 0 ; 2 ; 0)

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(–1; 2; 3), B(1; 0; –5) và mặt phẳng (P):

2x + y – 3z – 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho 3 điểm A, B, M thẳng hàng.

A. (0; 1; 2) B, (–2; 1; –3) C. (0; 1; –1) D. (3; 1; 1)
2. MẶT CẦU

Câu 13. Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S): x² + y² + z² – 8x + 2y + 1 = 0.
A. I(4; –1; 0), R = 4 B. I(–4; 1; 0), R = 4 C. I(4; –1; 0), R = 2 D. I(–4; 1; 0), R = 2
Câu 14. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(0; 3; –2) và đi qua điểm A(2; 1; –3)

A. (S): x² + (y – 3)² + (z + 2)² = 3 B. (S): x² + y² + z² – 6y + 4z + 4 = 0
C. (S): x² + (y – 3)² + (z + 2)² = 6 D. (S): x² + y² + z² – 6y + 4z + 10 = 0

Câu 15. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2),
D(1; 1; 1)

A. (S): x² + y² + z² + 3x + y – z + 6 = 0 B. (S): x² + y² + z² + 3x + y – z – 6 = 0
C. (S): x² + y² + z² + 6x + 2y – 2z + 24 = 0 D. (S): x² + y² + z² + 6x + 2y – 2z – 24 = 0
Câu 16. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng Oxz và đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(–1;
1; 3), C(2; 0; –1).

A. (S): (x + 3)² + y² + (z + 3)² = 17 B. (S): (x – 3)² + y² + (z – 3)² = 11
C. (S): (x + 3)² + y² + (z + 3)² = 11 D. (S): (x – 3)² + y² + (z – 3)² = 17

Câu 17. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 5; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x + y +
3z+1=0

A. (S): (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 16 B. (S): (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 12
C. (S): (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 14 D. (S): (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 10

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x – y +2z + 1= 0.

Phương trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) là

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Câu 19. Cho hai điểm A(2; 4; 1), B(–2; 2; –3). Phương trình mặt cầu đường kính AB là
A. x² + (y - 3)² + (z + 1)² = 9 B. x² + (y – 3)² + (z – 1)² = 36
C. x² + (y + 3)² + (z + 1)² = 9 D. x² + (y – 3)² + (z + 1)² = 36

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 1) và mặt phẳng (P): 2x
+ y + 2z + 2 = 0. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tron có bán kính bằng 1.
Phương trình của mặt cầu (S) là

A. (S): (x + 2)² + (y + 1)² + (z + 1)² = 8 B. (S): (x + 2)² + (y + 1)² + (z + 1)² = 10
C. (S): (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 8 D. (S): (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 10

Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d:

x 1 y 2 z 3

2 1 1

  

 

 . Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với d.

A. (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 49 B. (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 7
C. (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 50 D. (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 25

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S):
x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Biết rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tron (C).

Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tron (C).

A. (3; 0; 2) và r = 2 B. (2; 3; 0) và r = 2 C. (2; 3; 0) và r = 4 D. (3; 0; 2) và r = 4
Câu 23. Cho đường thẳng Δ:

x 2 y 2 z 3

2 3 2

    

và điểm A(0; 0; –2). Viết phương trình mặt cầu (S)
tâm A, cắt đường thẳng Δ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.

A. (S): x² + y² + z² + 4z – 21 = 0 B. (S): x² + y² + z² + 4z – 25 = 0
C. (S): x² + y² + z² – 4z – 21 = 0 D. (S): x² + y² + z² – 4z – 25 = 0
Câu 24. Cho đường thẳng Δ:

x 1 y 3 z

2 4 1

   

và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z = 0. Viết phương trình
mặt cầu (S) có tâm thuộc Δ, có bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

A. (S): x² + y² + z² – 2x – 2y – 2z + 2 = 0 hoặc (S): x² + y² + z² – 10x – 22y – 4z + 149 = 0
B. (S): x² + y² + z² + 2x + 2y + 2z + 2 = 0 hoặc (S): x² + y² + z² – 10x – 22y – 4z + 149 = 0
C. (S): x² + y² + z² – 2x – 2y – 2z + 2 = 0 hoặc (S): x² + y² + z² + 10x + 22y + 4z + 149 = 0

D. (S): x² + y² + z² + 2x + 2y + 2z + 2 = 0 hoặc (S): x² + y² + z² + 10x + 22y + 4z + 149 = 0
Câu 25. Trong không gian với hệtọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

x 1 y 1 z 4

1 1 2

    

 và điểm I(3; –
1; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.

A. x² + y² + (z – 3)² = 5 B. x² + y² + (z – 3)² = 8
C. x² + y² + (z – 3)² = 10 D. x² + y² + (z – 3)² = 12
Câu 26. Trong không gian với hệtọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

x 2 y 1 z 3

2 1 2

    

 và hai điểm
A(2; 1; 0), B(–2; 5; 2). Tính bán kính mặt cầu (S) đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d.

A. 5 2 B. 6 C. 5 5 D. 3 2

Câu 27. Mặt cầu tâm I(3; 2; –4) và tiếp xúc với trục Oy có bán kính là

A. 3 B. 4 C. 5 D. 2

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3). Tìm tọa độ
tâm đường tron ngoại tiếp tam giác ABC.

A. (3; 3; 3) B. (1; 1; 1) C. (1; 2; 3) D. (2; 2; 2)

3. MẶT PHẲNG

Câu 29 . Mặt phẳng nào sau đây có vectơ pháp tuyến ( 3 ; 1 ; - 7 )

A. 3x + y -7 = 0 B. 3x + z -7 = 0 C. – 6x – 2y +14z -1 = 0 D. 3x – y -7z +1 = 0
Câu 30. Trong không gian Oxyz .Cho hai điểm P ( 4 ; -7 ; -4) , Q( -2 ; 3 ; 6) Mặt phẳng trung trực của
đoạn PQ là :

A. 3x – 5y -5z -8 = 0 B. 3x + 5y +5z - 7 = 0 C . 6x – 10y -10z -7 = 0 D.3x – 5y -5z -18
= 0

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

D( 0;0; 6) . Phương trình mặt phẳng qua A, B và song song CD là :
A. -5x + 28y +z +21 = 0 B. - x – 28y +11z - 49 = 0

C. x + 28y +11z - 49 = 0 D. x +28y -11z +19 = 0

Câu 32. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; –3) và vng góc với giá của 2 vectơ

a = (2; 1; 2), b = (3; 2; –1).

A. –5x + 8y + z – 8 = 0 B. –5x – 8y + z – 16 = 0
C. 5x – 8y + z – 14 = 0 D. 5x + 8y – z – 24 = 0

Câu 33. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(–1; 1; 0), song song với (α): x – 2y + z – 10 = 0.

A. x – 2y + z – 3 = 0 B. x – 2y + z + 3 = 0 C. x – 2y + z – 1 = 0 D. x – 2y + z + 1 = 0

Câu 34. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A(3; 1; –1), B(1; 3; –2) và vuông góc với mặt
phẳng (α): 2x – y + 3z – 1 = 0

A. 5x + 4y – 2z – 21 = 0 B. 5x + 4y – 2z + 21 = 0
C. 5x – 4y – 2z – 13 = 0 D. 5x – 4y – 2z + 13 = 0

Câu 35. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(2; 0; 0), B(0; –1; 0), C(0; 0; –3).
A. –3x + 6y + 2z + 6 = 0 B. –3x – 6y + 2z + 6 = 0

C. –3x – 6y + 2z – 6 = 0 D. –3x + 6y – 2z + 6 = 0

Câu 36. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1; 0; –2) đồng thời vng góc với hai mặt phẳng
(α):

2x + y – z – 2 = 0 và (β): x – y – z – 3 = 0.

A. –2x + y – 3z + 4 = 0 B. –2x + y – 3z – 4 = 0
C. –2x + y + 3z – 4 = 0 D. –2x – y + 3z + 4 = 0

Câu 37. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q): x + 2y – 2z + 5 = 0 và cách A(2; –1; 4)
một đoạn bằng 4.

A. x + 2y – 2z + 20 = 0 hoặc x + 2y – 2z – 4 = 0 B. x + 2y – 2z + 12 = 0 hoặc x + 2y – 2z – 4 = 0
C. x + 2y – 2z + 20 = 0 hoặc x + 2y – 2z – 8 = 0 D. x + 2y – 2z + 12 = 0 hoặc x + 2y – 2z + 4 = 0
Câu 38. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x – 2y – 2z – 22 = 0 tại
điểm M(4; –3; 1)

A. 3x – 4y – 20 = 0 B. 3x – 4y – 24 = 0 C. 4x – 3y – 25 = 0 D. 4x – 3y – 16 = 0

Câu 39. Cho 4 điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A
và song song với mặt phẳng (BCD).

A. 6x – 3y – 2z – 12 = 0 B. 6x – 3y – 2z + 12 = 0 C. 3x +2y – 6z + 6 = 0 D. 3x –2y + 6z
–6 = 0

Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 0; 0), B(0; –1; 3), C(1; 1;
1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm C và vng góc với AB.

A. x + y – 3z + 1 = 0 B. x + y – 3z – 1 = 0 C. x + y + 3z – 5 = 0 D. x – y + 3z – 1 = 0
Câu 41. Cho điểm A(–2; 2; –1) và đường thẳng d:

x 2 y z 1

1 1 1

 

 

  . Viết phương trình mặt phẳng (P)
đi qua A và chứa đường thẳng d.

A. y + z – 6 = 0 B. x + y + 6 = 0 C. y + z – 1 = 0 D. y + z – 2 = 0
Câu 42. Cho hai điểm A(1; –1; 5) và B(0; 0; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và song
song với trục Oy.

A. 4x + y – z + 1 = 0 B. 2x + z – 5 = 0 C. 4x – z + 1 = 0 D. y + 4z – 1 = 0

Câu 43. Cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z – 2 = 0 và mặt phẳng (P): 4x + 3y – 12z + 10 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) // (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

A. 4x + 3y – 12z + 78 = 0 hoặc 4x + 3y – 12z – 26 = 0 B. 4x + 3y – 12z – 78 = 0 hoặc 4x + 3y – 12z
+ 26 = 0

C. 4x + 3y – 12z + 62 = 0 hoặc 4x + 3y – 12z – 20 = 0 D. 4x + 3y – 12z – 62 = 0 hoặc 4x + 3y – 12z
+ 20 = 0

Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; –2; 0), B(0; –1; 1), C(2; 1; –1) và
D(3; 1; 4). Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó?

A. 1 B. 4 C. 7 D. Có vơ số

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

(2) Các điểm A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác cân.

(3)Các điểm A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác có chu vi là 10 + 2 3
(4) Các điểm A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích là 26
Số câu phát biểu đúng là

A. 4 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 1; 2), B(3; 1; 4), C(0; 2; 3), D(2; 2;
5). Cho các phát biểu:

(1) Diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác BCD.
(2) Các điểm A, B, C, D cung nằm trên một đường tron.

(3) Hình chiếu vng góc của B trên đường thẳng đi qua hai điểm A, C có tọa độ là (1;2;1).
(4) Trung điểm của đoạn thẳng AD trung với trung điểm của đoạn thẳng BC.

Số các phát biểu đúng là

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 47. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oy và vng góc mặt phẳng(Q): 2x – z – 9 = 0.
A. x + y – 2z = 0 B. x + 2z = 0 C. x –2z = 0 D. x + 2z – 3 = 0

Câu 48. Cho điểm A(–3; 1; 2) và hai đường thẳng d1:

x 3 y 1 z

2 1 1

   

 ; d2:

x y 5 z 4

1 2 1

 

 

 . Viết

phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, đồng thời song song với hai đường thẳng d1, d2.

A. x + 3y + 5z – 13 = 0 B. x – 3y – 5z + 13 = 0
C. x + 3y + 5z – 10 = 0 D. x – 3y – 5z + 10 = 0

Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (Q1): 3x – y + 4z + 2 = 0 và (Q2): 3x

– y + 4z + 8 = 0. Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng(Q1) và (Q2) là

A. 3x – y + 4z + 10 = 0 B. 3x – y + 4z + 5 = 0
C. 3x – y + 4z – 10 = 0 D. 3x – y + 4z – 5 = 0

Câu 50. Cho hai đường thẳng d1:

x 2 t
y 3 t
z 2 t
 

  

  

 và d2:

x 1 2s
y 2 s
z 1 3s

 

  


  

 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song
song và cách đều hai đường thẳng d1, d2.

A. 4x – 5y – z + 17 = 0 B. 4x + 5y + z – 17 = 0 C. 4x – 5y – z + 8 = 0 D. 4x + 5y + z – 8
= 0

Câu 51. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; –2; –1) và đường thẳng d:

x 2 y 2 z

2 2 1

 

 

. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(P)lớn nhất.

A. (P): x + y = 0 B. (P): x – y +2 = 0 C. (P): x – y = 0 D. (P): x + y – 2 = 0
Câu 52. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua G(1; 2; –1) và cắt Ox, Oy,
Oz lần

lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng (P).

A. (P): x + 2y – z – 4 = 0 B. (P): 2x + y – 2z – 2 = 0 C. (P): x + 2y – z – 2 = 0 D. (P): 2x +
y – 2z – 6 = 0

Câu 53. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua H(2; 1; 1)và cắt Ox, Oy, Oz
lần

lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng (P).

A. (P): 2x + y + z – 6 = 0 B. (P): x + 2y + 2z – 6 = 0 C. (P): 2x – y – z – 2 = 0 D. (P): x – 2y – 2z
+ 2 = 0

Câu 54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P) là mặt phẳng đi qua M(2; 1; 2) và cắt các tiaOx,
Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) sao cho thể tích của khối tứ diện OABC là nhỏ nhất
với a, b, c là số dương. Viết phương trình mặt phẳng (P).

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Câu 55. Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(–2;1;3), C(2; –1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình
mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho (P) cách đều hai điểm C, D.

A. (P): 2x + 3z – 5 = 0 hoặc (P): 4x + 2y + 7z – 15 = 0 B. (P): 2x – 3z + 1 = 0 hoặc (P): 4x + 2y + 7z
– 15 = 0

C. (P): 2x + 3y – 10 = 0 hoặc (P): 4x –2y – 7z +7 = 0 D. (P): 2x– 3y+4 = 0 hoặc (P): 4x – 2y – 7z
+ 7 = 0

Câu 56. Cho hai mặt phẳng (P): x + y + z  3 = 0 và (Q): x  y + z  1 = 0. Viết phương trình mặt
phẳng (R) vng góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (R) bằng 2.

A. x – z + 2 = 0 hoặc x – z – 2 = 0 B. x – z + 4 = 0 hoặc x – z – 4 = 0
C. x – y + 2 = 0 hoặc x – y – 2 = 0 D. x – y + 4 = 0 hoặc x – y – 4 = 0
4. ĐƯỜNG THẲNG

Câu 57. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng





: 1 2

5 3
x t

d y t t R

z t




   


  

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

A. a



1;2;3





B. a



1; 2; 3 





C. a



1; 2; 3





D. a 



1; 2; 3





Câu 58. Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A(2; 1; 0), B(0; 1; 2)

A. (d):

x t

y 0
z t

 

 

 

 B. (d):

x 2 t
y 1
z t

 



 

 

 C. (d):

x 2 t
y 1 t

z t

 

  

  

 D. (d):

x t
y 0
z 2 t



 

  



Câu 59. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(4; –2; 2), song song với Δ:

x 2 y 5 z 2

4 2 3

  

 

.
A. (d):

x 4 y 2 z 2

4 2 3

    

B. (d):

x 4 y 2 z 2

4 2 3

    

C. (d):

x 4 y 2 z 2

4 2 3

  

 

D. (d):

x 4 y 2 z 2

4 2 3

  

 

Câu 60. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(–1; 0; 2), vng góc với (P): 2x – 3y + 6z +
4 = 0.

A. (d):

x 1 y z 2

2 3 6

   

  B. (d):

x 1 y z 2

2 3 6

   

 

C. (d):

x 1 y z 2

2 3 6

   

 D. (d):

x 1 y z 2

2 3 6

   



Câu 61. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + y – z – 3 = 0 và (Q):
x + y + z – 1 = 0. Phương trình đường giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

A. (d):

x y 2 z 1

2 3 1

 

 

 B. (d):

x 1 y 2 z 1

2 3 1

  

 

 

C. (d):

x 1 y 2 z 1

2 3 1

    

 D. (d):

x y 2 z 1

2 3 1

 

 

 

Câu 62. Cho đường thẳng (d):

x 1 y z 2

2 1 3

   

và mặt phẳng (P): x + 2y + z – 4 = 0. Viết phương
trình đường thẳng (Δ) nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt và vng góc với (d).

x 1 y 1 z 1

5 1 3

    

  B.

x 1 y 1 z 1

5 1 3

    
 

x 1 y 1 z 1

5 1 3

    

 D.

x 1 y 1 z 1

5 1 3

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Câu 63. Cho hai đường thẳng d1:

x 6 y 6 z 2

2 2 1

  

 

 , d2:

x 1 y 2 z 3

2 3 1

  

 

 . Viết phương trình
đường thẳng đồng thời cắt và vng góc với cả hai đường thẳng d1, d2.

A. d:

x 3 t

y 8

z 1 2t
  


  


   

 B. d:

x 3 5t

y 8 t

z 1 10t
  


   


   

 C. d:

x 3 5t
y 8 t
z 1 10t

 

  

  

 D. d:

x 3 t
y 8
z 1 2t

 

 

  

Câu 64. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 2) và đường thẳng d:

x 1 y z 1

1 1 2

 

 
. Viết phương trình đường thẳng (Δ) đi qua A, đồng thời vng góc và cắt đường thẳng d.

A. (Δ):

x 1 y z 2

1 1 1

   

B. (Δ):

x 1 y z 2

1 1 1

   


C. (Δ):

x 1 y z 2

2 2 1

 

 

D. (Δ):

x 1 y z 2

1 3 1

 

 


Câu 65. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

x 1 y 3 z 1

3 2 2

  

 

  và mặt phẳng

(P): x – 3y + z – 4 = 0. Phương trình hình chiếu vng góc của d trên mặt phẳng (P) là
A.

x 3 y 1 z 1

2 1 1

  

 

 B.

x 2 y 1 z 1

2 1 1

  

 



x 5 y 1 z 1

2 1 1

    

 D.

x y 1 z 1

2 1 1

 

 

Câu 66. Viết phương trình đường thẳng(d) đi qua điểm A(1; 0; 5), đồng thời vng góc với hai đường
thẳng (d1):

x 1 y 3 z 1

2 2 1

  

 

 và (d2):

x 1 y 2 z 3

1 1 3

  

 

 

A. (d):

x 1 5t
y 5t
z 5 4t

 

 

  

 B. (d):

x 1 t
y t
z 5
 

 

 

 C. (d):

x 1 t

y t
z 5
  

 

  

 D. (d):

x 1 t
y t
z 5
 

 


 


Câu 67. Viết phương trình đường thẳng(d) đi qua điểm A(1; 2; –2), đồng thời vng góc và cắt đường
thẳng Δ:

x y 1 z

1 1 2



 

x 1 y 2 z 2

1 1 1

  

 

 B.

x 1 y 2 z 2

1 1 1

  

 

  
C.

x 1 y 2 z 2

1 1 1

    

 D.

x 1 y 2 z 2

1 1 1

    

 

Câu 68. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 3y + 2z – 1 = 0 và hai đường
thẳng

d1:

x 1 y 2 z 1

1 1 1

    

và d2:

x 1 y 1 z

2 1 1

   

 . Viết phương trình đường thẳng d thuộc mặt phẳng
(P) và cắt cả hai đườngthẳng d1 và d2.

x 2 y 1 z 1

1 2 3

  

 

 B.

x 2 y 1 z

1 1 1

 

 

 C.

x 1 y 1 z 2

1 1 1

  

 

 D.

x 1 y z 1

1 2 3

   



</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

A. d:

x 3 2t
y t

z 1 t

  


 

  

 B. d:

x 3 2t

y t

z 1
  


  

 

 C. d:

x 3 2t

y t

z 1 t

  


  

  

 D. d:

x 3 2t
y t
z 1

  


 

 

5. KHOẢNG CÁCH

Câu 70. Cho mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 8 = 0 và điểm M(–2; –4; 5). Tính khoảng cách từ M đến (P).

A. 18 B. 6 C. 9 D. 3

Câu 71. Cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 6z + 2 = 0 và (Q): 2x – 3y + 6z + 9 = 0. Tính khoảng cách
giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

A. 8 B. 4 C. 2 D. 1

Câu 72. Trong mặt phẳng Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2;3;1), B(4;1; –2), C(1;3;2), D(–2;3;–1).Độ
dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là

A. 1 B. 4 C. 3 D. 2

Câu 73. Cho điểm A(1; 0; 1), B(0; 2; 3) và C(0; 0; 2). Độ dài đường cao hạ từ C của tam giác ABC là

A. 2 B. 3 C. 1/2 D. 1

Câu 74. Cho A(–2; 2; 3) và đường thẳng (Δ):

x 1 y 2 z 3

2 2 1

    

. Tính khoảng cách từ A đến(Δ).

A. 3 5 B. 5 3 C. 2 5 D. 5 2

Câu 75. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1:

x 1 y 7 z 3

2 1 4

  

 

, d2:

x 1 y 2 z 2

1 2 1

  

 

 .

A.
3

14 B.

14 C.

14 D.

5
14

Câu 76. Cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1).Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

A. 1/6 B. 1/3 C. 1/2 D. 1

Câu 77. Cho các điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; –1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0). Tìm tọa độ hình chiếu vng
góc H của S trên mặt phẳng (ABC).

A. H(8/3; 8/3; –5/3) B. H(9/4; 5/2; –5/4) C. H(5/2; 11/4; –9/4) D. H(5/3; 7/3; –1)
Câu 78. Cho đường thẳng Δ:

x 1 y z 2

2 1 1

 

 

 và mặt phẳng (P): x  2y + 2z – 3 = 0. Gọi C là giao
điểm của Δ với (P), M là điểm thuộc Δ. Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = 6.

A. 2 B. 3 C. 2/3 D. 4/3

Câu 79. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 1; 2). Tìm điểm N thuộc mặt phẳng Oxy
sao cho độ dài đoạn thẳng MN là ngắn nhất.

A. (1; 1; 0) B. (1; 2; 2) C. (2; 1; 0) D. (2; 2; 0)

Câu 80. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 2; 3), B(3; 2; 1). Gọi M là điểm
thuộc mặt phẳng Oxy. Tìm tọa độ của M để P = |MA MB  | đạt giá trị nhỏ nhất.

A. (1; 2; 1) B. (1; 1; 0) C. (2; 1; 0) D. (2; 2; 0)

Câu 81. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 1; 0), B(3; 0; 5), C(2; 2; 1). Gọi M là
một điểm chạy trên mặt phẳng Oyz. Giá trị của P = MA² + MB² + MC² đạt giá trị nhỏ nhất khi M có
tọa độ là

A. (0; 2; 1) B. (0; 1; 3) C. (0; 2; 3) D. (0; 1; 2)

Câu 82. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 2; 0), B(0; 1; 5), C(2; 0; 1). Gọi M là
một điểm chạy trên mặt phẳng Oyz. Giá trị nhỏ nhất của P = MA² + MB² + MC² là

A. 23 B. 25 C. 27 D. 21

6. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

Câu 83. Xác định m để hai mặt phẳng sau vng góc (P): (2m – 1)x – 3my + 2z – 3 = 0 và
(Q): mx + (m – 1)y + 4z – 5 = 0.

A. m = –2 V m = 2 B. m = –2 V m = 4 C. m = 2 V m = 4 D. m = –4 V m = 2
Câu 84. Xác định m ,n ,p để cặp mặt phẳng sau song song

( P ) : 2x -3y -5z + p = 0, ( Q ) : ( m+2 ) x + ( n – 1 )y +10z -2 = 0

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

C . m = -6 , n = 7 , p



1 D. m = 6 , n = -4 , p



2
 Câu 85. Điều kiện nào sau đây không đủ để cặp mặt phẳng

( P ) : 2x - y -5z + p = 0, ( Q ) : ( m+2 ) x + ( n – 1 )y +10z -2 = 0 không cắt nhau :
A.

m

 

6

B .

n



3

C .

m

 

6,

n



3 p



1

Câu 86. Trong không gian Oxyz. Cho đường thẳng d :

2

3

6 10 0

5 0

x

y

z

x y z









    



và mặt phẳng

( P ) : mx + y + z + 5 = 0 . Với giá trị nào của m để đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) song song .
A. m = 0 B. m = 1 C. m



0

D. m



1

Câu 87. Cho hai điểm A(1; –1; 2), B(2; 0; 1) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z – 5 = 0. Tìm tọa độ giao
điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).

A. (–2; –6; 8) B. (–1; –3; 4) C. (3; 1; 0) D. (0; 2; –1)

Câu 88. Cho mặt phẳng (P): 3x – 2y + z + 6 = 0 và điểm A(2; –1; 0). Tìm tọa độ hình chiếu của A lên
mặt phẳng (P).

A. (1; –1; 1) B. (–1; 1; –1) C. (3; –2; 1) D. (5; –3; 1)

Câu 89. Cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng (d):

x 6 4t

y 2 t

z 1 2t
 


   


   

 . Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của
A lên đường thẳng (d).

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49></div>

Đề cương ôn tập THPT quốc gia môn Toán năm học 2017-2018 | Lớp 12, Vật lý - Ôn Luyện

SỞ GD&ĐT LÀO CAI

<b>TRƯỜNG THPT SỐ 2 BẢO N</b>

<b>ĐỀ CƯƠNG THAM KHẢO ƠN THI THPTQG MƠN TỐN</b>

<b>NĂM HỌC 2017-2018</b>

<b>Họ và tên: TRẦN HUY MẠNH</b>

<b>Tổ: Toán</b>

<i>y</i>



<i>f</i>

<i>(x</i>

)

<i>f</i>

'

(

<i>x</i>

)



0

<i>f</i>

<i>(x</i>

)

<i>f</i>

'

(

<i>x</i>

)



0

<i>x</i>



<i>K</i>

<i>f</i>

<i>' x</i>

(

)

<i>f</i>

<i>' x</i>

(

)

<i>x</i>

;

<i>x</i>

;...;

<i>x</i>

<i>x</i>

;

<i>x</i>

;...;

<i>x</i>

 

(

<i>x</i>

;

<i>x</i>



<i>h</i>

)

(

<i>x</i>

;

<i>x</i>



<i>h</i>

)

<i>x</i>

;

<i>x</i>

;...;

<i>x</i>

<i>y</i>



<i>y</i>

(

<i>a</i>

;



),

(

