PHUONG TRINH VO TI DANG DOI LAP

Các phương pháp giải phương trình vô tỉ Trang 1
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP
A. Một số lưu ý:
Khi giải phương trình bằng phương pháp đối lập chính là xét giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất mà hai vế của phương trình đạt được. Khi đó cần nhớ các bất đẳng thức sau:

Bất đẳng thức Xảy ra đẳng thức khi

2
a 0≥
a = 0

2
0a− ≤
a = 0

0a ≥

a a≥

a b a b+ ≥ +
a = 0

a 0
≥
a.b
0≥

2
a b
ab

+
≥
với
0, 0a b≥ ≥
(Cô- si)

2 ab a b≤ +

( )
2 2
2a b a b+ ≤ +
với
0, 0a b≥ ≥
a = b
a= b
a = b
B. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − −
BÀI GIẢI:
Ta có:
2 2
3 6 7 5 10 24x x x x+ + + + +
=
( ) ( )
2 2
3 1 4 5 1 9 4 9 2 3 5x x+ + + + + ≥ + = + =
và
( )

2
4 2 5 1 5x x x− − = − + ≤
.
Do đó:
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 1 4 5 1 9 5 1 5 1 0 1x x x x x+ + + + + = − + = ⇔ + = ⇔ = −
Vậy x =
1−
là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 2: Giải phương trình sau:
2
2 10 12 40x x x x− + − = − +
BÀI GIẢI:
ĐK:
2 0 2
2 10
10 0 10
x x
x
x x

− ≥ ≥

⇔ ⇔ ≤ ≤
 
− ≥ ≤


.

Đặt A =
2 10x x− + −

( ) ( )
2
2 10 2 2 10A x x x x⇒ = − + − + − −
= 8 +
( ) ( )
2 2 10x x− −
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai biểu thức không âm x – 2 và 10 – x ta có:
8 +
( ) ( )
2 2 10x x− −

8 2 10 16x x
≤ + − + − =
A
2

≤
16
⇒
maxA = 4
⇔
x – 2 = 10 – x
⇔
x = 6.
Đặt B =
2 2 2
12 40 2. .6 6 4x x x x− + = − + +

=
( )
2
6 4 4x − + ≥

⇒
minB = 4
⇔
x = 6
Do đó: A = B = 4
⇔
x = 6
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 6
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2
3 5 7 3 5 20 22x x x x− + − = − +
BÀI GIẢI
GV: Trần văn Hứa – Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc – Thăng Bình – Quảng Nam
ĐT: 0935 149 419
Các phương pháp giải phương trình vô tỉ Trang 2
ĐK:
5
3 5 0
5 7
3
7 3 0 7
3 3
3
x
x

x
x
x


≥


− ≥
 
⇔ ⇔ ≤ ≤
 
− ≥
 
≤




.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có:

( ) ( )
3 5 1 7 3 1
3 5 7 3 3 5 .1 7 3 .1 2
2 2
x x
x x x x
− + − +
− + − = − + − ≤ + =

Dấu bằng xảy ra
3 5 1 3 6
2
7 3 1 3 6
x x
x
x x
− = =
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 
− = =
 
Mặt khác:
( ) ( )
( )
2
2 2 2
5 20 22 5 20 20 2 5 4 4 2 5 2 2 2x x x x x x x− + = − + + = − + + = − + ≥
Dấu bằng xảy ra
2 0 2x x
⇔ − = ⇔ =
Do đó
2
3 5 7 3 5 20 22x x x x− + − = − +

2x⇔ =
Vậy x = 2 là nghiệm phương trình
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2 2

4 4 6 9 1x x x x− + + − + =
(1)
BÀI GIẢI:

2 2
4 4 6 9 1x x x x− + + − + =

( ) ( )
2 2
2 3 1x x⇔ − + − =
1 3 1x x⇔ − + − =
Áp dụng bất đẳng thức
A A≥
, ta có:
2 2, 3 3x x x x− ≥ − − ≥ −
.
Nên
2 3 2 3 1x x x x− + − ≥ − + − =
(2)
Do (1) nên phải xảy ra dấu “=” ở (2) tức là
2 0 2
2 3
3 0 3
x x
x
x x

− ≥ ≥

⇔ ⇔ ≤ ≤

 
− ≥ ≤


Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
2 3x
≤ ≤
Nhân xét :
Cách giải của bốn ví dụ trên gọi là phương pháp đối lập hay còn gọi là
phương pháp đánh giá hai vế của phương trình. Trong cách giải này ta cần chỉ ra:

A M
A M
B M
B M
A B
≤

=


≥ ⇔
 
=


=

BÀI TẬP THỰC HÀNH
Giải các phương trình sau:

1.
2 2 2
4 5 4 8 4 9 3 5x x x x x x− + + − + + − + = +
2.
2 2
3 12 16 4 13 5x x y y+ + + − + =
3.
2 2 2
9 6 2 45 30 9 6 9 8x x x x x x− + + − + = − +
4.
2 2
2 2 6 8 1 3x x x x− + + − − − = +
5.
2
7 9 16 66x x x x− + − = − +
6.
2
3 5 8 18x x x x− + − = − +
7.
2 2 2
4
3 6 19 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − −
8.
2 4 2 2
3 6 12 5 10 9 3 4 2x x x x x x+ + + − + = − −
9.
4 4 9 6 1x x x x+ − + + − =
10.
6 4 2 11 6 2 1x x x x+ − + + + − + =
GV: Trần văn Hứa – Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc – Thăng Bình – Quảng Nam

ĐT: 0935 149 419
Các phương pháp giải phương trình vô tỉ Trang 3
11.
2 4 2 7 6 2 1x x x x+ − − + + − − =
GV: Trần văn Hứa – Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc – Thăng Bình – Quảng Nam
ĐT: 0935 149 419