on tap chuong 1

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (276.16 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

N
M

O
D

C
CÁC DẠNG TỐN ƠN TẬP CHƯƠNG 1

Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương, cùng hướng:
 * Phương pháp : Sử dụng các khái niệm về véctơ

+ K/n Véctơ

+ K/n về hai véctơ cùng phương, hai véctơ cùng hướng
BÀI TẬP

Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-khơng ) có điểm đầu và điểm cuối

là các đỉnh tam giác?

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Tìm các vectơ cùng phương với AB;

b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB;
c) Tìm các vectơ ngược hướng với AB;
d) Tìm các vectơ bằng với MO, bằng với OB.
Bài 3: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O

a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương OA;
b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB;

c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và có:
+ Các điểm đầu là B, F, C

+ Các điểm cuối là F, D, C

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
a) bằng vectơ



AB

;

OB



b) Có độ dài bằng 

OB




HD:

Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ
Bài 2:

Bài 3:

a. DA AD BC CB AO OD DO FE EF, , , , , , , ,

        

b. OC ED FO, ,

  

c. Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB
khi đó BB ' AB

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

E
F

D
B

* Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB
Do CC’//AB CC ' AB

+ tương tự

Bài 4:

a.  AB DC ,OB DO 
b. |OB| | BO| | DO| | OD|

   

Dạng 2 . Chứng minh hai vectơ bằng nhau:

* Phương pháp : Ta có thể dùng một trong các cách sau:
A

D C

B
o

+ Sử dụng định nghĩa:

| | | |

, cùng hướng

a b a b

a b



  




   

 
 + Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì

AB DC BC AD
   

,…(hoặc viết ngược lại)
+ Nếu a b b c    ,   a c 

BÀI TẬP

Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. 
Chứng minh: EF CD 

Bài 2: Cho tứ giác ABCD.

Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi  AB DC
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu  AB DC thì  AD BC

Bài 4 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. 
Chứng minh :

MN



QP

;

NP



MQ

HD 
Bài 1:

Cách 1: EF là đường trung bình của  ABC nên EF//CD,

EF=

2BC=CD EF=CD EF  CD
 

(1)
EF



cùng hướng CD (2)
Từ (1),(2)   EF CD

Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành
EF=

2BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành EF CD
Bài 2:

Chứng minh chiều : * ABCD là hình bình hành 





CD

AB

CD
AB //

DC
AB
CD
AB

CD
AB








</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chứng minh chiều : * AB = DC  AB, DC cùng hướng và AB  DC
* AB và DC cùng hướng  AB // CD (1)

* AB  CD  AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành
Bài 3 :  AB DC  AB=DC, AB//CDABCD là hình bình hành   AD BC

Bài 4 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng 
1

2AC
Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành
 đpcm

Dạng 3. Chứng minh đẳng thức vectơ:

Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau
1) Biến đổi vế này thành vế kia.

2) Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng.
3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.

AC

 Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
 OB OA AB    (hoặc OA OB BA    )hay   AB OB OA 

 Tính chất trung điểm của đoạn thẳng :

+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB IA IB   0
 Tính chất trọng tâm của tam giác :

+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC  GA GB GC     0

BÀI TẬP

Bài 1 Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :



AC + BD = AD + BC
Bài 2 Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :



DO + AO = AB b/ OD + OC =BC
c/



OA + OB + OC + OD = 0 d/ MA + MC = MB + MD (với M là 1 điểm tùy ý)
Bài 3 Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.

CMR :



OD + OC = AD + BC

Bài 4 Cho ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý AA ' , BB ' , CC '

A

B

C

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

CMR : AA ' + BB ' +



CC = BA ' + CB ' + AC '.

Bài 5 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm
đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có:

'

OB

OC

OA

OC

OB

OA







Bài 6: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR :

a) OA+OB+OC+OD+OE+OF=0 b) OA+OC+OE = 0

c) AB+AO+AF =AD d) MA+MC+ME = MB+MD+MF ( M tùy ý )
Dạng 4 .Tính độ dài của hệ thức véctơ :

Cơ sở:

 sử dụng các quy tắc về véctơ :

+ Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có :



AB

+

BC



=



Bài 1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tính AD  AB 

b/ Dựng u =



CA AB . Tính u 

Bài 2 Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
a/ Tính 




 AC
AB 
b/ Tính BA  BI

Bài 3 Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính




 AC

AB 

Bài 4 Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt AO = a ; BO = b
Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và b

Bài 5 Cho hình vng ABCD cạnh a. Tính 




 AD

AB  theo a
 Bài 6 Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.

A

B

C

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a/ Tính 




 AD

AB 

b/ Dựng u =




 AC

AB . Tính u 

Dạng 5. Xác định vectơ ka :

*Phương pháp : Dựa vào định nghĩa vectơ ka và các tính chất
BÀI TẬP

Ví dụ 1. Cho a AB  và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho :

3 ; 4

OM  a ON   a

   
Giải

Vẽ d đi qua O và // với giá của a (nếu O  giá của a thì d là giá của a)

 Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a|, OMvà a cùng hướng khi đó OM3a.
 Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4|a|, ON và a ngược hướng nên ON  4a

Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=
1

5AB. Tìm k trong các đẳng 
thức sau:

) ; ) ; )

a AMk AB b MA k MB  c MA k AB 
Giải

A M B

| | 1

| |

5
| |

AM AM
AM k AB k

AB
AB

    


 



, vì AM AB k=
1
5
b) k= 

4 c) k= 

1
5
 Ví dụ 3.

a) Chứng minh:vectơ đối của 5a là (5) a

b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2a+3b , a2b
Giải

a) 5a=(1)(5a)=((1)5) a= (5) a

b) (2a+3b)= (1)( 2a+3b)= (1) 2a+(1)3b=(2)a+(3)b =2a3b
c) Tương tự

Dạng 6 . Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ khơng cùng phương :

Ví dụ 1.Cho  ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I
là giao điểm của AD và EF. Đặt  ; 

   

u AE v AF. Hãy phân tích các vectơ    AI AG DE DC, , , theo hai vectơ
,

u v
 
.

O

a

M

N

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Giải Ta có

1 1 1 1

( ) )

2 2 2 2

AI  AD AE AF  u v

     

2 2 2

3 3 3

AG AD u v

   
0. ( 1)

DE FA AF  u  v

    

DC FE  AE AF u v  
     

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ AM theo hai
vectơ u AB v AC , 

   

.
Giải

Ta có

2
3

AM  AB BM  AB BC

    

mà BC   AC AB


2 1 2

( )

3 3 3

AM  AB AC AB  u v

     

Dạng 7 . Chứng minh 3 điểm thẳng hàng :
 Cơ sở:

+ A, B, C thẳng hàng  ABcùng phương AC 0≠k  : AB k AC 
+ Nếu AB kCD  và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK=
1
3
AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Giải

Ta có

1
2

4 2 (1)

BI BA BM BA BC
BI BA BC

   

 

    
  

Ta có

1 2 1

( )

3 3 3

3 2 (2)

BK BA AK BA AC

BA BC BA BA BC
BK BA BC

   

    

 

    

    
  

Từ (1)&(2)

3 4

BK  BI BK  BI

   

 B, I, K thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức:

0
BC MA 
  

,  AB NA 3 AC0. Chứng minh MN//AC
Giải

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

K
I

D
3 0

3 0 2

    

    

     

     
BC MA AB NA AC

hay AC MN AC MN AC

/ /

MN AC

 

. Theo giả thiết BC AM

Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành
 M khơng thuộc AC MN//AC

BÀI TẬP

Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2



AB + 3AC = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.
Bài 2: Cho ABC, lấy M, N, P sao cho MB = 3MC ;NA +3NC =0 và PA + PB = 0

a/ Tính



PM, PN theo AB và AC
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.

Bài 3: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm
đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.

Dạng 8 . Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ :
 Cơ sở:

+  AB  0 A B

+ Cho điểm A và a. Có duy nhất M sao cho :  AM a
+ AB AC  B C AD BD;   A B

   

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết AG2GD.
Giải

AG GD

 

 A,G,D thẳng hàng.
AG=2GD gà G nằm giữa A và D.
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.

Ví dụ 2. Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: IA2IB 0.

A I B

2 0 2 2

IA IB  IA  IB IA   IB

      

hay IA=2IB , IAIB. Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB=
1
3AB

Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: GA GB GC GD       0
Giải

Ta có GA GB  2GI, trong đó I là trung điểm AB
Tương tự GC GD  2GK, K là trung điểm CD

2 2
0

GA GB GC GD GI GK

hay GI GK

    

 

     
  

 G là trung điểm IK

I C

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

BÀI TẬP

Bài 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR :



AD + BC = 2EF
b/ CMR :



OA + OB + OC + OD = 0

c/ CMR : MA + MB +



MC + MD = 4MO (với M tùy ý)

d/ Xác định vị trí của điểm M sao choMA + MB +MC +MD  nhỏ nhất

Bài 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :



AF + BG + CH + DE = 0
b/ CMR :



MA+MB +MC +MD = ME +MF +MG +MH
c/ CMR :




 AC

AB + AD = 4AG (với G là trung điểm FH)
Bài 3: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.

CMR :



AD + BE + CF = 3GH

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/



OA + OB + OC + OD = 0
b/



EA + EB + 2EC = 3AB
c/



EB + 2EA + 4ED = EC

Bài 5: Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AN = 2
1 

NC
. Gọi K là trung điểm của MN.

a/ CMR :



AK = 4
1



AB + 6
1 

AC b/ CMR : KD = 4
1



AB + 3
1 

Bài 6: Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2DB , CE = 3EA . Gọi M là trung
điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :



AM = 3
1 

AB + 8
1 



MI = 6
1



AB + 8
3 

</div>

on tap chuong 1



<i>AB</i>

<i>OB</i>



<i>OB</i>



<i>MN</i>



<i>QP</i>

;

<i>NP</i>



<i>MQ</i>



<i>AB</i>



<i>BC</i>



<i>AC</i>



<i>AB</i>



<i>AD</i>



<i>AC</i>

A

B

C

'

'

'

<i>OB</i>

<i>OC</i>

<i>OA</i>

<i>OC</i>

<i>OB</i>

<i>OA</i>













<i>AB</i>

<i>BC</i>





<i>AC</i>



<i>AB</i>



<i>AD</i>



<i>AC</i>

<i>a</i>



<i>a</i>



<i>a</i>



<i>a</i>



<i>a</i>



<i>a</i>



<i>a</i>



A

B

C

O

M

N

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về