Bộ đề thi học sinh giỏi các tỉnh Thành phố

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.17 MB, 137 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

N h

om

´

L

A

TEX

Tập thể

Nhóm L

A

TEX

BỘ

CHUYÊN ĐỀ

CHUYÊNĐỀ

CHUYÊN ĐỀ

9

4◦

a

b

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

N h´om
LATEX

MỤC LỤC

I

ĐẠI SỐ

2

CHỦ ĐỀ 1 RÚT GỌN VÀ LIÊN QUAN 3

Dạng 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ 3
A Loại 1: ĐA THỨC ĐƠN GIẢN CHỨA CĂN, DỄ DÀNG ĐẶT THỪA SỐ CHUNG 3
B Loại 2: ĐA THỨC CHỨA CĂN CÓ ẨN HẰNG ĐẲNG THỨC BÊN TRONG 4
C Loại 3: PHÂN THỨC CHỨA MẪU TIẾN HÀNH NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP, TRỤC

CĂN THỨC, QUY ĐỒNG 6
D Loại 4. KẾT HỢP LIÊN HỢP VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC TRONG CĂN 9
Dạng 2. RÚT GỌN BIỀU THỨC CHỨA CHỮ 11
E Một số bài toán nâng cao đặc biệt 37
F Bài tập làm thêm 40
CHỦ ĐỀ 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC 2 51

1 HÀM SỐ BẬC NHẤT 51
A Kiến thức và phương pháp 51
B Bài toán minh họa 52
Dạng 3. Vị trí và khoảng cách 52
Dạng 4. Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN56
2 HÀM SỐ BẬC HAI 58

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

N h´om
LATEX
Dạng 7. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÝ VIET 62

C KIẾN THỨC CẦN NHỚ 62
D PHƯƠNG PHÁP 62
Dạng 8. VẬN DỤNG ĐIỀU KIỆN CĨ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG
BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC GTLN,GTNN 67

E Bài toán minh họa 68
Dạng 9. ĐỊNH LÝ VIET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 70
F Kiến thức cần nhớ 71
G Bài tốn minh họa 72
Dạng 10. CÁC BÀI TỐN TƯƠNG GIAO ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL 82
H BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẢN XẠ 86
CHỦ ĐỀ 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 98

A Lý thuyết 98
B Các ví dụ và bài tập tự luyện 99
Dạng 11. Giải phương trình bậc nhất 99
Dạng 12. Giải phương trình bậc hai 100
Dạng 13. Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm của
phương trình bậc hai cho trước 102
CHỦ ĐỀ 4 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ 106

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

N h´om
LATEX

Phần I

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

N h´om
LATEX

CHỦ ĐỀ

1

RÚT GỌN VÀ LIÊN QUAN

{ DẠNG 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ

A.

LOẠI 1: ĐA THỨC ĐƠN GIẢN CHỨA CĂN, DỄ DÀNG ĐẶT THỪA SỐ CHUNG

CÂU 1. Rút gọn M =√45 +√245 −√80.
ú Lời giải.

M = √45 +√245 −√80 =
√

32· 5 +√72· 5 −√42· 5

= 3√5 + 7√5 − 4√5 = 6√5.

CÂU 2. Không sử dụng máy tính. Tính giá trị của biểu thức: A = 2015 +√36 −√25.
ú Lời giải.

A = 2015 +√36 −√25 = 2015 + 6 − 5 = 2016.

CÂU 3. Rút gọn biểu thức: A = 5√8 +√50 − 2√18.
ú Lời giải.

A = 5√8 +√50 − 2√18 = 5 · 2√2 + 5√2 − 2 · 3√2
= 10√2 + 5√2 − 6√2 = (10 + 5 − 6)√2 = 9√2.

CÂU 4. Rút gọn biểu thức: A =√27 − 2√12 −√75.
ú Lời giải.

A =√27 − 2√27 −√75 = 3√3 − 4√3 − 5√3 = −6√3.

CÂU 5. Rút gọn biểu thức: A =√12 +√27 −√48.
ú Lời giải.

A =√12 +√27 −√48 = 2√3 + 3√3 − 4√3 =√3.

CÂU 6. Rút gọn biểu thức: B = 2√3 + 3√27 −√300.
ú Lời giải.

B = 2√3 + 3√27 −√300 = 2√3 + 3√32· 3 −√102· 3 = 2√3 + 3 · 3 ·√3 − 10√3 =√3.

CÂU 7. Rút gọn biểu thức: A = 3√2 + 4√18.
ú Lời giải.

A = 3√2 + 4√9.2 = 3√2 + 12√2 = 15√2.

CÂU 8. Rút gọn biểu thức: A = 2√3 − 4√27 + 5√48.
ú Lời giải.

A = 2√3 − 4√27 + 5√48 = 2√3 − 12√3 + 20√3 = 10√3.

CÂU 9. Rút gọn biểu thức: M = (3√50 − 5√18 + 3√8)√2.
ú Lời giải.

M = (3√50 − 5√18 + 3√8)√2 = (15√2 − 15√2 + 6√2)√2 = 6√2 ·√2 = 12.

CÂU 10. Rút gọn biểu thức: A = (2√3 − 5√27 + 4√12) :√3.
ú Lời giải.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

N h´om
LATEX

CÂU 11. Rút gọn biểu thức: A =√125 − 4√45 + 3√20 −√80.
ú Lời giải.

A = 5√5 − 12√5 + 6√5 − 4√5 = −5√5.

CÂU 12. Rút gọn biểu thức: A = 2√9 +√25 − 5√4.
ú Lời giải.

A = 2√9 +√25 − 5√4 = 5 + 6 − 10 = 1.

CÂU 13. Rút gọn biểu thức: A = 2√32 − 5√27 − 4√8 + 3√75.
ú Lời giải.

A = 2√32 − 5√27 − 4√8 + 3√75
= 2

√

42· 2 − 5√32· 3 − 4√22· 2 + 3√52· 3

= 8√2 − 15√3 − 8√2 + 15√3 = 0.

CÂU 14. Rút gọn biểu thức: A = 2√3 · 52− 3√3 · 22+√3 · 32.

ú Lời giải.

A = 2 · 5 ·√3 − 3 · 2 ·√3 + 3√3 = 10√3 − 6√3 + 3√3 = 7√3.

CÂU 15. Rút gọn biểu thức: A = 2√5 + 3√45 −√500.
ú Lời giải.

A = 2√5 + 3√45 −√500 = 2√5 + 3 · 3√5 − 10√5 =√5.

CÂU 16. Rút gọn biểu thức: M = (3√50 + 5√18 + 3√8)√2.
ú Lời giải.

M = (15√2 + 15√2 + 6√2)√2 = 36√2 ·√2 = 72.

CÂU 17. Rút gọn biểu thức: A = (2√3 − 5√27 + 4√12) :√3.
ú Lời giải.

A = (2√3 − 5√27 + 4√12) : √3 = (2√3 − 5 · 3√3 + 4 · 2√3) : √3 = −5√3 :√3 = −5.

CÂU 18. Rút gọn biểu thức: A = (2√3 − 5√27 + 4√12) :√3.
ú Lời giải.

A = (2√3 − 5√27 + 4√12) : √3 = (2√3 − 5 · 3√3 + 4 · 2√3) : √3 = −5√3 :√3 = −5.

CÂU 19. Rút gọn biểu thức: A =√3 −√12 +√27.
ú Lời giải.

A =√3 −√22· 3 +√32· 3 = √3 − 2√3 + 3√3 = 2√3.

CÂU 20. Rút gọn biểu thức: B =√20 −√45 + 2√5.
ú Lời giải.

B =√22· 5 −√32· 5 + 2√5 = 2√5 − 3√5 + 2√5 =√5.

CÂU 21. Rút gọn biểu thức: A =√3(√27 + 4√3).
ú Lời giải.

A =√3(√27 + 4√3) =√81 + 4√9 = 9 + 4 · 3 = 21.

B.

LOẠI 2: ĐA THỨC CHỨA CĂN CÓ ẨN HẰNG ĐẲNG THỨC BÊN TRONG

CÂU 1. Tính: B =»(2 −√3)2+√3.

ú Lời giải.

B = |2 −√3| +√3 = 2 −√3 +√3 = 2 (Do 2 >√3).

CÂU 2. Rút gọn biểu thức: N =»6 + 2√5 −»6 − 2√5.
ú Lời giải.

N =

6 + 2√5 −

6 − 2√5 =

5 + 2√5 + 1 −

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

N h´om
LATEX
=

(√5 + 1)2 −

(√5 − 1)2

= |√5 + 1| − |√5 − 1| =√5 + 1 −√5 + 1 = 2.

CÂU 3. Rút gọn biểu thức: A =»7 − 2√10 +√20 + 1
2

√
8.
ú Lời giải.

A =

7 − 2√10 +√20 + 1
2

√
8 =

(√5 −√2)2+ 2√5 + 1

2 · 2
√

= |√5 −√2| + 2√5 +√2 = √5 −√2 + 2√5 +√2 (Do √5 −√2 > 0)
= 3√5.

CÂU 4. Rút gọn biểu thức: B = (3√2 +√6)»6 − 3√3.
ú Lời giải.

B = (3√2 +√6)»6 − 3√3 = (3 +√3)»12 − 6√3 = (3 +√3)|3 −√3| = (3 +√3)(3 −√3) = 9 − 3 = 6.

CÂU 5. Rút gọn biểu thức: B = (√5 − 1)»6 + 2√5.
ú Lời giải.

B = (√5 − 1)»6 + 2√5 = (√5 − 1)»(√5 + 1)2 = (√5 − 1)|√5 + 1| = (√5 − 1)(√5 + 1) = 5 − 1 = 4.

CÂU 6. Rút gọn biểu thức: A =»7 + 2√10 +√20 − 1
2

√
8.
ú Lời giải.

A =

7 + 2√10 +√20 − 1
2

√
8 =

(√5 +√2)2+ 2√5 − 1

2· 2
√

2
= |√5 +√2| + 2√5 −√2 =√5 +√2 + 2√5 −√2 = 3√5.

CÂU 7. Rút gọn biểu thức: B = (3√2 +√6)»6 − 3√3.
ú Lời giải.

B = (3√2 +√6)»6 − 3√3 = (3 +√3)»12 − 6√3 = (3 +√3)|3 −√3| = (3 +√3)(3 −√3) = 9 − 3 = 6.

CÂU 8. Rút gọn biểu thức: P =

4 − 2√3
1 −√3 .
ú Lời giải.

P =

4 − 2√3
1 −√3 =

(√3 − 1)2

1 −√3 =

|√3 − 1|

1 −√3 = −1

CÂU 9. Rút gọn biểu thức: A =

2 +√3
2 −

2 −√3
2
ú Lời giải.

A =

2 +√3
2 −

2 −√3
2 =

4 + 2√3
4 +

4 − 2√3
4
= 1

Åq

(√3 + 1)2−

(√3 − 1)2

= 1
2

|√3 + 1| − |√3 − 1|ä= 1
2(

√

3 + 1 −√3 + 1) = 1.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

N h´om
LATEX

CÂU 10. Rút gọn biểu thức: B = 21»2 +√3 +»6 − 2√52− 6»2 −√3 +»3 +√52.
ú Lời giải.

B = 21

Å»

4 + 2√3 +

6 − 2√5

ã2

− 3

Å»

4 − 2√3 +

6 + 2√5

ã2

− 15√15
= 21

Ä√

3 + 1 +√5 − 1ä2− 3Ä√3 − 1 +√5 + 1ä2− 15√15
= 15

2 (
√

3 +√5)2− 15√15 = 60.

C.

LOẠI 3: PHÂN THỨC CHỨA MẪU TIẾN HÀNH NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP, TRỤC

CĂN THỨC, QUY ĐỒNG

u PHƯƠNG PHÁP 1. QUY ĐỒNG

CÂU 1. Rút gọn biểu thức: A = √ 1
3 + 1 +

1
√

3 − 1 +

2√2 −√6
√

2 .
ú Lời giải.

A =

√

3 − 1 +√3 + 1
(√3 + 1)(√3 − 1) +

√

2(2 −√3)
√

2 =
2√3

3 − 1 + 2 −
√

3 =√3 + 2 −√3 = 2.

CÂU 2. Rút gọn biểu thức: B = 1
3 +√7+

1
3 −√7.
ú Lời giải.

B = 1
3 +√7+

1
3 −√7 =

32−√72 =

9 − 7 = 3.

CÂU 3. Rút gọn biểu thức: P =
√

5
√

5 − 2 − 2
√

5.
ú Lời giải.

P =
√

5
√

5 − 2 − 2
√

5 =
√

5 − 2√5(√5 − 2)
√

5 − 2 =
√

5 − 10 + 4√5
√

5 − 2 =

5√5 − 10
√

5 − 2 =

5(√5 − 2)
√

5 − 2 = 5.

CÂU 4. Rút gọn biểu thức: P = √ 1
5 − 2 +

1
√

5 + 2.
ú Lời giải.

P =√5 + 2 +√5 − 2 = 2√5.

CÂU 5. Rút gọn biểu thức: B = √ 1
3 −√2+

1
√

3 +√2.
ú Lời giải.

B = √ 1
3 −√2 +

1
√

3 +√2 =
√

3 +√2
3 − 2 +

√

3 −√2
3 − 2 =

√

3 −√2 +√3 −√2 = 2√3. 
u PHƯƠNG PHÁP 2. ĐẶT THỪA SỐ CHUNG

CÂU 1. Rút gọn biểu thức P = (√3 − 1)3 +
√

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

N h´om
LATEX
P = (√3 − 1)3 +

√
3
2√3
= (√3 − 1)

√

3(√3 + 1)
2√3
= (

√

3 − 1)(√3 + 1)
2 =

3 − 1

2 = 1.

CÂU 2. Tính Q = √ 2
2 + 2 +

1
3·

√
18.
ú Lời giải.

Q = √ 2
2 + 2 +

1
3 ·

√
18
=

√
2
1 +√2 +

√
9 · 2

3
=

√

2(√2 − 1)
1 − 2 +

3√2
3
=

√
2 − 2
−1 +

√

2 = 2 −√2 +√2 = 2.

u PHƯƠNG PHÁP 3. LIÊN HỢP VÀ ĐẶT THỪA SỐ CHUNG

CÂU 1. Rút gọn biểu thức A = √ 2
7 −√6−

√

28 +√54.

ú Lời giải.

A = √ 2
7 −√6 −

√

28 +√54
= 2(

√

7 +√6)

(√7 −√6)(√7 +√6)−
√

7 · 4 +√9 · 6
= 2

√

7 + 2√6
7 − 6 − 2

√

7 + 3√6

= 2√7 + 2√6 − 2√7 + 3√6 = 5√6.

CÂU 2. Khơng dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức B = √ 1
2 + 1 −

√

8 −√10
2 −√5 .
ú Lời giải.

A = √ 1
2 + 1 −

√

8 −√10
2 −√5
=

√
2 − 1

1 −
√

2(2 −√5)
2 −√5
=√2 − 1 −√2 = −1.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

N h´om
LATEX

CÂU 3. Cho A = √3 − 1; B =√3 + 1. Tính giá trị của biểu thức A + B; A · B; A
B; A

2+ B2 bằng

cách rút gọn hoặc biến đổi thích hợp
ú Lời giải.

A + B = (√3 − 1) + (√3 + 1) = 2√3.

A · B = (√3 − 1)(√3 + 1) = (√3)2− 12 = 3 − 1 = 2.

A
B =

√
3 − 1
√

3 + 1 =

(√3 − 1)2

(√3 + 1)(√3 − 1) =

4 − 2√3

2 = 2 −
√

3.
A2+ B2 = (A + B)2− 2AB = (2√3)2− 2.2 = 12 − 4 = 8.

CÂU 4. Rút gọn biểu thức P = √ 2
3 − 1 −

√

27 + √3
3.
ú Lời giải.

P = 2

Ä√

3 + 1ä

Ä√

3 − 1ä Ä√3 + 1ä − 3
√

3 +√3

= 2

Ä√

3 + 1ä
3 − 1 − 2

√
3

=√3 + 1 − 2√3 = 1 −√3.

CÂU 5. Rút gọn biểu thức B = √ 2
7 −√6 −

√

28 +√54.
ú Lời giải.

B = √ 2
7 −√6 −

√

28 +√54
= 2(

√

7 +√6)

(√7 −√6)(√7 +√6)−
√

7 · 4 +√9 · 6
= 2

√

7 + 2√6
7 − 6 − 2

√

7 + 3√6

= 2√7 + 2√6 − 2√7 + 3√6 = 5√6.

CÂU 6. Rút gọn biểu thức sau C = 5 +
√

5
√

5 + 2 +

√

5
√

5 − 1 −
3√5
3 +√5.
ú Lời giải.

C = 5 +
√

5
√

5 + 2 +
√

5
√

5 − 1 −
3√5
3 +√5
= (5 +

√

5)(√5 − 2)

(√5 − 2)(√5 + 2) +

√

5(√5 + 1)
(√5 − 1)(√5 + 1) −

3√5(3 −√5)
(3 +√5)(3 −√5)
= 3√5 − 5 + 5 +

√
5
4 −

9√5 − 15
4
= 3√5 − 5 + 5 +

√

5 − 9√5 + 15
4

= 3√5 − 5 + 5 − 2√5 =√5.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

N h´om
LATEX

TEX

D.

LOẠI 4. KẾT HỢP LIÊN HỢP VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC TRONG CĂN

CÂU 1. Cho biểu thức M = 6
2 −√3 +

(2 −√3)2 −√75. Rút gọn M .

ú Lời giải.

M = 6

2 −√3+ |2 −
√

3| −√75

= 6(2 +√3) + 2 −√3 − 5√3 = 14.

CÂU 2. Rút gọn biểu thức A = 1
2 −√3 +

7 − 4√3.
ú Lời giải.

A = 1
2 −√3+

7 − 4√3
= 1

2 −√3+

4 − 4√3 + 3
= 1

2 −√3+

(2 −√3)2

= 1

2 −√3+ 2 −
√

3 = 2 +
√

(2 −√3)(2 +√3)+ 2 −
√

3
= 2 +

√
3
1 + 2 −

√
3 = 4.

CÂU 3. Không dùng máy tính, rút gọn biểu thức B = (√5 − 2)(√5 + 2) −

7 − 4√3
√

3 − 2 .
ú Lời giải.

B = (√5)2− 22−

(2 −√3)2

√
3 − 2
= 5 − 4 − 2 −

√
3
√

3 − 2
= 1 − (−1) = 2.

CÂU 4. Thu gọn biểu thức C = 2 −
√

3
1 +»4 + 2√3

+ 2 +
√

3
1 −»4 − 2√3

.
ú Lời giải.

C = 2 −
√

3
1 +»4 + 2√3

+ 2 +
√

3
1 −»4 − 2√3
= 2 −

√
3

1 +»3 + 2 · 1 ·√3 + 1

+ 2 +
√

1 −»3 − 2 · 1 ·√3 + 1
= 2 −

√
3

1 +»(√3 + 1)2 +

2 +√3
1 −»(√3 − 1)2

= 2 −
√

3
1 +√3 + 1 +

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

N h´om
LATEX
= 2 −

√
3
2 +√3+

2 +√3
2 −√3

= (4 − 4√3 + 3) + (3 + 4√3 + 3) = 14.

CÂU 5. Rút gọn biểu thức D = 2 +
√

7 − 4√3

− 2 −
√

7 + 4√3
.
ú Lời giải.

D = 2 +
√

7 − 4√3

− 2 −
√

7 + 4√3
= 2 +

√
3

(2 −√3)2 −

2 −√3

(2 +√3)2

= 2 +
√

3
2 −√3 −

2 −√3
2 +√3
= (2 +√3)2− (2 −√3)2

= (2 +√3 − 2 +√3)(2 +√3 + 2 −√3) = 8√3.

CÂU 6. Rút gọn biểu thức sau E =

3√3 − 4
2√3 + 1 −

Ã √

3 + 4
5 − 2√3.
ú Lời giải.

E =

3√3 − 4
2√3 + 1 −

Ã √

3 + 4
5 − 2√3
=

(3√3 − 4)(2√3 − 1)

12 − 1 −

(√3 + 4)(5 + 2√3)
25 − 12
=

22 − 11√3
11 −

26 + 13√3
13
=

2 −√3 −

2 +√3
=

4 − 2√3
2 −

4 + 2√3
2
= √1

(√3 − 1)2− √1

(√3 + 1)2

= √1
2

√
3 − 1

−

√
3 + 1

= √1

2· (−2) = −
√

CÂU 7. Tính giá trị biểu thức F = »3 85 + 62√7 +»385 − 62√7.
ú Lời giải.

Đặt a =»3 85 + 62√7; b =»3 85 − 62√7. Suy ra a + b = F .
Ta có a3+ b3 = (85 + 62√7) + (85 − 62√7) = 170;

ab = »3 85 + 62√7 ·»385 − 62√7 = »3

852− (62√7)2 =√3 −19683 = −27.

Do đó F3 = (a + b)3 = a3+ b3+ 3ab(a + b) = 170 − 3 · 27 · B.
Suy ra phương trình F3+ 81F − 170 = 0 ⇔ (F − 2)

F2+ 2F + 85
50

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

N h´om
LATEX
{ DẠNG 2. RÚT GỌN BIỀU THỨC CHỨA CHỮ

VÍ DỤ 1. Rút gọn biểu thức A = (√a + 2)(√a − 3) − (√a + 1)2+√9a với a ≥ 0.

ú Lời giải.

Ta có (√a + 2)(√a − 3) = a −√a − 6; (√a + 1)2 = a + 2√a + 1.

Do đó A = a −√a − 6 − (a + 2√a + 1) + 3√a − 7. 
u PHƯƠNG PHÁP 4. ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC

CÂU 1. Rút gọn biểu thức M = (a + b)

2− (a − b)2

ab với ab 6= 0.
ú Lời giải.

M = (a + b)

2 − (a − b)2

ab =

(a + b + a − b)(a + b − a + b)
ab =

2a · 2b
ab = 4.

CÂU 2. Rút gọn biểu thức P =

1 − a√a
1 −√a +

√
a

1 −√a
1 − a

å2

với (a ≥ 0; a 6= 1).
ú Lời giải.

Với (a ≥ 0; a 6= 1), ta có
P =

1 − a√a
1 −√a +

√

1 −√a
1 − a

å2

= (1 −
√

a)(1 +√a +√a2)

1 −√a +
√

1 −√a

(1 −√a)(1 +√a)

å2

=Ä1 + 2√a + ậ·

1
1 +√a

å2

= (1 +√a)2· 1

(1 +√a)2 = 1.

CÂU 3. Rút gọn biểu thức Q =»x − 1 − 2√x − 2 + 1 +√x − 2 với 2 ≤ x < 3.
ú Lời giải.

Ta có

Q =

x − 1 − 2√x − 2 + 1 +√x − 2
=

(√x − 2 − 1)2+ 1 +√x − 2

= |√x − 2 − 1| + 1 +√x − 2

= −√x − 2 + 1 + 1 +√x − 2 ( vì 2 ≤ x < 3 nên √x − 2 − 1 < 0)
= 2.

CÂU 4. Rút gọn biểu thức: A =

2√x + x
x√x − 1 −

1
√

x − 1

1 −
√

x + 2
x +√x + 1

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

N h´om
LATEX
A =

2√x + x
x√x − 1 −

1
√

x − 1

1 −
√

x + 2
x +√x + 1

với x ≥ 0, x 6= 1
= 2

√
x + x
(√x)3− 1−

√

x + x + 1
(√x)3− 1

:
√

x + x + 1 − (√x + 2)
√

x + x + 1
= 2

√

x + x −√x − x − 1
(√x − 1) (√x + x + 1).

√

x + x + 1
√

x + x + 1 −√x − 2 =

2√x + x −√x − x − 1
(√x − 1) (x − 1)
=

√
x − 1

(√x − 1) (x − 1) =
1
x − 1.

CÂU 5. Cho biểu thức A = x
√

x + 1
x − 1 −

x − 1
√

x + 1 (với x 6= 1; x ≥ 0 ).
Rút gọn A, sau đó tính giá trị A − 1 khi x = 2016 + 2√2015.

ú Lời giải.

Với x ≥ 0, x 6= 1 ta có
A = (

√

x)3+ 1

(√x + 1) (√x − 1)−

(√x − 1) (√x + 1)
√

x + 1 =

x −√x + 1
√

x − 1 −

Ä√

x − 1ä

= x −

√

x + 1 − (√x − 1)2
√

x − 1 =
√

x
√

x − 1
A − 1 =

√

x − (√x − 1)
√

x − 1 =
1
√

x − 1.

Ta có x = 2016 + 2√2015 thỏa mãn điều kiện x 6= 1; x ≥ 0
Có x = 2015 + 2√2015 + 1 =Ä√2015 + 1ä2 ⇒√x =√2015 + 1.
Thay vào biểu thức A − 1 ta được: A − 1 = √ 1

2015.

CÂU 6. Cho biểu thức: D =

(√x − 1)2·q(√x + 1)2. Rút gọn D.
ú Lời giải.

D =

(√x − 1)2·q(√x + 1)2 = |√x − 1| · (√x + 1).

Nếu √x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 ⇒ D = (√x − 1) (√x + 1) = x − 1.
Nếu √x − 1 < 0 ⇔ 0 ≤ x < 1 ⇒ D = − (√x − 1) (√x + 1) = 1 − x.

CÂU 7. Cho biểu thức Q =

1
√

x − 1−
2

x − 1

å Ç

x +√x
√

x + 1 −

1 −√x
√

x − x

(với x > 0; x 6= 1 )
1. Rút gọn biểu thức Q.

2. Tìm các giá trị của x để Q = −1.
ú Lời giải.

1. Với điều kiện x > 0 và x 6= 1 , ta có
Q =

1
√

x − 1−
2
x − 1

å Ç

x +√x
√

x + 1 −

1 −√x
√

x − x

1
√

x − 1−
2
x − 1

å Ç√

x − √1
x

=
√

x − 1
x − 1 .

x − 1
√

x =
√

x − 1
√

x .
2. Với x > 0; x 6= 1 , ta có Q =

√
x − 1
√

x .
Do đó Q =

√
x − 1
√

x = −1 ⇔
√

x − 1 = −√x ⇔ 2√x = 1 ⇔ x = 1
4

thỏa mãnä.
Vậy với x = 1

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

N h´om
LATEX

u PHƯƠNG PHÁP 5. ÁP DỤNG QUY ĐỒNG

CÂU 1. Rút gọn biểu thức: B = 1
1 + x −

1
1 − x.
ú Lời giải.

Ta có điều kiện là x 6= ±1 B = (1 − x) − (1 + x)

(1 + x) (1 − x) =

−2x

1 − x2.

CÂU 2. Rút gọn biểu thức: B = √ 4
x + 1 +

2
1 −√x −

√
x − 5

x − 1 với x ≥ 0, x 6= 1.
ú Lời giải.

Với x ≥ 0, x 6= 1 , ta có:
B = √ 4

x + 1 +
2
1 −√x−

√
x − 5
x − 1
= 4 (

√
x − 1)
(√x + 1) (√x − 1)+

−2 (√x + 1)
(√x + 1) (√x − 1)−

√
x − 5
(√x + 1) (√x − 1)
= 4 (

√

x − 1) − 2 (√x + 1) − (√x − 5)
(√x + 1) (√x − 1)

√
x − 1

(√x + 1) (√x − 1) =
1
√

x + 1.
Vậy B = √ 1

x + 1.

CÂU 3. Rút gọn biểu thức: B =
√

x
√

x − 1 −
2√x
x − 1 −

1
√

x + 1 với x ≥ 0 và x 6= 1.
ú Lời giải.

B =
√

x
√

x − 1 −

2√x

(√x − 1) (√x + 1) −
1
√

x + 1
=

√

x (√x + 1) − 2√x − (√x − 1)
(√x − 1) (√x + 1) =

x +√x − 2√x −√x + 1
(√x − 1) (√x + 1)
= x − 2

√
x + 1
(√x − 1) (√x + 1) =

(√x − 1)2

(√x − 1) (√x + 1) =
√

x − 1
√

x + 1.

CÂU 4. Cho biểu thức G = x −

√

x
√

x − 1 −

x − 1
√

x + 1. Tìm x để G có nghĩa và rút gọn G.
ú Lời giải.

Điều kiện x ≥ 0 và x 6= 1
G = x −

√
x
√

x − 1 −

x − 1
√

x + 1 =
√

x (√x − 1)
√

x − 1 −

(√x − 1) (√x + 1)
√

x + 1 =
√

x − (√x − 1) = 1.

CÂU 5. Cho biểu thức: P = 2 +
√

x
√

x + 1 +

2 −√x
√

x − 1 điều kiện x ≥ 0 và x 6= 1. Rút gọn biểu thức P .
ú Lời giải.

Có P = (2 +
√

x) (√x − 1)
(√x + 1) (√x − 1)+

(2 −√x) (√x + 1)
(√x + 1) (√x − 1) =

(x +√x − 2) + (−x +√x + 2)
x − 1 =

2√x

x − 1.

CÂU 6. Rút gọn biểu thức A =

Ç √

x
√

x + 2 +
2
√

x − 2

: √x + 4

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

N h´om
LATEX

Với x ≥ 0 và x 6= 4 ta có:

A =

Ç √

x
√

x + 2 +
2
√

x − 2

: √x + 4
x + 2
=

Ç √

x (√x − 2)
(√x + 2) (√x − 2)+

2 (√x + 2)
(√x − 2) (√x + 2)

.
√

x + 2
x + 4
= x − 2

√

x + 2√x + 4
(√x + 2) (√x − 2) .

√
x + 2
x + 4
= √ 1

x − 2 =
√

x + 2
x − 4 .

CÂU 7. Cho B =

1
√

x − 2+
1
√

x + 2

å√

x − 2
√

x với x > 0 và x 6= 4. Rút gọn biểu thức.
ú Lời giải.

B =

1
√

x − 2 +
1
√

x + 2

å√

x − 2
√

x =

(√x + 2) + (√x − 2)
(√x − 2) (√x + 2) .

√
x − 2
√

x
= 2

√

x (√x − 2)
√

x (√x − 2) (√x + 2) =
2
√

x + 2(x > 0; x 6= 4) .

CÂU 8. Rút ngắn biểu thức: P =

1
√

a − 1−
1
√

a + 1

: a + 1
a − 1.
ú Lời giải.

Điều kiện: a ≥ 0; a 6= 1.
P =

1
√

a − 1 −
1
√

a + 1

: a + 1
a − 1
=

√

a + 1 − (√a − 1)
(√a − 1) (√a + 1) :

a + 1
a − 1 =

2
a − 1.

a − 1
a + 1 =

2
a + 1.

CÂU 9. Cho biểu thức A =
√

a + 1
√

a − 1−
√

a − 1
√

a + 1 (với a ∈ R, a ≥ 0 và a 6= 1). Rút gọn biểu thức.
ú Lời giải.

A =
√

a + 1
√

a − 1 −
√

a − 1
√

a + 1 =

(√a + 1)2− (√a − 1)2
a − 1 =

a + 2√a + 1 − a + 2√a − 1
a − 1 =

4√a

a − 1.

CÂU 10. Rút gọn biểu thức: B =

1
√

x − 1−
1
√
x

: 1

x −√x(x > 0; x 6= 1)
ú Lời giải.

B =

1
√

x − 1 −
1
√
x

: 1
x −√x =

√

x − (√x − 1)
√

x (√x − 1) .

x −√x
1 =

1
x −√x.

x −√x

1 = 1.

CÂU 11. Rút gọn biểu thức: Q =

1
√

x + 4 +
1
√

x − 4

å√

x + 4
√

x .
ú Lời giải.

Q =
√

x − 4 +√x + 4
(√x + 4) (√x − 4).

√
x + 4
√

x =

2√x

(√x + 4) (√x − 4).
√

x + 4
√

x =
2
√

x − 4.

CÂU 12. Rút gọn biểu thức: Q =

1 + 1 +
√

x
√

x − 1

.√1

x với x > 0, x 6= 1.
ú Lời giải.

Q =

ñ√

x − 1 +√x + 1
(√x − 1)

· √1
x =

2√x
√

x − 1.
1
√

x =
2
√

x − 1(0 < x 6= 1).

CÂU 13. Rút gọn biểu thức: P =

Ç
1
√
x −
1
√

x + 1

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

N h´om
LATEX
Với x > 0 có

P =
Ç
1
√
x −
1
√

x + 1

å
Ä

x√x + xä
=

√

x + 1 −√x
√

x (√x + 1).x

Ä√

x + 1ä= √ 1

x (√x + 1).x.

Ä√

x + 1ä=√x.

CÂU 14. Cho biểu thức: P =

1
√

a − 1 −
1
√
a
å
:
Ç√

a + 1
√

a − 2 −
√

a + 2
√

a − 1

với a > 0; a 6= 1; a 6= 4. Rút
gọn P .

ú Lời giải.
P =

√

a − 1 −
1
√
a
å
:
Ç√

a + 1
√

a − 2 −
√

a + 2
√

a − 1

=
√

a −√a + 1
√

a (√a − 1) :

(√a + 1) (√a − 1)
(√a − 2) (√a − 1) −

(√a + 2) (√a − 2)
(√a − 2) (√a − 1)

= √ 1
a (√a − 1).

(√a − 2) (√a − 1)
(a − 1) − (a − 4) =

√
a − 2
3√a .

CÂU 15. Rút gọn biểu thức B = √ 3
x − 2+

4
√

x + 2 −

x − 4, (x ≥ 0, x 6= 4).
ú Lời giải.

Ta có

B = √ 3
x − 2 +

4
√

x + 2 −
12
x − 4 =

3(√x + 2) + 4(√x − 2) − 12
(√x − 2)(√x + 2)
= 7

√
x − 14

(√x − 2)(√x + 2) =

7(√x − 2)

(√x − 2)(√x + 2) =
7

√

x + 2.
Vậy B = √ 7

x + 2.

CÂU 16. Rút gọn biểu thức A =

3√x
√

x − 1−
1
√

x + 1 − 3

·
√

x + 1
√

x + 2 với x ≥ 0 và x 6= 1.
ú Lời giải.

Với x ≥ 0 và x 6= 1 ta có
A =

3√x
√

x − 1−
1
√

x + 1 − 3

·
√

x + 1
√

x + 2
= 3

√

x(√x + 1) − (√x − 1) − 3(√x − 1)(√x + 1)
(√x − 1)(√x + 1) ·

√
x + 1
√

x + 2
= 3x + 3

√

x −√x + 1 − 3x + 3
(√x − 1)(√x + 1) ·

√
x + 1
√

x + 2
= 2(

√
x + 2)
(√x − 1)(√x + 1) ·

√
x + 1
√

x + 2 =
2

√

x − 1.
Vậy A = √ 2

x − 1.

CÂU 17. Cho biểu thức P =

4√x
2 −√x −

8x
4 − x

Ç √

x − 4
x + 2√x +

1
√
x

với x > 0, x 6= 1, x 6= 4. Rút
gọn biểu thức P .

ú Lời giải.
Ta có

P =

4√x
2 −√x −

8x
4 − x

Ç √

x − 4
x + 2√x +

1
√
x

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

N h´om
LATEX
= 4

√

x(2 +√x) − 8x
(2 −√x)(2 +√x) :

√

x − 4 + (√x + 2)
√

x(√x + 2)
= −4x + 8

√
x
(2 −√x)(2 +√x) :

2√x − 2
√

x(√x + 2)
= 4

√
x

2 +√x·

√

x(√x + 2)
2√x − 2 =

2x
√

x − 1.
Vậy P = √2x

x − 1.

CÂU 18. Cho biểu thức P =

1
√

a − 1−
1
√
a
å
:
Ç√

a + 1
√

a − 2 −
√

a + 2
√

a − 1

. Tìm điều kiện xác định và
rút gọn biểu thức P .

ú Lời giải.

Ta có điều kiện a > 0, a 6= 1, a 6= 4 thì biểu thức P thành
P =

√

a − (√a − 1)
√

a(√a − 1) :

(√a + 1)(√a − 1) − (√a + 2)(√a − 2)
(√a − 2)(√a − 1)

= √ 1

a(√a − 1) :

(a − 1) − (a − 4)
(√a − 2)(√a − 1)
= √ 1

a(√a − 1)·

(√a − 2)(√a − 1)
3 =

√
a − 2
3√a .
Vậy P =

√
a − 2

3√a .

CÂU 19. Rút gọn biểu thức N =

1
√

a + 2 +
1
√

a − 2

: 3
√

a − 4, (a > 0, a 6= 4).
ú Lời giải.

Ta có N =

1
√

a + 2 +
1
√

a − 2

: 3
√

a
a − 4 =

√

a − 2 +√a + 2
(√a + 2)(√a − 2)·

a − 4
3√a

2√a
a − 4 ·

a − 4
3√a =

CÂU 20.

1. Rút gọn biểu thức Q =

3 +√x
3 −√x −

3 −√x
3 +√x −

36
x − 9

:
√

x − 5

3√x − x, (x > 0, x 6= 9, x 6= 25).
2. Tìm x để Q < 0.

ú Lời giải.

1. Với x > 0, x 6= 9, x 6= 25, ta có
Q =

3 +√x
3 −√x −

3 −√x
3 +√x −

36
x − 9

:
√

x − 5
3√x − x
= (3 +

√

x)2− (3 −√x)2+ 36
(3 +√x)(3 −√x) ·

3√x − x
√

x − 5
= (9 + 6

√

x + x) − (9 − 6√x + x) + 36

(3 +√x)(3 −√x) ·

√

x(3 −√x)
√

x − 5
= (12

√

x + 36)(3 −√x)√x
(3 −√x)(3 +√x)(√x − 5) =

12√x
√

x − 5.
Vậy Q = 12

√
x
√

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

N h´om
LATEX
2. Với x > 0 thì 12√x > 0. Do đó Q < 0 ⇔ 12

√

x
√

x − 5 < 0 ⇔
√

x − 5 < 0 ⇔ 0 ≤ x < 25.
Kết hợp với điều kiện xác định, ta có Q < 0 ⇔ 0 < x < 25, x 6= 9.

Vậy giá trị của x cần tìm là x ∈ (0; 25) \ {9}.

CÂU 21. Cho biểu thức A =

2
√

x − 2 +
3
2√x + 1 −

5√x − 7
2x − 3√x − 2

: 2

√

x + 3

5x − 10√x, (x > 0, x 6= 4).
Rút gọn biểu thức A.

ú Lời giải.

Với x > 0, x 6= 4, biểu thức có nghĩa. Ta có
A =

2
√

x − 2 +
3
2√x + 1 −

5√x − 7
2x − 3√x − 2

: 2
√

x + 3

5x − 10√x
= 2(2

√

x + 1) + 3(√x − 2) − (5√x − 7)
(√x − 2)(2√x + 1) :

2√x + 3
5√x(√x − 2)
= 2

√
x + 3

(√x − 2)(2√x + 1) ·

5√x(√x − 2)
2√x + 3
= 5

√
x
2√x + 1.
Vậy A = 5

√
x

2√x + 1.

u PHƯƠNG PHÁP 6. LÀM XUẤT HIỆN NHÂN TỬ CHUNG Ở TỬ HOẶC MẪU RỒI ĐƠN GIẢN

HOẶC QUY ĐỒNG

CÂU 1. Rút gọn biểu thức P = x
√

2
2√x + x√2 +

√
2x − 2

x − 2 với x > 0, x 6= 2.
ú Lời giải.

Với điều kiện đã cho thì
P = x

√
2
√

2x(√2 +√x) +

√

2(√x − 2)

(√x −√2)(√x +√2) =

√

x
√

2 +√x+
√

2
√

x +√2 = 1.

Vậy P = 1.

CÂU 2. Chứng minh rằng x
√

y + y√x
√

xy :
1
√

x −√y = x − y với x > 0, y > 0 và x 6= y.
ú Lời giải.

Ta có x
√

y + y√x
√

xy :
1
√

x −√y =
√

xy(√x +√y)
√

xy · (
√

x −√y) = x − y.

CÂU 3. Rút gọn biểu thức B = a
√

b + b√a
√

ab +

a − b
√

a +√b.
ú Lời giải.

Ta có với a, b là hai số thực dương thì
B = a

√

b + b√a
√

ab +

a − b
√

a +√b =
√

ab(√a +√b)
√

ab +

(√a −√b)(√a +√b)
√

a +√b =
√

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

N h´om
LATEX

CÂU 4. Rút gọn biểu thức A =

3 + a +
√

a
√

a + 1

å Ç

3 −a − 5
√

a
√

a − 5

với a ≥ 0, a 6= 25.
ú Lời giải.

Ta có

A =

3 + a +
√

a
√

a + 1

å Ç

3 − a − 5
√

a
√

a − 5

3 +
√

a(√a + 1)
√

a + 1

å Ç

3 −
√

a(√a − 5)
√

a − 5

= (3 +√a)(3 −√a) = 9 − a.

Vậy A = 9 − a.

CÂU 5. Rút gọn biểu thức P =

1 + a +
√

a
√

a + 1

å Ç

1 + a −
√

a
1 −√a

với a ≥ 0, a 6= 1.
ú Lời giải.

Với a ≥ 0, a 6= 1 ta có P =

1 +
√

a(√a + 1)
√

a + 1

ơ đ

1 +
√

a(√a − 1)
1 −√a

= (1 +√a)(1 −√a) = 1 − a.

CÂU 6. Rút gọn biểu thức P =

1 −a −
√

a
√

a − 1

å Ç

1 − a + 2
√

a
√

a + 2

với a ≥ 0, a 6= 1 (trình bày rõ các
bước biến đổi).

ú Lời giải.
Ta có

P =

1 −a −
√

a
√

a − 1

å Ç

1 − a + 2
√

a
√

a + 2

1 +
√

a(√a − 1)
√

a − 1

1 −
√

a(√a + 2)
√

a + 2

= (1 −√a)(1 +√a) = 1 − a.

Vậy P = 1 − a.

CÂU 7. Cho biểu thức P =

2
x − 4+

1
√

x + 2

: √ 1

x + 2. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu
thức P , từ đó tìm giá trị của x để P = 3

2.
ú Lời giải.

Điều kiện xác định

(

x ≥ 0

x − 4 6= 0 ⇔

(

x ≥ 0
x 6= 4.
Ta có P =

2
x − 4 +

1
√

x + 2

: √ 1
x + 2 =

2 +√x − 2
(√x + 2)(√x − 2) · (

√

x + 2) =
√

x
√

x − 2.
Tại P = 3

2 ⇔
√

x
√

x − 2 =
3
2 ⇔ 2

√

x = 3√x − 6 ⇔√x = 6 ⇔ x = 36 (thỏa).

CÂU 8. Cho biểu thức A =

1
√

x − 1−
√

x
x − 1

: √ 1

x + 1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu
thức A.

ú Lời giải.

Điều kiện xác định

(

x ≥ 0
x 6= 1.
Rút gọn A =

√

x + 1 −√x
(√x + 1)(√x − 1) :

1
√

x + 1 =

(√x + 1)(√x − 1)·
√

x + 1
1 =

1
√

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

N h´om
LATEX

CÂU 9. Cho biểu thức P = √ 1
x − 2 −

x − 4. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P .
ú Lời giải.

Điều kiện xác định là x ≥ 0, x 6= 4.
Rút gọn P = √ 1

x − 2 −
4
x − 4 =

√

x + 2 − 4
(√x − 2)(√x + 2) =

√
x − 2

(√x − 2)(√x + 2) =
1
√

x + 2.

CÂU 10. Cho biểu thức P = (
√

x + 1
x − 9 −

1
√

x + 3)(
√

x − 3).Tìm điều kiện xác định và rút gọn P.
ú Lời giải.

P = (
√

x + 1
x − 9 −

1
√

x + 3)(
√

x − 3).
Điều kiện x ≥ 0, x 6= 9.

P =

ñ √

x + 1

(√x + 3)(√x − 3)−

√

x − 3
(√x + 3)(√x − 3)

(√x − 3) =
√

x + 1 − (√x − 3)
(√x + 3)(√x − 3) .(

√

x − 3) = √ 4
x + 3.

CÂU 11. Cho biểu thức P = (
√

x + 1
√

x − 2−
2
x − 4).(

√

x − 1 +

√

x − 4
√

x ) (với x > 0 và x 6= 4).
Chứng minh rằng P =√x + 3.

ú Lời giải.

P = (
√

x + 1
√

x − 2−
2
x − 4).(

√

x − 1 +
√

x − 4
√

x )
=

(√x + 1)(√x + 2)
x − 4 −

2
x − 4

(√x − 1)√x
√

x +
√

x − 4
√

= x + 3
√

x
x − 4 .

x − 4
√

x
=

√

x(√x + 3)
√

x =
√

x + 3.

CÂU 12. Chứng minh rằng với x > 0 và x 6= 1 thì
√

x
√

x − 1−
1

x −√x =

√
x + 1
√

x .
ú Lời giải.

Với x > 0 và x 6= 1 ta có

√
x
√

x − 1−
1
x −√x =

√
x
√

x − 1−

1
√

x(√x − 1)
=

√

x√x − 1
√

x(√x − 1)
= √ x − 1

x(√x − 1)
= (

√

x − 1)(√x + 1)
√

x(√x − 1)
=

√
x + 1
√

CÂU 13. Rút gọn biểu thức: A = √ x
x − 1 +

√

x − 2x

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

N h´om
LATEX
Với x > 0; x 6= 1 ta có

A = √ x
x − 1+

√

x − 2x
x −√x =

x
√

x − 1 +
√

x − 2x
√

x(√x − 1)
= √ x

x(√x − 1) +

√

x − 2x
√

x(√x − 1) =
√

x(x−2√x + 1)
√

x(√x − 1)
= (

√

x − 1)2
√

x − 1 =
√

x − 1.

Kết luận: A =√x − 1

CÂU 14. Cho biểu thức P = ( x − 2
x + 2√x +

√

x + 2).
√

x + 1
√

x − 1 với x > 0 và x 6= 1.
Chứng minh rằng P =

√
x + 1
√

x .
ú Lời giải.

P = (x − 2 +
√

x
√

x(√x + 2)).
√

x + 1
√

x − 1 = (

(√x − 1)(√x + 2)
√

x(√x + 2) ).
√

x + 1
√

x − 1 =
√

x + 1
√

x .

CÂU 15. Cho biểu thức Q =
√

x − 1
√

x + 2 +

5√x − 2

x − 4 với x > 0, x 6= 4. Rút gọn biểu thức Q.

ú Lời giải.

Ta có

Q =
√

x − 1
√

x + 2 +

5√x − 2
x − 4 =

(√x − 1)(√x − 2) + 5√x − 2
x − 4

= x − 3
√

x + 2 + 5√x − 2
x − 4 =

x + 2√x
x − 4
=

√

x(√x + 2)
(√x + 2)(√x − 2) =

√
x
√

x − 2.

CÂU 16. Với x > 0, cho biểu thức B =
√

x − 1
√

x +

2√x + 1

x +√x . Rút gọn biểu thức B.
ú Lời giải.

B = (
√

x − 1)(x +√x) + (2√x + 1)√x
√

x(x +√x)
= x

√
x + 2x
x√x + x =

√
x + 2
√

x + 1.

CÂU 17. Rút gọn các biểu thức sau: P = (√3 − 1)3 +
√

3
2√3 .
ú Lời giải.

P = (√3 − 1).3 +
√

3
2√3 = (

√
3 − 1)

√

3(√3 + 1)
2√3
= (

√

3 − 1)(√3 + 1)
2 =

3 − 1
2 = 1.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

N h´om
LATEX

CÂU 18. Rút gọn các biểu thức sau: Q = (√ 1
x − 2+

1
√

x + 2)(1 −
2
√

x) với x > 0 và x 6= 4.
ú Lời giải.

Q = (√ 1
x − 2+

1
√

x + 2)(1 −
2
√

x)
= (

√

x + 2 +√x − 2
(√x − 2)(√x + 2))(

√
x − 2
√

x )
= ( 2

√
x

(√x − 2)(√x + 2))(

√

x − 2
√

x ) =
2
√

x + 2

CÂU 19. Rút gọn biểu thức B =
√

x − 12
6√x − 36 +

x − 6√x với x > 0 và x 6= 36.
ú Lời giải.

Với x > 0 và x 6= 36 ta có

B =
√

x − 12

6√x − 36 +

6
x − 6√x
=

√
x − 12
6(√x − 6)+

6
√

x(√x − 6)
=

√

x(√x − 12) + 6.6
6√x(√x − 6) =

x − 12√x + 36
6√x(√x − 6)
= (

√

x − 6)2

6√x(√x − 6) =

√

x − 6
6√x .

CÂU 20. Rút gọn biểu thức C = (√ 1
x + 1 −

1
(√x)2+√x)

√
x
√

x − 1 với x > 0 và x 6= 1.
ú Lời giải.

C = (

√
x
√

x(√x + 1) −

1
√

x(√x + 1))
√

x
√

x − 1
=

√

x(√x − 1)
√

x(√x + 1)(√x − 1) =
1
√

x + 1.

CÂU 21. Rút gọn biểu thức P = (√ 1
x + 2 −

2
x + 2√x)

√

x
√

x − 2 với x > 0; x 6= 4.
ú Lời giải.

Với x > 0 và x 6= 4, ta có

P = (√ 1
x + 2 −

2
x + 2√x)

√
x
√

x − 2
= (

√
x
√

x(√x + 2) −

2
√

x(√x + 2))
√

x
√

x − 2
=

√
x − 2
√

x(√x + 2).
√

x
√

x − 2 =
1
√

x + 2.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

N h´om
LATEX

CÂU 22. Cho biểu thức A = (
√

x + 2
x + 2√x + 1 −

√
x − 2
x − 1 ) :

√
x
√

x + 1 với x > 0 và x 6= 1.
Rút gọn biểu thức A.

ú Lời giải.

A = (
√

x + 2
x + 2√x + 1 −

√
x − 2
x − 1 ) :

√
x
√

x + 1
=

Ç √

x + 2
(√x + 1)2 −

√
x − 2
(√x + 1)(√x − 1)

.
√

x + 1
√

x
=

(√x + 2)(√x − 1)
(√x + 1)2(√x − 1)−

(√x − 2)(√x + 1)

(√x + 1)2(√x − 1)

.
√

x + 1
√

x
= x −

√

x + 2√x − 2 − (x +√x − 2√x − 2)
(√x + 1)2(√x − 1) .

√
x + 1
√

x
= 2

√
x

(√x + 1)2(√x − 1).

√
x + 1
√

x =
2
x − 1.
Vậy A = 2

x − 1.

CÂU 23. Cho biểu thức P = x +
√

x
√

x − 2 −

2√x − 1
√

x + 2 +

x − 6√x + 4

x − 4 với x ≥ 0; x 6= 4. Rút gọn biểu
thức P .

ú Lời giải.

Với x ≥ 0; x 6= 4 ta có
P = x +

√
x
√

x − 2 −

2√x − 1
√

x + 2 +

x − 6√x + 4
(√x − 2)(√x + 2)
= (x +

√

x)(√x + 2) − (2√x − 1)(√x − 2) + x − 6√x + 4
(√x − 2)(√x + 2)

= x
√

x + 2x + x + 2√x − 2x + 4√x +√x − 2 + x − 6√x + 4
(√x − 2)(√x + 2)

= x
√

x + 2x +√x + 2
(√x − 2)(√x + 2) =

x(√x + 2) +√x + 2
(√x − 2)(√x + 2)
= (x + 1)(

√
x + 2)
(√x − 2)(√x + 2) =

x + 1
√

x − 2.
Vậy với x ≥ 0; x 6= 4 thì P = √x + 1

x − 2.

CÂU 24. Rút gọn biểu thức B = (√ x
x − 2 −

x − 1
√

x + 2 −
√

x + 6
x − 4 ) : (

√
x + 2
√

x − 2− 1).
ú Lời giải.

Điều kiện x 6= 4 , khử căn thức ở mẫu số bằng biểu thức liên hợp
B = (√ x

x − 2 −

x − 1
√

x + 2 −
√

x + 6
x − 4 ) : (

√
x + 2
√

x − 2− 1)

x(√x + 2)
(√x + 2)(√x − 2) −

(x − 1)(√x − 2)
(√x + 2)(√x − 2)−

√
x + 6
(√x + 2)(√x − 2)

Ç√

x + 2
√

x − 2−
√

x − 2
√

x − 2

x√x + 2x − (x√x − 2x −√x + 2) − (√x + 6)
(√x + 2)(√x − 2)

:
√

x + 2 − (√x − 2)
√

x − 2
= 4x − 8

(√x + 2)(√x − 2).
√

x − 2
4 =

x − 2
√

x + 2.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

N h´om
LATEX

CÂU 25. Cho biểu thức A =

x√x − 1
x −√x −

x√x + 1
x +√x

: 2(x − 2
√

x + 1)

x − 1 (với x > 0 và x 6= 1).
Rút gọn biểu thức A.

ú Lời giải.
A =

(√x − 1)(x +√x + 1)
√

x(√x − 1) −

(√x + 1)(x −√x + 1)
√

x(√x − 1)

: 2(
√

x − 1)2
(√x − 1)(√x + 2)
=

x +√x + 1
√

x −

x −√x + 1
√

: 2(
√

x − 1)
√

x + 1
= 2
√
x
√
x .
√

x + 1
2(√x − 1) =

√
x + 1
√

x − 1.

CÂU 26. Cho biểu thức A =
√

x − 1
x2 − x : (

1
√

x −
1
√

x + 1) với x > 0; x 6= 1.
Rút gọn A.

ú Lời giải.

A =
√

x − 1
x2− x : (

1
√

x −
1
√

x + 1)

√
x − 1

x(√x + 1)(√x − 1) : (
√

x + 1 −√x
√

x(√x + 1) )
= 1

x(√x + 1).
√

x(√x + 1)
1 =

1
√

CÂU 27. Cho biểu thức P = √ 4
a − 1+

3
√

a + 1−

6√a + 2

a − 1 ) với a ≥ 0; a 6= 1.
Rút gọn P .

ú Lời giải.

P = √ 4
a − 1 +

3
√

a + 1 −

6√a + 2
a − 1
= 4(

√
a − 1)
a − 1 +

3(√a − 1)
√

a + 1 −

6√a + 2
a − 1
=

√
a − 1
a − 1 =

1
√

a + 1.

CÂU 28. Nội dung câu hỏi
ú Lời giải.

Ta có

P = √ 4
a − 1+

3
√

a + 1−

6√a + 2
a − 1
= 4(

√
a + 1)
√

a − 1 +

3(√a − 1)
√

a + 1 −

6√a + 2
(√a + 1)(√a − 1)
= 4

√

a + 4 + 3√a − 3 − 6√a − 2
(√a + 1)(√a − 1)
= 4

√

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

N h´om
LATEX

√
a − 1
(√a + 1)(√a − 1)
= √ 1

a + 1.

CÂU 29. Rút gọn các biểu thức sau
1. A =

Ç √

x
√

x + 3 +
3
√

x − 3

·
√

x + 3

x + 9 với x ≥ 0; x 6= 9.

2. B = 21»2 +√3 +»3 −√52− 6»2 −√3 +»3 +√52− 15√15.
3. C =

x
x + 3√x +

1
√

x + 3

1 −√2
x +

6
x + 3√x

(x > 0).
ú Lời giải.

1. Với x ≥ 0; x 6= 9, ta có

A =

Ç √

x
√

x + 3 +
3
√

x − 3

·
√

x + 3
x + 9
=

x − 3√x + 3√x + 9
(√x + 3)(√x − 3)

·
√

x + 3
x + 9
= √ 1

x − 3.
2. Ta có

B = 21

Å»

2 +√3 +

3 −√5

ã2

− 6

Å»

2 −√3 +

3 +√5

ã2

− 15√15
= 21

Å»

4 + 2√3 +

6 − 2√5

ã2

− 3

Å»

4 − 2√3 +

6 + 2√5

ã2

− 15√15
= 21

Ä√

3 + 1 +√5 − 1ä2 − 3Ä√3 − 1 +√5 + 1ä2− 15√15
= 15

2 (
√

3 +√5)2− 15√15 = 60.
3. Với x > 0, ta có

C =

x
x + 3√x +

√

x + 3

1 − √2
x+

6
x + 3√x

Ç √

x
√

x + 3 +
1
√

x + 3

Ç√

x − 2
√

x +

6
√

x(√x + 3)

=
√

x + 1
√

x + 3 :

(√x − 2)(√x + 3) + 6
√

x(√x + 3)
= (√x + 1) ·

√
x

x +√x = 1.

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

N h´om
LATEX

CÂU 30. Rút gọn biểu thức
A = 1

x +√x +
2√x
x − 1−

x −√x với x > 1, x 6= 1.
ú Lời giải.

Với x > 1 và x 6= 1, ta có

A = √ 1

x(√x + 1) +

2√x

(√x − 1)(√x + 1) −

1
√

x(√x − 1)
=

√

x − 1 + 2√x√x − (√x + 1)
(√x − 1)(√x + 1)
= √2x − 2

x(x − 1)
= √2

CÂU 31. Rút gọn các biểu thức sau
1. A =

√
x
√

x − 2 +

√

x − 1
√

x + 2 +
√

x − 10

x − 4 với x ≥ 0, x 6= 4.
2. B = (13 − 4√3)(7 + 4√3) − 8

20 + 2»43 + 24√3.
ú Lời giải.

1. Với x ≥ 0, x 6= 4 ta có

A = x(
√

x + 2) + (√x − 1)(√x − 2) +√x − 10
x − 4

= 2x − 8
x − 4 = 2.
2. Ta có

B = (2√3 − 1)2(2 +√3)2− 8

…

20 + 2

(4 + 3√3)2

= (3√3 + 4)2− 8

20 + 2(4 + 3√3)
= (3√3 + 4)2− 8

(3√3 + 1)2

= 43 + 24√3 − 8(3√3 + 1) = 35.

CÂU 32. Cho hai biểu thức
A = √ 7

x + 8 và B =
√

x
√

x − 3+

2√x − 24

x − 9 với x ≥ 0, x 6= 9.
Chứng minh rằng A · B = √ 7

x + 3.
ú Lời giải.

Ta có

B =
√

x
√

x − 3 +

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

N h´om
LATEX
=

√

x(√x + 3)
(√x − 3)(√x + 3) +

2√x − 24
(√x − 3)(√x + 3)
= = x + 3

√

x + 2√x − 24
(√x − 3)(√x + 3)
= x − 3

√

x + 8√x − 24
(√x − 3)(√x + 3)
=

√

x(√x − 3) + 8(√x − 3)
(√x − 3)(√x + 3)
= (

√

x + 8)(√x − 3)

(√x − 3)(√x + 3)
=

√
x + 8
√

x + 3.
Khi đó A · B = √ 7

x + 8 ·
√

x + 8
√

x + 3 =
7
√

x + 3.

CÂU 33. Cho biểu thức P =

1
a − 1 +

3√a + 5

a√a − a −√a + 1

å đ

(√a + 1)2

4√a

với (a > 0, a 6= 1).
1. Rút gọn biểu thức P .

2. Đặt Q = (a −√a + 1)P . Chứng minh Q > 1.
ú Lời giải.

1. Với a > 0 và a 6= 1 ta có
P =

đ √

a − 1

(a − 1)(√a − 1)+

3√a + 5
(a − 1)(√a − 1)

(a + 2√a + 1) − 4√a
4√a

= 4
√

a + 4

(√a − 1)2(√a + 1) ·

a − 2√a + 1
4√a
= 4

(√a − 1)2 ·

(√a − 1)2

4√a
= √1

a.
2. Ta có Q = a −

√
a + 1
√

a .
Xét Q − 1 = a − 2

√
a + 1
√

a =

(√a − 1)2

√
a .

Vì (√a − 1)2 > 0,√a > 0, ∀a > 0, a 6= 1. Do đó Q − 1 > 0, suy ra Q > 1.

CÂU 34. Rút gọn biểu thức
P =

ñ −x

√

x(x − 9) +
2
√

x − 3−
1
√

x + 3

Ç√

x + 3 − √ x
x − 3

với x > 0; x 6= 9.
ú Lời giải.

Với x > 0 và x 6= 9, ta có

P = −x + 2
√

x(√x + 3) −√x(√x − 3)
√

x(x − 9) :

(√x + 3)(√x − 3) − x
√

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

N h´om
LATEX
= 9

√
x
√

x(√x + 3)(√x − 3) :
−9
√

x − 3
= 9

√

x(√x − 3)
−9√x(√x + 3)(√x − 3)
= √−1

x + 3.

CÂU 35. Rút gọn biểu thức
B =

a
a − 2√a +

a
√

a − 2

:
√

a + 1

a − 4√a + 4 với a > 0; a 6= 4.
ú Lời giải.

Với a > 0 và a 6= 4, ta có

B =

a
a − 2√a +

a
√

a − 2

:
√

a + 1
a − 4√a + 4
=

a
a − 2√a +

a
√

a − 2

· (
√

a − 2)2

√
a + 1

√
a + a
√

a − 2 ·

(√a − 2)2

√
a + 1
=

√

a(1 +√a)
√

a − 2 ·

(√a − 2)2

√
a + 1
= √a(√a − 2).

CÂU 36. Cho biểu thức

C = 2
a − 16−

2
√

a − 4 −
2
√

a + 4.
Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C.

ú Lời giải.

Biểu thức C có nghĩa khi











a ≥ 0
a − 16 6= 0

√

a − 4 6= 0
√

a + 4 6= 0
⇒











a ≥ 0
a 6= 16
a 6= 16
∀a ≥ 0

⇒ a ≥ 0, a 6= 16.
Rút gọn biểu thức C

C = a
a − 16 −

√

a − 4 −
2
√

a + 4
= a

(√a − 4)(√a + 4) −
2
√

a − 4 −
2
√

a + 4
= a − 2(

√

a + 4) − 2(√a − 4)
(√a − 4)(√a + 4)
= a − 2

√

a − 8 − 2√a + 8
(√a − 4)(√a + 4)

= a − 4

√
a
(√a − 4)(√a + 4)
=

√

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

N h´om
LATEX
=

√
a
√

a + 4.

CÂU 37. Rút gọn biểu thức A = a

2+√a

a −√a + 1−

2a +√a
√

a + 1, với a > 0.
ú Lời giải.

Với a > 0, ta có

A = a

2+√a

a −√a + 1 −

2a +√a
√

a + 1
=

√

a [(√a)3+ 1]

a −√a + 1 −

2a +√a
√

a + 1
=

√

a(√a + 1)(a −√a + 1)
a −√a + 1 −

√

a(2√a + 1)
√

a + 1
= √a(√a + 1) − 2√a − 1 + 1

= a −√a.

CÂU 38. Rút gọn biểu thức A =
√

x
√

x + 2 −
4
x + 2√x +

x + 2
√

x , với x > 0.

ú Lời giải.

Với x > 0, ta có

A =
√

x
√

x + 2 −
4
x + 2√x +

x + 2
√

x
=

√

x√x − 4 + (x + 2)(√x + 2)
√

x(√x + 2)
= x − 4 + x

√

x + 2x + 2√x + 4
√

x(√x + 2)
= x

√

x + 3x + 2√x
√

x(√x + 2)
=

√

x(√x + 1)(√x + 2)
√

x(√x + 2)
= √x + 1.

CÂU 39. Cho biểu thức
P =

√
1 + a
√

1 + a −√1 − a +

1 − a
√

1 − a2− 1 + a

a2 − 1 −

1
a

với 0 < a < 1.
Chứng minh rằng P = −1.

ú Lời giải.

Với 0 < a < 1, ta có
P =




√
1 + a
√

1 + a −√1 − a +

(√1 − a)2

(1 − a)(1 + a) − (√1 − a)2




Ñs

1 − a2

a2 −

1
a

" √

1 + a
√

1 + a −√1 − a +

(√1 − a)2
√

1 − a(√1 + a −√1 − a)

#


(1 − a)(1 + a)
a2 −

1
a

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

N h´om
LATEX
=

" √

1 + a
√

1 + a −√1 − a +

√
1 − a
√

1 + a −√1 − a

# √

1 − a ·√1 + a
a2 −

1
a

=
√

1 + a +√1 − a
√

1 + a −√1 − a ·

2√1 − a ·√1 + a − (1 − a) − (1 + a)
2a

√

1 + a +√1 − a
√

1 + a −√1 − a ·

−(√1 + a −√1 − a)2

2a
= −(

√

1 + a +√1 − a)(√1 + a −√1 − a)
2a

= −1 + a − 1 + a

2a = −1.

CÂU 40. Cho biểu thức C = 2
a − 16−

2
√

a − 4 −

2
√

a + 4.
1. Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C.
2. Tìm giá trị của biểu thức C khi a = 9 − 4√5.

ú Lời giải.

CÂU 41. Cho biểu thức C = 2
a − 16−

2
√

a − 4 −
2
√

a + 4.
1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C.
2) Tìm giá trị của biểu thức C khi a = 9 − 4√5.

ú Lời giải.

1) Biểu thức C có nghĩa khi
















a ≥ 0
a − 16 6= 0
√

a − 4 6= 0
√

a + 4 6= 0
⇔

(

a ≥ 0
a 6= 16.
Ta có:

C = a

(√a − 4) (√a + 4) −
2
√

a − 4 −
2
√

a + 4
= a − 2 (

√

a + 4) − 2 (√a − 4)
(√a − 4) (√a + 4) =

a − 2√a − 8 − 2√a + 8
(√a − 4) (√a + 4)
= a − 4

√
a

(√a − 4) (√a + 4) =
√

a (√a − 4)
(√a − 4) (√a + 4)
=

√
a
√

a + 4.

2) Ta có a = 9 − 4√5 thỏa ĐKXĐ, a = 5 − 4√5 + 1 =Ä√5 − 1ä2 ⇒√a =√5 − 1.
Thay vào C, ta được C =

√
5 − 1
√

5 − 1 + 4 =
√

5 − 1
√

5 + 3.

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

N h´om
LATEX

CÂU 42. Cho biểu thức A =
√

x
√

x + 2 −
4
x + 2√x +

x + 2
√

x , với x > 0. Rút gọn biểu thức A.
ú Lời giải.

Ta có:

A =
√

x
√

x + 2 −

4
√

x (√x + 2) +
x + 2

√
x =

√

x ·√x − 4 + (x + 2) (√x + 2)
√

x (√x + 2)
= x − 4 + x

√

x + 2x + 2√x + 4
√

x (√x + 2) =

x√x + 3x + 2√x
√

x (√x + 2)
=

√

x (√x + 1) (√x + 2)
√

x (√x + 2) =
√

x + 1.

Vậy A =√x + 1.

CÂU 43. Cho biểu thức A = 2x + 2√
x +

x√x − 1
x −√x −

x2 +√x

x√x + x (x > 0; x 6= 1). Rút gọn biểu thức A.
ú Lời giải.

Ta có:

P = 2x + 2√
x +

(√x − 1) (x +√x + 1)
√

x (√x − 1) −

(√x + 1) (x −√x + 1)
√

x (√x + 1)
= 2x + 2√

x +

x +√x + 1
√

x −

x −√x + 1
√

x
= 2x + 2√

x + 2 =

2x + 2√x + 2
√

x .
Vậy A = 2x + 2

√
x + 2
√

x .

CÂU 44. Rút gọn biểu thức A = 1
x +√x −

2√x
x − 1+

1
x −√x.
ú Lời giải.

Điều kiện:















x ≥ 0
x +√x 6= 0
x − 1 6= 0
x −√x 6= 0

⇔

(

x ≥ 0
x 6= 1 .
Ta có:

A = √ 1

x (√x + 1) −

2√x

(√x − 1) (√x + 1) +

1
√

x (√x − 1)
= (

√

x − 1) − 2√x ·√x + (√x + 1)
√

x (√x − 1) (√x + 1)
= −2x + 2

√
x

√

x (√x − 1) (√x + 1)
= −2

√

x (√x − 1)
√

x (√x − 1) (√x + 1)
= √−2

x + 1.
Vậy A = √−2

x + 1.

CÂU 45. Cho P =

1
a − 1+

3√a + 5
a√a − 1

· (
√

a + 1)2

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

N h´om
LATEX
a) Rút gọn P .

b) Đặt Q = (a −√a + 1) P . Chứng minh Q ≥ 1.
ú Lời giải.

a) Với a > 0 và a 6= 1, ta có:
P =

đ √

a − 1

(a − 1) (√a − 1)+

3√a + 5
(√a − 1) (√a − 1)

· (a + 2
√

a + 1 − 4√a)

4√a

= 4
√

a + 4

(√a − 1)2(√a + 1) ·

a − 2√a + 1
4√a =

4
(√a − 1)2 ·

(√a − 1)2
4√a
= √1

a.
Vậy A = √1

b) Ta có: Q = (a −√a + 1) · P = a −
√

a + 1
√

a =
√

a + √1
a − 1.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm √a và √1

a, ta có:
√

a + √1
a ≥ 2

√
a · √1

a = 2
Suy ra Q ≥ 2 − 1 = 1. Dấu bằng xảy ra khi √a = √1

a ⇔ a = 1.

CÂU 46. Cho biểu thức Q =

√

x − 1 −
2
x − 1

å Ç

x +√x
√

x + 1 −

1 −√x
√

x − x

å
Ä

với x > 0; x 6= 1ä. Rút
gọn biểu thức Q. Với giá trị nào của x thì Q = −1.

ú Lời giải.

Với điều kiện x > 0 và x 6= 1, ta có:
Q =

Ç √

x + 1

(√x − 1) (√x + 1) −
2
x − 1

Ç√

x (√x + 1)
√

x + 1 −

1 −√x
√

x (1 −√x)

Ç√

x + 1

x − 1 −

2
x − 1

Ç√

x − √1
x

=
√

x − 1
x − 1 ·

x − 1
√

x =
√

x − 1
√

x .
Với x > 0 và x 6= 1, ta có Q =

√
x − 1
√

x .
Do đó

Q = −1 ⇔
√

x − 1
√

x = −1 ⇔
√

x − 1 = −√x ⇔ 2√x = 1 ⇔ x = 1

4(TMĐK)
Vậy với x = 1

4 thì Q = −1.

CÂU 47. Cho biểu thức A =
√

x − 11
x −√x − 2 −

√
x
√

x + 1 +

2√x − 1
√

x − 2. Tìm điều kiện của x để biểu thức
A có nghĩa và rút gọn A.

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

N h´om
LATEX
Để A có nghĩa, điều kiện là:
















x ≥ 0

x −√x − 2 6= 0
√

x − 2 6= 0
√

x + 1 6= 0

⇔

(

x ≥ 0
√

x 6= 2 ⇔

(

x ≥ 0
x 6= 4
Với điều kiện trên, ta có:

A =

√
x − 11

(√x + 1) (√x − 2)−
√

x
√

x + 1 +

2√x − 1
√

x − 2
=

√

x − 11 −√x (√x − 2) + (2√x − 1) (√x + 1)
(√x + 1) (√x − 2)

=
√

x − 11 − (x − 2√x) + (2x +√x − 1)
(√x + 1) (√x − 2)

= x + 4
√

x − 12
(√x + 1) (√x − 2) =

(√x − 2) (√x + 6)
(√x + 1) (√x − 2)
=

√
x + 6
√

x + 1.
Vậy A =

√
x + 6
√

x + 1 với x ≥ 0 và x 6= 4.

CÂU 48. Cho biểu thức B =

Ç √

x + 2
x + 2√x + 1 −

√
x − 2

x − 1

(x +√x) với x > 0 và x 6= 1. Rút gọn biểu
thức B.

ú Lời giải.
Ta có:

B =

" √

x + 2
(√x + 1)2 −

√
x − 2
(√x + 1) (√x − 1)

·Ä

x +√xä
= (

√

x + 2) (√x − 1) − (√x − 2) (√x + 1)
(√x + 1)2(√x − 1) ·

x +√xä
= (x +

√

x − 2) − (x −√x − 2)
(√x + 1)2(√x − 1) ·

x +√xä
= 2

√
x

(√x + 1)2(√x − 1)·
√

xÄ√x + 1ä= 2x
x − 1.
Vậy A = 2x

x − 1.

CÂU 49. Cho biểu thức A =

2
√

x − 2 +
3
2√x + 1 −

5√x − 7
2x − 3√x − 2

: 2
√

x + 3

5x − 10√x (x > 0; x 6= 4).
Rút gọn A.

ú Lời giải.
Ta có:

A =

2
√

x − 2+
3
2√x + 1 −

5√x − 7
(√x − 2) (2√x + 1)

· 5x − 10
√

x
2√x + 3
= 2 (2

√

x + 1) + 3 (√x − 2) − (5√x − 7)
(√x − 2) (2√x + 1) ·

5x − 10√x
2√x + 3
= 2

√

x + 3

(√x − 2) (2√x + 1) ·

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

N h´om
LATEX
= 5

√
x
2√x + 1
Vậy A = 5

√
x

2√x + 1.

CÂU 50. Cho biểu thức A = x
√

x + 1
x − 1 −

x − 1
√

x + 1

với x 6= 1; x ≥ 0ä. Rút gọn biểu thức A, sau đó
tính giá trị A − 1 khi x = 2016 + 2√2015.

ú Lời giải.

Với x ≥ 0, x 6= 1 ta có:
A = (

√

x)3+ 1

(√x + 1) (√x − 1) −

(√x − 1) (√x + 1)
√

x + 1 =

x −√x + 1
√

x − 1 −

Ä√

x − 1ä
= x −

√

x + 1 − (√x − 1)2
√

x − 1 =
√

x
√

x − 1
Vậy A =

√
x
√

x − 1, suy ra A − 1 =
√

x − (√x − 1)
√

x − 1 =
1
√

x − 1.
Ta có x = 2016 + 2√2015 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 và x 6= 1.

Có x = 2015 + 2√2015 + 1 =Ä√2015 + 1ä2 ⇒√x =√2015 + 1.
Thay vào biểu thức A − 1 ta được: A − 1 = √ 1

2015.

CÂU 51. Rút gọn biểu thức A = 10
√

x
x + 3√x − 4−

2√x − 3
√

x + 4 +
√

x + 1

1 −√x (x ≥ 0, x 6= 1).
ú Lời giải.

A = 10
√

(√x + 4) (√x − 1) −

2√x − 3

√

x + 4 −
√

x + 1
√

x − 1
= 10

√

x − (2√x − 3) (√x − 1) − (√x + 1) (√x + 4)
(√x + 4) (√x − 1)

= 10
√

x − (2x − 5√x + 3) − (x + 5√x + 4)
(√x + 4) (√x − 1) =

−3x + 10√x − 7
(√x + 4) (√x − 1)
= (

√

x − 1) (7 − 3√x)
(√x + 4) (√x − 1) =

7 − 3√x
√

x + 4 .
Vậy A = 7 − 3

√
x
√

x + 4 .

CÂU 52. Cho biểu thức: P = 2x + 2√
x +

x√x − 1
x −√x −

x2+√x

x√x + x (x > 0; x 6= 1). Rút gọn biểu thức P .
ú Lời giải.

Ta có:

P = 2x + 2√
x +

x√x − 1

x −√x −

√

x (x√x + 1)
√

x (x +√x)
= 2x + 2√

x +

x√x − 1
x −√x −

x√x + 1
x +√x
= 2x + 2√

x +

(√x − 1) (x +√x + 1)
√

x (√x − 1) −

(√x + 1) (x −√x + 1)
√

x (√x + 1)

= 2x + 2√

x +

x +√x + 1
√

x −

x −√x + 1
√

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

N h´om
LATEX
= 2x + 2√

x + 2 =

2x + 2√x + 2
√

x
Vậy P = 2x + 2

√
x + 2
√

x .

CÂU 53. Cho biểu thức: A =
√

x − 11
x −√x − 2−

√
x
√

x + 1 +

2√x − 1
√

x − 2 . Tìm điều kiện của x để biểu thức
A có nghĩa, khi đó rút gọn A.

ú Lời giải.

Để A có nghĩa, điều kiện là:
















x ≥ 0

x −√x − 2 6= 0
√

x − 2 6= 0
√

x + 1 6= 0

⇔

(

x ≥ 0
√

x 6= 2 ⇔

(

x ≥ 0
x 6= 4
Với điều kiện trên, ta có:

A =

√
x − 11

(√x + 1) (√x − 2)−
√

x
√

x + 1 +

2√x − 1
√

x − 2
=

√

x − 11 −√x (√x − 2) + (2√x − 1) (√x + 1)
(√x + 1) (√x − 2)

=
√

x − 11 − (x − 2√x) + (2x +√x − 1)
(√x + 1) (√x − 2)

= x + 4
√

x − 12
(√x + 1) (√x − 2)
= (

√

x − 2) (√x + 6)
(√x + 1) (√x − 2) =

√
x + 6
√

x + 1
Vậy A =

√
x + 6
√

x + 1 với x ≥ 0 và x 6= 4.

CÂU 54. Cho biểu thức: A =

Ç √

x + 2
x + 2√x + 1 −

√
x − 2
x − 1

(x +√x) với x > 0, x 6= 1. Rút gọn biểu
thức B.

ú Lời giải.
Ta có:

A =

" √

x + 2
(√x + 1)2 −

√
x − 2
(√x + 1) (√x − 1)

·Ä

x +√xä
= (

√

x + 2) (√x − 1) − (√x − 2) (√x + 1)
(√x + 1)2(√x − 1) ·

x +√xä
= (x +

√

x + 2) − (x −√x − 2)
(√x + 1)2 ·

x +√xä
= 2

√
x

(√x + 1)2(√x − 1) ·
√

xÄ√x + 1ä= 2x

x − 1
Vậy A = 2x

x − 1.

CÂU 55. Cho biểu thức A =

2
√

x − 2+
3
2√x + 1 −

5√x − 7
2x − 3√x − 2

: 2
√

x + 3

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

N h´om
LATEX
ú Lời giải.

Ta có:

A =

2
√

x − 2+
3
2√x + 1 −

5√x − 7
(√x − 2) (2√x + 1)

: 2
√

x + 3
5x − 10√x
= 2 (2

√

x + 1) + 3 (√x − 2) − (5√x − 7)
(√x − 2) (2√x + 1) ·

5x − 10√x
2√x + 3
= 2

√
x + 3

(√x − 2) (2√x + 1) ·

5√x (√x − 2)
2√x + 3
= 5

√
x
2√x + 1
Vậy A = 5

√
x

2√x + 1.

CÂU 56. Rút gọn biểu thức: A = 10
√

x
x + 3√x − 4−

2√x − 3

√

x + 4 +
√

x + 1

1 −√x (x ≥ 0; x 6= 1).
ú Lời giải.

Ta có:

A = 10
√

(√x + 4) (√x − 1)−

2√x − 3
√

x + 4 −
√

x + 1
√

x − 1
= 10

√

x − (2√x − 3) (√x − 1) − (√x + 1) (√x + 4)
(√x + 4) (√x − 1)

= 10
√

x − (2x − 5√x + 3) − (x + 5√x + 4)
(√x + 4) (√x − 1)

= −3x + 10
√

x − 7
(√x + 4) (√x − 1) =

(√x − 1) (7 − 3√x)
(√x + 4) (√x − 1)
= 7 − 3

√
x
√

x + 4
Vậy A = 7 − 3

√

x
√

x + 4 .

CÂU 57. Cho biểu thức: A = 3x +
√

16x − 7
x + 2√x − 3 −

√
x + 1
√

x + 3 −
√

x − 3
√

x − 1 (Với x > 0).
Rút gọn biểu thức A. Tính giá trị biểu thức khi x = 2√2 + 3.

ú Lời giải.
Ta có:

A = 3x + 4
√

x − 7
(√x + 3) (√x − 1)−

√
x − 1
√

x + 3 −
√

x − 3
√

x − 1
= 3x + 4

√

x − 7 − (√x + 1) (√x − 1) − (√x − 3) (√x + 3)
(√x + 3) (√x − 1)

= 3x + 4
√

x − 7 − x + 1 − x + 9
(√x + 3) (√x − 1)
= x + 4

√
x + 3

(√x + 3) (√x − 1) =

(√x + 3) (√x + 1)
(√x + 3) (√x − 1) =

√
x + 1
√

x − 1
Vậy A =

√
x + 1
√

x − 1.

Khi x = 2√2 + 3 =Ä√2 + 1ä2 (thỏa mãn ĐKXĐ).
⇒√x =√2 + 1 ⇒ A =

√
x + 1
√

x − 2 =
√

2 + 1 + 1
√

2 + 1 − 1 =
√

2 + 2
√

2 = 1 +
√

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

N h´om
LATEX

CÂU 58. Cho biểu thức
A =

1 − a − 3
√

a
a − 9

Ç√

a − 2
√

a + 3 +
√

a − 3
2 −√a −

9 − a
a +√a − 6

(a ≥ 0; a 6= 4; a 6= 9) .
Rút gọn A.

ú Lời giải.

Với a ≥ 0, a 6= 4, a 6= 9, ta có:
A =

1 −a − 3
√

a
a − 9

Ç√

a − 2
√

a + 3 +
√

a − 3
2 −√a −

9 − a
(√a + 3) (√a − 2)

= a − 9 − a + 3
√

a
a − 9 :

(√a − 2)2− (√a − 3) (√a + 3) − 9 + a
(√a + 3) (√a − 2)

= −9 + 3

√

a
(√a − 3) (√a + 3) :

(√a − 2)2− (a − 9) − (9 − a)
(√a + 3) (√a − 2)
= 3 (

√
a − 3)
(√a − 3) (√a + 3) :

(√a − 2)2
(√a + 3) (√a − 2)
= √ 3

a + 3 :
√

a − 2
√

a + 3 =
3
√

a + 3·
√

a + 3
√

a − 2
= √ 3

a − 2.
Vậy A = √ 3

a − 2.

CÂU 59. Cho biểu thức A =

x + 2√x + 4
x√x − 8 +

x + 2√x + 1
x − 1

3 + √ 1
x − 2+

2
√

x + 1

.
Rút gọn A.

ú Lời giải.
Điều kiện:














x ≥ 0

x√x − 8 6= 0
x − 1 6= 0

√

x − 2 6= 0
⇔








x ≥ 0
x 6= 2
x 6= 1
.
Ta có:

A =




x + 2√x + 4

(√x − 2) (x + 2√x + 4) +

(√x + 1)2
(√x + 1) (√x − 1)


:

3 (√x − 2) (√x + 1) + (√x + 1) + 2 (√x − 2)
(√x − 2) (√x + 1)

1
√

x − 2 +
√

x + 1
√

x − 1

: 3 (x −
√

x − 2) + 3√x − 3
(√x − 2) (√x + 1)
=

√

x − 1 + (√x + 1) (√x − 2)
(√x − 2) (√x − 1) :

3x − 9
(√x − 2) (√x + 1)
= x − 3

(√x − 2) (√x − 1) ·

(√x − 2) (√x + 1)
3 (x − 3)
=

√
x + 1
3 (√x − 1)
Vậy A =

√
x + 1

3 (√x − 1).

CÂU 60. Cho biểu thức A = x
√

x + 1
x − 1 −

x − 1
√

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

N h´om
LATEX
ú Lời giải.

Với x ≥ 0, x 6= 1 ta có:

A = (
√

x)3 + 1

(√x + 1) (√x − 1)−

(√x − 1) (√x + 1)
√

x + 1
= x −

√
x + 1
√

x − 1 −

Ä√

x − 1ä
= x −

√

x + 1 − (√x − 1)2
√

x − 1 =
√

x
√

x − 1
A − 1 =

√

x − (√x − 1)
√

x − 1 =
1
√

x − 1
Ta có x = 2016 + 2√2015 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 và x 6= 1.
Ta có x = 2015 + 2√2015 + 1 =Ä√2015 + 1ä2 ⇒√x =√2015 + 1.

Thay vào biểu thức A − 1 ta được: A − 1 = √ 1

2015

E.

MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO ĐẶC BIỆT

CÂU 1. Cho biểu thức
P =

a
b +

b
a + 1

å Ç

1
a −

1
b

å2

b2 +

a2 −

a
b +

b
a

å với a > 0, b > 0, a 6= b.

a) Chứng minh P = 1
ab.

b) Giả sử a, b thay đổi sao cho 4a + b +√ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P .
ú Lời giải.

P =

a
b +

a + 1

å Ç

1
a −

1
b

å2

a2
b2 +

b2
a2 −

a
b +

b
a

å =
Ç

a2+ b2+ ab

å Ç

a − b
ab

å2

a4+ b4
a2b2 −

a3b + ab3
a2b2

(a3− b3)(a − b)

a3b3

(a3− b3)(a − b)

a2b2

= 1

ab.
Vậy P = 1

ab.

b) Giả sử a, b thay đổi sao cho 4a + b +√ab = 1 ⇔Ä2√a +√bä2 = 1 + 3√ab.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương 2√a và √b, ta có

2√a +√b ≥ 2

2√a.√b ⇔ 2√a +√b2 ≥ 8√ab ⇔ 1 + 3√ab ≥ 8√ab ⇔√ab ≤ 1
5.
Vậy ab ≤ 1

25 và P =
1

ab ≥ 25.

P đạt giá trị nhỏ nhất là 25 khi 2√a =√b, tức là a = 1

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

N h´om
LATEX

CÂU 2. Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện ab = 1, a + b 6= 0. Tính giá trị của biểu thức
P = 1

(a + b)3

1
a3 +

1
b3

+ 3
(a + b)4

1
a2 +

1
b2

+ 6
(a + b)5

1
a +

1
b

.
ú Lời giải.

Với ab = 1 và a + b 6= 0, ta có:
P = 1

(a + b)3

1
a3 +

1
b3

+ 3
(a + b)4

1
a2 +

1
b2

+ 6
(a + b)5

1
a +

1
b

= a

3 + b3

(a + b)3(ab)3 +

3(a2+ b2)

(a + b)4(ab)2 +

6(a + b)
(a + b)5(ab)

= a

3+ b3

(a + b)3 +

3(a2+ b2)

(a + b)4 +

6(a + b)
(a + b)5

= a

2 + b2− ab

(a + b)2 +

3(a2+ b2)

(a + b)4 +

6
(a + b)4

= (a

2+ b2 − 1)(a2+ b2+ 2) + 3(a2+ b2) + 6

(a + b)4

= (a

2+ b2)2+ 4(a2+ b2) + 4

(a + b)4 =

(a2+ b2+ 2)2

(a + b)4

= (a

2+ b2 + 2ab)2

(a + b)4 =

(a + b)4

(a + b)4 = 1.

Vậy P = 1.

CÂU 3. Cho các số thực dương a, b; a 6= b. Chứng minh rằng

(a − b)3

Ä√

a −√bä3

− b√b + 2a√a
a√a − b√b +

3a + 3√ab
a − b = 0.
ú Lời giải.

Q =

(a − b)3

Ä√

a −√bä3

− b√b + 2a√a
a√a − b√b +

3a + 3√ab
a − b
=

Ä√

a −√bä3Ä√a +√bä3

Ä√

a −√bä3

− b√b + 2a√a

Ä√

a −√bä Äa +√ab +√bä −

3√aÄ√a +√bä

Ä√

a −√bä Ä√a +√bä
= a

√

a + 3a√b + 3b√a + b√b − b√b + 2a√a

Ä√

a −√bä Äa +√ab + bä −

3√a

Ä√

a −√bä
= 3a

√

a + 3a√b + 3b√a − 3a√a − 3a√b − 3b√a

Ä√

a −√bä Äa +√ab +√bä
= 0.

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

N h´om
LATEX

CÂU 4. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 2 và x2+ y2+ z2 = 2. Chứng

minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y, z
P = x

(1 + y2)(1 + z2)

1 + x2 + y

(1 + z2)(1 + x2)

1 + y2 + z

(1 + x2)(1 + y2)

1 + z2 .

ú Lời giải.

P = x

(1 + y2)(1 + z2)

1 + x2 + y

(1 + z2)(1 + x2)

1 + y2 + z

(1 + x2)(1 + y2)

1 + z2 .

Xét (x + y + z)2 = x2+ y2+ z2+ 2(xy + yz + zx) ⇒ xy + yz + zx = (x + y + z)

2− (x2+ y2+ z2)

2 .
Thay x + y + z = 2 và x2+ y2+ z2 = 2 ta có xy + yz + zx = 1.

Thay 1 = xy + yz + zx, ta có
x

(1 + y2)(1 + z2)

1 + x2 = x

(xy + yz + zx + y2)(xy + yz + zx + z2)

xy + yz + zx + x2

= x

(y + z)(y + x)(y + z)(z + x)

(x + y)(x + z) = x(y + z).

Vậy

(1 + y2)(1 + z2)

1 + x2 = x(y + z).

Tương tự, ta có
y

(1 + z2)(1 + x2)

1 + y2 = y(z + x) và z

(1 + x2)(1 + y2)

1 + z2 = z(x + y).

Cộng từng vế với vế của ba đẳng thức trên, ta được

P = xy + xz + yz + yx + zx + zy = 2(xy + yz + zx) = 2.

Vậy P = 2.

CÂU 5. Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z 6= 0 và xyz 6= 0. Tính giá trị của biểu
thức

P = x

y2+ z2− x2 +

z2+ x2− y2 +

z2
x2+ y2− z2.

ú Lời giải.

Ta có x + y + z = 0 ⇔ (y + z)2 = (−x)2 ⇔ y2+ z2− x2 = −2yz.

Tương tự, z2+ x2− y2 = −2zx và x2+ y2− z2 = −2yz.

Vậy

P = x

−2yz +

y2
−2zx+

z2
−2yx =

x3+ y3+ z3
−2xyz .
Mà

x3+ y3+ z3 = (x + y)3− 3x2y − 3xy2+ z3 = (−z)3− 3xy(x + y) + z3 = 3xy
nên

P = 3xyz
−2xyz = −

3
2.
Vậy P = −3

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

N h´om
LATEX

F.

BÀI TẬP LÀM THÊM

CÂU 1. Rút gọn các biểu thức
a) A =

√

3 −√6
1 −√2 −

2 +√8
1 +√2,
b) B =

1
x − 4−

1
x + 4√x + 4

x + 2√x
√

x (với x > 0, x 6= 4).
ú Lời giải.

a) A =
√

3 −√6
1 −√2 −

2 +√8
1 +√2 =

√

3Ä1 −√2ä
1 −√2 −

2Ä1 +√2ä
1 +√2 =

√
3 − 2.
b)

B =

1
x − 4 −

1
x + 4√x + 4

· x + 2
√

x
√

x
= 1

(√x − 2) (√x + 2) −
1
(√x + 2)2

·
√

x (√x + 2)
√

x
= √ 1

x − 2 −
1
√

x + 2
= (

√

x + 2) − (√x − 2)
x − 4

= 4
x − 4.

CÂU 2. Rút gọn các biểu thức
a) A = 2 + 3 +

√
3
√

3 + 1

2 −3 −
√

3
√

3 − 1

b) B =

√
b
a −√ab−

√
a
√

ab − b

.Äa√b − b√aä (với a > 0, b > 0 và a 6= b).
ú Lời giải.

A = 2 + 3 +
√

3
√

3 + 1

· 2 −3 −

√

3
√

3 − 1

2 +
√

3Ä√3 + 1ä
√

3 + 1

2 −
√

3Ä√3 − 1ä
√

3 − 1

=Ä2 +√3ä·Ä

2 −√3ä
= 1.

B =

√
b
a −√ab−

√
a
√

ab − b

·a√b − b√a
=

Ñ √

b
√

aÄ√a −√bä −

√
a
√

bÄ√a −√bä

·√ab√a −√b
=

√

b ·√ab
√

a −
√

a ·√ab
√

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

N h´om
LATEX

CÂU 3. Cho biểu thức A =

Ç √

a
√

a − 1 −
√

a
a −√a

:
√

a + 1

a − 1 (với a > 0, a 6= 1).
a) Rút gọn biểu thức A,

b) Tìm các giá trị của a để A < 0.
ú Lời giải.

a) A =

Ç √

a
√

a − 1−

√
a
√

a (√a − 1)

√
a + 1

(√a − 1) (√a + 1) =

Ç √

a
√

a − 1 −
1
√

a − 1

(√a − 1) =√a − 1.
b) A < 0 ⇔

(

a > 0, a 6= 1
√

a < 1 ⇔ 0 < a < 1.

CÂU 4. Rút gọn biểu thức A =

3√x + 6
x − 4 +

√
x
√

x − 2

: √x − 9

x − 3 (với x ≥ 0, x 6= 4).
ú Lời giải.

A =

3√x + 6
x − 4 +

√
x
√

x − 2

: √x − 9
x − 3
=

3 (√x + 2)

(√x − 2) (√x + 2) +
√

x
√

x − 2

: (
√

x − 3) (√x + 3)
√

x − 3
=

3 +√x
√

x − 2

· √ 1
x + 3
= √ 1

x − 2, với x ≥ 0, x 6= 4, x 6= 9.

CÂU 5. Rút gọn biểu thức
a) A = 3√8 −√50 −

…
Ä√

2 − 1ä2,
b) B = 2

x − 1

x2− 2x + 1

4x2 , với 0 < x < 1.

ú Lời giải.

a) A = 3√8 −√50 −

…
Ä√

2 − 1ä2 = 6√2 − 5√2 −

√
2 − 1

√

2 −Ä√2 − 1ä= 1.
b) B = 2

x − 1·

x2− 2x + 1
4x2 =

x − 1 ·

(x − 1)2
22x2 =

2
x − 1 ·

|x − 1|
2|x| .
Vì 0 < x < 1 nên |x − 1| = −(x − 1); |x| = x.

Vậy B = −2(x − 1)
2x(x − 1) = −

1
x.

CÂU 6. Rút gọn biểu thức A =

1 − a√a
1 − a +

√

å Ç

1 −√a
1 − a

å2

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

N h´om
LATEX
ú Lời giải.

A =

(1 −√a) (1 +√a + a)
1 −√a +

√
a

1 −√a

(1 −√a) (1 +√a)

ơ2

=Ä1 + 2√a + ậ· 1
(1 +√a)2
=Ä1 +√aä2· 1

(1 +√a)2
= 1.

CÂU 7. Rút gọn biểu thức
a) A =√20 −√45 + 3√18 +√72,
b) B =

1 + a +
√

a
√

a + 1

å Ç

1 + a −

√

a
1 −√a

(với a > 0, a 6= 1).
ú Lời giải.

Rút gọn biểu thức
a)

A =√20 −√45 + 3√18 +√72

=√5 · 4 −√9 · 5 + 3√9 · 2 +√36 · 2
= 2√5 − 3√5 + 9√2 + 6√2

= 15√2 −√5.
b)

B =

1 + a +
√

a
√

a + 1

å Ç

1 + a −
√

a
1 −√a

với a ≥ 0, a 6= 1
=

1 +
√

a (√a + 1)
√

a + 1

å Ç

1 −
√

a (√a − 1)
√

a − 1

=Ä1 +√aä Ä1 −√aä
= 1 − a.

CÂU 8. Cho biểu thức P =

a√a − 1
a −√a −

a√a − 1
a +√a

: a + 2

a − 2 (với a > 0, a 6= 1, a 6= 2).
a) Rút gọn P ,

b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.
ú Lời giải.

Điều kiện a ≥ 0, a 6= 1, a 6= 2.
Ta có

P =

(√a − 1) (a +√a + 1)
√

a (√a − 1) −

(√a + 1) (a −√a + 1)
√

a (√a + 1)

: a + 2
a − 2
= a +

√

a + 1 − a +√a − 1
√

a :
a + 2
a − 2
= 2(a − 2)

a + 2 .

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

N h´om
LATEX

CÂU 9. Cho biểu thức P =
√

x + 1
√

x − 2 +
2√x
√

x + 2 +

2 + 5√x

4 − x (với x ≥ 0, x 6= 4). Rút gọn P .
ú Lời giải.

Ta có

P =
√

x + 1
√

x − 2 +
2√x
√

x + 2 −

2 + 5√x
x − 4
= (

√

x + 1) (√x + 2) + 2√x (√x − 2) − 2 − 5√x
(√x − 2) (√x + 2)

= x + 3
√

x + 2 + 2x − 4√x − 2 − 5√x
(√x − 2) (√x + 2)

= 3x − 6
√

x
(√x − 2) (√x + 2)
= 3

√

x (√x − 2)
(√x − 2) (√x + 2)
= 3

√
x
√

x + 2.

CÂU 10. Cho biểu thức M =

Ç √

x
√

x − 1−
1
x −√x

1
√

x + 1 +
2
x − 1

, với x > 0, x 6= 1. Rút
gọn M .

ú Lời giải.
M =

Ç √

x
√

x − 1 −
1
x −√x

1
√

x + 1 +
2
x − 1

đ √

x
√

x − 1−

1
√

x (√x − 1)

đ √

x − 1

(√x − 1) (√x + 1) +

(√x − 1) (√x + 1)

= √ x − 1
x (√x − 1) :

√
x + 1
(√x − 1) (√x + 1)
= √ x − 1

x (√x − 1)·

(√x − 1) (√x + 1)
√

x + 1
= x − 1√

x .

CÂU 11. Cho biểu thức K = √ x
x − 1 −

2x −√x

x −√x , với x > 0 và x 6= 1.
a) Rút gọn biểu thức K,

b) Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 2√3.
ú Lời giải.

a) K = √ x
x − 1−

√

x (2√x − 1)
√

x (√x − 1) =

x − 2√x + 1
√

x − 1 =
√

x − 1.
b) Khi x = 4 + 2√3 ta có K =»4 + 2√3 − 1 =

…
Ä√

3 + 1ä2− 1 = √3 + 1 − 1 =√3.

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

N h´om
LATEX
a) √45 +√20 −√5,

b) x +
√

x
√

x +

x − 4
√

x + 2, với x > 0.
ú Lời giải.

Rút gọn biểu thức

a) √45 +√20 −√5 =√32· 5 +√22· 5 −√5 = 3√5 + 2√5 −√5 = 4√5.

b) x +
√

x
√

x +

x − 4
√

x + 2 =
√

x (√x + 1)
√

x +

(√x + 2) (√x − 2)
√

x + 2 =
√

x + 1 +√x − 2 = 2√x − 1.

CÂU 13. Cho các biểu thức A = 5 + 7
√

5
√

5 +

11 +√11

1 +√11 và B =
√

5 : 5
5 +√55.
a) Rút gọn biểu thức A,

b) Chứng minh A − B = 7.
ú Lời giải.

a) A =
√

5Ä√5 + 7ä
√

5 +
√

11Ä√11 + 1ä
1 +√11 =

√

5 + 7 +√11.
b) B =√5 ·

√

5Ä√5 +√11ä
5 =

√

5 +√11.
Vậy A − B = 7.

CÂU 14. Rút gọn các biểu thức
a) A = √ 2

5 − 2 −
2
√

5 + 2,
b) B =

Ç√

x − √1
x

Ç√

x − 1
√

x +

1 −√x
x +√x

, với x > 0, x 6= 1.
ú Lời giải.

a) A = 2

Ä√

5 + 2ä− 2Ä√

5 − 2ä

Ä√

5 − 2ä Ä√5 + 2ä =

2√5 + 4 − 2√5 + 4

Ä√

5ä2− 22 =

5 − 4 = 8.
b) Ta có

B = x − 1√
x :

(√x − 1) (√x + 1) + 1 −√x
√

x (√x + 1)
= x − 1√

x ·
√

x (√x + 1)
x − 1 + 1 −√x
= (x − 1) (

√
x + 1)
√

x (√x − 1)
= (

√

x + 1)2
√

x .

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

N h´om
LATEX

CÂU 15. Cho biểu thức
P =

Ç√

a
2 −

2√a

å Ç

a −√a
√

a + 1 −

a +√a
√

a − 1

, với a > 0, a 6= 1.
Tìm a đề P ≥ 2.

ú Lời giải.

Chưa có

CÂU 16. Rút gọn biểu thức
a) A =Ä1 −√5ä

√
5 + 5
2√5 ,
b) B =

1 + x +
√

x
1 +√x

å Ç

1 + x −
√

x
1 −√x

, với 0 ≤ x 6= 1.
ú Lời giải.

1. A =Ä1 −√5ä·
√

5Ä1 +√5ä
2√5 =

1 −√5ä·1 +
√

5
2 =

1 − 5

2 = −2.
2. B =

1 +
√

x (√x + 1)
1 +√x

å Ç

1 +
√

x (√x − 1)
1 −√x

= (1 +√x) (1 −√x) = 1 − x.

CÂU 17. Cho biểu thức A =

Ç √

x
√

x − 1 −
1
x −√x

1
√

x + 1 +
2
x − 1

, với a > 0, a 6= 1.

a) Rút gọn biểu thức A,

b) Tính giá trị của A khi x = 2√2 + 3.
ú Lời giải.

A =

x − 1
√

x (√x − 1)

Ç√

x + 1
x − 1

=
√

x + 1
√

x ·

x − 1
√

x + 1 =
x − 1

√

x .

CÂU 18. Cho biểu thức P =

1
x +√x −

1
√

x + 1

√

x + 2√x + 1 với x > 0. Rút gọn biểu thức P
và tìm các giá trị của x để P > 1

2.
ú Lời giải.

P =

1
x +√x −

1
√

x + 1

√
x
x + 2√x + 1
=

1
√

x (√x + 1) −

√
x
√

x (√x + 1)

· (
√

x + 1)2
√

x
= 1 −

√
x
√

x (√x + 1) ·

(√x + 1)2
√

x
= (1 −

√

x) (√x + 1)
√

x ·√x
= 1 − x

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

N h´om
LATEX
2. Với x > 0 thì 1 − x

x >
1

2 ⇔ 2(1 − x) > x ⇔ −3x > −2 ⇔ x <
2
3.
Vậy với 0 < x < 2

3 thì P >
1
2.

CÂU 19. Rút gọn các biểu thức sau:
1. A = 1

2
√

20 −√80 + 2
3

√
45,
2. B = 2 + 5 −

√
5
√

5 − 1

· 2 − 5 +
√

5
√

5 + 1

.
ú Lời giải.

1. A = 1
2

√

4 · 5 −√16 · 5 + 2
3

√

9 · 5 =√5 − 4√5 + 2√5 = −√5.
2.

B = 2 + 5 −
√

5
√

5 − 1

2 − 5 +
√

5
√

5 + 1

2 +
√

5Ä√5 − 1ä
√

5 − 1

é Ñ

2 −
√

5Ä√5 + 1ä
√

5 + 1

=Ä2 +√5ä Ä2 −√5ä
= −1.

CÂU 20. Cho biểu thức A =

Ç √

a
√

a + 1 −
√

a
a +√a

:
√

a − 1

a − 1 với a > 0, a 6= 1.

1. Rút gọn biểu thức A.

2. Tìm các giá trị của a để A < 0.
ú Lời giải.

1. A =

Ç √

a
√

a + 1 −

√
a
√

a (√a + 1)

√
a − 1

(√a − 1) (√a + 1) =

Ç √

a
√

a + 1 −
1
√

a + 1

(√a + 1) =√a − 1.
2. A < 0 ⇔

(

a > 0, a 6= 1
√

a < 1 ⇔ 0 < a < 1.

CÂU 21. Cho biểu thức P =

1
√

a − 3+
1
√

a + 3

å Ç

1 − √3
a

với a > 0 và a 6= 9.
1. Rút gọn biểu thức P .

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

N h´om
LATEX
1.

P =

1
√

a − 3+
1

√

a + 3

å Ç

1 − √3
a

=
√

a + 3 +√a − 3
(√a − 3) (√a + 3) ·

√
a − 3
√

a
= 2

√

a (√a − 3)
(√a − 3) (√a + 3)√a
= √ 2

a + 3.
Vậy P = √ 2

a + 3
2. Ta có √ 2

a + 3 >
1
2 ⇔

√

a + 3 < 4 ⇔√a < 1 ⇔ 0 < a < 1.
Vậy P > 1

2 ⇔ 0 < a < 1.

CÂU 22. Rút gọn biểu thức P = 9
√

a −√25a +√4a3

a2+ 2a với a > 0.

ú Lời giải.

Ta có 9√a −√25a +√4a3 = 9√a − 5√a + 2a√a = 2√a(a + 2) và a2 + 2a = a(a + 2) nên P =

2√a(a + 2)
a(a + 2) =

2
√

CÂU 23. Tính:

1. A =√20 − 3√18 −√45 +√72.
2. B = »4 +√7 +»4 −√7.

3. C =»x + 2√x − 1 +»x − 2√x − 1 với x ≥ 1.
ú Lời giải.

1. A =√20 − 3√18 −√45 +√72 =√4 · 5 − 2√9 · 2 −√9 · 5 +√36 · 2
= 2√5 − 9√2 − 3√5 + 6√2 = −3√2 −√5.

2. Ta có
√

2B =

8 + 2√7 +

8 − 2√7 =

(√7 + 1)2+

(√7 − 1)2 =√7 + 1 + |√7 − 1|

√

2B = 2√7 ⇔ B =√14.
3. Ta có C =

q
Ä√

x − 1 + 1ä2+

q
Ä√

x − 1 − 1ä2 =√x − 1 + 1 +

√

x − 1 − 1

.

Nếu x ≥ 2 thì C =√x − 1 + 1 +√x − 1 − 1 = 2√x − 1.
Nếu x < 2 thì C =√x − 1 + 1 + 1 −√x − 1 = 2.

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

N h´om
LATEX

CÂU 24. Rút gọn biểu thức P =Ä√7 +√3 − 2ä Ä√7 −√3 + 2ä.
ú Lời giải.

P = (√7 +√3 − 2)(√7 +√3 − 2) =ỵ√7 + (√3 − 2)ó ỵ√7 − (√3 − 2)ó
= (√7)2− (√3 − 2)2 = 7 − (3 − 4√3 + 4) = 4√3.

CÂU 25. Cho biểu thức A =

1 − 2
√

a
a + 1

1
√

a + 1−

2√a

a√a +√a + a + 1

với a ≥ 0, a 6= 1. Rút
gọn biểu thức A.

ú Lời giải.
Ta có

A = a + 1 − 2
√

a
a + 1 :

1
√

a + 1 −

2√a
√

a(a + 1) + (a + 1)

= (
√

a − 1)2

a + 1 :

1
√

a + 1 −

2√a
(√a + 1)(a + 1)

= (
√

a − 1)2

a + 1 :

(√a − 1)2

(√a + 1)(a + 1)
(√a − 1)2

a + 1 ·

(√a + 1)(a + 1)
(√a − 1)2 =

√
a + 1.

CÂU 26. Rút gọn biểu thức P =

qÄ√

a − 1 + 1ä2 +qÄ√a − 1 − 1ä2 với a ≥ 1.

ú Lời giải.

P = |√a − 1 + 1| + |√a − 1 − 1| = |√a| + |√a − 2| =√a + |√a − 2|.
Nếu a ≥ 2 ⇒√a − 2 ≥ 0 ⇒ P = 2√a − 1.

Nếu 1 ≤ a < 2 ⇒√a − 2 < 0 ⇒ P = 2.

CÂU 27. Cho biểu thức Q =

Ç√

x
2 −

1
2√x

å2Ç√

x + 1
√

x − 1 −
√

x − 1
√

x + 1

. Tìm tất cả các giá trị của x để
Q có nghĩa và rút gọn Q.

ú Lời giải.

Điều kiện xác định: x > 0 và x 6= 1.
1. Q = (x − 1)

4x ·

(√x + 1)2− (√x − 1)2

x − 1 =

(x − 1)24√x

4x(x − 1) =
x − 1

√
x .
2. Q = −3√x − 3 ⇔ 4x + 3√x − 1 = 0 ⇔





√

x = −1 (loại)
√

x = 1
4

⇔ x = 1

16 (thỏa mãn).

CÂU 28. Rút gọn A =
√

x2+ 6x + 9

x + 3 với x 6= −3.
ú Lời giải.

A =

(x + 3)2

x + 3 =

|x + 3|
x + 3 =

(

1 khi x > −3

− 1 khi x < −3.

CÂU 29. 1. Tính

…
Ä

1 +√5ä2+

…
Ä

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

N h´om
LATEX

CÂU 30. Cho biểu thức P = a
√

a
√

a + 3+

√

a + 1
√

a − 3+

3 + 7√a

9 − a với a ≥ 0, a 6= 9.
1. Rút gọn P .

2. Tìm a để P < 1.
ú Lời giải.

1. Ta có

P = 2
√

a
√

a + 3+
√

a + 1
√

a − 3+

−7√a − 3
(√a + 3)(√a − 3)
= 2

√

a(√a − 3) + (√a + 1)(√a + 3) − 7√a − 3
(√a + 3)(√a − 3)

= 2a − 6
√

a + a + 4√a + 3 − 7√a − 3
(√a + 3)(√a − 3)

= 3a − 9
√

(√a + 3)(√a − 3) =

3√a(√a − 3)
(√a + 3)(√a − 3) =

3√a
√

a + 3.

Vậy P = 3

√
a
√

a + 3.
2. P < 1 ⇔ 3

√
a
√

a + 3 ⇔ 3
√

a <√a + 3 ⇔√a < 3

2 ⇔ 0 ≤ a <
9
4.

CÂU 31. Cho biểu thức M = x

2−√x

x +√x + 1 −

x2+√x

x −√x + 1 + x + 1. Rút gọn biểu thức M với x ≥ 0.
Nội dung câu hỏi

ú Lời giải.

M =
√

x(√x3 − 1)

x +√x + 1 −
√

x(√x3+ 1)

x −√x + 1 + x + 1
=

√

x(√x − 1)(x +√x + 1)
x +√x + 1 −

√

x(√x + 1)(x −√x + 1)

x −√x + 1 + x + 1

= x −√x − x −√x + x + 1 = x − 2√x + 1 = (√x − 1)2.

CÂU 32. Cho biểu thức P = x

2+√x

x −√x + 1 + 1 −

2x +√x
√

x với x > 0. Rút gọn biểu thức P .
ú Lời giải.

Ta có x2+√x =√x(√x2+ 1) =√x(√x + 1)(x −√x + 1) nên

P =
√

x(√x + 1)(x −√x + 1)
x −√x + 1 + 1 −

√

x(2√x + 1)
√

=√x(√x + 1) + 1 − 2√x − 1 = x −√x.

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

N h´om
LATEX

CÂU 33. 1. Tính √48 − 2√75 +√108.
2. Rút gọn biểu thức P =

1
1 −√x −

1
1 +√x

1 −√1
x

với x 6= 1 và x > 0.
ú Lời giải.

1. √48 − 2√75 +√108 =√16 · 3 − 2√25 · 3 +√36 · 3 = 4√3 − 10√3 + 6√3 = 0.
2. P = 1 +

√

x − 1 +√x
1 − x ·

√
x − 1
√

x =
2√x
1 − x·

√
x − 1
√

x =
−2
1 +√x.

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

N h´om
LATEX

CHỦ ĐỀ

2

HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM

SỐ BẬC 2

VẤN ĐỀ

1.

HÀM SỐ BẬC NHẤT

A.

KIẾN THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP

1. Định nghĩa 1. Hàm số bậc nhất được định nghĩa như sau

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a và b là các số thực
cho trước và a 6= 0.

Khi b = 0 thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số y = ax, biểu thị tương quan tỉ lện thuận
giữa y và x.

2. Tính chất 1. Hàm số bậc nhất có các tính chất sau
Hàm số bậc nhất , xác định với mọi giá trị x ∈ R.

Trên tập số thực, hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0.
3. Đồ thị hàm số y = ax + b với a 6= 0.

Đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và cắt
trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng −b

a.
a gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b.
4. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b.

Vẽ hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm.

Thường vẽ đường thẳng đi qua 2 giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ là A

−b
a; 0

và
B(0; b).

Chú ý 1. Đường thẳng đi qua M (m; 0) song song với trục tung có phương trình là x−m = 0,
đường thẳng đi qua N (0; n) song song với trục hồnh có phương trình y − n = 0.

5. Kiến thức bổ sung

Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(x1; y1), B(x2; y2) thì AB =

(x2− x1)2+ (y2− y1)2.

Điểm M (x; y) là trung điểm của AB thì x = x1+ x2

2 và x =

y1+ y2

2 .

6. Điều kiện để hai đường thẳng song song , hai đường thẳng vng góc. Cho hai đường thẳng
(d1) : y = ax + b và đường thẳng (d2) : y = a0x + b0 với a, a0 6= 0.

(d1) ∥ (d2) ⇔ a = a0 và b 6= b0.

(d1) ≡ (d2) ⇔ a = a0 và b = b0.

(d1) cắt (d2) ⇔ a 6= a0.

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

N h´om
LATEX

B.

BÀI TOÁN MINH HỌA

{ DẠNG 3. Vị trí và khoảng cách

VÍ DỤ 1. Cho đường thẳng (d1) : y = x + 2 và đường thẳng (d2) : y = (2m2− m)x + m2 + m.

1. Tìm m để (d1) ∥ (d2).

2. Gọi A là điểm thuộc đường thẳng (d1) có hồnh độ x = 2. Viết phương trình đường thẳng

(d3) đi qua (A vng góc với (d1).

3. Khi (d1) ∥ (d2). Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1) và (d2).

4. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d1) và tính diện tích tam giác OM N

với M, N lần lượt là giao điểm của (d1) với các trục tọa độ Ox, Oy.

ú Lời giải.

1. (d1) ∥ (d2) ⇔

(

2m2− m = 1
m2+ m 6= 2 ⇔

(

(m − 1)(2m + 1) = 0

(m − 1)(m + 2) 6= 0 ⇔ m = −
1
2.
Vậy m = −1

2 thì (d1) ∥ (d2).

2. Vì A là điểm thuộc đường thẳng (d1) có hồnh độ x = 2, suy ra

1 · y = 2 + 2 = 4 ⇒ A(2; 4).

Đường thẳng (d1) có hệ số góc là a = 1, đường thẳng (d2) có hệ số góc là

a0 ⇒ a0· 1 = −1 ⇒ a0 = −1.

Đường thẳng (d2) có dạng y = −x + b.

Vì (d3) đi qua A(2; 4) suy ra 4 − 2 + b ⇒ b = 6.

Vậy đường thẳng (d3) là y = −x + 6.

3. Khi (d1) ∥ (d2) thì khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1) và (d2) cũng chính là khoảng cách giữa

hai điểm A, B lần lượt thuộc (d1) và (d2) sao cho AB ⊥ (d1), AB ⊥ (d2).

Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d1) và (d3) như hình vẽ dưới đây:

(d2)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và (d2) là

−x + 6 = x −1

4 ⇔ x =
25

8 ⇒ y =
23

8 ⇒ B =

8 ;

23
8

.
Vậy độ dài đoạn thẳng AB là AB =

sÇ

25
8 − 2

å2

23
8 − 4

å2

= 9
√

8 .

4. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d1) với các trục tọa độ Ox, Oy.

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

N h´om
LATEX
Cho x = 0 ⇒ y = 2 ⇒ N (2; 0).

Từ đó suy ra OM = ON = 2 ⇒ M N = 2√2.

Tam giác OM N vuông cân tại O. Gọi H là hình chiếu vng góc của O lên M N ta có
OH = 1

2M N =
√

2 và S4OM N =

2OM · ON = 2 (đvdt).
Chú ý 3.

Nếu tam giác OM N không vuông cân tại O ta có thể tính OH theo
hệ thức lượng trong tam giác vng là

1
OH2 =

OM2 +

ON2. (∗)

Từ đó để khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ta làm theo
các bước

Tìm các giao điểm M, N của d với các trục tọa độ.

Áp dụng cơng thức tính đường cao từ đỉnh góc vng trong tam
giác vng OM N (cơng thức (∗)) để tính OH.

x
y

M
N

Bằng cách làm tương tự. Cho M (x0; y0) và đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0. Khoảng cách từ điểm M

đến đường thẳng ∆ là

d = |ax√0+ by0+ c|
a2+ b2 .

VÍ DỤ 2. Cho đường thẳng mx + (2 − 3m) y + m − 1 = 0 (d).
1. Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) ln đi qua.

2. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.

3. Tìm m để đường thẳng (d) cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác
OAB cân.

ú Lời giải.

1. Gọi I (x0; y0) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m khi đó ta có:

mx0+ (2 − 3m) y0+ m − 1 = 0, ∀m ⇔ m (x0 − 3y0+ 1) + 2y0− 1 = 0, ∀m ⇔

(

x0− 3y0+ 1 = 0

2y0− 1 = 0.

Hay










x0 =

1
2
y0 =

1
2

⇒ I

1
2;

1
2

2. Gọi H là hình chiếu vng góc của O lên đường thẳng (d). Ta có: OH ≤ OI suy ra OH lớn nhất
bằng OI khi và chỉ khi H ≡ I ⇔ OI ⊥ (d).

Đường thẳng qua O có phương trình: y = ax.

Do I

1
2;

1
2

∈ OI ⇒ 1
2 = a ·

2 ⇔ a = 1 ⇒ OI : y = x.

Đường thẳng (d) được viết lại như sau: mx+(2 − 3m) y +m−1 = 0 ⇔ (2 − 3m) y = −mx+1−m.
Đế ý rằng với m = 2

3 thì đường thẳng (d) : x −
1

2 = 0 song song với trục Oy nên khoảng
cách từ O đến (d) là 1

2.
Nếu m 6= 2

3 đường thẳng (d) có thể viết lại: y =
m
3m − 2x +

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

N h´om
LATEX
Điều kiện để (d) ⊥ OI là m

3m − 2· = −1 ⇔ m = 2 − 3m ⇔ m =
1
2.
Khi đó khoảng cách OI =

s
Ç

1
2

å2

1
2

å2

=
√

2
2 .
Vậy m = 1

2 là giá trị cần tìm.

3. Ta có thể giải bài tốn theo 2 cách sau:
Cách 1: Dễ thấy m = 2

3 không thỏa mãn điều kiện (Do (d) không cắt Oy ).
Xét m 6= 2

3, đường thẳng (d) cắt Ox, Oy tại các điểm A, B tạo thành tam giác cân OAB, do
góc AOB = 90÷ 0 ⇒ ∆OAB vng cân tại O.

Suy ra hệ số góc của đường thẳng (d) phải bằng 1 hoặc −1 và đường thẳng (d) không đi qua
gốc O.

Ta có:






3m − 2 = 1
m

3m − 2 = −1
⇔





m = 1
m = 1
2.
Ta thấy chỉ có giá trị m = 1

2 là thỏa mãn điều kiện bài toán.
Cách 2: Dễ thấy m = 2

3, m = 0 không thỏa mãn điều kiện.
Xét m 6= 0; 2

3, đường thẳng (d) có thể viết lại: y =
m
3m − 2x +

m − 1
3m − 2.
Đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm A có tung độ bằng 0 nên

m
3m − 2x +

m − 1
3m − 2 = 0
⇔ x = 1 − m

m
⇒ A

1 − m
m ; 0

⇒ OA =

Bộ đề thi học sinh giỏi các tỉnh Thành phố

N h

om

<sub>´</sub>

L

A

<sub>TEX</sub>

Tập thể

Nhóm L

A

TEX

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>BỘ</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ</b>