Đề thi học sinh giỏi 12 - tỉnh Thanh Hóa (2003->2009)

Năm học 2003_2004 Bảng B
Bài 1 (6đ)
1/ cho đường cong ( C ) có phương trình :
π π
 
= ∈
 ÷
 
3
sin víi x ;
2 2
y x
Tìm giá trị nhỏ nhất của hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với ( C ) và trục hoành
2/ cho hàm số
   
= + − +
 ÷  ÷
+ +
   
2
2 2
2 2
( 1) 3 4 víi m tham sè
1 1
x x
y m m m
x x
.
Tìm m=? để hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị
Bài 2 ( 5 đ) Giải các phương trình
+ + +

= +
2
7 3
1/ sin sin sin os x =1
2/ log log ( 2)
x x x c
x x
Bài 3 (5 đ)
1/ xác định số nghiệm
π
 
∈
 
 
0;
2
x
của phương trình
π
+ =
sinx osx
2 2
c
2/Không dùng máy tính so sánh
2002 2003
log 2003 vµ log 2004
Bài 4 (4đ) Cho một góc tam diện Oxyz
1/ A là một điểm trên Oz sao cho OA=25a (a>0). Khoảng cách từ A đến Ox; Oy
Tương ứng là 7a và 20 a. Tính khoảng cách từ A đến mf(Oxy) biiết góc xOy=60
0

.
Cho góc xOy=yOz=zOx=60
0
. Điểm A (khác O) cố định trên Oz với OA=d không đổi
M;N là hai điểm cố định trêm Ox Oy sao cho
+ =
1 1 1
OM ON d
(1) CMR: đường thẳng MN
luôn đi qua một điểm cố định
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Năm 2004_2005 bảng B
Bài 1(5đ) Cho hàm số
= − +
4 2
6 5y x x
1/ khảo sát và vễ đồ thị của hàm số.
2/ Cho một điểm M thuộc ( C) có hoành độ là a. Tìm tất cả các giá trị của a để tiếp tuyến
của (C ) tại M cắt ( C) tại hai điểm phân biệt khác M
Bài 2 (5đ)
1/ tính đạo hàm cấp n của hàm số
−
=
− −
2
2 1
2
x
y
x x

2/ Tìm họ nguyên hàm của hàm số
=
− +
3
( )
3 2
x
f x
x x
Bi 3( 3 )
1/ Xỏc nh m phng trỡnh sau cú 4 nghim phõn bit:
=
2
2 2 1x x x m
2/ Xỏc nh m phng trỡnh sau cú 3 nghim phõn bit


+
+ + + =
2
2 2
1
2
2
4 log ( 2 3) 2 log (2 2) 0
x m
x x
x x x m
Bi 4( 4)
Cho hai ng trũn

+ + =
+ + + =
2 2
2 2
1
( ) : 10 2 25 0
( ): 4 4 4 0
C x y x y
C x y x y
Vit phng trỡnh ng thng tiộp xỳc vi hai ng trũn trờn
Bi 5(3) Gii bi toỏn sau bng phng phỏp to



+ =
2 2 2 2 2 2
ọi ; ; là các góc tạo bởi đường thẳng (d) theo thứ tự với 3 đường thẳng
chứa 3 cạnh BC; CA; AB của tam giác đều ABC. CMR : 16(sin sin sin os os os ) 1
G
c c c
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nm 2005_2006 Bng B
Bi 1 (2) kho sỏt v v th
+ +
=
+
2
2 2
1

x x
y
x
Bi2 (2) Tỡm m=? hm s
+ +
=
+
2
2 2
1
x mx
y
x
cú cc i cc tiu v khong cỏch cỏc
im ú n ng thng x+y+2=0 bng nhau
Bi 3( 2 ) GiI phng trỡnh

+ + =


+ + =


+ + =

2 4 4
3 9 9
4 16 16
log log log 2
log log log 2

log log log 2
x y z
y z x
z x y
Bi 4(2) Tỡm m=? phng trỡnh sau cú nghim:
2
2 3 1 2x mx x m+ =
Bi 5(2) CMR: nu trong tam giỏc ABC tho món h thc

2
C
tgA tgB tg+ =
thỡ tam giỏc ú cõn
Bi 6(2) Cho Elớp cú phng trỡnh
2 2
1
9 4
x y
+ =
v im I(1; 1) Hóy lp phng trỡnh
ng thng (d) qua I ct (E) ti hai im A;B sao cho I trung im AB
Bi 7(2) Cho hỡnh lp phng ABCD. ABCD, cnh bng 1. M thuc cnh AA
Xỏc nh v trớ M tam giỏc BMD cú in tớch bộ nht tớnh din tớch bộ nht ú
Bi 8(2) Vit phng trỡnh ng trũn tõm I thuc ng thng (d) cú phng trỡnh
x-1=0 v tip xỳc hai ng thng cú phng trỡnh x-y+1=0 v x-y-1=0
Bài 9(2đ) Tính tích phân
4
0
osx
dx

c
π
∫
Bài 10(2đ) cho
x 0 CMR sinx xCho ≥ ≤
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Năm 2006_2007 Đề chung
Bài 1(7đ)
1. Khảo sat và vẽ đồ thị
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
2. Tìm k để đường thẳng (2-k)x-y+1=0 cắt đồ thị (1) tại hai điểm phân biệt A;B sao
cho tiếp tuyến tại A;B song song với nhau
3. Chứng minh rằng phương trình
2
1 ( 1) 9x x x x+ + = + −
có đúng 2 nghiệm
Bài 2(5đ)
1 áp dựng nhị thức Nui tơn của
( )
100
2
x x+

CMR

99 100 198 199
0 1 99 100
100 100 100 100
1 1 1 1
100 101 ... 199 200 0
2 2 2 2
C C C C
       
− + − + =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
2. Cho tích phân
0
sin 2
n N. T×m a=? sao cho
2 os2x
n
nx
I dx
a c
π
= ∈
−
∫

2006 2006 2006
; ; theo thø tù Êy lËp thµnh cÊp sè céngI I I
Bài 3(7đ)

1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ (xOy) cho đường tròn (C ) có phương trình

2 2
4 6 3 0x y x y+ − + − =
tâm I và đường thẳng (d) có phương trình x+by-2=0
CMR (d) luôn cắt (C) tại hai điểm P;Q phân biệt với mọi b . Tìm b=? để tam giác
PIQ có diện tích lớn nhất
2. Trong không gian với hệ toạ độ (Oxyz) cho các điểm A(2;0;0) B(0;8;0) C(0;0;3)
Và N là một điểm thoả mãn
ON OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
. Một mặt phẳng (P) thay đổi cắt các
đoạn OA;OB;OC; ON lần lượt tại A
1
; B
1
;C
1
;N
1
. Tìm toạ độ điểm N
1
sao cho

1 1 1
2007
OA OB OC
OA OB OC
+ + =
Bài 4(1đ) Tìm tập hợp các điểm M trong không gian có tổng bình phương các khoảng

cách đến các mặt của một hình tứ diện đều ABCD cho trước bằng một số dương k không
đổi
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Năm 2007_2008 Đề chung
Bài 1 (5đ) Cho hàm số
1
(C)
1
x
y
x
−
=
+
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số
2. Xác định điểm M thuộc đồ thị ( C ) của hàm số sao cho tổng các khoảng cách từ M
đến các trục toạ độ là số nhỏ nhất
Bài 2 (4đ)
1. Cho hàm số
2
1y x x m= + − −
Xác định m=? để y≤0 trên tập xác định của nó
2. Trong mặt phẳng Oxycho hypebol (H) có phương trình
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
. Biết tâm sai

e=2; Hình chữ nhật cơ sở của nó cắt Ox; Oy tại A;C và B;D. Đường tròn nội tiếp
hình thoi ABCD có bán kính bằng
2
Tìm phương trình (H)
Bài 3 (4đ)
1. GiảI phương trình
2 2
4 os 4 os2xcos 6sin cos 1 0c x c x x x− − + =
2.
≥ + − + + ≥
3 4 2 2
a 0. Gi¶i vµ biÖn luËn BPT theo a:a 6 9 3 0Cho x a x x a
3. Giải hệ phương trình sau


+ =

+ =

3 2
3 9 4
2
2
x y xy
x y xy
Bài 4 (6đ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C

1
D
1
Biết A
1
(0;0;0); B
1
(a;0;0); D
1
(0;a;0); A

(0;0;a). Gọi M; N lần lượt trung điểm các
cạnh AB; B
1
C
1
.
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với hai đường thẳng AN;
BD
1

2. Tính thể tích tứ diện ANBD
1

3. Tính góc và khoảng cách giữa các đường thẳng AN và BD
1
Bài 5 (1đ) Cho
( )
→∞
+ = +2 2 2 n=1,2,3.... T×m lim

n
n
n n
n
n
a
a b
b

Năm 2008_2009 Đề chung
Bài 1 ( 5 đ)
Cho hàm số y= x
3
-3x
2
+2 có đồ thị ( C )
1. Khảo sát và vẽ đồ thị
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x
3
-3x
2
+2= m
3
-3m
2
+2
3. Với mỗi điểm M thuộc ( C ) kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C )
Bài 2 ( 4 đ)
1. Tính tích phân

1
2 2
2
0
4 4
e x
I dx
x x
=
+ +
∫
2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đội một khác nhau mà trong đó chỉ
có 1 chữ số lẻ
Bài 3 ( 5 đ)
1. Giải phương trình sau :
sin(3 ) sin 2 sin( )
4 4
x x x
π π
− = +
2. Tìm giá trị m để bất phương trình sau đúng với mọi x

2
2 2 2
2 log 2 1 log 2 1 log 0
1 1 1
m m m
x x
m m m
     

− − + − + <
 ÷  ÷  ÷
+ + +
     
3. Với giá trị nào của x; y thì 3 số
2 2
log log
1 2 3
8 ; 2 ; 5
x y x y
u u u y
+ −
= = =
theo thứ tự đó, đồng
thời lập thành cấp số nhân và một cấp số cộng
Bài 4 ( 5 đ)
1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) có phương trình
x
2
+ (y-1)
2
=1
Chứng minh rằng với mỗi điểm M(m,3) trên đường thẳng y=3 ta luôn tìm được
Hai điểm T
1
; T
2
trên trục hoành sao cho các đường thẳng MT
1
; MT

2
là tiếp tuyến
của (C ). Khi đó hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MT
1
T
2
2. Cho hình chóp S.ABC có đấy là một hình vuông cân (AB=BC=1). Và các cạnh
Bên SA=SB=SC = 3. Gọi K,L lần lượt là trung điểm của AC và BC . Trên cạnh
SA,SB lần lượt lấy M, N sao cho SM=SN=1 . Tnhs thể tích cưa LMNK
Bài 5 (1 đ)
Cho n là một số nguyên lẻ và n>2 . Chứng minh rằng mọi a khác ) ta có:
2 3 2 3 1
1 ... 1 ... 1
2! 3! ! 2! 3! ( 1)! !
n n n
a a a a a a a
a a
n n n
−
  
+ + + + + − + − + + + <
 ÷ ÷
−
  