Ứng dụng phương pháp monte carlo giải một số phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CAO THỊ BÉ OANH

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO
GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chun ngành:
Mã số:

Tốn ứng dụng
60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP.HỒ CHÍ MINH, tháng 7 năm 2016


1
CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG - HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Tô Anh Dũng.
Cán bộ chấm nhận xét 1: TS. Lê Xuân Đại.
Cán bộ chấm nhận xét 2: PGS.TS. Nguyễn Bích Huy.
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG
Tp. HCM ngày 28 tháng 7 năm 2016.
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1. Chủ tịch: PGS.TS. Nguyễn Đình Huy.
2. Thư ký: TS. Đặng Văn Vinh.
3. Phản biện 1: TS. Lê Xuân Đại.

4. Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Bích Huy.
5. Ủy viên: TS. Đậu Thế Phiệt.
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý
chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).
6 CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
ỨNG DỤNG

TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên: CAO THỊ BÉ OANH
Ngày, tháng, năm sinh: 03/04/1982

MSHV: 7140851
Nơi sinh: Huyện Giồng Trơm, tỉnh Bến Tre

Chun ngành: Tốn ứng dụng

Mã số : 60.46.01.12

I. TÊN ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO GIẢI MỘT SỐ

CHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN.
II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
-

Nhiệm vụ :
Nêu rõ phƣơng pháp mô phỏng Monte Carlo và các bƣớc thực hiện mô phỏng ; áp dụng
giải phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1, giải phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp cao
bằng phƣơng pháp mô phỏng Monte Carlo.
Tổng quan một số kết quả nghiên cứu mới có liên quan về ứng dụng phƣơng pháp mô
phỏng Monte Carlo của các nhà khoa học.

-

Nội dung : đƣợc tổ chức nhƣ sau
Phần mở đầu.
Chƣơng 1 : Những kiến thức cơ bản.
Chƣơng 2 : giải các phƣơng trình vi phân thƣờng bằng phƣơng pháp Monte Carlo.
Phần kết luận.

III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 11/01/2016
IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 17/6/2016
V. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS.TS. Tô Anh Dũng

Tp. HCM, ngày 15 tháng 6 năm 2016
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến PGS.TS. Tơ Anh Dũng,
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi trong suốt q trình làm luận văn và tạo
điều kiện để tơi có thể hồn thành luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn đến quý Thầy, Cô trong khoa Khoa học ứng dụng,
đặc biệt là Bộ mơn Tốn Ứng dụng đã truyền đạt cho tơi những kiến thức quý
báu trong suốt quá trình học tập tại trường.
Xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã
cho tơi những đóng góp quý báu để hoàn chỉnh luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, tập thể phòng Tổ chức – Hành
chính Trường Đại học Kỹ thuật – Cơng nghệ Cần Thơ, đặc biệt xin chân thành
cảm ơn Cô Nguyễn Thị Xuân Thu đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tơi trong
q trình học tập và thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã động viên,
tạo mọi điều kiện tốt nhất để tơi hồn thành luận văn.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 06 tháng 6 năm 2016
Cao Thị Bé Oanh


TĨM TẮT
Phương trình vi phân đóng một vai trị quan trọng trong nhiều lĩnh vực
khác nhau như kỹ thuật, vật lý hay kinh tế. Trong các ứng dụng thực tế, người
ta chỉ quan tâm tới giá trị của hàm tại các giá trị cụ thể của biến độc lập
hoặc có những ứng dụng mà ngay cả giá trị thực cũng khó có thể tìm ra bằng
phương pháp phân tích, tính tốn thơng thường mặc dù đã có hầu hết các dữ
liệu cần thiết. Vì vậy, việc tìm ra cơng thức của hàm đơi khi cịn gặp nhiều
khó khăn. Lúc này, việc tìm đến giá trị xấp xỉ (có giới hạn nhất định về độ
chính xác) với giá trị thực được quan tâm.
Trong nghiên cứu này, tác giả đề xuất phương pháp Monte Carlo để ứng

dụng giải phương trình vi phân thường. Phương pháp đề xuất được cụ thể hóa
qua các nội dung về mơ phỏng Monte Carlo; một số ví dụ về phương pháp
này; ứng dụng phương pháp trong việc giải phương trình vi phân thường và
đặc biệt là tổng hợp kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học có liên quan.
Đây là phương pháp mang lại hiệu quả cao về mặt kinh tế cũng như tiết
kiệm được nhiều thời gian, công sức cho các nhà nghiên cứu nhằm giải quyết
bài tốn phương trình vi phân thường trong ứng dụng thực tế.


LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan rằng, ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các cơng trình
khác như đã ghi rõ trong luận văn, các cơng việc trình bày trong luận văn này
là do chính tơi thực hiện và chưa có phần nội dung nào của luận văn này được
nộp để lấy một bằng cấp của trường khác.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 06 tháng 6 năm 2016

Cao Thị Bé Oanh


Mục lục
1 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 Đại lượng ngẫu nhiên [5] . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Kỳ vọng, phương sai của đại lượng ngẫu nhiên .
1.1.2 Bất đẳng thức Tchebyshev . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Phương trình tích phân Volterra . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Giải phương trình Volterra loại hai . . . . . . .
1.3.2 Khái niệm tích vơ hướng . . . . . . . . . . . . .
1.4 Phương trình vi phân thường [4] . . . . . . . . . . . .

1.4.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một [4] . .
1.4.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai [4] . .
1.4.3 Phương trình vi phân trong khơng gian Banach

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

1
1
2
3

3
4
4
5
5
6
6
7
8

2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẰNG PHƯƠNG
PHÁP MONTE CARLO
10
2.1 Mơ phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Khái niệm mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Vai trị của phương pháp mơ phỏng và các bước thực hiện 10
2.2 Mô phỏng Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Giới thiệu mô phỏng Monte Carlo . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Các nội dung của mô phỏng Monte Carlo . . . . . . . . 12
2.2.3 Các phương pháp tạo ra số ngẫu nhiên . . . . . . . . . 13
2.2.4 Thể hiện đại lượng ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.5 Một số ví dụ đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Mơ hình Neuman – Ulam [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao . . . . . . . . . . . . 45
2.6 Hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 48
3 ỨNG DỤNG
3.1 Phương trình vi phân thường [6] . . . . . . . . . . . . . . . .

56

56


MỤC LỤC
3.2
3.3

Hệ 2 phương trình vi phân thường hàm hiện (Explicit Coupled
ODEs) [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phương trình vi phân ẩn hàm[6] . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Giải thuật dựa trên phương pháp Monte Carlo . . . . .
3.3.2 Phương trình vi phân hàm ẩn đơn biến . . . . . . . . .
3.3.3 Hệ hai phương trình vi phân bậc nhất . . . . . . . . .
3.3.4 Phương trình hàm ẩn bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Hệ phương trình vi phân 3 ẩn bậc nhất . . . . . . . . .
3.3.6 Hệ thống thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57
58
58
59
62
63
64
65


Danh sách hình vẽ
2.1
2.2

Đổi hệ trục tọa độ (x; y ) → (ξ ; η ) . . . . . . . . . . . . . . .
Miền D → D1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1

So sánh kết quả giữa mô phỏng số và kết quả thực của phương
trình (2.84) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
So sánh sai lệch giá trị giữa phương pháp đề xuất và phương
pháp RK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
So sánh kết quả chính xác và kết quả mơ phỏng số của phương
trình (3.14) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
So sánh kết quả giải tích và kết quả mơ phỏng số của phương
trình (3.16) và (3.17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
So sánh kết quả giải tích và kết quả mơ phỏng số của phương
trình (3.20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
So sánh kết quả chính xác và kết quả mơ phỏng số của phương
trình (3.22) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
So sánh các kết quả mơ phỏng số của lời giải phương trình (3.24)

3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7

24
26
60

61
62
63
64
65
66


Danh sách bảng
2.1

Bảng 80 chữ số ngẫu nhiên với 5 chữ số thập phân

3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8

Kết
Kết
Kết
Kết
Kết
Kết
Kết
Kết

quả
quả
quả
quả
quả
quả
quả
quả

giải
giải
giải
giải
giải
giải
giải
giải

phương
phương
phương
phương
phương
phương
phương
phương

trình
trình

trình
trình
trình
trình
trình
trình

(3.3) . . . . .
(3.10 ) . . . . .
(3.12 ) . . . . .
(3.14 ) . . . . .
(3.16) và (3.17)
(3.20) . . . . .
(3.22) . . . . .
(3.24) . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

. . . . . .

16

.
.
.
.
.
.
.
.

58
60
60
61
63
64
65
65

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.


BẢNG KÝ HIỆU


PHẦN MỞ ĐẦU
Giới thiệu đề tài
Phương trình vi phân đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực
khác nhau như kỹ thuật, vật lý, hay kinh tế. Phương trình vi phân thơng
thường là phương trình vi phân trong đó có chứa hàm phải tìm là hàm một
biến. Các phương pháp truyền thống đã được sử dụng để giải phương trình vi
phân thơng thường với giá trị khởi tạo ban đầu gồm có: Phương pháp Euler,
phương pháp Euler ngược, phương pháp Runge-Kutta, phương pháp đa bước
và phương pháp đa giá trị. Các phương pháp trên có thể dẫn đến sự khác nhau
trong đáp án của bài toán, tuy nhiên, tất cả đều dựa trên các lý thuyết toán
học cổ điển.
Trong các ứng dụng thực tế, người ta chỉ quan tâm tới giá trị của hàm tại
các giá trị cụ thể của các biến độc lập hoặc có những ứng dụng mà ngay cả giá
trị thực cũng khó có thể tìm ra bằng phương pháp phân tích, tính tốn thơng
thường mặc dù đã có hầu hết các dữ liệu cần thiết. Vì vậy, việc tìm ra cơng
thức của hàm đơi khi cịn gặp nhiều khó khăn. Lúc này, việc tìm đến giá trị xấp
xỉ (có giới hạn nhất định về độ chính xác) với giá trị chính xác được quan tâm.
John von Neumann và Stanislaw Ulam (hai nhà toán học người Mỹ) đã

đề xuất một mơ hình thử nghiệm trên máy tính. Sau đó, họ đặt tên phương
pháp này là phương pháp mô phỏng Monte Carlo. Tuy nhiên, phương pháp
này thật sự tỏ ra hữu hiệu và được phát triển mạnh mẽ khi chiếc máy tính
điện tử đầu tiên ra đời (năm 1945) trong những dự án Mahattan hoặc nghiên
cứu bom Hydrogen ở Los Alamos,. . . và đến nay nó đã và đang đóng góp rất
lớn trong nhiều lĩnh vực, mang lại hiệu quả kinh tế cao và tiết kiệm được nhiều
thời gian, cơng sức và chi phí cho các nhà nghiên cứu.
Trên cơ sở đó, tác giả quyết định chọn đề tài “Ứng dụng phương pháp
Monte Carlo giải bài tốn phương trình vi phân” nhằm tìm hiểu rõ hơn về nội
dung phương pháp đã được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực và cụ thể trong
luận văn này là áp dụng giải phương trình vi phân thường.
Trong quá trình thực hiện luận văn này, chúng tôi cũng nghiên cứu thêm


DANH SÁCH BẢNG
các ý tưởng đề xuất bởi các nhà nghiên cứu về phương pháp mơ phỏng Monte
Carlo như:
• Ý tưởng đề xuất bởi Assyr Abdulle và Adrian Blumenthal [7]: tác giả đề
xuất việc xây dựng phương pháp ổn định đa mức Monte Carlo cải thiện cho
hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên ràng buộc chặt. Theo đó, tất cả các đặc
tính ổn định liên quan đến kỹ thuật đề xuất đều được đảm bảo thông qua các
phương pháp S-ROCK 1 và S-ROCK 2. Các trường hợp khác nhau được xét
đến với môi trường mô phỏng số nhằm chứng minh cho tính hiệu quả của cách
tiếp cận đề xuất.
• Ý tưởng đề xuất bởi Rob Scheichl và Tony Shardlow [8], bài báo áp dụng
một số thủ thuật từ việc giải quyết phương trình vi phân tất định nhằm cải
thiện hiệu quả phương pháp Monte Carlo đa mức trên phương trình vi phân
ngẫu nhiên và đặc biệt là phương trình Langevin. Các tác giả hiệu chỉnh các
phương trình cơ bản thơng thường qua đó loại bỏ yêu cầu về việc ước lượng
chính xác đối với các lý thuyết liên quan đến việc tính giá trị tích phân, và sau

đó cách tiếp cận này được áp dụng cho phương pháp Monte Carlo đa mức trên
phương trình Langevin với kỹ thuật tích phân tách toán tử. Nghiên cứu cũng
đánh giá hiệu quả của kỹ thuật ước lượng yếu cho phương trình vi phân ngẫu
nhiên dựa trên việc kết hợp phương pháp Monte Carlo với phép toán ngoại
suy trong bài toán xét đến khả năng sử dụng của biến ngẫu nhiên rời rạc với
ảnh hưởng của nhiễu Gaussian. Theo đó, các trường hợp mơ phỏng khác nhau
cũng được nghiên cứu đề cập nhằm minh hoạ cho tính hiệu quả của cách tiếp
cận đề xuất.
• Ý tưởng Vidal-Codina, F., et al [9]: trong nghiên cứu này, các tác giả
trình bày một kỹ thuật nội suy dựa trên kinh nghiệm thực tế cũng như phương
pháp làm giảm độ sai lệch của mơ hình nhằm tìm ra lời giải nhanh và chính
xác cho bài tốn phương trình vi phân elliptic tham số ngẫu nhiên bán phần.
Phương pháp đề xuất bao gồm ba thành phần chính: (1) phương pháp xấp xỉ
giá trị đầu ra với kỹ thuật rời rạc hoá HDG; (2) kỹ thuật nội suy offline-online
nhằm tách sự ảnh hưởng của q trình tham số hố và sự ngẫu nhiên của
bài toán; (3) phương pháp giảm độ sai lệch của mơ hình nhằm tận dụng mối
tương quan giữa hai kỹ thuật xấp xỉ độ chính xác và kỹ thuật rời rạc xấp xỉ
HDG với độ chính xác cao, qua đó cải thiện tốc độ hội tụ của phương pháp
Monte Carlo. Bên cạnh đó, nghiên cứu cũng đề xuất phát triển bộ ước lượng
giá trị của lời giải sau khi được xấp xỉ. Dựa trên các bộ ước lượng này, các tác
giả xây dựng giải thuật nhằm đưa ra quyết định lựa chọn tối ưu cho số chiều
của phép toán ước lượng cũng như số lượng mẫu cần thiết cho phương pháp
Monte Carlo. Theo đó, các trường hợp mô phỏng khác nhau cũng được nghiên
cứu đề cập nhằm minh hoạ cho tính hiệu quả của cách tiếp cận đề xuất.
• Ý tưởng của Feng, X. I. A. O. B. I. N. G., and C. Lorton [10]: trong bài
báo này, các tác giả tập trung phát triển một kỹ thuật nhằm giải quyết bài
tốn phương trình vi phân elliptic bán phần, trong đó hệ số khuếch tán có giá


DANH SÁCH BẢNG

trị ngẫu nhiên (nhiễu ngẫu nhiên). Phương pháp được xây dựng chủ yếu dựa
trên việc biểu diễn lời giải bài tốn dưới nhiều dạng khác nhau thơng qua các
tham số, đồng thời phương pháp Monte Carlo cũng được sử dụng nhằm lấy
mẫu dữ liệu trên miền không gian xác suất. Một trong những đặc tính quan
trọng nhất của kỹ thuật đề xuất đó là tất cả các phương trình đều có chung
một giá trị của hệ số khuếch tán, theo đó bằng cách giả sử lặp lại ma trận
phân hoạch LU, các hệ thống tuyến tính rời rạc với số phần tử hữu hạn có thể
được giải quyết một cách trực tiếp và hiệu quả. Các vấn đề liên quan đến thời
gian tính tốn hay sai số ước lượng cũng lần lượt đề cập trong nghiên cứu.
Ngoài ra, các trường hợp mô phỏng khác nhau cũng được nghiên cứu đề cập
nhằm minh hoạ cho tính hiệu quả của cách tiếp cận đề xuất.
Nhận xét: Từ những kết quả nghiên cứu đã đạt được chúng ta thấy rằng,
việc ứng dụng phương pháp Monte Carlo để giải quyết hiệu quả bài tốn nói
chung và phương trình vi phân thường nói riêng vẫn đang được tiếp tục đề
xuất những ý tưởng bởi các nhà khoa học tại thời điểm hiện tại cũng như
trong thời gian tới nhằm ngày càng nâng cao hiệu quả cũng như độ chính xác
khi tính tốn.

Mục tiêu của đề tài
- Tìm hiểu về phương pháp Monte Carlo.
- Ứng dụng phương pháp Monte Carlo để giải phương trình vi phân thường.
- Tìm hiểu các nghiên cứu liên quan đến phương pháp mô phỏng Monte
Carlo.

Nội dung thực hiện của đề tài
Luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên;
nội dung phương pháp mơ phỏng Monte Carlo, một số ví dụ về phương pháp
này; tiếp theo là ứng dụng phương pháp này trong việc giải phương trình vi
phân thường; tổng hợp kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học có liên quan.

Giới hạn đề tài
Tập trung nghiên cứu các phương trình vi phân thường, hệ phương trình
vi phân.


DANH SÁCH BẢNG

Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp, phân tích và hệ thống lại các tài liệu có liên quan đến các
vấn đề cần nghiên cứu trong đề tài và ứng dụng.

Cấu trúc luận văn
Luận văn được tổ chức như sau:
Phần mở đầu: Giới thiệu khái quát vấn đề được đề cập trong luận văn;
trình bày mục tiêu, nội dung thực hiện, giới hạn của đề tài và phương pháp
nghiên cứu.
Chương 1 : Trình bày ngắn gọn nhất về các khái niệm cơ bản của giải
tích ngẫu nhiên như kỳ vọng, phương sai [3], phương trình vi phân thường
[2],. . . và đặc biệt là phương trình vi phân Volterra được sử dụng nhiều trong
chương 2.
Chương 2 : Giải phương trình vi phân thường bằng phương pháp Monte
Carlo.
Trình bày phương pháp mô phỏng Monte Carlo với các nội dung: các bước
thực hiện mô phỏng; các phương pháp mô phỏng đại lượng ngẫu nhiên; các
phương pháp tạo ra số tựa ngẫu nhiên; thể hiện đại lượng ngẫu nhiên.
Trên cơ sở đó, tác giả đã ứng dụng phương pháp Monte Carlo để giải
phương trình vi phân thường, bao gồm các nội dung: mơ hình Neuman –
Ulam; bên cạnh việc nêu chi tiết phần chứng minh một số định lý, nêu những
hệ quả, bổ đề phục vụ việc chứng minh; vận dụng vào giải phương trình vi
phân tuyến tính cấp 1, giải phương trình vi phân tuyến tính cấp cao và giải

hệ phương trình vi phân. Đây là nội dung quan trọng của luận văn.
Chương 3 : Ứng dụng
Trong chương này, tác giả đã tổng quan một số kết quả mới của các nhà
khoa học về ứng dụng phương pháp mô phỏng Monte Carlo để giải phương
trình vi phân thơng qua các nghiên cứu khoa học đã được công bố.
Phần kết luận: Dựa trên các kết quả đạt được để kết luận, trình bày ưu
và nhược điểm của phương pháp đề xuất, những đóng góp của đề tài.


Chương 1
NHỮNG KIẾN THỨC CƠ
BẢN
Chương này trình bày các nội dung sau:

• Định nghĩa, định lý, bổ đề cơ bản của giải tích ngẫu nhiên có liên quan
làm cơ sở để thực hiện luận văn [3], [4].
• Phương trình tích phân Volterra.
• Phương trình vi phân thường [2].

1.1

Đại lượng ngẫu nhiên [5]

Định nghĩa 1.1
Xét không gian xác suất (Ω, D, P ), trong đó D là δ - đại số trên Ω và hàm
xác suất P : D → [0, 1] . Ánh xạ X : Ω → R được gọi là một đại lượng ngẫu
nhiên hay biến ngẫu nhiên.
Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng biến thiên nhận giá trị số phụ thuộc
vào kết quả của phép thử ngẫu nhiên (một quy tắc đặt tương ứng mỗi kết quả
của phép thử với một số thực) và có thể nhận biết xác suất để X nhận giá trị đó.

Các đại lượng ngẫu nhiên được ký hiệu là X, Y, Z hoặc X1 , X2 , . . . Xn ;
Y1 , Y2 , . . . , Ym , . . . ; các giá trị có thể có của chúng được ký hiệu là x1 , x2 , . . . , xn ;
y1 , y2 , . . . , ym , . . . .
Có hai loại đại lượng ngẫu nhiên: rời rạc và liên tục. Đại lượng ngẫu nhiên
gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó là tập giá trị rời rạc (hữu hạn

1


CHƯƠNG 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

2

hoặc vô hạn đếm được, nghĩa là có lượng số khơng q tập số tự nhiên N ).
Đại lượng ngẫu nhiên gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy
một khoảng trên trục số.

1.1.1

Kỳ vọng, phương sai của đại lượng ngẫu nhiên

a. Kỳ vọng
Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X rời rạc, ký hiệu là E (X ) là tổng các
tích giữa các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên với các xác suất tương
ứng:
n

E (X ) =

xi pi với pi = P (X = xi )

(1.1)

i=1

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f (x) thì
kỳ vọng E (X ) được xác định bằng bởi:
+∞

E (X ) =

xf (x)dx

(1.2)

−∞

Vậy: kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên gần bằng trung bình số học của
các giá trị quan sát của đại lượng ngẫu nhiên, tức là E (X ) ≈ x . Nó phản
ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên.
Kỳ vọng có điều kiện của X khi sự kiện A đã cho là một số thực dương và
được xác định bởi công thức:
n

E (X/A) =

xi P (X = xi /A)

(1.3)

i=1

b. Phương sai
Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng là E (X ) . Khi đó, ta gọi
phương sai của X là kỳ vọng của bình phương độ sai khác giữa X E (X ) , ký
hiệu là D (X ) . Vậy:

D(X ) = E [(X − E (X ))2 ] = E (X 2 ) − [E(X)]2

(1.4)

• Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì phương sai được xác định
bởi cơng thức:
+∞

+∞
2

x2 f (x)dx − [E (X )]2

[x − E (X )] f (x)dx =

D(X ) =

−∞

−∞

2

(1.5)


CHƯƠNG 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

3

• Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì phương sai được xác định bởi
công thức:
n

n
2

xi 2 pi − [E (X )]2

[xi − E (X )] pi =

D(X ) =
i=1

(1.6)

i=1

Nhận xét:

• Phương sai càng nhỏ thì các giá trị của X càng tập trung xung quanh
E (X ).
• Phương sai có điều kiện của X khi sự kiện A đã cho là số thực được xác

định bởi công thức:
n

x2i P (X = xi /A) − [E (X/A)]2

D(X/A) =

(1.7)

i=1

1.1.2

Bất đẳng thức Tchebyshev

Bổ đề 1.1
Cho X là đại lượng ngẫu nhiên khơng âm, có kỳ vọng E (X ) hữu hạn. Khi
đó: ∀ε > 0, ta có
E (X )
P (X ≥ ε) ≤
ε
Bổ đề trên cho ta biết cận trên của xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X
nhận giá trị không nhỏ hơn ε cho trước.

Bất đẳng thức Tchebyshev
Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng và phương sai hữu hạn.
Khi đó ∀ε > 0, ta có:

P (|X − E (X )| < ε) ≥ 1 −

D (X )
D(X )
hay
P
[
|X
−
E
(
X
)
|
≥
ε
]
≤
(1.8)
ε2
ε2

Hai bất đẳng thức trên đánh giá các cận trên hoặc cận dưới của xác suất
áp dụng cho các đại lượng ngẫu nhiên tùy ý, không bị ràng buộc như bổ đề
trên.

3


CHƯƠNG 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1.3

4

Luật số lớn

a. Định lý Tchebyshev
Nếu X1 , X2 , . . . Xn , . . . là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, có các
kỳ vọng hữu hạn và các phương sai đều bị chặn trên bởi hằng số c(D(X ) ≤ c),
i = 1, n, ∀ε > 0, ta có:
1
n

lim P

n
i=1

1
Xi −
n

n

E (Xi ) < ε = 1

(1.9)

i=1

Nếu các kỳ vọng bằng nhau E (X ) = m; i = 1, n, ta có:

lim P

1
n

n

Xi − m < ε = 1

(1.10)

i=1

b. Định lý Bernoulli
Giả sử m là số lần xuất hiện của biến cố A trong dãy n phép thử độc
lập, với xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử là p = P (A) . Khi
đó, ∀ε > 0 , ta có:

m
−p <ε =1
n

(1.11)

m p
−−−→ p = P (A)
n n→∞

(1.12)

lim P
Tức là:

f=

Ý nghĩa : khi số phép thử tăng lên khá lớn thì tần suất f =
theo xác suất đến p = P (A)

1.2

m
n

sẽ hội tụ

Xích Markov

Giả sử chúng ta nghiên cứu sự tiến triển theo thời gian của một hệ vật lý
hoặc sinh thái nào đó.
Ký hiệu (Xt ) là vị trí của hệ tại thời điểm t. Tập hợp các vị trí có thể có
của hệ được gọi là khơng gian trạng thái.
Giả sử trước thời điểm s hệ ở trạng thái nào đó, tại thời điểm s hệ ở trạng
thái i . Ta cần biết tại trước thời điểm t trong tương lai hệ ở trạng thái j với
xác suất là bao nhiêu?

4


CHƯƠNG 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

5

Tính Markov của hệ có nghĩa là sự tiến triển của hệ chỉ phụ thuộc vào
hiện tại và độc lập với quá khứ (tức là xác suất hệ ở trạng thái j tại thời điểm
t trong tương lai chỉ phụ thuộc vào s,t,i,j ).
Hệ có tính chất này được gọi là q trình Markov.
Định nghĩa 1.2
Ký hiệu (Xt ) là vị trí của hệ tại thời điểm t. E là không gian trạng thái
của hệ. Khi đó (Xt ) có tính Markov nếu:

P {X (tn+1 ) = j/X (t0 ) = i0 , ..., X (tn−1 ) = in−1 , X (tn ) = i} = P {X (tn+1 ) = j/X (tn ) =
Với bất kỳ t0 < t1 < t2 < ... < tn < tn+1 ... và i0 , i1 , i2 , ...in−1 , i, j ∈ E
Định nghĩa 1.3
Gọi E là tập gồm các giá trị của (Xt ) và là không gian trạng thái của (Xt )
. Khi đó (Xt ) được gọi là xích Markov nếu (Xt ) có tính Markov và E đánh số
được.

1.3

Phương trình tích phân Volterra

Định nghĩa 1.4
Xét phương trình tích phân dạng
b

f (x) − λ

K (x, y )ϕ(y )dy = g (x) , với

(1.13)

a

Hàm f (x) là hàm cần tìm,
λ là tham số của phương trình,
Hàm K (x, y ) được gọi là nhân (đã cho) với K (x, y ) ∈ L2[a,b]x[a,b]
Hàm g (x) được gọi là số hạng tự do (đã cho).
Phương trình trên gọi là phương trình tích phân Fredholm loại hai.
Khi nhân K (x, y ) = 0 với y

x thì phương trình (1.13) trở thành
x

f (x) − λ

K (x, y )ϕ(y )dy = g (x)
a

5

(1.14)


CHƯƠNG 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

6

Phương trình trên được gọi là phương trình Volterra loại hai.
Nếu g (x) = 0 thì các phương trình trên là phương trình thuần nhất; nếu
g (x) = 0 thì các phương trình trên là phương trình khơng thuần nhất.

Phương trình tích phân Fredholm loại một và phương trình Volterra loại
một là các phương trình tương ứng có dạng:
b

λ

K (x, y )ϕ(y )dy = g (x)

(1.15)

K (x, y )ϕ(y )dy = g (x)

(1.16)

a
x

λ
a

Trong luận văn này, ta chỉ xét đến phương trình loại hai. Và dùng ký hiệu
như sau:
b

Kf =

K (x, y )f (y )dy = g (x)

(1.17)

K (x, y )f (y )dy = g (x)

(1.18)

a
x

K xf =
a

1.3.1

Giải phương trình Volterra loại hai
x

Giải phương trình f (x) − λ

K (x, y )ϕ(y )dy = g (x) bằng phương pháp
a

xấp xỉ liên tiếp
Quá trình xấp xỉ liên tiếp được thực hiện theo công thức:
x

fn (x) − λ

K (x, y )fn−1 (y )dy = g (x)

(1.19)

a

Nếu quá trình xấp xỉ liên tiếp hội tụ và việc đổi thứ tự lấy tích phân và lấy
tổng có thể thực hiện được thì nghiệm của phương trình tích phân Volterra
loại hai được biểu diễn bằng công thức:

6


CHƯƠNG 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

x

∞

λi−1 Ki (x, y ) g (y )dy

f (x) = g (x) + λ

(1.20)

i=1

a

1.3.2

7

Khái niệm tích vơ hướng

Ta gọi tích vơ hướng của hai hàm f (x) và ω (x) là
b

(f (x), ω (x)) = (f, ω ) =

f (x)ω (x)dx

(1.21)

a

Hai hàm f (x) và ω (x) được gọi là trực giao với nhau nếu:
b

(f, ω ) =

f (x)ω (x)dx = 0

(1.22)

a
1
2

b

f 2 (x)dx

(f, f ) =

Đại lượng

được gọi là chuẩn của f (x) và ký

a

hiệu f
b

Đặt K ∗ ω =

b

K ∗ (x, y )ω (y )dy = K (y, x)ω (y )dy , ta có đẳng thức sau :

a

a

(Kf, ω ) = (f, K ∗ ω )

(1.23)

Thật vậy,
b

b

(Kf, ω ) =

K (x, y )g (y )dy ω (x)dx
a

a

b

b

a

a

K (y, x)g (x)dx ω (y )dy

=
b

b

a

a

=

1.4

K (y, x)ω (y )dy g (x)dx = (ϕ, K ∗ ω )

Phương trình vi phân thường [4]

Định nghĩa 1.5
Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập x , hàm
cần tìm y và các đạo hàm y , y , ..., y (n) của nó. Cấp của phương trình vi phân
là cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình.

7


CHƯƠNG 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

8

Phương trình vi phân cấp n có dạng:

F (x, y, y , y , ..., y (n) ) = 0

(1.24)

Nghiệm của phương trình vi phân là hàm số y = ϕ(x) khi thay vào thỏa
phương trình đã cho. Đồ thị của y = ϕ(x) được gọi là đường cong tích phân.

1.4.1

Phương trình vi phân tuyến tính cấp một [4]

Định nghĩa 1.6
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng:

y + p(x)y = q (x)

(1.25)

Trong đó p(x), q (x) là những hàm số liên tục, cho trước.

• Nếu q (x) =
phân tuyến tính cấp 1
• Nếu q (x) =
phân tuyến tính cấp 1

0 thì phương trình (1.25) được gọi là phương trình vi
thuần nhất.
0 thì phương trình (1.25) được gọi là phương trình vi
khơng thuần nhất.

Phương trình (1.25) có cơng thức nghiệm tổng quát là:

y = e−

1.4.2

p(x)dx

q (x)e

p(x)dx

+ C , , trong đó C là hằng số.

(1.26)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai [4]

Định nghĩa 1.7
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng:

y + p(x)y + q (x)y = f (x) , với a ≤ x ≤ b

(1.27)

Trong đó p(x), q (x), f (x) xác định trên [a, b] .

• Nếu f (x) = 0 thì phương trình (1.27) được gọi là phương trình vi
phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất và có dạng:
y + p(x)y + q (x)y = 0

(1.28)

• Nếu f (x) = 0 thì phương trình (1.27) được gọi là phương trình vi
phân tuyến tính cấp 2 khơng thuần nhất.
Cách tìm nghiệm của (1.27) khi biết nghiệm riêng y1 (x) của phương trình

8


CHƯƠNG 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

9

(1.28).
Bước 1
Tìm nghiệm riêng y2 (x) của (1.28) bằng công thức:

e− p(x)dx
dx
y12 (x)

y2 (x) = y1 (x)

Khi đó, nghiệm tổng quát của (1.28) có dạng:

y (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x), trong đó C1 , C2 là hằng số.
Bước 2
Tìm nghiệm riêng của phương trình (1.27), có dạng:

y ∗ (x) = C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x)
trong đó C1 (x), C2 (x) là hàm số cần được xác định.
Bước 3
Giải hệ sau để tìm C1 (x), C2 (x) :

C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x) = 0
C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x) = f (x)
ta được:

C1 (x) = ϕ1 (x), C2 (x) = ϕ2 (x)
lấy tích phân 2 vế ta được

C1 (x) = φ1 (x), C2 (x) = φ2 (x)

Khi đó, nghiệm riêng của (1.27) có dạng: y ∗ (x) = φ1 (x)y1 (x) + φ2 (x)y2 (x)
Bước 4
Kết luận nghiệm tổng quát của (1.27) là:

y (x) = y ∗ + y = y ∗ φ1 (x)y1 (x) + φ2 (x)y2 (x) + C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x) (1.29)
Lưu ý
Nếu phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng

y + p(x)y + q (x)y = f1 (x) + f2 (x), với a ≤ x ≤ b
khi đó, ta sẽ tìm nghiệm tổng qt yf1 (x), yf2 (x) của các phương trình:

y + p(x)y + q (x)y = f1 (x)

9


CHƯƠNG 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

10

y + p(x)y + q (x)y = f2 (x)
Và nghiệm tổng quát của (1.30) là: y (x) = yf1 (x) + yf2 (x)

1.4.3

Phương trình vi phân trong không gian Banach

a. Không gian Banach
Định nghĩa 1.8
Không gian Banach là không gian véctơ định chuẩn đầy đủ, tức là:

1. Phép cộng và phép nhân thỏa mãn các tính chất sau:
i. x + y = y + x
ii. λ (µx + βy ) = (λµ)x + (λβ )y
iii. 0.x = 0
iv. 1.x = 1
2. Với chuẩn . như sau
i. x = 0 ⇔ x = 0
ii. λx = |λ| x
iii. x + y ≤ x + y
và nếu xn − xm → 0 khi n, m → ∞ thì tồn tại x0 ∈ B sao cho xn − x0 →
0 hay xn → x0 ∈ B .

b. Tốn tử vi phân
Trong khơng gian Banach B , với mỗi t ∈ R tương ứng một toán tử biến
đổi B vào chính nó: X : B × R → B với x ∈ B, t ∈ R ta có X (x, t) ∈ B .
Toán tử vi phân
X∈B

d
dt

: B → B tác động trên B như là đạo hàm của hàm

Định nghĩa 1.9
Phương trình vi phân trong khơng gian Banach là phương trình của hai
d
tốn tử dt
và X (x, t) có dạng:

dx

= X (x, t)
dt

(1.30)

Định nghĩa 1.10
Hàm số x = ϕ(t) ∈ B được gọi là nghiệm của phương trình vi phân trong
khơng gian Banach nếu thỏa mãn:

10