CHUYEN DE ỨNG DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT - SỐ NGUYÊN TỐ - SỐ CHÍNH PHƯƠNG

HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ VẤN ĐỀ CHIA HẾT,
SỐ NGUYÊN TỐ, SỐ CHÍNH PHƯƠNG
GV:Đ.Q.Thọ
A.Một số lý thuyết cần lưu ý:
1.Tính chia hết:
• a
n
-b
n


a-b ·a
n
+b
n


a+b với n lẻ
• a
n
-b
n


(a-b)(a+b) với n chẵn
• (a+b)
n


(a+b) ·(a+b)
n

≡
b
n
(mod a)
2.Số nguyên tố:
• Để chứng minh một số n là hợp số ,ngoài 1
và chính nó ta còn phải chứng minh n còn chia
hết cho một số khác.
• Để tìm số nguyên tố p ta thường xét p dưới
dạng : p=3k+1;p=3k+2;p=3k suy ra p=3
p=5k
±
1;p=5k
±
2;p=5k suy ra p=5
3.Số chính phương:
• Số chính phương là bình phương của số tự
nhiên
• Số chính phương không tận cùng bởi các số
2,3,7,8
• Số chính phương chia hết 2 thì chia hết cho
4
• Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết
9
• Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết
25
• Số chính phương chia hết cho 2
3
thì chia hết

cho 2
4
. . .
• Số chính ph chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
• Số chính ph chia 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
B.Bài tập:
1. Chứng minh mọi số lẻ n thì n
4
-10n
2
+9
chia hết cho 384
2. Chứng minh rằng các số sau là hợp số:
a) 4
20
-1 b) 1000001
3. Tìm số tự nhiên n để giá trò của biểu thức
sau là số nguyên tố : 12n
2
-5n-25
4. Chứng minh rằng các số sau không là số
chính phương:
a) A=222….2224 (có 50 chữ số 2)
b) B=444 ….444 (có 100 chữ số 4)
5. Chứng minh số sau là số chính phương:
a)1156 b)11115556 c)
655 555111 111
1
  
−nn

6. Tìm số nguyên tố p để 4p+1 là số chính
phương
7. Chứng minh rằng :
a) 2
70
+3
70


13 b)17
19
+19
17


18
c) 36
63
-1

7 nhưng 36
63
-1

37
8. Chứng minh rằng các số sau là hợp số:
a)1000027 ; b)2
50
+1
9. Tìm số tự nhiên n để giá trò biểu thức sau

là số nguyên tố: 8n
2
+10n+3
10.Chứng minh rằng nếu p và p
2
+8 là các
số nguyên tố thì p
2
+ 2 cũng là số nguyên tố
11. Chứng minh rằng nếu p và 8p
2
+1 là các
số nguyên tố thì 2p + 1 cũng là số nguyên tố
12. Tìm số nguyên tố p để 2p
2
+1 cũng là số
nguyên tố
13. Tìm số nguyên tố p để 4p
2
+1 và 6p
2
+1
cũng là các số nguyên tố
14. Các số sau có chính phương không:
a) A = 1994
7
+7 b) B=1444. . . 4 (99 số 4)
15.Tổng các số sau có là chính phương
không: S = 1
2

+ 2
2
+ 3
2
+. . . . + 56
2
16. Các số sau là bình phương của số nào:
a)A =
250 0099 99

nn
b)
10 00089 99

nn