Phân tích ảnh hưởng của sự tăng độ xốp đến tính chất cơ học của vật liệu xốp dẻo

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
--------------------

NGUYỄN KHƠI NGUN

PHÂN TÍCH ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ TĂNG ĐỘ XỐP
ĐẾN TÍNH CHẤT CƠ HỌC CỦA
VẬT LIỆU XỐP DẺO
Chuyên ngành: Cơ Kỹ Thuật
Mã số: 60520101

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2014


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA –ĐHQG -HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học : .....................................................................
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)
Cán bộ chấm nhận xét 1 : ...........................................................................
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)
Cán bộ chấm nhận xét 2 : ...........................................................................
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp.
HCM ngày . . . . . tháng . . . . năm . . . . .
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ)
1. ......................................................................................................
2. ......................................................................................................

3. ......................................................................................................
4. ......................................................................................................
5. ......................................................................................................
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý
chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA…………


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT
NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên: NGUYỄN KHÔI NGUYÊN .......................... MSH: 12884968 .............
Ngày, tháng, năm sinh: 16-10-1988 ........................................... Nơi sinh: Long An ..........
Chuyên ngành: Cơ Kỹ Thuật ..................................................... Mã số : 60520101 .........
I. TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ TĂNG ĐỘ XỐP ĐẾN
TÍNH CHẤT CƠ HỌC CỦA VẬT LIỆU XỐP DẺO
II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: Tìm hàm chảy của vật liệu xốp dẻo với mơ hình
khối vật liệu von Mises dẻo lý tưởng chứa các lổ hổng hình cầu phân bố đều.
Sau đó dùng hàm chảy này phân tích các đặc trưng kéo đơn trục của vật liệu có
mơ hình như trên có tính tới biến cứng đẳng hướng của vật liệu mạng và dự
đốn lượng tăng bán kính lổ hổng trên phương kéo.
III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 20-01-2014
IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 21-11-2014
V. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Ghi rõ học hàm, học vị, họ, tên):

PGS.TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN

Tp. HCM, ngày . . . . tháng .. . . năm 20....
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
(Họ tên và chữ ký)

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO
(Họ tên và chữ ký)

TRƯỞNG KHOA….………
(Họ tên và chữ ký)

Ghi chú: Học viên phải đóng tờ nhiệm vụ này vào trang đầu tiên của tập thuyết
minh LV


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH
KHOA

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ
(Nhận xét của CB hướng dẫn ■

Nhận xét của CB phản biện

Họ và tên học viên: NGUYỄN KHÔI NGUYÊN

)

MSHV: 12884968

Đề tài luận văn: PHÂN TÍCH ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ TĂNG ĐỘ XỐP ĐẾN
TÍNH CHẤT CƠ HỌC CỦA VẬT LIỆU XỐP DẺO
Chuyên ngành: Cơ học kỹ thuật
Người nhận xét: PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN
Cơ quan công tác: Trường Đại học Bách khoa – Đại học Quốc gia Tp.HCM

Ý KIẾN NHẬN XÉT
1. Về nội dung
Nội dung luận văn bao gồm 3 chương:
Chương 1: Giới thiệu sơ lược các mơ hình hàm chảy của vật liệu xốp dẻo
trước đây, phân tích 1 số đặc trưng cũng như những khác biệt của các mơ hình
này để làm cơ sở nghiên cứu trong các chương sau.
Chương 2: Phân tích các mơ hình hàm chảy của vật liệu xốp dẻo đã có để tìm
ra dạng mơ hình chung của chúng. Từ các phân tích này, luận văn đã xem hàm


chảy như là hàm của của 2 ứng suất chảy đặc biệt là ứng suất chảy trong
trường hợp tải thuần túy ứng suất lệch và trong trường hợp tải thuần túy thủy
tĩnh, sau đó dựa vào đặc trưng hình học của mặt chảy trong khơng gian ứng
suất chính để tìm mặt chảy dạng ellipsoid. Việc xác định các ứng suất chảy
đặc biệt này dựa vào kết quả phân tích các hàm chảy đã có và áp dụng chúng
vào mơ hình vật liệu mà luận văn đang xem xét là mô hình khối vật liệu von
Mises dẻo lý tưởng hình lập phương chứa các lổ hổng hình cầu phân bố đều 3
chiều. Hàm chảy tìm được đã được kiểm tra với kết quả mô phỏng phần tử

hữu hạn bằng phần mềm ANSYS và so sánh với các mơ hình đã có trước đây.
Chương 3: Chương này đã sử dụng hàm chảy trong chương 2 để phân tích các
đặc trưng ứng xử của vật liệu trong trường hợp kéo đơn trục có tính tới biến
cứng đẳng hướng của vật liệu theo quy luật hàm mũ. Các đặc trưng được phân
tích gồm có: ứng suất chảy đơn trục mô đun đàn hồi và đường quan hệ ứng
suất biến dạng. Từ các kết quả này, hàm chảy được tìm trong chương 2 đã
được chuyển về dạng hàm phụ thuộc ứng suất chảy đơn trục của chính bản
thân vật liệu xốp dẻo. Ngồi ra dựa vào đặc trưng biến dạng đơn trục đề tài đã
tính lượng tăng biến dạng của lổ hổng trên phương kéo. Các kết quả trên được
đã được kiểm tra với kết quả mô phỏng phần tử hữu hạn bằng phần mềm
ANSYS.

2. Về phương pháp nghiên cứu, độ tin cậy của các số liệu
Luận văn đã dựa vào việc phân tích các hàm chảy để tìm các đặc trưng về mặt tốn
học cũng như các đặc trưng hình học của mặt chảy khi biểu diễn trong khơng gian
ứng suất chính để tìm hàm chảy như là hàm của các ứng suất chảy đặc biệt chứ
khơng tìm trực tiếp như là hàm của độ xốp như các hàm trước đây. Các kết quả về
hàm chảy cũng như việc áp dụng hàm chảy để phân tích các đặc trưng kéo đơn trục
của vật liệu đã cho kết quả phù hợp với kết quả phần tử hữu hạn của phần mềm
ANSYS và các mơ hình trước đây. Tác giả cũng đã nghiên cứu và nắm vững quy


trình mơ phỏng bài tốn đàn - dẻo trên phần mềm ANSYS để so sánh với kết quả
của luận văn nên các kết quả là dáng tin cậy.

3. Về kết quả khoa học của luận văn
Kết quả hàm chảy tìm được với các ứng suất chảy đặc biệt được sử dụng như là
những tham số cho thấy rằng các ứng suất chảy đặc biệt này có thể được tìm 1 cách
độc lập với dạng hàm chảy. Như vậy đối với các dạng mơ hình vật liệu khác ta có
thể sử dụng các ứng suất chảy đặc biệt có dạng khác với dạng trong đề tài cũng như

sử dụng các dạng mặt cong khác, nhưng vẫn có thể thực hiện theo các bước như
trong đề tài này.

4. Về kết quả thực tiễn của luận văn
Hàm chảy giúp ta tính được điểm chảy ban đầu của vật liệu xốp dẻo tùy thuộc vào
độ xốp ban đầu của vật liệu và độ cao trục của tải. Đồng thời hàm chảy giúp ta dự
đoán được đường quan hệ ứng suất biến dạng của vật liệu xốp dẻo với giả thuyết vật
liệu xốp dẻo sẽ biến cứng theo ảnh hưởng của tham số ứng suất chảy của vật liệu
mạng nằm trong hàm chảy của vật liệu xốp dẻo.

5. Những thiếu sót & vấn đề cần làm rõ
Luận văn chỉ quan tâm tới mặt chảy ban đầu của vật liệu khi lổ lổng là dạng hình
cầu, chưa quan tâm đến quá trình lổ hổng thay đổi hình dáng và kích thước trong
q trình vật liệu biến dạng.
Luận văn cần kết hợp với các lý thuyết về tăng trường lổ hổng cũng như liên kết lổ
hổng và nứt dẻo để có thể dự đốn đầy đủ ứng xử của vật liệu cho đến khi phá hủy.


6. Ý kiến kết luận
Với các kết quả đạt được, người thực hiện luận văn đã chứng tỏ có hiểu biết khá tốt
về lý thuyết cơ học và sử dụng phần mềm phân tích kết cấu thương mại tốt. Luận
văn đã đáp ứng được các nhiệm vụ cơ bản đã được đặt ra cho đề tài, các yêu cầu đối
với một luận văn thạc sĩ và xứng đáng được bảo vệ trước Hội đồng.

Điểm đánh giá:

/10 điểm.

Ngày 08 tháng 12 năm 2014
Người nhận xét

PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô và bạn bè đang công tác và học
tập đại bộ môn Cơ Kỹ Thuật trường Đại Học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh,
chính sự giúp đỡ và hỗ trợ nhiệt tình của q thầy cơ và bạn bè trong thời gian qua
đã giúp tôi giải quyết được nhiều vấn đề khó khăn trong lúc thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS. TS. Trương Tích Thiện là thầy hướng
dẫn luận văn của tôi, những kiến thức thầy đã truyền đạt trong quá trình giảng dạy
và hướng dẫn luận văn chính là nền tảng khoa học vững chắc để tơi có thể hồn
thành luận văn này.
Luận văn này được thực hiện với sự động viên to lớn và những điều kiện thuận lợi
nhất mà gia đình đã dành cho tôi.


TĨM TẮT LUẬN VĂN
Luận văn này phân tích sự mềm hóa cơ học của vật liệu xốp dẻo khi độ xốp liệu
tăng lên. Vật liệu xốp dẻo ở đây được mơ hình hóa dưới dạng vật liệu von Mises
đẳng hướng chứa các lỗ hổng hình cầu phân bố đều 3 chiều, các ảnh hưởng của hình
dáng lổ hổng cũng như sự nứt dẻo và liên kết các lổ hổng gần nhau đều được bỏ
qua. Cùng với sự tăng độ xốp, tức là tăng tỉ lệ thể tích của các lổ hổng so với thể
tích tồn bộ vật liệu, sẽ làm biến đổi hàm chảy từ dạng hàm von Mises thành hàm
phụ thuộc vào độ xốp và ứng suất thủy tĩnh, hàm này thể hiện sự mềm hóa của vật
liệu bằng việc làm giảm giá trị ứng suất chảy. Trong luận văn này trước tiên ta sẽ đi
tìm hàm chảy của vật liệu xốp dẻo, tuy nhiên ta khơng tìm trực tiếp hàm chảy như là
hàm phụ thuộc độ xốp và ứng suất thủy tĩnh, mà ta sẽ tìm hàm chảy phục thuộc vào
2 ứng suất chảy đặc biệt khi tải thuần túy ứng suất lệch và khi tải thuần túy thủy
tĩnh. Sau đó dùng hàm chảy tìm được ta sẽ phân tích ứng xử của vật liệu trong

trường hợp tải đơn trục và sự tăng bán kính lổ hổng trên phương kéo đơn trục.
ABSTRACT
This thesis investigates the softening effect caused by the increasing of its porosity
in porous ductile material. The porous ductile material is modeled as an isotropic
von Mises matrix contains 3d periodically arrayed spherical voids, the effects of
void shape, ductile fracture and void coalescence are not included. With the
increasing of porosity, the von Mises yield function of matrix material will
transform into a yield function influenced by the porosity and hydrostatic pressure
where the softening effect is represented by the reduction of the yield stress. In this
thesis, first the yield function is formulated, not as function of porosity and
hydrostatic pressure, but as function of 2 special yield stresses that are the yield
tresses in the cases of pure deviatoric and pure hydrostatic loadings, then the above
yield function will be used to predict the behavior of the material under uniaxial
loadings condition and the increasing of void radius in the direction of uniaxial
tension.


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng luận văn này là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi. Các số
liệu và kết quả nêu trong luận văn này là trung thực và chưa từng được công bố
trong bất kỳ công trình nào khác.


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU……………………………………………………………….……………1
CHƯƠNG I: TỔNG QUAN
1.1. Giới thiệu…………………………………………………………………….…2
1.2. Lý thuyết dẻo………………………………………………………………...…2
1.2.1. Khơng gian ứng suất chính………………………………………………...…2
1.2.2. Tiêu chẩn chảy chảy von Mises………………………………………………4

1.2.2. Biến cứng đẳng hướng……………………………………………………..…6
1.3. Vật liệu xốp dẻo…………………………………………………………..….…8
1.4. Kết luận chương…………………………………………………………….…14
CHƯƠNG II: HÀM CHẢY CỦA VẬT LIỆU XỐP DẺO
2.1. Giới thiệu…………………………………………………………………...…15
2.2. Mơ hình chung của các hàm chảy trước đây………………………………..…15
2.2.1. Mơ hình chung………………………………………………………………15
2.2.1.Các ứng suất chảy đặc biệt…………………………………………………...17
2.2.2.1. Ứng suất chảy trường hợp tải thuần túy ứng suất lệch……………………18
2.2.2.2. Ứng suất chảy trường hợp tải thuần túy thủy tĩnh……………………...…19
2.2.2.3. Đặc điểm chung của các suất chảy đặc biệt…………………………….…22
2.3. Mơ hình vật liệu có lỗ hổng phân bố đều 3 chiều…………………………..…25
2.3.1. Mơ hình vật liệu…………………………………………………………..…25
2.3.2.Ứng suất chảy thuần túy ứng suất lệch………………………………………28
2.3.3.Ứng suất chảy thuần túy thủy tĩnh………………………………………...…30
2.3.4. So sánh với kết quả phần tử hữu hạn……………………………………..…32
2.4. Hàm chảy………………………………………………………………...……35
2.5. Kết luận chương………………………………………………………….……51


CHƯƠNG III: ĐẶC TÍNH KÉO ĐƠN TRỤC
3.1. Giới thiệu………………………………………………………………...……52
3.2. Các đặc tính kéo đơn trục…………………………………………………..…52
3.2.1. Ứng suất chảy đơn trục………………………………………………...……52
3.2.2. Mô đun đàn hồi…………………………………………………………...…54
3.2.3. Quan hệ ứng suất - biến dạng……………………………………………..…57
3.3. Hàm chảy sử dụng ứng suất chảy đơn trục……………………………………61
3.4. Tăng trưởng bán kính lỗ hổng trên phương kéo đơn trục……………………..64
3.5. Kết luận………………………………………………………………..………69
TỔNG KẾT…………………………………………………………………...……70

1

MỞ ĐẦU
Thơng thường khi khảo sát các đặc tính biến dạng cơ học của kim loại, vật liệu
được giả thuyết như là không phụ thộc vào ứng suất thủy tĩnh. Khi đó các đặc tính
ứng suất - biến dạng của vật liệu thường được phân tích bằng hàm chảy von Mises.
Trong thực tế, khi vật liệu kim loại trải qua q trình gia cơng chế tạo có biến dạng
dẻo lớn thì bên trong vật liệu sẽ xuất hiện các lổ hổng chủ yếu là do các tạp chất tồn
tại trong kim loại gây ra. Dù kích các lổ hổng là không lớn nhưng lúc này bản chất
của kim loại đã trở thành dạng vật liệu xốp và phải được phân tích như là một loại
vật liệu xốp dẻo.
Trong các nghiên cứu trước đây về vật liệu xốp dẻo, đặc tính biến dạng cơ học của
vật liệu được phân tích thơng qua việc xây dựng các dạng hàm chảy phụ thuộc vào
độ xốp và ứng suất thủy tĩnh. Hàm chảy dạng này thể hiện 2 tính chất của vật liệu
xốp dẻo là mềm hóa do các lổ hổng tồn tại trong vật liệu và phụ thuộc vào ứng suất
thủy tĩnh. Đồng thời khi sử dụng hàm chảy kết hợp với các kết quả về tăng trưởng
độ xốp, kích thước lổ hổng và nứt dẻo giúp ta có thể phân tích đầy đủ quá trình biến
dạng và phá hủy của vật liệu xốp dẻo.
Với tầm quan trọng đó của hàm chảy, trong đề tài này ta sẽ đi tìm hàm chảy cho vật
liệu xốp dẻo với mơ hình là khối vật liệu von Mises lập phương chứa các lỗ hổng
hình cầu phân bố đều 3 chiều. Ở đây thay vì đi tìm trực tiếp hàm chảy như là hàm
phụ thuộc độ xốp và ứng suất thủy tĩnh, hàm chảy sẽ được phân tích như là hàm của
2 ứng suất chảy đặc biệt là ứng suất chảy trong trường hợp tải thuần túy ứng suất
lệch và thuần túy thủy tĩnh. Từ 2 ứng suất chảy này ta sẽ tìm hàm chảy dựa vào các
đặc tính hình học của mặt chảy khi biểu diễn trong khơng gian ứng suất chính.
Sau đó dùng hàm chảy tìm được ta sẽ phân tích ứng xử của vật liệu trong trường
hợp kéo trục và sự tăng bán kính lổ hổng trên phương kéo đơn trục. Trong đề tải
này ta bỏ qua các ảnh hưởng nứt dẻo và sát nhập lổ hổng khi xem xét quá trình biến

dạng của vật liệu xốp dẻo.


2

Chương I:

TỔNG QUAN

1.1. Giới thiệu
Trong chương này trước khi giới thiệu sơ lược các mơ hình lý thuyết về vật liệu xốp
dẻo ta sẽ tóm tắt một số vấn đề cơ bản về lý thuyết dẻo của vật liệu mạng khơng có
độ xốp. Vật liệu mạng được quan tâm ở đây là loại vật liệu von Mises đẳng hướng,
các lý thuyết về hàm chảy von Mises và biểu diễn hàm chảy trong khơng gian ứng
suất chính sẽ được trình bày trong phần đầu chương này. Tiếp theo đó các mơ hình
hàm chảy của vật liệu xốp dẻo đã có sẽ được phân tích sơ lược để ta có thể thấy
được sự khác biệt của chúng, từ các đặc điểm này trong chương tiếp theo ta sẽ áp
dụng chúng để xác định hàm chảy.

1.2. Lý thuyết dẻo
1.2.1. Không gian ứng suất chính
Với mỗi trạng thái ứng suất chính (σ1, σ2, σ3) ta có thể biễn trên 1 hệ trục tọa độ
Decartes Oσ1σ2σ3 như là 1 vector có dạng ሬሬሬሬԦ
OS = (σଵ , σଶ , σଷ ). Hệ trục tọa độ này có

3 trục tọa độ tương ứng với 3 thành phần ứng suất chính được gọi là khơng gian ứng
suất suất chính.
Trạng thái ứng suất ሬሬሬሬԦ
OS có thể phân tích thành 2 thành phần:
ሬሬሬሬԦ

ሬሬሬሬሬԦ + OD
ሬሬሬሬሬԦ
OS = OP

Trong đó ሬሬሬሬሬԦ
OP là thành phần nằm trên trục h là trục đi qua gốc tọa độ O và có vector

chỉ phương đơn vị là n
ሬሬሬሬԦ୦ = (

ଵ

,

ଵ

,

ଵ

√ଷ √ଷ √ଷ

O như được biểu diễn trong hình 1.1.

) và ሬሬሬሬሬԦ
OD là vector vng góc với ሬሬሬሬሬԦ
OP và ሬሬሬሬԦ
OS tại

3

σ1

S
h

D
P

O

σ2

Mặt phẳng lệch

σ3

Hình 1.1 – Khơng gian ứng suất chính
ሬሬሬሬሬԦ được xác định bằng cách xem OP
ሬሬሬሬሬԦ là hình chiếu của OS
ሬሬሬሬԦ lên trục h
Độ dài của OP
ሬሬሬሬሬԦห =
หOP

1

ሬሬሬሬሬԦห = OS.
ሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬԦ

หOP
n୦

√3

(σଵ + σଶ + σଷ ) = √3p

Với p là thành phần ứng suất thủy tĩnh:
p=

ሬሬሬሬሬԦ :
Như vậy ta xác định được vector OP

σଵ + σଶ + σଷ
3

ሬሬሬሬሬԦ = (p, p, p)
OP

Vì các thành phần của ሬሬሬሬሬԦ
OP là ứng suất thủy tĩnh p nên phương của của ሬሬሬሬሬԦ
OP tức là trục
h còn được gọi là trục thủy tĩnh.

ሬሬሬሬሬԦ được tính như sau:
Và OD


4

ሬሬሬሬሬԦ = OS
ሬሬሬሬԦ − OP
ሬሬሬሬሬԦ = (σଵ − p, σଶ − p, σଷ − p)
OD

ሬሬሬሬሬԦ thể hiện thành phần ứng suất lệch si:
Ta thấy OD

ሬሬሬሬሬԦ
OD = (σଵ − p, σଶ − p, σଷ − p) = (sଵ , sଶ , sଷ )

Vậy độ lớn của ሬሬሬሬሬԦ
OD có thể tính như sau:

ሬሬሬሬሬԦห = ඥ(sଵ )ଶ + (sଶ )ଶ + (sଷ )ଶ = ඥ2Jଶ
หOD

Vì các thành phần của ሬሬሬሬሬԦ
OD là thành phần ứng suất lệch nên mặt phẳng chứa ሬሬሬሬሬԦ
OD và

vng góc trục thủy tĩnh h được gọi là mặt phẳng lệch.

Như vậy với mỗi vector trạng thái ứng suất trong không gian ứng suất chính ta có
thể phân tích thành 2 thành phần gồn vector biểu diễn thành phần ứng suất thủy tĩnh
nằm trên trục thủy tĩnh và vector biểu diễn thành phần ứng suất lệch nằm trên mặt
phẳng lệch là mặt phẳng vng góc với trục thủy tĩnh.

1.2.2. Tiêu chẩn chảy chảy von Mises

Tiêu chuẩn chảy von Mises: Chảy khi bất biến Jଶ đạt giá trị tới hạn bằng. thường

được biểu diễn toán học:

Jଶ = k ଶ

J2 là bất biến thứ 2 của tensor ứng suất lệch:
Jଶ =

1
ሾ(σଵ − σଶ )ଶ + (σଶ − σଷ )ଶ + (σଷ − σଵ )ଶ ሿ
6

Gọi σ୭ là ứng suất chảy đơn trục của vật liệu, khi đó hàm chảy von Mises có thể
viết dưới dạng:

(σଵ − σଶ )ଶ + (σଶ − σଷ )ଶ + (σଷ − σଵ )ଶ = 2(σ୭ )ଶ

Tiêu chuẩn chảy von Mises lúc này được biểu diễn trong không gian ứng suất chính

có dạng 1 mặt trụ trịn có bán kính bằng ඥ2/3σ୭ như trong hình 1.2


5

σ1
h

Mặt phẳng lệch
σ1

O

σ3

σ2

O

σ2

σ3

Mặt phẳng lệch

Hình 1.2 - Mặt chảy von Mises 3 trục

Và trong trường hợp tải 2 trục sẽ được biểu diễn dưới dạng 1 đường ellipse có tâm
tại gốc tọa độ và các bán trục nằm xiên 45o so với các trục chính như trong hình 1.3.
Hàm chảy von Mises 2 trục có dạng:
(σଵ )ଶ + (σଶ )ଶ − σଵ σଶ = (σ୭ )ଶ
σ1
σo
σo
-σo

O

σ2

-σo

Hình 1.3 – Hàm chảy von Mises 2 trục


6

Ta gọi σୣ là ứng suất tương đương von Mises:

3
1
σୣ = ඨ s୧୨ s୧୨ = ඨ ሾ(σଵ − σଶ )ଶ + (σଶ − σଷ )ଶ + (σଷ − σଵ )ଶ ሿ
2
2

Khi đó hàm chảy von Mises được viết dưới dạng ứng suất tương đương như sau:
σୣ = σ୭

1.2.3. Biến cứng đẳng hướng
Ở đây ta chỉ xem xét trường hợp biến cứng đẳng hướng, tức là khi biểu biễn bề mặt
chảy chỉ thay đổi kích thước chứ khơng thay đổi hình dạng hay di chuyển. Từ mặt
chảy von Mises ban đầu:

σୣ = σ୭

Khi biến cứng sẽ trở thành:

σୣ = φ(εୣ ) > σ୭

Ta thấy rằng trong quá trình biến cứng mặt trụ von Mises trong khơng gian ứng suất

chính sẽ chỉ tăng kích thước bán kính và hình ellipse von Mises trong trường hợp tải
2 trục cũng sẽ tăng kích thước bán trục nhưng vẫn đồng dạng với hình ellipse ban
đầu như minh họa trong hình 1.4.
σ1

h

σ1

Biến cứng
Ban đầu
O

σ3

O

σ2

Ban đầu
σ2

Biến cứng
Hình 1.4 - Biến cứng đẳng hướng


7

Để xác định hàm φ ta cần phải dựa vào quan hệ ứng suất biến dạng đơn trục và 2
thông số: ứng suất tương đương và biến dạng tương đương. Ta định nghĩa biến dạng

tương đương εୣ tương tự như ứng suất tương đương σୣ :

σୣ = ට(3/2)s୧୨ s୧୨ dεୣ = ටCdε୧୨ dε୧୨

Với C là hệ số cần tìm, ta tìm C thơng qua trường hợp tải đơn trục và giả thiết vật
liệu không nén được và đẳng hướng, khi tải trên phương σ1 ta có:
൜

dεଵ
dεଵ + dεଶ + dεଷ = 0
→ dεଶ = dεଷ = −
dεଶ = dεଷ
2

ଶ
1
3
3
→ dεୣ = ටCdε୧୨ dε୧୨ = ඨC ቈ2 ൬ dεଵ ൰ ቉ = ඨC dεଵ
3
2
2

Vậy để có thể đảm bảo rằng quan hệ ứng suất biến dạng tương đương tổng quát sẽ
trở thành quan hệ ứng suất biến dạng đơn trục trong trường hợp tải đơn trục thì lúc
này trong biến dạng đương đương phải đúng bằng biến dạng đơn trục trên phương
chịu tải:
3
2
2

dεୣ = ඨC dεଵ = dεଵ → C = → dεୣ = ඨ ൫dε୧୨ dε୧୨ ൯
2
3
3

Khi đã có ứng suất tương đương σୣ và biến dạng tương đương εୣ , ta giả định mối

quan hệ σୣ − εୣ có dạng hàm tương tự như trong trường hợp tải đơn trục tức là hàm

φ trong:

σୣ = φ(εୣ )

cũng chính là hàm quan hệ ứng suất - biến dạng trong trường hợp tải đơn trục với
ứng suất tương đương thay cho ứng suất tải đơn trục và biến dạng tương đương thay
cho biến dạng trên phương chịu tải.
Thông thường quan hệ ứng suất - biến dạng đơn trục thực nghiệm được giả định có

dạng hàm phụ thuộc biến dạng tổng ε và các hằng số vật liệu k ୧ :
σ = φ(ε, k ୧ )


8

Các hằng số k ୧ được tìm dựa theo kết quả thực nghiệm sao cho hàm φ phù hợp nhất
với kết quả thực nghiệm trong vùng biến dạng dẻo, còn trong vùng đàn hồi quan hệ
ứng suất biến dạng vẫn tuân theo định luật Hooke như minh họa trong hình 1.4.
൜

σ = Eεkhiσ ≤ σ୭

σ = φ(ε)khiσ ≥ σ୭

σ

σ = φ(ε)

σ୭
σ = Eε
ε
Hình 1.4 – Quan hệ ứng suất biến dạng đơn trục

1.3. Vật liệu xốp dẻo
Các nghiên cứu về vật liệu có chứa lổ hổng sớm nhất có thể kế đến các nghiên cứu
tăng trưởng kích thước lổ hổng đơn độc tồn tại trong phân tố vật liệu von Mises chủ
yếu dùng dự đoán tăng trưởng lổ hổng và sự liên kết lổ hổng gây ra nứt dẻo của kim
loại. Các nghiên cứu có thể ra đây như Mclintock [1] dựa trên mơ hình lổ hổng hình
trụ tròn trong vật liệu mạng dẻo lý tưởng chịu kéo dọc theo trục lổ hổng và trên
phương bán kính vng góc với trục lổ hổng và Rice và Tracey [2] dựa trên mơ
hình lổ hổng hình cầu nằm trong vật liệu dẻo lý tưởng. Các nghiên cứu này giới
thiệu được hàm tăng trưởng kích thước của lổ hổng thơng qua lượng tăng bán kính
lổ hổng theo tải và biến dạng.
Nghiên cứu được sử dụng rông rải nhất là nghiên cứu của Gurson [3] vì đưa ra được
hàm chảy cho mơ hình lổ hổng đơn độc hình trụ trịn và hình cầu chứa trong phân tố
vật liệu von Mises đẳng hướng dẻo lý tưởng, các mơ hình vật liệu này có hình dạng
như minh họa trong hình 1.5.


9

σ1

σ1

vật liệu

vật liệu
lổ hổng

lổ hổng

σ3

σ2
σ2
σ3

Hình 1.5 – Mơ hình lổ hổng đơn độc hình trụ trịn và hình cầu Gurson

Trong đó hàm chảy Gurson gần đúng cho mơ hình lổ hổng hình cầu có dạng:
σୣ ଶ
3p
൰ − 1 − f ଶ = 0(1.1)
൬ ൰ + 2fcosh ൬
σ୭
2σ୭

với σ୭ là ứng suất chảy của vật liệu mạng, trong trường hợp vật liệu mạng biến
cứng đẳng hướng σ୭ được xem như hàm theo biến dạng.

σୣ và p lần lượt là thành phần ứng suất tương đương và ứng suất thủy tĩnh của tải:

3
σ୩୩
σୣ = ඨ σ୧୨ σ୧୨ p =
2
3

và f là độ xốp thể tích được tính bằng tỉ số của thể tích lổ hổng chia cho thể tích
tồn bộ phân tố.
Như vậy khi ta xem vật liệu mạng như là vật liệu von Mises và giả thuyết vật liệu
có đặc tính kéo nén giống nhau, hàm chảy trên được biểu diễn trong khơng gian ứng
suất chính với dạng hình trịn xoay đối xứng quanh trục thủy tĩnh h. Lúc này mặt
chảy biểu diễn bởi (1.1) sẽ nằm gọn trong mặt chẳy dạng mặt trụ von Mises của vật
liệu mạng như minh họa trong hình 1.6. Hình dáng của mặt chảy (1.1) sẽ thay đổi
cùng với độ xốp của vật liệu.


10

σ1
h

mặt phẳng lệch
σ1

Von Mises
Gurson
σ3

σ3

σ2

σ2
Hình 1.6 - Mặt chảy Gurson

Vì mặt chảy này có dạng mặt trịn xoay đối xứng quanh trục thủy tĩnh h nên ta có
thể biểu diễn thơng quan hệ σe-p. Để tiện lợi khi biểu diễn, quan hệ σe - p được thay
bằng quan hệ

஢౛

஢౥

−

୮

஢౥

với cùng ý nghĩa như trong hình 1.7. Khi độ xốp bằng 0, vật

liệu có ứng xử giống như vật liệu mạng dạng von Mises và khi độ xố tăng dần lên
thì vật liệu bị mềm hóa và mất dần khả năng chịu tải nên mặt mặt giảm dần về gốc
tọa độ khi độ xốp tăng dần tới 1 tức là khi không còn vật liệu mạng.
σe/σo

f=0, von Mises

1
0.8

f = 0.05
f = 0.1

0.6

f = 0.2

0.4

f = 0.5
0.2

p/σo

f →1

0
0

0.5

1

1.5

2

Hình 1.7 - Hàm chảy Gurson biểu diễn bằng quan hệ σe/σo - p/σo

2.5


11

Dựa trên kết quả mô phỏng số cho thấy mô hình Gurson chỉ cho kết quả đúng với
các độ xốp nhỏ và mơ hình lý tưởng lổ hổng hình cầu trong phân tố vật liệu hình
cầu, Tvergaard [4], [5] điều chỉnh hàm chảy Gurson 1.1 cho mơ hình lổ hổng trịn
phân bố đều 2 chiều như hình 1.8a và lổ hổng cầu phân bố đều dọc theo thanh trụ
tròn như hình 1.8b:
σ1

σ1

σ2

(a) Tvergaard [4]

σ2

(b) Tvergaard [5]

Hình 1.8 – Mơ hình lổ hổng của Tvergaard [4] và [5]

Hàm điều chỉnh Tvergaard có dạng:

σୣ ଶ
3qଶ p
൰ − 1 − (qଵ f)ଶ = 0(1.2)
൬ ൰ + 2qଵ fcosh ൬

σ୭
2σ୭

Các kết quả từ [4] và [5] đề nghị q1 = 1.5 và q2 = 1 để có kết quả phù hợp với mơ
phỏng số cho các mơ hình nêu trên. Ta thấy hàm (1.1) chính là hàm (1.2) với các hệ
số q1 = q2 = 1. Một số tác giả cũng thực hiện tương tự với q2 = 1 và các kết quả q1
như sau: Koplik và Needleman [6] với q1 = 1.25, Perrin và Leblond [7] với q1 =
1.47. Ngoài ra các tác giả như Mear - Hutchinson [8], Dũng [9], Leblond [10],
Thiện [11] cũng sử dụng dạng (1.2) nhưng có kể đến đặc tính biến cứng của vật liệu
mạng.


12

Perrin - Leblond [7] cũng nhận xét dựa theo kết quả thực nghiệm của Hancock [12]
và Becker [13] rằng q1 trong khoảng 1.5 tới 2. Có thể thấy các giá trị dựa vào mô
phỏng số nhỏ hơn thực nghiệm do khơng kể đầy đủ ảnh hưởng của việc hình thành
lổ hổng mới cũng như sát nhập lổ hổng.
Ngoài dạng hàm cosh như đã nêu trên cịn có dạng hàm hàm chảy thể hiện quan hệ
σe - p hàm đa thức dạng đường ellipse như của Guennouni - Francois [14], dù hàm
chảy của các tác giả này cho kết quả phù hợp với kết quả số hơn hàm chảy Gurson
nhưng dạng hàm giải tích lại rất phức tạp. Ngồi ra các tác giả Perrin và Leblond [7]
cũng đề nghị dùng dạng hàm gần đúng được đề nghị từ Gurson [3] với dạng:
A(σୣ )ଶ + B(p)ଶ − 1 = 0(1.3)
với A và B là các hàm theo độ xốp f. Tuy nhiên việc tìm trực tiếp các hàm A và B
dẫn đến các kết quả phức tạp nên các tác giả đền nghị tìm A và B sao cho (1.3) có
kết quả phù hợp với (1.2).
Các kết quả đáng chú ý khác của của tác giả Castaneda [15] sử dụng phương pháp
được đề nghị bởi Talbot và Willis [16] và các kết quả có dạng tương tự [15] của
Willis [17], Talbot và Willis [18], Haghi - Anand [19] như đã được phân tích bởi

Leblond [20]. Kết quả từ [15] thể hiện ở (1.4) cũng có quan hệ σe - p là hàm đa thức
dạng tương tự như (1.3):
2
σୣ ଶ 9 p ଶ
(1 + f) ൬ ൰ + f ൬ ൰ − (1 − f)ଶ = 0(1.4)
σ୭
4 σ୭
3
Như vậy, tổng hợp các hàm chảy các dạng từ [1.1]…[1.4] như đã nêu trên ta thấy
các dạng đường cong quan hệ σe - p là tương đối giống nhau, khác biết lớn nhất là ở
chính là ở 2 điểm A và B như trong hình 1.9. Ta có thể dễ dàng thấy rằng 2 điểm A
và B này lần lượt là điểm chảy khi tải là thuần túy ứng suất lệch (tại A ta có p = 0)
và thuần túy thủy tĩnh (tại B ta có σe = 0).


13

σe/σo
von Mises

1

A

0.8
0.6

Gurson
Tvergaard, q1=1.5

0.4
Ponte Castaneda

f = 0.05

0.2

p/σo

B

0
0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Hình 1.9 - So sánh các mặt chẳy dạng với độ xốp 0.05

Từ các hàm chảy trên, các tác giả đưa ra giả thuyết rằng vì bản thân vật liệu mạng là
vật liệu khơng nén được nên lượng thể tích vật liệu mạng là khơng thay đổi trong

quá trình biến dạng, như vậy lượng thể tích tồn bộ vật liệu xốp dẻo tăng thêm
chính là lượng thể tích lổ hổng tăng thêm. Giả thuyết này giúp dự đốn lượng tăng
độ xốp trong q trình biến dạng qua đó giúp dự đốn sự phá hủy vật liệu do nứt
dẻo khi độ xốp tăng tới một gía trị nhất định. Các tác giả sử dụng mơ hình này này
để dự đoán nứt dẻo bằng cách xem độ xốp là hàm tăng theo biến dạng làm vật liệu
giảm dần khả năng chịu tải trong quá trình biến dạng như Tvergaard – Needleman
[21], Becker – Needleman [22], Zhang [23], Liang Xue [24], Nahshon – Hutchinson
[25].
Ngoài ra nhiều tác giả cũng nghiên cứu ảnh hưởng của hình dáng lổ hổng như
Gologanu - Leblond – Devaux [26], Danas [27] và ảnh hưởng của tính chất bất đẳng
hướng của vật liệu mạng như Wang [28], Monchiet [29]. Các kết quả trên cho thấy
lúc này mặt chảy khơng cịn dạng trịn xoay quanh trục thủy tĩnh mà có hình dạng
lệch đi tùy thuộc vào hình dáng lổ hổng và sự bất đẳng hướng của vật liệu mạng.