Toán 1 bài giảng điện tử

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK
-------------------------------------------------------------------------------------

BGĐT – TỐN 1
PHÉP TÍNH VI – TÍCH PHÂN HÀM
MỘT BIẾN
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006)

1


ĐỀ CƯƠNG
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Thời lượng trên lớp: 3 tiết/tuần x 14 = 42 tiết/Học kỳ
Mơn học: Tốn 1
STT
1
2
3
4
5
6
7
8

MSMH: 006038

Số tín chỉ: 2

NỘI DUNG

SỐ SLIDE
Dãy số và giới hạn dãy số
20
Giới hạn hàm số
31
Hàm số - Hàm sơ cấp – Tính liên tục
19
Đạo hàm
21
Khai triển Taylor – Mac Laurint
41
Khảo sát hàm số
86
Tích phân
30
Ứng dụng tích phân
80
Tổng cộng
328

2


GIÁO TRÌNH
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giáo trình:
1/ Giải tích hàm một biến - BM Tốn ứng dụng – ĐHBK
2/ Giải tích hàm một biến – Tác Giả: Đỗ Cơng Khanh
3/ Tốn học cao cấp (Tập hai) - Nguyễn Đình Trí (chủ biên)

Ý kiến đóng góp xin gửi về:
Địa chỉ Website: />Trong q trình thực hiện bài giảng, tác giả đã tham khảo bài
giảng Calculus 1 (Tiếng Anh, GS. Nguyễn Hữu Anh) và bài
giảng Tốn 1 (GVC. Ngơ Thu Lương). Xin chân thành cảm 3ơn.


BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK
-------------------------------------------------------------------------------------

BGĐT – TỐN 1
BÀI 1: DÃY SỐ & GIỚI HẠN
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006)

1


NỘI DUNG
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1- Khái niệm dãy số. Ba cách xác định dãy số
2- Ý tưởng giới hạn dãy số
3- Định nghĩa giới hạn dãy số. Dãy hội tụ, phân kỳ
4- Tính chất của giới hạn dãy số
5- Phương pháp tìm giới hạn dãy số. Định lý kẹp
6- Dãy đơn điệu. Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn. Số e
7- Dãy con. Tiêu chuẩn phân kỳ

2

1. KHÁI NIỆM DÃY SỐ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dãy số {xn}: Tập hợp các số đánh số thứ tự liên tiếp nhau:
x1, x2 … xn … x1: số hạng thứ 1, …, xn: số hạng tổng quát.
VD: Dãy các số tự nhiên 1, 2, 3, … , n , … Þ Số hạng tổng
quát: xn = n với n ³ 1.
VD: Dãy nghịch đảo các số tự nhiên 1, 1/2, 1/3, … , 1/n , …
Þ Số hạng tổng quát: xn = 1/n, n ³ 1.
VD: Dãy 1, –1, 1, –1 … Þ Số hạng tổng quát: xn = (–1)n – 1 ,
n ³ 1 (hoặc xn = (–1)n , n ³ 0: Có thể đánh số lại dãy số!)
Dãy số có số hạng đầu tiên, nhưng khơng có số hạng chót!

3


1. BA CÁCH XÁC ĐỊNH DÃY SỐ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mô tả (bằng lời): Đặc tính các số
hạng của dãy. VD: Dãy số tự
nhiên, dãy số chẵn, số lẻ …
Dãy số {xn} có

Cơng thức (biểu thức số hạng

thể

tổng quát): xn = f(n) : N ® R. VD:

được

xác

định bởi 3 cách:

xn = n2 Þ Dãy số chính phương
Truy hồi: xn (số hạng đứng sau)
được tính bởi xn

– 1

(số hạng

đứng trước). VD: xn = 2 + xn -1

4


1. VÍ DỤ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Các ví dụ dãy số được xác định hoặc bằng cách đưa ra
công thức tổng quát, hoặc viết ra vài số hạng của dãy
¥

n
ì n ü

an =
í ý
n +1
ợn +1ỵn=1
ỡ(-1)n (n +1)ỹ
(-1)n (n +1)
ớ
ý an =
n
n
3
3
ỵ
ợ

{ n-3}

Ơ

n=3
Ơ

ỡ nỹ
ớcos ý
ợ 6 ỵn=0

an = n -3, n 3
n
an = cos , n ³ 0
6

n
ì1 2 3
ü
,Lý
í , , ,L,
ỵ2 3 4 n +1 ỵ
ỡ 2 3 4
(-1)n (n +1) ỹ
,Lý
ớ- , ,- ,L,
n
3
ợ 3 9 27
ỵ

{0,1,
ỡ
ớ1,
ợ

}

2, 3,L, n -3,L
3 1
n ỹ
, ,0,L, cos ,Lý
2 2
6 ỵ
5

1. VD DÃY XÁC ĐỊNH QUA MÔ TẢ & DÃY TRUY HỒI
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dãy số có thể được xác định qua cách mô tả (bằng lời):
(a) Dãy {sn}, với sn – dân số của Việt Nam vào năm thứ n
(b) Ký hiệu cn – chữ số thập phân thứ n sau dấu phẩy
của số p Þ Dãy {cn} = {1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 4 … }
Dãy số xác định theo kiểu truy hồi: Dãy Fibonacci với
công thức truy hồi:

f1 = 1

f2 = 1

fn = fn-1 + fn-2

n³3

{fn} = {1,1,2,3,5,8,13,21,…}
6


2. Ý TƯỞNG: GIỚI HẠN DÃY SỐ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bằng máy tính, lập bảng giá trị các số hạng của 2 dãy số:
n

2
1 (- 1)
n
b / yn = + 2
a / xn = 2
2
n
2n + 1
x1
n

xn

yn

1

0.3333

–0.5

2

0.4444

0.75

3

0.4737

0.3889

4

0.4848

0.5625

5

0.4902

0.46

y1

x2 x3 x4 x5 0.5
y3

y5 0.5 y4

y2

Khi n tăng, số hạng xn (và yn)
ngày càng tiến sát đến L = 0.5
theo nghĩa: Khoảng cách |xn–L|
sẽ rất bé nếu chọn n đủ lớn 7

2. NGƠN NGỮ GIẢI TÍCH: e – N0

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngơn ngữ Giải tích: Khoảng cách |xn – L| rất bé nếu n đủ lớn
· |xn – L| rất bé Û "e > 0 sẽ có |xn – L| < e (n thỏa đk nào đó)
· n đủ lớn Û Tìm được số tự nhiên N0 & chỉ xét n > N0
n2
1
1
n2
1
- =
VD trước: xn = 2 , L = Þ xn - L = 2
2n + 1 2 2(2n 2 + 1)
2n + 1
2
a / xn - L < e = 0.01 Û n > 4.95 : Choïn N 0 = 4

b / e = 0.001 Þ N 0 = ?

Trả lời: e = 0.001 Þ N 0 = 15

c / e bất kỳ Þ N 0 = ?

é 1ỉ 1
ù
ư
ĐS: N 0 = ờ ỗ - 1ữ ỳ (Giaỷi thớch : [a] - số nguyên lớn nhất £ a)
8

ë 2 è 2e ø û


3. ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN DÃY SỐ THỰC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa: Dãy số {xn} tiến đến L (hoặc có giới hạn là L):
lim xn = L Û " e > 0, $ N 0 : xn - L < e " n > N 0
n đƠ

Khi dóy s tin n L: ta nói dãy hội tụ (và có giới hạn là L)
Trường hợp ngược lại: ta nói dãy phân kỳ
Ký hiệu: lim xn = L
n đƠ

n2
1
Vớ d: Cõu (c) vớ d trc cho phộp thit lp: lim 2
=
n đƠ 2n + 1
2
Nhn xét: xn - L < e Û - e < xn - L < e Û L - e < xn < L + e
Û Số hạng xn (kể từ n > N0) Ỵ đoạn [L – e, L + e] ® Minh họa:
L
9
x1
x
x1000
L - e x N 0 +1

N0 +2 L + e


3. MINH HỌA HÌNH HỌC DÃY HỘI TỤ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các điểm (n, xn) với dãy
số {xn} có giới hạn bằng L

L

{xn} ® L Û Điểm (n, xn) tiệm cận đường y = L (nằm ngang)
10


3. MINH HỌA HÌNH HỌC DÃY PHÂN KỲ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Biểu diễn trên mặt phẳng các điểm (n, xn) với xn = (–1)n.
Từ đó kết luận về bản chất hội tụ hoặc phân kỳ của dãy

Vô số số hạng của dãy = 1 và = –1 Þ Dãy khơng tiến đến
giá trị L nào Þ Phân kỳ!

11


3. GIỚI HẠN VÔ CÙNG – DÃY BỊ CHẶN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Khi xn ® ±¥ (xem định nghĩa dưới), ta nói dãy {xn} có giới
hạn vơ cùng. Nhưng Giới hạn vơ cùng vẫn là phân kỳ!
lim xn = ¥ Û " M , $ N 0 : xn > M " n > N 0
n đƠ

lim xn = -Ơ " M , $ N 0 : xn < M " n > N 0
n đƠ

Dóy {xn}: b chn trờn $ M: xn < M "n. {xn}: bị chặn dưới
Û $ m: xn > m "n. {xn} bị chặn Û Bị chặn trên lẫn dưới.
VD: Dãy xn = 1/n chặn trên bởi 1 và dưới bởi 0 Þ Bị chặn!
12
Hiển nhiên ta có: Dãy bị chặn Þ Khơng có giới hạn vơ cùng


4. PHÉP TỐN & TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nếu {xn}, {yn} là các dãy số hội tụ và a, b là hằng số thì:
lim (axn + byn ) = a lim xn + b lim yn
n đƠ

n đƠ

lim ( xn yn ) = lim xn ì lim yn
n đƠ

n đƠ

n đƠ

n đƠ

xn
xn lim
lim
= nđƠ neỏu lim yn ạ 0
n đƠ y
n đƠ
lim yn
n
n đƠ

[

lim xnp = lim xn
n đƠ

nđƠ

] neỏu p > 0 và x
p

n

>0

f: hàm sơ cấp Þ f(lim xn) = lim f(xn). VD: lim e = e
xn

lim xn

n đƠ

n đƠ

Dóy hi t ị B chn. (ĩ): Sai! $ dãy bị chặn nhưng phân
13 kỳ


4. LIÊN HỆ GIỮA GIỚI HẠN DÃY VÀ GIỚI HẠN HÀM
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nếu lim f ( x ) = L và dãy {an} có an = f(n) " n Þ lim an = L.
x đƠ

n đƠ

Nh vy, khi tỡm gii hn dóy số, ta có thể thay n bằng x:
lim an = lim f (n ) = lim f ( x ) = L (chỉ dùng khi a n ở dạng f(n))
n ®¥

n ®¥

x ®¥

1
1
Áp dụng: Vì lim r = 0, r > 0 Þ Vậy ta có lim r = 0, r > 140
x đƠ x

n đƠ n


5. PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chuyển về các giới hạn cơ bản & thay vào biểu thức cần tính
giới hạn (nếu giá trị biểu thức xác định)
ìa > 1 Þ lim a n = Ơ
ỡa > 0 ị lim na = Ơ
ù
ù
n đƠ
n đƠ
Hm m: ớ
Ly
tha:
ớ
n
a
0
<
a
<
1
ị
lim
a
=
0

a
<
ị
n
=0
0
lim
ùợ
ùợ
n đƠ
n đƠ

2n 2 + 1
5n - 2 n
VD: Tính các giới hạn: a / lim 2
b / lim
n đƠ n - 1
n đ Ơ 2 × 5 n + 3n
2
n
2
2
n
(
)
n
2
+
lim
1

n (2 + 1 n )
5
1
(
2
5
)
1
n đƠ
=
= 2 b / lim n
=
Gii: a / lim 2
n
2
2
n đƠ n (1 - 1 n )
n đƠ 5 2 + (3 5)
1 - lim(1 n )
2
n đƠ

1
VD: Tỡm lim n sin
n đƠ
n

(
(

x =1 n đ0
1
sin x
Gii: lim sin 1 n = lim
=1
n đƠ
x đ0
n
x

)
)

15


5. TIÊU CHUẨN 3 DÃY KẸP

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho 3 dãy {xn}, {yn}, {zn}
ìï xn £ yn £ zn " n ³ N 0
Þ $ lim yn & lim yn = a
í lim x = lim z = a
n đƠ
n đƠ
ùợnđƠ n nđƠ n

xn £ y n £ z n
a

Hệ quả (hay sử dụng): lim xn = 0 Þ lim xn = 0
n ®¥

n
(
- 1)
VD: Tìm các giới hạn a / lim
n ®¥
n
(
- 1)
Gii: a / lim
n đƠ

n

n đƠ

10 ử
ổ
c / lim ỗ ữ
n đƠ ố n ứ
n
n
(
1
- 1)
= lim = 0. Tửứ heọ quaỷ ị lim
=0

n đƠ n
n đƠ
n
n!
b / lim n
n đƠ n

n

10 ử ổ 1 ử
n! 1ì 2K n 1
n!
ổ
b/ 0 < n =
< đ 0 ị lim n = 0 c / ỗ ữ < ỗ ữ "n16> 20
n đƠ n
n
n ì nK n n
ố n ứ ố2ứ
n

n


6. DÃY ĐƠN ĐIỆU
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dãy số {xn} được gọi là tăng khi xn < xn+1 với mọi n ³ 1, và
giảm nếu xn > xn+1 với mọi n ³ 1. Dãy tăng và dãy giảm
được gọi chung là dãy đơn điệu.

Dãy tăng được viết ở dạng: x1 < x2 < x3 < … < xn < xn+1 < …
Dãy giảm được viết ở dạng: x1 > x2 > x3 > … > xn > xn+1 > …
2
n+3
2
2
Giải: Dãy giảm do (hoặc xét xn – xn+1): xn =
>
= xn +1
n+3 n+4
2
-2
< 0 Þ f ¯ Þ f (n ) > f (n + 1)
Cách 2: f ( x ) =
, x ³ 1: f ' =
2
x+3
17
( x + 3)
VD: Khảo sát tính đơn điệu của dãy xn =


6. TIÊU CHUẨN DÃY ĐƠN ĐIỆU BỊ CHẶN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tiêu chuẩn Weirstrass: Dãy tăng & chặn trên thì hội tụ
Dãy giảm & chặn dưới thì hội tụ
VD: Khảo sát tính hội tụ của xn = 1 +

1

+

2

+L+

1
2

n

=å

1

2
3
n
k
k =1
1
> xn Þ Dãy tăng
Giải: Bước 1: Tính đơn điệu xn +1 = xn +
2
(n + 1)
1
1
1
+

+K+
=
Bước 2: Dãy bị chặn trên: xn < 1 +
1× 2 2 × 3
(n - 1)n
1ư ỉ 1 1ư
1
1ư
1
ỉ
ỉ
= 1 + ỗ1 - ữ + ỗ - ữ + K + ỗ
- ữ = 2 - < 2 ị Hội tụ
n
è 2 ø è 2 3ø
è n -1 n ứ

2

2

1

1
1 ử p2
ổ
L. Euler tỡm c: limỗ1 + 2 + K + 2 ÷ = ! Cách giải cơ bản
n ®¥è
2
n ø 6

dựa trên kthức … lớp 9 (!), được Erdos gọi: Cminh của Chúa
18


6. S e
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------n

1ử
ổ
Mnh : Dóy s xn = ỗ1 + ÷ , n ³ 1 tăng và bị chặn trên
nø
n ố
1ử
ổ
H qu: $ lim ỗ1 + ữ Gii hn ny ký hiu l s e ằ 2.718
n đƠ ố
nứ
n

1ử
1
ổ
Chng minh: Bc 1: Tng: xn < xn +1 ỗ1 + ÷ < 1 +
(1)
n +1
è nø
Bđthức Côsi cho (n+1) số dương: n số = (1 + 1/n), 1 số = 1 Þ (1)
n +1

Bước 2: Chặn trên: Khai triển nhị thức Newton và biến đổi:

1 ỉ 1ư
1 ỉ 1 ưỉ 2 ử
1
1
xn = 2 + ỗ1 - ữ + K + ỗ1 - ữỗ1 - ữ K < 2 + + K n -1 < 3 : ñpcm
n! è n øè n ø
2! è n ø
2
2
L. Euler chứng minh: eix = cosx + isinx, x ẻR ị eip = 1 (*)
19
Hệ thức (*) liên hệ e, i và p , được gọi là Công thức của Chúa!


7. DÃY CON – TIÊU CHUẨN PHÂN KỲ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho dãy {xn} Þ Dãy con của dãy {xn}:

{xn ,L, xn ,L}, n1 < L < nk < L , klim
nk = Ơ
đƠ
1

k

VD: Dãy con:
a /{x2 n } b /{x2 n +1}

lim xn = a Û Mọi dãy con của {xn} đều ® a: lim xnk = a

k đƠ

Dóy{xn} hi t Mi dãy con của {xn} đều có cùng giới hạn

Dãy {xn} phân kỳ Û

$ một dãy con phân kỳ của dãy {xn}
$ hai dãy con hội tụ có lim ¹ nhau

VD: Chứng tỏ dãy {xn} = {(–1)n} phân kỳ. Giải: Xét x2n & x20
2n+1


BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG – ĐHBK
-------------------------------------------------------------------------------------

BGĐT – TỐN 1
BÀI 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ

TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006)

1


NỘI DUNG
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1- GIỚI THIỆU: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
2- Ý TƯỞNG GIỚI HẠN HÀM. ĐỊNH NGHĨA HÌNH THỨC
3- ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN (NGÔN NGỮ e – d)

4- GIỚI HẠN VÔ CÙNG - TẠI VƠ CÙNG – 1 PHÍA
5- TÍNH CHẤT VÀ PHÉP TÍNH TRÊN GIỚI HẠN
6- PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN - KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH
7- GIỚI HẠN KẸP
8- ĐỊNH NGHĨA NGƠN NGỮ DÃY. CM KHƠNG CĨ G.HẠN
9- VƠ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN

2