BÀI HỌC TRỰC TUYẾN TUẦN 20.4.2020 - LỚP 11

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (BUỔI 2) </b>

<b>2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực </b>

<b>Định nghĩa: SGK/128 </b>
<b>Kí hiệu: </b> lim

 

 

<i>x</i> <i>f x</i> <i>L</i>
lim

 

 

<i>x</i> <i>f x</i> <i>L</i>

<b>3. Giới hạn vô cực của hàm số: </b>

<b>Định nghĩa: SGK/129 </b>

<b>Một vài quy tắc về giới hạn vô cực: SGK/130, 131. </b>
<b> Một số giới hạn cơ bản: </b>

 *

lim ,

   

<i>k</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>k</i>

 lim ,

  

<i>k</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i><b>k chẵn </b></i>

 lim ,

  

<i>k</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i><b>k lẻ </b></i>

 1



*



lim <i>_k</i> 0
<i>x</i><i>_x</i>  <i>k</i>

<b> </b>





*



lim , lim <i>_k</i> 0

<i>x</i> <i>x</i>

<i>c</i>

<i>c</i> <i>c</i> <i>k</i>

<i>x</i>

     <b> </b>

<b>Lưu ý: </b>

<b> Việc tính giới hạn hàm số tại vô cực tương tự như giới hạn dãy số đã học. </b>

<b> Nếu đề ghi 𝒙 → ∞ hay 𝒙 → ±∞ thì ta xét 2 trường hợp rõ ràng 𝒙 → +∞ và 𝒙 → −∞ </b>

<b>Ví dụ 1. Tính: </b>
2
2

6 3 1

) lim

3 2 3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>a</i>

<i>x</i> <i>x</i>



 

 



 





 



2 4

5

3 1 1

) lim

2 2 3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>b</i>

<i>x</i> <i>x</i>



 

 

4 3
4 2

2 1

) lim

3 2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>c</i>

<i>x</i> <i>x</i>



 

 
<b>Giải: </b>

2

2

6 3 1

) lim

3 2 3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>a</i>

<i>x</i> <i>x</i>



 

 

Chia cả tử và mẫu cho <i>x</i>2

2 ₂

2

2

3 1
6

6 3 1 6

lim lim 2

2 3

3 2 3 ₃ 3

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 

 

  _ _{ }

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

















2
4 ₂
5

3

3 1 1

) lim

2 2 3

<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>b</i>
<i>x</i> <i>x</i>

 
 

















 

4 2 4 2

4 4

2

4 ₂ ₂

4

2 2

5 5 5 5

3

3 5

3 3

1 1 1 1

3 1 3 1

3 1 1 3 1 81

lim lim lim

2.1 2

2 2 3 2 3 2 3

2 1 2 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  
 _   _   _   _ 
       
  _ _ _ _ _ _{ } _ _
   
   _   _   _  _ 
      
      
4 3
4 2
2 1
) lim
3 2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>c</i>
<i>x</i> <i>x</i>

 
 
Vì:

4 3 ₄

4 2

2 4

1 1

2

2 1 2

lim lim 2

3 2

3 2 ₁ 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
 
 
  _ _{ }
  _ _
Nên:
4 3
4 2
2 1
lim 2

3 2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

  _
 

<i><b>Bài tập áp dụng 1. Tính: </b></i>

2
2
2 6
) lim
3 1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>a</i>
<i>x</i>

 

 2

5 3
) lim
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>b</i>

<i>x</i>



3
2 3

6 8 6

) lim

1 2 3

<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>c</i>
<i>x</i> <i>x</i>

 
 
3 1
) lim
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>d</i>

<i>x</i> <i>x x</i>
















3
4 2
2
5 2

2 5 3

) lim
25 7
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>e</i>
<i>x</i> <i>x</i>

 
 
3 1
) lim
8 3
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
<i>x</i>




<b>Ví dụ 2. Tính: </b>
2
2 3
) lim
1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>a</i>
<i>x</i>

 

2
2 3
) lim
1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>b</i>
<i>x</i>

 
 <b> </b>
2
3
3
2 3
) lim
1
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>c</i>
<i>x</i> <i>x</i>

 
  <b> </b>
<b>Giải: </b>
2
2 3
) lim
1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>a</i>
<i>x</i>

 

2

2 2 2 2

2 3 2 3 2 3 2 3

1 1 1 1

1

lim lim lim lim 1

1

1 1 1 ₁ 1

1 1 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2

2 3

) lim

1

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>b</i>

<i>x</i>



 


2

2 2 2 2

2 3 2 3 2 3 2 3

1 1 1 1

1

lim lim lim lim 1

1

1 1 1 ₁ 1

1 1 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

    

 _{ }   _{ }   _{ }  _  _{ } 

       _{ }

       

      

 _   _   _  _

     

   



 

2

3

3

4 2 3

) lim

1

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>c</i>

<i>x</i> <i>x</i>



 

 

2

2 2

3

3 3

2 3 2 3

2 3 2 3

4 . 4

lim lim

1 1 1 1

1 . 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

 _{ }   _{ } 

   

   

 

 _ _   _ _ 

   

   

<b> </b>

Khi

2 2

3

3 3

2 3 2 3

2 3 2 3

. 1 1

1

lim lim 1

1

1 1 1 1

. 1 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>L</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

 _{ }   _{ } 

   

   

      

 _ _   _ _ 

   

   

<b> </b>

Khi

2 2

3

3 3

2 3 2 3

2 3 2 3

. 1 1

1

lim lim 1

1

1 1 1 1

. 1 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>L</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

   

 _   _  _   _



   

       

 _ _   _ _ 

   

   

<b>GIỚI HẠN DẠNG </b>


<b>Phương pháp: Rút x bậc cao nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung </b> Rút gọn.

<b>Chú ý: </b> 2 , 0

, 0

<i>x khi x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

<i>x khi x</i>




 _{ }

 

 <b> </b>

<b> </b>3 <i>x</i>3  <i>x</i>, <i>x</i> <b> </b>
<b> </b> <i>x</i>4 <i>x</i>2, <i>x</i> <b> </b>

<i><b>Bài tập áp dụng 2. Tính: </b></i>

2

4 1

) lim

3 1

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>a</i>

<i>x</i>





 

   

  
2

2

2 3 1 4

) lim

4 1 2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>b</i>

<i>x</i> <i>x</i>



 

 

4
3 3

6 3

) lim

5 3 1

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>c</i>

<i>x</i> <i>x</i> 

 

2

3 3

2 1
) lim

1

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>d</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Ví dụ 3. Tính: </b>
<b> </b>

4 3
2

3 1

) lim

3 2 1

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>a</i>

<i>x</i> <i>x</i>



  

 

4 3 2

) lim 5 3 2 1

<i>x</i>

<i>b</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

    <b> </b>

<b>Giải: </b>

4

4

3 4

3

2

3 4
2

2

2
2

3 1 1 ₃ ₁ ₁

1 ₁

lim lim .

2 1
2 1

3
3

3 1

) lim

3 2 1 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>a</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

  

  _ _    __     _{ }

 

 _{ }  _ _{ } _



 

  _ _

 

Vì: lim 2
<i>x</i><i>x</i>

  

3 4

2

3 1 1

1

1

lim 0

2 1 ₃

3
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>



  

  

 

4 2

2

2

4

4 3

2 4

3 2 1 3 2 1

lim

) lim 5 3 2 1 5 lim 5

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>b</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

 

 

   

  _ _  _    _ 

  _ _


Vì: lim 2

<i>x</i><i>x</i>

  

lim 5 3 2₂ 1₄ 5 0

<i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>

     

<i><b>Bài tập áp dụng 3. Tính: </b></i>



 


2

7 3 2

) lim

3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>a</i>

<i>x</i>

2

) lim 3 4 5

<i>x</i>

<i>b</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

4 3

3 1

) lim

3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>c</i>

<i>x</i>



  



<b>Ví dụ 4. Tính: </b>



2



) lim 2 2

<i>x</i>

<i>a</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

    <b> </b>





2

) lim 2 2

<i>x</i>

<i>b</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

    <b> </b>

<b>Giải: </b>



2



) lim 2 2

<i>x</i>

<i>a</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

   

2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

lim 1 lim 1 lim 1 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>

 _ _  _ _   

 _  _   __ _  _   __ _ _    __

   

      

      <b> </b>

<b>Vì: </b> lim
<i>x</i><i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b> </b> lim 1 1 2 2₂ 1 1 2 0

<i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>

 

 _    _   

 



2



) lim 2 2

<i>x</i>

<i>b</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

   



2



2



₂



₂



2 2 2

2 2

2 2 2 2 ₂ ₂ ₂ ₂

lim lim lim

2 2 2 2 2 2

2 ₂

2 ₂

2

lim lim 1

2

2 2 2 2

1 1 1 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>_x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

 

      _ _ _ _

  

        

 _ 



 

 

   

     

<b> </b>

<i><b>Bài tập áp dụng 4. Tính: </b></i>

c)   lim
𝑥→−∞ 𝑥

2_{+ 2 − 𝑥}
𝑎)   lim

𝑥→−∞ 3𝑥 + 16𝑥

2_{− 7𝑥 + 3}

𝑑)   lim
𝑥→−∞ 𝑥

2_{− 𝑥}4_{− 4}
𝑏)   lim

𝑥→+∞ 𝑥

</div>

<!--links-->