Chuyên đề Luyện thi vào đại học Lượng giác - Trần Văn Hạo chủ biên

TRAN VAN HAO

(Chu bién)

NGUYEN CAM

NGUYEN MONG HY

TRAN DUC HUYEN Ề

NGUYEN SINH NGUYÊN
NGUYÊN VŨ THANH

~

ox “4 UYE

N

3. a

CaN

LUYE
.

N

THỊ

VAO DAI HOC

LUONG GIAC

NHA XUAT BAN GIAO DUC VIET NAM
ia

TA

SS


;

TRAN VAN HẠO (Chủ biên)

-

NGUYEN CAM - NGUYEN MONG HY - TRAN DUC HUYEN

CAM DUY LE - NGUYEN SINH NGUYEN - NGUYEN VU THANH

CHUYEN DE LUYEN THI VAO BAI HOC

LUONG GIAC

BIEN SOAN THEO CHUONG TRINH TOAN THPT NANG CAO HEN HANH
(Tái bản lần thứ năm có chỉnh lí và bỗ sung)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

- 32-2009/C XB/1 13-16/GD

Mã số : PTK2319 - LKT


Loi noi dau
Bộ sách Chuyên đề luyện thi vào Đại học được biên soạn nhằm mục
đích giúp các em học sinh lớp 12 có thêm tài liệu tham khảo, năm vững
phương pháp giải các dạng bài toán cơ bản, thường gặp trong các kì thi
tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng hàng năm.
Nội dung bộ sách bám sát theo chương trình bộ mơn Tốn THPT
nâng cao hiện hành và Hướng dẫn ôn tập thi tuyển sinh vào các trường Đại

học và Cao đăng mơn Tốn của Bộ, Giáo dục và Đảo tạo. Bộ sách gồm 7
tập, tương ứng với 7 chuyên đề :

1. Đại số
2. Lượng giác

3. Hình học khơng gian
4. Hình học giải tích

5. Giải tích - Đại số tổ hợp
6. Khảo sát hàm số.
7. Bắt đăng thức
Tập

sách “Chuyên

đề luyện thì vào Đại học : Lượng

giác" này,

gom 2 phan :

Phần I : Kiến thức cơ bản — Ví dụ áp dụng : có 6 chuong thudc phan
Lượng giác. Mỗi chương gồm nhiều đơn vị kiến thức (§), được biên soạn
thống nhất gồm các mục :

A. Kiến thức cơ bản : Tóm tắt, hệ thống kiến thức trọng tâm.
B. Ví dụ áp dụng : gồm nhiều ví dụ, có hướng dẫn giải. Mỗi ví dụ là
một dạng bài tập cơ bán, thường gặp trong các kỉ thi tuyển sinh vào các

trường Đại học và Cao đăng.

Trong mỗi (§) có phần Luyện tập : gồm nhiêu bài tập, giúp học sinh
tự rèn luyện kĩ năng giải toán.


Phần II : Hướng dẫn giải — Cau hdi trac nghiém én tap : Phan nay
gồm hướng dẫn giải bài tập hoặc cho đáp số của phần luyện tập ở mỗi (§) va
câu hỏi trắc nghiệm ơn tập, có trả lời ; giúp học sinh tự kiểm tra, đánh giá kết
quả giải bài tập của mình.
Cuối sách có phần phụ lục : Trích giới thiệu một số đề thi tuyển sinh

Đại học (2005 — 2008). Đây là phần trích giới thiệu một số đề thi tuyển
sinh Đại học đã ra từ 2005 đến 2008 — mơn Tốn, có liên quan đến phần
Lượng giác, có hướng dẫn giải ; giúp học sinh làm quen với các dạng câu
hỏi của dé thi tuyên sinh Đại học.

l
Tập thể tác
Chuyên đề luyện
phần giúp các em
quả mĩ mãn trong

giả trân trọng giới thiệu với các em học sinh 12, bộ sách
thi vào Đại học. Chúng tơi tin tường bộ sách này, sẽ góp
học sinh 12, nâng cao chất lượng học tập và đạt được kết
kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đăng.
Chủ biển

PGS, TS. TRAN VAN HAO


CAU TRUC DE THI TUYEN SINH DAI HOC

CAO BẰNG 2009, MON TOAN

II. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 DIEM)
Câu I (3 điểm) :
~ Khao sat, vé dé thi cua ham SỐ.

- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của dao ham va đỗ thị của hàm SỐ :
chiều biến thiên của hàm số. Cực trị. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tiếp
tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đơ thị hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có
tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường
thăng)
;.

Câu II (2 điểm) :
— Phương trình, bất phương trình ; hệ phương trình đại SỐ ;
¬ Cơng thức lượng giác, phương trình lượng giác.

Câu II (1 điểm) :
— Tìm giới hạn
— Tìm ngun hàm, tính tích phân
_ Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay.
Câu IV (1 điểm):

Hình học khơng gian (tong hop): Quan hé song song, quan hệ vng góc của

đường thắng, mặt phẳng.

Tính diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay, hình

trụ trịn xoay; tỉnh thé tích khối lăng trụ, khối ,chóp, khối nón trịn xoay, khối trụ
trịn xoay; tính điện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

Câu V (1 điểm) :

Bài toán tổng hợp.

II. PHAN RIENG (3 DIEM) :
Thí sinh chi được làm một trong 2 phân (phan I hoac 2)
1. Theo chương trình chuẩn :

Câu VLa (2 điểm) :
Nội dung kiến thức : Phương pháp toa độ trong mặt phăng và trong không gian :

— Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
— Đường tròn, clip, mặt cầu.
~ Viết phương trình mặt phẳng, đường thăng.

- Tính góc ; tinh khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đổi của
đường thắng, mặt phẳng và mặt cầu.
Cau VIL. a (1 diém) :
Nội dung kiến thức :

- Số phức
~ Tổ hợp, xác suất, thông kê.
— Bất đăng thức. Cực trị của biểu thức đại số.

2. Theo chương trình nâng cao :

Câu VIb (2 điểm) :

Nội dung kiến thức :
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian :

— Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
~ Đường trịn, ba đường cơnic, mặt cầu.
— Viết phương trình mặt phẳng, đường thăng.
— Tính góc ; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng
cách giữa hai đường thăng, VỊ trí tương đơi của đường thăng, mặt phăng và mặt câu.

Câu VII.hb (1 điểm) :
Nội dung kiến thức :
- Số phức

— Dé thi hàm phân thức hữu tỉ dang y =
liên quan.

— Sự tiếp xúc của hai đường cong.
— Hệ phương trình mũ và lơgarIt.
— Té hop, xác suất, thông kê.
- Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số,

ax” + bx+€
px +q

và một số yếu tố


Phân I.

KIEN THUC CO BAN — VÍ DỤ ÁP DỤNG
Chương 1.

BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Học

sinh cần năm

tana,

cota

vững định nghĩa các giá trị lượng gidc

sina, cosa,

và các tính chất cơ bản của chúng như :

1. Dấu của các giá trị lượng giác
2. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

3. Các hệ thức lượng giác cơ bản
4. Tính chất tuần hồn và chu kì của các hàm số lượng giác
5. Sự biến thiên của các hàm số lượng giác
H.

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
* Cung dỗi nhau

cos(—x) = cosx

sin(—x)
= -sinx

tan (—x) = - tan x

cot(—x)=—cotx

* Cung bù nhau

sin(œ—x}=sinx

cos(—X) =—e0sxX

tan (— x) =— tan x

cot(x—x)=-—cotx

* Cung hon kém nhau x

sin(x + x) =—sinx

cos(x
+ x) =—cosx

tan(x +7) =tanx

cotÍx
+ 7) = cot x

* Cung phụ nhau
. (4
sin| ——x'|=cosx
2

k
)
,
cos[ ——x |=sỉinx
2

tan(

Tt

2

x)

T

=cotx

co|5~xÌ=

2

tanx

* Cung hon kém nhau 3
:
TL
sin[ x+ ©)

= cosx,

T1
:
eos[x+ 5 ]=Tsinx

‹

Tt
tan{ x+=]=—cotx,

+
coi( x +2) = -tanx

Công thức cộng
cos(a + b) =cosacos b + sinasin b, cos(a + b) =cosacos b — sinasin b
sin(a + b) = sỉnacosb +eosasinb, sin (a — b) = sin acos
b — eosa sin b
tan a + tan b

`_

tan(a+b}=————————,

tana-tanb

tan
(a —b)= ————

1— tan atanb

l+ tanatanb

Công thức nhân đôi
sin2a = 2sinacosa
cos2a =cos?a —sin?a =2cosa—1=I—2sin?a

2ta

tan 2a =-“

1-tan' a

Hệ quả : Công thức hạ bậc

cos 2 a=(1+eos2a),
ˆ

.

sin? a -1q
2

+

Công thức tinh sina, cosa, tana theo t = tan

1t

sina= ——;€0SAa=——,
l+t
l+t

tana=

2t
I—tˆ

Công thức biến đỗi tích thành tổng
2cosacosb = cos(a ~ b}+ cos(a + b)
2sinasinb = cos(a — b)— cos(a + b)
2sinacosb = sỉn (a — b)+ sin (a + b)
Công thức biến đỗi tổng thành (ích
:

cosa+cosp = 2e0s

at

œ—

=P cos AHF

—cos 2a)
a


www.VNMATH.com

#

+

_—

COsŒ — c0s = -2sin .

B in a-B
2
2

sina +sinB = 2sin Z *ổ

¿2 —P

2

.

.

sino. ~ sin

= 2cos—

tance + tanB =

2

+b,

-

2

2

B in

(+B)
cos ơ cos B

8B
tano — tang = Si" (e = B)
€cos œcos B

Công thức rút gọn asinx + bcosx, acosx + bsinx
* Giả sử a > 0. Đặt tan

b
=— với 0€

a

“5

mn

1
2]

Ta có :

asinx
+ beosx = Va’ +b’ sin(x +)
acosx+ bsinx = va” + bỶ cos(x
— @)

* Đặc biệt :
snx+eosx = V2sin|x+ 5 ]z V2eos[ x `]
.

Sin X ~COSX =

,

2si|

TL

x=^ ),

.

.cOSX —SINX =

T

Zeos{ x +]

B. Vi DU AP DUNG

§ 1. CHUNG MINH DANG THU'C LUO'NG GIAC
PHUONG PHAP
Mn chứng mình một đẳng thức lượng giác, ta dùng công thức lượng giác
để biến đổi biểu thức lượng giác ở một về thành biểu thức lượng giác ở về
kia.

Đề ý rằng một biểu thức lượng giác có thể được biến đổi thành nhiều dạng
khác nhau. Chắng hạn ta có :

* sinˆ2x =l—cos” 2x (Hệ thức lượng giác cơ bản)
=(I[—eos2x)(† +cos 2x}


www.VNMATH.com

* sin’ 2x = 2ú —cos 4x) (công thức hạ bậc)
* sin? 2x = 4sin’ xcos” x (Công thức nhân đơi)

Tuỳ theo mỗi bài tốn, ta chọn cơng thức thích hợp để biến đối.
Il.

VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ ï : Chứng minh các công thức sau (công thức nhân ba) :

1) cos3a = 4cos?”a
— 3cosa ;

2) sỉn 3a =3sìna
— 4sin a ;

3~— an tan?a)

3) tan 3a = tana

(—3tanˆ a

Hướng dẫn giải
1) cos3a = cos(2a
+ a) = cos2acosa
— sin 2a sỉn a
= (2cos? a ~1)cosa _ 2cosa(1 —cos” a) =4cos” a —3cosa.

2) Chứng minh tương tự.

3) tan3a ~tan(2a +a) = 1an2a+ tana

1 — tan 2a tan a

2ta

_ ]—tan?a +tana _3tana—tan?a _ tana(3~tan?a)
2tana.
1-3tan’a
1-3tan’a
I—tan2a

Vĩ dụ 2 : Chứng minh :
1) cotx
+ tanx =

sin 2x

3) cotx —cot2x = —

2) cotx —tanx
= 2cot 2x ;

`

sin 2x

-

Hướng dẫn giải
1) cot x + tan
x =—

COSX

sInx

.

+

sinx

COSX

=

cos’

3

-

x+sin*x

-

2) Chứng minh tương tự.
3) cotx —cos tan 2x =

COSX
sinx

_

cos2?x
sin2x

=

_l+cos2x—cos2x
sin 2X

=—

Sin X COS X

I

sinxcosx

2

2cos” x —cos2x
sin 2x

Ì
sin 2x

=—

2

sin2x


www.VNMATH.com
Vi dy 3: Chimg minh:
tả 4
4
l
_3
Ì) sin” x +cos X= 7 cos4x +7

2) sin’

6

xX +cos

6

3

5
X= gcosdx +e

3) sin® x +cos* x =-Ủ cos8x + cos4x +2>.
64

16

64

Hướng dẫn giải
t) sin’ x +cos* x =(sin? x +cos? x) — 2sin? xcos” x
.

:

a

2

>

=1—4 sin? 2x =1 ~J(1~—cos4x)=-Leos4x

2

.

á

5

4

.

2) sin®x+cos°x =(sin?x+cos?x)

3

v3

4

.

4

.

—3sin? xcos? x (sin? x + cos? x)

=1—3sin*
x cos’ 2 x =1-3 sin? 2x=1~2(I~eos4x)= Šcos4x +
4

.

a

8

2

|

8

8

.

3) sin® x + cos® x =(sin* x + cos’ x) —2sin‘ xcos* x
(

~

=({1—2sin“°
=}—4sin*

2

›>_W

xcos

x)

a

—2sin°

|

xcos

4

x

xcos* x + 2sin‘* xcos‘ x

=l—sin? 2x +-_sin" 2x —_-.Ă=.
2

2

8

ot rteoster ti
2 2
32
=- eos8x

64
Vi du 4: Chứng mình:

~ 2eosdx +

8L

S9)

+-cos4x +3”

"16

6A

1) sin(a + b)sin(a — b) = cos’ b—cos’ a ;
2) cos{a + b)cos(a —b) = cos’ a+cos” b-1.

Hướng dẫn giải
1) sin(a + b)sin(a - b) = = (cos 2b—-cos2a)
1

+

= 2(2cosỶ b-l-2cos

_
>

1

a+ 1) = cos’ b—cos’a

?

www.VNMATH.com

2} cos(a + b)cos(a — b) = 5 (£08 2a + cos 2b)
~ 1)
=2.(2cos"a ~1+2eos”b

=cos?a +cosˆ b— Í

Ví dụ $ : Chủng minh :
n? x ~ 3 sin ax
icos
1) cos3xsin* x + s3x

;

2) cos3xcos’ x +sin3xsin’ x =cos® 2x.

Hướng dan giải
1) Ta có : 4cos” x = cos3x + 3cos x,
Asin’ x = 3sin x — sin3x,

Do đó, ta tính 4 lần về trái (VT)
4{VT) = cos3x (3sin x — sin 3x)
+ sin 3x(eos3x
+ 3cos x)

=3(cos3xsin x + sin 3xcos x) = 3sin 4x
Suy ra công thức phải chứng minh.
2) 4(VT) = cos3x(cos3x + 3cosx) + sin 3x (3sin x — sín 3x)
=cosr

3

2
;
:
3x —sinˆ 3x + 3(cos 3x eos x + sin 3x sin x)

= cos6x + 3cos2x

= 4cos* 2x (Do cos6x = 4cos’ 2x - 3cos 2x)

Suy ra công thức phải chứng minh.
Vi du 6: Chung minh :
.
.
ft
.
(1
1) sinxsin| 5 ~x lsin| +
3
3
2) cosxcos|[

3

1.
x]>asn%
4

;

- x eos{ * + «| = J cos3x ;
3
4

3) tan x tan E — x]a(

+ x) = tan 3x.

Hướng dẫn giải
.
, | T
l) sinxsin( =x
`3
{,
=—sinxcos2x
2
a

.
[1
1,
21m
|sin{ ¥ +x }=4sin x(sos2x - cos]
3
2
3
+

4

.
gìn x

l,.
.
.
.
= —(sin 3x —sin x)+ Tin x - | sin3x
4
4


www.VNMATH.com

T
—- x
3

2) cosxcos|

1
|cos} —+x
3

]
4

= — cos XK COS 2x

——cosx

2

|
|=—cosx|
2

1
4

= —(cos3x

2m
cos 2x + cos—
3

+ COS x}—

—cosx

=—cos3x.

4

3) Tu két qua bai | va bai 2, suy ra kết qua bai 3.
Sau đây là cách giải trực tiếp bài 3.
Xu
¬

tan x tan

tan

T
‡

= tan X-

J3 -tanx

V3

+ tan x

1+J3tanx 1—V3tanx

_ tan x (3 — tan? x) _
1 3tan?
tan 3x

—

3tan“ x

Ví dụ 7 : Chứng minh :

1) sinSx — 2sinx (cos 4x + cos2x) = sỉnx ;
x

3x
, 7x,
x
2) cos —cps — + Sin--——sin— = cosxcos2x.

2

2

2

2

Hướng dẫn giải
I) VT= sin 5x - 2símn xcos 4x — 2 sin xeos 2x
=sin5x— (sin 5x — sin 3x) - (sin 3x — sin x) = sin x

2) cosS* cos3X +sin IX gig X = “cos ax +cos x)+-_(eos3x —cos4x)
2

2

2

2

2

2

1

= 2(eos3x + cosx) =cos2xcosx.
Vi du 8 : Chứng minh ring:

1) sína +sinb + sine ~sin(a +b +¢)= 4sin

sin 2

sin S22

2} cosa + cosb + cosc + ceos(a +b+c)= 4cos a+b cos b+c
— cos c+a
Hướng dẫn giải
Các bài toán nảy thuộc dạng biến đơi tổng số thành tích số.
1)sin a + sin b +sine — sin (a + b+ c) =Gin a + sin b} + [sine — sin(a
+ b+ c)]
. at
=2sm

b

cos

a—b

a+b+2c
_ a+b
— 2COS—————SI
5

13


www.VNMATH.com
in 222

= 2sIn

COS-

a-b
2

stb ite)

—€0O§——
2

_ atb,
ate.
—b-ec
= —4sin
sin
sin
2
2

,. a+b_.
b+c.

c+a
= 4s1n
sin
sin
2
2
2

2) cosa + cos b+ cose + cos(a + b +c)
=2cos

a+b

=2cos

a+b

cos

a-b
a—-b

COs

a+b+2c

a+b

+ 2cos —————co

5

a+b+2c

+ cos —————_ | = 4cos

a*+b
2

cos

bic
2

cos

.c+a
2

Vĩ dụ 19 : Cho a + k2n, k e Z. Chứng minh rang :
na. (n + La

sin
— sin
1) sina +sin 2a +sin3a+...+sinna=—*——_2_;
sin—

2

2) cosa+cos

2a + cos3a+...+cosna =

. na
(n+l)a
sin — cos— >
. a
sin —
2

Hướng dẫn giải
Đặt: Š = sin a + sin 2a + sin 1a +... + sinria. Ta có
(2sn3s =2sin

sina +2sin= sin 2a+ Lot 2sin= sinna =

(
a
*2
=) cos—-—cos—
2

2

3a
a)
|
5a
fa)
|+| cos— —cos—

|+] cos—
~ cos—
|+...
2°

.[e[s-1)k-se(s+1},]
a

(

]

= COS— —C€OSIL n+—
2
2

. na
(n+l)a
sin — cos >
S uy ra: : S S=————————.
<=
sin-

14

:

. na.

2

|a =2sin——sin
2

2

(n+l}a


www.VNMATH.com

2) Đặt : t = cosa + cos2a
+ cos3a +...
+ cosna. Ta có :
[2sin3 ]T = 2sinŠ cosa + 2gin Scos2a +...
2
2
2
=|

[sin

nộ)

sin—
— sin—
2
2

...+|

in)

(sin

|+| sin-——-—sin—
2
2

Sin)

n+—

|a—-sin|

2

|

n——

. a

n+— |a—sin— =2cos
2
2

la

2

(n+l)a

. na
sin —

na
(n+l)a
Sin ~-- COS Suy ra: T=
2
sinŠ

2

Hil.

LUYEN TAP

1.1

Chứng minh :

1) cos{x tnz)=(-1)" cosx (ne N);

2) sin(x + nr}=(—I)” sin x (neN).
1.2

Cheng minh :

1) cos? (a — b)— cos” (a + b) = sỉn 2sin 2b ;

2) cos? (a —b) -sin? (a + b) =cos2acos
2b.
1.3

Chứng minh :

L) sin” x(I+ cot x)+ cosỶ x (I + tan x) = sỈn X + cOS x ;
2) sin 3x — 2sin” 3x + cos2xsin x = cos 5xsin 4x ;

3) sin’x + cos‘ (x+%)=-3- 22 sin( 2x +)

4)

1.4

4

2

4

Chứng minh :
1) cos4a =8cos‘a —-8cos* a+];

3.
3
2) cos` xcos3x —sin” xsin 3x = 7 cos 4x +.
1.5

Chứng minh: tanx+ tan| x + =). tan [x -5)

in

|+]| sin—
— sin—
2
2

[zh(s+3)s-sn[a~2Ì|

. (

=sin|

(sin 2

2sin 5 cosna
2

= 3tan 3x.

|+...


www.VNMATH.com

1.6

Chimg minh : tana+ tanb+ tanc = tanatanbtanc+

1.7

Chứng minh :
2

sin{a+ b+c)
cosacosbcosc

2

l—cos”a
— cos” b— cos”c +2cosaeosbeosc

. a+b+c.,

a+b-c.

b+c-a.

2

2

2

=4sin

18

sin

sin

sin

c+a-b
2

Cho a z k2m, k e Z. Chứng minh

na.

(n+l)a

C€OS——SII —- - - -~
|) Ì+ C0Sa + c0S2â +... + cosna =———2————2——

a
sin —
2

2) sinx +sin(x +a)+sin(x +2a)+...+sin(x+na)
. l

Simn|

m)
2

X + ---

a

. (n+l)a
-: -- —2

ISIN

a
sin -

>

2

3) cosx + cos(x +a)+cos(x +2a)+...+ cos(x + na)
[

cos| x +

3)
2

. (n+l}a

sỉn—-———

. a
sin 2

2

§ 2. RUT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIÊU THỨC
LƯỢNG

GIÁC

PHƯƠNG PHÁP
* Muốn rút gọn một biếu thức lượng giác,
ta dùng các công thức lượng giác

để biến đổi biểu thức đã cho.

* Muốn tính giá trị của một biểu thức lượng giác, nói chung ta tìm cách rút
gọn biểu thức này. Ngồi việc sử dụng các cơng thức lượng giác, nên xét
xem

biểu thức đã cho có dạng gì đặc biệt, từ đó có thể chọn cách

thích hợp.
l6

giải


www.VNMATH.com

IT.

VI DU AP DUNG
Mĩ dụ 1 : Rút gọn các biểu thức sau :
LA

=sin{ 2x +

3

:

leos{ x+£)-cos{ 2 —x Jeos| 2x và)
3
3
3

2
2) B=cosx + 03{ x+22) + cos} x -T]

Hướng dẫn giải
L) Nhận xét :

(xi
x~—

Do đó :

e{nx)‡ mg)

|†| —>-X|=~—cos|
3

2

6

A= sin| 2x +5 |sos| x=5Ì~
3
6

in

=sin||

—-x
3

cos| 24 +2) sin{ x2)
3
6

[2x+F}-(x-2)| -sn(s-3)

2x +—
3

|-|

x-—— |] =sin|
6

x +— | =cosx.

2

2) B =cosx +|c03{ x+2)re09{ x2
= c0sx + 2e08xe0s “=
Ghi cha

X,X +>

|=sIn.X——
6

+ Goi

X “>

M,

N,

|

= cosx —cosx =0 (Do cos

P lần

lượt

là điểm

ngọn

=

1)

của các cung

có số đo

trên đường trịn lượng giác. Thế thì MNP là một tam giác

đều, do đó : OM+ON

+OP =0.

Chiếu đăng thức vectơ này trên trục cosin và trục sin, ta được :

=|

2m

3

3

cosxX +cos| x +—
.
.
SinX + sin

xt

2n

|+ cos) x -—
.
+sin

xe

2đ

|=0

=0

Ví dụ 2 : Rút gọn biêu thức :
A =sin x + sin Íx =5 | ~sinxsin| x—

LUONG GIAC - 2

5]

17


www.VNMATH.com

Hướng dẫn giải
Cách l :

3

. [

Á =s1nˆ x+sin|

rÌ›

x—— || sm|
3

[

1

x ——

3

.

|

|—sinx

34
.
T
my}.
=sin x + 2sin[ x~5 }ees| x~E ]sm|

3
6
=sin’

x —sin|

x ——
3

=sInˆx——| sin|
1
)

,

(

`
1
= sin’ xX +5 cos 2x

|cos|

2x—-—
2

x ——
6

tủ

]

|

|+sIn|

3

7
—E)
6

(

-—
6

|

.
]
=sin” x +—(

.
l
—2sin? x)4+— -

3r

Cách 2 A=|1=eos3x+L=eos[
2
:

=3
4

4

2T |, os|2x—
3

s|eos2x+eos[ 2x

5
3

- sex,
3

2E) -sas|2x— 5 || m

2

-3-1
4
2

“ấ

2x

3

3

cos2x-2sin( 2x-2}s
2

[-z)
6

| e9S2x -s|2x -4)| -3
2
2
4

1h (cos 2x —cos2x) = 3
Á
2

Ghi chu (*):
Taco:

cos| 2x — B =-eod| 2x + =|

Suy ra: A= 23) cosax
4
2

eo

2-2)
3

+cos{ 2+)
3

Vi du 3 : Tính giá trị của các biêu thức sau :

ĐA=

¬
—4sin 70° ;
sin L0°9

2) B=

|
~ v3
.
sint0°
cosl10°

=

3

4

www.VNMATH.com

Hướng dẫn giải
.

1) A=———-

l

— 4sin 70° =

sinld

—_-~

sin lO

4cos20”

_1-4sin 10° cosl0° _1—2{sin30°-sin10°) — 2sin10° _
sin 10°

"2g

sinl0°

—- v3
sinl0°

sin! 0°

_cosl0°-3sinI0°

cosl0°

sinl0° cos10°

Nhận xét :
Ta có : cos10° ~ 3 sin
L0
Suy ra:

B — 400870

sin20°

oO

= 2cos(10° +60°}= 2cos 70°
:

_ Asin 20

0

=4.

— sin20”

Ví dụ 4 : Chứng minh các đăng thức :
1) sinx cos xcos2xcos4x = =sin8x ;

2) sinxcosxcos2xcos4xcos8x = na šinlồx
Áp dụng : Tỉnh giá trị các biểu thức sau :
lA= cos “cos

2

cost

:

.
2) B=sin6° sin 42° sin 66° sin 78°.

Hướng dẫn giải
Ap dụng công thức sinacosa = sin 2a, ta được điều phải chứng minh.
Áp dụng:
1) A = cos

2
4
cos — cos ——
7
7
7

. T
um

1714
21
4x4
]Ì.. 8a
lL. 0
Suy ra: sin—.A =sin —cos—cos—cos— = —sin— =-—sin—
7
8
7
8
7
“4
Vay:ay A=-—.8

2) B=sin 6” sin 42° sin 66” sin 28? = sin 6° cos12° cos24° cos48°
19