Đề thi KSCL tháng 5 môn Toán 11 năm 2019-2020 có đáp án - Trường THPT Nguyễn Thị Giang

ĐỀ KSCL THÁNG 5 NĂM HỌC 2019 - 2020
Mơn: Tốn; Lớp 11
Thời gian làm bài 60 phút, không kể giao đề
(Đề gồm 05 trang)

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ GIANG

Mã đề: 132

Câu 1: Cho hai điểm A , B thuộc đồ thị hàm số y  sin x trên đoạn  0;  . Các điểm C , D thuộc trục
Ox thỏa mãn ABCD là hình chữ nhật và CD 


3

. Độ dài cạnh BC bằng

y

A

B

O D

C


x

1
3
2
.
C. .
D.
.
2
2
2
Câu 2: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
y  x 2  2 x  m trên đoạn  0;3 bằng 5. Tổng tất cả các phần tử của S là

A. 1 .

B.

A. 8 .
B. 12 .
Câu 3: Cho đồ thị hàm số y  f  x  như hình vẽ.

C. 2 .

Xét các khẳng định sau
i) lim f  x    .

ii) lim f  x    .

iii) lim f  x   1 .

iv) lim f  x    .

x 1

x 

D. 2 .

x 1

x 

Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?
A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a, tam giác SAB đều. Gọi M là điểm
trên cạnh AD sao cho AM  x, x   0; a  . Mặt phẳng   qua M và song song với (SAB) lần lượt cắt các
2a 2 3
cạnh CB, CS, SD tại N, P, Q. Khi diện tích tứ giác MNPQ bằng
thì x bằng bao nhiêu?
9
a
2a
a
a
A. .
B.
.

C. .
D. .
3
2
3
4

Câu 5: Cho cấp số cộng  un  với u1  2 và u2020  2020 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

2017
2018
2019
.
B.
.
C. 1 .
D.
.
2018
2019
2020
Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Góc giữa hai đường thẳng AB, EH là
A. 90 .
B. 0 .
C. 45 .
D. 60 .
A.

Trang 1/6 - Mã đề thi 132

Câu 7: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vng cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong
mặt phẳng vng góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC .
a 5
a 3
D.
.
2
2
Câu 8: Sau đợt nghỉ dịch Covid-19, từ ngày 04 tháng 5 năm 2020, học sinh trường THPT Nguyễn Thị
Giang đi học trở lại. Nhà trường yêu cầu tất cả học sinh đều phải đeo khẩu trang. Qua khảo sát, lớp 11A
có 16 học sinh nữ và 24 học sinh nam, trong đó chỉ có một nửa số học sinh nữ và một nửa số học sinh
nam đeo khẩu trang theo quy định. Nếu chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 11A để kiểm tra, hãy tính
xác suất để chọn được học sinh nữ hoặc học sinh đeo khẩu trang.
9
7
2
1
A.
.
B.
.
C. .
D. .
10
10
3
2
Câu 9: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB  a, SA  AB ,

A. a 2 .

B. a .

C.

SC  BC, SB  2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm SA, BC và  là góc giữa MN và  ABC  . Giá trị

cos  bằng

3
2 11
2 6
B.
.
C.
.
2
11
5
Câu 10: Tất cả các nghiệm của phương trình cos 2 x  0 là

A.

A. x 



2



 k 2  k 



.

B. x 

4

 k  k 

6
.
3

.



 k  k   .
4
2
2
Câu 11: Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp
A, 2 học sinh lớp B, 1 học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một em học sinh.
Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B là
3

1
2
1
A.
.
B. .
C.
.
D. .
20
6
5
15
Câu 12: Đạo hàm của hàm số y  sin 2 x là
A. 2cos x .
B. 2cos 2x .
C. 2sin 2x .
D. 2cos 2x .

C. x 

k

k  



D.

D. x 

Câu 13: Cho cấp số nhân  un  với u1  2 và u2  1 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A.

1
2

B. 1 .

C. 2 .

D. 1 .

Câu 14: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh AB  a . Tích vơ hướng AB.CD bằng
a2
a 2
A.
.
B.
.
C. a 2 .
D. 0 .
2
2
Câu 15: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b ?
A. 0 .
B. 1 .
C. Vô số.
D. 2 .
1

Câu 16: Một vật chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S  t 3  t 2  2t  1 ( t là thời gian tính
2
bằng giây, S là đường đi tính bằng mét). Tính vận tốc  m / s  của vật tại thời điểm t0  2  s  ?
A. 14  m / s  .

B. 9  m / s  .

C. 12  m / s  .

D. 6  m / s  .
Trang 2/6 - Mã đề thi 132


Câu 17: Cho tam thức bậc hai y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số nghiệm của phương
3

trình f  sin x   2 với x    ;
2



.

6

4

2

10

5

O

-1

3

5

10

2

-3
4

6

A. 4 .

B. 2 .

C. 3 .

2x 1
có đạo hàm là
x 1
3

1
A. y  
.
B. y 
.
2
( x  1)
( x  1)2

D. 1 .

Câu 18: Hàm số y 

C. y  

1
.
( x  1) 2

D. y  2 .

Câu 19: Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm của ba cạnh tam giác ABC được gọi là tam giác
trung bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 , ... sao cho A1B1C1 là
một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n  2 , tam giác An BnCn là tam giác trung
bình của tam giác An1Bn1Cn1 . Với mỗi số nguyên dương n đặt S n là diện tích hình trịn ngoại tiếp tam
giác An BnCn . Tính S1  S2  ...  Sn  ...
15
9
A.
.

B. 5 .
C.
.
D. 4 .
2
4
 
Câu 20: Cho hàm số f  x   x cos x . Tính giá trị f '    .
 2


A. 0 .
B. 1 .
C.  .
D. .
2
2
Câu 21: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình 3sin x  4cos x  m  0 có nghiệm?
A. 11 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 10 .
Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết SA  SC và SB  SD . Khẳng
định nào sau đây sai?
S

A

D
O

A. AC   SDB  .

B
B. CD   SBD  .

C
C. BD   SAC  .

D. SO   ABCD  .

c
bằng
x  x k
C.  .

Câu 23: Với k là số nguyên dương, c là hằng số, giới hạn lim

B.  .
D. x k .
  x 2  3x  2
, khi x  1

Câu 24: Tìm a sao cho f  x   
liên tục tại xo  1 .
x 1
2 ax  1
, khi x  1

A. 0 .

A. a  2 .

B. a  0 .

C. a  1 .

D. a  1 .
Trang 3/6 - Mã đề thi 132


Câu 25: Số cách chọn ra 5 bạn từ một tổ có 10 bạn là
A. C510 .
B. C105 .
C. 510 .

D. A105 .

Câu 26: Cho tứ diện ABCD . Điểm M thuộc đoạn AC ( M khác A , M khác C ). Mặt phẳng   đi
qua M song song với AB và AD , cắt tứ diện đã cho theo giao tuyến là
A. Hình vng.
B. Hình bình hành.
C. Hình chữ nhật.
D. Hình tam giác.
Câu 27: Cho cấp số nhân  un  có số hạng đầu u1 , cơng bội q . Tính số hạng thứ n .
A. un  u1q n1 .

B. un  u1  n  1 q .

C. un  u1   n  1 q .

D. un  u1q n .

Câu 28: Với k , n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k  n , mệnh đề nào dưới đây đúng?
k ! n  k !
n!
n!
n!
A. Cnk 
.
B. Ank 
.
C. Cnk 
.
D. Ank  .
n!
k!
 n  k !
 n  k !
Câu 29: Hàm số f  x  

2x 1
liên tục trên khoảng nào sau đây?
x  4x  3

A.  1;1 .

2

B.  0; 2  .

C.  2; 4  .

1 
D.  ;3  .
2 

a
3x  3  m a
tối giản. Tính 2a  b .
 , m là số thực, a, b là số nguyên và
x 2
x2
b
b
1
A. 1 .
B. 1 .
C. 0 .
D. .
2
1
1
Câu 31: Cho hàm số f  x   x3  x 2  x  . Tập nghiệm của bất phương trình f '  x   0 là
3
2
A. .
B. 1 .
C.  .
D.  ;1 .

Câu 30: Biết giới hạn lim

Câu 32: Cho hàm số y  f  x  xác định và có đạo hàm trên tập số thực. Biết f ' 1  5; f 1  6 . Tìm
giới hạn lim

f 2  x   f  x   30

x 1

x 1

A. 29 .

.

B. 0 .

x
bằng
x 1 x  1
A. 0 .
B.  .
Câu 34: Hình chóp tứ giác có tất cả số mặt là
A. 4 .
B. 6 .

C. 110 .

D.  .

C.  .

D. 1 .

C. 7 .

D. 5 .

C. 1 .

D.

Câu 33: Tính lim

Câu 35: Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính d  G,  SBC   khi biết

d  A,  SBC    3 (đơn vị dài).
A.

2
.
3

B. 3 .

Câu 36: Giới hạn lim
A. 0 .

1

bằng
n  2020
1
B. .
3

C.

1
.
2

1
.
3

D.  .

3
  
Câu 37: Cho cos x  , x    ;0  . Tính tan x .
4
 2 

A. 

7
.
3

B.

7
.
3

C.

7
.
4

D.

7
.
9

Trang 4/6 - Mã đề thi 132


Câu 38: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Nếu hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
B. Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó phải đồng
quy.
C. Trong khơng gian, hai đường thẳng cùng vng góc với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó
song song với nhau.
D. Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó
trong mặt phẳng đó.
Câu 39: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3  1 song song với đường thẳng 3x  y  1  0 ?

A. 3 .
B. 2 .
C. 0 .
D. 1 .
Câu 40: Số cách xếp 4 bạn A, B, C, D đứng thành hàng ngang sao cho A và B luôn cạnh nhau là
A. 12 .
B. 24 .
C. 6 .
D. 48 .
----- Hết ----Họ và tên thí sinh:......................................................... Số báo danh:...............................................
Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm. Học sinh không được sử dụng tài liệu.

Trang 5/6 - Mã đề thi 132


made
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132

132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132

Cautron
1
2

3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32

33
34
35
36
37
38
39
40

dapan
B
C
A
C
B
A
D
B
D
C
D
D
A
D
B
C
C
A
D
C

B
B
A
C
B
D
A
B
A
C
B
C
B
D
C
A
A
D
D
A

Trang 6/6 - Mã đề thi 132


ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1.

Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [ 0; π ] . Các điểm C , D thuộc trục
Ox thỏa mãn ABCD là hình chữ nhật và CD =

A. 1 .

B.

3
.
2

π
3.

Độ dài cạnh BC bằng

1
C. .
2
Lời giải

D.

2
.
2

Chọn B
Giả sử D ( a;0 ) với 0 < a < π .


π
π 


ABCD là hình chữ nhật; A ( a;sin a ) ; ⇒ B  a + ;sin  a +  
3
3 



π
π

a sin  a +  ⇒=
a
Do ABCD là hình chữ nhật sin=
vì 0 < a < π
3
3

Độ dài cạnh BC =
Câu 2.

3
.
2

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
y = x 2 − 2 x + m trên đoạn [ 0;3] bằng 5 . Tổng tất cả các phần tử của S là

A. 8 .

B. −12 .

C. −2 .
Lời giải

Chọn C
Xét hàm số f ( x ) = x 2 − 2 x + m trên đoạn [ 0;3] .
Có f ′ ( x=
) 2x − 2 ; f ′ ( x) = 0 ⇔ x =1 .
Ta có f ( 0 ) = m , f (1=
) m − 1 , f ( 3=) m + 3 .
Khi đó max y= m + 3 hoặc max y = 1 − m .
[0;3]

Ta xét các Trường hợp sau:

[0;3]

D. 2 .


TH1: max y = m + 3 = 5 ⇒ m = 2 .
[0;3]

Thử lại với m = 2 .
Khi đó y = x 2 − 2 x + 2 = x 2 − 2 x + 2, ∀x ∈ [ 0;3] nên max y = 5 .
[0;3]

Do đó m = 2 (thỏa mãn).
TH2: max y =−
1 m =⇒

5 m=
−4 .
[0;3]

Thử lại với m = −4 .
Khi đó y = x 2 − 2 x − 4 nên max y = 5 .
[0;3]

Do đó m = −4 (thỏa mãn).
Vậy có hai giá trị thỏa mãn là m = 2; m = −4 .
Tổng tất cả các phần tử của S là 2 − 4 =−2.
Câu 3.

Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) như hình vẽ.

Xét các khẳng định sau
i) lim+ f ( x ) = +∞ .

ii) lim− f ( x ) = +∞ .

iii) lim f ( x ) = 1 .

iv) lim f ( x ) = +∞ .

x →−1

x →−1

x →−∞

x →+∞

Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?
A. 3.

B. 1.

C. 2.
Lời giải

Chọn A
Qua đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có:

D. 4.


lim f ( x ) = +∞ ; lim− f ( x ) = +∞ ; lim f ( x ) = 1 .

x →−1+

x →−∞

x →−1

Vậy chon đáp án A.

Câu 4.

Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a , tam giác SAB đều. Gọi M

= x, x ∈ ( 0; a ) . Mặt phẳng (α ) qua M và song song với
là điểm trên cạnh AD sao cho AM

( SAB ) lần lượt cắt các cạnh CB, CS , SD

tại N , P, Q. Khi diện tích tứ giác MNPQ bằng

thì x bằng bao nhiêu?
A.

a
.
2

B.

2a
.
3

C.

a
.
3

D.

Lời giải
Chọn C

Kẻ đường thẳng qua M và song song với AB , cắt BC tại N .
Kẻ đường thẳng qua N và song song với SB , cắt SC tại P .
Kẻ đường thẳng qua M và song song với SA , cắt SD tại Q .
Suy ra tứ giác MNPQ là thiết diện của hình chóp S . ABCD cắt bởi (α ) .
PQ
(α ) ∩ ( SCD ) =

Có ( SCD ) ∩ ( ABCD ) =
CD

MN
( ABCD ) ∩ (α ) =

⇒ PQ, CD, MN hoặc đôi một song song, hoặc đồng quy.

a
.
4

2a 2 3
9


Mà CD //MN ⇒ PQ //CD. ( PQ < CD ) (1)
Gọi H là hình chiếu vng góc của S lên ( ABCD ) .
Ta có: SA = SB ⇒ HA = HB . Suy ra H thuộc đường trung trực đoạn AB .

⇒ HC = HD ⇒ SC = SD ⇒ ∆SBC = ∆SAD ( c − c − c )
 = QDM

 ⇒ ∆PCN = ∆QDM ( c − g − c ) ⇒ PN = QM (2)
⇒ PCN

Từ (1) và (2) ta có tứ giác MNPQ là hình thang cân.
Ta có:

PQ SQ AM
=
=
⇒ PQ = AM = x .
CD SD AD

E PN ∩ QM ⇒ ∆ENM cân tại E.
Gọi =
=
=
PN
SB, AB ) 60o
, NM ) (
Mà (

⇒ ∆ENM là tam giác đều cạnh a và ∆EPQ là tam giác đều cạnh x .
⇒ S MNPQ = S ∆EMN − S ∆EPQ =

Ta có: S MNPQ
=
Câu 5.

a2 3 x2 3
−

4
4

2a 2 3
a 2 3 x 2 3 2a 2 3
a
.
x
⇔
− =
⇔
=
9
4
4
9
3

Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = 2 và u2020 = 2020 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A.

2017
.
2018

B.

2018
.
2019

C. 1 .

D.

2019
.
2020

Lời giải
Chọn B
Gọi d là công sai của cấp số cộng ( un ) .
Khi đó u2020= u1 + 2019d .
Hay 2020 = 2 + 2019d ⇔ d =
Câu 6.

2018
.
2019

Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Góc giữa hai đường thẳng AB , EH là
A. 900 .

B. 00 .

C. 450 .
Lời giải

D. 600 .

Chọn A
E

H
G

F

A

D

B

C

Vì AD song song với EH nên góc giữa hai đường thẳng AB , EH bằng góc giữa hai đường thẳng
.
AB , AD . Đó là góc BAD

 = 900 .
Do ABCD là hình vng nên góc BAD
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB , EH bằng 900 .
Câu 7. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong
mặt phẳng vng góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC .
A. a 2 .

B. a .

C.

a 5
.
2

D.

Lời giải
Chọn D
S

H
A
D
I
B

C

a 3
.
2


Gọi I là trung điểm của AB . Do SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vng góc với
đáy nên SI ⊥ ( ABCD ) .

Ta có AD / / BC ⇒ BC / / ( SAD ) nên

d ( BC ; SA ) = d ( BC ; ( SAD ) ) = d ( B; ( SAD ) ) = 2d ( I ; ( SAD ) )

(

d I ; ( SAD )
Trong mp ( SAI ) kẻ IH ⊥ SA tại H , mà AD ⊥ IH nên IH ⊥ ( SAD ) ⇒ IH =

)

a 3 a
.
SI .IA
2
2 =a 3
= 2.
d ( BC ; SA ) = 2d ( I ; ( SAD ) ) = 2IH = 2.
2
2
3a a 2
SI 2 + IA2
+
4
4
Vậy d ( BC ; SA ) =
Câu 8.

a 3
.
2

Sau đợt nghỉ dịch Covid-19, từ ngày 04 tháng 5 năm 2020, học sinh trường THPT Nguyễn Thị
Giang đi học trở lại. Nhà trường yêu cầu tất cả các học sinh đều phải mang khẩu trang. Qua khảo
sát, lớp 11A có 16 học sinh nữ và 24 học sinh nam, trong đó chỉ có một nửa số học sinh nữ và
một nửa số học sinh nam đeo khẩu trang theo quy định. Nếu chọn ngẫu nhiên một học sinh của
lớp 11A để kiểm tra, hãy tính xác suất để chọn được học sinh nữ hoặc hoặc học sinh đeo khẩu
trang.
A.

9
.
10

B.

7
.
10

C.

2
.
3

D.

1
.
2

Lời giải
Chọn B
Số phần tử không gian mẫu : n ( Ω ) =40 .
Gọi A là biến cố chọn được học sinh nữ hoặc học sinh đeo khẩu trang.
Ta có n ( A ) = 16 + 12 = 28
Vậy P ( A ) = =
Câu 9.

n ( A ) 28 7
=
=
n ( Ω ) 40 10

Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vng cân tại B , AB = a , SA ⊥ AB , SC ⊥ BC ,
SB = 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, BC và α là góc giữa MN và ( ABC ) . Giá
trị cos α bằng


A.

3
.
2

B.

2 11
.
11

C.

2 6
.
5

Lời giải
Chọn D

Vẽ SD ⊥ ( ABC )

 AB ⊥ SA
⇒ AB ⊥ AD
Khi đó ta có 
 AB ⊥ SD
 BC ⊥ SC
⇒ BC ⊥ CD

 BC ⊥ SD
Suy ra ABCD là hình vng
Gọi H là trung điểm của AD khi đó MH  SD ⇒ MH ⊥ ( ABC )

D.

6
.
3


 ( α là góc giữa MN và ( ABC ) ).

MNH
⇒α =
SD
=
MH
=

SB 2 −=
BD 2

( 2a )

2

(

− a 2

1
a 2
, HN = a , MN =
SD
=
2
2

Vậy cos α =

)

2

=a 2.
MH 2 + HN 2 =

6
2

a
6
HN
=
.
=
3
MN a 6
2

Câu 10. Tất cả các nghiệm của phương trình cos 2 x = 0 là

π
A. x =
+ k 2π ( k ∈  ) .
2

π
B. x =+ kπ ( k ∈  ) .
4

π

π
C. x =+ k ( k ∈  ) .
4
2

π
D. x =+ kπ ( k ∈  ) .
2
Lời giải

Chọn C

π
π
π
cos 2 x = 0 ⇔ 2 x = + kπ ( k ∈  ) ⇔ x = + k ( k ∈  ) .
2
4
2
Câu 11. Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp
A , 2 học sinh lớp B , 1 học sinh lớp C vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một em
học sinh. Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B là
A.

3
.
20

B.

1
.
6

C.

2
.
15

D.

1
.
5

Lời giải
Chọn D
Ta có n ( Ω ) = 6! = 720 .
Gọi X là biến cố cần tìm. Khi đó:
Trường hợp 1: Học sinh lớp C ngồi đầu dãy hoặc cuối dãy.
+ Xếp học sinh lớp C ngồi đầu dãy hoặc cuối dãy có 2 cách.
+ Chọn 1 học sinh trong 2 học sinh lớp B và xếp cạnh học sinh lớp C có 2 cách.
+ Xếp 4 học sinh cịn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách.


Khi đó số cách xếp là: 2.2.24 = 96 cách.
Trường hợp 2: Học sinh lớp C không ngồi đầu dãy.
+ Số cách xếp học sinh lớp C ngồi giữa hai học sinh lớp B là 2 cách (ta xem nhóm 3 học
sinh này như một học sinh D )

+ Số cách xếp 3 học sinh lớp A và học sinh D vào 4 vị trí là 4! = 24 cách.
Khi đó số cách xếp là 2.24 = 48 cách.
Từ 2 trường hợp, suy ra số phần tử của biến cố X là n ( X ) = 96 + 48 = 144 cách.
Vậy xác suất của biến cố cần tìm là P (=
X)

n ( X ) 144 1
.
= =
n ( Ω ) 720 5

Câu 12. Đạo hàm của hàm số y = sin 2 x là
A. 2cosx .

B. −2cos 2 x .

C. 2 sin2 x .

D. 2cos 2 x .

Lời giải
Chọn D

=
2 x ) '.cos 2 x 2cos 2 x .
Ta có y ' (=
Câu 13. Cho cấp số nhân ( un ) với
A.

1

.
2

u1 = 2 và u2 = 1 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng?
C. 2 .

B. −1 .

Chọn A
Gọi q là công bội của cấp số nhân

D. 1 .

Lời giải

u2 1
=
.
u1 2
Câu 14. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh AB = a . Tích vơ hướng
−a 2
a2
A. .
B.
.
C. a 2 .
2
2
q
Ta có: =

Chọn D
Cách 1:

Lời giải

 
AB.CD bằng

D. 0 .


D

C

A
B

      
 
AB.CD = CB − CA
=
.CD − CA.CD CB.CD.cos 600 − CA.CD.cos 600
.CD CB=

(

)

= 0.

Cách 2:

Gọi M là trung điểm của CD.

CD ⊥ AM
⇒ CD ⊥ ( MAB ) ⇒ CD ⊥ AB
Do: 
CD ⊥ BM
 

Vậy: AB.CD = 0 .
Câu 15. Cho hai đường thẳng
A. 0 .

a và b

chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa

B. 1 .

C. Vô số.

a và song song với b ?
D. 2 .

Lời giải
Chọn B
Theo định lý 3 bài đường thẳng song song với mặt phẳng của sách giáo khoa, chọn B.

Câu 16. Một vật chuyển động thẳng xác định bởi phương trình

1
S = t 3 − t 2 + 2t − 1 ( t là thời gian tính
2

bằng giây, S là đường đi tính bằng mét). Tính vận tốc (m / s ) của vật tại thời điểm

t0 = 2( s) ?


A. 14(m / s ) .

B. 9(m / s ) .

C. 12(m / s ) .

D. 6(m / s ) .
Lời giải

Chọn C
Ta có:

v(t )= S ′(t )= 3t 2 − t + 2 ⇒ v(2)= 12 .

Câu 17. Cho tam thức bậc hai y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số nghiệm của phương




trình f ( sin x ) = −2 với x ∈  −π ;

A. 4 .

B. 2 .

3π 
.
2 

C. 3 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn C
Giả sử f ( x ) = ax 2 + bx + c . Vì đồ thị hàm số đi qua các điểm ( −1;0 ) , ( 3;0 ) và ( 0; −3) nên ta
a. ( −1)2 + b. ( −1) + c =
0
−b+c 0 =
a=
a 1

 2


có hệ a.3 + b.3 + c =0
⇔ 9a + 3b + c =0 ⇔ b =−2 .
 2



−3
−3
c =
c =
a.0 + b.0 + c =−3
Ta được f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 .


sin x = 1 + 2
Ta có f ( sin x ) =−2 ⇔ sin 2 x − 2sin x − 3 =−2 ⇔ sin 2 x − 2sin x − 1 =0 ⇔ 
sin x = 1 − 2
⇔ sin x = 1 −

2 ≈ −0.414




Ta có bảng biến thiên của hàm số y = sin x trên  −π ;

3π 
.
2 




Từ bảng biến thiên suy ra phương trình sin x = 1 − 2 có 3 nghiệm thuộc khoảng  −π ;




Do đó, phương trình f ( sin x ) = −2 có 3 nghiệm thuộc khoảng  −π ;
Câu 18. Hàm số y =
A. y ' = −

3π
2

3π 
.
2 


.


2x + 1
có đạo hàm là
x −1

3

( x − 1)

2

.

B. y ' =

1

( x − 1)

2

C. y ' = −

.

1

( x − 1)

2

D. y ' = 2 .

.

Lời giải
Chọn A
Ta có: y ' =

( 2 x + 1)′ . ( x − 1) − ( x − 1)′ . ( 2 x + 1)
=
( x − 1)2

2x − 2 − 2x − 1

( x − 1)2

= −

3

( x − 1)2

.

Câu 19. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm của ba cạnh tam giác ABC được gọi là tam giác
trung bình của tam giác ABC. Ta xây dựng dãy tam giác

A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,... sao cho

A1 B1C1 là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số ngun dương
tam giác trung bình của tam giác
hình trịn ngoại tiếp tam giác
A.

15π
.
4

n ≥ 2, tam giác

An−1Bn−1Cn−1. Với mỗi số nguyên dương n đặt Sn là diện tích

An BnCn . Tính S1 + S2 + ... + Sn + ...

B. 5π .

An BnCn là

C.

9π
.
2

D. 4π .


Lời giải
Chọn D

Xét tam giác đều ABC có A′, B′, C ′ lần lượt là trung điểm của BC , CA, AB. Khi đó ∆A′B′C ′
là tam giác trung bình của ∆ABC.
Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC : R =

3
AB.
3

Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác A′B′C ′ : R′ =

3
A′B′

3

R′ A′B′ 1
Suy ra= =
.
R
AB 2

Gọi S là diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác ABC và S ′ là diện tích hình trịn ngoại tiếp
S ′ R ′2 1
∆A′B′C ′, khi đó = =
S R2 4
Do đó dãy số ( S n ) là một cấp số nhân có cơng bội q =

1
và S1 là diện tích hình trịn ngoại tiếp
4
2

 3

tam giác A1 B1C1 có cạnh bằng 3 nên=
S1 π=
R π . 
. A1 B=
1
 3π .
3



2
1

1
1
Vậy S1 + S 2 + ... + S n=
+ ... S1. = 3π . = 4π .
1
1− q
1−
4

 π
Câu 20. Cho hàm số f ( x ) = x cos x. Tính giá trị f ′  −  .
 2

A. 0.

B. 1.

π
C. − .
2
Lời giải

D.

π
.
2

Chọn C

cos x + x. ( cos x )′ =
cos x − x sin x
Ta có: f ′ ( x ) =
( x cos x )′ =

π
 π
 π  π
 π
Do đó f ′  −  =
cos  −  −  −  .sin  −  =
− .
2
 2
 2  2
 2
Câu 21.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình 3sin x − 4 cos x − m =
0 có nghiệm
A. 11 .

B. 5 .

C. 6 .

D. 10 .

Lời giải
Chọn B
Ta có 3sin x − 4 cos x − m =0 ⇔ 3sin x − 4 cos x =m .
Điều kiện cần và đủ để phương trình trên có nghiệm là 32 + ( −4 ) ≥ m 2 ⇔ m ≤ 5
2

Vì m nguyên dương nên m ∈ {1;2;3;4;5}

Câu 22.

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết SA = SC và SB = SD . Khẳng
định nào sau đây sai?
A. AC ⊥ ( SDB ) .

B. CD ⊥ ( SBD ) .

C. BD ⊥ ( SAC ) .

D. SO ⊥ ( ABCD ) .

Lời giải
Chọn B

S

A
B

D
O

C

Cách 1: Giả sử CD ⊥ ( SBD ) , suy ra CD ⊥ BD (Vô lý). Vậy đáp án B sai.
Cách 2: Vì ABCD là hình thoi tâm O nên AC ⊥ BD (1) .
Vì SA = SC nên tam giác SAC cân tại S , suy ra SO ⊥ AC ( 2 ) .
Vì SB = SD nên tam giác SBD cân tại S , suy ra SO ⊥ BD ( 3) .


Từ (1) và (2) suy ra AC ⊥ ( SDB ) . Từ (1) và (3) suy ra BD ⊥ ( SAC ) .
Từ (2) và (3) suy ra SO ⊥ ( ABCD ) .
Vậy các đáp án A, C, D đúng và đáp án B sai.
c
bằng
x →+∞ x k

Câu 23. Với k là số nguyên dương, c là hằng số, giới hạn lim
B. 0 .

A. c .

C. −∞ .

D. +∞ .

Lời giải
Chọn B
Ta có lim c = c và lim x k = +∞ nên lim

x →+∞

x →+∞

x →+∞

c
=0.
xk

 − x 2 + 3x − 2

Câu 24. Tìm a sao cho hàm số f ( x ) = 
x −1
 2ax − 1


B. 1 .

A. 0 .

khi x ≠ 1

liên tục tại x0 = 1 .
khi x =
1
C. 2 .

D. −1 .

Lời giải
Chọn B

( x − 1)( − x + 2=) lim − x + 2= 1.
− x 2 + 3x − 2
= lim
(
)
x →1
x →1
x →1
x −1
x −1

Ta có: lim f ( x=
) lim
x →1

f (1=
) 2a − 1 .
Hàm số đã cho liên tục tại x0 = 1 ⇔ lim f ( x ) = f (1) ⇔ 1= 2a − 1 ⇔ a = 1 .
x →1

Câu 25. Số cách chọn ra 5 bạn từ tổ có 10 bạn là
A. C510 .

5
.
B. C10

C. 510.

5
.
D. A10

Lời giải
Chọn B
5
.
Số cách chọn ra 5 bạn từ tổ có 10 bạn là C10

Câu 26. Cho tứ diện ABCD. Điểm M thuộc đoạn AC ( M khác A, M khác C ). Mặt phẳng (α ) đi qua

M song song với AB và CD, cắt tứ diện đã cho theo giao tuyến là
A. Hình vng.

B. Hình bình hành.

C. Hình chữ nhật.

D. Tam giác.


Lời giải
Chọn B
D

Q
P

A
B

M
N
C

Ta có
AB || (α )
+) AB ⊂ ( ABC )



) ∩ (α ) MN || AB ( N ∈ BC ).
 ⇒ ( ABC=

M ∈ (α ) ∩ ( ABC ) 

CD || (α )


+) CD ⊂ ( BCD)
∩ (α ) NP || CD ( P ∈ BD).
 ⇒ ( BCD)=

N ∈ (α ) ∩ ( BCD) 
AB || (α )
+) AB ⊂ ( ABD)



∩ (α ) PQ || AB (Q ∈ AD).
 ⇒ ( ABD)=

P ∈ (α ) ∩ ( ABD) 

Theo cách dựng thì thiết diện MNPQ là hình bình hành.
Câu 27. Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 , cơng bội q . Tính số hạng thứ n .
A. un = u1.q n −1 .

B.=
un u1 ( n − 1) q .

C.=
un u1 ( n + 1) q .
Lời giải

Chọn A
Câu hỏi lý thuyết.
Cơng thức tính số hạng tổng qt của một cấp số nhân: un = u1.q n −1 .

D. un = u1.q n .


Câu 28. Với k , n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k ≤ n , mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Cnk =

k !( n − k ) !
.

n!

k
B. An =

n!
.
( n − k )!

k
C. Cn =

k!
.
( n − k )!

D. Ank =

n!
.
k!

Lời giải
Chọn B
Câu hỏi lý thuyết.

(

)

k
Số chỉnh hợp chập k của n k , n ∈  + , k ≤ n được tính bởi cơng thức An =

Câu 29. Hàm số f ( x) =

n!
.
( n − k )!

2x −1
liên tục trên khoảng nào sau đây?
x − 4x + 3

A. (−1;1)

2

B. (0;2)

C. (2;4)

1 
D.  ;3 
2 

Lời giải
Chọn A
Hàm số là hàm phân thức hữu tỉ, có tập xác định D =  \ {1;3} nên liên tục trên từng khoảng

( −∞;1) , (1;3) và ( 3;+∞ ) .

Câu 30. Biết giới hạn lim
x →2

A. 1

3x + 3 − m a
a
tối giản. Tính 2a − b .
= , m là số thực, a, b là số nguyên và
x−2
b
b

B. −1

C. 0

D.

1
2

Lời giải
Chọn C
3x + 3 − m a
= , với a, b là số nguyên thì điều kiện cần là phương trình
x →2
x−2
b
3x + 3 − m =

0 phải có nghiệm x = 2 , suy ra m = 3 .

Để lim

Khi đó ta được:
3( x − 2)
3x + 3 − 3
3
1
lim
lim
=
= lim
= .
x →2
x
→
2
x
→
2
x−2
3x + 3 + 3 2
( x − 2 ) 3x + 3 + 3

(

Suy ra a = 1, b = 2 ⇒ 2 a − b = 0 .

)

Câu 31. Cho hàm số f ( x =
)

1 3
1
x − x 2 + x + . Tập nghiệm của bất phương trình f ' ( x ) ≤ 0 là
3
2

C. ∅.

B. {1}.

A. .

D. ( −∞;1) .

Lời giải
Chọn B
Ta có f ' ( x ) = x 2 − 2 x + 1 =

( x − 1)

2

≥ 0.

Vậy f ' ( x ) ≤ 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 .

Câu 32. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và có đạo hàm trên tập số thực. Biết f ′ (1) = 5 ; f (1) = 6 . Tìm giới
f 2 ( x ) − f ( x ) − 30

hạn lim

x −1

x →1

A. −29 .

.
B. 0 .

C. 110 .

D. +∞ .

Lời giải
Chọn C
x − 1 xác định khi x ≥ 0 và y = f ( x ) xác định và có đạo hàm trên tập số thực nên

Vì
f

2

( x ) − f ( x ) − 30
x −1

x > 0
.
x ≠1

xác định và có đạo hàm khi 

Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có
lim

f 2 ( x ) − f ( x ) − 30
x −1

x →1

2 f ( x) f ′( x) − f ′( x)
= lim 2 x  2 f ( x ) f ′ ( x ) − f ′ ( x ) 
x →1
x →1
1
2 x

= lim

=
2  2 f (1) f ′ (1) − f ′ (=
1)  2. ( 2.5.6 =
− 5 ) 110 .

Câu 33. Tính lim−
x →1

x
bằng
x −1
B. −∞ .

A. 0 .

C. +∞ .
Lời giải

Chọn B
Ta có: lim− ( x − 1)= 0, x − 1 < 0 với mọi x < 1 và lim− ( x )= 1 > 0
x →1

Do đó: lim−
x →1

x →1

x
= −∞ .
x −1

D. 1 .


Câu 34. Hình chóp tứ giác có tất cả số mặt là
A. 4 .

B. 6 .

C. 7 .

D. 5 .

Lời giải
Chọn D

S

A
B

D
C

Dễ thấy hình chóp tứ giác có tất cả số mặt là: 5.
Câu 35. Cho hình chóp S . ABC có G là trọng tâm của tam giác ABC . Tính d ( G, ( SBC ) ) khi biết

d ( A, ( SBC ) ) = 3 (đơn vị dài).
A.

2
.
3

B. 3 .

C. 1 .

D.

1
.
3

Lời giải
Chọn C

Gọi I là trung điểm BC ⇒ AG cắt ( SBC ) tại I .
Ta có

d ( G, ( SBC ) ) 1
GI 1
1
d ( A, ( SBC ) ) =
1.
=
⇒
=
⇒ d ( G, ( SBC ) ) =
3
AI 3
d ( A, ( SBC ) ) 3

Câu 36. Giới hạn lim
A. 0 .

1

bằng
n + 2020
B.

1
.
3

C.

1
.
2

D. +∞ .