Bài tập giản đồ Bode tổng hợp

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (750.02 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

1. Cho hê ̣ thống điều khiển tự đô ̣ng có sơ đồ khối như Hı̀nh 1.

(Hı̀nh 1)

a) Với Gc(s) = 2, hãy vẽ Bode biên và Bode pha cho hê ̣ G1(s) = Gc(s)*G(s). Từ biểu đồ
Bode biên và Bode pha vẽ được, hãy xác đi ̣nh đô ̣ dự trữ biên GM và đô ̣ dự trữ pha PM.
b) Giả sử cho ( ) 1

c c

Ts
G s K

Ts
 


 (với   1) là bô ̣ điều khiển sớm pha cần thiết kế. Dựa
vào phương pháp biểu đồ Bode, hãy tı̀m các thông số (Kc , T và T) của Gc(s) sao cho
hê ̣ thỏa mãn các yêu cầu sau:

Hê ̣ số vận tốc * 20
v

K  ; độ dự trữ pha PM* = 50o; độ dự trữ biên GM*  10 dB.

Giải:

1.a) Với Gc(s) = 2, ta có hàm truyền của hê ̣: 1( ) ( ). ( ) 20 201 1

( 1) ( 1)

c

G s G s G s

s s s s

  

  .

* Bode biên:

Hệ có 1 khâu khuếch đại (K = 20), 1 khâu tích phân lý tưởng s-1 (tức α = -1), và 1 khâu

quán tính bậc 1.

 Khâu quán tính bậc 1 có T = 1 => ω = (1/T) = 1 (là tần số gãy ở Bode biên)
 Biểu đồ Bode gần đúng đi qua điểm A có tọa độ:

( ) 20lg 20 lg( ) 26

o

o o

L K dB



  




   



Hoặc có thể chọn điểm A là:

0.1

( ) 20lg 20 lg( ) 20lg(20) 20( 1)lg(0.1) 46

o

o o

L K dB



  




      



 Đoa ̣n thẳng thứ nhất đi qua điểm A có đô ̣ dốc -20dB đến tần số gãy ω =1 thı̀ vẽ tiếp 
đoa ̣n thứ hai có đô ̣ dốc cô ̣ng thêm -20dB; đoa ̣n thẳng này sẽ cắt tru ̣c hoành (có biên
đô ̣ L(ω) = 0dB) ta ̣i điểm có tần số cắt biên gần đúng là ωc = 4.5

Lưu ý: Có thể chọn giá tri ̣ ωc gần đúng quanh giá tri ̣ 4.5 hoặc có thể tı́nh ωc theo

công thức:

( ) 1c ( c) 1

M    G j 

2 2 2

2 2 2 2

20 20

1 1 400 (1 )

( 1) 0 . 1 c c

c c c c

j j    

      

  

4 2 400 0;

c c

 

   

đặt 2

c
x

1
2

19.5
400 0

20.5

x

x x

x




     

 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Vậy: c  19.5 4.47 
* Bode pha:

Góc pha của hê ̣ thống G1(s) là tổng của pha 3 thành phần:

( ) 0 90o tan ( )

T

       , (với T=1)

Ta ̣i ω =0.1: (0.1) 0 90  o tan (0.1)1  90o5.71o  95.71o
Ta ̣i ω =1: (1) 0 90  o tan (1)1  90o45o  135o

Ta ̣i ω = ωc = 4.5: (4.5) 0 90  otan (4.5)1  90o 77.47o  167.47o

Ta ̣i ω =10: (10) 0 90  otan (10)1  90o84.29o  174.29o
Ta ̣i ω =100: (100) 0 90  o tan (100)1  90o89.42o  179.42o

Bode pha và bode biên được vẽ gần đúng như sau: (xem hı̀nh trang sau, đường
vẽ màu xanh)

* Dựa trên biểu đồ Bode pha, ta có:
GM = +

PM = 180o + φ(ω

c)=180o -167.47o = 12.53o > 0

1.b) Tı̀m các thông số (Kc , T và T) của bộ điều khiển: ( ) 1
1

c c

Ts

G s K

Ts

 


 (với   1)

o Tı́nh Kc:

Ta có: *

20 20 20

2
10

lim . ( ) lim . 10
( 1)

v
c

v s

s
K

K

K s G s s

s s




    



o Vẽ biểu đồ bode với G1(s) = KcG(s) = 2. 10 201 1

( 1) ( 1)

s s  s s .

Hàm truyền này giống với hàm truyền G1(s) đã vẽ ở câu 1.a ở trên.

o Tần số cắt biên: ωc = 4.5.





2 2

4 2

( ) 1

1 1

20 1

1
20

1
1

400 1

400 0

400 0
C

c c

c

G j

jw jw

w w

w w

w w

 




 

  



  

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

 





1 1

( ) 20

( ) 0 1

( ) 90o tan ( )

j j

 

 

   

   

   

      


   

     

  

PM=180-167=13
o Góc pha cần bù:

max PM PM

    , cho ̣n  = 5o, ta có:

max 50 12.5 5 42.5

o o o o

    

o Tı́nh :

max
max

1 sin( ) 1 sin(42.5 ) 1 0.67

5.06
1 sin( ) 1 sin(42.5 ) 1 0.67

o
o






  

   

  

o Tı́nh tần số cắt biên mới:

( )c 10 lg 10 lg(5.06) 7.04( )

L         dB

Từ biểu đồ bode biên, ta ̣i vi ̣ trı́ L() = -7.04, ta tìm được c 6.7(dB)

Hoặc, ccó thể tính từ biểu thức: 1

( c) c

G j 



   

o Tı́nh T:

1 1 1

0.066
6.7 2.24

6.7 5.06

c
T

 

   




o Tı́nh T:

5.06 0.066 0.337

T T

     

Vâ ̣y:

1 0.337 1 0.674 1

( ) 2

1 0.066 1 0.066 1

c c

Ts s s

G s K

Ts s s

   

   

  

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2. Cho hê ̣ kı́n như Hı̀nh 2, với hàm truyền hở đối tượng là ( )

( 1)( 5)
K
G s

s s s


  .

(Hı̀nh 2)

a) Giả sử cho K = 100, anh/chi ̣ hãy vẽ Bode biên và Bode pha cho hê ̣ trên. Dựa vào biểu
đờ Bode có được, hãy xác đi ̣nh đơ ̣ dự trữ pha (PM) và đô ̣ dự trữ biên (GM). Hê ̣ thống
có ổn đi ̣nh không?

(Biết: PM = 180o + φ(ω

c); và GM = 1/M(ω-π) = -L(ω-π) )

b) Tı̀m K để hê ̣ có tần số cắt mới ωc=1. Tı́nh đô ̣ dự trữ pha PM trong trường hợp này

Giải:

2a) Với K = 100, ta có: ( ) 100 1 1 0.2 201 1 1

( 1)( 5) 1 0.2 1 1 0.2 1

G s

s s s s s s s s s

      

     

Vẽ Bode biên và bode pha:
* Bode biên:

 Có 2 tần số gãy ω1 = 1; ω2 = (1/0.2) = 5

 Biểu đồ Bode gần đúng đi qua điểm A có tọa độ:

( ) 20lg 20 lg( ) 26 0 26 ; ( 20)

o

o o

L K dB K



  




      



 Tìm tần số cắt biên

Từ biểu đồ Bode biên (hình bên dưới), ta có tần số cắt biên ωc = 3.9.

Biểu đồ Bode biên gần đúng là đường gãy khúc tại 2 tần số gãy: ω1 = 1; ω2 = 5,

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Tần số cắt biên ωc cóthể được tính theo biểu thức:

2 2 2 2 2

1 1 1

( ) 1 100 1

1 5

c

c c c

G j

  

     

 

( ( ) 100 100* 1 1 1

( 1)( 5) 1 5

G jw

jw jw jw jw jw jw

   

    )

Bı̀nh phương 2 vế phương trı̀nh, ta có :

2 2 2 2 6 4 2

(100)  c ( c 1)(c 25)c 26c 25c 10000 0

Đă ̣t x= (ωc)2 , giải phương trı̀nh này, ta được 3 nghiê ̣m, trong đó có 2 nghiê ̣m phức, và

1 nghiê ̣m thực là x = 15.2668 (nghiệm thực, dương là nghiệm được chọn).
Vâ ̣y ta cho ̣n ωc= (x)1/2 = 3.9

(Học viên có thể chọn giá tri ̣ ωc gần với giá tri ̣ 3.9 khi vẽ biểu đờ Bode cũng được tính điểm).

* Bode pha:

Hàm truyền của hệ: ( ) 201 1 1

1 0.2 1

G s

s s s

  

 

Góc pha của hê ̣ thống G(s)là:

 









1 1

1 2 1 2

1 1 1

( ) 20

1 0.2 1

( ) 0 1 0.2 1

( ) 90o tan ( ) tan ( ); 1, 0.2

j j j

T T T T

 

  

    

     

     

        

 

     

        

     

(*)
Ta ̣i ω =0.1: Thay vào (*) => (0.1) = – 90o – 5.7o – 1.1o = -96o

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ta ̣i ω = ωc = 3.9: Thay vào (*) => (3.9) = – 90o – 75.6o – 37.9o = -203.5o

Ta ̣i ω =10: Thay vào (*) => (10) = – 90o – 84.3o – 63.4o = -237.7o

Từ các điểm φ(ω) được tính như trên ta vẽ được Bode pha.

 Biểu đồ Bode biên và pha được vẽ gần đúng như hình bên dưới.
Ta dễ nhâ ̣n thấy: GM <0 và PM<0 => Hê ̣ đã cho không ổn đi ̣nh. 
2.b) Tı̀m K để hê ̣ có tần số cắt mới ωc=1

Ta có biểu thức tı́nh biên đô ̣ ta ̣i tần số cắt là:

2 2 2 2 2

1 1 1

( ) 1 1

1 5

c

c c c

G j K

  

     

 

Thay ωc = 1 vào, ta được:

1 2 26 7.21

K    

Vậy K = 7.21

Tính độ dự trữ pha

Góc pha φ ta ̣i tần số cắt là:

1 1

1 2 1 2

( ) 90o tan ( ) tan ( ); 1, 0.2, 1

c T c T c T T c

             

Suy ra: ( ) 90o tan (1) tan (0.2)1 1 90o 45o 11o 146o

c

             

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

3. Cho hê ̣ thống điều khiển như Hı̀nh 3, với 
)
1
5
.
0
)(
1
(
1
)
(



s
s
s
s

G (content in slides)

Hình 3. Sơ đồ hệ thống điều khiển hồi tiếp âm đơn vị.

Trong đó, Gc(s) là khâu hiệu chỉnh trễ pha cần thiết kế có dạng: ( ) 1
1

c c

Ts

G s K

Ts
 


 ( <1).
Anh /Chị hãy thực hiện các bước để thiết kế bộ điều khiển trễ pha Gc(s) sao cho hệ thõa mãn
các thông số:

Hệ số vận tốc * 5
v

K (s-1); độ dự trữ pha PM* 40o; và độ dự trữ biên GM* 10(dB) (3 điểm).

Giải:

*Bước 1: Xác định tham số Kc (0.5 điểm):

Ta có 5

1
5
)
1
5
.
0
)(
1

(
1
lim
5
)
(
lim
5
0
0
*









s
s
s
s
s
sG
K
K
K
s

s
v
v
c

Ta có: 1( ) ( ) 5 1 ( 11) (0.51 1)








s
s
s
s
G
K
s

G c ,

(tương ứng với: K = 5 ; T1 = 1 ; T2 = 0.5)

* Bước 2: Vẽ biểu đồ Bode biên độ và Bode pha (1 điểm):

 G1(s) Có 2 tần số gãy: ω1 = (1/T1) =(1/1)= 1(rad/s); ω2 = (1/0.5) = 2 (rad/s)
 Biểu đồ Bode gần đúng đi qua điểm A có tọa độ:














)
(
14
7
.
0
20
)
1
log(
20
)
5
log(
20
)

lg(
20
)
lg(
20
)
(
1
dB
K

L o o

o







 Đoạn thẳng thứ nhất đi qua điểm A có đô ̣ dốc -20dB kéo lên bên trái tại tần số
gãy ω1 =1. Tại đây vẽ tiếp đoạn thẳng có độ dốc cộng thêm -20dB, đến tần sớ gãy ω =2
thı̀ vẽ tiếp đoa ̣n thứ hai có đô ̣ dốc cô ̣ng thêm -20dB; đoa ̣n thẳng này sẽ cắt tru ̣c hoành
(có biên đô ̣ L(ω) = 0dB) ta ̣i điểm có tần số cắt biên gần đúng là ωc = 2 (rad/s)

Vậy, biểu đồ Bode biên độ như hình bên dưới.

 Bode pha được vẽ thông qua biểu thức tổng qt tính góc pha () tại các vị trí
ω khác nhau:

)
(
tan
)
(
tan
90
)

( 1 2

1  



  o   T   T ; (với T

1 = 1 (s) ; T2 = 0.5 (s)) (*)
Ta ̣i ω =0.1: Thay vào (*) => (0.1) = – 90o – 5.7o – 2.9o = -98.6o
Ta ̣i ω =1: Thay vào (*) => (1) = – 90o – 45o – 26.6o = -161.6o

E(s) Y(s)

R(s)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ta ̣i ω = ωc = 2: Thay vào (*) => (2) = – 90o – 72.6o – 45o = -207.6o
Ta ̣i ω =10: Thay vào (*) => (10) = – 90o – 84.3o – 78.7o = -253o

*Bước 3: Xác định tần số cắt mới:

,
180

)

( ' *

1  

 c  PM  với: 



5o20o



o

c) 180 40 5 135
( '

1    

  .
Từ đây, nhìn từ biểu đồ Bode, ta xác định được: ' 0.5(rad /s)

c 

 (0.5đ)

Hoặc tính tần số cắt mới bằng phương pháp giải tích như sau:





 ,   *

1( ) 180 M

o
C
0
0
'
1
'
1

0 tan ( ) tan (0.5 ) 180 40 5

90     



   o

C
C 

0
'

1
'

1( ) tan (0.5 ) 45

tan  

  
C
C 

sec)
/
(
56
.
0
1
)
45
(
tan
)
(
5
.
0
1
)
5

.
0
(
)
(
'
0
1
2
'
'
'
rad
C
C
C
C






 




(tan(45))

=> Có thể chọn tần số cắt là 0.5 hoặc 0.56 rad/s

*Bước 4: Tính α từ điều kiện:

Cách 1: Tính từ điều kiện:





1
)
1
5
.
0
)(
1
(
5
1
)
(
'
,

1     

j C

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>



1
1
28
.
0
1
56
.
0
56
.
0

1
)
1
56
.
0
5
.
0
)(
1
56
.

0
(
56
.
0

2   









j
j

j

133
.
0



Cách 2: Tính α từ điều kiện: 


 ) 20lg
( '

1 c 
L

Từ biểu đồ Bode, ta xác định được ( ') 18
1 c 
L 

Suy ra: 10 0.13

20
18
lg

lg
20

18       0.9  (0.5đ)

*Bước 5: Chọn zero của khâu trễ pha thỏa điều kiện:

56
.
0

1  ' 

c

T 

 vậy ta có thể chọn 1 T 0.05 => αT=20 (0.25đ)

*Bước 6 : Tính T :

154
13
.
020 




T

T (0.25đ)
Vậy, bộ điều khiển trễ pha cần thiết kế là :

1
154

1
20
5
1

1
)

(





s
s
Ts

Ts
K
s

Gc c

</div>

Bài tập giản đồ Bode tổng hợp





 

 





 

 













Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về