Nghiên cứu các mô hình xấp xỉ và nội suy để xây dựng các thuật toán lọc và nén âm thanh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
------------

HUỲNH NGỌC THÁI DUY

NGHIÊN CỨU CÁC MƠ HÌNH XẤP SỈ VÀ NỘI SUY ĐỂ XÂY
DỰNG CÁC THUẬT TOÁN LỌC VÀ NÉN ÂM THANH

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60 46 36

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP . HỒ CHÍ MINH, tháng 06 năm 2013


i

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
------------

HUỲNH NGỌC THÁI DUY

NGHIÊN CỨU CÁC MƠ HÌNH XẤP SỈ VÀ NỘI SUY ĐỂ XÂY
DỰNG CÁC THUẬT TOÁN LỌC VÀ NÉN ÂM THANH

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60 46 36

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP . HỒ CHÍ MINH, tháng 06 năm 2013


ii

Cơng trình được hồn thành tại: Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học : TS. Vũ Đức Phú

Cán bộ chấm nhận xét 1 : ........................................................................

Cán bộ chấm nhận xét 2 : ........................................................................

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp. HCM
ngày . . . . . tháng . . . . năm 2013
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1. ............................................................
2. ............................................................
3. ............................................................
4. ............................................................
5. ............................................................
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên
ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

iii
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Tp. HCM, ngày 21 Tháng 06 Năm 2013

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên :

Huỳnh Ngọc Thái Duy

Phái : Nam

Ngày sinh

11-12-1981

Nơi sinh : Cà Mau

Toán ứng dụng

MSHV : 10240509

:

Chuyên ngành :
I – TÊN ĐỀ TÀI :

NGHIÊN CỨU CÁC MƠ HÌNH XẤP SỈ VÀ NỘI SUY ĐỂ XÂY DỰNG CÁC
THUẬT TOÁN LỌC VÀ NÉN ÂM THANH
II – NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG :
• Giới thiệu về tín hiệu rời rạc và hệ thống rời rạc .
• Các phép biến đổi quan trọng..
• Giải thuật nén LPC – Linear prediction coding
• Giải thuật nén CELP- Code excited linear prediction
III – NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 21/12/2012
IV – NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 21/06/2013
V – CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS. Vũ Đức Phú

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CN BỘ MƠN
QL CHUN NGÀNH

TS. Vũ Đức Phú

PGS.TS Nguyễn Đình Huy

TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG


iv

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tác giả xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã động
viên, hỗ trợ và là chỗ dựa vững chắc trong suốt những năm qua.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến TS Vũ Đức Phú. Người đã dìu
dắt tác giả vào con đường khoa học ứng dụng. Thầy đã tận tâm hướng dẫn, đưa ra
những gợi ý sâu sắc, những lời khuyên nhủ sáng suốt và tạo mọi điều kiện cho tác
giả học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn này.
Bên cạnh đó, xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến các Thầy Cô của Bộ mơn
Tốn Ứng dụng vì những bài giảng nghiêm túc và chất lượng, những giây phút
trao đổi thú vị và bổ ích, những lời khuyên nhủ sáng suốt và chân tình trong suốt
khoá học.
Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn sự giúp đỡ quý báu và kịp thời của các bạn học
viên lớp Cao học Tốn Ứng dụng khóa 2011 Trường Đại học Bách Khoa
TP.HCM.
Xin chân thành cảm ơn.

Huỳnh Ngọc Thái Duy


v

TĨM TẮT
Luận văn bao gồm bốn chương: Chương 1 trình bày các vấn đề về biểu
diễn, phân tích, nhận dạng, thiết kế và thực hiện hệ thống rời rạc. Chương 2 trình
bày các lý thuyết cơ bản về: Biến đổi Z, biến đổi Z ngược, biến đổi Fourier liên
tục, biến đổi Fourier rời rạc, biến đổi Fourier nhanh, tính chất và mối liên hệ giữa
những phép biến đổi trên. Chương 3 trình bày cấu tạo và nguyên tắc hoạt động của
cơ quan phát âm của người. Từ đó xây dựng cở sở lý thuyết và giải thuật cho thuật
toán nén tiếng nói LPC-Linear prediction coding. Chương bốn trình bày cở sở lý
thuyết và giải thuật cho thuật toán nén tiếng nói CELP-Code excited linear
prediction.

ABSTRACT

The thesis consist four chapters. Chapter 1 is a general introduction of
discrete system and some basic manipulations on discrete system such as:
express, analyse, recognise and design discrete systems.
Chapter 2 is a review of important transforms such as: Z tramsform, inverse
Z transform, Fourier transform, inverse Fourier transform, fast Fourier transform
as well as the properties, relationship between them.
Chapter 3 present the structure of the human speech generation system and
its approximation by a physical model consisting of tube sections. Then by a
mathematics model consisting digital filters. From those, showing the mathematics
theory to construct Linear prediction coding algorithm.
Chapter 4 provided the mathematics theory and also algorithm of Code
excited linear prediction method, which achieved a good compression rate but still
keep the quality of sound very close to the original.


vi

Mục lục
Chương 1. Giới Thiệu Về Tín Hiệu Rời Rạc Và Hệ Thống Rời Rạc

3

1.1.Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.Tín hiệu rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1. Định nghĩa tín hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2. Phân loại tín hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.3. Định lý lấy mẫu Nyquist–Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.4. Cách biểu diễn tín hiệu rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.5. Các tín hiệu rời rạc cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.6. Các phép toán cơ bản của dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.Hệ thống rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.1. Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.2. Phân loại hệ thống rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4.Tổng chập (Convolution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.2. Các tính chất của tổng chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5.Tương quan giữa các tính hiệu rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.5.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.5.2. Một số tính chất của tương quan chéo và tự tương quan . . . . . . . . . . . . . .

15

Chương 2. Các Phép Biến Đổi Quan Trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2.Biến đổi Z (Z transform) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2.2. Miền hội tụ (ROC: Region of Convergence) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2.3. Cực và zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.4. Biến đổi Z ngược (The inverse Z -transform) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

vii
2.2.5. Các tính chất của biến đổi Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.6. Các cặp biến đổi Z cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.7. Hàm truyền đạt của hệ thống LTI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3.Biến đổi Fourier (Fourier transform) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3.1. Chuổi Fourier của một tín hiệu liên tục tuần hồn theo thời gian . . . . .

23

2.3.2. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3.3. Biến đổi Fourier ngược của tín hiệu liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.4.Biến đổi Fourier rời rạc-DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.4.1. Biến đổi Fourier rời rạc-DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.4.2. Biến đổi Fourier rời rạc ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.5.Biến đổi Fourier rời rạc nhanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Chương 3. Mơ Hình Tốn Học Của Hệ Thống Phát Âm Của Người Phương pháp LPC (Linear Prediction Coding) . . . . . . .

34

3.1.Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.2.Bộ máy phát âm và cơ chế phát âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.2.1. Bộ máy phát âm :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.2.2. Cơ chế phát âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.3.Mơ hình tốn học của hệ thống phát âm của người . . . . . .

39

3.4.Phương pháp LPC - Linear prediction coding . . . . . . . . . . . .

44

3.4.1. Cách xác định các hệ số tiên đoán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.4.2. Cách tìm chu kỳ khởi tạo dãy xung đơn vị P và hệ số khuếch đại G . .

48

3.4.3. Thuật toán LPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Chương 4. Phương pháp CELP (Code excited linear prediction) .

54

4.1.Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

4.2.Phương pháp CELP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

4.2.1. Bộ lọc nhấn cảm nhận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

4.2.2. Bộ lọc dự đoán thời gian dài - Long term prediction filter . . . . . . . . . . . .

56

4.2.3. Codebook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58


viii
4.2.4. Cách tính các thơng số cho một subframe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.Thuật toán nén và giải nén theo phương pháp CELP. . . . .

60

63

4.3.1. Nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

4.3.2. Giải nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64


1

LỜI MỞ ĐẦU
Với sự phát triển của máy tính và internet, nhu cầu chia sẽ thông tin càng
ngày càng được địi hỏi cao. Với các dạng dữ liệu có dung lượng lớn, ví dụ dữ
liệu hình ảnh hay các album nhạc, thì việc gửi qua internet là một việc làm
mất rất nhiều thời gian. Do đó, các nhóm nghiên cứu, các tổ chức, và nhiều
công ty khác nhau đã cố gắng tìm ra những định dạng âm thanh mới sử dụng
những thuật toán riêng để nhằm giảm bớt dung lượng dữ liệu cần để diễn tả
âm thanh gốc cùng lúc đó cố gắng giữ cho âm thanh gần với âm thanh gốc
nhất.
Nén âm thanh sẽ giúp cho các công ty điện thoại có thể thực hiện nhiều
cuộc gọi hơn trên một hệ thống đường truyền. Nén âm thanh rất cần thiết
trong các công nghệ phát triển điện thoại di động bởi nó giúp người dùng sử
dụng hiệu quả hơn các gói dung lượng được cấp. Sử dụng ít dung lượng hơn
cho việc truyền tải âm thanh đồng nghĩa với việc có nhiều dung lượng hơn có
những dich vụ khác ví dụ như: hình ảnh và video. . .
Có rất nhiều định dạng khác nhau đã ra đời như: wav, mp3, wma, aac, ogg,
mpc, atrac, .... Chúng hoạt động gần giống nhau nhưng mỗi định dạng có 1
thuật tốn khác nhau để xác định xem giữ lại mẫu âm thanh nào, bỏ mẫu âm

thanh nào, hoặc điều chỉnh mẫu âm thanh thế nào. Bên cạnh thuật tốn nén
âm thanh nói chung như trên, thì đặc điểm ngơn ngữ của từng quốc gia cũng
là một yếu tố rất quan trọng trong hiệu quả của các thuật toán. Hiện tại, các
đề tài về nén âm thanh dành riêng cho Tiếng việt còn đang bỏ ngỏ. Do đó,
việc nghiên cứu các mơ hình xấp xỉ và nội suy để xây dựng các thuật toán lọc
và nén âm thanh đặc biệt là âm thanh bằng tiếng Việt là một hướng nghiên
cứu rất quan trong và có ứng dụng thực tiễn cao.
Do thời gian thực hiện đề tài khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên khơng
tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những


2
ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn!
Tp.Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 05 năm 2013
Huỳnh Ngọc Thái Duy


3

Chương 1

Giới Thiệu Về Tín Hiệu Rời Rạc Và
Hệ Thống Rời Rạc
1.1

Giới thiệu

Sự phát triển của công nghệ vi điện tử và máy tính cùng với sự phát triển
của thuật tốn tính tốn nhanh đã làm phát triển mạnh mẽ các ứng dụng của
xử lý tính hiệu số (Digital Signal Proccessing). Hiện nay, xử lý tín hiệu số đã

trở thành một trong những ứng dụng cơ bản cho kỹ thuật mạch tích hợp hiện
đại với các chip có thể lập trình ở tốc độ cao. Xử lý tín hiệu số được ứng dụng
trong nhiều lĩnh vực khác nhau như:
- Xử lý tín hiệu âm thanh, tiếng nói: nhận dạng lời nói, giọng nói; tổng hợp
tiếng nói; biến văn bản thành tiếng nói; kỹ thuật âm thanh số ;. . .
- Xử lý ảnh: thu nhận và khôi phục ảnh; làm nổi đường biên; lọc nhiễu;
nhận dạng; thị giác máy; hoạt hình; các kỹ xảo về hình ảnh; bản đồ;. . .
- Viễn thơng: xử lý tín hiệu thoại và tín hiệu hình ảnh, video; truyền dữ
liệu; khử xuyên kênh; điều chế, mã hóa tín hiệu; . . .
- Thiết bị đo lường và điều khiển: phân tích phổ; đo lường địa chấn; điều
khiển vị trí và tốc độ; điều khiển tự động;. . .
- Quân sự: truyền thông bảo mật; xử lý tín hiệu rada, sonar; dẫn đường tên
lửa;. . .
- Y học: não đồ; điện tim; chụp X quang; chụp CT(Computed Tomography
Scans); nội soi;. . .


4
Có thể nói, xử lý tín hiệu số là nền tảng cho mọi lĩnh vực và chưa có sự biểu
hiện bão hịa trong sự phát triển của nó. Việc xử lý tín hiệu rời rạc được thực
hiện bởi các hệ thống rời rạc. Trong chương 1 này, chúng ta nghiên cứu về các
vấn đề biểu diễn, phân tích, nhận dạng, thiết kế và thực hiện hệ thống rời rạc.

1.2

Tín hiệu rời rạc

1.2.1

Định nghĩa tín hiệu

Tín hiệu là một đại lượng vật lý chứa thơng tin. Về mặt tốn học, tín hiệu
được biểu diễn bằng một hàm của một hay nhiều biến độc lập. Chẳng hạn, tín
hiệu tiếng nói được biểu thị như một hàm số của thời gian cịn tín hiệu hình
ảnh thì lại được biểu diễn như một hàm số của hai biến số khơng gian. Mỗi
loại tín hiệu khác nhau có các tham số đặc trưng riêng, tuy nhiên tất cả các
loại tín hiệu đều có các tham số cơ bản là độ lớn (giá trị), năng lượng và cơng
suất, chính các tham số đó nói lên bản chất vật chất của tín hiệu. Tín hiệu
được biểu diễn dưới dạng hàm của biến thời gian x(t), hoặc hàm của biến tần
số X(ω). Trong luận văn này, chúng ta qui ước tín hiệu là một hàm của một
biến độc lập và biến này là thời gian. Giá trị của hàm tương ứng với một giá
trị của biến được gọi là biên độ (amplitude) của tín hiệu. Ta thấy rằng, thuật
ngữ biên độ ở đây không phải là giá trị cực đại mà tín hiệu có thể đạt được..

1.2.2

Phân loại tín hiệu

Có nhiều cách để phân loại tín hiệu, dưới đây là cách phân chia theo cặp
thuộc tính:
Thời gian rời rạc - Thời gian liên tục
- Tín hiệu rời rạc (về mặt thời gian): là tín hiệu chỉ xác định trên một tập
rời rạc của thời gian (một tập những thời điểm rời rạc). Về mặt tốn học,
tín hiệu rời rạc mang giá trị thực (hoặc phức) có thể được xem là một
hàm liên kết tương ứng từ tập số tự nhiên đến tập số thực (hoặc phức).
- Tín hiệu liên tục (về mặt thời gian): là tín hiệu mang giá trị thực (hoặc


5
phức) xác định với mọi thời điểm trong một khoảng thời gian, trường hợp

phổ biến nhất là một khoảng thời gian vô hạn. Chú ý: Một hàm không liên
tục về mặt tốn học, ví dụ như hàm sóng vng (square-wave) hay sóng
răng cưa (sawtooth-wave), vẫn có thể là hàm liên tục về mặt thời gian.
Tương tự - Số
- Tín hiệu tương tự: là tín hiệu có giá trị thay đổi liên tục theo thời gian.
- Tín hiệu số: là tín hiệu đã được lấy mẫu và lượng tử hóa.

1.2.3

Định lý lấy mẫu Nyquist–Shannon

Nếu x = x(t) là một tín hiệu liên tục theo thời gian t và tín hiệu này được
lấy mẫu cách đều nhau một khoảng thời gian là Ts , biên độ của mẫu thứ n là
x(nTs ) hay x(n) nếu ngầm hiểu rằng ta đã chuẩn hoá trục thời gian theo Ts .
Ts gọi là chu kỳ lấy mẫu (Sampling period). fs = 1/Ts được gọi là tần số lấy
mẫu (Sampling frequency). Định lý lấy mẫu được phát biểu như sau:
Một tín hiệu x(t) khơng chứa bất kỳ thành phần tần số nào lớn hơn hoặc
bằng một giá trị fmax có thể biểu diễn chính xác bằng tập các giá trị của nó
với chu kỳ lấy mẫu Ts = 1/(2fmax ).
Như vậy, tần số lấy mẫu phải thoả mãn điều kiện fs ≥ 2fmax . Tần số giới
hạn fs /2 này được gọi là tần số Nyquist và khoảng (−fs /2; fs /2) gọi là khoảng
Nyquist.
Về bản chất, định lý cho thấy một tín hiệu tương tự có tần số giới hạn đã
được lấy mẫu có thể được tái tạo hồn tồn từ một chuỗi vơ số các mẫu nếu
tỷ lệ lấy mẫu lớn hơn 2fmax mẫu trong 1 giây, fmax là các tần số lớn nhất của
tín hiệu ban đầu.

1.2.4

Cách biểu diễn tín hiệu rời rạc

Một tín hiệu rời rạc có thể được biểu diễn bằng một dãy các giá trị (thực
hoặc phức). Phần tử thứ n của dãy được ký hiệu là x(n) và một dãy được ký


6
hiệu như sau:
x = x(n) với − ∞ ≤ n ≤ ∞

(1.1)

x(n) được gọi là mẫu thứ n của tín hiệu x.
Ghi chú:
- Từ đây về sau, trục thời gian sẽ được chuẩn hóa theo Ts , khi cần trở về
thời gian thực, ta thay biến n bằng nTs.
- Tín hiệu rời rạc chỉ có giá trị xác định ở các thời điểm nguyên n.
- Để đơn giản, sau này, thay vì ký hiệu đầy đủ, ta chỉ cần viết x(n) và hiểu
đây là dãy x = x(n).

1.2.5

Các tín hiệu rời rạc cơ bản

Tín hiệu xung đơn vị (unit impulse)
Đây là dãy cơ bản nhất được biểu diễn như sau:


1, nếu n = 0,
δ(n) =


0, nếu n = 0.

(1.2)

Hình 1.1: Tín hiệu xung đơn vị δ(n)

Tín hiệu hằng
Tín hiệu này có giá trị bằng nhau với tất cả các giá trị của n:
x(n) = a với − ∞ ≤ n ≤ ∞

(1.3)


7
Tín hiệu nhảy bậc đơn vị
Dãy này thường được ký hiệu là u(n) và được định nghĩa như sau:


1, nếu n ≥ 0,
u(n) =

0, nếu n < 0.

(1.4)

Hình 1.2: Tín hiệu nhảy bậc đơn vị u(n)

Mối quan hệ giữa tín hiệu nhảy bậc đơn vị với tín hiệu xung đơn vị:
n

δ(k) =⇒ δ(n) = u(n) − u(n − 1)

u(n) =

(1.5)

k=−∞

Tín hiệu tuần hồn
Một tín hiệu x(n) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ N khi:
x(n + N ) = x(n), ∀n.

Hình 1.3: Tín hiệu tuần hồn x(n)

(1.6)


8

1.2.6

Các phép toán cơ bản của dãy

Cho 2 dãy x1 = {x1 (n)} và x2 = {x2 (n)} các phép tốn cơ bản trên hai
dãy được định nghĩa như sau:
• Phép nhân 2 dãy: y = x1 .x2 = {x1 (n).x2 (n)}
• Phép nhân 1 dãy với 1 hệ số: y = a.x = {a.x(n)}
• Phép cộng 2 dãy: y = x1 + x2 = {x1 (n) + x2 (n)}
• Phép dịch một dãy: (Shifting):
- Dịch phải: Gọi y là dãy kết quả trong phép dịch phải n0 mẫu một

dãy x ta có:
y(n) = x(n − n0 )

(1.7)

Phép dịch phải còn gọi là phép làm trễ (delay). Phép làm trễ một mẫu
thường được ký hiệu bằng chữ D hoặc Z −1 .
- Dịch trái: Gọi z là dãy kết quả trong phép dịch trái n0 mẫu một dãy
x ta có:
y(n) = x(n + n0 )

(1.8)

Nhận xét: Ta thấy, một tín hiệu x(n) bất kỳ có thể biểu diễn bởi tín hiệu
xung đơn vị như sau:
∞

x(k)δ(n − k)

x(n) =

(1.9)

k=−∞

1.3
1.3.1

Hệ thống rời rạc
Khái niệm

Hệ thống rời rạc
Định nghĩa: Hệ thống thời gian rời rạc là một toán tử(operator) hay là
một toán thuật (algorithm) mà nó tác động lên một tín hiệu vào để cung cấp


9
một tín hiệu ra theo một qui luật hay một thủ tục (procedure) tính tốn nào
đó. Định nghĩa theo tốn học, đó là một phép biến đổi hay một tốn tử mà nó
biến một dãy vào x(n) thành dãy ra y(n). Ký hiệu:
y(n) = {T x(n)}

(1.10)

Tín hiệu vào được gọi là tác động hay kích thích (excitation), tín hiệu ra
được gọi là đáp ứng (response). Biểu thức biểu diễn mối quan hệ giữa kích
thích và đáp ứng được gọi là quan hệ vào ra của hệ thống.
Đáp ứng xung (Impulse respond)
Đáp ứng xung h(n) của một hệ thống rời rạc là đáp ứng của hệ thống khi
kích thích là tín hiệu xung đơn vị δ(n), ta có:
h(n) = {T δ(n)}

(1.11)

Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ khối
Để có thể biểu diễn một hệ thống bằng sơ đồ khối, ta cần định nghĩa các
phần tử cơ bản. Một hệ thống phức tạp sẽ là sự liên kết của các phần tử cơ
bản này.
- Phần tử nhân dãy với dãy (signal multiplier): tương ứng với phép nhân
hai dãy, có sơ đồ khối như sau:

Hình 1.4: Sơ đồ nhân dãy với dãy

- Phần tử nhân một dãy với một hằng số (Constant multiplier): tương ứng
với phép nhân một hệ số với một dãy, có sơ đồ khối như sau:


10

Hình 1.5: Sơ đồ nhân một dãy với với một hằng số

- Phần tử cộng (Adder): tương ứng với phép cộng hai dãy, có sơ đồ khối như
sau:

Hình 1.6: Sơ đồ cộng hai dãy

- Phần tử làm trễ một mẫu (Unit Delay Element): tương ứng với phép làm
trễ một mẫu, có sơ đồ khối như sau:

Hình 1.7: Sơ đồ làm trễ một dãy

1.3.2

Phân loại hệ thống rời rạc

Các hệ thống rời rạc được phân loại dựa vào các thuộc tính của nó, cụ thể
là các thuộc tính của tốn tử biểu diễn hệ thống (T).
Hệ thống không nhớ (Memoryless systems):
Hệ thống khơng nhớ cịn được gọi là hệ thống tĩnh (Static systems) là một
hệ thống mà đáp ứng y(n) ở mỗi thời điểm n chỉ phụ thuộc vào giá trị của tác

11
động x(n) ở cùng thời điểmn đó.
Một hệ thống khơng thỏa mãn định nghĩa trên được gọi là hệ thống có nhớ
hay hệ thống động (Dynamic systems).
Hệ thống tuyến tính (Linear systems)
Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu nó thỏa mãn nguyên lý chồng
chất (Principle of superposition). Gọi y1 (n) và y2 (n) lần lượt là đáp ứng của
hệ thống tương ứng với các tác động x1 (n) và x2 (n) hệ thống là tuyến tính nếu
và chỉ nếu:

T {ax1 (n) + bx2 (n)} = aT {x1 (n)} + bT {x2 (n)} = ay1 (n) + by2 (n)

(1.12)

với a, b là 2 hằng số bất kỳ và với mọi n. Ta thấy, đối với một hệ thống
tuyến tính, thì đáp ứng của một tổng các tác động bằng tổng đáp ứng của hệ
ứng với từng tác động riêng lẻ. Một hệ thống không thỏa mãn định nghĩa trên
được gọi là hệ thống phi tuyến (Nonliear systems).
Hệ thống bất biến theo thời gian (Time-Invariant systems)
Một hệ thống là bất biến theo thời gian nếu và chỉ nếu tín hiệu vào bị dịch
nd mẫu thì đáp ứng cũng dịch nd mẫu, ta có:
Nếu y(n) = T {x(n)} và x1 (n) = x(n − nd )
Thì y1 (n) = T {x1 (n)} = T {x(n − nd )} = y(n − nd )
Hệ thống ổn định (Stable systems)
Một hệ thống ổn định còn được gọi là hệ thống BIBO (Bounded-Input
Bounded-Output) nếu và chỉ nếu với mỗi tín hiệu vào bị giới hạn sẽ cung cấp
dãy ra giới hạn.
Một dãy vào x(n) bị giới hạn nếu tồn tại một số dương hữu hạn Bx sao

cho:
|x(n)| ≤ Bx ≤ +∞, ∀n

(1.13)


12
Một hệ thống ổn định đòi hỏi rằng, ứng với mỗi dãy vào hữu hạn, tồn tại một
số dương By hữu hạn sao cho:
|y(n)| ≤ By ≤ +∞, ∀n

(1.14)

Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI: Linear timeinvariant system)
Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian là hệ thống thỏa mãn đồng
thời hai tính chất tuyến tính và bất biến.
Gọi T là một hệ thống LTI. Giã sử tín hiệu y(n) là đáp ứng của tín hiệu
x(n) theo phương trình (1.9) ta có:
∞

y(n) = T {x(n)} = T {

∞

x(k)δ(n − k)} = x(k)T {
k=−∞

δ(n − k)}
k=−∞

Hay
∞

x(k)h(n − k)

y(n) =

(1.15)

k=−∞

Như vậy một hệ thống LTI hồn tồn có thể được đặc tả bởi đáp ứng xung
của nó và ta có thể dùng kết quả trên để tính đáp ứng của hệ thống ứng với
một kích thích bất kỳ. Hệ thống LTI rất thuận lợi trong cách biểu diễn cũng
như tính tốn, đây là một hệ thống có nhiều ứng dụng quan trọng trong xử lý
tín hiệu.

1.4
1.4.1

Tổng chập (Convolution)
Định nghĩa

Tổng chập của hai dãy x1 (n) và x2 (n) bất kỳ, ký hiệu: * , được định nghĩa
bởi biểu thức sau:
∞

y(n) = x1 (n) ∗ x1 (n) =

x1 (k)x2 (n − k)

k=−∞

(1.16)


13
Theo phương trình (1.15) ta có:
∞

x(k)h(n − k) = x(n) ∗ h(n)

y(n) =

(1.17)

k=−∞

Vậy đáp ứng của một hệ thống bằng tổng chập tín hiệu vào với đáp ứng xung
của hệ thống đó.

1.4.2

Các tính chất của tổng chập

Tính giao hốn (Commutative)
Cho 2 dãy x1 (n) và x2 (n) bất kỳ, ta có:
y(n) = x1 (n) ∗ x2 (n) = x2 (n) ∗ x1 (n)

(1.18)

Tính kết hợp (Associative)
Cho 3 dãy x1 (n), x2 (n) và x2 (n) bất kỳ, ta có:
y(n) = [x1 (n) ∗ x2 (n)] ∗ x3 (n) = x1 (n) ∗ [x2 (n) ∗ x3 (n)]

(1.19)

Hệ quả: Xét hai hệ thống LTI có đáp ứng xung lần lược là h1 (n) và h2 (n)
mắc liên tiếp (cascade), nghĩa là đáp ứng của hệ thống thứ 1 trở thành kích
thích của hệ thống thứ 2. Áp dụng tính chất kết hợp ta được:
y(n) = x(n) ∗ h(n) = [x(n) ∗ h1 (n)] ∗ h2 (n) = x(n) ∗ [h1 (n) ∗ h2 (n)]
hay
h(n) = [h1 (n) ∗ h2 (n)]

Hình 1.8: Tính chất của hệ thống mắc liên tiếp

(1.20)


14
Tính chất phân bố với phép cộng (Distributes over addition)
Tính chất này được biểu diễn bởi biểu thức sau:
y(n) = x1 (n) ∗ [x2 (n) + x3 (n)] = x1 (n) ∗ x2 (n) + x1 (n) ∗ x3 (n)

(1.21)

Hệ quả: Xét hai hệ thống LTI có đáp ứng xung lần lượt là h1 (n) và h2 (n)
mắc song song (parallel). Áp dụng tính chất phân bố ta được đáp ứng xung của
hệ thống tương đương là:
h(n) = h1 (n) + h2 (n)

(1.22)

Hình 1.9: Tính chất của hệ thống mắc song song

1.5

Tương quan giữa các tính hiệu rời rạc

Tương quan của hai tín hiệu là một thuật tốn đo lường mức độ giống nhau
giữa hai tín hiệu đó. Nó được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật
như: radar, sonar, thông tin số,. . .

1.5.1

Các định nghĩa

Tương quan chéo
Xét 2 dãy x(n) và y(n), giả sử rằng ít nhất một trong hai dãy có năng
lượng hữu hạn, khi đó tương quan chéo của x(n) và y(n)) được định nghĩa như


15
sau:
∞

x(k)y(n − k) với n = 1, 2, 3, ...

rxy (n) =

(1.23)

k=−∞

Tự tương quan
Trong định nghĩa tương quan chéo, nếu x(n) = y(n) thì ta sẽ có tự tương
quan. Vậy tự tương quan của tín hiệu x(n) được định nghĩa như sau:
∞

x(k)x(n − k) với n = 1, 2, 3, ...

rxx (n) =

(1.24)

k=−∞

1.5.2

Một số tính chất của tương quan chéo và tự tương
quan

Xét 2 dãy có năng lượng hữu hạn x(n) và y(n), nghĩa là:
∞

∞
2

y 2 (n) < ∞

x (n) < ∞ và Ey =

Ex =
k=−∞

k=−∞

Ta có các tính chất sau đây:
1. Ex = rxx (0) và Ey = ryy (0)
2. rxy (n) = ryx (−n)
3. rxx (n) = rxx (−n) vậy rxx là một hàm chẳn.
4. |rxy (n)| ≤

rxx (0)ryy (0) =⇒ |rxx (n)| ≤ rxx (0)


16

Chương 2

Các Phép Biến Đổi Quan Trọng
2.1

Giới thiệu

Kỹ thuật biến đổi là một cơng cụ hữu hiệu để phân tích hệ thống LTI. Biến
đổi Z đối với tín hiệu rời rạc có vai trị tương tự như biến đổi Laplace đối với
tín hiệu liên tục, và chúng có quan hệ giống nhau với biến đổi Fourier. Tổng
chập của hai dãy trong miền thời gian sẽ biến thành tích của hai biến đổi Z
tương ứng trong miền biến phức z. Tính chất này sẽ làm đơn giản hóa việc
tính đáp ứng của hệ thống với các tín hiệu vào khác nhau.

Như ta sẽ thấy trong các phần tiếp theo, biến đổi Fourier giữa vai trị chìa
khóa trong việc biểu diễn và phân tích các hệ thống rời rạc. Tuy nhiên, trong
một số trường hợp cần phải sử dụng dạng tổng quát hóa của biến đổi Fourier,
đó là biến đổi Z.

2.2
2.2.1

Biến đổi Z (Z transform)
Định nghĩa

Biến đổi Z của một dãy x(n) được định nghĩa như là chuỗi lũy thừa:
∞

x(n)z −n

X(z) =

(2.1)

n=−∞

với z là một biến phức.
Ta có thể coi biến đổi Z như là một tốn tử (operator) mà nó biến một dãy
thành một hàm, ký hiệu ZT , ta viết lại: