Bài giảng Kỹ thuật thủy khí: Chương 3 - ĐH Công nghệ

Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG
Nghiên cứu các đặc trưng và quy luật chuyển động của chất lỏng:
+ Các đại lượng đặc trưng cho chuyển động (Động học)
+ Các quy luật chuyển động dưới tác dụng của các lực (Động lực học)

Nội dung
I. Hai phương pháp nghiên cưú chuyển động chất lỏng
II. Các đặc trưng động học
III. Định lý Cơsi - Hemhon

IV. Phương trình liên tục
V. Phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng thực
VI. Phương trìng Becnuli viết cho dòng chất lỏng thực
VII. Một số ứng dụng của phương trình Becnuli

VIII. Các định lý Ơle


Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

I. Hai phương pháp nghiên cưú chuyển động chất lỏng
I.1 Phương pháp Lagrange
+ Xét tùng phần tử chất lỏng riêng biệt
+ Mô tả chuyển động qua vector bán kính r(a,b,c,t) 
 dr
x=rx(a,b,c,t)
Vận tốc: u 
dt 
Các thành phần: y=ry(a,b,c,t)
2


d
r
z=rz(a,b,c,t)
Gia tốc: w  2

dt

a, b, c, t là các biến số Lagrange
I.2 Phương pháp Euler
+ Khảo sát tổng quát chuyển động theo thời gian qua những điểm cố định M
+ Tại mỗi t, xác định vận tốc tại tất cả các điểm => có trường vận tốc u(x,y,z,t)
ux=u(x,y,z,t)
Các thành phần vận tốc : uy=v(x,y,z,t)
uz=w(x,y,z,t)









 du u u dx u dy u dz u u
u
u
Gia tốc:
w






 ux  u y  uz
dt t x dt y dt z dt t x
y
z


Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

II. Các đặc trưng động học
II.1. Phân loại chuyển động
1 – Dòng chảy dừng và không dừng:

...
0
t
...
Không dừng: Các yếu tố thay đổi theo thời gian, u=u(x,y,z,t),
0
t

Dừng: Các yếu tố không thay đổi theo thời gian, u=u(x,y,z),

2 - Dịng chảy đều và khơng đều:

Đều: Vận tốc bằng nhau tại mọi mắt cắt dọc dòng chảy
Không đều: Vận tốc không giống nhau tại các mắt cắt,
3 - Dịng chảy có áp và dịng chảy khơng áp

Có áp: khơng có mặt thóang

Khơng áp: Có mặt thống

u
 const
x
u
 const
x


Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

II. Các đặc trưng động học
II.2. Các yếu tố thuỷ lực
- Mặt cắt ướt: Mặt cắt vng góc với vectơ vận tốc dịng chảy, giới hạn bởi
thành và mặt thoáng, 
- Chu vi ướt: Đoạn trong mặt cắt ướt tiếp xúc giữa chất lỏng và thành cứng, 
- Bán kính thuỷ lực: Diện tích ướt chia cho chu vi ướt, R 




- Lưu lượng: Lượng chất lỏng chảy qua  trong đơn vị thời gian, Q   ud


- Vận tốc trung bình,

v

Q




Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

II. Các đặc trưng động học
II.3. Đường dòng và dòng nguyên tố
1. Đường dòng: Đường cong mà trên đó vectơ vận tốc tại các điểm trùng với
tiếp tuyến của đường cong
+ Phương trình đường dòng: Từ định nghĩa =>



 
udr  0

hay

dx dy dz


ux u y uz

Trong đó dr là véctơ phân tố của đường dòng
+ Đường dòng khác quỹ đạo
2. Ống dòng: Các đường dịng tựa lên một vịng kín nhỏ gọi là ống dòng.

3. Dòng nguyên tố: Chất lỏng chảy trong ống dịng gọi là dịng ngun tố.
Chất lỏng khơng chảy xun qua ống dòng.


Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

II. Các đặc trưng động học
II.4. Hàm dòng và thế vận tốc
1. Hàm dòng (dịng phẳng)



gọi là hàm dịng
u


và y
y
x
- Phương trình xác định hàm dòng:

- Hàm  thoả mãn:

ux 



dx dy

u

dx

u
dy

dx

dy  d  0

=>
y
x
x
y
ux u y
Như vậy, trong dòng phẳng =C biểu diễn họ các đường dòng
từ

B

B

B

A

A

A

- Ý nghĩa hàm dòng: AB   u s ds   u x dx  u y dy   d   ( B)   ( A)
2. Thế vận tốc



và u y 
gọi là thế vận tốc

y
x B
B
B
- Ý nghĩa thế vận tốc: QAB   un ds   u x dx  u y dy   d   ( B)  ( A)

- Hàm  thoả mãn: u x 

A

A

A

3. Điều kiện trực giao của hàm dòng và hàm thế
   

 0 - Điều kiện trực giao hay điều kiện Cauchy-Riemann
x x y y


Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

II. Các đặc trưng động học
II.5. Đường xoáy và ống xoáy
1. Chuyển động xoáy: Chuyển động quay của mỗi phần tử chất lỏng xung
quanh một trục tức thời đi qua nó được gọi là chuyển động xoáy
 1

2. Vectơ vận tốc quay:   rotu
2

3. Chuyển độngkhơng xốy: rotu  0
4. Đường xốy: Đường cong tiếp xúc với vectơ vận tốc góc gọi là đường xoáy
5. Ống xoáy: Tập hợp các đường xoáy bao quanh một iện tích nào đó
6. Sợi xốy: Chất lỏng trong ống xoáy gọi là sợi xoáy

7. Cường độ xoáy:


i   rot nu


8. Phương trình đường xốy:

dx dy dz


x  y z


Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

III. Định lý Cosi – HemHon (Định lý HemHon 1)
1. Định lý: Vận tốc của phần tử chất lỏng là tổ hợp các thành phần vận tốc tịnh
tiến, chuyển động quay quanh trục tức thời và chuyển động biến dạng
    
u  u0  r  ubd
2. Chứng minh:

 
 
- Biểu diễn tuyến tính u tại lân cận M theo u0 tai M0: u  u0  grad (u ).dr
- Phân tích thành phần chuyển động và vận tốc của nó (mơ tả trong XOY)
u y
u
BB1  x dydt
AA1 
dxdt
u u
y
x
u 


x
y
BB1 u x
Y
d1  tgd1 

dt

d1=d-d
M’
dy
y
u
u
u 
u 

u
AA
y
y
y
d2=d+d
d 2  tgd 2  1 
dt
d1 B
dx
x
M
d

2d = d2 - d1
d
2d = d +d
x

x

x

y

x

x

2

z 

y

1

d 1 d 2 d1
1 u y u x
 (

) (

)
dt 2 dt
dt
2 x y

uy 

M0

d2

A

u y
x

X



u y
x


Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

IV. Phương trình liên tục
Định luật bảo toàn khối lượng : dm/dt=0
1. Dạng tổng qt
- Xét đơn vị thể tích hình hộp V chất lỏng tại điểm quan sát M, thời gian dt
u x


dxdydzdt
- Lượng chảy vào theo trục x:
x
u y
- Lượng chảy vào theo trục y:


dxdydzdt
y
u
- Lượng chảy vào theo trục z:
  z dxdydzdt
z
- Lượng chất lỏng thay đổi trong V:

u u u
d
PT lên tục:   ( x  y  z )  0 hay
dt
x
y
z

div (u )  0
- Không nén được:
- Chuyển động dừng


div ( u )  0

dV

d
 div (u )  0
dt

hay



 div ( u )  0
t


Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

IV. Phương trình liên tục

2. Đối với dòng nguyên tố
Bài tập về nhà:
- Thu nhận phương trình liên tục đối với dịng ngun tố (dòng bao quanh

1 ống dòng, hoặc dòng chảy đầy các đường ống…)
- Đọc hiểu ví dụ trang 41


Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

IV. Phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng thực
1. Dạng chung (ứng suất)
- Khảo sát phân tố đại diện hình hộp dV=dxdydz


- Vận tốc chuyển động u



- Các lực gồm: Ứng suất P ; Lực khối F

Lực quán tính: Fqt

y
z

;

xy
xz
pxx

- Theo nguyên lý D’Alambert:

  
F  P  Fqt  0

- Xét biểu thức các lực trong hệ toạ độ Oxyz:

+ Ứng suất: * Ứng suất pháp Pxx , Pyy, Pzz
* Ứng suất tiếp  xy , xz , yx , yz

O

, zx , zy

+ Lực khối: Fx=dxdydzX, Fy=dxdydzY , F = dxdydzZ z
+ Lực quán tính: Fqt,x, Fqt,y , Fqt,z
- Phương trình theo trục Ox

du x
1 pxx  xy  xz
X (


)
 x
y
z
dt

x


Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

IV. Phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng thực
2. Dạng phương trình Navier-Stokes
- Áp suất thuỷ động:

1
p   ( p xx  p yy  p zz )
3

pxx   p   xx
- Ứng suất pháp:

p yy   p   yy

với

pzz   p   zz
u u
 xy   ( y  x )
x
y
u u
- Ứng suất tiếp:
 xz   ( z  x )
x
z
u u
 yz   ( y  z )
z
y
- Phương trình Navier-Stockes

du x
1 p
1 
X
u x   divu
dt
 x
3 x
du y

1 p
1 

Y 
u y   divu
dt
 y
3 y

du z
1 p
1 
Z
u z   divu
dt
 z
3 z


u x 2
 div (u )
x 3
u y 2

 yy  2
 div (u )
y 3

u 2
 zz  2 z  div (u )
z 3

 xx  2

Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

IV. Phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng thực
2. Dạng phương trình Navier-Stokes
- Phương trình Navier-Stockes dạng vectơ chất lỏng thực, nén được

 
 1

du
1
 F  gradp u  grad (divu )
dt

3

 = / - độ nhớt động học



- Trường hợp chất lỏng thực, không nén được:  =0 => div v  0

 

du
1
 F  gradp u
dt



- Trường hợp chất lỏng lý tưởng (không nhớt, không nén được)

 
du
1
 F  gradp
dt


- Trường hợp chất lỏng đứng yên

 1
F  gradp  0



Chính là phương trình Euler lĩnh


Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

V. Phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng LT
1. Dạng Euler


 1
du
F  gradp 


dt

2. Dạng Lambơ-Grômeca

2


 
u
u
F  grad ( P  ) 
 2u
2
t

dp

với

P

hay

P 1 p P 1 p P 1 p

;

;


x  x y  y z  z



* Thu nhận dạng 2 từ dạng 1: (xem sách giáo trình)

3. Lực khối có thế
- Chọn hàm thế: U sao cho

X 

U
U
U
: Y 
; Z 
x
y
z

2

 
u
u
 grad (U  P  ) 
 2u
2
t

Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

V. Tích phân PT vi phân chuyển động của chất lỏng LT
1. Tích phân Cauchy-Lagrange

- Chuyển động có thế và khơng dừng:   0 ;
 0 =>
2
t
u

 grad (U  P   )  0
2 t


 ; grad  u

Nói cách khác, biểu thức trong dấu ngoặc không phụ thuộc không gian,
thu được tich phân Cauchy-Lagrange

u 2 
U P 
 C (t )
2 t
- Lực khối chỉ là lực trọng trường, trục Oz hướng lên trên:

X=Y=0; Z=-g; -U = -gz

Khi đó tích phân Cauchy-Lagrange có dạng

2
u

gz  P  
 C (t )
2 t


Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

V. Tích phân PT vi phân chuyển động của chất lỏng LT
2. Tích phân Bernoulli


u
0
- Xét chuyển động dừng:
t
* Các phương trình thành phần của Phương trình Cauchy-Lagrange:


u2
 (U  P  )  2( y u z   z u y )
x
2


u2
 (U  P  )  2( z u x   xu z )

y
2


u2
 (U  P  )  2( xu y   y u x )
z
2
- Nhân với lần lượt với dx, dy, dz rồi cộng lại
a) dọc đường/ống dòng

dx
2
u
d (U  P  )  2 det( u x
2
x

dy

dz

uy

u z ) => vế phải bằng 0:
c) c/động xoắn đinh vít
z

y

2
u
U P
 const
2

b) dọc đường/ống xốy

d) c/động có thế


Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

V. Tích phân PT vi phân chuyển động của chất lỏng LT
3. Phương trình Bernoulli cho dịng ngun tố, CL khơng nén được
2
u
a. Chuyển động dừng
gz    const  C
 2
p1 u12
p2 u22
hay
z1  
 z2 

 2g
 2g

p

- Ý nghĩa :

Đường năng

z1 – độ cao hình học => vị năng ĐV

u21/2g
p1/1

p2/2 - độ cao đo áp => áp năng ĐV

u22/2g

u22/2g - cột cao vận tốc => động năng ĐV

Năng lượng đơn vị (cột cao thuỷ động
toàn phần) tại các mặt cắt dọc theo
dòng nguyên tố của một đơn vị trọng
lượng chất lỏng lý tưởng không nén
được trong chuyển động dừng là không
đổi.

p2/2
z1

0

z2

0


Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

V. Tích phân PT vi phân chuyển động của chất lỏng LT
3. Các dạng phương trình Bernoulli 1 chiều cho CL LT, khơng nén được
a. Chuyển động không dừng


0
t

u 2 1 u
z 
  dl  const
 2 g g 0 t
p

l

; l là khoảng cách giữa 2 mặt cắt tích phân

1 u
cột áp quán tính: hqt   dl
g 0 t
l

p1

2

2

u1
p2 u 2
z1  
 z2 

 hqt
 2g
 2g


Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

VI. Phương trình Bernoulli cho CL thực
1. Dịng ngun tố, khơng nén đuợc, dừng, chỉ lực trọng trường
- Đưa vào tổn thất dòng chảy do ma sát: h’w1-2

p1

2

2

u1
p2 u 2
z1  
 z2 


 hw' 12
 2g
 2g
- Thu nhận từ PT N-S



+ Sử dụng hàm lực ma sát:
 Rms  u ; Công ma sát: L
+ Nhân các PT thành phần với dx, dy dz rồi cộng lại:
+ Nhóm và viết các biểu thức vi phân riêng phân thành toàn phần
+ Thu được dạng trên với :

'
w1 2

h

L

g

Gọi là tổn thất năng lượng đơn vị trọng lượng chất lỏng


Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

VI. Phương trình Bernoulli cho CL thực
2. Ý nghĩa phương trình Becnoulli cho chất lỏng thực, k nén được

p1

2

2

u1
p2 u 2
z1  
 z2 

 hw' 12
 2g
 2g
Đường năng luôn dốc xuống,
phụ thuộc vào chất lỏng

u21/2g
p1/1

h’w1-2

u22/2g

- Độ dốc thuỷ lực hay hệ số tổn
thất đơn vị

p2/2

dhw'
hw'
J
; J tb 
dL
L

z1

0

z2

0


Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

VI. Phương trình Bernoulli cho CL thực
3. Phương trình Becnoulli cho tồn dịng (dừng khơng nén được)
- Từ PT cho dịng phân tố

p1

2

2

u1
p2 u 2

z1  
 z2 

 hw' 12
 2g
 2g
- Tích phân tồn dịng tại 2 mặt cắt bất kỳ
2

p1

2

u1
p2
u2
'
(
z

)

dQ


dQ

(
z


)

dQ


dQ

h
1
2
w
1 2dQ
Q





2g

2g
Q
Q
Q
Q
- Tính tích phân cho từng số hạng:
p1
p1
(
z


)

dQ

(
z

)Q
1
 1



Q



1
1
Ttb  mu 2 
u 2Q
2
2g

z1 

p1





1u12
2g

2

u
Ttt   1 dQ  Ttb
2g
Q

 z2 

p2





 2u 2 2
2g

2

Hệ số hiệu chỉnh
động năng

 hw12

với

hw12 



u1
Q 2 g dQ
u 2Q

1 '
hw12 dQ

QQ


Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

VII. Ứng dụng của phương trình Bernoulli
1. Điều kiện áp dụng
a) Tại thời điểm đang xét, lưu lượng dịng chảy khơng đổi trên đọan nằm
giữa hai tiết diện viết phương trình
b) Tại các tiết diện viết phương trình, dịng chảy đều hoặc biến đổi chậm
c) Chất lỏng không nén được và lực khối chỉ là lực trọng trường

2. Xác định độ cao đặt bơm
A) Cho thông số bơm (Q, Pck), xác
định độ cao đặt bơm
pck u22

4Q
hs 

 hw12 ; u2  2
 2g
d
B) Biết độ cao cần hút nước, nhu cầu nước
=> chọn đường ống để đảm lưu lượng
16Q 2
d 4
2g ( pck  hw12  hs )
C) Tính thiết kế bơm cho cụm chi tiết máy

2

Pck

2

hs

1

1


Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

VII. Ứng dụng của phương trình Bernoulli
2. Tính dịng chảy qua vịi

1

1

- Cho H- chiều cao nước bể, d - dường kính vịi
H

* Tính u - vận tốc qua vịi
Viết phương trình Bernoulli cho dòng chảy
giữa mặt cắt 1-1 và 2-2:

2

; Q= u

2

H+0+0=0+0+u22/2g => u  2 gH
Thực tế: Q   2 gH

: hệ số lưu lượng, hiệu chinhr tổn thất do
hình dạng vịi và hệ số co hep diện tích chảy

3. Dụng cụ đo vận tốc, ống Pito-Prandtl
- Nguyên lý:

u  2 gH
H

- Chế tạo


Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

VII. Ứng dụng của phương trình Bernoulli
4. Lưu lượng kế venturi
- Nguyên lý:

Q


4

2 gp
1
1

d 4 D4

D

d

5. Các bước áp dụng phương trình Bernoulli
1. Chọn 2 mặt cắt dọc dòng chảy, tại các mặt cắt chuyển động đều
2. Lưu lượng qua các mặt cắt không đổi
3. Mặt chuẩn chọn thuận tiện cho tính tốn
4. Áp suất có thể là tuyệt đối, dư, nhưmg phải thống nhất

Chương 3. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

VII. Các định lý Euler
1. Định lý Euler 1 – hay phương trình động lượng
 

d
- Phương trình động lượng chung:
(mu )  Rs  Rm
dt
- Viết cho dòng nguyên tố chất lỏng giữa hai mặt cắt:
 


Rs  Rm  Qu1  Qu2  0
- Ứng dụng: * Một số bài tốn khơng giải được bằng tích phân Bernoulli,
* Tính tốn các dịng chảy phân luồng,

- Ví dụ: Xác định lực tác dụng của tia phun vào vật rắn
2. Định lý Euler 2 – hay phương trình mơ men động lượng


dL
- Định lý mô men động lượng:
 M
dt


Q(u2 r2 cos  2  u2 r2 cos  2 )   M