Chương 3: Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và vec tơ ngẫu nhiên

Chương 3.Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và
véctơ ngẫu nhiên.
§1 Kỳ vọng
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1: Giả sử     xi   pi       xi pi
i
Định nghĩa 1.2: Giả sử X là liên tục và có hàm mật độ là


f X  x        x. f X  x  dx


Ý nghĩa:kỳ vọng E(X) là giá trị trung bình của X
2. Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C là hằng số
(3) E(X+Y) = E(X) + E(Y)
(4) X, Y độc lập suy ra E(XY) = E(X).E(Y)
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

1


§2: PHƯƠNG SAI
1.Định nghĩa 2.1:Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X
2

D             
là:



2
2
Định lý 2.1 :
D( )           
+
  2  x 2 . p nếu X rời rạc

  

i

i

i

+



   2   x 2 . f   x  dxnếu X liên tục


2. Tính chất: (1) D(C) = 0 ; (2) D(CX) =
C 2 .D( )
(3) X,Y độc lập suy ra D(X+Y) = D(X)+D(Y)
(4) D(C+ X) = D(X), với C là hằng số
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3

@Copyright 2010

2


3. Độ lệch:

     D   

§3.Các đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên
1.Mod X(giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất)
Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc và     xi   pi

 Mod  xi0 , pi0 Maxpi
Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục và có hàm f X  x  , ta có

 Mod   x0 ; f X  x0  Maxf X  x 

2. Med X(medium – trung vị X)
Định nghĩa 3.3: Med  m      m  1/ 2,   X  m  1/ 2
m
1
Định lý 3.1: Nếu X liên tục thì MedX m 
  f X  x  dx  2
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

3

3.Moment
Định nghĩa 3.4: Moment cấp k cuả đại lượng ngẩu nhiên X
k



X

a


đối với số a là


a = 0: moment gốc
a = E(X):moment trung tâm.
4. Hệ số nhọn và hệ số bất đối xứng(xem SGK)
Ví dụ 3.1:

cos x, x   0,  / 2
 ~ f X  x  
0, x   0,  / 2
 /2

    
0

Khoa Khoa Học và Máy Tính


x.cos xdx   1
2
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

4


2



D  X   x cos xdx    1   3
0     
2 
 /2

2

 X2

 

Mod X =0
Med X 

m





m

f X  x  dx  cos xdx 1/ 2
0

 sin m 1/ 2  m  / 6
Ví dụ 3.2 :Cho X có bảng phân phối xác suất như sau




1 2 ... k ...
p

k1

m 1 m

pq ... pq ... pq

Khoa Khoa Học và Máy Tính

m 2

pq

m  1....

m 1

... pq

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

m

...
5




E ( X )  kp.q k  1  p.
k 1



2

k1

D ( X )  k pq
k 1   
  

1

1 q

 1
 

p



2



1
p

2

2

2

 1
1 q
1 q
1
q
 p.







(1  q )3  p 
p2
p2
p2

Mod X = 1
Med X =m

 p  1  q  ...  q m  2  1 / 2

 
m 2
m 1
p
1

q

...

q

q


 1 / 2



Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

6


.

 m 1 1
q

m 1


1

q

1
/
2


2


 m


 q 1 / 2
 q m  1


2
 m ln q  ln 2,  m  1 ln q  ln 2
 1  q m 1
1 / 2
 p.
1 q
 

1  q m 1 / 2


 ln 2
 ln 2

 1 m 
ln q
ln q

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

7


.Ví dụ 3.3 : Cho X có bảng phân phối xác suất sau:
X
P

2
0,4

5
0,3

7
0,3

    2.0, 4  5.0,3  7.0,3 4, 4
2

2

2

D    2 .0.4
  5 .0,3
  7 .0,3
   4, 4 

2

  2

 

     D( X ) 2,017

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

8


Cách dùng máy tính bỏ túi ES

• Mở tần số(1 lần): Shift Mode
• Nhập: Mode Stat 1-var

xi

Stat On(Off)

ni

2 0,4
5 0,3
7 0,3
AC: báo kết thúc nhập dữ liệu

Cách đọc kết quả: Shift Stat Var

x     
x n     

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

9


Cách dùng máy tính bỏ túi MS:Vào Mode chọn SD
Xóa dữ liệu cũ: SHIFT CLR SCL =
Cách nhập số liệu :
2; 0,4 M+
5; 0,3 M+
7; 0,3 M+
Cách đọc kết quả:

 x     
SHIFT S – VAR 
 x n     

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

10


Ví dụ 3.4:
Tung cùng 1 lúc 5 con xúc xắc cân đối,đồng chất .Gọi X là
tổng số điểm nhận được. Hãy tính E(X), D(X)
Giải: Gọi Xi là số điểm của con xúc xắc thứ i
 1   2  ....   5
      1   ....     5  5  1 

Xi độc lập  D     D  1   D   2   ...  D   5  5D  1 
X1
P

1…………6
1/6………1/6

Khoa Khoa Học và Máy Tính

7
   1   ,
2

D   i  

35
12

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

11


§4: Kỳ vọng của hàm Y    
1.Trường hợp rời rạc:     xi   pi ,    Y     xi  pi
 i
2.Trường hợp liên tục:   f X  x     Y     x  . f X  x  dx





Ví dụ 4.1:
cos x, x   0, 2 





f
x



Cho

X
0




 
x   0, 
 2

Tìm kỳ vọng và phương sai của Y= sinX.
 /2

  Y  
0

 Y

2

sin 2 x
sin x cos xdx 
2

 /2

 
0

 /2
0

sin 3 x
sin x cos xdx 

3
2


1
0

1
2

1

3

2
1 1
1
D  Y    Y 2      Y    

3 4 12

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

12


§5: Kỳ vọng của hàm

   ,Y 

1.Trường hợp rời rạc:     xi , Y  y j   pij
Ví dụ 5.1:

        xi , y j  . pij
i, j

  Y   xi y j pij
i, j

2.Trường hợp liên tục:(X,Y)liên tục và có hàm mật độ f(x,y)

        x, y  . f  x, y  dxdy
R2

Ví dụ 5.2:

8 xy ,nếu 0  x  y 1
f  x, y   
0 ,nếu trái lại

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

13

HÌNH 5.1

y
1




0
Khoa Khoa Học và Máy Tính

1

X

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

14


.   


x. f
R2

  Y  
y. f

R2

1

y

1

y

dy  x8 xydx
 x, y  dxdy 
0
0
dy  y 8 xydx
 x, y  dxdy 
0
0

2
  Y 2  
y
 .f

 x, y  dxdy

R2

2
  X 2  

x
 .f

 x, y  dxdy

  X .Y  
xy. f

 x, y  dxdy

R2

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

15


§6: Các đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên
1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y))
2. Hiệp phương sai (covarian):
Định nghĩa 6.1: cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y – E(Y))]
Định lý 6.1: cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y)
Tính chất: (1) X,Y độc lập thì cov(X,Y) = 0
(2) cov(X,X) = D(X)
n
 m
 m n

(3) cov    i ,  Y j    cov  i , Y j 
j 1
 i 1
 i 1 j 1
m
 m
 m
(4) cov    i ,   k   D  i    cov   i , X k 
k 1
i k
 i 1
 i 1

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

16


3. Hệ số tương quan
Định nghĩa 6.2:

RXY 

cov  , Y 

    .  Y 

Tính chất: (1) X,Y độc lập  RY 0
(2) RXY 1, , Y
(3) RXY 1  a, b, c : a  bY c
Ý nghĩa: Hệ số RXY đặc trưng cho sự ràng buộc tuyến tính
giữa X và Y: RXY càng gần1, thì X,Y càng gần có quan
hệ tuyến tính.
 cos  ,   ,cos  , Y  
4. Ma trận tương quan: D  , Y  


 cov  Y ,   ,cov  Y , Y  



Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

17


Ví dụ 6.1:
• Cho các biến ngẫu nhiên 1 ,  2 ,..... m ; Y1 , Y2 .....Yn có phương
sai đều bằng 1: cov i ,  j  p1 ;cov Yi , Y j  p2 ;cov i , Y j  p3
Tìm hệ số tương quan của 2 biến ngẫu nhiên:
U  1   2  .....   m  và V  Y1  Y2  .....  Yn 
Giải: cov  U ,V  cov  m  , n Y   m . n cov  , Y m.n. p




 i 1

i




j 1

i







i 1 j 1





i



j





3

n
 m
 m
D  U  cov    i ,  X k   D   i    cov   i ,  k  m  m(m  1). p1
k 1
j k
 i 1
 i 1
D  V  n  n(n  1). p2

cov  U ,V 
m.n. p3
RUV 

  U  .  V 
m  m  m  1 p1 . n  n  n  1 p2
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

18

5. Cách dùng máy tính bỏ túi
a)Loại ES:

MODE STAT a+bx
xi
yi
pij
AC

Cách đọc kết quả:
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT REG
SHIFT STAT SUM
Khoa Khoa Học và Máy Tính

x    X 
x n    X 
y    Y 

y n    Y 

r  RXY

 xy    XY 
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

19


b) Loại MS: MODE REG LIN
Cách xóa dữ liệu cũ :
SHIFT CLR SCL =
Cách nhập dữ liệu :
xi , y j ; pij
M
Cách đọc kết quả:
x    X 
SHIFT S-VAR
x n    X 
SHIFT S-VAR
y    Y 
SHIFT S-VAR
y n    Y 
SHIFT S-VAR
r  RXY
SHIFT S-VAR
SHIFT S-SUM
 xy    XY 
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

20