CÁC PHÉP TOÁN số PHỨC BT muc do 3

Trọn bộ Trắc nghiệm Toán 10,11,12 LH zalo Mrs Nga 0942909469
Câu 1.

Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¢ ) thỏa mãn z + 2 + 5i = 5 và z.z = 82 . Tính giá trị của biểu
thức P = a + b .
A. 10 .

B. −8 .

C. −35 .

D. −7 .

Lời giải
−5b − 43

 ( a + 2 ) 2 + ( b + 5 ) 2 = 5
( 1)
a =
2
⇔
Theo giả thiết ta có 
2
2
 a 2 + b 2 = 82 ( 2 )
 a + b = 82

b = −9
Thay ( 1) vào ( 2 ) ta được 29b + 430b + 1521 = 0 ⇔ 
b = −169
29


Vì b ∈ ¢ nên b = −9 ⇒ a = 1 . Do đó P = a + b = −8 .
2

Câu 2.

Cho M là tập hợp các số phức z thỏa 2 z − i = 2 + iz . Gọi z1 , z2 là hai số phức thuộc tập hợp
M sao cho z1 − z2 = 1 . Tính giá trị của biểu thức P = z1 + z2 .

A. P = 3 .

B. P =

3
.
2

D. P = 2 .

C. P = 2 .
Lời giải

Đặt z = x + yi với x , y ∈ ¡ .
2
2
Ta có: 2 z − i = 2 + iz ⇔ 2 x + ( 2 y − 1) i = 2 − y + xi ⇔ x + y = 1 .

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức là đường tròn ( O;1)

⇒ z1 = z2 = 1 .

2

2

(

2

Ta có: z1 + z2 + z1 − z2 = 2 z1 + z2
Câu 3.

2

)⇒P

2

= 3⇒ P = 3 .

1+ i
là số thực và z − 2 = m với m ∈ ¡ . Gọi m0 là một giá trị của m
z
để có đúng một số phức thoả mãn bài tốn. Khi đó:
 1
1 
3 
 3
A. m0 ∈  0; ÷.
B. m0 ∈  ;1÷.
C. m0 ∈  ; 2 ÷ .

D. m0 ∈ 1; ÷.
 2
2 
2 
 2
Lời giải
Cho số phức z thoả mãn

Giả sử z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) .
1+ i
1+ i
1
a+b
a −b
=
= 2
 a + b + ( a − b ) i  = 2
+ 2
i.
2 
2
z
a + bi a + b
a + b a + b2
w là số thực nên: a = b ( 1) .

Đặt: w =

Mặt khác: a − 2 + bi = m ⇔ ( a − 2 ) + b 2 = m 2 ( 2 ) .
2

2
2
Thay ( 1) vào ( 2 ) được: ( a − 2 ) + a 2 = m 2 ⇔ 2a − 4a + 4 − m = 0
2

( 3) .

Để có đúng một số phức thoả mãn bài tốn thì PT ( 3) phải có nghiệm a duy nhất.
 3
2
⇔ ∆′ = 0 ⇔ 4 − 2 ( 4 − m ) = 0 ⇔ m 2 = 2 ⇔ m = 2 ∈  1; ÷ (Vì m là mơ-đun).
 2
Trình bày lại


Trọn bộ Trắc nghiệm Toán 10,11,12 LH zalo Mrs Nga 0942909469
Giả sử z = a + bi, vì z ≠ 0 nên a 2 + b 2 > 0 ( *) .
1+ i
1+ i
1
a+b
a −b
=
= 2
 a + b + ( a − b ) i  = 2
+ 2
i.
2 
2

z
a + bi a + b
a + b a + b2
w là số thực nên: a = b ( 1) .Kết hợp ( *) suy ra a = b ≠ 0 .

Đặt: w =

2
Mặt khác: a − 2 + bi = m ⇔ ( a − 2 ) + b 2 = m 2 ( 2 ) .(Vì m là mô-đun nên m ≥ 0 ).
2
2
Thay ( 1) vào ( 2 ) được: ( a − 2 ) + a 2 = m 2 ⇔ g ( a ) = 2a − 4a + 4 − m = 0
2

( 3) .

Để có đúng một số phức thoả mãn bài tốn thì PT ( 3) phải có nghiệm a ≠ 0 duy nhất.
Có các khả năng sau :
KN1 : PT ( 3) có nghiệm kép a ≠ 0
2
 ∆′ = 0
m − 2 = 0
⇔
⇒m= 2.
ĐK: 
2
 g ( 0 ) ≠ 0
4 − m ≠ 0

KN2: PT ( 3) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm a = 0

2
 ∆′ > 0
m − 2 > 0
⇔
⇒ m = 2.
ĐK: 
2
 g ( 0 ) = 0
4 − m = 0

 3
Từ đó suy ra ∃m0 = 2 ∈  1; ÷.
 2
Câu 4.

Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi m ∈ S có đúng một số phức thỏa mãn
z − m = 6 và
A. 10.

z
là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S .
z−4
B. 0.
C. 16.
D. 8.
Lời giải

Cách 1:
Gọi z = x + iy với x, y ∈ ¡ ta có

( x + iy ) ( x − 4 − iy ) = x ( x − 4 ) + y 2 − 4iy
z
x + iy
=
=
2
2
z − 4 x − 4 + iy
( x − 4) + y 2
( x − 4) + y 2

là số thuần ảo khi x ( x − 4 ) + y 2 = 0 ⇔ ( x − 2 ) + y 2 = 4
2

Mà z − m = 6 ⇔ ( x − m ) + y 2 = 36
2

Ta được hệ phương trình

36 − m 2
x
=
2

( x − m ) 2 + y 2 = 36
4 − 2m
( 4 − 2m ) x = 36 − m

⇔
⇔

2

2
2
2
2
2
( x − 2 ) + y = 4
 y = 4 − ( x − 2 )
 y 2 = 4 −  36 − m − 2 

÷

 4 − 2m


2

 36 − m 2

36 − m 2
36 − m 2
− 2÷ = 0 ⇔ 2 =
Ycbt ⇔ 4 − 
− 2 hoặc −2 =
−2
4 − 2m
4 − 2m
 4 − 2m


⇔ m = 10 hoặc m = −2 hoặc m = ±6
Vậy tổng là 10 − 2 + 6 − 6 = 8 .
Cách 2:


Trọn bộ Trắc nghiệm Toán 10,11,12 LH zalo Mrs Nga 0942909469
( x − m ) 2 + y 2 = 36
Để có một số phức thỏa mãn ycbt thì hpt 
có đúng một nghiệm
2
2
x
−
2
+
y
=
4
(
)

Nghĩa là hai đường tròn ( C1 ) : ( x − m ) + y 2 = 36 và ( C2 ) : ( x − 2 ) + y 2 = 4 tiếp xúc nhau.
2

2

Xét ( C1 ) có tâm I1 ( 2;0 ) bán kính R1 = 2 , ( C2 ) có tâm I 2 ( m;0 ) bán kính R2 = 6
m−2 = 4
 I1 I 2 = R1 − R2
⇔

⇒ m ∈ { −6;6;10; −2} .
Cần có: 
m
−
2
=
6
I
I
=
R
+
R

1 2
1
2

Vậy tổng là 10 − 2 + 6 − 6 = 8 .sss
Câu 5.

Cho z là số phức có mơ-đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn
của số phức w là:
A. 2015 .
Ta có

Câu 6.

B. 0 .

C. 1.
Lời giải.

1 1
1
+ =
. Mô đun
z w z+w
D. 2017 .

1 1
1
2
− z ± z 3i
+ =
⇒ ( z + w ) = zw ⇔ w2 + wz + z 2 = 0 ⇔ w =
.
z w z+w
2

• Với w =

− z − z 3i
1+ i 3
− z − z 3i
= z = 2017 .
⇒ w=
= −z .
2
2

2

• Với w =

− z + z 3i
1− i 3
− z + z 3i
= z = 2017 .
⇒ w=
= −z .
2
2
2

Cho số phức z thỏa mãn z − 4 = ( 1 + i ) z − ( 4 + 3 z ) i . Môđun của số phức z bằng
A. 2 .

B. 1.

C. 16 .
Lời giải

D. 4 .

Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) .
Ta có: z − 4 = ( 1 + i ) z − ( 4 + 3 z ) i ⇔ z ( 1 + 3i ) − 4 + 4i = ( 1 + i ) z
⇔ ( a + bi ) ( 1 + 3i ) − 4 + 4i = ( 1 + i ) a 2 + b 2 ⇔ a − 3b − 4 + ( 3a + b + 4 ) i = a 2 + b 2 + a 2 + b 2 i
a − 3b − 4 = a 2 + b 2
a − 3b − 4 = a 2 + b 2
−5b − 8 = 5b 2 + 16b + 16

⇔
⇔
⇔
a = −2b − 4
a = −2b − 4
3a + b + 4 = a 2 + b 2
8

b ≤ − 5

−5b − 8 ≥ 0
  b = −2 ( N )
b = −2 .


2
⇔ 20b + 64b + 48 = 0 ⇔  
⇔
6

a = 0
a = −2b − 4
 b = − ( L )
5



a = −2b − 4

Vậy z = 2 .

Câu 7.

Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ , a > 0 ) thỏa z.z − 12 z + ( z − z ) = 13 − 10i . Tính S = a + b .
A. S = −17 .

B. S = 5 .

C. S = 7 .

D. S = 17 .


Trọn bộ Trắc nghiệm Toán 10,11,12 LH zalo Mrs Nga 0942909469
Lời giải
Ta có:
z.z − 12 z + ( z − z ) = 13 − 10i ⇔ a 2 + b 2 − 12 a 2 + b 2 + 2bi = 13 − 10i
  a 2 + 25 = 13
 
a + b − 12 a + b = 13
a + 25 − 12 a + 25 = 13
⇔
⇔
⇔   a 2 + 25 = −1( VN )
2b = −10
b = −5

b = −5
2

2

2

2

2

2

a = ±12 a = 12 , vì
⇔
⇒
a >0.
b
=
−
5
b
=
−
5


Vậy S = a + b = 7 .
Câu 8.

Cho A , B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z0 , z1 khác 0 và thỏa mãn đẳng
2
2
thức z0 + z1 = z0 z1 . Hỏi ba điểm O , A , B tạo thành tam giác gì ( O là gốc tọa độ)? Chọn

phương án đúng và đầy đủ nhất.
A. Đều.
B. Cân tại O .

C. Vuông tại O .
Lời giải
2
Do z1 ≠ 0 nên chia 2 vế của đẳng thức cho z1 , ta được:

D. Vuông cân tại O .

2

1
 z0 
z0
z0 1
3
3 
i ⇔ z0 =  ±
i÷
 ÷ +1 = ⇔ = ±
÷z1 .
z1
z1 2 2
 z1 
2 2 
Đặt z1 = OA = a ⇒ OB = z0 =

1
3
±
i z1 = a .
2 2

1
 1
3 
3 
1
3
i÷
z1 − z1 =  − ±
i÷
z1 ⇒ AB = z0 − z1 = − ±
i z1 = a .
Lại có z0 − z1 =  ±
÷
÷
2 2
2 2 
 2 2 
Vậy ∆OAB đều.

Câu 9.

Cho số phức z ≠ 0 thỏa mãn

13

iz − ( 3i + 1) z
2
= z . Số phức w = iz có mơđun bằng
3
1+ i

A. 26 .

26 .

B.

C.

3 26
.
2

Lời giải
Gọi z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) . Suy ra z = a − bi .
Ta có

iz − ( 3i + 1) z
i ( a + bi ) − ( 3i + 1) ( a − bi )
2
= z ⇔
= a 2 + b2
1+ i
1+ i

⇔ ai − b − 3ai − 3b − a + bi = a 2 + b 2 + a 2i + b 2i
⇔ ( a 2 + b 2 + 2a − b ) i + ( a 2 + b 2 + 4b + a ) = 0
a 2 + b 2 + 2a − b = 0
⇔ 2
2
a + b + a + 4b = 0

D. 13 .


Trọn bộ Trắc nghiệm Toán 10,11,12 LH zalo Mrs Nga 0942909469
b = 0, a = 0
z = 0
26b 2 + 9b = 0
−45
9

⇔
⇔
⇔
⇒z=
i−
(Vì z ≠ 0 ).
−
9
−
45
−
45
9

b =
z =
,a =
i−
26
26
a = 5b
26
26
26
26


Với z =
Câu 10.

−45
9
15 3
3 26
.
i−
⇒w= − i⇒ w =
26
26
2 2
2

Tìm số phức z thỏa mãn z − ( 2 + 3i ) z = 1 − 9i .
A. z = −2 + i .

B. z = −2 − i .

C. z = 2 − i .
Lời giải

Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) . Ta có:

D. 2 + i .

z − ( 2 + 3i ) z = 1 − 9i ⇔ a + bi − ( 2 + 3i ) ( a − bi ) = 1 − 9i ⇔ − a − 3b + ( −3a + 3b ) i = 1 − 9i
 −a − 3b = 1
a = 2
⇔
⇔
.
 −3a + 3b = −9
b = −1
Vậy z = 2 − i .
Câu 11. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = 1 , z2 = 2 và z1 + z2 = 3 . Giá trị của z1 − z2 là
A. 0 .

C. 2 .
Lời giải
Giả sử z1 = a1 + b1i, ( a1 , b1 ∈ ¡ ) , z2 = a2 + b2i, ( a2 , b2 ∈ ¡ ) .
Theo bài ra ta có:
a12 + b12 = 1
a12 + b12 = 1
 z1 = 1





⇔ a22 + b22 = 4
⇔ a22 + b22 = 4
.
 z2 = 2



2
2
2a a + 2b1b2 = 4
( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) = 9
 z1 + z2 = 3
 1 2
Khi đó, ta có:
z1 − z2 =

B. 1.

( a1 − a2 )

2

+ ( b1 − b2 )

2

=

(a

2
1

D. một giá trị khác.

+ b12 ) + ( a22 + b22 ) − ( 2a1a2 + 2b1b2 ) = 1 .

Vậy z1 − z2 = 1 .
i
. Phần ảo của số phức z 2 là
1+ i
5
5
5
A. .
B. i .
C. − .
2
2
2
Lời giải
i ( 1− i)
i
1 1
5 1
= 2−i +
= 2−i + + i = − i .

Ta có z = 2 − i +
( 1+ i) ( 1− i)
1+ i
2 2
2 2

Câu 12. Cho số phức z biết z = 2 − i +

Câu 13. Suy ra z =

5
D. − i .
2

5 1
5
5
+ i ⇒ z 2 = 6 + i . Vậy phần ảo của số phức z 2 là .Có bao nhiêu số phức z
2 2
2
2
2

thỏa mãn điều kiện z 2 = z + z ?
A. 1.

B. 4 .

Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) .

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .


Trọn bộ Trắc nghiệm Toán 10,11,12 LH zalo Mrs Nga 0942909469
Ta có z 2 = z + z ⇔ ( a + bi ) = a 2 + b 2 + a − bi ⇔ 2abi − b 2 = b 2 + a − bi
2

2

 b = 0

2ab = −b
1

⇔ 2
⇔
 a=−
2
2
 −b = b + a

2
2b + a = 0
+ b=0⇒a =0 ⇒ z =0.
1
1
1 1

+ a = − ⇒ b = ± ⇒ z = − ± i . Vậy có 3 số phức thỏa ycbt.
2
2
2 2
Câu 14. . Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn z1 = 2, z2 = 3 . Gọi M , N là các điểm biểu diễn cho z1 và
2
2
·
iz2 . Biết MON
= 30° . Tính S = z1 + 4 z2 .

A. 5 2 .

B. 3 3 .

C. 4 7 .
Lời giải

D.

5.

Ta có
S = z12 + 4 z22 = z12 − ( 2iz2 ) = z1 − 2iz2 . z1 + 2iz2
2

Gọi P là điểm biểu diễn của số phức 2iz2 .
Khi đó ta có
uuuu
r uuu

r uuuu
r uuur
z1 − 2iz2 . z1 + 2iz2 = OM − OP . OM + OP
uuuu
r uur
= PM . 2OI = 2 PM .OI .
·
Do MON
= 30° nên áp dụng định lí cosin ta tính được MN = 1 . Khi đó ∆OMP có MN đồng
thời là đường cao và đường trung tuyến, suy ra ∆OMP cân tại M ⇒ PM = OM = 2 .
Áp dụng định lí đường trung tuyến cho ∆OMN ta có: OI 2 =

OM 2 + OP 2 MP 2
−
=7.
2
4

Vậy S = 2 PM .OI = 2.2. 7 = 4 7 .
Câu 15. Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ , a > 0 ) thỏa mãn z − 1 + 2i = 5 và z.z = 10 . Tính P = a − b .
A. P = 4 .

B. P = −4 .

C. P = −2 .
Lời giải

D. P = 2 .

Trọn bộ Trắc nghiệm Toán 10,11,12 LH zalo Mrs Nga 0942909469
( a − 1) 2 + ( b + 2 ) 2 = 5
Từ giả thiết z − 1 + 2i = 5 và z.z = 10 ta có hệ phương trình  2
2
a + b = 10
a = 2b + 5
 a − 2b = 5
 a = 3 hay  a = −1 (loại). Vậy
⇔ 2 2
⇔
⇒
P = 4.


2
2
b
=
−
1
b
=
−
3
a
+
b
=
10
2

b
+
5
+
b
=
10
(
)




Câu 16. Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ , a > 0 ) thỏa mãn z − 1 + 2i = 5 và z.z = 10 . Tính P = a − b .
A. P = 4 .

B. P = −4 .

C. P = −2 .
Lời giải

D. P = 2 .

2
2

( a − 1) + ( b + 2 ) = 5
Từ giả thiết z − 1 + 2i = 5 và z.z = 10 ta có hệ phương trình  2
2


a + b = 10

a = 2b + 5
 a − 2b = 5
 a = 3 hay  a = −1 (loại). Vậy
⇔ 2 2
⇔
⇒
P = 4.

2
2
b
=
−
1
b
=
−
3
a
+
b
=
10

( 2b + 5 ) + b = 10 

Câu 17. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z − 2 + 3i = 5 và 2 là số thuần ảo.
z

A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. 4.

Lời giải
 a + bi − 2 + 3i = 5
- Gọi z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) , suy ra z 2 = a 2 − b 2 + 2abi . Ta có hệ:  2 2
 a − b = 0
 ( b − 2 ) 2 + ( b + 3) 2 = 25
 2b 2 + 2b − 12 = 0 (1)



( a − 2 ) 2 + ( b + 3) 2 = 25
 a = b
 a = b
.
⇔
⇔
⇔
2
2
2
2
2



2
b
+
10
b
−
12
=
0
(2)
a
−
b
=
0


( −b − 2 ) + ( b + 3) = 25


 a = −b
 a = −b
Phương trình (1) có 2 nghiệm và (2) có 2 nghiệm nên hệ có 4 nghiệm. Suy ra có 4 số phức.
z −1
z − 3i
= 1 và
= 1 . Tính P = a + b .
z −i
z +i

C. P = 1 .
D. P = 2 .
Lời giải

Câu 18. Cho số phức z = a + bi , ( a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn
A. P = 7 .
Ta có

B. P = −1 .

z −1
= 1 ⇔ z − 1 = z − i ⇔ a − 1 + bi = a + ( b − 1) i ⇔ 2a − 2b = 0 (1).
z −i

z − 3i
= 1 ⇔ z − 3i = z + i ⇔ a + ( b − 3) i = a + ( b + 1) i ⇔ b = 1 (2).
z +i
a = 1
Từ (1) và (2) ta có 
. Vậy P = 2 .
b = 1
Câu 19. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z + 1 =
số phức có mơđun nhỏ nhất. Tính S = 2a + b .
A. 0 .
B. −4 .
C. 2 .
Lời giải

z+z
+ 3 , gọi số phức z = a + bi là

2
D. −2


Trọn bộ Trắc nghiệm Toán 10,11,12 LH zalo Mrs Nga 0942909469
Ta có z + 1 =

z+z
2
2
+ 3 ⇔ ( a + 1) + bi = a + 3 ⇔ ( a + 1) + b 2 = ( a + 3) ⇔ b 2 = 4a + 8 .
2

Do đó z = a 2 + b2 = a 2 + 4a + 8 = ( a + 1) + 4 ≥ 4 .
2

2

min z = 2 khi và chỉ khi z = −1 + 4i . Suy ra S = 2a + b = 2
Câu 20.

[HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018] Cho số phức z ≠ 0 thỏa mãn
Số phức w =

iz − ( 3i + 1) z
2
= z .
1+ i

13

iz có mơđun bằng
3

A. 26 .

B.

26 .

C.

3 26
.
2

D. 13 .

Lời giải
Gọi z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) . Suy ra z = a − bi .
Ta có

iz − ( 3i + 1) z
i ( a + bi ) − ( 3i + 1) ( a − bi )
2
= z ⇔
= a 2 + b2
1+ i
1+ i

⇔ ai − b − 3ai − 3b − a + bi = a 2 + b 2 + a 2i + b 2i

⇔ ( a 2 + b 2 + 2a − b ) i + ( a 2 + b 2 + 4b + a ) = 0
2
2
a + b + 2a − b = 0
⇔ 2
2
a + b + a + 4b = 0

b = 0, a = 0
z = 0
26b 2 + 9b = 0
−45
9
⇔
⇔
i− .
−9
−45 ⇔ 
−45
9 ⇒z=

b=
,a =
z=
i−
26
26
a = 5b
26
26

26
26


Với z =

−45
9
15 3
3 26
.
i−
⇒w= − i⇒ w =
26
26
2 2
2

Câu 21. Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z ( z − 4 − i ) + 2i = ( 5 − i ) z .
B. 3 .

A. 2 .

C. 1.
Lời giải

D. 4 .

Ta có

z ( z − 4 − i ) + 2i = ( 5 − i ) z ⇔ z ( z − 5 + i ) = 4 z + ( z − 2 ) i .
Lấy mơđun 2 vế phương trình trên ta được
z

( z − 5)

2

+1 =

( 4 z ) + ( z − 2)
2

2

.

Đặt t = z , t ≥ 0 ta được
t

( t − 5)

2

+1 =

( 4t )

2

+ ( t − 2 ) ⇔ ( t − 1) ( t 3 − 9t 2 + 4 ) = 0 .
2

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt t ≥ 0 vậy có 3 số phức z thoả mãn.
Câu 22. Tìm số phức z thỏa mãn iz + 2 z = −1 − 8i
A. z = 7 + 7i .
B. z = 2 + 5i .

C. z = 5 − 2i .

D. z = 1 − 2i .


Trọn bộ Trắc nghiệm Toán 10,11,12 LH zalo Mrs Nga 0942909469
Lời giải

2
Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ¡ , i = −1) .

2a − b = −1 a = 2 .
⇔
iz + 2 z = −1 − 8i ⇔ i ( a + bi ) + 2 ( a − bi ) = −1 − 8i ⇔ 
a − 2b = −8 b = 5
Câu 23. Cho z1 , z2 là các số phức thỏa mãn z1 = z2 = 1 và z1 − 2 z2 = 6 . Tính giá trị của biểu thức

P = 2 z1 + z2 .
A. P = 2.

C. P = 3.

B. P = 3.

D. P = 1.

Lời giải
CÁCH 1:
Chọn z1 = 1 .
Ta có hệ phương trình:
1

x=−
2
2

 z2 = 1
 x 2 + y 2 = 1
4
 x + y = 1

⇔
⇔ 2
⇔

2
2
2
( 1 − 2 x ) + 4 y = 6
 1 − 2 z2 = 6
4 x + 4 y − 4 x = 5
 y = ± 15


4
1
15
TH1: z2 = − +
i
4
4
1
15
7 2 + 15
P = 2.1 − +
i =
=2
4
4
4
1
15
TH2: z2 = − −
i
4
4
1
15
7 2 + 15
P = 2.1 − −
i =
=2
4

4
4

CÁCH 2:
z1 − 2 z2 = 6 ⇔ z1 − 2 z2 = 6 ⇔ z1 + 4 z2 − 4 z1 z2 .c os ( z1 , z 2 ) = 6
2

⇔ c os ( z1 , z2 ) = −

2

2

1
4

2
2
2
 1
P 2 = 2 z1 + z2 = 4 z1 + z 2 + 4 z1 z 2 .c os ( z1 , z2 ) = 4 + 1 + 4  − ÷ = 4
 4
Vậy P = 2 .

Câu 24. Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ R ) thỏa mãn z + 7 + i − z ( 2 + i ) = 0 và z < 3. Tính P = a + b.
1
B. − .
2

A. 5 .

C. 7 .
Lời giải

a + 7 + ( b + 1) i − 2 a + b − a + b i = 0
2

 a + 7 = 2 a 2 + b 2 ( 1)

 2
 a + b 2 = b + 1 ( 2 )

2

2

2

D.

5
.
2


Trọn bộ Trắc nghiệm Toán 10,11,12 LH zalo Mrs Nga 0942909469
⇒ a + 7 = 2 ( b + 1) ⇒ a = 2b − 5 thế vào (2).
b ≥ −1

b ≥ −1

2
 b=4
⇔  
( 2b − 5) + b2 = b + 1 ⇔  2
 4b − 22b + 24 = 0
 b = 3
 
2
TH1: b = 4 ⇒ a = 3 ⇒ z = 5 > 3. (loại)
3
5
⇒ a = −2 ⇒ z = < 3. (nhận).
2
2
1
P = a+b = − .
2
Câu 25. Cho số phức z thỏa điều kiện z − 2 = z và ( z − 3) z + 1 − 4i là số thực. Tìm phần ảo của z.
TH2: b =

(

A. Im z = 2 .

B. Im z = 1 .

)

C. Im z = −2 .
Lời giải

( x, y ∈ R )
2
z − 2 = z ⇔ ( x − 2 ) = x 2 ⇔ x − 2 = − x ⇔ x = 1.
( z − 3) ( z + 1 − 4i ) = ( x + yi − 3) ( x − yi + 1 − 4i ) là số thực

D. Im z = −1 .

Đặt z = x + yi

⇔ − x + y + 3 = 0 ⇒ y = −2

Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn ( 1 + i ) z + 2 z = 3 − 2i . Tính mơđun của z .
A. z =

80
.
4

B. z =

Giả sử z = a + bi, ( a, b ∈ ¡

53
.
2

C. z =

106

.
2

D. z =

41
.
8

Lời giải

)

Khi đó ( 1 + i ) z + 2 z = 3 − 2i ⇔ ( 1 + i ) ( a + bi ) + 2 ( a − bi ) = 3 − 2i ⇔ ( 3a − b ) + ( a − b ) i = 3 − 2i
5

a=

3
a
−
b
=
3

5 9

2
⇔
⇔

⇒z= + i
2 2
 a − b = −2
b = 9

2
Suy ra z =

106
.
2

Câu 27. Số phức z = ( 1 + i ) + ( 1 + i ) + ... + ( 1 + i )
2

A. 21009 + 1 .

2018

B. 1 − 21009 .

có phần ảo bằng
C. 21009 − 1 .
Lời giải

z = ( 1 + i ) + ( 1 + i ) + ... + ( 1 + i )
2

2018

( 1 + i ) − 1 = 1 + i 21009 i − 1
= ( 1+ i)
( )
i
( 1 + i ) −1
2018

= ( 1 + i ) ( 21009 + i ) = 21009 − 1 + ( 21009 + 1) i .

⇒ z có phần ảo bằng 21009 + 1 .

1009
D. − ( 2 + 1) .


Trọn bộ Trắc nghiệm Toán 10,11,12 LH zalo Mrs Nga 0942909469
Câu 28. Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn 2 z − i = 2 + iz , biết z1 − z2 = 1 . Tính giá trị biểu thức

P = z1 + z2 .
A. P = 3 .

B. P =

2
.
2

3
.
2

C. P =

D. P = 2 .

Lời giải
Đặt z = x + yi
Ta có: 2 z − i = 2 + iz ⇔

( 2x)

2

+ ( 2 y − 1) =
2

( 2 − y)

2

+ x2 ⇔ 3x 2 + 3 y 2 − 3 = 0 ⇔ x 2 + y 2 = 1

Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 .
⇒ M , N thuộc đường tròn tâm O , bán kính R = 1 và MN = 1 ⇒ ∆OMN đều.

Gọi I là trung điểm của MN .
⇒ z1 + z2 = 2OI = 2.1.

3
= 3.

2

Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để số phức z =
A. m > 2 .

 m < −2
B. 
.
m > 2

m + 2i
có phần thực dương
m − 2i

C. −2 < m < 2 .

D. m < −2 .

Lời giải
z=

m + 2i ( m + 2i ) ( m + 2i ) m 2 − 4
4m .
=
= 2
+ 2
i
2
m − 2i
m +4

m +4 m +4

m > 2
2
Vì z có phần thực dương ⇒ m − 4 > 0 ⇔ 
.
 m < −2
3+i
. Tổng phần thực và phần ảo của z là
x+i
2x − 4
4x + 2
4x − 2
.
B.
.
C. 2
.
2
2
x +1

Câu 30. Cho z =
A.

D.

2x + 6
.
x2 + 1

Lời giải

3 + i ( 3 + i ) ( x − i ) 3 x − 3i + xi + 1 3x + 1 ( x − 3)i
=
=
= 2
+
.
x + i ( x + i )( x − i)
x2 + 1
x + 1 x2 + 1
3x + 1 x − 3 4 x − 2
+
=
Suy ra tổng phần thực và phần ảo của số phức z là: 2
.
x + 1 x2 + 1 x2 +1
Ta có: z =

Câu 31. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn điều kiện ( 2 − 3i ) z + ( 4 + i ) z = − ( 1 + 3i ) 2 .Tính z
A.

29.

Ta có:

B. 13

C. 29.

Lời giải

D. 13.


Trọn bộ Trắc nghiệm Toán 10,11,12 LH zalo Mrs Nga 0942909469
z = a − bi ⇒ ( 2 − 3i ) ( a + bi ) + ( 4 + i ) ( a − bi ) = − ( 1 + 3i )

2

⇔ (6a + 4b) + (−2b − 2a)i = 8 − 6i
6a + 4b = 8
3a + 2b = 4 b = 5
⇔
⇔
⇒
⇒ z = 29
−2b − 2a = −6
b + a = 3
 a = −2
Câu 32. Gọi T là tổng phần thực, phần ảo của số phức w = i + 2i 2 + 3i 3 + ... + 2018i 2018 . Tính giá trị của
T.
A. T = 0.
B. T = −1.
C. T = 2.
D. T = −2.
Lời giải
w = i ( 1 + 2i + 3i 2 + ... + 2018i 2017 )

Xét f ( x) = x + x + x + ... + x

2

3

2018

f '( x ) = 1 + 2 x + 3 x + ... + 2018 x
2

w = i ( 1 + 2i + 3i + ... + 2018i
2

2017

x 2018 − 1 x 2019 − x
=x
=
x −1
x −1

2017

)

( 2019 x
=

2018

− 1) ( x − 1) − ( x 2019 − x )

( x − 1) 2

( 2019i
= i. f (i ) = i

2018

− 1) (i − 1) − ( i 2019 − i )
(i − 1) 2

−2020(i − 1) + 2i
= −1010 + 1009i
−2i
T = −1010 + 1009 = −1 .
=i

Câu 33. Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn: z1 = 2 3 ,
2

z2 = 3 2 . Hãy tính giá trị biểu thức

2

P = z1 − z2 + z1 + z2 .
A. P = 60.

B. P = 20 3 .

Đặt z1 = a + bi , z2 = c + di ( a , b, c, d ∈ ¡

C. P = 30 2 .
Lời giải

D. P = 50 .

)

2
2
 z1 = 2 3
 a + b = 12
⇔ 2
Theo đề: 
2
 z2 = 3 2
c + d = 18
Vậy
2

P = z1 − z2 + z1 + z2

2

= ( a − c ) + ( b − d ) + ( a + c ) + ( b + d ) = 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) = 60
2

2

2

2

2
Câu 34. Cho z1 = a + bi và z2 = c + di là 2 số phức thỏa mãn z1 = 4 và z1 (c + d ) = 10 . Gọi M là giá

trị lớn nhất của biểu thức T = ac + bd + cd . Hãy chọn khẳng định đúng về M.
A. M ∈ (11;15) .
B. M ∈ (15;17) .
C. M ∈ (11;12)
D. Đáp án khác.
Lời giải
4 = z12 = a 2 − b 2 + 2abi = (a 2 − b 2 ) 2 + 4a 2b 2 = a 2 + b 2 ⇒ a 2 + b 2 = 4
10 = z1 (c + d ) = a 2 + b 2 (c + d ) = 2(c + d ) ⇒ c + d = 5 .
Chọn a = 0, b = −2, c = 1, d = 4 thì T = 0 − 8 + 4 = −4 ⇒ Loại A, B, C ⇒ Đáp án

D.


Trọn bộ Trắc nghiệm Toán 10,11,12 LH zalo Mrs Nga 0942909469
BẢNG ĐÁP ÁN
1.B
11.B
21.B
31.A

2.A
12.A
22.B
32.B

3.D
13.D
23.A
33.A

4.D
14.C
24.B
34.D

5.D
15.A
25.C

6.A
16.A
26.C

7.C
17.D
27.A

8.A
18.D
28.A

9.C
19.C
29.B

10.C
20.C
30.C