Mô phỏng giao thông trong đường hầm bằng phương trình lighthill whitham richards

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

PHAN THỊ NGỌC HÂN

Mơ phỏng giao thơng trong
đường hầm bằng phương trình
Lighthill-Whitham-Richards

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Tp. Hồ Chí Minh - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

PHAN THỊ NGỌC HÂN

Mơ phỏng giao thơng trong
đường hầm bằng phương trình
Lighthill-Whitham-Richards

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60 46 36

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN

Tp. Hồ Chí Minh - 2014


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG HCM
 Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Quốc Lân
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
 Cán bộ chấm nhận xét 1:
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
 Cán bộ chấm nhận xét 2:
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM ngày 23 tháng
08 năm 2014
Thành phần hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1………………………………………………
2………………………………………………
3………………………………………………
4………………………………………………

5………………………………………………
Xác nhận của Chủ tịch hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành
sau khi luận văn đã được sửa chữa.
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA

PGS.TS. Nguyễn Đình Huy

TS. Huỳnh Quang Linh


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên: PHAN THỊ NGỌC HÂN

MSHV: 11240495.

Ngày, tháng, năm sinh: 22/01/1986

Nơi sinh: Vĩnh Long
Mã số : 604605

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
I. TÊN ĐỀ TÀI:

MÔ PHỎNG GIAO THÔNG TRONG ĐƯỜNG HẦM BẰNG PHƯƠNG TRÌNH
LIGHTHILL-WHITHAM-RICHARDS.
II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
Làm rõ các nội dung sau đây :
Nội dung thứ nhất: Các khái niệm cơ bản.
Nội dung thứ hai: Tính chất TVD cho sự ổn định của lược đồ số.
Nội dung thứ ba: Xây dựng một số lược đồ TVD.
III. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 21/06/2014.
IV.

HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS. Nguyễn Quốc Lân.

V.

HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ PHẢN BIỆN 1 : TS. Nguyễn Bá Thi.

VI. HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ PHẢN BIỆN 2 : PGS.TS Tô Anh Dũng.
Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội đồng chuyên ngành thông qua.

Tp. HCM, ngày 21 tháng 06 năm 2014
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
(Họ tên và chữ ký)

CHỦ NHIỆM NGÀNH ĐÀO TẠO
(Họ tên và chữ ký)

TS. Nguyễn Quốc Lân

PGS.TS. Nguyễn Đình Huy

TRƯỞNG KHOA
(Họ tên và chữ ký)

TS. Huỳnh Quang Linh


Lời cảm ơn
Trong khoảng thời gian 4 năm học tại trường Đại học Cần Thơ, Thầy Cơ
trong bộ mơn Tốn đã tạo cho em một niềm u thích Phương trình đạo hàm
riêng. Và 3 năm sau đó, các Thầy Cơ trong bộ mơn Tốn ở Trường Đại Học
Bách khoa TP.HCM một lần nữa đã tận tâm giúp đỡ em nâng cao hiểu biết
về Giải tích. Trong suốt 7 năm học đó, bạn bè chung lớp là những người giúp
đỡ em vượt qua những khó khăn trong cuộc sống, vừa là những người cộng sự
cùng tiến trong chuyên môn. Quan trọng hơn cả là sự động viên từ gia đình,
những người đã tạo cho em niềm tin trong việc học tập từ nhỏ. Em rất biết ơn
về những điều này.
Em xin cám ơn thầy Nguyễn Quốc Lân, là người hướng dẫn trực tiếp em
hoàn thành luận văn này. Cám ơn Thầy đã cho em cơ hội được tiếp xúc với đề
tài này, và cũng là cơ hội để cho em nâng cao thêm hiểu biết về Phương trình
đạo hàm riêng. Những ý kiến đóng góp của Thầy đã giúp em kịp thời chỉnh sửa
những sai sót trong luận văn. Em gửi lời cám ơn đến các bạn Khánh, Huyền,
Thủy và chị Yến Anh là những người bạn luôn bên cạnh động viên em trong
suốt thời gian qua.
Tp.HCM, ngày 30 tháng 06 năm 2014
Tác giả

Phan Thị Ngọc Hân

Lời giới thiệu

Hình 1: Hình minh họa giao thơng
I. Đặt vấn đề
Ngày nay, kinh tế phát triển thúc đẩy giao thơng ngày càng tăng. Do
đó, việc mơ phỏng giao thơng để kiểm soát và quản lý là rất cần thiết.
Lý thuyết về lưu lượng giao thông được Greenshields nghiên cứu đầu tiên
vào năm 1934. Greenshields nhận ra mối tương quan giữa vận tốc và mật độ
là hàm tuyến tính bằng cách đo lưu lượng và vận tốc trên một làn giao thơng.
Sau đó lý thuyết về lưu lượng, mật độ, vận tốc và mối tương quan giữa chúng
cũng được nghiên cứu rõ ràng hơn bằng nhiều phương pháp khác nhau. Năm
3


1959, Greenberg đưa ra phương pháp logarit và năm 1961, Underwood đưa ra
phương pháp mũ để xác định vận tốc và mật độ. Nhưng cả hai phương pháp
này chỉ áp dụng được cho các mơ hình giao thơng liên tục. Tuy nhiên, hầu
hết các nghiên cứu trên đều tiếp cận dựa trên quan sát bằng trực giác và kinh
nghiệm.
Năm 1998, Kockelman kết nối các thông tin của những người lái xe, loại
xe, mật độ và thời tiết xây dựng mô hình đa thức bình phương tối tiểu của lưu
lượng nhưng phương pháp này không được mở rộng và sử dụng phổ biến vì nó
q phức tạp để áp dụng.
Năm 1955, Lighthill và Whitham đưa ra mơ hình tổng qt về lưu lượng
giao thông trên đường cao tốc dựa vào các phân tích mối liên quan giữa lưu
lượng giao thơng và thủy động lực học. Năm 1956, Richards độc lập đưa ra
tiếp cận lý thuyết này theo hướng tương tự nhưng Richards nghiên cứu các
sóng sốc thơng qua mật độ lưu thơng cịn Lighthill and Whitham nghiên cứu
các sóng sốc thơng qua tình trạng trì trệ của giao thơng. Lý thuyết tiếp cận
mơ hình mơ phỏng giao thơng của Lighthill-Whitham và Richards giống nhau

nên được gọi chung là mơ hình Lighthill-Whitham-Richards (LWR).
Mơ hình LWR thu hút sự chú ý của các nhà khoa học và các kỹ sư nhất bởi
vì nó đơn giản và mơ phỏng được các tính chất của các hoạt động giao thơng.
Mơ hình LWR chưa phải là mơ hình tốt nhất để mơ phỏng lại các hoạt động
giao thơng nhưng mơ hình này đơn giản, dễ áp dụng vào thực tế và kết quả
của mơ hình này đủ cho việc kiểm soát, quản lý các hoạt động giao thơng.
Mặc dù, mơ hình LWR có thể mơ phỏng lại và cung cấp thông tin về các
hiện tượng giao thơng phức tạp (hiện tượng giao thơng có chứa sốc). Tuy nhiên,
vẫn cịn một số hiện tượng giao thơng phức tạp như là: mơ phỏng giao thơng
trên đường có nhiều loại xe và hiện tượng thay đổi làn xe đang chạy của người
thực hiện giao thơng thì mơ hình LWR khơng thể mơ phỏng được. Gần đây,
mơ hình multi-class LWR (MCLWR) được xây dựng để mô phỏng lại các hiện
tượng giao thông phức tạp trên.
Trong vài thập niên gần đây, có rất nhiều phương pháp số giải tìm nghiệm

4


xấp xỉ của mơ hình LWR như là: phương pháp sai phân hữu hạn, lược đồ LaxFriedrichs bậc nhất (1957),phương pháp Godunov (1959), lược đồ Lax-Wendroff
bậc hai (1960), lược đồ MacCormack (1971), lược đồ Beam-Warming (1976), mơ
hình bắt sốc ENO (essentially non-oscillatory)(1988), mơ hình bắt sốc WENO
(Weighted essentially non-oscillatory )(1994), mơ hình WENO (weighted essentially non-oscillatory) giải mơ hình LWR nhiều loại xe (2003).
Nếu xét trên một đoạn đường cao tốc giao thơng có tính chất (xe khơng
quay đầu, khơng có ngã rẽ,...). Giao thơng trong đường hầm có tính chất tương
tự. Do đó, luận văn sẽ dùng mơ hình mô LWR mô phỏng giao thông trên đường
cao tôc để mô phỏng giao thông trong đường hầm.
II. Mục tiêu của luận văn
Mục đích của luận văn là xây dựng lược đồ ổn định tìm nghiệm xấp xỉ của
phương trình LWR nhằm mô phỏng giao thông trong đường hầm. Riêng việc
áp dụng mô phỏng giao thông trong đường hầm Thủ Thiêm với số liệu thực tế

như mục đích ban đầu chưa thực hiện được vì khơng thu thập được số liệu.
III. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
Luận văn này xây dựng lược đồ giải số ổn định cho mơ hình LWR.
1. Trình bày tính chất TVD (total-variation-diminishing) và chứng minh
một số tính chất của lược đồ thỏa mãn có tính chất TVD (gọi tắt là lược đồ
TVD) tìm nghiệm xấp xỉ của định luật bảo tồn vơ hướng:

ut + [f (u)]x = 0,

x ∈ R, t > 0

trong đó u = u(x, t) là hàm ẩn cần tìm.
Điều kiện đầu là:
{
u (x, 0) =

ul , x < 0
ur , x > 0

Tính chất TVD được đưa ra đầu tiên bởi nhà toán học Amiram Harten
5


vào năm 1977. Tính chất TVD là một tính chất tốt cho các lược đồ tìm nghiệm
xấp xỉ của định luật bảo tồn hyperbolic mà nghiệm khơng liên tục hoặc có
sốc.
2. Xây dựng một số lược đồ TVD tối ưu chính xác bậc hai,ba và bốn.
Luận văn này được trình bày với cấu trúc gồm 3 chương:
* Chương 1: Kiến thức tổng quan.
* Chương 2: Xây dựng mơ hình.

* Chương 3: Giải số bằng phần mềm Matlab.
IV. Những đóng góp mới của luận văn
Luận văn đã có những đóng góp sau:
- Bước đầu tiên tiếp cận mơ hình mơ phỏng giao thơng.
- Làm rõ lại chứng minh một số tính chất của lược đồ TVD và quá trình
xây dựng các lược đồ TVD bậc 2, 3 và 4.
- Mô phỏng ví dụ bằng phần mềm Matlab cho lược đồ TVD và khơng TVD.
Giải số ví dụ bằng phần mềm Matlab chỉ ra sự ổn định của lược đồ TVD.

6


Mục lục
Bảng ký hiệu

9

1 Kiến thức tổng quan

10

1.1

Định luật bảo toàn Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2

Nghiệm yếu của các định luật bảo toàn . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.1

Sự không tồn tại nghiệm trơn . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2

Nghiệm yếu và hệ thức Rankine-Hugoniot . . . . . . . .

12

Khái niệm về entropy toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.1

Tính khơng duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . .

14

1.3.2

Khái niệm entropy toán học và nghiệm entropy . . . . .

14

1.3

2 Xây dựng mơ hình

17

2.1

Sự hình thành mơ hình LWR . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2

Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3

Tính chất TVD, TVB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.4

Ý nghĩa của lược đồ TVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

7


Mục lục
2.5

Lược đồ bảo tồn tính đơn điệu, lược đồ đơn điệu, lược đồ tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6

24

Mối liên quan giữa lược đồ bảo tồn tính đơn điệu, lược đồ đơn
điệu, lược đồ tuyến tính và lược đồ TVD . . . . . . . . . . . . .

25

2.7

Bổ đề Harten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.8

Xây dựng một số lược đồ TVD . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.8.1

Lược đồ TVD bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.8.2

Lược đồ bậc TVD bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.8.3

Lược đồ bậc TVD bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3 Giải số bằng phần mềm Matlab
3.1

Bài tốn ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Kết quả số xấp xỉ nghiệm của phương trình (3.1) bằng lược đồ

3.3

42
42

khơng TVD bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Kết quả số xấp xỉ nghiệm của phương trình (3.1) bằng lược đồ
TVD bậc hai và lược đồ TVD bậc ba . . . . . . . . . . . . . . .

46

Kết luận

51

A

53

B

58

C

63

Tài liệu tham khảo

68

8


Bảng ký hiệu
Ký hiệu

Ý nghĩa

Ω, Ω− , Ω+

Các miền con của Rp .

s

Vận tốc sốc.

U, F

Cặp entropy lồi.

TV D

Biến phân tồn phần giảm.

TV B

Biến phân tồn phần bị chặn.

L(u)

Tốn tử rời rạc không gian của nghiệm u(x, t).

h(u− , u+ )

Hàm thơng lượng Godunov.

c

Hệ số chặn CFL.

u(x, t)

giá trị chính xác của nghiệm u tại vị trí x, thời điểm t.

unj

giá trị xấp xỉ của nghiệm u tại nút (xj , tn ).

G(↑, ↑, ..., ↑)

hàm đơn điệu không giảm theo từng biến.

un = u(un1 , un2 , ...unm )

nghiệm rời rạc theo không gian ở bước thời gian thứ n.

9

Chương 1

Kiến thức tổng quan
1.1

Định luật bảo toàn Hyperbolic

Cho Ω là tập mở trong Rp và hàm trơn f : Ω → Rp . Dạng tổng quát của định
luật bảo tồn vơ hướng một chiều:
ut + [f (u)]x = 0, ∀x ∈ R, ∀t > 0

(1.1)

trong đó:
- u = u(x, t) : R × R+ → Ω.
- Tập Ω gọi là tập trạng thái.
- Hàm f là hàm thông lượng.
Lấy tích phân hai vế của (1.1) trên khoảng (a,b) tùy ý, ta được:
d
dt

∫b

u(x, t)dx = f (u(a, t)) − f (u(b, t)).

a

Ta thấy rằng tích phân theo thời gian của hàm

∫b
a

thoát qua hai điểm biên a và b.
10

udx đúng bằng lượng thất


Chương 1. Kiến thức tổng quan

1.2
1.2.1

Nghiệm yếu của các định luật bảo tồn
Sự khơng tồn tại nghiệm trơn

Xét bài tốn Cauchy đối với định luật bảo tồn vơ hướng:
ut + [f (u)]x = 0, ∀x ∈ R, ∀t > 0
u(x, 0) = u0 (x) ∀x ∈ R

(1.2)

Giả sử u là một nghiệm trơn của (1.2). Đường cong đặc trưng của phương
trình đạo hàm riêng (1.2) được định nghĩa là đường cong tích phân của phương
trình vi phân:
dx
= a(u(x(t), t))
dt

(1.3)

Trong đó: [f (u)]x = a(u(x(t), t)).u(x(t), t)x
Định lý 1.2.1. Cho u là nghiệm trơn của (1.2). Khi đó, đường đặc trưng (1.3)
là đường thẳng mà dọc theo nó hàm u nhận giá trị là hằng số.
Chứng minh
Xét một đường đặc trưng đi qua (x0 , 0) tức là nghiệm của bài toán:
{ dx
dt = a (u (x (t) , t))
x (0) = x0
Nghiệm này tồn tại trên [0, t0 ]. Dọc theo đường này, hàm u là hàm hằng.
Thật vậy, ta có:
[u(x(t), t)]t = u(x(t), t)t + [u(x(t), t)]x .xt
= u(x(t), t)t + a(u(x(t), t))u(x(t), t)x = 0.
Vậy, đường đặc trưng là một đường thẳng có hệ số góc là a(u0 (x0 )) phụ
thuộc vào điều kiện đầu của bài toán. Hơn nữa đường đặc trưng qua (x0 , 0) có
phương trình:
11


Chương 1. Kiến thức tổng quan
x = x0 + ta(u0 (x0 ))
Giả sử tồn tại hai điểm x1 < x2 sao cho a(u0 (x1 )) > a(u0 (x2 )). Khi đó, hai
đường đặc trưng qua (x1 , 0) và (x2 , 0) cắt nhau tại điểm P ứng với:
t=

x2 −x1
a(u0 (x1 ))−a(u0 (x2 ))

>0

Như vậy, tại P hàm u nhận cả hai giá trị là u0 (x1 ) và u0 (x2 ). Do đó, hàm
u khơng liên tục tại P . Điều kiện để hai đường đặc trưng không cắt nhau tại
t > 0 là hàm x → a(u0 (x)) tăng. Tuy nhiên, nghiệm trơn của hệ có thể được
xây dựng đến một thời điểm lớn nhất T ∗ được xác định bởi:
1
T ∗ = − min(α,0)
với α = min a (u0 (x))
x∈R

1.2.2

Nghiệm yếu và hệ thức Rankine-Hugoniot

Xét bài toán Cauchy:
{

ut + [f (u)]x = 0, u ∈ Ω ⊂ Rp
u(x, 0) = u0 (x)

(1.4)

p
p
∞
trong đó u0 ∈ L∞
loc (R) . Giả sử u là nghiệm trơn và φ ∈ C0 (R × [0, ∞)) .

Áp dụng cơng thức Green ta có:
∫∞ ∫

0=−

(ut + f (u)x )φdxdt
0

∫∞ ∫

R

∫

′

′

(u.φt + f (u).φt )dxdt +

=
0

u0 (x).φ(x, 0)dx.
R

R

Vậy nghiệm cổ điển u thỏa đẳng thức vi tích phân:
∫∞ ∫

′

′

∫

(u.φt + f (u).φt )dxdt +
0

R

u0 (x).φ(x, 0)dx = 0
R

12

(1.5)


Chương 1. Kiến thức tổng quan
p
Định nghĩa Hàm u ∈ L∞
loc (R × [0, ∞)) được gọi là nghiệm yếu của bài
toán Cauchy (1.4) nếu u(x, t) ∈ Ω hầu khắp nơi (h.k.n) và thõa mãn (1.5) với

mọi hàm thử φ ∈ C0∞ (R × [0, ∞))p .
Định lý 1.2.2. Cho u là hàm trơn R × R+ → Ω có dạng
{
u− (x, t), x < φ(t)
u(x, t) =
u+ (x, t), x > φ(t)

(1.6)

Đặt Ω+ = {(x, t) : x > φ(t)}, Ω− = {(x, t) : x < φ(t)} và các hàm u± :
Ω± → U , φ : R+ → R là các hàm khả vi liên tục. Khi đó, u là nghiệm yếu
của (1.4) khi và chỉ khi u là nghiệm trơn trên từng miền Ω± và thỏa điều kiện
Rankine-Hugoniot sau:
′

−φ (t)(u+ (t) − u− (t)) + f (u+ (t)) − f (u− (t)) = 0

(1.7)

với u− (t) = lim+ u− (φ(t) − ε, t), u+ (t) = lim+ u+ (φ(t) + ε, t).
ε→0

ε→0

Chứng minh
Với hàm θ tùy ý trong Cc∞ (R × (0, +∞)), phương trình (1.5) được viết lại:

∑

±

∫ ∫



(u± (x, t) θ(x, t)t + f (u± (x, t) θ(x, t)x )) dxdt = 0

Ω±

Áp dụng công thức Green trên từng miền Ω± , ta được:
′

′

φ (t) u− (t) − f (u− (t)) − φ (t) u+ (t) + f (u+ (t)) = 0
Định lý chứng minh xong.

13


Chương 1. Kiến thức tổng quan

1.3
1.3.1

Khái niệm về entropy toán học
Tính khơng duy nhất của nghiệm yếu

Ta xét ví dụ về phương trình Burgers:
{
2
ut + ( u2 )x = 0, u ∈ Ω ⊂ Rp
u(x, 0) = u0 (x)
{

với
u0 (x) =

Ta có f (u) =

u2
2 .

(1.8)

0, x ≤ 0
1, x > 0

Điều kiện Rankine-Hugoniot lúc này là:
′

φ (t) =

f (u+ )−f (u− )
u+ −u−

=

1
2

Dễ dàng kiểm tra được

t

 0, x ≤
2

u1 (x, t) =

 1, x > t
2

0, x ≤ 0


x
,0 < x < t
u2 (x, t) =
t



1, x ≥ t

và

là hai nghiệm yếu của (1.8).

1.3.2

Khái niệm entropy toán học và nghiệm entropy

Cặp entropy lồi

14

Chương 1. Kiến thức tổng quan
Xét định luật bảo toàn tổng quát dạng (1.1). Giả sử U : Ω → R là một
hàm trơn. Ta nhân hai vế của phương trình (1.1) với ∇U(u) ta được:
∇U(u).ut + ∇U(u).[f (u)]x = 0
⇔ ∇U(u).ut + ∇U(u).Df (u).ux = 0
Nếu tồn tại hàm khả vi F(u) thỏa:
∇F(u) = ∇U(u)Df (u)

(1.9)

thì hệ (1.1) được viết lại:
U(u)t + F(u)x = 0.
Định nghĩa
Cho Ω là một tập lồi. Hàm lồi, trơn U : Ω → R được gọi là entropy của
định luật bảo toàn (1.1) nếu tồn tại một hàm trơn F : Ω → R thỏa mãn hệ
thức:
U(u)t + F(u)x = 0.

(1.10)

Hàm F được gọi là thông lượng entropy. Cặp (U, F) được gọi là cặp entropy
lồi của hệ (1.1).
Bất phương trình entropy
Xét định luật bảo toàn với nhớt:
uεt + f (uε )x = ε(uε )xx

(1.11)

Định lý 1.3.1. Giả sử hệ (1.1) có một cặp entropy lồi (U, F). Giả sử uε là
một dãy hàm trơn của (1.11) sao cho:

lim uε = u, lim ∥uε ∥L∞ (R×[0,+∞)) ≤ C h.k.n trong R × [0, +∞)

ε→0

ε→0

15


Chương 1. Kiến thức tổng quan
trong đó C là hằng số khơng phụ thuộc vào ε.
Khi đó, u là nghiệm yếu của định luật bảo toàn (1.1) và thỏa bất phương
trình entropy sau:
U(u)t + F(u)x ≤ 0 h.k.n trong R × (0, ∞)

16

(1.12)


Chương 2

Xây dựng mơ hình
Trong chương 2, luận văn trình bày sự hình thành mơ hình LWR, tính chất
TVD, xây dựng một số lược đồ TVD.

2.1

Sự hình thành mơ hình LWR

Xét giao thơng trên đường cao tốc trong đó lưu lượng và mật độ giao thông
lần lượt được biễu diễn bởi f (x, t) và ρ (x, t). Xét trên một đoạn đường được
miêu tả như hình 2.1. Tại thời điểm t, mật độ giao thông là ρ (x, t), sau thời
gian ∆t mật độ giao thông là ρ + ∂ρ
∂t .∆t. Trong khoảng thời gian ∆t, lưu lượng
giao thông vào và ra lần lượt là f (x, t), f +
ta có:

∂f
∂x .∆x.

Theo định luật bảo tồn,

(
)
(
)
∂ρ
∂f
ρ.∆x + f.∆t = ρ +
.∆t ∆x + f +
.∆x ∆t
∂t
∂x
Do đó, ta có:
∂ρ ∂f
+
= 0, ∀ (x, t) ∈ Ω
∂t
∂x

trong đó Ω là tập xác định thời gian và không gian của bài toán.
17

(2.1)


Chương 2. Xây dựng mơ hình
Lưu lượng, vận tốc trung bình và mật độ thỏa phương trình:
f (x, t) = u (x, t) .ρ (x, t)

(2.2)

Suy ra:

∂f (x, t)
∂ρ (x, t)
du (x, t) ∂ρ (x, t)
= u (x, t) .
+ ρ (x, t)
.
,
∂x
∂x
dρ
∂x

∀ (x, t) ∈ Ω (2.3)

Đặt
q (ρ) = u (ρ (x, t)) + ρ (x, t) .

du
,
dρ

∀ (x, t) ∈ Ω

Khi đó phương trình bảo tồn của mơ hình LWR là:
∂ρ (x, t)
∂ρ (x, t)
+ q (ρ) .
= 0,
∂t
∂x

∀ (x, t) ∈ Ω

Hình 2.1: Minh họa sự bảo tồn xe trên một đoạn đường.
Từ mơ hình LWR cho một đoạn cao tốc trên, Lighthill-Whitham-Richards
đã xây dựng phương trình LWR tổng quát sau:
∂p
∂p
∂2p
∂2p
+ q (p) .
+ T. 2 2 − D. 2 2 = 0
∂t
∂x
∂ t
∂ x

18

(2.4)


Chương 2. Xây dựng mơ hình
trong đó:
- q(p) là vận tốc sóng (the wavespeed).
- T là hằng số thời gian vận tốc biến thiên (the inertial time constant for
speed variation).
- D là hệ số khuếch tán (diffusion coefficient representing how vehicles
respond to nonlocal changes in traffic conditions).

2.2

Bài tốn

Phương trình LWR tổng quát:

∂u
∂u
∂2u
∂2u
∀x ∈ [x0 , x1 ], ∀t ∈ [0, t0 ],
+ q (u) .
+ T. 2 2 − D. 2 2 = 0, u ∈ Ω ⊂ Rp(2.5)
∂t
∂x
∂ t
∂ x

với điều kiện u(x, 0) = u0 (x).
Một số kết quả nghiên cứu giải phương trình (2.5) tiêu biểu:
Năm 1988, Chi-Wang Shu và Stanley Osher đưa ra mơ hình bắt sốc ENO
(essentially non-oscillatory) kết hợp với lược đồ TVD (total-variation-diminishing)
rời rạc thời gian tìm nghiệm gián đoạn của mơ hình LWR (xem [3]).
Năm 1994, Xu-Dong Liu, Stanley Osher và Tony Chan đưa ra mơ hình
bắt sốc WENO (Weighted essentially non-oscillatory ) giải phương trình LWR
(xem [10]).
Năm 2003, Mengping Zhanga, Chi-Wang Shu, George C.K. Wong và S.C.
Wong đưa ra mơ hình WENO (weighted essentially non-oscillatory) giải mơ
hình LWR nhiều loại xe (xem [15]).
Năm 2008, YadongLu, S.C. Wong, MengpingZhang và Chi-WangShu xây
dựng lược đồ tìm nghiệm entropy cho mơ hình LWR với mối liên hệ giữa hàm
lưu lượng và mật độ là hàm lồi, gián đoạn, bậc hai từng khúc và điều kiện đầu
là hàm tuyến tính từng khúc, điều kiện biên là hàm hằng từng khúc (xem [13]).
19


Chương 2. Xây dựng mơ hình
Năm 2010, Pierre-Emmanuel Mazaré, Christian G. Claudel và Alexandre
M. Bayen xây dựng phương pháp lưới tự do giải phương trình LWR. (xem [20])
Từ phương trình tổng quát (2.5), ta xét trường hợp đơn giản sau:
∀x ∈ [x0 , x1 ], ∀t ∈ [0, t0 ], ut + [f (u)]x = 0, u ∈ Ω ⊂ Rp

(2.6)

với điều kiện u(x, 0) = u0 (x).
Dạng tóm tắt của phương trình (2.6)
ut = £(u)

(2.7)

w = T (u) = (I + ∆tL)(u)

(2.8)

* Định nghĩa 1

Trong đó:
+ T là tốn tử rời rạc phi tuyến.
+ L là toán tử rời rạc phi tuyến và là xấp xỉ bậc r của tốn tử khơng gian
£ trong (2.7)
L(u) = £(u) + O(∆xr )
* Định nghĩa 2
˜
w
˜ = T˜(u) = (I − ∆tL)(u)
Trong đó:
+ T˜ là tốn tử rời rạc phi tuyến.
˜ là toán tử rời rạc phi tuyến và là xấp xỉ bậc r của tốn tử khơng gian
+L
£ trong (2.7)
˜
L(u)
= £(u) + O(∆xr )
Ví dụ: Phương trình hyperbolic bậc nhất
20

(2.9)

Chương 2. Xây dựng mơ hình
ut = ux = £(u)
có
L(u) =

u(x+∆x,t)−u(x,t)
.
∆x

˜
L(u)
=

u(x,t)−u(x−∆x,t)
.
∆x

Kí hiệu: unj là giá trị xấp xỉ của nghiệm chính xác u tại nút (xj , tn ) với
xj = j.∆x, tn = n.∆t.
Luận văn cần xây dựng một lược đồ xấp xỉ bậc r cho bài toán (2.7) dạng:
u(xj , tn+1 ) − S(unj ) = O(∆xr+1 )

(2.10)

Trong đó S là tốn tử phụ thuộc vào T .

2.3

Tính chất TVD, TVB

Biến phân tồn phần của nghiệm vơ hướng rời rạc được định nghĩa bởi:
T V (un ) =

∑
j

|unj+1 − unj |

- Lược đồ sai phân được gọi là TVD ( hay biến phân toàn phần giảm) nếu:
T V (un+1 ) ≤ T V (un )
- Lược đồ sai phân được gọi là TVB ( hay biến phân toàn phần bị chặn)
trên [0, T ] nếu:
T V (un ) ≤ B
trong đó: B là hằng số.
21


Chương 2. Xây dựng mơ hình

2.4

Ý nghĩa của lược đồ TVD

Trong phần này, luận văn trình bày ví dụ cho thấy sự ổn định của lược đồ
TVD.
Xét phương trình Burgers (xem [4])

1
ut + ( u2 )x = 0

2
{
với điều kiện: u(x, 0) =

(2.11)

1,
x≤0
; −1 ≤ x ≤ 1
−0.5, x > 0

Công thức lược đồ TVD bậc hai ( xem 2.8.1):

u(2)

u(1) = u(0) + ∆tL(u(0) )
1
1
1
= u(0) + u(1) + ∆tL(u(1) )
2
2
2

(2.12)

và lược đồ không TVD bậc hai:

u(2)

u(1) = u(0) − 20∆tL(u(0) )
41
1
= u(0) + u(0) − ∆tL(u(1) )
40
40

(2.13)

Dưới đây là kết quả giải số phương trình (2.11) bằng cách sử dụng lược đồ
TVD và lược đồ không TVD ( code xem phụ lục A và B).

22