Phân tích động lực học dầm liên tục chịu tải di động có xét đến khối lượng vật thể báo cáo tổng kết kết quả đề tài khcn cấp trường msđt t ktxd 2014 60
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.05 MB, 62 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
O
BÁO CÁO TỔNG KẾT KẾT QUẢ
ĐỀ TÀI KHCN CẤP TRƯỜNG
Tên đề tài:
PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC DẦM LIÊN TỤC
CHỊU TẢI DI ĐỘNG CÓ XÉT KHỐI LƯỢNG VẬT THỂ
Mã số đề tài:
T-KTXD-2014-60
Thời gian thực hiện:
03/2014 - 02/2015
Chủ nhiệm đề tài:
TS. Nguyễn Trọng Phước
Cán bộ tham gia đề tài:
TS. Lương Văn Hải
ThS. Huỳnh Văn Mãi
ThS. Nguyễn Hồng Lâm
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2014
Danh sách các cán bộ tham gia thực hiện đề tài
(Ghi rõ học hàm, học vị, đơn vị công tác gồm bộ môn, Khoa/Trung tâm)
1. GVC.TS. Nguyễn Trọng Phước, BM Sức Bền Kết Cấu, Khoa Xây Dựng
2. GV.TS. Lương Văn Hải, BM Sức Bền Kết Cấu, Khoa Xây Dựng
3. ThS. Huỳnh Văn Mãi, làm việc ở Công ty Xây dựng
4. GV. ThS. Nguyễn Hoàng Lâm, BM Sức Bền Kết Cấu, Khoa Xây Dựng
MỤC LỤC
CHƯƠNG 1
GIỚI THIỆU ..................................................................................... 1
1.1 Đặt vấn đề .................................................................................................... 1
1.2 Nội dung của đề tài ...................................................................................... 2
1.3 Tổng quan .................................................................................................... 3
CHƯƠNG 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT ....................................................................... 9
2.1 Giới thiệu ..................................................................................................... 9
2.2 Mơ hình bài tốn .......................................................................................... 9
2.3 Phương trình chuyển động của dầm ........................................................... 11
2.4 Mơ hình xe .................................................................................................. 14
2.5 Phương trình chuyển động ......................................................................... 15
2.6 Sơ đồ khối .................................................................................................. 20
2.7 Kết luận chương ......................................................................................... 20
CHƯƠNG 3
KẾT QUẢ SỐ.................................................................................. 22
3.1 Giới thiệu ................................................................................................... 22
3.2 Kiểm chứng ................................................................................................ 22
3.3 Ảnh hưởng số nhịp dầm ............................................................................. 26
3.4 Ảnh hưởng các mô hình tải trọng khác nhau ............................................ 29
3.5 Ảnh hưởng của vận tốc ............................................................................. 33
3.6 Ảnh hưởng của vận tốc thay đổi ............................................................... 39
3.7 Nhận xét ..................................................................................................... 41
CHƯƠNG 4
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN .................................... 42
4.1 Kết luận ...................................................................................................... 42
4.2 Hướng phát triển ........................................................................................ 43
Tài liệu tham khảo ...................................................................................................... 44
Phụ lục
Mã chương trình ........................................................................................P.1-P.13
Bài báo cơng bố
Các hồ sơ liên quan đề tài
TĨM TẮT ĐỀ TÀI
Trong bài tốn phân tích ứng xử của kết cấu dạng dầm liên tục chịu tải trọng di
động, phương pháp phân tích tĩnh thường được sử dụng để tìm lời giải của bài tốn. Có
một số nghiên cứu gần đây trình bày sự phân tích động lực học để tìm ứng xử của dầm
liên tục và tải trọng của phương xe được mơ hình như là một lực di động qua cầu nhưng
chưa phổ biến lắm.
Đề tài này phân tích động lực học của dầm liên tục chịu tải trọng di động có xét
đến khối lượng của tải trọng. Bài toán động lực học kết cấu được giải quyết thông qua
phương pháp phần tử hữu hạn và tích phân số Newmark trên tồn miền thời gian. Một
chương trình máy tính được viết bằng ngơn ngữ lập trình MATLAB để phân tích ứng xử
động đã được thực hiện. Các kết quả số bước đầu cho thấy rằng sự ảnh hưởng của lực
quán tính theo phương đứng do xét khối lượng tải trọng là đáng kể đến ứng xử của cầu.
Có vị trí trong kết cấu là nguy hiểm hơn so với trường hợp khơng xét khối lượng xe.
Ngồi ra, vận tốc chuyển động của tải trọng cũng ảnh hưởng khá nhạy đến ứng xử động
của dầm. Sự ảnh hưởng của số lượng nhịp dầm cũng được khảo sát.
Tính mới của đề tài là xem xét tác dụng của phương tiện có cả lực và khối lượng
di động (có xét đến ảnh hưởng của lực quán tính theo phương đứng) và vận tốc tải trọng
có ảnh hưởng đến ứng xử cũng đã được phân tích. Kết quả thu được có ý nghĩa vật lý rõ
ràng. Có thể thấy rằng mơ hình của xe được đi sâu hơn và xét đến khối lượng tải trọng.
CHƯƠNG 1.
GIỚI THIỆU
1.1
ĐẶT VẤN ĐỀ
Phân tích ứng xử của kết cấu dạng dầm liên tục chịu tải trọng di động
là mơ hình của cầu chịu sự tác động của tải trọng xe. Như đã biết, độ võng
lớn và dao động gây ra bởi lực động của phương tiện nặng có thể gây hư
hỏng, tăng chi phí bảo trì và làm giảm tuổi thọ kết cấu. Những phát triển về
kỹ thuật thiết kế, đặc tính vật liệu, kỹ thuật xây dựng trong thời gian gần đây
cho phép xây dựng những kết cấu nhẹ hơn, dài hơn và mảnh hơn đặc biệt là
trong lĩnh vực cầu đường. Cùng với sự phát triển của các phương tiện vận tải
siêu tốc thì vấn đề này, sự phân tích động lực học, càng được quan tâm rất
nhiều trong lĩnh vực kết cấu.
Có hai nhóm phương pháp phân tích phản ứng của dầm liên tục chịu
tải trọng xe là phân tích tĩnh và phân tích động lực học. Nhóm phân tích tĩnh
đã được quan tâm từ rất lâu và có những kết quả rất đáng kể trong lý thuyết
cũng như thực tiễn. Bắt đầu từ lý thuyết đường ảnh hưởng, suy ra được các
giá trị cần thiết nếu dòng phương tiện đậu trên cầu và kết quả này được nhân
với hệ số động để xét đến ảnh hưởng của xe chạy qua cầu. Hệ số này tùy vào
các tiêu chuẩn và là hàm số phụ thuộc vào khá nhiều thông số gần đúng như.
tần số dao động tự nhiên cơ bản, chiều dài nhịp và tình trạng tải trọng tĩnh tác
động nhiều lần vào kết cấu cho nên hệ số này phải đủ lớn để xét thêm tải
trọng động. Thêm vào những tiêu chuẩn thiết kế của mỗi quốc gia lại khác
nhau nên sẽ tạo nên một dải trong việc chọn hệ số động lực để thiết kế. Các
1
kết quả này góp phần vào việc cung cấp các giá trị cần thiết để thiết kế kết
cấu nhìn trên một số phương diện cường độ, biến dạng... Tuy nhiên kết quả là
gần đúng và tùy thuộc từng quan điểm hay từng đặc thù của tiêu chuẩn.
Nhóm nghiên cứu thứ hai là phân tích động lực học. Nhóm này đi tìm
nghiệm ứng xử thực hơn của kết cấu chịu tải trọng xe tại các thời điểm khác
nhau vì vậy cung cấp cách nhìn chính xác hơn ứng với từng trường hợp thực
tế. Tuy nhiên, thực tế có quá nhiều trường hợp tải trọng xe, một xe hay nhiều
xe, chuyển động như thế nào, đặc tính của các xe ra sao, ... và kết cấu là một
mơ hình khá phức tạp khi phân tích động lực học; hơn nữa khối lượng cơng
việc để giải bài tốn động lực học thường khá lớn nên hiện nay chưa được
phổ biến đến việc dùng nó trong bài tốn thiết kế. Thực sự hướng này vẫn
cịn đang nghiên cứu nhiều và cũng đã có kết quả nhất định cung cấp cách
nhìn trên nhiều phương diện khác nhau như sự dao động, miền cộng hưởng,
tuổi thọ, ...
Bài tốn phân tích ứng xử động lực học dầm liên tục chịu ngoại lực
theo phương đứng thu hút được rất nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học.
Hơn nữa, tải trọng xe chạy là tải trọng tác dụng chủ yếu và lâu dài lên cầu
trong quá trình khai thác. Có thể thấy rằng tải trọng xe qua cầu là tải trọng
thường xun, có tính lặp đi lặp lại. Đi sâu hơn nữa, việc phân tích động do
tải trọng xe gây ra có ý nghĩa tương đối lớn đến độ bền mỏi hay tuổi thọ của
kết cấu vì khả năng hư hỏng cầu gây ra do dao động của tải trọng di động,
thêm vào tải trọng do xe nặng, chuyển động với vận tốc lớn có thể gây nguy
hiểm và dẫn đến việc tăng giá thành bảo trì và giảm tuổi thọ làm việc của kết
cấu. Vì vậy, hiện nay vấn đề phân tích động của kết cấu chịu phương tiện
giao thông đang thu hút được sự quan tâm của nhiều kỹ sư cũng như các nhà
nghiên cứu.
1.2
NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
Hòa vào khuynh hướng nghiên cứu trên, đề tài này cũng tiến hành
theo nghiên cứu ứng xử động lực học của một dầm liên tục nhiều nhịp chịu
tải trọng xe chạy có xét đến khối lượng tải. Tải trọng xe được mơ hình dưới
dạng: i) lực di động, ii) lực và khối lượng di động và iii) mô hình một hệ gồm
có bánh xe, nhíp xe và thân xe cùng di động (sprung mass). Tất cả hệ dầm và
2
xe được xem như một hệ tổng quát và phân tích phản ứng động của cả hệ. Từ
đó đánh giá sự ảnh hưởng của khối lượng xe, vận tốc chuyển động lên phản
ứng động của dầm.
Phương pháp để phân tích bài toán này là dùng phần tử hữu hạn với
các phần tử thanh chịu uốn để mô tả dầm liên tục; kết hợp với nguyên lý cân
bằng động để thiết lập phương trình chuyển động của cả hệ và dùng phương
pháp tích phân trực tiếp để giải phương trình chuyển động. Việc tính tốn này
được thực hiện bằng chương trình máy tính tự viết theo ngơn ngữ MATLAB,
một số phần có kiểm chứng kết quả với phần mềm SAP2000 và các nghiên
cứu khác.
Giới hạn của đề tài là: lực truyền từ xe xuống dầm chỉ xét theo phương
đứng, không xét cả đoàn xe mà chỉ xét 1 chiếc xe, xe chuyển động với vận
tốc thay đổi đều (gia tốc hằng số).
Đề tài có ý nghĩa khoa học rõ ràng đó là xét chi tiết hơn về mơ hình xe
để đánh giá sự ảnh hưởng của nó đến phản ứng động của dầm, tiệm cận hơn
đến nghiệm chính xác so với mơ hình tải trọng là lực di động trước đây.
1.3
TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU
Bài tốn phương tiện di động qua dầm được nghiên cứu dưới dạng
một số mơ hình như sau:
Mơ hình 1: Tải trọng di động đủ chậm không gây ra dao động, không
xét đến khối lượng của tải trọng và khối lượng của dầm, bỏ qua các hiệu ứng
qn tính theo phương đứng như trên Hình 1.1 xem xét đến như bài tốn
tĩnh. Tiếp sau đó S.P.Timoshenko (1922) đã nghiên cứu mở rộng cho bài toán
dầm chịu tải trọng di động thay đổi điều hồ.
P
v
x
w
Hình 1.1 Tải trọng không khối lượng di động
3
Mơ hình 2: Tải trọng có khối lượng di chuyển trên hệ dầm khơng có khối
lượng như trên Hình 1.2.
P
v
Mp
x
w
Hình 1.2 Tải trọng có khối lượng di động trên dầm
Mơ hình 3: Tải trọng có khối lượng, chuyển động trên dầm cũng có khối
lượng trên Hình 1.3.
vt
P(t )
Mp
v
0.5ml
x
w
Hình 1.3 Tải trọng có khối lượng di động trên dầm có khối lượng
i vi t
ki
v
ci
m const
x
w
Hình 1.6 Mơ hình của tải trọng xe chạy trên dầm đơn
Ảnh hưởng động lực học của tải di động được nhận ra vào giữa thế kỷ
19 và Stoke được cho là người đầu tiên chính thức phân tích vấn đề tải trọng
chuyển động ở mức độ lực di động. Từ đó đến nay, có rất nhiều nghiên cứu
4
lý thuyết và thực nghiệm được thực hiện nhằm đánh giá về các khía cạnh
khác nhau tác động đến phản ứng của những kết cấu dạng này. Ngày nay,
động lực học của kết cấu cầu vẫn là đề tài rất thu hút do sự phát triển nhanh
chóng của hệ thống vận tải và vật liệu mới cũng như với sự trợ giúp của máy
tính và các phương pháp số có thể mô phỏng thực tế sự tương tác động học
giữa hệ chuyển động và kết cấu. Một số nghiên cứu tiêu biểu có thể kể đến
như sau:
1994, H. P. Lee [9] phân tích phản ứng động của dầm với điểm liên
kết trung gian chịu tải trọng di động, sử dụng lý thuyết dầm Euler, nguyên lý
Hamilton và giải bằng phương pháp mode giả định. Điểm liên kết trung gian
dưới dạng gối đỡ được giả định là liên kết lò xo với độ cứng rất lớn. Kết quả
mô phỏng số được trình bày cho nhiều tổ hợp vận tốc dọc hằng số và số
lượng điểm liên kết trung gian. Sự bổ sung liên kết trung gian đối với một
dầm đơn giản thì làm giảm mạnh độ võng đối với chuyển động tương đối
chậm, và ít quan trọng hơn khi vận tốc nhanh. Tuy nhiên, chuyển vị tại điểm
liên kết khác không và độ võng dưới tải trọng di động có thể theo hướng
ngược lại với hướng đặt tải. Tiếp theo đó, tác giả này nghiên cứu phản ứng
động của dầm Timoshenko chịu khối lượng di động với cách tiếp cận
Lagrange và phương pháp mode giả định. Ông kiểm tra kết quả của mơ hình
với kết quả của một tải trọng di động tương đương về chuyển vị của một dầm
đơn giản cho một vài trường hợp khối lượng vật di động, vận tốc cũng như tỷ
số độ mảnh khác nhau.
1997, K. Henchi [6] và cộng sự đưa ra một phần tử độ cứng động học
chính xác dưới sườn xấp xỉ PTHH để nghiên cứu phản ứng của kết cấu nhiều
nhịp chịu tải trọng di động. Mơ hình động lực học kết hợp với thuật toán FFT
được phát triển. Tất cả tần số dao động và hình dạng mode của kết cấu dầm
được tính tốn chính xác bằng thuật tốn Wittrick và Williams. Ví dụ số cho
thấy chỉ cần với một phần tử trên nhịp thì đã thu được tần số và mode chính
xác do hàm nội suy thỏa mãn chính xác phương trình cân bằng. Cơng thức
đúng với bất kỳ vận tốc nào của lực chuyển động nên có thể áp dụng cho
5
trường hợp lực chuyển động với vận tốc lớn. Ngoài ra một số kết quả về hệ
số khuếch đại động học cũng được đưa ra là một hàm của vận tốc của tải di
động.
2002, A. Yavari [17] và cộng sự phân tích phản ứng động của dầm
Timoshenko chịu khối lượng di động bằng kỹ thuật phần tử rời rạc. Họ
nghiên cứu ảnh hưởng độ mảnh dầm và vận tốc của khối lượng chuyển động
cho dầm với các điều kiện biên khác nhau.
Cùng thời gian, G. T. Michaltsos [10] tập trung vào ảnh hưởng của sự
tăng hay giảm gia tốc đối với ứng xử của một dầm Euler–Bernuolli một nhịp.
Ba trường hợp được khảo sát là lực di động , khối lượng di động và khối
luợng di động có cản với vận tốc thay đổi. Lời giải kín thu được cho độ võng.
2004, C. Bilello và L. A Bergman [2,3] thực hiện một nghiên cứu lý
thuyết và thực nghiệm trên một dầm Euler–Bernoulli đã bị hư hại chịu khối
lượng di động. Ảnh hưởng khối lượng phân bố của dầm và gia tốc đối lưu
được xem xét để đánh giá sự chính xác lực tương tác giữa dầm và khối lượng
di động.
2008, C. Bilello [3] và cộng sự nghiên cứu một phương pháp chính
xác cho phân tích dầm liên tục tuyến tính một chiều chịu tải trọng tập trung di
động trong đó xem xét cả lực di động và khối lượng di động. Phản ứng động
thu được bằng cách tách rời sự đóng góp của mơ hình tần số thấp với mơ
hình tần số cao, tương ứng dùng mơ hình cổ điển và cách khai triển chuỗi
mới. Tiến bộ của phương pháp là trực tiếp đưa vào sự tính tốn của phân bố
ứng suất khi tìm được sự khơng liên tục ứng suất do tính chất tải áp dụng.
Kết quả số dùng để kiểm tra sự hội tụ của chuỗi đề nghị và so sánh với lời
giải khai triển chuỗi cổ điển.
J. Yang [14] và cộng sự nghiên cứu giải tích đối với dao động tự do
và cưỡng bức dầm Euler–Bernoulli không đồng nhất có vết nứt biên chịu lực
nén dọc trục và lực di động. Mơ hình lị xo xoay được dùng để mô phỏng vết
nứt. Phản ứng cưỡng bức được xác định bằng kỹ thuật khai triển chuỗi mode.
6
Czesław I. Bajer và Bartłomiej Dyniewicz [4] đưa ra phương pháp
PTHH không gian – thời gian trong vấn đề khối lượng chuyển động. Ma trận
đăc trưng nhận được của phần tử rời rạc của dải và dầm Euler–Bernoulli
mang khối lượng tập trung. Tác giả giới thiệu bốn dạng hàm ảo theo thời gian
dạng Dirac delta, mũ, tam giác và dạng hình mái; và hai trong số đó được sử
dụng để phân tích thực tế. Phương trình theo từng bước thời gian nhận được
cùng với sự phân tích gia tốc theo phương đứng của khối lượng. Lời giải có
thể được cải thiện bằng cách áp dụng các hàm hiệu chỉnh này.
2010, Vera De Salvo [12] và cộng sự giải quyết phân tích động của
dầm liên tục nhiều nhịp chịu tải di động bằng cách tổng hợp modes.
2011, E. Sharbati và W. Szyszkowski [13] đưa ra một phương pháp
PTHH mới để phân tích dầm với khối lượng di chuyển. Một phần tử dầm
phức hợp được đưa ra với ma trận khối lượng thay đổi theo thời gian, trong
đó xác định rõ ảnh hưởng của gia tốc Coriolis và gia tốc hướng tâm phụ
thuộc vào vận tốc tương đối của khối lượng. Phương pháp đề nghị có thể cho
kết quả chính xác và hiệu quả đối với một vài lời giải bằng giải tích. Ảnh
hưởng chủ yếu của gia tốc Coriolis trên dầm có thể được sử dụng cho mục
đích điều khiển về khả năng loại bỏ dao động của hệ thống bằng chuyển động
tương đối được đồng bộ hóa của các thành phần.
2012, S. G. M. Neves [11] và cộng sự đề nghị một phương pháp mới
trong phân tích tương tác xe – cầu. Hệ xe và kết cấu có thể rời rạc bằng nhiều
dạng PTHH với nhiều mức độ phức tạp. Phương trình của tồn hệ được thực
hiện với các phương trình tương thích bổ sung nhằm đảm bảo sự tiếp xúc
giữa xe và kết cấu, và được giải trực tiếp nên tránh được quá trình lặp như
các phương pháp khác. Q trình tích phân từng bước được thực hiện bằng
phương pháp Newmark. Đối với các kết cấu lớn thì phương pháp đề nghị
thường hiệu quả hơn các phương pháp cần cập nhật và tìm thừa số của ma
trận của hệ.
Xét đến khối lượng của tải trọng di động thì có một số nghiên cứu liên
quan được trình bày sơ lược như sau. Năm 2002, tác giả Hồng Hà cơng bố
7
một số kết quả cho nghiên cứu mơ hình bài toán dao động uốn của cầu dây
văng dưới tác dụng của đồn tải trọng ơ tơ (mơ hình 1 khối lượng) có xét đến
các ảnh hưởng của các tham số phi tuyến, tham chiếu thực nghiệm cho cầu
Đakrông, với phân tích ứng suất động lực theo sự biến đổi vận tốc tải trọng
qua cầu. Ứng với tải trọng 13.3T di động với vận tốc 80km/h. Kết quả cho
thấy khi xét các yếu tố phi tuyến của các gối đàn hồi độ võng động lực tăng
đáng kể. Trị số chênh lệch lớn nhất là 23.31% tương ứng với trường hợp vận
tốc tải trọng bằng 20km/h. Adetunde [1] 2007 có đề cập đến khối lượng
chuyển động (moving mass) lên kết cấu cầu dạng dầm Euler Bernoulli và ơng
cũng tìm được lời giải của bài tốn này và có so sánh với lời giải của bài toán
dầm chịu lực di động.
Các nghiên cứu trên đây về vấn đề tải trọng chuyển động thường xem
xét kết cấu dầm đơn giản chịu lực di động, khối lượng di động (moving mass)
hoặc khối lượng chuyển động có lị xo (sprung mass). Một số nghiên cứu
khác áp dụng cho kết cấu dầm liên tục chịu tác dụng đồn tải trọng chuyển
động ở dạng lực di động. Nhìn chung thì các vấn đề của bài tốn về dầm đơn
giản đã được nghiên cứu khá kỹ và đầy đủ nhưng đối với dầm liên tục thì vẫn
chưa được quan tâm nhiều. Kết cấu dầm liên tục thì phức tạp hơn và khó
khăn đối với giải tích do điều kiện chuyển vị bằng không tại các gối tựa trung
gian cũng như đối với các điều kiện biên đầu dầm khác nhau. Khi xét đến
quán tính của đối tượng chuyển động thì mức độ phức tạp càng tăng thêm do
sự tương tác giữa kết cấu và phương tiện. Ngày nay, với sự trợ giúp của máy
tính thì phương pháp số được coi là hiệu quả để giải quyết bài toán chuyển
động phức tạp.
Khơng nằm ngồi mục đích đạt được sự hiểu biết đầy đủ về vấn đề tải
trọng chuyển động, Đề tài này phân tích ảnh hưởng của tất cả các thành phần
qn tính và các thơng số tác động quan trọng đến phản ứng của một dầm cầu
liên tục nhiều nhịp sử dụng phương pháp số. Bài toán tương tác xe – cầu
được phát triển với mơ hình phù hợp với các kết cấu thực tế và đạt được độ
chính xác cần thiết.
8
CHƯƠNG 2.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1
GIỚI THIỆU
Chương này trình bày cơ sở lý thuyết để phân tích động lực học của
kết cấu dầm liên tục chịu tải di động có xét khối lượng tải. Mơ hình dầm
nhiều nhịp đơn giản nhất là dầm Euler Bernoulli được dùng trong bài toán
này. Xe di động được xem xét chi tiết hơn gồm có khối lượng bánh xe, thân
xe và lị xo nhíp xe. Phương trình chuyển động của hệ được thiết lập bằng
phương pháp phần tử hữu hạn và giải bằng phương pháp số Newmark. Thuật
tốn cũng được trình bày trong chương này.
2.2
MƠ HÌNH BÀI TỐN
Xét một dầm liên tục nhiều nhịp chịu phương tiện di chuyển qua dầm
với các đặc trưng như sau. Dầm dùng lý thuyết Euler Bernoulli. Các nhịp có
chiều dài và độ cứng uốn bất kỳ. Thực ra bài toán dầm này được giải bằng
phương pháp phần tử hữu hạn nên có thể đặc trưng dầm bất kỳ nhưng đề tài
chọn chiều dài nhịp bằng nhau để khảo sát sự ảnh hưởng của số lượng nhịp
dầm đến phản ứng động. Bài tốn được thể hiện như trên hình 2.1.
9
Chuyển vị đứng
w2
m2
ks
w1
vm
cs
m1
A
L
C
B
L
D
L
Hình 2.1. Mơ hình của dầm liên tục và tải trọng xe có xét sự tương tác
Mơ hình của hệ gồm có một dầm liên tục nhiều nhịp (vẽ 3 nhịp) gối tại các
liên kết và tải trọng di động được xem như hệ hai bậc tự do là khối lượng
bánh xe và thân xe được thể hiện như trên hình 2.1. Khối lượng của bánh xe
và thân xe tương ứng là m1 và m2 có các chuyển vị theo phương đứng lần lượt
là w1 và w2; độ cứng lị xo nhíp xe là ks và hệ số cản nhớt của nhíp xe cs. Tải
trọng này di chuyển qua cầu với vận tốc khơng đổi hoặc có thể thay đổi với
gia tốc đều.
2.3 PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DẦM
Chọn phần tử dầm hai điểm nút chịu uốn.
Hình 2.2 Phần tử dầm
10
Hàm chuyển vị v(x) được biểu diễn theo vectơ chuyển vị nút qe :
v( x) N qe
(1)
Trong đó, [N] là ma trận các hàm nội suy bậc 3. Quan hệ giữa biến dạng dọc
trục và chuyển vị đứng như sau:
d 2v
d 2N
y 2 y 2 qe B qe
dx
dx
B y
d 2N
dx 2
(2)
(3)
Ứng suất tại mọi diểm của phần tử dầm chịu uốn:
E. D Bqe ,
với [D] = E
(4)
Để thu được phương trình chuyển động của dầm cầu, sử dụng phương
trình Lagrange loại 2 dạng ma trận trong toàn vật thể.
d L L R
0
dt q q q
(5)
Trong đó, L T được gọi là hàm Lagrange; T là động năng và là thế
năng của hệ, R là hàm tiêu tán; q và q được hiểu là vectơ chuyển vị nút và
vận tốc nút tổng thể q và q .
Xét với một phần tử dầm, động năng Te, thế năng e và hàm tiêu tán
Re được viết như sau:
Te
1
T
ve ve dV
2 Ve
e U e Ae
Re
1
T
T
T
e e dV ve ge dV ve pe dS
2 Ve
Ve
Se
1
T
c ve ve dV
2 Ve
(6)
(7)
(8)
11
Với là khối lượng riêng vật liệu phần tử; ge , pe tương ứng là lực khối
và lực mặt tác dụng lên phần tử; c là hệ số cản, hệ số này phụ thuộc vào môi
trường mà hệ khảo sát đang chuyển động, vào hiện tượng ma sát trong của
vật liệu và độ ma sát của các liên kết. Có thể biểu diễn động năng, thế năng
và hàm tiêu tán đối với phần tử theo vectơ chuyển vị nút phần tử qe và
vectơ vận tốc nút phần tử qe như sau:
Te
1
1
T
T
T
qe N N dV qe qe M e qe
2
2
Ve
e
1 T
T
T
T
T
qe B D B dV qe qe N ge dV N pe dS
2
Se
Ve
Ve
Re
(9)
1
T
T
qe K e qe qe Pe
2
(10)
1
1
T
T
T
q
c
N
N
dV
e qe qe C e qe
2
2
Ve
(11)
Trong đó,
M e N N dV K e B D B dV
T
T
Ve
Ve
C e c N N dV
T
(12)
Ve
Pe N ge dV N pe dS
T
Ve
M e K e C e Pe
T
Se
là ma trận khối lượng, cản, độ cứng
phần tử, và véc tơ tải phần tử,
Bằng cách ghép nối phần tử, ta có liên hệ giữa vectơ chuyển vị nút
phần tử qe và vectơ chuyển vị nút tổng thể q như sau:
12
qe Le q
(13)
Trong đó L e là ma trận định vị của phần tử, ma trận này cho thấy hình ảnh
sắp xếp của các thành phần vectơ qe trong q . Như vậy động năng, thế
năng toàn phần và hàm tiêu tán năng lượng của toàn hệ được biểu diễn qua
vectơ chuyển vị nút tổng thể q và vectơ vận tốc nút tổng thể q như sau:
T Te
1
T
q M q
2
1
T
T
q K q q P
2
e
R Re
(14)
(15)
1
T
q C q
2
(16)
Trong đó:
M Le M e Le K Le K e Le
(17)
C Le C e Le P Le Pe
(18)
T
T
T
T
M K C
dấu
là ma trận khối lượng, cản, độ cứng và tải tổng thể, Ở đây,
được hiểu là phép cộng có sắp xếp khi ghép nối phần tử.
Thay các biểu thức của động năng, thế năng và hàm tiêu tán năng
lượng tổng thể vào phương trình Lagrange, với:
T
M q ,
q
0,
q
T
0,
q
K q P
q
R
C q
q
(19)
(20)
Ta thu được phương trình dao động của kết cấu dầm chịu tải trọng động:
13
M q C q K q P
(21)
2.4 MƠ HÌNH XE
Tải trọng xe có thể dùng mơ hình lực di động, khối lượng di động
hoặc mơ hình sprung mass. Mơ hình lực di động với độ lớn khơng đổi được
sử dụng nếu lực qn tính của xe nhỏ hơn nhiều so với trọng lượng bản thân
của xe. Trong đề tài này, xe với mơ hình sprung mass có hai bậc tự do như là
mơ hình của một trục xe được sử dụng. Mơ hình này có thể chấp nhận được
khi nhịp cầu lớn hơn đáng kể so với khoảng cách các trục xe. Xe trong bài
toán xe – cầu hầu hết gây ra tải trọng động trong hai dải tần số: vật thể nảy
dao động ở 1 – 4 Hz, bánh xe dao động ở 8 – 15 Hz. Điều này giải thích sự
tăng lên của một số giá trị hệ số động đặc biệt đối với dầm cầu có tần số cơ
bản nằm trong khoảng từ 1 đến 5 Hz như trong một số tiêu chuẩn quốc gia.
Có ba mơ hình xe thường được sử dụng là mơ hình lực, khối lượng và hệ
sprung mass.
a) Lực di động
b) Khối lượng di động
c) Sprung mass
Hình 2.3 Các mơ hình tải trọng xe
2.5 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG
Với mơ hình sprung mass, gọi lực tương tác tại vị trí tiếp xúc giữa cầu
và bánh xe là F(t), ta có các thành phần lực tác dụng lên các khối lượng m1 và
m2 được biểu diễn như sau:
14
Hình 2.4 Sơ đồ cân bằng lực cho các khối lượng m1 và m2
Với m1, w1 tương ứng là khối lượng và chuyển vị đứng của bánh xe;
m2, w2 tương ứng là khối lượng và chuyển vị đứng của thân xe; ks là độ cứng
lò xo và cs là hệ số cản nhớt của xe.
Phương trình vi phân chủ đạo của các khối lượng m2 và m1 được thành
lập từ phương trình cân bằng lực lần lượt như sau:
m2 g m2 w2 ks (w2 w1 s ) cs (w2 w1 ) 0
(22)
m1g m1w1 ks (w2 w1 s ) cs (w2 w1 ) F 0
(23)
Với s là chuyển vị tĩnh của lò xo, ks s m2 g
Có thể viết lại:
m2 w2 ks (w2 w1 ) cs (w2 w1 ) 0
(24)
(m1 m2 ) g m1w1 ks (w2 w1 ) cs (w2 w1 ) F 0
(25)
Phương trình của lực tương tác F(t) giữa xe với cầu:
F (m1 m2 ) g m1w1 m2 w2
(26)
Thành phần đầu tiên trong vế phải của (26) là thành phần tĩnh của lực tiếp
xúc và thành phần cịn lại mơ tả ảnh hưởng của qn tính. Đối với mơ hình
khối lượng di động, lực tương tác này thu gọn như sau:
15
Fm (m1 m2 )( g w1 )
(27)
Và cho mơ hình lực di động là:
Ff (m1 m2 ) g
(28)
Giả sử rằng bánh xe luôn tiếp xúc với mặt cầu (F(t)>0) và bỏ qua biến
dạng giữa trục bánh xe và đường trục dầm cầu thì liên hệ giữa chuyển vị của
bánh xe (w1) và chuyển vị đứng của dầm cầu (v) cũng như các đạo hàm là
như sau:
w1 (t ) v( x(t ), t )
(29)
w1 (t )
v
v
vm
x
t
(30)
w1 (t )
2v 2 2v
v
2v
v
2
v
a
m
m
m
x 2
xt
x
t 2
(31)
Với w1 (t ), w1 (t ) là vận tốc và gia tốc theo phương đứng của bánh xe (m1); vm
và am là vận tốc và gia tốc chuyển động của xe theo phương dọc cầu; v(x,t) là
chuyển vị theo phương đứng của dầm cầu.
Thành phần thứ nhất ở vế phải của phương trình (31) mơ tả ảnh hưởng
của độ cong dầm (hay gia tốc hướng tâm), thành phần thứ hai là ảnh hưởng
của gia tốc Coriolis, thành phần thứ tư là ảnh hưởng của gia tốc theo phương
đứng của điểm tiếp xúc.
Trong đó L là chiều dài một nhịp dầm; E là modun dàn hồi của vật liệu
cấu tạo dầm; I là moment quán tính của mặt cắt dầm; m1, m2 tương ứng là
khối lượng bánh xe và khối lượng thân xe; ks, cs là độ cứng lò xo và hệ số cản
nhớt của xe. Quan hệ về chuyển vị, vận tốc và gia tốc theo phương đứng giữa
khối lượng m1 với dầm cầu tại điểm tiếp xúc được viết lại như sau:
16
Chuyển vị đứng
w2
m2
ks
w1
vm
cs
m1
C
B
A
D
L
L
L
Hình 2.5. Mơ hình của dầm liên tục và tải trọng xe có xét sự tương tác
w1 N q
(32)
w1 vm N x q N q
(33)
w1 vm2 N xx q 2vm N x q am N x q N q
(34)
Với N x và N xx tương ứng là đạo hàm bậc nhất và bậc hai của ma trận các
hàm nội suy N theo biến x.
Áp dụng phương trình (3.29) cho bài tốn tương tác xe - cầu, ta có
phương trình dao động của dầm cầu như sau:
M b q Cb q Kb q N (m1 m2 ) g m1w1 m2w2
T
(35)
Thay (35) vào (34) và sắp xếp lại ta thu được:
M m N N q m N w C 2m v N N q
T
b
T
1
2
T
2
Kb m1vm2 N N xx m1am N N x
T
T
b
1 m
x
q N (m m )g
T
1
2
(36)
(37)
Phương trình dao động của khối lượng m2:
17
m2 w2 cs N q cs w2 ks N csvm N x q ks w2 0
(38)
Kết hợp thu được phương trình dao động của tồn hệ và biểu diễn dưới dạng
ma trận như sau:
T
M b m1 N T N m2 N T q Cb 2m1vm N N x 0 q
0
m2 w2
cs N
cs w2
Kb m1vm2 N T N m1am N T N 0 q N T (m m ) g
xx
x
1
2
(39)
w
ks N cs vm N x
ks 2
0
Ở đây, các thành phần có chứa N hoặc N chỉ được cộng vào ma trận
T
tổng thể của hệ ở vị trí phần tử chịu tác dụng trực tiếp của tải trọng xe.
Phương trình dao động của hệ được viết lại dưới dạng:
M q C q K q P
(40)
Đây chính là phương trình dao động được dùng để giải trong bài toán tương
tác xe – cầu của Đề tài này, trong đó:
M b m1 N T N m2 N T
M
0
m2
(41)
Cb 2m1vm N T N
x
C
cs N
(42)
0
cs
Kb m1vm2 N T N m1am N T N
xx
x
K
ks N cs vm N x
T
N m1 m2 g
P
0
0
ks
(43)
(44)
18
q
q
q
q w , q w , q w
(45)
2
2
2
Trường hợp khảo sát bài tốn khối lượng di động với mơ hình xe một bậc tự
do thì phương trình dao động của hệ thu được bằng cách loại bỏ m2 và biểu
diễn như sau:
M m N N q C 2m v N N q
T
b
T
1
b
1 m
x
T
Kb m1vm2 N N xx m1am N N x q N (m1 m2 ) g (46)
T
T
Trường hợp bài toán lực di động thì phương trình dao động của dầm chỉ cịn:
T
M b q Cb q Kb q N m1 m2 g
(47)
Như vậy, trong phương trình dao động của bài tốn sprung mass cũng
bao gồm các ma trận tính chất của dầm là ma trận khối lượng [Mb], ma trận
độ cứng [Kb] và ma trận cản [Cb] như trong bài toán lực di động nhưng ở mỗi
ma trận tính chất của bài toán tương tác xe – cầu lại cộng thêm thành phần do
qn tính của hệ di động có bản chất tương tự với ma trận đó. Các thành phần
này là do sự ảnh hưởng của độ cong dầm (hay gia tốc hướng tâm), của gia tốc
Coriolis và gia tốc theo phương đứng của điểm tiếp xúc giữa xe với cầu, và
ln thay đổi tùy theo vị trí của xe trên cầu. Vì vậy, các ma trận tính chất
được hiệu chỉnh trong phương trình dao động cũng ln biến đổi nên cần
được cập nhật tại từng thời điểm trong quá trình tính lặp.
2.6
SƠ ĐỒ KHỐI
Sơ đồ khối (flowchart) là sơ đồ thể hiện một quy trình, mơ tả các đầu vào,
đầu ra và đơn vị hoạt động. Sơ đồ này thể hiện tồn bộ quy trình ở mức quan
sát cao hoặc chi tiết (tùy thuộc vào mục đích sử dụng) cho phép phân tích và
tối ưu hóa chu trình cơng việc hay trình tự thực thi một bài tốn. Sử dụng
phương pháp Newmark giải phương trình chuyển động, có thể tóm tắt trình
tự tính tốn bằng sơ đồ như hình 2.6.
19
Hình 2.6 Sơ đồ thuật tốn
20
