Lục giác đều, đa giác, đa giác đều – Tính chất và bài tập

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>ĐA GIÁC. ĐA GIÁC ĐỀU</b>

<b>A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ</b>

<b>1. Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng </b>
chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.

<b>2. Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.</b>
<i><b>3. Bổ sung</b></i>

 Tổng các góc trong của đa giác n cạnh (n > 2) là (n - 2).180
 Số đường chéo của một đa giác n cạnh (n > 2) là

(n - 3).n
.
2

 Tổng các góc ngồi của đa giác n cạnh (n > 2) là 360°_{(tại mỗi đỉnh chỉ chọn}
một góc ngồi).

 Trong một đa giác đều, giao điểm O của hai đường phân giác của hai góc là
tâm của đa giác đều. Tâm O cách đều các đỉnh, cách đều các cạnh của đa
giác đều. Có một đường trịn tâm O đi qua các đỉnh của đa giác đều gọi là
đường tròn ngoại tiếp đa giác đều.

<b>B. MỘT SỐ VÍ DỤ</b>

<b>Ví dụ 1. Cho ngũ giác đều ABCDE và một điểm P sao cho DPE đều. Tính </b>APC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>Hình 48</i>
 Nếu P ở trong ngũ giác (h.48) thì:
AEP = CDP = 108° - 60° = 48°. 

Từ _{AEP ;}_{CDP cân ta có}
APE = CPD = 180° - 48° : 2 = 66°. 





Vậy APC = 360° - 60° - 2.66° = 168°.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

 Nếu P ở phía ngồi ngũ giác (h.49) thì:

 

 

_

_

AEP = CDP = 108° + 60° = 168°

=> APE = CPD = l80° - 168° : 2 = 6°.

Vậy APC = 60° - 2.6° = 48°.

<b>Ví dụ 2. Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi M là trung điểm EF và N là trung điểm </b>
của BĐ. Chứng minh rằng AMN là tam giác đều.

<i><b>Giải. (h.50) </b></i>

Gọi I, K là trung điểm của AB,CD. Ta có BCNI là hình bình hanh.
=> BI // CN, BI = CN => AI // CN ; AI = CN

=> AICN là hình bình hành => CI = AN

+ Ta có MNKE là hình bình hành, suy ra MN = KE.
+ Mặt khác : _{BCI =}_{DEK =}_{FAM (c.g.c)}

=> CI = EK = MA

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Ví dụ 3. Chứng minh rằng tổng độ dài các cạnh của một ngũ giác lồi bé hơn tổng </b>
độ dài các đường chéo của nó.

<i><b>Giải (h.51). </b></i>

Áp dụng tính chất về quan hệ các cạnh của tam giác, ta có :

AB+BC+CD+DE+EA<(AN+NB)+(BP+PQ+(OQ+QD)+(DK+KE)+(EM+MA).
Mặt khác : AN + PC < AC

BP + DQ < BD
CQ + KE < CE
DK + MA < DA
EM + NB < EB.
Suy ra điều phải chứng minh.

<i><b>Nhận xét. Những bài toán về bất đẳng thức về độ dài, ta nên đưa về bất đẳng thức </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>1. Cho ngũ giác lồi ABCDE. Gọi M, N, P, R H và K lần lượt là trung điểm AB, </b>

BC, CD, DE, MP và NR. Chứng minh rằng HK song song với AE và HK =
1
4_AE.

<b>2. Cho ngũ giác lồi ABCDE, gọi M, P, N, Q lần lượt là các trung điểm AB, BC, </b>
DE, EA. Chứng minh MN đi qua trung điểm PQ khi và chỉ khi MN // CD.

<b>3. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M bất kì nằm trong tam giác. Gọi</b>

1 1 1

A ; B ; C _{là các điểm đối xứng với M lần lượt qua trung điểm các cạnh BC, CA,}
AB.

a) Chứng minh AA ; BB ; CC1 1 1đồng quy ;

b) Xác định vị trí của M để hình lục giác AB CA BC1 1 1có các cạnh bằng nhau.

<b>4. Cho lục giác lồi ABCDEF. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD,</b>
EF và R, S, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AF, BC, DE. Chứng minh rằng hai
tam giác MNP và RSQ trọng tâm trùng nhau.

<b>5. Một đa giác lồi có tất cả các đường chéo bằng nhau. Hỏi đa giác có thể có nhiều </b>
nhất bao nhiêu cạnh ?

<b>6. Chứng minh, rằng trong một ngũ giác lồi ln có thể chọn được ba đường chéo </b>
để từ đó dựng được một tam giác.

<b>7. Cho lục giác lồi ABCDEF có độ dài các cạnh đều bằng 1. Chứng minh rằng </b>
trong ba đoạn AD, BE, CF tồn tại một đoạn có độ dài không lớn hơn 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>9. Cho ngũ giác lồi ABCDE có các cạnh bằng nhau và các góc trong đều bé hơn</b>
120 . _{Chứng minh rằng các góc của ngũ giác lồi này đều là góc tù.}

</div>

<!--links-->