Đề và HDC môn Toán thi chọn HSG lớp 9 vòng huyện NH 2018-2019

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

UBND HUYỆN HÒA BÌNH

<b>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO</b>
<i>(Đề gồm 01 trang)</i>

<b> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN</b>
<b>NĂM HỌC 2018 -2019</b>

<b>MÔN : TOÁN</b>
<b> LỚP : 9</b>

<b> Thời gian : 150 phút </b>
<i> (Không kể thời gian giao đề)</i>

<b>ĐỀ </b>
<b>Câu 1: (5 điểm)</b>

a) Chứng minh rằng A= a3_{– 7a + 12 luôn chia hết cho 6 với mọi số a}__{Z .}
b) Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 ln là số chính phương.

<b>Câu 2: ( 5 điểm )</b>

a) Giải phương trình
2

3<i>x</i> 6<i>x</i>7₊ 5<i>x</i>210<i>x</i>14_{= 4 – 2x – x}2

b) Giải hệ phương trình:

¿

<i>x</i>2<i>− y</i>2=1 − xy

<i>x</i>2

+<i>y</i>2=3 xy +11

¿{

¿

<b>Câu 3: ( 5 điểm )</b>

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức <i>A</i> <i>x</i> 2018₊ <i>2019 x</i>
b) Cho x,y,z là các số thực dương và x+y+z = 1. Chứng minh rằng:

√<i>x+yz+</i>√<i>y +zx +</i>√<i>z+xy ≥1+</i>√xy+√yz+√zx

<b>Câu 4: ( 5 điểm ) Cho tam giác ABC và đường trịn (O) nội tiếp tam giác đó. Gọi</b>

H,I,K lần lượt là tiếp điểm của các cạnh AB,AC và BC với đường tròn (O). Trên cạnh
AB, AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho BM + CN = BC.

a) Chứng minh

 1

_

 

_

2

<i>KHI</i>  <i>BAC ABC</i>

b) Chứng minh tam giác OMN là tam giác cân.

c) Xác định vị trí điểm M trên AB sao cho đoạn MN ngắn nhất

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

---Hết---UBND HUYỆN HÒA BÌNH

<b>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO</b>
<i>(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)</i>

<b> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN</b>
<b>NĂM HỌC 2018 -2019</b>

<b>MƠN : TỐN</b>
<b> LỚP : 9</b>

<b> Thời gian : 150 phút </b>

<b> HƯỚNG DẪN CHẤM</b>
<b>Câu 1: (5 điểm)</b>

a)

Ta có: A= a3_{– 7a + 12 = a}3_{– a – 6a + 12} _(0,5đ)
= a(a2_{– 1) – 6(a – 2)} _(0,25đ)

= a(a – 1)(a + 1) – 6(a – 2) (0,25đ)
Vì a(a – 1)(a + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6. (0,5đ)

Mặt khác 6(a – 2)6 (0,25đ)

Vậy A  6 với mọi số aZ. (0,25đ)

b) Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2, n+3



<i>n N</i>



(0,25đ)
Ta có: <i>n n</i>



1

 

<i>n</i>2

 

<i>n</i>3



 1 <i>n n</i>



3

 

<i>n</i>1

 

<i>n</i>2



(0,5đ)
=



<i>n</i>23<i>n n</i>

 

23<i>n</i>2



1 (0,5đ)
Đặt <i>n</i>23<i>n t</i>  _(0,5đ)
Thì



<i>n</i>23<i>n n</i>

 

23<i>n</i>2



1= <i>t (t +2)+1</i> (0,25đ)
= <i>t</i>2_{+2 t+1=(}<i>_t+1)</i>2 _(0,25đ)
=





2
2 ₃ ₁

<i>n</i>  <i>n</i>

(0,25đ)

Vì nN nên n2 + 3n + 1N (0,25đ)

Vậy <i>n n</i>



1

 

<i>n</i>2

 

<i>n</i>3



1 luôn là một số chính phương (0,25đ)

<b>Câu 2: ( 5 điểm )</b>

a) Giải phương trình
2

3<i>x</i> 6<i>x</i>7₊ 5<i>x</i>210<i>x</i>14_{= 4 – 2x – x}2

Ta có: 3<i>x</i>26<i>x</i> 6 1₊ 5<i>x</i>210<i>x</i> 5 9_{= 5 – (x}2_+2x+1) (0,5đ)

2

3(<i>x </i>1) 4₊ 5(<i>x </i>1)29_{= 5 – (x+1)}2 (0,25đ)

VT = 3(<i>x </i>1)24 + 5(<i>x </i>1)29 ₅ (0,25đ)
Đẳng thức xảy ra khi x = –1

VP = 5 – (x+1)2 _₅ _(0,25đ)

Đẳng thức xảy ra khi x = –1 (0,25đ)

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Vậy: x = –1 là nghiệm của phương trình. (0,25đ)

b)

¿

<i>x</i>2<i>− y</i>2=1 − xy

<i>x</i>2+<i>y</i>2=3 xy +11

¿{

¿

<i>⇔</i>

¿

11(<i>x</i>2+<i>xy − y</i>2)=11

<i>x</i>2<i>−3 xy+ y</i>2=11

¿{
¿
(0,25đ)
<i>⇔</i>
¿
<i>x</i>2

+<i>xy − y</i>2=1
11(<i>x</i>2

+<i>xy − y</i>2)=<i>x</i>2<i>− 3 xy + y</i>2

¿{
¿
(0,5đ)
<i>⇔</i>
¿
<i>x</i>2

+<i>xy − y</i>2=1
<i>( x+ 2 y ) (5 x −3 y )=0</i>

¿{

¿

(0,5đ)

<i>⇔</i>

¿<i>x</i>2+<i>xy − y</i>2=1

<i>x+2 y=0</i>

(<i>I )</i>

¿
¿

<i>x</i>2+xy − y2=1

¿

<i>5 x − 3 y=0</i>

¿
¿
(II)
¿
¿ ¿
(0,5đ)

Giải hệ PT (I)

x+2y = 0 <i>⇔</i> x= -2y <i>⇔</i> 3y2_=1+2y2 <i>_⇔</i> _y2₌₁

ta được hai nghiệm là: (2;-1) và (-2;1) (0,5đ)
Giải hệ PT (II)

5x-3y = 0 <i>⇔</i> x =
3
5_y <i>⇔</i>

2 2

16 3

1

25 <i>y</i> 5<i>y</i>



  <i>_⇔</i> 1 2 1

25<i>y</i>




(vô lý)

Hệ PT vô nghiệm. (0,5đ)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: (2;-1) và (-2;1) (0,25đ)

<b>Câu 3: ( 5 điểm ) </b>

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức <i>A</i> <i>x</i> 2018₊ <i>2019 x</i>

A có nghĩa khi 2018x2019 (0,25đ)

A0 A  



x

 

 x





2 _{1 2} _{2018 2019} ₁

(0,5đ)
1

<i>A</i>

  _(0,25đ)

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Vậy: MinA = 1 khi x=2018 hoặc x= 2019 (0,5đ)

b) Vì x+y+z = 1 và áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:





2



 







2

<i>x yz x x y z</i>    <i>yz x</i> <i>xy xz yz</i>   <i>x y x z</i>   <i>x</i> <i>yz</i>

(0,5đ)
<i>⇒</i>√<i>x+yz ≥ x+</i>√yz (0,5đ)

Tương tự ta có: √<i>y+zx ≥ y +</i>√zx
(0,5đ)

_√<i>z+xy ≥ z +</i>√xy
(0,5đ)

Cộng từng vế BĐT ta có:

<i>x yz</i>  <i>y zx</i>  <i>z xy</i>    <i>x y z</i> <i>yz</i> <i>zx</i> <i>xy</i>  _(0,5đ)
Suy ra: √<i>x+yz+</i>√<i>y +zx +</i>√<i>z+xy ≥1+</i>√xy+√yz+√zx (0,5đ)

<b>Câu 4: ( 5 điểm ) </b> Vẽ hình đúng (0,25đ)

a) Ta có: <i>KHI</i>

1
2<i>KOI</i>


( hệ quả của góc nội tiếp) (0,25đ)
<i>KOI KCI</i>  1800_{( Tứ giác OICK nội tiếp đường tròn) (0,25đ)}
Mà <i>Δ ABC</i> _có<i>_{BAC ABC ACB}</i>   ₁₈₀0

   _(0,25đ)
Do đó <i>KOI</i> <i>BAC ABC</i>  _(vì<i>KCT</i> <i>ACB</i>)_(0,25đ)
Vậy

 1

_

 

_

2

<i>KHI</i>  <i>BAC ABC</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Xét <i>ΔHOM</i> và <i>ΔION</i> có: OH = OI , HM = IN , <i>O ^H M=O ^I N=90</i>0
(0,25đ)

Do đó <i>ΔHOM</i> = <i>ΔION</i> ( c-g-c) (0,25đ)
Nên OM = ON Suy ra <i>ΔMON</i> cân tại O (0,25đ)

c) Ta có : <i>ΔMON</i> cân tại O , <i>ΔHOI</i> cân tại O, <i>M ^O N=H ^O I</i>
(0,25đ)

Do đó <i>ΔOMN</i> đồng dạng <i>ΔOHI</i> (g- g)
(0,25đ)

Suy ra MN_HI =OM

OH mà <i>OM ≥OH</i> ( OH<i>⊥ HM</i>¿
(0,25đ)

Do đó MN_HI <i>≥ 1⇔ MN ≥ HI</i> (0,25đ)
Dấu " = ” xảy ra <i>⇔ H ≡ M , N ≡ I</i> (0,25đ)
Vậy độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất bằng HI  <i>H ≡ M , N ≡ I</i> (0,25đ).

HẾT

</div>

<!--links-->