Bài giảng Vật lý 1: Chương 7 - Lê Quang Nguyên

Nội dung
1.
2.
3.
4.
5.

Định luật Gauss

Thơng lượng dịng nước
Thơng lượng điện trường (điện thơng)
Định luật Gauss
Dạng vi phân của định luật Gauss
Bài tập áp dụng

Lê Quang Ngun
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen


1. Thơng lượng dịng nước – 1
• Xét một dịng nước chảy thẳng đều với vận tốc v,
và một mặt phẳng (S), đặt vng góc với dịng
chảy.
• Thơng lượng Φ của nước qua (S) (thể tích nước
qua (S) trong một đơn vị thời gian):
• Ф = v.S
Thể tích nước
v

S

trong hình trụ
này sẽ đi qua
(S) trong một
giây.

1. Thơng lượng dịng nước – 2
• Nếu (S) tạo một góc với dịng nước thẳng đều,
• thơng lượng của nước qua (S) là:
Φ = vS cos α = v ⋅ n S
• Dấu của Ф phụ thuộc vào góc α.
v
n
α

Thể tích nước
trong hình trụ
nghiêng này
sẽ đi qua (S)
trong một
giây.


1. Thơng lượng dịng nước – 3
• Dịng nước bất kỳ, mặt cong (S) bất kỳ.
• Chia (S) làm nhiều phần nhỏ diện tích dS.

• Có thể coi mỗi phần dS là phẳng, và dịng chảy
qua đó là thẳng đều. Do đó,
• thơng lượng qua dS là:

dΦ = vdS cos α = v ⋅ n dS

Dịng nước
n

1. Thơng lượng dịng nước – 4

• v, n là vectơ vận tốc và pháp vectơ trên dS.
• Thơng lượng qua cả mặt cong (S) sẽ là tổng thông
lượng qua tất cả các phần dS:

v

Φ = ∫ dΦ = ∫ v ⋅ n dS

dS

(S )

Mặt cong (S)

1. Thơng lượng dịng nước – 5
• Nếu mặt (S) là một mặt kín thì ta quy ước chọn n
hướng ra ngồi mặt (S).
• Do đó thơng lượng nước qua một mặt kín = lưu
lượng nước đi ra ở một bên trừ ñi lưu lượng nước
ñi vào ở phía bên kia.
n

Thơng

lượng
vào là âm

v

Thơng
n lượng ra
là dương
v

2. Thơng lượng ñiện trường – Định nghĩa
• Tương tự, chúng ta cũng ñịnh nghĩa thông lượng
ñiện trường qua một mặt (S) bất kỳ là:
Φ = ∫ dΦ = ∫ E ⋅ n dS
(S )

• với E, n là vectơ điện trường và pháp vectơ trên
dS.
• Điện thơng cũng là số đại số.
• Đối với mặt (S) kín, pháp vectơ cũng được chọn
hướng ra ngoài.


•
•
•
•
•
•

2. Thơng lượng điện trường – Ý nghĩa
Điện thơng qua mặt dS vng góc với điện trường
là dΦ = EdS,
dΦ = số đường sức đi qua dS.
Do đó điện thơng Φ qua (S) bằng tổng số ñường
sức qua (S).
Φ > 0 khi các ñường sức ñi theo chiều của pháp
vectơ,
Φ < 0 khi chúng theo chiều ngược lại.
Φ qua một mặt kín = số đường sức đi ra trừ số
đường sức ñi vào.

3a. Định luật Gauss – 2

q>0

q<0

Ф>0

Ф<0

q

3a. Định luật Gauss – 1
• Điện thơng qua một mặt kín (S) bằng tổng các
điện tích bên trong (S) chia cho ε0:
Φ S = ∫ E ⋅ n dS =
(S )

Qin

ε0

q3

q1
q4

q2

q5
E

Điện trường do tất
cả các điện tích có
mặt tạo ra, nhưng
chỉ các điện tích
bên trong (S) mới
đóng góp vào điện
thơng qua (S). Tại
sao?

Qin = q2 + q5 − q1

3b. Định luật Gauss & dịng nước – 1
Mặt kín
(S)

Nước vào

Nước ra

Ф=0

Nước vào = Nước ra Lưu lượng qua (S) = 0


3b. Định luật Gauss & dòng nước – 2

3b. Định luật Gauss & dịng nước – 3

Mặt kín
(S)

Nước vào

Nước ra

Mặt kín
(S)

Nước vào

Nước ra

Nước vào < Nước ra Lưu lượng qua (S) > 0

Nước vào > Nước ra Lưu lượng qua (S) < 0

Cá phun nước ~ điện tích dương

Cá uống nước ~ điện tích âm

3b. Định luật Gauss & dịng nước – 4
Mặt kín
(S)

Nước vào

Nước ra

4a. Divergence (div) – định nghĩa
• Xét một mặt kín nhỏ (∆S) bao quanh một điểm
M(x,y,z).
• Thể tích giới hạn bởi mặt kín này là ∆V và điện
thơng qua (∆S) là ∆Φ.
E

(∆S)

M(x,y,z)
∆V

Nước vào = Nước ra Lưu lượng qua (S) = 0
Cá ở ngồi khơng thể thay ñổi lưu lượng.


4a. Divergence (div) – ñịnh nghĩa (tt)

4b. Divergence trong tọa ñộ Descartes

• Giới hạn của ∆Ф/∆V khi (∆S) tiến rất gần tới M
ñược gọi là divergence của ñiện trường tại M:

• Trong tọa độ Descartes divE tại M(x,y,z) có biểu
thức:

∆Φ
∆V → 0 ∆V

divE =

divE = lim

∂E x ∂E y ∂E z
+
+
∂x
∂y
∂z

• Như vậy divergence là thơng lượng tính trên một
đơn vị thể tích trong (∆S).

• trong đó các đạo hàm riêng được thực hiện ở vị trí
M(x,y,z).

4c. Dạng vi phân của định luật Gauss
• Áp dụng định luật Gauss cho (∆S), trong đó có

chứa điện tích ∆Q:

5a. Bài tập 1 – đối xứng trụ

∆Φ =

∆Q

ε0
• Chia hai vế cho thể tích ∆V trong mặt kín rồi lấy
giới hạn khi ∆V tiến tới không:
∆Φ
∆Q
= lim
∆V → 0 ∆ V
∆V → 0 ∆V
lim

divE =

ρ
ε0

Mật độ điện tích
ởM

• Cho một dây khơng dẫn điện, dài vơ hạn, tích
điện đều với mật độ λ > 0. Tìm điện trường ở
khoảng cách r tính từ trục của dây.
• Nhận xét:

• Dây có tính đối xứng trụ, tức là đối xứng đối với
trục của nó.
• Do đó điện trường do dây tạo ra cũng có tính ñối
xứng trụ.


5a. Trả lời BT 1 – 1
• Do tính đối xứng trụ, điện trường có tính chất như
sau:
• Đường sức ñiện trường là những ñường thẳng
xuyên tâm trong các mặt phẳng cắt trục đối xứng.
• Xét một mặt trụ đồng trục với dây;
• Điện trường vng góc với mặt trụ này và có độ
lớn khơng đổi trên đó.

5a. Trả lời BT 1 – 2
Mặt trụ
đồng trục

λ
E

E
l

r

E
Nhìn ngang

5a. Trả lời BT 1 – 3
• Xét mặt kín (S) gồm mặt trụ đồng trục với dây, có
bán kính r và chiều cao l và hai đáy của nó.
• Điện thơng qua (S) bằng điện thơng qua mặt bên
hình trụ:
Φ = ∫ EdS = E ⋅ 2πrl
• Mặt khác, theo định luật Gauss thì:
Q
λ ⋅l
Φ = in =

ε0

• Do đó:

ε0

E=

λ
2πε 0 r

Nhìn từ trên
xuống

5b. Bài tập 2 – đối xứng phẳng
• Cho một bản phẳng vơ hạn, khơng dẫn điện, tích
điện đều với mật ñộ σ > 0. Xác ñịnh ñiện trường ở
khoảng cách r tính từ bản phẳng.
• Nhận xét:

• Hệ có tính đối xứng đối với mặt phẳng đi qua bản
tích điện,
• do đó điện trường do bản tạo ra cũng ñối xứng ñối
với bản phẳng.


5b. Trả lời BT 2 – 1

5b. Trả lời BT 2 – 2
Mặt trụ kín
vng góc
với bản

• Điện trường này có đặc điểm:
• Đường sức là những đường thẳng song song
vng góc với bản phẳng tích điện, có chiều đối
xứng qua bản.
• Trên một mặt phẳng song song với bản thì điện
trường có độ lớn khơng đổi.

E
A

E
Đáy (A)

Nhìn ngang

5b. Trả lời BT 2 – 3

5c. Bài tập 3 – ñối xứng cầu

• Xét mặt kín (S) là một mặt trụ vng góc với bản,
nhận bản làm mặt phẳng đối xứng.
• Điện thơng qua (S) bằng hai lần điện thơng qua
mặt đáy (A):

• Một vỏ cầu mỏng bán kính R có ñiện tích q > 0
phân bố ñều trên bề mặt. Tìm điện trường do vỏ
cầu tạo ra ở bên trong và bên ngồi nó.
• Nhận xét:
• Hệ có tính đối xứng cầu đối với tâm của vỏ cầu,
• điện trường do hệ tạo ra cũng có tính đối xứng
cầu đối với tâm vỏ cầu.

Φ S = 2∫ E ⋅ ndS = 2 E ∫ dS = 2 EA
( A)

( A)

• Mặt khác, theo định luật Gauss thì:

ΦS =

Qin

ε0

=

σA
ε0

E=

σ
2ε 0


5c. Trả lời BT 3 – 1

Đường sức là những
ñường xun tâm.
Trên một mặt cầu tâm
O, điện trường có độ
lớn khơng đổi.

O

E

rr≥R

• Do đó điện trường là:

0

E= q
 4πε 0 r 2

rr≥R

• Xét mặt kín (S) là một mặt cầu bán kính r đồng
tâm với vỏ cầu. Điện trường trên (S) khơng đổi
nên điện thơng qua nó là:
Φ S = ∫ E ⋅ n dS = E ∫ dS = E.4πr 2
(S )

Điện trường bên
trong một vỏ cầu tích
điện đều ln ln
bằng khơng.

Điện trường bên
ngồi một vỏ cầu tích
điện đều, ñiện tích q
= ñiện trường của
một ñiện tích ñiểm q
ñặt tại tâm.

(S )

• Mặt khác theo định luật Gauss thì:

ΦS =

Qin

ε0

• Do đó:

5c. Trả lời BT 3 – 3
• Để tìm Qin chúng ta phân biệt hai trường hợp, khi
r < R và r ≥ R:
0
Qin = 
q

5c. Trả lời BT 3 – 2

E=

Qin
4πε 0 r 2