Bài Tập tích phân ôn thi TN-ĐH-CĐ – Thầy Đồ – Dạy toán – Học toán

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (603.23 KB, 19 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BÀI TẬP
Bài 1. Tính các tích phân sau:

a)
1

(3x - 5x+1)dx

ị

; b)
1

2
1

(2x+1)(x - x+3)dx

ị

;
c)

x dx

x

ỉ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

ũ

; d)

1 3 2

2
3

2x x 1dx

x

- +

ò

;
e)

2 2

3 4

x x

dx
x

- +

ò

; f)
1

0( 1)( 2)

dx

x+ x+

ò

;
g)

2 5 4

dx
x - x+

ò

; h)

3 4

( x+ x+ x dx)

ò

; i)
2

3
1

x dx

x

-ò

;
j)

0 2

x x

e +e- dx

ò

; k)

(3 )
x

x e dx

-ò

.
Đáp số :

a) –
1

2; b)

341

96; c)

20
3 ;
d) –

3 ; e) 8ln3 – 6; f) 2ln2 – ln3;

g) –
2

3ln2; h)

3 4

4 2 3 2 8 2 133
3 + 2 + 5 - 60 ; i)

3
3(3 4)
10 - ;
j)

1 1

2e e

æ ửữ
ỗ - ữ

ỗ ữ

ỗố ứ; k) 28 4e.
Baứi 2. Tính các tích phân sau:

a)
3

1
2

x- dx

ị

; b)

1 2x x dx- +

ò

; c)
2

1
2

x dx

x

-ò

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

d)
2

x x dx

-ò

; e)
3

1 sin2xdx
p

ò

.
Đáp số :

a) 1; b)

2; c)

1
4;

d)
19

3 ; e) 1 +

2

;

Baøi 3. Tính các tích phân sau:

a)
2

cos xdx
p

ị

; b)

4
4

sin xdx
p

ò

; c)

4 3

2
0

1 cos
cos

xdx
x

-ò

;

d)
3

2 2

sin cos

dx

x x

ò

; e)

2 2

cos2
cos sin

xdx

x x

ò

; f) 0

sin2 cos3x xdx

ò

;

g)
2

sin7 sin2x xdx

-ò

3 2 2

cos 2
sin

x tg xdx
x

-ò

; i)
6

3
1
sinxdx

ò

.
Đáp số :

3
12 8

-; b)

1 3
4 32

p
- +

; c) 1 –

2
2 ;
d)

4 3

3 ; e) –

4 3

3 + 2; f) – 
4
5;
g)

45; h) 3 –

7 3
3 12

-; i)

1ln3 ln(2 3)

2 - - .

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2
0

14 4 3cos 8

dx
x

p £ £ p

ò

; b)
3

4 3 2sin 2

dx
x

p£ £ p

-ò

;
c)

(

)

54 2 x 7 11 x dx 108

-£

ò

+ + - £

; d)
2

2
1

2 1

5 1 2

xdx
x

£ £

ị

.
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Thông thường, người ta dùng phương pháp đổi biến số khi gặp tích
phân có dạng sau: Khi hàm số dưới dấu tích phân f(x) có thể phân tích
thành tích của một hàm số hợp g[j (x)] và đạo hàm của hàm số ở bên
trongj ’(x) tức là f(x) = g[j (x)].j ’(x). Khi đó, để tính:

( ) [ ( )]. '( )

b b

a a

f x dx= g xj j x dx

ò

ta thực hiện phép đổi biến số t = j (x) và ta có
( ) [ ( )]. '( )

b b

a a

f x dx= g xj j x dx

ò

=
( )

g t dt

ò

(*)
Trong đó, avà b được xác định bởi a= j (a) và b = j (b).

Chú ý: Khi sử dụng công thức đổi biến số (*) thì phải nhớ rằng:
Khi đã đổi biến số lấy tích phân từ x sang t đồng thời ta cũng phải đổi
ln cận lấy tích phân từ a, b sang a, b và ta tính tốn với những cận
mới ấy, không cần phải quay lại biến số cũ x như trong tích phân bất

định.

BÀI TẬP
Tính các tích phân sau:

1)
2

(2x- 1) dx

ị

; 2)

1
2

2 3 4

( 1)

x x + dx

ò

; 3)
1

5 3 6

(1 )

x - x dx

ò

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

4)
3 3
2
1 16
x dx
x

-ò

; 5)
3
2 3

1( 1)

xdx
x
- +

ò

; 6)
3
2
1
2
4 3
x dx
x x
+
+ +

ò

;
7)
2

3 3 2

x - x dx

ò

; 8)
1
3 2
0
1

x - x dx

ò

; 9)
1
5 3
0
1

x - x dx

ò

;
10)
3
5 2
0
1

x +x dx

ò

; 11)
1

0 2 1

x dx

x +

ò

; 12)

3 2
0
1
1
x
dx
x
+
+

ò

;
13)
7
3
3
0
1
3 1
x dx
x
+
+

ò

; 14)
7 3

2
3
0 1
x dx
x +

ò

; 15)
1
2
1
3
2
4 1
dx
x x

-ò

;
16)
2 3
2
5 4
dx
x x +

ò

; 17)
tg
4
0

xdx
p

ò

; 18)
4
6
cotgxdx
p
p

ò

;
19)
2
0
sin
1 3cos
x dx
x
p
+

ò

; 20)
3
3
0

sin xcosxdx

ò

; 21)
4
0
cos2
1 2sin2
xdx
x
p
+

ò

;
22)
3
2
4
1 sin2
cos
xdx
x
p
p
+

ò

; 23)
2
3
0
cos xdx
p

ò

; 24)
2
5
4
sin xdx
p
p

ò

;
25)
2
2
0
sin2
1 cos
x
dx
x
p
+

ò

26)
2 3
0
4cos
1 sin
x
dx
x
p

ò

; 27)
2 3
0
4sin
1 s
x
dx
co x
p
+

ò

;
28)
4
2 2

0 sin 9cos

dx
x x
p
+

ò

; 29)
4
4 4
0
sin4

sin cos
xdx
x x
p
+

ò

; 30)
2
4
0
sin2
1 sin
x dx
x
p
+

ò

;
31)
4
2
0 (sin 2cos )

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

34)
2
2
sin
4
.sin2
x

e xdx
p
p

ò

; 35)
2 6
6 6
0
sin
cos sin
xdx
x x
p
+

ò

; 36)
2
2
0
sin
1 cos
xdx
x
p
+

ò

;
37)
4
1

x
e dx
x

ò

; 38)
ln2 2
0 1
x
x
e dx
e +

ò

; 39)
1
0 1
x
x
e dx
e

-+

ò

;

40) 1 4
e

x x

dx
e - e

-ò

; 41)
1
1
1 ln
e
xdx
x
+

ò

; 42)
5
ln
e
e
dx
x x

ò

;
43) 1

sin(ln )
e
x dx
x

ò

; 44)

2
1
1 ln
e
xdx
x
+

ò

45) 1 2

ln .
(ln ) 1
e

xdx
xéêë x + ùúû

ò

;
46)
2
3
1

ln 2 ln
e
x xdx
x
+

ò

; 47)
1
2
0 1
dx
x
+

ò

; 48)
2 3
2
0 4
dx
x +

ò

;
49)
3
2

2 4 5

dx
x - x+

ò

; 50)
1

4 2

0 4 3

dx

x + x +

ò

; 51)
1
4 2
0 3
xdx
x +x +

ò

;
52)
1
2
0

1 x dx

-ò

; 53)
2
2 2
0
4

x - x dx

ò

; 54)
2
2 2
2
0 1
x dx
x

-ò

;
55)

2 2 2

0
a

x a - x dx

ò

; 56)
2 2
4
1
1
1
x dx
x

ò

; 57)
1 5
2 2
4
1
1
1
x dx
x
+
+
+

ò

;
58)
1 5
2 2
4 2
1
1
1
x
dx
x x
+
+
- +

ò

; 59)
2
2
0

x - xdx

ị

; 60)
4 2
0
1 2sin
1 sin2
xdx
x
p

-+

ị

;
Đáp số :

1)
121

5 ; 2)

26281

491520; 3) 
1

168; 4) 4 + 8ln
7
15;
5)

50; 6) 
1

2ln3; 7) – 4; 8)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

9)
4

45; 10) 
848

105; 11) 
1

3; 12) 
106

15;
13)

15; 14) 
141

20 ; 15) 3
p

; 16)

1 5
ln
4 3;
17)

2ln2; 18) 
1

2ln2; 19) 
2

3ln2; 20) 
9
64;
21)

1ln3

4 ; 22) 3+ ln2 – 1; 23); 
2

3; 24) 
43 2

120 ;

25) ln2; 26) 2; 27) 2; 28)

2arctan3
6
p

29) ln2; 30) 4
p

; 31)

6; 32)

6 3 4
3

- +

;
33)

10 3

27 ; 34) e – e; 35) 4
p

; 36) 4

p
;
37) 2e(e – 1); 38)

2 2

3 ; 39)

2
ln

e

e+ ; 40) 1 + 2arctge –

41)
2

3; 42)

4 ; 43)1 – cos1; 44)
2 ln(1 2)

+ +

45)
1

2ln2; 46)

3 3

9 3 3 2

8 - 4 ; 47) 4
p

; 48) 6
p
;
49) 4

; 50)

1 3

8 36
ổ ửữ
ỗ - ữp

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ ; 51) 83p; 52) p4;

53) p; 54) 
1
8 4
p

-; 55)

2
16

a

; 56)

6 2 19
2ln

17
4

æ + ữử

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

57) 4 2
p

; 58) 4
p

; 59) 1; 60)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

* Vài đề thi

1) (A, 2005)
2

sin2 sin
1 3cos

x x

I dx

x

+
=

ị

Đ.S:
34
27;

2) (B, 2005)
2

sin2 cos
1 cos

x x

I dx

x

ị

Đ.S: 2ln2 1- ;

3) (D, 2005)

(

)

2
sin

cos cos
x

I e x xdx

ị

Đ.S: e 1 4
p
- +

;

4) (TN, 2005)

(

)

sin cos

I x x xdx

ị

Đ.S:
2
2 3
p

5) (CĐKTĐN, 2005) I = e

x

ln x

( ) ln ln x



(

( )

)

x







d

. (

1
2ln2

2
+

)
6) (CĐKTCN, 2005)

( )

sin .ln 1 cosx x dx

p

ị

(- +1 2ln2)
II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Định lý: Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì :
( ) '( ) ( ) ( ) ( ). '( )

b b

b
a

a a

u x v x dx=u x v x - v x u x dx

ị

Nhận xét : Vì v’(x)dx = dv và u’(x)dx = du nên công thức trên có thể
viết gọn là

b b

b
a

a a

udv=uv - vdu

ị

Tích phân dạng

( )
b

x
n
a

P x ea +bdx

ị

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

biến x

Phương pháp :
Đặt

ta coù '( )
( )

, n

n

x x

du P x dx

u P x

dv ea +bdx v ea +bdx

ì =

ì = ï

ï ï

ïï ï

í í

ï = ï =

ï ï

ïỵ ïỵ

ị

Chú ý: Ta phải tính tích phân từng phần theo n lần.
BÀI TẬP

Tính các tích phân sau

1)
1

0
x

xe dx

ị

; 2)

1
2

(x +2 )x e dxx

ò

; 3)
ln

0
x

x

xe dx

-ò

;
4)

2
3

1
ln .
e

x

xe dx
x

ò

; 5)
1

(e-x+x dx)

ò

.
Đáp số:

1) 1; 2) e; 3)

2 2

1(2 1 )
4

e e

e e e

-- +

-4)
1

2; 5) 2

1 17 4
6

2e e

- +

-.
 Tích phân dạng I1 =

( )cos( ) ; ( )sin( )

b b

n n

a a

P x a + bx dx I = P x a + bx dx

ị

.
Phương pháp :

* Để tính I1 ta đặt :

ta coù

'( )
( )

, 1

cos( ) cos( ) sin( )

n

n du P x dx

u P x

dv x dx v x dx x

ì =
ï
ì =

ï ï

í í

ï = a + b ï = a + b = a + b

ï ï

ïỵ ïïỵ

ị

a

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

ta coù

'( )
( )

, 1

sin( ) sin( ) cos( )

n

n du P x dx

u P x

dv x dx v x dx x

ì =
ï
ì =
ï ï
ï ï
ï ï
í í

ï = a + b ï = a + b = - a + b

ï ï

ïỵ ïïỵ

ị

a

Bài tập: Tính các tích phân sau:

1)
2
0
sin
x xdx
p

ò

; 2)
3
0
s
xco xdx
p

ò

; 3)
2
2
0

(x 1) sco xdx

-ò

;
4)
6
0

(2 x)sin3xdx

-ò

; 5)
2
2 2
0
cos
x xdx
p

ò

; 6)
2
0
sin cos
2 2
x x
x dx
p

ò

;

7)
2
3 2
3
s

x co x dx

p
p

ị

; 8)
3
2
3
0
sin xdx
p
ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ

; 9)
2
4
0
sin
x xdx
p

.
ỏp s:

1) 1; 2)

3 1
6 2
p 
-; 3)
2
3
4
p 
-;
4)
5

9; 5)

1 1

48p - 8p; 6) 
1
2;
7)

5 3 3

48 16 8

p
p -

-; 8) 3 p – 6-; 9)
2
3 12

2
p

 Tích phân dạng I =

và

* 1

( )[ln( )] , ( )
b

n
a

P x x dx n p x

x

Ỵ ¹

ị

Phương pháp :

Đặt

ta có

1 1
ln ) .
(ln )

( ) ( )

n

n du n x dx

u x

x

dv P x dx v P x dx

-ìï
ì = ï =
ï ï
ïï ï
í í
ï = ï
ï ï =
ïỵ ïïỵ

ị

Ta tính tích phân từng phần n lần.

BÀI TẬP

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

1) 1
ln
e

xdx

ị

; 2)

ln
e

xdx
x

ò

; 3)

2 ln(x x- 1)dx

ò

;
4)

1
(ln )
e

x dx

ò

; 5)

1
ln
e

x xdx

ũ

; 6)

1
ln
e

x dx
x

ổ ửữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

ũ

;
7)

3
1

ln
e

xdx
x

ò

; 8) 1

( 1)ln
e

x- xdx

ò

; 9)
2

ln(1 x)dx

x

ò

;

10)
3

ln(sin )
cos

x dx
x

ò

; 11)

ln( 1+x - x dx)

ò

; 12)
3

1
.ln
e

x xdx

ò

;

Đáp số:

1) 1; 2) 4; 3) 48ln2 –

27
2 ;
4) e – 2; 5)

2 1

e

-; 6) 2 –

e ;

7)
2

2
3
4

e
e

-; 8)

2 3

e

-; 9) 3ln

2
3 ;
10) 3

3
3ln

4 6

ổ ử pữ
ỗ 
ữ-ỗ ữ
ỗ ữ

ỗố ứ ; 11) 2ln( 5 – 2) + 5 –1; 12) 161(3e +4 1);
* Khối D, 2004) Tính tích phân I =

3
2

ln(x - x dx)

ò

Đáp số

: I = 3ln3 – 2.

Tích phân dạng

sin( ) cos( )

b b

x x

a a

ea +b mx n dx hay+ ea +b mx n dx+

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Đặt

ta có 1cos( )

sin( ) ,

cos( ) sin( )

x

x du e dx

u e

v mx n

dv mx n dx m

dv mx n dx v mx n

m

a +b

a +b ìïï = a

ìï = ï

ï ï

ï ï é

ï ï

ïé = + ïê= - +

íê í ê

ï ï

ïê ï ê

ï = + ïê

ïêë ï = +

ï ï

ỵ ï ëê

ïỵ
(Hoặc đặt ngược lại)

Ta lấy tích phân từng phần hai lần rồi giải phương trình.

BÀI TẬP 
Tính các tích phân sau:

1)
2

0
cos
x

e xdx

ò

; 2)

cos3
x

e xdx

ò

; 3)

2 2

0
sin
x

e xdx

ò

;
4)

2 2

0
sin
x

e pxdx

ò

; 5) 1

sin(ln )
e

x dx

ò

; 6) 1

s(ln )
e

co x dx

ò

;

7)
cos

(e x x)sinxdx

ò

; 8)
2

(x sin2 )x dx

ò

; 9)
3

4
sin

xdx
x

ò

Đáp số:

2 1

e

-; 2) –

3 2

ep+

; 3)

2 1

ep
-;
4)

2
2
( 1)
4(1 )

e

-+ p ; 5)

1 cos1 sin1
2

e e

- +

; 6) 2

e

(sin1 + cos1 –1)
7) p + e +

e; 8)

1 3

4p + p4 ; 9)

3 1 3ln

4 9 2 2

p- p +
.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

I. CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP.
Tính các tích phân sau:

TN, 1994 (2 điểm)

1) ; 2) .

ĐS: 1)
8

15; 2)

8 2
9

e


.
TN, 1996 (2 điểm)

1) 2) .

ÑS: 1)

248 35
2

3 ln  2 ; 2)

2 2

3


.
TN, 1997, đợt 1 (2 điểm)

1) 2) .

ÑS: 1) 18ln3  8ln2

 5

; 2)

16 8 2
15


.
TN, 1997, đợt 2

1) . ÑS:

3
2

8
ln 
TN, 1998, Đề chính thức (2 điểm)

1) 2) .

ÑS. 1)  2; 2)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

TN, 1998, đợt 1 (2 điểm)

1) . ÑS:

1
e

e
  

.
TN, 1998, đợt 2 (2 điểm)

1) . ÑS:

12 2
4  ln .
TN, 1999, đợt 1 (2 điểm)

; ÑS: 4



TN, 1999, đợt 2 (2 điểm)

1) Tính tích phân (ĐS:

2
15).

2) Giải phương trình .

TN, 2000

1) Cho hàm số . Hãy tính đạo hàm và
giải phương trình

;

2) Có 5 tem thư khác nhau và 5 bì thư cũng khác nhau. Người ta
muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên
3 bì thư đã chọn. Mỗi bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao
nhiêu cách làm như vậy.

TN, 2000  2001 (1 điểm)

1) Tính tích phân (ĐS:

3 3
32  ).
TN, 2001  2002 (2 điểm)

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

trên đoạn 0;2

 
 
 .

2) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đơi một khác
nhau?

TN, 2002  2003 (2 điểm)

1) Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số

Biết rằng

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và đường thẳng

Đáp số. 1) 2)

(TN 2003 – 2004) Tính thể tích của vật thể trịn xoay do hình phẳng giới
hạn của đồ thị hàm số và các đường

quay quanh trục ĐS.

(TN, 2005) Đ.S: .

TN không phân ban, 2006)

1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số
và đường thẳng

2. Tính tích phaân

Đáp số. 1) 2)

(TN 2006, Ban KHTN) ÑS.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

(TN không phân ban, 2007) ĐS.
(TN ban KHTN, lần 1, 2007) ĐS.
(TN ban KHXH, lần 1, 2007) ĐS.
(TN không phân ban, 2007) ĐS.

(TN ban KHTN, lần 2, 2007) Cho hình giới hạn bởi các đường
Tính thể tích khối trịn xoay được tạo thành khi quay hình quanh trục

hồnh. ĐS.

(TN ban KHTN, lần 2, 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường và ĐS. 36 (đ.v.d.t.)

II. CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

1. (Khối A, 2002) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
Đáp số.
2. (Khối B, 2002) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Đáp số.
Tính các tích phân sau:

3. (Dự bị 1, 2002) (Đáp số:

1 2
2

ln


</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

4. (Dự bị 2, 2002) (Đáp số.

2

 1)

5. (Dự bị 4, 2002) (Đáp số. 2

3 4
4e  7).
6. (Dự bị 5, 2002)

Đáp số:
12
91).

7. (Khối A, 2003) (Đáp số:

1 5
4ln3).

8. (Khối A, Dự bị 1, 2003) (Đáp số:
1

2
8 4ln




)

9. (Khối A, Dự bị 2, 2003) (Đáp số:
2
15).

10. (Khối B, 2003) (Đáp số:

1
2
2ln ).

11. (Khối B, Dự bị 1, 2003) (Đáp số:
20

3 ).

12. (Khối B, Dự bị 2, 2003) Cho hàm số .

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Đáp số:
8

2
a ,
b .








13. (Khối D, 2003) ĐS. 1.

14. (Dự bị 1, Khối D, 2003) ĐS.

15. (Dự bị 2, Khối D, 2003) ĐS.

16. (Khối B, 2004) (Đáp số:

116
135).

17. (Khối A, 2004) (Đáp số:

11
4 2
3  ln ).

18. (Khối D, 2004) (Đáp số: 3ln3



2).

19. (Dự bị 1, 2004) ĐS. 2.

20. (Dự bị 2, 2004)

ÑS.

21. (Dự bị 3, 2004) ĐS.

22. (Dự bị 4, 2004) ĐS.

23. (Dự bị 5, 2004) ĐS.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

25. (B, 2005) Ñ.S: .

26. (D, 2005) Ñ.S: .

27. (Dự bị 1, 2005) ĐS.

28. (Dự bị 2, 2005) ĐS.

29. (Dự bị 3, 2005)

ÑS.

30. (Dự bị 4, 2005) ĐS.

31. (Dự bị 5, 2005) ĐS.

32. (A, 2006) ÑS. .

33. (B, 2006) ÑS. .

34. (D, 2006) ÑS.

35. (Dự bị 1, A, 2006) ĐS.

36. (Dự bị 2, A, 2006) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
và đường thẳng ĐS.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

38. (Dự bị 2, D, 2006) ĐS.

39. (Dự bị 1, B, 2006) ĐS.

40. (Dự bị 2, B, 2006) ĐS.

41. (D, 2007) ÑS.

42. (A, 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
ĐS.

43. (Khoái B, 2007)

</div>

Bài Tập tích phân ôn thi TN-ĐH-CĐ – Thầy Đồ – Dạy toán – Học toán

ị

ị

ũ

ò

ò

ò

ò

ò

-ò

ò

-ò

ị

ò

-ò

-ò

ò

2

ị

ò

-ò

ò

ò

ò

-ò

-ò

ò

ò

-ò

(

)

<sub>ò</sub>

ị

ò

ò

ò

ò

ò

ị

ò

ò

-ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

-ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

-ò

ò

ò

ò

ò

ò