HẠNG của MA TRẬN ppt _ TOÁN CAO CẤP

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Bài giảng pptx các mơn ngành Y dược hay nhất có
tại “tài liệu ngành dược hay nhất”;
/>use_id=7046916


Chương 2. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

1

Ma trận và các phép tốn tuyến tính

2

Định thức

3

Phương pháp tính định thức

4

Nhân ma trận - Ma trận nghịch đảo

5

Hạng của ma trận

Bài 5. HẠNG CỦA MA TRẬN
I.

Khái niệm hạng của ma trận

II.

Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con

III.

1.

Khái niệm định thức con của ma trận

2.

Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con

3.

Định thức con cơ sở của ma trận

Các phương pháp tìm hạng của ma trận
1.

Phương pháp định thức bao quanh

2.

Phương pháp biến đổi ma trận

IV.

Các bất đẳng thức liên quan đến hạng ma trận

V.

Sử dụng hạng của ma trận để khảo sát một hệ vectơ


I. Khái niệm hạng của ma trận
ĐN: Hạng của một ma trận là hạng của hệ vectơ cột của nó.
Với ma trận A = aij  m n hạng của ma trận A được ký hiệu là r(A).
x

�a11 a12
�a
a22
21
�
A=
...
�...
�
am1 am2
�
A1c

A c2

... a1n �
... a2n �
�
... ... �
... amn �
�

Anc �Rm

Theo định nghĩa hạng ma trận, ta có:



r  A  =r  A ,A ,...,A
c
1

c
2

c
n



�r  A  �n (số vectơ của hệ)
� �
�r  A  �m (số chiều của vectơ)

NX:
 Với ma trận A = aij  , thì r(A) ≤ min {m, n}
mxn
 Cho A là ma trận khác ma trận O thì r(A) = 1  A có các
cột (các dịng) tỉ lệ.


II. Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con
1. Khái niệm định thức con của ma trận

 

Với ma trận A = aij

mxn

Xét s dòng và s cột bất kỳ (1 ≤ s ≤ min{m, n})
Chỉ số của s dòng là: 1�i1 1�j1 Chỉ số của s cột là:

tăng dần

Giữ nguyên s dòng và s cột ở trên, những dòng và những cột cịn
lại được xóa hết, ta sẽ thu được một ma trận vuông cấp s.
Định thức của ma trận này được gọi là một định thức con cấp s
của ma trận A và được ký hiệu là:

j1j2 ...js
i12

i ...is

D

NX: Số định thức con cấp s, với 1 ≤ s ≤ min {m, n}, của một ma
trận cấp mxn là:

s
C ns .C m


II. Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con
1. Khái niệm định thức con của ma trận
Ví dụ 1: Xét ma trận

-2 1 4 3�
�
A =�3 -1 2 5�
�
�
�
�
-4
6
1
3
�
�
Khi đó, giá trị một số định thức con của A là:
14

13

D =

-2 3
-4 3

=6

1 4
=6
D =
-1 2
23
12

3 2
D =
=11
-4 1
13
23

2 2
Số định thức con cấp 2 của A là: C3C4  3.6  18

-2 1 3
D124
-1 5 =79
123 = 3

-4 6 3

-2 4 3
D134
2 5 =-85
123 = 3
-4 1 3

Số định thức con cấp 3 của A là: C33C34  1.4  4


II. Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con
2. Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con
Định lý: Hạng của một ma trận bằng cấp cao nhất của các định
thức con khác 0 của ma trận đó.
Nxét 1: r(A) = r  trong A có ít nhất 1 định thức con cấp r là khác
0 và tất cả các định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) đều bằng 0
Nxét 2: r(A) = r  trong A có ít nhất 1 định thức con cấp r là khác
0 và tất cả các định thức con cấp r +1 (nếu có) đều bằng 0.

 ?

Hệ quả 1: Phép chuyển vị không làm thay đổi hạng của ma trận.
r  A  =r  A�

Hệ quả 2: Hạng của ma trận bằng hạng của hệ vectơ dịng của nó.
Hệ quả 3: Điều kiện cần và đủ để một định thức bằng 0 là hệ vectơ
dịng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính.

II. Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con
3. Định thức con cơ sở của ma trận
ĐN: Định thức con khác 0 cấp cao nhất của một ma trận A được
gọi là một định thức con cơ sở của ma trận đó
NX: Nếu r(A) = r thì mỗi định thức con cấp r khác 0 của A là một
định thức con cơ sở của A.
Một ma trận có thể có nhiều định thức con cơ sở
j j ...j

12 r
Ta chứng minh được nếu Di12
là một định thức con cơ sở
i ...ir
của A thì:

 Hệ r dịng của ma trận A có chỉ số i1, i2,…, ir là một cơ sở
của hệ vectơ dòng của A;
 Hệ r cột của ma trận A có chỉ số j1, j2,…, jr là một cơ sở
của hệ vectơ cột của A;


III. Các phương pháp tìm hạng của ma trận
1. Phương pháp định thức bao quanh
Định thức bao quanh:
Giả sử A là ma trận cấp mxn, xét định thức con cấp r của A:
...jr
D =Dij11i2j2...i
r
Nếu ta có thể thêm 1 dịng khác ngồi r dịng i1, i2,…,ir và 1 cột

khác ngồi r cột j1, j2,…,jr thì định thức con cấp r +1 đó được gọi là
một định thức con cấp r +1 bao quanh định thức
...jr
D =Dij11ij22...i
r

Ví dụ 2: Với ma trận A cấp 3x5
23

Định thức con cấp 2 là D13 có các định thức con cấp 3 bao
quanh nó là:

D123
123

234
D123

235
D123

? D125
123


III. Các phương pháp tìm hạng của ma trận
1. Phương pháp định thức bao quanh
Ta chứng minh được:
Nếu ma trận A có một định thức con cấp r khác 0 và mọi định thức
con cấp r + 1 bao quanh nó (nếu có) đều bằng 0 thì hạng của ma

trận A bằng r
Áp dụng để thực hành tìm hạng của ma trận A (với r(A) ≥ 2):
Bắt đầu từ một định thức con cấp hai D và khác 0 của A;
● Tính mọi định thức con cấp 3 bao quanh D:
 Nếu mọi định thức con cấp 3 đó đều bằng 0 � r(A) = 2;
 Nếu gặp định thức con D' cấp 3 bao quanh D khác 0
● Tính mọi định thức con cấp 4 bao quanh D':
 Nếu mọi định thức con cấp 4 đó đều bằng 0 � r(A) = 3;
 Nếu gặp định thức con D" cấp 4 bao quanh D' khác 0
●

●

●


III. Các phương pháp tìm hạng của ma trận
1. Phương pháp định thức bao quanh
Ví dụ 3: Tìm hạng của ma trận

-2 -3 4 3�
�
A =�1 3 -1 2�
�
�
�1 6 1 9�
�
�
-2 -3
Đầu tiên ta có:

D12
=-3 �0
12 =
1 3
Xét các định thức con cấp 3 bao quanh nó ta có:

-2 -3 4
D123
3 -1 =0;
123 = 1
1 6 1

-2 -3 3
D124
3 2 =0
123 = 1
1 6 9

Vậy hạng của ma trận A là: r(A) = 2


III. Các phương pháp tìm hạng của ma trận
1. Phương pháp định thức bao quanh
Ví dụ 4:

Tìm hạng của ma trận

-1 2 3 1 -2�
�
A =�

-1 2 5 1 4 �
�
�
�2 -4 -4 -2 3 �
�
�
Đầu tiên ta có:

13
12

D =

-1 3
-1 5

=-2 �0

Các định thức con cấp 3 bao quanh nó là:

-1 3 -2
-1 3 1
-1 2 3
134
D123
D
4 =14
5 =0; 123 = -1 5 1 =0; D135
123= -1 2
123 = -1 5

2 -4 -2
2 -4 -4
2 -4 3
Vậy hạng của ma trận A là r(A) = 3


III. Các phương pháp tìm hạng của ma trận
1. Phương pháp định thức bao quanh
Ví dụ 5: Tìm hạng của ma trận

Đầu tiên ta có:

4 1
D =
=15
1 4

2
�
�
4
�
A=
�1
�
3
�

k -1 3 �
1 -3 5 �

�
4 2 -3�
1 5 2�
�

12
23

4 1 -3
123
12
Ta xét định thức cấp 3 bao quanh D23 : D234 = 1 4 2 =106
3 1 5
123

Định thức D234 chỉ có một định thức con cấp 4 bao quanh nó,
chính là |A|. Tính |A| ta được:

D1234
1234 = A =...=-104k -12
Từ đó suy ra:

 Nếu k ≠ -3/26 thì r(A) = 4
 Nếu k = -3/26 thì r(A) = 3


III. Các phương pháp tìm hạng của ma trận
2. Phương pháp biến đổi ma trận
NX: Cho ma trận B có dạng:

b11 b12
�
�0 b
22
�
�... ...
B =�0
0
�
�0
0
�
�... ...
�0
0
�

... b1s ... b1n �
... b2s ... b2n �
�
... ... ... ... �
... bss ... bsn �
�
... 0 ... 0 �
�
... ... ... ... �
... 0 ... 0 �
�

Trong đó s ≤ n và bii ≠ 0 với mọi i = 1, 2,...,s

Rõ ràng là ma trận B có hạng s, với định thức con cơ sở chính là:

D12...s
12...s =b11b22...bss


III. Các phương pháp tìm hạng của ma trận
2. Phương pháp biến đổi ma trận
Cho A là ma trận bất kỳ

b11 b12
�
�0 b
22
�
�... ...
Biến đổi sơ cấp trên dòng & cột
B =�0
0
Am n
�
Giống như khử Gauss
�0
0
�
�... ...
�0
0
�
x

... b1s
... b2s
... ...
... bss
... 0
... ...
... 0

... b1n �
... b2n �
�
... ... �
... bsn �
�
... 0 �
�
... ... �
... 0 �
�

Chú ý là phép biến đổi sơ cấp trên dòng & trên cột không làm
thay đổi hạng của ma trận

(?)

Từ kết quả của sự biến đổi ta có r(A) = r(B) = s.


III. Các phương pháp tìm hạng của ma trận

2.

Phương pháp biến đổi ma trận

Ví dụ 6: Tìm hạng của ma trận

-2 -3 4 3�
�
A =�1 3 -1 2�
�
�
�1 6 1 9�
�
�
Thực hiện biến đổi sơ cấp trên A ta được:

-2
�
-2 -3 4 3� �1�1
�
��
��0
�
�
A = 1 3 -1 2 �2
�
�
�
�0
�1 6 1 9�

�2
�
�
�
-2
�
�
��
� 0
�
�0
�
Vậy hạng của ma trận A bằng 2

-3 4 3 �
3 2 7 ��(-3)
�
�1
9 6 21�
�

-3 4 3�
3 2 7�
�
0 0 0�
�


III. Các phương pháp tìm hạng của ma trận
2.

Phương pháp biến đổi ma trận

-2 3 -4 -5�
�
Ví dụ 7: Tìm hạng của ma trận
�3 -2 5 3 �
�
A =�
�4 1 2 -4�
�5 2 3 -6�
�
�
Thực hiện biến đổi sơ cấp trên A ta được:
-2 3 -4 -5 �
-2 3 -4 -5� �
-2 3 -4 -5 � �
�
�3 -2 5 3 � �0 5 -2 -9 � �0 5 -2 -9 �
�
�� �
�� �
A =�
�4 1 2 -4� �0 7 -6 -14� �0 0 -16 -7 �
�
�5 2 3 -6� �0 19 -14 -37� �
0
0
-32
-14

�
�
� �
� �
-2 3 -4 -5�
�
�0 5 -2 -9� Vậy hạng của ma trận A bằng 3
�
��
-2 3 -4
0
0
-16
-7
�
� 123
�0 0 0 0 � D123 = 3 -2 5 =16
�
�
4 1 2 => D123 là một đt con cơ sở
123


III. Các phương pháp tìm hạng của ma trận
Lựa chọn phương pháp tìm hạng ma trận (?)
Khi nào thì nên chọn phương pháp định thức bao quanh? Khi nào
thì chọn phương pháp biến đổi?
●

Khi cấp ma trận nhỏ (2,3,4), ma trận có chứa tham số

DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH THỨC BAO QUANH

●

Khi cấp ma trận lớn (5, 6, 7,…), ma trận gồm toàn số
DÙNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI


IV. Các bất đẳng thức liên quan đến hạng ma trận
 Hạng của tổng hai ma trận:
Với A, B là hai ma trận cùng cấp mxn ta ln có

r  A +B �r  A  +r  B
 Hạng của tích hai ma trận:
Với A, B là hai ma trận sao cho tích AB có nghĩa thì:
r(AB) �r(A)
�
� r  AB �min r  A  ,r  B  
�
r(AB) �r(B)
�

Điều này có được do một trong 2 kết quả sau:
 Các vectơ dịng của AB ln biểu diễn tuyến tính qua các
vectơ dịng của B
 Các vectơ cột của AB ln biểu diễn tuyến tính qua các
vectơ cột của A .
( xem chứng minh ở trang 164 giáo trình)

IV. Các bất đẳng thức liên quan đến hạng ma trận
VD1: CM nếu r(A) < r(B) thì phương trình ma trận AX = B vô nghiệm
Giải: ( phản chứng): Giả sử có ma trận X sao cho AX = B. Khi đó
ta có r(AX) = r(B) ≤ r(A). Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
VD2: CMR hạng của một ma trận A không thay đổi nếu ta nhân vào
bên phải hoặc bên trái nó một mtrận vng khơng suy biến B.
Giải:
Xét ma trận AB, trong đó B là một ma trận vng khơng suy biến.
 Trước hết ta có

r(AB) ≤ r(A)

 Mặt khác A = ABB-1 nên r(A) = r[(AB) B-1 ] ≤ r(AB)

(1)
(2)

Từ (1) và (2) ta có r(A) = r(AB).
( Chứng minh tương tự cho trường hợp ma trận không suy biến được
nhân vào bên trái của ma trận A)


V. Dùng hạng của ma trận để khảo sát hệ vectơ
Xét hệ gồm m vectơ n chiều X1, X2,…, Xm. Các câu hỏi đặt ra là:
 Hệ đó độc lập hay phụ thuộc tuyến tính?
 Nếu phụ thuộc thì hạng của nó là bao nhiêu? Và hãy chỉ ra
một cơ sở của hệ vectơ đó.
● Trước hết hãy tìm hạng của hệ vectơ X1, X2,…, Xm: Việc tìm hạng
này được thực hiện bằng cách lập ma trận A với các dòng (hoặc
các cột) là các vectơ X1, X2,…, Xm. Ta có r(A) = r({X1, X2,…, Xm}),

r(A) tìm được bằng một trong hai phương pháp đã biết.
● Giả sử r(A) = r({X1, X2,…, Xm }) = r, ta kết luận theo kết quả sau đây:


r = m  hệ vectơ X1, X2,…, Xm độc lập tuyến tính;



r < m  hệ vectơ X1, X2,…, Xm phụ thuộc tuyến tính;

(Cơ sở của {X1, X2,…, Xm} được tìm theo định thức con cơ sở của A)


V. Dùng hạng của ma trận để khảo sát hệ vectơ
Ví dụ 1: Hệ vectơ sau độc lập hay phụ thuộc tuyến tính

�X1 = - 3, 2, - 2, 3
�
�X 2 = 2, -1, 5, -4
�
�X3 = -5, 2, 4, 6
Trước hết ta tìm hạng của hệ vectơ trên thơng qua tìm hạng của
ma trận A nhận các vectơ trong hệ lần lượt là các dòng.

-3 2 -2 3 �
�
A =�2 -1 5 -4�
�
�
�

-5 2 4 6 �
�
�

-3 2 -2
-3 2
123
12
Và
D
= 2 -1 5 =-22 �0
Ta có D12 =
=-1�0
123
2 -1
-5 2 4
Vậy hạng của ma trận A bằng 3 => Hạng của hệ véc tơ đã cho
bằng 3 nên hệ véc tơ trên độc lập tuyến tính


V. Dùng hạng của ma trận để khảo sát hệ vectơ
Ví dụ 2: Tìm hạng của hệ vectơ sau và chỉ ra một cơ sở của nó

�X1 = 1,
�
�X 2 = 2,
�
�X3 = -3,
�
�X 4 = -2,

�X5 = 1,
�

3,

- 2,

2

3, -3

-1,
2,

4,

5,

2,

7,

3,

5

7

6

Trước hết ta tìm hạng của hệ vectơ trên thơng qua tìm hạng của
ma trận A nhận các vectơ trong hệ lần lượt là các dòng.

�1
�2
�
A =�
-3
�
-2
�
�1
�

3 -2
-1 3
2 4
5

2

7

3

2�
-3�
�
5�
7�

�
6�
�


V. Dùng hạng của ma trận để khảo sát hệ vectơ
Biến đổi ma trận A:

�1
�2
�
A =�
-3
�
-2
�
�1
�
�1
�
0
�
��
0
�
0
�
�
0
�

Ta có

3 -2 2 � �1
-1 3 -3� �
0
� �
2 4 5 �� �
0
5 2 7� �
0
� �
�
7 3 6�
0
� �
3 -2 2 � �1
0
-1 1 -1� �
� �
0
0 9 0 �� �
�
0
0 9 0� �
�
�
0
0 9 0�
� �
nên

D123
123 =-63

3 -2 2 � �1
�
�
0
-7 7 -7
�
�
0
11 -2 11�� �
�
�
0
11 -2 11
�
� �
0
4 5 4�
� �

3

-2

-1 1
11 -2
11 -2
4

5

2�
-1�
�
11�
11�
�
4�
�

3 -2 2 �
-1 1 -1�
�
0 9 0 �=B => r(A) = r(B) = 3 nên
0 0 0 � hạng của hệ vectơ là 3.
�
0 0 0�
�

là một định thức con cơ sở của A
D123
123

Suy ra một hệ cơ sở của hệ 5 vectơ trên là {X1, X2, X3}


V. Dùng hạng của ma trận để khảo sát hệ vectơ
Ví dụ 3: Tìm hạng của hệ vectơ sau theo tham số k

�X1 = - 3, 3, - 5, 2
�
�X 2 = 2, -1, 0, -3
�
�X3 = -3, 2, 4, 5
�X = -4, 4, -1, k
�4
HD: Trước hết ta tính định thức của ma trận A nhận các vectơ
trong hệ lần lượt là các dịng.

-3
�
�2
A =�
-3
�
�
-4
�

3
-1
2
4

-5
0
4
-1

2 � Ta tính được det(A) = -17k + 68. Vậy
Nếu det(A) = -17k + 68 ≠ 0  k ≠ 4 thì
�
-3
�hạng của hệ vectơ là 4 ( khi đó hệ vectơ
5 �đã cho đltt và nó là 1 cơ sở của R4)
k�
�Nếu det(A) = -17k + 68 = 0  k = 4
thì hạng của hệ vectơ là 3 (khi đó hệ
vectơ đã cho pttt)