MA TRẬN và ĐỊNH THỨC ppt _ TOÁN CAO CẤP

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Bài giảng pptx các mơn ngành Y dược hay nhất có
tại “tài liệu ngành dược hay nhất”;
/>use_id=7046916


Chương 2. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1

Ma trận và các phép tốn tuyến tính

2

Định thức

3

Phương pháp tính định thức

4

Nhân ma trận - Ma trận nghịch đảo

5

Hạng của ma trận


Bài 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MA TRẬN

I.

II.

Các khái niệm cơ bản về ma trận
1.
Khái niệm ma trận
2.
Đẳng thức ma trận
3.
Ma trận không và ma trận đối
Các dạng ma trận

III.

1.
Ma trận vuông
2.
Ma trận tam giác
3.
Ma trận đường chéo và ma trận đơn vị
Các phép tốn tuyến tính trên các ma trận
1.
2.

III.

Định nghĩa phép tốn
Các tính chất

Các phép biến đổi ma trận
1.
Các phép biến đổi sơ cấp
2.
Phép chuyển vị ma trận


I. Các khái niệm cơ bản về ma trận
1. Khái niệm ma trận
ĐN: Một bảng số gồm mxn số được sắp xếp thành m dòng và n
cột được gọi là một ma trận cấp mxn
.
Đặt tên cho ma trận bằng các chữ cái in hoa: A, B, C, D…
Cho A là một ma trận cấp mxn tổng quát, ta ký hiệu:

 a11 a12
a
a 22
21
A=
...
 ...
a
 m1 am2

... a1n 
... a 2n ÷
÷
... ... ÷
... amn ÷



 a11 a12
a
a 22
21
hay A = 
...
 ...
a
 m1 am2

... a1n 
... a 2n 

... ... 
... amn 

n
trong đó aij là phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A.
Ký hiệu dạng thu gọn:

A = ( aij )

m×n

hay A = aij 

m×n

m


I. Các khái niệm cơ bản về ma trận
2. Đẳng thức ma trận
ĐN: Hai ma trận được coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có
cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng của chúng
đơi một bằng nhau.
VD1:
 −2 3
Cho A = 
 −1 −4

0
 −2 3
và B = 
÷
2
 −1 −4

0
thì A = B
÷
2

 −2 3 1 
cịn C = 
÷ thì A ≠ C
 −1 −4 2

VD2:

x = 1
y = 2

 x y  1 2
⇔


÷ =
÷
 z t   3 4
z = 3
 t = 4

NX: Sự bằng nhau của 2 ma trận cấp mxn tương đương với
một hệ mxn phương trình.


I. Các khái niệm cơ bản về ma trận
3. Ma trận không và ma trận đối
ĐN: Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0
Ký hiệu Omxn hay O

0
0
Omxn =
 ...
0


0 ... 0 
0 ... 0 ÷
÷
... ... ... ÷
0 ... 0 ÷


ĐN: Ma trận đối của một ma trận A là ma trận cùng cấp mà mỗi
phần tử của nó là số đối của các phần tử tương ứng của
ma trận A.
Ký hiệu: Ma trận đối của A được ký hiệu là -A
Ví dụ: Ma trận đối của ma trận

 -4 0 
A = 5 -2÷

÷
 7 4÷



làà

 4 0
- A = -5 2 ÷

÷
 -7 -4÷





I. Các khái niệm cơ bản về ma trận
4. Hệ vectơ dòng và hệ vectơ cột của ma trận:
KN: Cho A là một ma trận cấp mxn.
Coi mỗi dòng của A như một véc tơ (n chiều ) ta có hệ vectơ
dịng của ma trận A. Kí hiệu:
{ A1d , A2d ,..., Amd }
Coi mỗi cột của A như một véc tơ (m chiều ) ta có hệ vectơ
cột của ma trận A. Kí hiệu:
Ac , Ac ,..., Ac

{

VD : Cho mt

1

 1 2 -3 
A =
÷
-3
0
4



n

}

 A1d = ( 1, 2, -3 )
 d
 A 2 = ( -3, 0, 4 )

 Hệ vectơ dòng của ma trận A là
 Hệ vectơ cột của ma trận A là

2

 1  c  2  c  -3 
A =  ÷, A 2 =  ÷, A 3 =  ÷
 -3 
0
4
c
1


II. Các dạng ma trận
1. Ma trận vuông
ĐN: Ma trận vng là ma trận có số dịng bằng số cột. Một ma
trận có số dịng và số cột đều bằng n được gọi là ma trận
vuông cấp n.
Ma trận vuông cấp n có dạng tổng quát:

 a11 a12
a
a22

21

A=
 ... ...
a
 n1 an2
 3 -1 6
VD: A = -7 2 8÷

÷
 9 0 5÷



... a1n 
... a2n ÷
÷
... ... ÷
... ann ÷


Các phần tử nằm trên
đường chéo chính

là một ma trận vuông cấp 3 và 3, 2, 5 là
các phần tử nằm trên đường chéo chính


II. Các dạng ma trận
2. Ma trận tam giác

ĐN: Ma trận tam giác là ma trận vng có các phần tử nằm về một
phía của đường chéo chính bằng 0.

 a11 a12
a
a22
21

 ... ...
a
 n1 an2

... a1n 
... a2n ÷
÷
... ... ÷
... ann ÷


 3 -1 6
VD: A = 0 -2 8÷

÷
 0 0 0÷



 a11
 0


 ...
 0

 a11
a
 21
 ...
a
 n1

a12 ... a1n 
a22 ... a2n ÷ Ma trận tam
÷
giác trên
... ... ... ÷
0 ... ann ÷

0
a22
...
an2

0
... 0 ÷
÷
... ... ÷
... ann ÷

...

Ma trận tam
giác dưới

là một ma trận tam giác trên


II. Các dạng ma trận
3. Ma trận đường chéo và ma trận đơn vị
ĐN: Ma trận đường chéo là ma trận vng có tất cả các phần tử
nằm ngồi đường chéo chính bằng 0. Ma trận đường chéo
cấp n có dạng:

 a11 0
 0 a
22

 ... ...
 0
0


0
... 0 ÷
÷
... ... ÷
... ann ÷

...

 -7 0 0

VD: A = 0 4 0÷

÷
 0 0 9÷



ĐN: Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo có tất cả các phần tử
trên đường chéo chính bằng 1.
Ma trận
đơn vị được ký hiệu là E
Mt đơn vị
cấp 3 là:

1
 1 0 0 Mt đơn vị
0
E = 0 1 0÷ cấp n là: E =

÷
 ...
 0 0 1÷
0




0 ... 0 
1 ... 0 ÷
÷

... ... ... ÷
÷
0 ... 1 


III. Các phép tốn tuyến tính trên các ma trận
1. Định nghĩa phép tốn
Ví dụ: Thơng tin về lợi nhuận của 3 siêu thị (A, B, C) kinh doanh 4 mặt
hàng (1, 2, 3, 4) trong 6 tháng đầu năm được cho thành một
bảng
như sau:
MH
Siêu thị
A

1

2

3

4

12

-2

13

27

B

23

31

14

22

C

3

12

47

29

Lợi nhuận trong 6 tháng cuối năm có sự thay đổi, cụ thể như sau:
MH
Siêu thị
A

1

2

3

4

30

17

-1

11

B

20

23

16

5

C

13

-9

37

19


III. Các phép tốn tuyến tính trên các ma trận
1. Định nghĩa phép toán
Hãy đưa ra bảng kê về lợi nhuận trong cả năm:
MH
Siêu thị

1

2

3

4

A

12

-2

13

27

B

23

31

14

22

C

3

12

47

29

1

2

3

4

A

30

17

-1

11

B

20

23

16

5

C

13

-9

37

19

1

2

3

4

A

42

15

12

38

B

43

54

30

27

C

16

3

84

48

MH
Siêu thị

MH
Siêu thị

 12 -2 13 27
A = 23 31 14 22÷

÷
 3 12 47 29÷



 30 17 -1 11
B = 20 23 16 5 ÷

÷
 13 -9 37 19÷



 42 15 12 38 
A +B = 43 54 30 27÷

÷
 16 3 84 48÷





III. Các phép tốn tuyến tính trên các ma trận
1. Định nghĩa phép tốn
Ví dụ: Thơng tin về doanh thu của 2 doanh nghiệp (A, B) kinh doanh 3
mặt hàng (1, 2, 3) trong được cho thành một bảng như sau:
MH
Siêu thị
A

1

2

3

12

32

13

B

23

31

14

 12 32 13
A =
÷
23
31
14



Nếu đánh thuế 10% số doanh thu thu được thì doanh thu
sau thuế của các doanh nghiệp sẽ là:
MH
Siêu thị
A

1

2

3

10,8

28,8

11,7

B

20,7

27,9

12,6

 10,8 28,8 11,7
0,9xA =
÷
 20,7 27,9 12,6


III. Các phép tốn tuyến tính trên các ma trận
1. Định nghĩa phép toán
Cho hai ma trận cùng cấp mxn :

A =( aij ) m n ;
x

B =( bij ) m n
x

Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp mxn, ký hiệu là A
+ B và được xác định như sau:

A +B =( aij +bij ) m n
x

Tích của ma trận A với một số α là một ma trận cấp mxn, ký hiệu

là αA và được xác định như sau:

αA =( α.aij ) m n
x

Chú ý:
 Phép cộng ma trận chỉ áp dụng cho các ma trận cùng cấp;
 Việc thực hiện phép cộng hai ma trận cùng cấp và nhân ma
trận với số được thực hiện như đối với vectơ.


III. Các phép tốn tuyến tính trên các ma trận
1. Định nghĩa phép tốn
Ví dụ: Cho các ma trận

 3 -2 5
A =
;
÷
 -4 1 7
Khi đó:

 -6 2 -4
B =
÷
3
7
9



 -3 0 1 
A +B =
÷
-1
8
16



 6 -4 10
2A =
÷
-8
2
14



 18 -6 12 
(-3)B =
÷
-9
-21
-27



 24 -10 22 
2A +(-3B) =

÷
-17
-19
-13




III. Các phép tốn tuyến tính trên các ma trận
2. Các tính chất cơ bản
Với A, B, C là các ma trận cùng cấp và α, β là các số bất kỳ:
TC1:
TC2:

A+B=B+A
(A + B) + C = A + (B + C)

TC3:
TC4:

A+O =A
A + (-A) = O

TC5:

1A = A

TC6:

α(A + B) = αA + αB

TC7:

(α + β)A = αA + βA

TC8:

(αβ)A = α(βA) = β(αA)

Như vectơ

Chú ý :
- Phép trừ ma trận là A – B = A +(–B)
- Ta có thể biến đổi trên đẳng thức ma trận như trên đẳng thức số
3
5
VD: 3(A + X) − 5B − X = O ⇔ X = − A + B
2
2


IV. Các phép biến đổi trên ma trận
1. Các phép biến đổi sơ cấp
Các phép biến đổi trên dòng như ta đã biến đổi trên dòng của ma
trận mở rộng của hệ phương trình tuyến tính
1- Đổi chỗ hai dịng,
2- Nhân một dịng với một số khác khơng,
3- Cộng vào một dịng bội của một dịng khác.
Ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên các cột của ma trận:
ĐN: Các phép biến đổi sau đây trên các cột của ma trận được gọi

là các phép biến đổi sơ cấp trên cột.
Phép 1: Đổi chỗ hai cột của ma trận;
Phép 2: Nhân một cột với số khác 0
Phép 3: Biến đổi một cột bằng cách cộng vào nó bội của cột khác;


IV. Các phép biến đổi trên ma trận
2. Phép chuyển vị ma trận
Cho ma trận A cấp mxn

 a11 a12
a
a22
21

A=
...
 ...
a
 m1 am2
 a11

a
Ta có mt A′ = 12
 ...

 a1n

a21 L
a22 L

... L
a2n

L

... a1n 
... a2n ÷
÷
... ... ÷
... amn ữ


mìn

am1
am2 ữ
ữ
... ữ

ữ
amn n ì m

N: Ma trận A‘ nhận được bằng cách đổi các dòng ( cột ) của A
thành các cột (dòng) tương ứng được gọi ma trận chuyển vị của
ma trận A. Phép biến đổi ma trận A thành ma trận A'
được
gọi phép chuyển vị ma trận.


IV. Các phép biến đổi trên ma trận

2. Phép chuyển vị ma trận
Ví dụ: Với ma trận

 -3
3
A =
1
7


1 5
5 -2÷
÷
5 -5÷
9 1÷
 4x3

-3 3 1 7
Ta có A′ = 1 5 5 9÷

÷

÷
-2
-5
1
5
3x4