PHÉP NHÂN MA TRẬN – MA TRẬN NGHỊCH đảo ppt _ TOÁN CAO CẤP

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Bài giảng pptx các mơn ngành Y dược hay nhất có
tại “tài liệu ngành dược hay nhất”;
/>use_id=7046916


Chương 2. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1

Ma trận và các phép tốn tuyến tính

2

Định thức

3

Phương pháp tính định thức

4

Nhân ma trận - Ma trận nghịch đảo

5

Hạng của ma trận


Bài 4. PHÉP NHÂN MA TRẬN – MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

I. Phép nhân ma trận với ma trận
1. Khái niệm phép nhân ma trận với ma trận
2. Các tính chất cơ bản của phép toán
II. Ma trận nghịch đảo
1. Khái niệm ma trận nghịch đảo
2. Ma trận phụ hợp của ma trận vuông
3. Điều kiện tồn tại và công thức tìm ma trận nghịch đảo
4. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp biến đổi ma trận
5. Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận


I. Phép nhân ma trận với ma trận
1. Định nghĩa phép toán
Cho hai ma trận: �a11 a12
�a
a22
21
A =�
...
�...
�
am1 am2
�

b11 b12
... a1n �
�
�
b21 b22
... a2n �

�
� B=
�... ...
... ... �
�
�
bn1 bn2
... amn �
�
mn
x

... b1p �
... b2p �
�
... ... �
... bnp �
�
np
x

trong đó ma trận A có số cột bằng số dịng của ma trận B
ĐN: Tích của ma trận A và ma trận B là một ma trận cấp mxp , ký
hiệu là AB và được xác định như sau:

trong đó:

�c11 c12
�c
c22

21
�
AB =C =
...
�...
�
cm1 cm2
�

... c1p �
... c2p �
�
... ... �
... cmp �
�
mp

cij =ai1b1j +ai2b2j +...+ainbnj=AidxBcj

x

 i=1,2,...,m;

j=1,2,...,p


I. Phép nhân ma trận với ma trận
Chú ý:
(1) Tích AB có nghĩa (thực hiện được) khi và chỉ khi số cột của ma
trận đứng trước (A) bằng số dòng của ma trận đứng sau (B);

(2) Cấp của ma trận tích AB (khi có nghĩa): Ma trận AB có số dòng
bằng số dòng của ma trận đứng trước và số cột bằng số cột của
ma trận đứng sau; (Xem sơ đồ sau)

A
x
B
�
AB
mn
np
mp
x

x

x

(3) Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử cij (nằm ở
dòng i, cột j của AB) là tích vơ hướng của dịng i của ma trận A
(ma trận đứng trước) và cột j của ma trận B (ma trận đứng sau).

d
i

c ij = A ×B

c
j

I. Phép nhân ma trận với ma trận
1. Định nghĩa phép tốn
Ví dụ 1: Cho hai ma trận

-3 1 2�
�
A =�
;
�
�9 -4 2�
2x3

�1 3 �
B =�
-2 3 �
�
�
�5 -1�
�
�
3x2

Tính AB và BA
Giải:

số cột của A = số dòng của B = 3
số cột của B = số dòng của A = 2

Giả sử AB = C = [cij]2x2 ; Ta có:

�1 �
-2�=-3- 2+10=5
c11 =  -3 1 2 x �
� �
�5 �
� �
Tương tự cho BA = D = [dij]3x3;
c12 = -9+3- 2=-8
ta được:
c21 = 9+8+10=27
�24 -11 8�
c22 = 27-12- 2=13
�33 -14 2�
BA
=
�
�
�
�
AB =�5 -8 �
�
�
-24
9
8
�
�
�
2x2
27 13 �

Cho 2 ma trận:

-2 1 4 3 2�
�2 -2 4 1�
�
�4 5 -1 3�
�4 5 -3 1 4�
�
�
A =�
; B =�
�2 4 7 3�
�5 -3 1 2 3 �
�
�
�3 4 -1 3 1�
-6
4
1
5
�
�
�
�
Phần tử nằm ở dòng 2, cột 3 của ma trận tích A'.B là:

50:50
A: - 5

B: - 23

C: 15

D: - 15


�2
�
-2
�
A'=
�4
�1
�

-2 1 4
4 2 -6�
�
�4 5 -3
5 4 4�
�
; B =�
-1 7 1 �
�5 -3 1
�3 4 -1
3 3 5�
�
�

3
1
2
3

2�
4�
�
cij �
; � A'B =C =�
�
�4X5
3�
1�
�

�4 �
�
-3�
c23 = ( -2 5 4 4) � �=-8-15+4- 4 =-23
�1�
� �
�-1�

P/tử ở dòng 2 cột 3 của mtrận A’B là:

50:50
A: - 5

B: - 23

C: 15

D: - 15


I. Phép nhân ma trận với ma trận
1. Định nghĩa phép tốn
Ví dụ 2: Cho hai ma trận

�2 -4 1 �
A =�
4 2 5�
;
�
�
�
�
8
2
-3
�
�

3 -2 1 3 �
�
B =�
5 m 4 -1�
�

�
�
�
2
5
3
6
�
�

a) Tính các phần tử trên dịng 3 của ma trận AB
b) Tính các phần tử trên cột 2 của ma trận AB
Giải:

Ta có AB  C  �
cij �
�
�
3x4

a) Các phần tử trên dòng 3 của ma trận AB lần lượt là:
c31 = 24 + 10 – 6 = 28

c32 = – 16 + 2m –15 = 2m –31

c33 = 8 + 8 – 9 = 7

c34 = 24 – 2 –18 = 4

b) Các phần tử trên cột 2 của ma trận AB lần lượt là:

c12 =-4 - 4m+5

=-4m+1;

c22 =-8 +2m+25 =2m+17;
c32 =-16 +2m- 15=2m- 31;


I. Phép nhân ma trận với ma trận
1. Định nghĩa phép tốn
Nhận xét:

Nếu A có cấp mxn; B có cấp nxp và
AB = C
Thì



Ai B  Ci ; i  1,2,...,m



ABj  Cj ; j  1,2,...,p

d

d

c

c


I. Phép nhân ma trận với ma trận
2. Các tính chất (với điều kiện các phép tốn thực hiện được)
TC1:

Tính kết hợp (AB)C = A(BC)

TC2:

Tính phân phối đối với phép cộng: A(B + C) = AB + AC
(B + C)D = BD + CD

TC3:

Với A, B là ma trận sao cho tích AB tồn tại, k là một số bất

kỳ thì k(AB) = (kA)B = A(kB)
TC4: Mọi ma trận đều không thay đổi khi nhân với ma trận đơn vị
AE = A; EB = B
TC5: Nếu tích AB tồn tại thì (AB)' = B'A'
TC6: Cho A, B là 2 ma trận vng cùng cấp. Nói chung AB ≠ BA.
Nhưng ta lại có det(AB) = det(A)det(B) = det(BA) và ký
hiệu:

A.A...A  Ak
k lần

� Ak = A . A … A = A

1 42 43
k

k


Giả sử A là ma trận vuông cấp n, khi đó giá trị của

detαA


k

=αA

k

tính theo

A

là:

50:50
A: α.|A|k

B: αn.|A|k

C: αk.|A|

D: n.α.|A|k


I. Phép nhân ma trận với ma trận
2. Các tính chất cơ bản

�2 1 4�
�4 4 �
�
�
A
=
-4
2
5
det
A
Ví dụ: Tính
�
� với
�
�
�3 �
�7 1 3�
�
�

2 1 4
Ta có A = -4 2 5 =-23
7 1 3

3

4 4 �4 �
17909824
4
� A =� �. -23 =
3
27
�3 �


I. Phép nhân ma trận với ma trận
VD: Cho 3 ma trận:

-3 2 1�
3 -2 1 �
�
�1 2 3 �
�
A =�5 -6 1�
; B =�
8 -4 1 �
; C =�
3 6 -2�
�
�
�
�
�
�

�7 -2 4�
�
�
3 6 -2�
5 1 7�
�
�
�
�
�
�
5
1
C - BC + A
1) Tìm phần tử nằm ở dịng 2, cột 3 của ma trận: 4A�
2
4
-3 5 7 �
�
Giải:
Tacó A'=�2 -6 -2�
�
�
�1 1 4 �
�
�
Phần tử ở dòng 2 cột 3 của ma trận 4A’C là: 4(2 + 12 – 14) = 0
Phần tử ở dòng 2 cột 3 của ma trận (5/2)BC là: (5/2) (8 + 8 + 7) = 115/2
Phần tử ở dòng 2 cột 3 của ma trận (1/4)A là: (1/4) (1) = 1/4
5

1
�
Phần tử ở dòng 2 cột 3 của ma trận 4A C - BC + A là:
2
4

0 – 115/2 + 1/4 = –229/4


2) Tìm phần tử nằm ở dịng 3 cột 1 của ma trận BA’C
Cách 1: Lấy dòng 3 của BA’ nhân với cột 1 của C
Cách 2: Lấy dòng 3 của B nhân với cột 1 của A’C
Giải: (theo cách 1) �
-3 2 1�
3 -2 1 �
�1 2 3 �
�
A =�5 -6 1�
; B =�
8 -4 1 �
; C =�
3 6 -2�
�
�
�
�
�
�
�7 -2 4�
�

�
�
3 6 -2�
5 1 7�
�
�
�
�
�

-3 5 7 �
�
dij �
�
Tacó A'=�2 -6 -2� � BA' =D =�
�
�
3x3
�
�
�1 1 4 �
�
�
Các phần tử trên dòng 3 của ma trận BA’ lần lượt là:
d31 =-9+12 - 2 =1;

d32 =15 - 36 - 2 =-23;

d33 =21-12 - 8 =1

 Phần tử ở dòng 3 cột 1 của ma trận BA’C là:
1. 3 + (– 23). 3 + 1. 5 = 3 – 69 + 5 = –61


Cho 2 ma trận:

�2 -2 4 1�
�1 0 2 -3�
�4 5 -1 3�
�
A =�
; B =�
3 -1 -2 2 �
�
�
�2 1 2 0�
�
�
0
-3
4
1
�
�
�
�
-3
4
1
5

�
�
Phần tử nằm ở dòng 3 cột 2 của ma trận 3A’A – 2B’B là:

50:50
A: 1

B: - 1

C: 41

D: - 41


�2
�
-2
A'=�
�4
�1
�

4 2 -3�
5 1 4�
�
;
-1 2 1 �
3 0 5�
�

�1
�0
B'=�
�2
�-3
�

3

0�
-1 -3�
�
-2 4 �
2 1�
�

Phần tử ở dòng 3 cột 2 của ma trận 3A’A là: 3(– 8 – 5 + 2 + 4) = –21
Phần tử ở dòng 3 cột 2 của ma trận 2B’B là: 2(0 + 2 –12) = –20
Phần tử ở dòng 3 cột 2 của ma trận 3A’A – 2B’B là: –21 –(–20) = –1

50:50
A: 1

B: -1

C: 41

D: - 41

Giả sử A là ma trận vuông cấp n, khi đó giá trị của

k
k
�
�
det  AA' =  AA'
�
�

tính theo

A

là:

50:50
a: |A|k+1

b: |A|2k

c: |A|k+2

d: |A|k+3


I. Phép nhân ma trận với ma trận
3. Dạng ma trận của hệ pt tuyến tính
Xét hệ phương trình tuyến tính với m phương trình, n ẩn số:

�a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
�a x + a x + ... + a x = b
� 21 1
22 2
2n n
2
�
...
...
...
...
� ...
�
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
�
Với ma trận hệ số là A, cột số hạng tự do là B, cột ẩn là X

�a11 a12
�a
a22
21
�
A=
...
�...
�
am1 am2
�

... a1n �

... a2n �
�
;
... ... �
... amn �
�

�x1 �
�b1 �
�
�b �
x2 �
X =� �
; B =� 2 �
;
�... �
�... �
�x �
�
�
b
�n �
�m �


I. Phép nhân ma trận với ma trận
3. Dạng ma trận của hệ pt tuyến tính
Khi đó ma trận AX có dạng:

�a11x1 +a12x2 +...+a1nxn � �b1 �

�a x +a x +...+a x � �b �
2n n �
AX =� 21 1 21 2
=� 2 �=B
...
�
� �... �
�
� � �
a
x
+a
x
+...+a
x
bm �
mn n �
� m1 1 m2 2
�
Hệ phương trình được viết dưới dạng ma trận:

AX =B
Chú ý:
Từ đẳng thức XY = O không thể suy ra hoặc X = O hoặc Y = O
VD:

�
�
�
1 0�

0 0�
0 0�
�
�
�
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 0�
1 0� �
0 0�
�
�


II. Ma trận nghịch đảo
1. Khái niệm ma trận nghịch đảo

ĐN: Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông A là một ma trận
vuông X (cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện:

AX =XA =E
Ma trận nghịch đảo của ma trận A được ký hiệu là A-1
Chú ý:
 Khái niệm ma trận nghịch đảo chỉ áp dụng cho ma trận vng;
 Ma trận nghịch đảo (nếu có) của một mtrận vng là duy nhất.
Giả sử A có 2 ma trận nghịch đảo là X, Y:

AY =YA =E

 YA X

=

Y  AX  =YE =Y

=

AX =XA =E �

=EX =X


II. Ma trận nghịch đảo
1. Khái niệm ma trận nghịch đảo
Ví dụ: Cho 2 ma trận
2 5�
�

A =�
;
�
�1 3�

�3 -5�
B =�
-1 2 �
�
�

Ta có
�1 0�
=E 2
AB = �
�
0 1�
�
�1 0�
=E 2
BA = �
�
0 1�
�

�
�
�
�
� � AB =BA =E 2

�
�
�

Suy ra, ma trận A có ma trận nghịch đảo – chính là ma trận B:
�3 -5�
A =�
=B;
�
-1 2 �
�
-1

2 5�
�
và B =�
�=A
1
3
�
�
-1


II. Ma trận nghịch đảo
Các tính chất cơ bản của ma trận nghịch đảo
Tính chất 1:
Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo thì

 A-1 =A

-1

Ta có
A.A -1 =E �

A -1 = A

và

A.A -1 =E �

-1

A . A -1 =1 �

A -1 = A

-1

Tính chất 2:
Nếu hai ma trận vng cùng cấp A, B đều có ma nghịch đảo
thì ma trận tích AB cũng có ma trận nghịch đảo và:
Ta có

 AB

B

-1

=B-1A -1

A -1  AB =B-1  A -1A  B =B-1  E  B =B-1B =E

-1

 AB  B-1A -1

=A  BB-1 A -1 =A  E  A -1 =AA -1 =E

�  AB  B-1A -1 = B-1A -1  AB  =E


II. Ma trận nghịch đảo
2. Ma trận phụ hợp của ma trận vuông
ĐN: Cho A là ma trận vuông cấp n:

A = aij  nxn

Xét ma trận vuông cấp n được ký hiệu và xác định như sau:
�A11 A 21 ... An1 �
�A
�
A
...
A
22
n2 �
A * =� 12
... ... ... �

�...
Aij là phần bù đại số của aij
�A
�
� 1n A 2n ... Ann �
nxn
trong det(A).
Ma trận A* được gọi là MA TRẬN PHỤ HỢP của ma trận A.
Chú ý:
 P/tử nằm ở dòng i cột j của mtrận A* là A ji (phần bù đại số của aji)
 Việc lập ma trận A* được thực hiện như sau:
 Các phần bù đại số trên dòng 1 của A được viết là cột 1 trên A*;
 Các phần bù đại số trên dòng 2 của A được viết là cột 2 trên A*;
....
 Các phần bù đại số trên dòng n của A được viết là cột n trên A*;


II. Ma trận nghịch đảo
2. Ma trận phụ hợp của ma trận vng
Ví dụ 1: Lập ma trận phụ hợp của ma trận A
�A11 A 21 A 31 �
2 1 -4�
�
; Ta có A * = �A12 A 22 A 32 �
A =�
3 -5 2 �
�
�
�
�

�
�
�
�
A
A
A
3
6
1
23
33 �
� 13
�
�
1 -4
1 -4
-5 2
=-18
A11 =
A 31 =
=-17; A 21 =- 6 1 =-25;
-5 2
6 1
2 -4
3
2
2 -4
=14;
A

=
=3;
=-16
A12 =
A 32 =
22
3
1
3
1
3 2

A13 =

3 -5
=33;
3 6

2
A 23 =3

1
=-9;
6

-17 -25 -18�
�
� A * =�3 14 -16�
�
�

�33 -9 -13�
�
�

A 33 =

2

1

3 -5

=-13