Tài liệu tham khảo Toán học cấp 2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (394.72 KB, 15 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Câu 1. a) C/m:

2 2 2 2 2 1

2 2 2 2

   



  

b) Chøng minh r»ng:
4

√

17+12

√

2+

√

17−12

√

2 =

√

2

c) So sánh: A 320332 và B 3 24328

Câu 2. a)Thực hiện phép tính:

1 1 1

2017 2017 2018 2018 2019 2019

1 1 1

2018 2019 2019 2017 2018 2017

A   

     

b) Tính

2001.2003 1 2004.2010 9 1
2006.2008 1 2000.2004 4 4

B    

 

c) Rút gọn biểu thức:

2(3 5) 2(3 5)
2 2 3 5 2 2 3 5

A   

   

Câu 3. a) Gi i phả ương trình:

y - 2010 1

x - 2009 1 z - 2011 1 3
x - 2009 y - 2010 z - 2011 4



 

  

b) Giải phương trình:



 





 













 













 



3 3 5 4 1 5 5 1 3

3 2.

1 3 1 5 3 1 3 5 5 1 5 3

     

   

     

x x x x x x

x

c) Giải phương trình:

2 2

9 2

1 0
2 9

x

x  x   

d) Giải phương trình: x x 8 3 x  (1)1 0.
e)Giải phương trình: 5x 6 10 3 x 2x2 x 2
f) Gi i phả ương trình:x24x 5 2 2x 3
g) Gi i phả ương trình: 3 x3 8 2x2 3x10.

Câu 4. a) Cho , , , a b c d là các s th c th a mãn đi u ki n: ố ự ỏ ề ệ

2012
abc bcd cda dab a b c d       
Ch ng minh r ng: ứ ằ



 



2 2 2 2

1 1 1 1 2012

a  b  c  d  

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

b) Cho các số dương , ,x y z thỏa xy. Chứng minh: x z  x  y z  y

c) Cho các số dương , , ,a b c d thỏa a c b d ,  . Chứng minh: a b  a b c d  c d

Câu 5. a) Chứng minh rằng:

1 1 1 1

3.4 4.5 5.6 ... 100.101 5096

5 6 7 102

        

b) Chứng minh:

















1 1 1 1

0, 45
3 1 2 5 2 3 7 3 4  199 99 100 

Câu 6. Cho , ,x y z là ba số dương thỏa mãn: x y z   xyz 4. Tính giá trị của biểu thức:



 





 





 



P x  y  z  y  z  x  z  x  y  xyz
.

Câu 7. a) Giải phương trình: 2069 x 2045 x 2164 x 24.

(

x



2016)

2014



(

x



2017)

2018



1

1007 1009

(

x

2016)

(

x

2017)

1 









c) Gi i phả ương trình:









2020 2020

1 2 1

x  x 

d) Gi i phả ương trình: 3 x2 4x31x2 4x1

e) Gi i phả ương trình: 3 2x 6 33x24 5 3 x
f) Tìm , ,x y z th a mãn: ỏ



 



2 4 2 9 2 25 240

x  y  z   xyz

Câu 8. Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn: x 1 y2 y 2 z2 z 3 x3 3

Câu 9. a) Cho ba số dương , ,a b c thỏa mãn b c a ,  b  c và





</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3 2 3 2

3 4 1

3 3 1 5 8 4

m m m m m

A

m m m m m m

     



      

c) Cho hai số ,a b  thỏa mãn 0 a b  . Chứng minh : 0





2 2

a b ab

a b a b

a b
a b

    




Áp dụng: Tính:

2 2

ô9 ô9

1 999...9 0,999...9

n s n s

B        

, n N *

Câu 10. Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình:2015(x2y2) 2014(2 xy1) 25

Câu 11. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2y2z2 3xyz. Chứng minh rằng:

2 2 2

4 4 4

3
2

x y z

x yzy xzz xy 

Câu 12*. a) Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 0 và xyz ≠ 0.

Tính giá trị biểu thức

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

x y z

P

y z x z x y x y z

  

     

b) Cho , ,a b c  . Chứng minh: nếu có các số ,x y thỏa mãn 0 1

a b b c c a

x y x y x y

c     c a a   b b  thì

2 2 2

3
a b c
bc ca ab   .

c) Cho ,x y  và 0



 



2 2

1 1

a xy  x y









2 2

1 1

b x y y x

. Tính b theo a?
d) Cho a b 1 và ab 0. Ch ng minh: ứ





3 3 2 2

2 2

1 1 3

ab

a b

b a a b



 

  

e) Giả sử a, b, c, x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn

0
a b c

x y z  và 1
x y z
a b c   .

Chứng minh rằng

2 2 2

2 2 2 1

x y z
a b c 

Câu 13*. a) C/m:

3 3 3 3

0
a b c
a b c abc

a b c
 



    

  


b) Chox3y3z3 3xyz x y z,    và , ,0 x y z khác 0. Tính:





2020 2020 2020

2020

x y z

M

x y z

 



 

c) Gi i phả ương trình:

(

)

(

)

(

)

3 3 3

2017 2018 2 4035 0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

d) Cho

1 1 1
0

x y z  và x0,y0,z .Tính giá tr c a bi u th c sau: 0 ị ủ ể ứ 2 2 2
yz zx xy
N

x y z
  

.
e) Rút g n các phân th c: ọ ứ













3 3 3

2 2 2

x y z xyz

A

x y y z z x

  


     ;



 















3 3 3

2 2 2 2 2 2

3 3 3

x y y z z x

B

x y y z z x

    



    

f*) Giải hệ phương trình:

3 3 6 8

2 1

x y xy
x y

   


 


g) Cho a b c  0, ch ng minh: ứ P a 3b3c3 3abc .0

Câu 14. a) Ch ng minh: ứ
2

2 2 2

4
a

b c ab ac bc
    

b) Ch ng minh: ứ a4b4c4abc a b c



 



c) Ch ng minh: ứ





2
2

1 1 1 1

...

5 13  n  n1 2 v i

ớ n N n ,  .1

d) Ch ng minh: ứ





1 1 1 1

...

9 25   2n1 4 v i

ớ n N n , 1

e) Cho a và b cùng d u. Ch ng minh: ấ ứ

2 2

2 2 0

a b a b

b a b a

   

   

   

 

Câu 15. Phân tích các đa th c thành nhân t :ứ ử 
a) 4x44x35x22x1

b*) 3x411x3 7x2 2x1

Câu 16. Tìm s t nhiên có b n ch s ố ự ố ữ ố abcd , bi t r ng nó là m t s chính phế ằ ộ ố ương, s ố abcd chia 
h t cho 9 và d là m t s nguyên t .ế ộ ố ố

Câu 17. a) Cho 2 2

5
8
xy

x y  , hãy tính

2 2

2
2

x xy y

A

x xy y

 



 

b) Cho

x y z

a b c, hãy tính





2 2 2

x y z

B

ax by cz

 


</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

c) Cho a b 0 th a mãn: ỏ 3a23b2 10ab. Tính

a b
C

a b





Câu 18. Xác đ nh các s h u t ị ố ữ ỉ a và bsao cho:

a) x  chia h t cho 4 4 ế x2ax b ;
b) ax4bx3 chia h t cho 1 ế





2
1
x  .

Câu 19. Cho a là m t s g m ộ ố ồ 2n ch s ữ ố 1, b là m t s g m ộ ố ồ n 1 ch s ữ ố 1, c là m t s g m ộ ố ồ n
ch s ữ ố 1



n N *



. Cmr: a b 6c8 là m t s chính phộ ố ương .

Câu 20. Cho 2

32 19

1 2 2

M N x

x x x x



 

    . Tính M N. ?

Câu 21. Cho ba s dố ương a b c , ,

a) Ch ng minh r ng:ứ ằ





1 1 1
9
a b c

a b c

 

     

 

b) Gi i phả ương trình:

1
a b x b c x c a x x

c a b a b c

     

   

 

Câu 22. Cho

2 2

1 1

x x a

x x

   

  

   

    . Tính

4 4

1 1

M x x

x x

   

     

    theo a.

Câu 23. Tìm GTNN c a:ủ

2007, 3
3

A x x

x

   

 ; b) B x  4x 1; c) C x2 6x2027

2 6 9 2 6 9

D x  x  x  x ; e)

2
2 2018

, 0
2018

x x

E x

x
 

 

; f)

3 2000

, 0
x

F x

x


 

g) Tìm giá tr c a ị ủ x đ bi u th c sau đ t GTLN: ể ể ứ ạ

 



2019



x
D x

x



 v i ớ x 0

Câu 24. a) Cho bi u th c: ể ứ

6
1
a
M

a



 . Tìm các s h u tố ữ ỉ a đ M là s nguyên.ể ố

b) Cho bi u th c: ể ứ

2
2
a
M

a



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Câu 25. Gi i phả ương trình :
a) x 1 x x(1 x) 1

2
6 3

3 2
1

x

x x

x x



  
 

c) Tìm x và y bi tế : x y  2 x y 2

Câu 26. Cho bi t ế x2 6x13 x2 6x10 1 . Tính x2 6x13 x2 6x10
Câu 27. Gi i các phả ương trình sau:









3 3

3 1 56

x  x 









4 4

6 8 16

x  x 

c) x43x34x23x 1 0

Câu 28. Th c hi n phép tínhự ệ :





3 2 5 69 4 5 32 5

D     





2
2

1 1

1
E

x x
  

 v i ớ x  0

c) 3 2 3 3 2

1 2

F

x y

x xy y





 

Câu 29. a) Tìm GTLN c a ủ K  x 1 x 8

b) Tìm GTNN c a ủ M  x 3 5 x

Câu 30. Ch ng minh r ng ứ ằ A n 84n76n64n5n4 chia h t cho 16, v i ế ớ n Z

Câu 31. a) Gi i phả ương trình:





3 2

2 0
1

x x

x

x
x

   




b) Gi i phả ương trình:

2 5

1 4

x
x

x
 
  

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

c)Gi i phả ương trình:





2
2

11
5

x
x

x

 



d)Gi i phả ương trình: x1 9 x2 x210x 9 12
Câu 32. Tìm các s nguyên dố ương n đ ể n1988n1987 là s nguyên t .1 ố ố

Câu 33. Cho , ,a b c là ba c nh c a m t tam giácạ ủ ộ

a) Ch ng minh r ng: ứ ằ ab bc ca a   2b2c2 2



ab bc ca 



b) Ch ng minh r ng: ứ ằ









2
3

a b c   ab bc ca  thì tam giác đó là tam giác đ u. ề

Bài 34. Cho 3y x  . Tính giá tr c a bi u th c 6 ị ủ ể ứ

2 3

2 6

x x y

M

y x



 

 

Bài 35. a) Ch ng minh: ứ 2 2 2 2

1 1 1 1 2

...

2 3 4 3

H

n
     

v i ớ n N n , 2

b) Ch ng minh: ứ 3 3 3 3

1 1 1 1 1

...

3 4 5 12

K

n
     

v i ớ n N n , 3

Bài 36.Cho bi u th c ể ứ

















2 2 2 2

3 5 7 2 1

... , *

1.2 2.3 3.4 1

n

P n N

n n


     



 

 

a) Rút g n ọ P:

b) Tính giá tr c a ị ủ P t i ạ n 99.
Câu 37. C/m:

3 2

24 8 12

a a a

E   

có giá tr nguyên v i ị ớ a là m t s t nhiên ch n.ộ ố ự ẵ

Câu 38. a) Phân tích đa th c thành nhân t : ứ ử

b) Ch ng minh: ứ và là hai s nguyên t cùng nhau.ố ố

c) Ch ng minh: s có d ng ứ ố ạ v i ớ và khơng ph i là s chính phả ố ương.

Câu 39. a) Ch ng minh r ng: ứ ằ chia h t cho 3 v i m i s t nhiên ế ớ ọ ố ự .
b) Tìm các s nguyên ố đ ể là s chính phố ương?

c) Ch ng minh r ng: ứ ằ 21303921 chia h t cho 45 ế

d) Ch ng minh r ng: V i m i s t nhiên n ta có: ứ ằ ớ ọ ố ự 5n226.5n82n159.

3 19 30

x  x
9n 2 12n3



n N



6 4 2 3 2 2

n  n  n  n n N n 1



2n 1 2

 

n 1



A    n

n B n2 n 13

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Câu 40. V i ớ . Hãy ch ng minh các BĐT: ứ

c) .

Câu 41. a) Cho . Tính

b) Cho . Tính theo

Câu 42. Rút g n bi u th c: ọ ể ứ

Câu 43. Gi i các phả ương trình sau:
a)

b)

c) Ta có: (*)

Câu 44. M t đoàn h c sinh t ch c đi tham quan b ng ô tô. N u m i ô tơ ch 22 h c sinh thì cịn ộ ọ ổ ứ ằ ế ỗ ở ọ
th a 1 h c sinh. N u b t đi 1 ô tơ thì có th phân ph i đ u các h c sinh trên các ơ tơ cịn l i. Bi t m iừ ọ ế ớ ể ố ề ọ ạ ế ỗ
ô tô ch ch không đỉ ở ược quá 32 người, h i ban đ u có bao nhiêu ơ tơ và có t t c bao nhiêu h c sinh ỏ ầ ấ ả ọ
đi tham quan?

Câu 45. a) Cho ba s ố khác 0 th a mãn đ ng th c: ỏ ẳ ứ .

Tính giá tr c a bi u th c: ị ủ ể ứ

b) Cho là 2018 s th c tho mãn ố ự ả , v i ớ .
, , 0

a b c 
2
ab bc

b
c  a 
ab bc ca

a b c
c  a  b   

3 3 3 3 3 3

2 2 2

a b b c c a

a b c

ab bc ca

  

    

2 4 1 0

x  x 

4 2

2
1
x x
E

x
 


2 1

x

a
x  x 

4 2 1

x
F

x x


  a



 





 



4 4 4 4

1 4 5 4 9 4 ... 21 4
3 4 7 4 11 4 ... 23 4

P    

   

2 2 3 7 0

x  x  x 

3 2

1
2

x x x

x x

 



1 2 3 4 1 2 3 4

x  x x   x  x  x 

, ,
a b c

a b c a c b b c a

c b a

     

 

1 b 1 c 1 a
P

a b c

     
        
     

1, , ,...,2 3 2018

a a a a





2 1
k

k
a

k k



</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Tính

Câu 46. a) Gi i phả ương trình:

b) Gi i và bi n lu n nghi m c a phả ệ ậ ệ ủ ương trình theo .

Câu 47. a) Tìm đa th c b c ba ứ ậ , bi t r ng khi chia ế ằ cho , cho , cho
đ u d 6 và ề ư

b) Cho đa thức P x( )ax2bx c Biết ( ). P x chia cho x + 1 dư 3, ( )P x chia cho x dư 1 và ( )P x chia 
cho x – 1 dư 5. Tìm các hệ số a, b, c.

c)Cho P x

 

là đa thức bậc 4 với hệ số cao nhất bằng 1.

Biết P



2015



2016; P



2016



2017; P



2017



2018. Tính P



2014



P



2018



.
d) Cho đa thức P x

 

có tính chất





2020
P x

chia hết cho x  . Chứng minh rằng 1





2020
P x

chia hết
cho x2020 .1

Câu 48*. Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn: a + b + c = 1.

Chứng minh rằng: 5a 4 5b 4 5c4 7

Câu 49. a) Chứng minh rằng: Nếu

2 3 4 2 2 3 2 4

x  x y  y  x y a
thì

3 x2 3y2 3a2

b) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn:

a b 2
b c 2



 là số hữu tỉ và a2 b2c2
là
số nguyên tố.

c) Tìm số nguyên tố k để k24 và k216 đồng thời là các số nguyên tố.

d) Chứng minh rằng:









2 a b 2 b c

   

biết a; b; c là ba số thực thoả mãn điều
kiện a = b + 1 = c + 2 ; c > 0

Câu 50. So sánh A và B , bi t:ế





2017

2016 2016

2017 2016

A  

;





2016

2017 2017

2017 2016

B  

Câu 51. Tìm x, y nguyên sao cho x y  18

Câu 52. Chứng minh rằng: 2 3 2013 2014

2 3 4 2014 2015

1 .... 4

2 2 2 2 2

      

2018 1 2 3 ... 2017 2018

S a a a  a a

2 1

2017 2018 2019

x x x

 

  

2 1

m x  x m m

 

P x P x

 



x  1





x  2





x  3







</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Câu 53. Tìm các chữ số a, b sao cho

2 3

( )ab (a b )

Câu 54. Cho các số a, b, x, y thỏa mãn ab ≠ 0, a + b ≠ 0,

4 4

2 2

; 1.

x y

a  b a b   Chứng minh rằng:
a) ay2 bx2

200 200

100 100 100

2
( )

x y

a b  a b

Câu 55. Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab  1, a +b  0 . Tính giá trị của biểu thức:

3 3 3 4 2 2 5

1 1 1 3 1 1 6 1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (a b)

P

a b a b a b a b a b

     

  

Câu 56. Tìm tất cả các số x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình

1 1 1
617
xy 

Câu 57.a) Choa b  29 12 5 2 5  . Tính giá trị của biểu thức:

2( 1) 2( 1) 11 2015

A a a   b b  ab

b) Cho ,x y là hai số thực thỏa mãnxy (1x2)(1y2) 1. Chứng minh rằngx 1y2 y 1x2 0.

Câu 58. a)Tìm các số nguyênk để k4 8k323k2 26k10 là số chính phương.

b) Cho plà số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng
2

p  1 24
.
c) Tìm số tự nhiên nsao cho A n 2n 6 là số chính phương.

d) Chứng minh rằng nếu p và (p+2) là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng của chúng chia hết cho 12.

Câu 59. Tìm số tự nhiên n biết n + S(n) = 2015, với S(n) là tổng các chữ số của n.

Câu 60. a) Giả sử ,a b thay đổi sao cho 4a b  ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1

1
P

ab


.b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a b 2 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 1
P

a b
 

Câu 61.a) Cho bi u th c A = ể ứ 2x - 2 xy + y - 2 x + 3. H i A có giá tr nh nh t hay khơng? Vìỏ ị ỏ ấ
sao?

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Câu 62*. ng d ng h phỨ ụ ệ ương trình đ gi i các phề ả ương trình sau:

a) Gi i phả ương trình:





3 3 3 3

. 35 35 30

x  x x  x 

b) Gi i phả ương trình: x3 1 2. 23 x1

c) Gi i phả ương trình:









2 2

2 3 4 3 2 3 4 4

x  x  x  x  x

d) Tìm nghi m dệ ương c a phủ ương trình:

2 4 9

7 7

28
x
x  x 
e) Gi i phả ương trình: 32 x  1 x1

f) Gi i phả ương trình:





3 2

5 1x 2 x 2

g) Gi i phả ương trình: 32 x4 x1 1
h) Gi i phả ương trình: x24x x13 7

Câu 63. a) Cho a, b là 2 số thực dương. Chứng minh rằng (1a)(1b) 1  ab

b) Cho a, b là 2 số thực dương thỏa mãn a + b = ab.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



 



2 2

1 1

2 2

P a b

a a b b

    

 

Câu 64. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2 1
1

y

x x

 

 với 0 < x < 1

b)Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c ị ớ ấ ủ ể ứ

9
5

x
A

x




c)Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ủ ể ứ

9 2

2
x
B

x x

 

 , v i ớ 0  .x 2

Câu 65. a) Cho x, y > 0. Ch ng minh r ng ứ ằ

1 1 4

xy x y và





1 4

xy  x y

b) Áp d ng: Cho ba s dụ ố ương a, b, c tho mãn a + b + c =1. Ch ng minh r ng ả ứ ằ

1 1
16
ac bc 

Câu 66. a) Cho x; y là hai số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

(x y) (x y)

S

x y xy

 

 

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

P = x + y + z – (xy + yz + zx)

Câu 67. Giải các hệ phương trình sau:

2 2

2 3 2 5(2 ) 0
2 3 15 0

x xy y x y

x xy y

     


   



b) 2

1 9
4 4
x y
y x
y
x y
x x

  




   



c) Giải hệ phương trình

2
2

2(1 ) 9

x y y x

y x x y

  


 



d) Giải hệ phương trình

2 2

3 3

2 10 10
x y

x y x y

  




  



 (I)

e)Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình:

3 3 2

x y z

x y z

 



 

2 2
2 2

( 1)( 1) (1)
)

1 (2)

1 1

x y x y x y

f x y

y x
      

   
 
   
   
 


g) Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình sau:

3 3 3

x y z 3xyz
x 2(y z)

   


 



h) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn

 

2 2 2 10 1

3 4 2 1 2 2 1 3 2
xy y x y

y y x

    



     



Câu 68. a) Cho





2015 2015 2015

2 1 2 ...

A   n

với n là số nguyên dương.
Chứng minh rằng A chia hết cho n(n + 1)

b) Chứng minh bất đẳng thức:

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Câu 69: T ng h p các bài rút g n căn th c hay:ổ ợ ọ ứ
69.1.Cho các số thực dương a, b ; a  b. Chứng minh rằng:

3
3
( )

3 3

( ) 0

a b

b b a a

a ab
a b

b a
a a b b



 




 




69.2.Cho biểu thức

3 2 3 9

1 : ( 0; 4; 9)

9 3 2 6

a a a a a

A a a a

a a a a a

       

         

        

   

a) Rút gọn A.

b) Tìm a để A+ |A|  0

69.3.Cho biểu thức

2 4 2 1 1 2

( ) : (3 )

8 2 1

x x x x

A

x

x x x x

   

   



  

a) Rút gọn A.

b) Tìm giá trị của x để A > 1.

69.4.Cho biểu thức

2 3 5 7 2 3

2 2 1 2 3 2 5 10

x x

A

x x x x x x

   

   

    

  (x > 0, x ≠ 4)

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.

69.5.Cho biểu thức:

2 2 1

( 0; 1)

x x x x x

P x x

x x x x x x

  

    

 

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của thức P khi x  3 2 2

c) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức
7

P chỉ nhận một giá 
trị nguyên.

69.6. Cho biểu thức

2
2

1 1 1 1

a a

P

a a

a a a a

     

       

     

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

69.7.Cho bi u th c ể ứ

2 2

x x x x x x

A

x x x x x x

   

 

   

a) Tìm giá tr c a x đ A có nghĩaị ủ ể
b) Rút g n Aọ

c) Tìm giá tr c a x đ ị ủ ể A 2

69.8. C/m bi u th c sau không ph thu c vào ể ứ ụ ộ x:

3 6

2 3. 7 4 3
9 4 5. 2 5

x
E x

x

  

 

  

69.9.Cho bi u th c ể ứ

1 2

1 :

1 1 1

x x

Q

x x x x x x

   

      

    

   

a) Rút g n ọ Q ;

b) Tìm các giá tr c a ị ủ x sao cho Q  ;1
c) Tìm x Z đ ể Q Z .

69.10.Cho bi u th c: ể ứ





3 3

2 2 2

: 1

3 3 3

x

x x x

R

x

x x x

    



 

     

 

       

 

a) Rút g n R;ọ

b) Tìm các giá tr c a ị ủ x đ ể R   ; 1

c) Tìm các giá tr c a ị ủ x đ giá tr c a bi u th c R nh nh t. Tìm GTNN đó.ể ị ủ ể ứ ỏ ấ

69.11. Cho bi u th c: ể ứ

2
: 1

1 1

x y x y x y xy

P

xy

xy xy

       

     



   

 

a) Rút g n ọ P ;

b) Tính giá tr c a ị ủ P t i ạ

2
2 3
x 

 ; 
c) Tìm GTLN c a ủ P ;

d) So sánh P v i 2.ớ

69.12.Cho bi u th c: ể ứ

2 2

1
1

x x x x

Y

x x x

 

  

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

a)Rút g n ọ Y ;
b)Tìm x đ ể Y  ; 2

c)Gi s ả ử x  . Ch ng minh r ng1 ứ ằ Y Y 0;
d)Tìm GTNN c a ủ Y .

69.13.Cho bi u th c: ể ứ



 



2 3

1 1

x x x x x

K

x x

   

 

 

a) Tìm ĐKXĐ c a ủ K ;
b) Rút g n K;ọ

c) Tìm x đ ể K  .0

69.14. Cho bi u th c ể ứ

 

2
2

2 1

3 4 1
x x
P x

x x
 


 

a) + Tìm t t c các giá tr c a ấ ả ị ủ x đ ể P x

 

xác đ nh. ị

+ Rút g n ọ P x

 

b)Ch ng minh r ng n u ứ ằ ế x  thì 1 P x P

  

. x



0.

</div>

Tài liệu tham khảo Toán học cấp 2

√

17+12

<sub>√</sub>

2+

<sub>√</sub>

17−12

<sub>√</sub>

2

2

=

√

2



 





 













 













 





 

 

 





















 





 





 



(

<i>x</i>



2016)



(

<i>x</i>



2017)



1

(

<i>x</i>

2016)

(

<i>x</i>

2017)

1













