Chuyên đề về bất đẳng thức THCS

Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
A - phần mở đầu
I- Lý do chọn đề tài
1- Cơ sở khoa học:
Nh chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm vững đ-
ợc nội dung toán học và phơng pháp giải toán từ đó học sinh vận dụng vào các
môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên. Hơn nữa toán học còn là cơ sở
của mọi ngành khoa học khác, chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong
nhà trờng phổ thông, nó đòi hỏi ngời thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng
tạo, để tạo ra những phơng pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết các bài
toán.
Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chơng trình toán học từ
tiểu học đến trung học. Việc nắm vững các phơng pháp giải Bất đẳng thức
không những giúp học sinh học tốt bộ môn toán mà còn có tác dụng hỗ trợ cho
nhiều môn học khác nh hoá học, vật lý, tin học. Đặc biệt việc phát triển t duy
sáng tạo cho học sinh từ tiểu học đến trung học. Nhng vấn đề đặt ra cho mỗi
giáo viên toán hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói chung v Bất
đẳng thức nói riêng.
Trong quá trình dạy toán ở THCS, qua kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi
tài liệu nhóm chúng em đã hệ thống đợc một số phơng pháp giải Bất đẳng thức
mà chúng em thiết nghĩ mỗi giáo viên toán cần trang bị cho học sinh có nh vậy
học sinh mới giải đợc toán Bất đẳng thức góp phần phát triển t duy toán học, tạo
điều kiện cho việc học toán ở THCS và học các môn học khác.
2- Cơ sở thực tiễn:
Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó. Nhiều
học sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phơng pháp
giải toán Bất đẳng thức nh thế nào. Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức có
nhiều trong chơng trình THCS, nhng không đợc hệ thống thành những phơng
-1-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
pháp nhất định, gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp, khi giải toán Bất đẳng

thức.
Các bài toàn có liên quan tới Bất đẳng thức hầu nh có mặt ở mọi đề thi kể
cả các đề thi tốt nghiệp tới đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10 THPT.
Đối với các giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy, đặc biệt là bồi d-
ỡng học sinh giỏi thì việc nắm vững phơng pháp Bất đẳng thức sẽ bổ sung kho
kiến thức cho họ.
Đối với học sinh khắc phục đợc những hạn chế trớc đây giúp cho học
sinh có tinh thần tự tin trong học tập bộ môn toán.
II - Mục đích nghiên cứu:
Góp phần quan trọng trong việc giảng dạy toán học nói chung và Bất
đẳng thức nói riêng. Đặc biệt là việc bồi dỡng học sinh giỏi và học sinh thi vào
lớp 10 THPH chuyên.
Giúp học sinh biết phân loại và vận dụng các phơng pháp giải Bất đẳng
thức một cách nhanh chóng và hiệu quả. Phát huy đợc tính tích cực, chủ động
sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập.
III - Ph ơng pháp nghiên cứu:
- Nhóm chia mỗi phơng pháp cho một học viên nghiên cứu và qua thực
nghiệm, rút ra bài học kinh nghiệm của từng phơng pháp.
- Nghiên cứu các phơng pháp giải Bất đẳng thức.
- Thông qua nội dung phơng pháp và các bài tập mẫu nhằm củng cố Lý
thuyết và phát triển trí tuệ cho học sinh.
- Rèn kỹ năng học sinh qua các bài tập đề nghị.
IV - Phạm vi nghiên cứu và sử dụng:
- Các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức ở THCS.
- Bồi dỡng cho giáo viên và học sinh THCS.
B - Những kiến thức cơ bản về Bất đẳng thức
I - Định nghĩa: Cho hai số: a, b ta nói
-2-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
số a lớn hơn số b, ký hiệu là: a > b nếu a - b > 0

số a nhỏ hơn số b, ký hiệu là: a < b nếu a - b < 0
II - Tính chất:
1) a > b

b < a
2) a < b, b < c

a < c (tính chất bắc cầu)
3) a < b

a + c < b + c (tính chất đơn điệu)
4) a < b, c < d

a + c < b +d (Cộng hai vế của một Bất đẳng thức
cùng chiều ta đợc một Bất đẳng thức cùng chiều với chúng)
5) a < b, c > d

a - c < b - d (trừ hai Bất đẳng thức ngựoc chiều ta
đợc một Bất đẳng thức có chiều là chiều của Bất đẳng thức bị trừ)
6) Nhân hai vế của một Bất đẳng thức a < b với cùng một số m a<b



<>
><

0,..
0,..
mmbma
mmbma

7) Nhân hai vế của hai Bất đẳng thức không âm cùng chiều ta đợc
một Bất đẳng thức cùng chiều: 0 <a<b, 0<c<d

a.c<b.d
8) a> b >0

a
n
> b
n;
0>a>b

a
n+1
>b
2n+1
và a
n
<b
2n
9) so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số: m>n>0; a>1

a
m
> a
n;
a
m
< a
n

với
0 < a <1
10) Ngịch đảo hai vế của một Bất đẳng thức ta đợc một Bất đẳng thức
đổi chiều: a

b

ba
11

Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ định nghĩa và các tính chất trớc.
III - Một số Bất đẳng thức cân nhớ:
1) A
2k

0 với mọi A, Dấu"=" xảy ra khi A=0
2)
AA

,0
Dấu "=" xảy ra khi A=0.
3)
AAA

4)
BABA
++
Dấu "=" xảy ra khi A.B

0

-3-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
5)
BABA

Dấu "=" xảy ra khi A.B

0 và
BA


Chú ý:
- Ngoài các Bất đẳng thức trên còn một số các Bất đẳng thức đúng khác mang
tính tổng quát hơn nên khi giải bài tập cần chú ý.
- Khi chứng minh song Bất đẳng thức a

b ta phải xét trờng hợp Dấu = xảy ra
khi nào.
c- các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức
I -Ph ơng pháp 1 : phơng pháp dùng định nghĩa:
(Ngời thực hiện: Nguyễn Mạnh Hởng)
1 -Nội dung ph ơng pháp:
Để chứng minh Bất đẳng thức A>B ta chứng minh Bất đẳng thức A-B >0
2- Kiến thức cần vận dụng
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ đặc biệt là: (A+B)
2
=A+2AB+B
2
- Tổng quát:
jiAjAiAiAi

n
ji
n
i
n
i
<+=

===
;.2)(
2.,1,
2
1
2
1
Các k năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế về các Bất đẳng
thức đúng hay điều kiện đúng của đề bài:
3-Bài tập áp dụng
Bài 1- Chứng minh Bất đẳng thức a
2
+b
2

ab
Giải
Xét hiệu: a
2
+b
2
- ab = (a

2
+
4
1
b
2
-
2
1
.2
ab)+
4
3
b
2
=( a-
2
1
b)
2
+
4
3
b
2

0 đúng với
mọi a, b vì ( a-
2
1

b)
2

0;
4
3
b
2

0 Dấu "=" xảy ra khi (a-
2
1
b)
2
=
4
3
b
2
=0 suy ra
a = b = 0
-4-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh.
Chứng minh tơng tự cho Bài a
2
+b
2

ab

Ta có thể chứng minh cho Bài toán tổng quát: (a
n
)
2
+(b
n
)
2

nn
ba .
Bài 2 - Cho ba số a, b, c thoả mãn 0<a

b

c chứng minh rằng:
b
c
c
a
a
b
a
c
c
b
b
a
++++
Giải

Xét hiệu:
)(
1
222222
acbacbbcabca
abcb
c
c
a
a
b
a
c
c
b
b
a
++=++
)]()()[(
1
222222
acbcbaabcbca
abc
++=
=
abc
1
[c(a-b)(a+b)-ab(a-b)-c
2
(a-b)]=

abc
1
(a-b)[c(a+b)-ab-c
2
]
=
abc
1
(a-b)(b-c)(c-a)

0 (do 0<a

b

c )
Dấu "=" xảy ra khi a=b hoặc b=c hoặc a=c
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh.
Bài 3: Cho a

b

c và x

y

z hãy chứng minh rằng:
22
.
2
byaxyxba

+

++
Giải
Xét hiệu:
22
.
2
byaxyxba
+

++
=
4
1
(ax+ay+by+bx-2ax-2by)
=
4
1
[(ay-ax)+(bx-by)]=
4
1
(x-y)(b-a)

0 ( do x

y và a

b )
Dấu "=" xảy ra khi x=y hoặc a=b

Vậy Bất đẳng thức thực đợc chứng minh
Chứng minh tơng tự ta đợc Bất đẳng thức:
33
.
3
czbyaxzyxcba ++

++++
Bạn đọc có thể tổng quát bài toán.
-5-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Bài 4: Cho a, b, c, d ,e là các số thực chứng minh rằng:
a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2

a(b+c+d +e)
Giải
Xét hiệu: a
2
+b
2
+c

2
+d
2
+e
2
- a(b+c+d +e) = a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
- ab-ac-ad -ae
=
4
1
( 4a
2
+4b
2
+4c
2
+4d
2
+4e
2
- 4ab-4ac-4ad -4ae)

=
4
1
[(a
2
+4b
2
+4ab)+(a
2
+c
2
+4ac)+(a
2
+4d
2
+4ad)+(a
2
+4e
2
+4ae)]
=
4
1
[(a+2b)
2
+(a+2c)
2
+(a+2d)
2
+(a+2e )

2
]

0
Do (a+2b)
2


0 và (a+2c)
2


0 và (a+2d)
2

0 và (a+2e )
2

0
Dấu "=" xảy ra khi b = c = d = e =
2
a
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh.
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh.
Bài 5: Tổng quát bài 4
Cho a
i
i=1,2,..,n là các sổ thực. chứng minh rằng:
Chứng minh tơng tự bài 4
4- Bài tập áp dụng:

Hãy chứng minh các Bất đẳng thức sau:
1/ 4.x
2
+y
2

4xy
2/ x
2
+y
2
+1

xy +x+y
3/ (x+y) (x
3
+y
3
) (x
7
+y
7
)

4(x
11
+y
11
)
4/ x

1996
+y
1996
+z
1996
):( x
1995
+y
1995
+z
1995
)

(x+y+z):3
5/ (a
3
+b
3
+c
3
)

(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
): a,b,c >0
6/ Cho các số dơng a,b,c chứng minh rằng:

a/
cbaabc
cba 111
)(
3
888
++
++
b/
abc
a
bc
c
ab
b
ca
b
ac
a
cb
c
ba
6
333333
+++++
-6-

==

n
i
i
n
i
i
aa
n
a
2
1
1
2
1
2
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
II - Ph ơng pháp 2 : Dùng tính chất của Bất đẳng thức để biến đổi t-
ơng đơng: (Ngời thực hiện: Đào Trung Tuyến)
1) Nội dung ph ơng pháp:
Khi chứng minh một Bất đẳng thức nào đó ta biến đổi Bất đẳng thức cần chứng
minh tơng đơng với một Bất đẳng thức đúng hoặc một Bất đẳng thức đã đợc
chứng minh hoặc điều kiện của đề bài.
2) Kiến thức cơ bản:
Các tính chất của Bất đẳng thức.
Các Bất đẳng thức thờng dùng.
Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức.
Các HĐ thức
3- Bài tập mẫu
Bài 1: Chứng minh rằng:
x

2
+2y
2
+2z
2


2xy +2yz+2z-1 (*)
Giải
(*)

x
2
+2y
2
+2z
2
-2xy -2yz-2z +1

0


(x
2
-2xy+y
2
)+(y
2
-2yz+z
2

)+(z
2
-2z+1)


(x-y)
2
+(y-z)
2
+(z-1)
2

0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi x,y,z
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Vậy Bất đẳng thức dã cho đợc chứng minh.
Bài 2 : Chứng minh Bất đẳng thức:
(a
10
+b
10
) (a
2
+b
2
)

(a
8
+b
8

) (a
4
+b
4
)
Giải
(a
10
+b
10
) (a
2
+b
2
)

(a
8
+b
8
) (a
4
+b
4
)

(a
10
+b
10

) (a
2
+b
2
) - (a
8
+b
8
) (a
4
+b
4
)

0


a
12
+ a
10
b
2
+ a
2
b
10
+ b
12
-a

12
-a
8
b
4
- a
4
b
8
-b
12


0


( a
10
b
2
-a
8
b
4
) +( a
2
b
10
- a
4

b
8


0

a
8
b
2
(a
2
-b
2
) -a
2
b
8
(a
2
-b
2
)

0

a
2
b
2

(a
2
-b
2
)( a
2
-b
2
)(a
4
+a
2
b
2
+b
4
)

0
-7-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS

a
2
b
2
(a
2
-b
2

)
2
(a
4
+a
2
b
2
+b
4
)

0 đúng với mọi a, b
Dấu "=" xảy ra khi a
2
=b2

a=b hoặc a=-b và a=0 hoặc b=0
Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh.
*Nhận xét: Từ kết qủa bài toán trên ta có bài toán tơng tự:
Cho 0

a

b Chứng minh Bất đẳng thức:
(a
5
+b
5
) (a+b)

(a
2
+b
2
) (a
4
+b
4
)
Bài 3 : Chứng minh các Bất đẳng thức
(x-1)(x-3)(x-4 )(x-6)

- 9
a) Cho a

c

0 và b

c chứng minh

)( cac

+
)( cbc

ab

Giải
a) Nhận xét: Ta thấy 3+4=1+6 nên ta nhân (x-1)( x-6) và (x-3)(x-4 )
(x-1)(x-3)(x-4 )(x-6)

- 9 (x-1)( x-6) (x-3)(x-4 )+9

0
(x
2
-7x +6)(x
2
-7x+12)+9

0 (x
2
-7x +6)(x
2
-7x+6+6)+9

0
(x
2
-7x +6)
2
+6(x
2
-7x+6) +9

0 (x
2
-7x +9)
2

0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của x
=> (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6)

- 9
Dấu "=" xảy ra khi x
2
-7x +9 =0 x=
2
137

b )
)( cac

+
)( cbc




ab
(
)( cac

+

)( cbc

)
2

(
ab
)
2
c(a-c)+c(b-c) +2
)( cac

)( cbc



ab
c
2
+2c
)( ca

)( cb

+(a-c)(b-c)

0
( c-
)( ca

)( cb

)
2


0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của a,b,c thoả mãn điều kiện của
đề bài vậy
)( cac

+
)( cbc




ab
với a

c

0 và b

c
Bài 4: Chứng minh Bất đẳng thức:
ab
3
+
cb

3
+
ac
3


4 (
ba
+
1
+
bc
+
1
+
ca
+
1
)
2
. biết a,b,c >0
-8-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Giải
Ta có
ab
1
+
cb
1

+
ac
1
=
abc
cba )(
++
. Do a, b, c >0 và (a+b)(b+c)(c+a)

8abc
=>
ab
1
+
cb
1
+
ac
1



))()((
).(8
accbba
cba
+++
++
Hay
ab

1
+
cb
1
+
ac
1



))()((
)(4)(4)(4
accbba
accbba
+++
+++++

2(
ab
1
+
cb
1
+
ac
1
)

))((
8

cbca
++
+
))((
8
caba
++
+
))((
8
cbba
++
(1)
Trong (1) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Mặt khác ta có (a+b)
2


4ab


ab
1



2
)(
4
ba

+
tơng tự ta có
cb
1



2
)(
4
bc
+
và
ac
1



2
)(
4
ca
+

suy ra
ab
1
+
cb
1

+
ac
1



2
)(
4
ba
+
+
2
)(
4
bc
+
+
2
)(
4
ca
+
(2)
Trong (2) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Từ (1) và (2) Ta có
ab
3
+
cb

3
+
ac
3


4 (
ba
+
1
+
bc
+
1
+
ca
+
1
)
2
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Nhận xét: Để chứng minh Bất đẳng thức nhiều khi ta biến đổi từ một Bất
đẳng thức đúng có dạng tơng tự nh Bất đẳng thức cần chứng minh. Sau đây là
một ví dụ nữa kiểu nh vậy.
Bài 5: Cho 0 < a ,b, c và abc =1 chứng minh Bất đẳng thức sau:
1
1
33
++
ba

+
1
1
33
++
bc
+
1
1
33
++ ca


1
Giải
Do 0

a

b

c => (a-b)
2
(a+b)

0 Dấu "=" xảy ra khi a=b
(a-b)(a+b)(a-b)

0
(a

2
-b
2
)(a-b)

0 a
3
-a
2
b-ab
2
+b
3


0 a
3
+b
3


a
2
b+ab
2
a
3
+b
3
+1

a
2
b+ab
2
+abc a
3
+b
3
+1

(a+b+c)ab
-9-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS

1
1
33
++
ba



)(
1
cbaab
++
=
)( cba
c

++
(do abc= 1 =>
c
ab
=
1
)
suy ra
1
1
33
++
ba



)( cba
c
++
Tơng tự ta có
1
1
33
++
bc



)( cba
a

++
Dấu "=" xảy ra khi b=c
và
1
1
33
++ ca


)( cba
b
++
Dấu "=" xảy ra khi a=c
Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:
1
1
33
++
ba
+
1
1
33
++
bc
+
1
1
33
++ ca

1
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c =1
4 - Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho 0

x,y,z

1 chứng minh:
A) 0

x+y+z -xy-yz-zx

1
B) x
2
+y
2
+z
2


1+x
2
y +y
2
z +z
2
x

C)
1
+
yz
x
+
1
+
xz
y
+
1
+
yx
z


2
Bài 2: Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của tam giác, có chu vi bằng 2. Chứng minh
rằng: a
2
+b
2
+c
2
+2abc < 2
Bài 3: Chứng minh với mọi x, y >
2
ta có:
x

4
- x
3
y +x
2
y
2
-xy
3
+y
4
>x
2
+y
2

Bài 4: Cho a, b ,c là ba số tuỳ ý thuộc đoạn [0,1]. Chứng minh:
1- a
2
+b
2
+c
2


1+ a
2
b +b
2
c +c

2
a
2- 2(a
3
+b
3
+c
3
) -(a
2
b+b
2
c+c
2
a)

3
3-
1
+
bc
a
+
+
+
1ac
b
1
+
ba

c


2
III - Ph ơng pháp 3: Dùng tính chất của tỉ số
(Ngời thực hiện: Đào Thuỷ Chung)
1- Nội dung phơng pháp:
-10-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Khi vận dụng các tính chất của tỷ số thì việc chứng minh Bất đẳng thức trở
nên rất nhanh và gọn.
2- Kiến thức cần vận dụng:
- Với ba số dơng a,b.c
Nếu
b
a


1 Thì
b
a



cb
ca
+
+
Dấu "=" xảy ra khi a=b
Nếu

b
a


1 Thì
b
a



cb
ca
+
+
Dấu "=" xảy ra khi a=b
Nếu b, d >0 và
b
a


d
c



b
a

db
ca
+
+



d
c
Dấu "=" xảy ra khi
ad=bc
3- Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho a,b, c là số đo ba cạnh của tam giác:
Chứng minh rằng:1<
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
<2
Giải
Do a, b, c là ba cạnh của tam giác nên ta có: a, b, c >0 và a+b > c; b+c > a
Và c+a >b.
Từ a+b > c

ba
c
+
< 1


ba
c
+
<
cba
cc
++
+
=
cba
c
++
2



ba
c
+
<
cba
c

++
2
Chứng minh tơng tự ta có:
ca
b
+
<
cba
b
++
2
và
bc
a
+
<
cba
a
++
2
Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc

cb
a
+
+
ca
b
+
+

ab
c
+
<
cba
a
++
2
+
cba
b
++
2
+
cba
c
++
2
= 2
- Ta có
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c

+
>
cba
a
++
+
cba
b
++
+
cba
c
++
=1 Do a, b, c dơng
Vậy 1<
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
< 2 (đpcm)
Nhận xét: ở đây ta đã sử dụng tính chất:
- Với ba số dơng a,b,c
Nếu

b
a


1 Thì
b
a



cb
ca
+
+
Dấu "=" xảy ra khi a=b
-11-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Bài 2: Chứng minh rằng
n
n
bbb
aaa
+++
+++
....
.....
21
21
Nằm giữa giá trị nhỏ nhất và gí trị
lớn nhất của (

1
1
b
a
,
2
2
b
a
, ,
n
n
b
a
) ở đó b
i
là các số dơng i=1,2,..,n
Giải
Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của (
1
1
b
a
,
2
2
b
a
, ,
n

n
b
a
) thứ tự là m và M
Khi đó ta có m


i
i
b
a


M với mọi i=1,2,,n


mb
i

a
i

b
i
.M Do b
i
>0 với mọi i=1,2,,n
Lần lợt cho i+ 1,2,..,n rồi cộng các vế lại với nhau ta đợc:
m( b
1

+b
2
++b
n
) < a
1
+a
2
++a
n
< M( b
1
+b
2
++b
n
)


m <
n
n
bbb
aaa
+++
+++
....
.....
21
21

< M Do ( b
1
+b
2
++b
n
) >0 (đfcm)
Bài 3:
Cho a>0 ,b>0 chứng minh rằng:
2
1
(
1
+
a
a
+
1
+
b
b
) <
1
++
+
ba
ba
<
1
+

a
a
+
1
+
b
b
Giải
Ta chứng minh
2
1
(
1
+
a
a
+
1
+
b
b
) <
1
++
+
ba
ba
Do a > 0 ta có
1
+

a
a
< 1


1
+
a
a
<
1
++
+
ba
ba
Tơng tự ta có:
1
+
b
b
<
1
++
+
ba
ba
Cộng vế với vế của hai Bất đẳng thức cuối ta đợc:
(
1
+

a
a
+
1
+
b
b
) < 2
1
++
+
ba
ba



2
1
(
1
+
a
a
+
1
+
b
b
) <
1

++
+
ba
ba
(1)
*) Ta chứng minh
1
++
+
ba
ba
<
1
+
a
a
+
1
+
b
b
Do a, b dơng ta có
1
+
a
a
>
1
++
ba

a
và
1
+
b
b
>
1
++
ba
a
Cộng vế với vế của hai
Bất đẳng thức này ta đợc:
1
++
+
ba
ba
<
1
+
a
a
+
1
+
b
b
(2)
-12-

Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Từ (1) Và ( 2) Ta đợc:
2
1
(
1
+
a
a
+
1
+
b
b
) <
1
++
+
ba
ba
<
1
+
a
a
+
1
+
b
b

4- Bài tập áp dụng:
Bài 1: Chứng minh rằng
3
2
<
2005...753
2004...642
++++
++++
<
2005
2004
Bài 2: Cho a, b là các số dơng thoả mãn ab =1 chứng minh rằng:

22
1
+
a
+
22
1
+
b
<
ba
ba
++
+
1
<

1
1
+
a
+
1
1
+
b
Bài 3: Cho
y
x

b
a

n
m
chứng minh rằng
y
x

nba
max
20052004
20052004
++
++

n

m
IV - Ph ơng pháp 4 Phơng pháp phản chứng
(Ngời thực hiện: Đỗ Văn Thành)
1- Nội dung phơng pháp
Để chứng minh A

B ta giả sử phản chứng A<B rồi

điều vô lý với giả
thiết hoặc các hằng Bất đẳng thức từ đó khẳng định A

B là đúng.
2- Kiến thức cần nhớ:
Các tính chất của Bất đẳng thức.
Các Bất đẳng thức có sẵn.
Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức.
Các hằng đẳng thức và hằng Bất đẳng thức.
3- Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho 0<a,b,c <1 chứng minh rằng có ít nhất một trong các Bất đẳng
thức sau sai: a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25
Giải
Giả sử cả ba Bất đẳng thức a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 đều
đúng khi đó a(1-b) b (1-c) c(1-a) >0,25
3
(1)
Mặt khác ta có
a(1-a) = a - a
2
= 0,25 -(a
2

-2. a.0,5 + 0.25 ) = 0,25 -( a-0,5 )
2


0,25


a(1-a)

0.25 Tơng tự ta có b(1-b)

0,25 và c(1-c)

0,25
-13-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:
a(1-b) b (1-c) c(1-a) <0,25
3
(2) ta nhận thấy (1) mâu thuẫn với (2) vậy điều
giả sử là sai suy ra: trong các Bất đẳng thức sau: a(1-b) > 0,25; b (1-c)
>0,25; c(1-a) > 0,25 có ít nhất một Bất đẳng thức sai.
Bài 2: Chứng minh rằng không có ba số x,y,z mà có thể thoả mãn đồng thời
ba Bất đẳng thức sau:
x
<
zy

,
zxy

<
,
xyz
<
Giải: Giả sử phản chứng cả ba Bất đẳng thức trên không có Bất đẳng thức
nào sai nghĩa là cả ba Bất đẳng thức đó đều đúng khi đó ta có:
:
x
<
zy



x
2
< (y-z )
2


x
2
-(y-z )
2
<0

(x-y+z)(x+y-z) < 0
Tơng tự ta có (y-x+z)( y+x-z)<0 và (z-y+x)(z+y-x )<0
Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:
[(y-x+z)( y+x-z) (x-y+z)]
2

<0 vô lý.
Vậy không có ba số x,y,z nào thoả mãn đồng thời ba Bất đẳng thức:
x
<
zy

,
zxy
<
,
xyz
<
Bài 3: Cho các số thực a,b,c thoả mãn điều kiện





>
>++
>++
0
0
0
abc
cabcab
cba

Hãy chứng minh rằng: a,b,c > 0 (*)
Giải: Giả sử (*) không đúng

có ít nhất một trong các số a,b,c phải

0
Không mất tình tổng quát giả sử a

0. do abc >0

bc <0
Xét trờng hợp a

0 b>0 c<0

a+c<0
từ gỉa thiết ta có b >-a-c

b(a+c) < -(a+c)
2

ac + b(a+c) < ac-(a+c)
2

ac + b(a+c) < -(-ac+a
2
+c
2
)

ac +ba +bc < -(a-0.5c)
2

- 0.75c
2

0

Trái giả thiết ab +bc +ca >0
Tơng tự đồi với trờng hợp A

0 b<0 ,c>0 ta cũng

điều vô lí.
Vậy (*) đợc chứng minh.
Bài 4: Chứng minh rằng: Tổng của một phân số dơng với nghịch đảo của
nó không nhỏ hơn 2.
-14-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Giải:
Giả sử phản chứng
b
a
>0 ta có
b
a
+
a
b
< 2


b

a
+
a
b
- 2 <0

ba
abba 2
22
+
<0


ab
ba
2
)(
+
< 0 Điêù này là vô lý


b
a
+
a
b

2
Vậy Tổng của một phân số dơng với nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2.
4-Bài Tập áp dụng:

Bài1 Cho ba số dơng nhỏ hơn 2 a,b,c: chứng minh rằng ít nhất một
trong các Bất đẳng thức sau là sai: a(2-b)>1; b(2-c) >1; c(2-a)>1
Bài 2 Cho a,b,c là ba số dơng thoả mãn abc =1 chứng minh rằng:
S=(a-1 +b
-1
)( b-1+c
-1
)(c-1+a
-1
)

1
Bài 3 Cho a+b+2cd chứng minh rằng ít nhất một Bất đẳng thức sau
đúng:
c
2
> a: d
2
> b
Bài 4: Cho a,b,c,x,y,z là các số thực thoả mãn:



<
>
04)1(
0
2
acb
a

Chứng minh rằng trong các Bất đẳng thức sau có ít nhất một Bất đẳng thức
sai
ax
2
+bx +c

y ; ay
2
+by +c

z ; az
2
+ bz +c

x
V- Ph ơng pháp 5: Phơng pháp quy nạp;
(Ngời thực hiện: Nguyễn Văn Thành)
1) Nội dung phơng pháp;
Có rất nhiều các Bất đẳng thức mà bằng các cách chứng minh thông thờng
thì không thể chứng minh đợc. Thờng các Bất đẳng thức đó có dạng dãy số
hoặc những Bất đẳng thức tổng quát. Thông thờng để chứng minh các Bất
đẳng thức kiểu nh vậy ta dùng phơng pháp quy nạp.
-15-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Để chứng minh một Bất đẳng thức đúng với mọi n ,bằng phơng quy nạp
chứng ta thực hiện các bớc sau;
Bớc 1 Kiểm tra xem Bất đẳng thức đúng với

n
0

nào đo ( thông thờng ta
chọn n
0
=0 hoặc 1)
Bớc 2 Giả sử Bất đẳng thức đúng với

k
Bớc 3 ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với

k+1
Bớc 4 Kết luận Bất đẳng thức đúng với mọi
2- Kiến thức cần vân dụng:
Các tình chất của Bất đẳng thức:
Kỹ năng biến đổi đẳng thức và Bất đẳng thức.
3 Bài tập mẫu:
Bài 1: Chứng minh rằng:
a) [(a+b):2]
n


(a
n
+b
n
):2 với a+b

0 và N

n
b)

daun
aaa
,
.....
+++
<
2
141
++
a
a

0
Giải
a) +) Với n =1 ta có (a+b):2

(a+b):2 đúng
+) Giả sử Bất đẳng thức đúng với n=k tức là [(a+b):2]
k


(a
k
+b
k
):2
+) Ta chừng minh Bất đẳng thức đúng với n =k+1 Tức là:
[(a+b):2]
K+1

(a
k+1
+b
k+1
):2 Thật vậy:
xét [(a+b):2]
K+1
=[(a+b):2]
K
[(a+b):2]

[(a
k
+b
k
):2][ (a+b):2]
Ta chứng minh
(a
k
+b
k
) (a+b)

2(a
k+1
+b
k+1
)

a
k+1
+b
k+1
+a
k
b+ab
k

2(a
k+1
+b
k+1
)

a
k+1
+b
k+1
-a
k b
b - ab
k

0

(a-b)( a
k
- b

k
)

0 *
Nếu a,b

0 thì * đúng.
Nếu a

0

b

a-b

0
mà a+b

0 (gt)

a

-b

a


b

a
k

b
k
a
k
- b
k

0

* đúng
Chứng minh tơng tự cho trờng hợp a

0

b ta đợc * đúng
-16-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Do a+b

0 nên a, b không cùng <0.
Vậy * đúng với mọi a,b thoả mãn điều kiện của đề bài.
+) Vậy Bất đẳng thức [(a+b):2]
n


(a
n

+b
n
):2 với a+b

0 và N

n
đợc chứng minh.
b) + Với

1 Bất đẳng thức trở thành
a
<
2
141
++
a


2
a
<
141
++
a

Ta có:
141
++
a

>1 +2
a
>2
a
đúng

a
+ Giả sử Bất đẳng thức đúng với

k tức là:


dauk
aaa
,
.....
+++
<
2
141
++
a
a

0
+ Ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với

k+1 tức là

dauk

aaa
),1(
.....
++
+++
<
2
141
++
a
a

0
Đặt x
n
=

daun
aaa
,
.....
+++


x
k
=

dauk
aaa

,
.....
+++
x
k+1
=

dauk
aaa
),1(
.....
++
+++
=
k
xa
+

Ta chứng minh
k
xa
+
<
2
141
++
a
a

0

(
k
xa
+
)
2
< (
2
141
++
a
)
2

a+x
k
<
4
14242
+++
aa


4x
k
<2=
142
+
a

x
k
<
2
141
++
a

Đúng do giả thiết quy nạp

Bất đẳng thức đúng với n = k+1.
+ Vậy

daun
aaa
,
.....
+++
<
2
141
++
a
a

0
Bài 2: cho tan giác vuông a,b là độ dài ba cạnh góc vuông, c là độ dài cậnh
huyền của tam giác đó chứng minh rằng:

b
2n
+a
2n


c
2n
Giải:
+ Với

1 theo định lí Pithago ta có b
2
+a
2
= c
2
Bất đẳng thức đúng.
+ Giả sử Bất đẳng thức đúng với

k tức là b
2k
+a
2k


c
2k
+ Ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với n = k+1 hay: b
2(k+1)

+a
2(k+1)


c
2(k+1)
-17-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Thật vậy: Ta có c
2(k+1)
= c
2k+2
=c
2k
. c
2


(a
2k
+b
2k
)(a
2
+b
2
) =a
2k+2
+ a
2k

. b
2
+b
2k
a
2
+b
2k+2


a
2k+2
+ b
2k+2


b
2(k+1)
+a
2(k+1)


c
2(k+1)
(đfcm)
Vậy cho tan giác vuông a,b là độ dài ba cạnh góc vuông, c là độ dài cậnh huyền
của tam giác đó ta có; b
2n
+a
2n

c
2n
Bài 3 cho m,n là các số nguyên dơng. Chứng minh rằng trong các số
n
m
,
m
n
có ít nhất một số không vợt quá
3
3
Giải:
Trớc hết ta chứng minh 3
n

n
3
*

n, Z
+


n bằng quy nạp.
+ Với n =1: ta có 3

1 * đúng
+ Với n =2: ta có 9

8 * đúng
+ Với n =3: ta có 27

27 * đúng
+ Với n = 4: ta có 81

64 * đúng
Giả sử Bất đẳng thức * đúng với n =k

4 tức là 3
k


k
3
Ta chứng minh Bất đẳng thức * đúng với n =k+1 tức là 3
k+1

(k+1)
3
Thật vậy: Ta có 3
k+1
= 3. 3
k

3 k
3
=k
3

+3k
2
+ 3k +1 +k
3
-3k
2
+k
3
-3k -1 =
=(k+1)
3
+k
2
(k-3) +k(k
2
-3) -1 > (k+1)
3
do k

4 nên k
2
(k-3) +k(k
2
-3) >1

3
k+1
> (k+1)
3

Bất đẳng thức * đúng với n = k+1
Vậy 3
n

n
3

n, Z
+


n


n
n
3
3



n
n
3
3



3

3



n
n


n, Z
+


n
- Với m là số tự nhiên
- Nếu m

n


n
m



n
n



n

m



3
3
- Nếu m

n


m
m



m
n



m
n



3
3
Vậy với m,n là các số nguyên dơng trong các số
n

m
,
m
n
có ít nhất một số
không vợt quá
3
3
.
4- Bài tập áp dụng:
Bài 1: a) Chứng minh rằng với n

3 ta có 2
n
>2n +1
b) Chứng minh 1.2.3.n < 2
-n.
(n+1

)n
c)

n

1, Chứng minh:
-18-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
d) 1+
212
1

........
3
1
2
1
++++
n
n
Bài 2: Chứng minh các Bất đẳng thức sau:
a) 2
n+2
>2n+5

n

1, N

n
b) [(n+1)!]
n


2!.4!.(2n)!

n , N
*


n
c) (2n)! < 2

2n
(n!)
2


n , N
*


n
VI-Ph ơng pháp 6 Dùng Bất đẳng thức trong tam giác:
(Ngời thực hiện: Nguyễn Quang Hiền)
1- Nội dung phơng pháp
Nhiều Bất đẳng thức mà các yếu tố có liên quan tới cả số và cả hình
nên khi giải Bất đẳng thức đó ngoài việc vận dụng các tính chất của
Bất đẳng thức ta phải sử dụng cả các tính chất khác trong hình học đặc
biệt là Bất đẳng thức trong tam giác.
2- Các kiến thức cần vận dụng:
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì ta có
- a, b, c >0
- |a-c| < b <a+c ; |b-c| < a <b+c và |c-a| < b < a+c
- Một số quan hệ khác trong tam giác:
3- Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh trong một tam giác chứng minh rằng
(a+b+c)
2


9bc. Biết a

b

c
Giải:
Ta có a+b+c

2b+c do a

b Ta đi chứng minh (2b+c)
2


9bc (1)
(1)

4b
2
+ 4 bc + c
2

9bc

4b
2
- 5 bc + c
2

0

4b

2
-4bc -bc+ c
2

0


4b(b-c) -c(b-c)

0

( b-c)(4b-c)

0 (2)
ta thấy b

c

b-c

0 và 4b-c

a+b-c +2b

0

(2) đúng
Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh.
Bài 2: cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác hãy chứng minh rằng:
-19-