PHÂN PHỐI CHUẨN ppt _ XÁC SUẤT THỐNG KÊ

2
PHÂN PHỐI CHUẨN N(µ, σ )

1


Phõn phi chun N(à, 2)

ã

Bin ngu nhiờn X gi l có phân phối chuẩn với tham số µ và σ2 nếu
hàm mật độ của nó có dạng:

1
f
(
x
)
=
e
2
• Ký hiệu: X ~ N(µ, σ )
σ 2π

2
x−µ )
(
−

2σ 2

2


Đồ thị hàm mật độ

1
f ( x) =
e
σ 2π

σ

2
x−µ )
(
−

2σ 2

σ
µ +σ
µ
Med
Mod
3


Tính chất

•

•
•
•
•
•
•

Đồ thị dạng hình chng (bell shaped); có 2 điểm uốn tại µ±σ
Đồ thị đối xứng quanh µ
Diện tích dưới đường cong chuẩn là 1
Đường cong nằm hoàn toàn trên Ox
Giới hạn tại 2 đuôi là 0
Đạt giá trị cực đại tại x= µ
Hình dạng của đồ thị phụ thuộc µ và σ

4


Định lý
Nế
u X ~ N ( µ , σ 2 ) thỡ:

ã
ã
ã
ã

i) E ( X ) = à

Var ( X ) = σ 2

ii ) ModX = µ

MedX = µ

68.26% nằm trong khoảng (µ-σ; µ+σ)
95.44% nằm trong khoảng (µ-2σ; µ+2σ)
99.73% nằm trong khoảng (µ-3σ; µ+3σ).
99.99% nằm trong khoảng (µ-4σ; µ+4σ).

5


Các bnn có pp chuẩn

•
•
•
•
•

Trọng lượng, chiều cao của một nhóm người
Lãi suất của một cơng ty
Nhu cầu tiêu thụ một mặt hàng nào đó
…..
Nếu bnn X là tổng của n bnn độc lập và giá trị của các bnn này chỉ chiếm vai trị nhỏ
trong X thì X có phân phối chuẩn khi n đủ lớn. (theo định lý Giới hạn trung tâm)

6

Ví dụ về bnn có pp chuẩn

7


Ví dụ về bnn có pp chuẩn

8


Ví dụ

9


Xác suất của bnn pp chuẩn

•
•
•
•

Cho X là bnn về chỉ số IQ của người VN
2
Giả sử X~N(100; 16 ).
Tìm xác suất chọn nn một người VN thì người đó có IQ dưới 90.
Tìm tỷ lệ người VN có IQ dưới 90

10

Xác suất của bnn pp chuẩn

•

Xác suất cần tìm:

1
P ( X < 90 ) =
16 2π

90

∫e

−

1 ( x −100 )
2

162

2

dx = ???

−∞

11

nh lý

Neỏ
u X ~ N ( à ,

ã

2

)

X à
thỡ: Z =
~ N ( 0,1) .
σ

Phân phối N(0;1) gọi là phân phối chuẩn tắc.

a−µ X −µ b−µ 
P ( a < X < b) = P 
<
<
= P ( a ′ < Z < b′ )
÷
σ
σ 
 σ

12


Xỏc sut N(à, 2)

ã

2
Ta tỡm xs ca X ~ N(à, σ ) thơng qua N(0;1)

a−µ X −µ b−µ 
P ( a < X < b) = P 
<
<
= P ( a < Z < b )
ữ




ã

Vi:

Z : N ( 0;1)
13


Phân phối chuẩn tắc Z~N(0;1)

•

Hàm mật độ của Z~N(0;1) :

1
f ( x) =
e
2π
•

x2
−
2

= ϕ ( x)

Hàm phân phối của Z:

1
F ( x) =
2π

x

t2
−
2

e
dt

=
0,5
+
φ
x
(
)
∫

−∞

14


Tích phân Laplace

•

Cơng thức

•

Vậy:

•

Với:

1
φ ( x) =

2π

x

∫e
0

t2
−
2

x

dt = ∫ ϕ ( t ) dt
0

φ ( x ) = P ( 0 ≤ Z ≤ x ) , ∀x > 0

Z : N ( 0;1)
15


Tính chất của hàm φ(x)

i ) φ ( − x ) = −φ ( x )
ii ) φ ( −∞ ) = −0,5

φ ( +∞ ) = +0,5

iii ) P ( a < Z < b ) = φ ( b ) − φ ( a )

φ ( x)

x
16


Cách dùng bảng Lapalce

φ ( 0,94 ) = 0,3264

φ ( a ) = 0, 2611 ⇒ a = ???
17


Xác suất của N(μ;σ2)

b−µ  a−µ 
1. P ( a < X < b ) = φ 
÷− φ 
÷
 σ   σ 
a−µ 
a−µ 
2. P ( X > a ) = φ ( +∞ ) − φ
ữ = 0,5
ữ


bà

bà
b ) Laplace
= dũ trongữbng
Ph
( Xtớch(
lc)2.= 0,5 +
ã 3.Giỏ trPca
ữ


trờn cn
dưới.


• Xác định cậnchuẩn hóacận

18


Tính chất pp chuẩn

•

Nếu a, b là các số thực thỡ:

ã

Xtuyn
: Ntớnhàca

;cỏc bnn
c
Z=
+ bphi
: Nchun
a àl +
b;bnna
T hp
lpaX
cú phõn
mt
cng cú pp
chuẩn.

(

2

)

(

(

)

2

)

X 1 : N ( µ1 ;σ 12 ) 
⇒ Z = aX 1 + bX 2 : N ( ?;? )

X 2 : N ( µ 2 ;σ 22 ) 
19


Ví dụ

•

Cho X~N(3,1) và Y~N(4,2) độc lập. Tìm các xác suất:

a. X > Y
b. X > 2Y

20


Ví dụ 1

1.

Cho X là bnn có phân phối chuẩn với E(X)=10 và P(10P(0
2.

Giả sử thời gian khách phải chờ để được phục vụ tại một cửa hàng là bnn X, biết
X~N(4,5; 1,21)

a) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 đến 5 phút?
b) Tìm t biết xác suất khách phải chờ không quá t là không quá 5%?

21


Ví dụ 2

•

Tuổi thọ một loại máy lạnh A là bnn X có phân phối N(10; 6,25). Khi bán một máy
thì lời 1,4 triệu đồng nhưng nếu máy lạnh phải bảo hành thì lỗ 1,8 triệu đồng. Vậy
để có tiền lãi trung bình khi bán loại máy lạnh này là 0,9 triệu đồng thì cần qui định
thời gian bảo hành là bao lâu?

22


Xấp xỉ pp chuẩn

X ~ B ( n, p )

np ≥ 5; nq ≥ 5

n ≥ 30
0,1 < p < 0,9

npq ≥ 20

X ~ N ( µ ,σ

n rất lớn
0,1
2

µ = E ( X ) = np
σ = V ( X ) = npq
2

23

)


Ví dụ 6

•

Trọng lượng các viên thuốc có phân phối chuẩn với kỳ vọng 250mg và phương sai
81 mg2. Thuốc được đóng thành vỉ, mỗi vỉ 10 viên. Một vỉ được gọi là đúng tiêu
chuẩn khi có trọng lượng từ 2490 mg đến 2510 mg (đã trừ bao bì). Lấy ngẫu nhiên
100 vỉ để kiểm tra. Tính xác suất:

•
•

A. Có 80 vỉ đạt tiêu chuẩn.
B. Có từ 70 vỉ trở lên đạt tiêu chuẩn.

24


Ví dụ 7

•
•
•
•

Khảo sát một lơ thuốc viên, trọng lượng trung bình của một viên thuốc là 252,6 mg
và có độ lệch chuẩn 4,2 mg. Giả sử trọng lượng pp theo quy luật chuẩn.
A. Tính tỷ lệ viên thuốc có trọng lượng lớn hơn 260 mg.
B. Tính trọng lượng x0 sao cho 30% viên thuốc nhẹ hơn x0.
C. Viên thuốc đạt tiêu chuẩn phải có trọng lượng xung quanh trung bình với độ
lệch tối đa 5%. Tính tỷ lệ viên thuốc đúng tiêu chuẩn của lô thuốc được khảo sát.

25