BIẾN NGẪU NHIÊN một CHIỀU ppt _ XÁC SUẤT THỐNG KÊ

CHƯƠNG 2

BIẾN NGẪU NHIÊN
MỘT CHIỀU

1


Định nghĩa

•

Biến ngẫu nhiên X là đại lượng nhận giá trị nào đó phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu
nhiên.

•
•
•

Ký hiệu: chữ hoa X, Y, Z …
Giá trị của bnn: chữ thường x, y, z, …
Với mọi số thực x ta có {X
2


Ví dụ 1

•
•
•

X: Lượng khách vào một cửa hàng trong ngày
Y: Tuổi thọ của iphone 6
Trả ngẫu nhiên 3 mũ bảo hiểm cho 3 người. Gọi Z: số mũ bảo hiểm được trả đúng
người

•
•

T: Số sản phẩm hỏng trong 100 sản phẩm mới nhập về
U: Chiều cao của một sinh viên gọi ngẫu nhiên trong lớp này

3


Ví dụ 2

•

Tung một đồng xu. Ta có các biến cố sau:

– Đồng xu ngửa : “N”
– Đồng xu sấp: “S”
Đặt

0
X là=cácbiến cố.
Lưu ý: “X=1” hay “X=0”
1
Khi đó X là một biến ngẫu nhiên.

neu Sap
neu Ngua

4


Ví dụ 3

•

Hộp có 6 viên bi gồm 4 trắng và 2 vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Đặt Y là số
viên bi vàng có trong 2 viên lấy ra.

•
•

•

Khi đó Y cũng là biến ngẫu nhiên.
Ta có:

Y ∈ { 0;1; 2}
“Y=0”, “Y=1”, “Y<2” là các biến cố nào???

5


Phân loại bnn
Bnn X

Rời rạc

Liên tục

Có hữu hạn giá trị

Giá trị lấp đầy một hay vài khoảng

Có vơ hạn đếm được giá trị

hữu hạn hoặc vô hạn
P(X=a)=0 với mọi a

6


Hai biến ngẫu nhiên độc lập

•

Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập nếu hai biến cố:

•

Độc lập nhau với mọi giá trị của x, y.

•

Nói cách khác các biến cố liên quan đến hai biến ngẫu nhiên X, Y luôn độc lập

( X < x)

( Y < y)

nhau.

7


Luật phân phối xác suất

•
•

Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên và xác suất tương
ứng.

– Xác suất để bnn nhận một giá trị bất kì
– Xác suất để bnn nhận giá trị trong một khoảng bất kì

Dạng thường gặp: cơng thức, bảng ppxs, hàm ppxs, hàm mật độ

8


Hàm ppxs

•

•

Hàm phân phối xác suất hay hàm phân bố, ký hiệu F(x), định nghĩa như sau:

Hay

F ( x) = P ( X < x )

F (t ) = P ( X < t )

9


Hàm ppxs

•
•
•

Là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x, x là một giá trị bất kì.
Cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bên trái số x.
Xác suất X thuộc [a,b)

P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a )

10


Tính chất

11


Hàm ppxs

12


Cơng thức ppxs

Ví dụ 1. Một người nhắm bắn một mục tiêu cho đến khi nào bắn trúng một phát thì
thơi (số phát bắn khơng hạn chế). Xác suất bắn trúng của mỗi phát đều bằng p. Tìm
qui luật ppxs của số viên đạn được sử dụng

13


Bảng ppxs

•

Ví dụ 2. Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm đạt loại A. Lấy ngẫu
nhiên 2 sản phẩm. Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại A lấy ra?

14


Bảng ppxs

•

•
•
•

Bảng phân phối xác suất của X.
X

x1

….

x2

….

xn

P

p1

….

p2

….

pn

xi : giá trị có thể có của bnn X
pi : xác suất tương ứng; pi=P(X=xi).
Chú ý:

n

∑p
i =1

i

=1
15


Hàm khối xác suất

•

Probability mass function

f ( x) = P ( X = x)
•

Tính chất:

•
•

i) f ( x ) > 0

Dạng bảng
Dạng đồ thị

ii ) ∑ f ( x ) = 1
x

iii ) P ( A ) = ∑ f ( x )
x∈A

16


Bảng ppxs
Ví dụ. Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 4 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Kiện 2 có 6 sản phẩm
tốt, 4 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm và từ kiện 2 ra 1 sản
phẩm.

a)
b)

Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra?
Xác định hàm ppxs tương ứng

17


Hàm ppxs

•

Cho X là bnn rời rạc có tập giá trị được sắp

x1 < x2 < x3 < ....
•

Khi đó:

và

P ( X = xi ) = pi

, x ≤ x1
0
p
,
x
<
x
≤
x
1
1
2

F ( x ) =  p1 + p2
, x2 < x ≤ x3
...............................

 p1 + ... + pk −1 , xk −1 < x ≤ xk

18


Biến ngẫu nhiên liên tục

•
•

Cho X là bnn liên tục
Ta có:

i ) P( X = a ) = 0,

∀a

ii ) P ( a < X ≤ b ) = P ( a < X < b ) + P ( X = b ) = P ( a < X ≤ b )

•
•

Để thể hiện xác suất ta sử dụng hàm số.
Hàm mật độ xác suất hay mật độ xác suất

19


Hàm mật độ xác suất

•

Giả sử bnn liên tục X có hàm ppxs F(x). Nếu tồn tại hàm f(x) sao cho:

F ( x) =

•
•

x

∫ f ( t ) dt

, ∀x ∈ R

−∞
Thì f(x) gọi là hàm mật độ của bnn X

Viết tắt là: PDF (prob. density function)

20


Hàm mật độ xác suất

•

Nếu X liên tục thì:

f ( x)

F ( x)

x
21


Tính chất

i)

f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ R
+∞

ii )

∫ f ( x ) dx = 1

−∞

b
iv) Tại những điểm mà f(x) liên tục ta có:

iii ) P ( a < X < b ) = ∫ f ( x ) dx
a

F '( x ) = f ( x )
22


Hàm mật độ xác suất
Hàm mật độ xác suất f(x) thỏa mãn 2

điều kiện:

i) f ( x ) ≥ 0

, ∀x ∈ R

+∞

ii ) ∫ f ( x ) dx = 1
−∞

23


Hàm mật độ xác suất

24


Ví dụ

•

Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất

 kx2 2
,1 < x < 2
kx
f ( x) =  3
( 1 < x < 2)

30 , x ∉ ( 1, 2 )


•
•

A) Tìm k để f(x) là hàm mật độ xác suất
B) Tính xác suất P(1
25