Khóa luận tốt nghiệp toán học: Nghiên cứu một số tính chất của biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất

Mục lục
Mở đầu 3
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 σ- đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Độ đo trên đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Hàm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Độ đo trên đại số các tập hợp . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3 Các tính chất cơ bản của độ đo . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Mở rộng độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Thác triển độ đo từ một đại số lên một σ- đại số . . 9
1.5 Độ đo Lebesgue trên đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.1 Định nghĩa và các điều kiện tương đương . . . . . . . 11
1.6.2 Các phép toán đối với hàm đo được . . . . . . . . . . 12
1.6.3 Cấu trúc của hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Độ đo hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Hàm số Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8.1 σ- đại số Borel trong R . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8.2 Hàm số Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9 Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9.1 Tích phân của hàm đơn giản không âm . . . . . . . . 17
1.9.2 Tích phân của hàm đo được không âm . . . . . . . . 19
1
1.9.3 Tích phân của hàm đo được giá trị phức . . . . . . . 20
2 Không gian xác suất và biến ngẫu nhiên 21
2.1 Định nghĩa không gian xác suất và biến ngẫu nhiên . . . . . . 21
2.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . 21
2.3 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Sự độc lập của các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 Sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6.1 Hội tụ hầu chắc chắn . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6.2 Hội tụ theo xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Kết luận 46
Tài liệu tham khảo 47
2
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích là một trong những ngành quan trọng nhất của Toán học và
mang nhiều ứng dụng trong thực tế cuộc sống.
Trong hoạt động thực tiễn, con người bắt buộc phải tiếp xúc với các hiện
tượng ngẫu nhiên mà không thể dự đoán trước được. Tuy nhiên con người
có thể nghiên cứu và hệ thống hóa các hiện tượng ngẫu nhiên để rút ra các
quy luật ngẫu nhiên và biểu diễn chúng bằng các mô hình Toán học. Từ đó
một lĩnh vực của Toán học mang tên là "Lý thuyết xác suất" đã ra đời nhằm
nghiên cứu các quy luật và quy tắc tính toán các hiện tượng ngẫu nhiên.
Lý thuyết xác suất ra đời vào nửa cuối thế kỷ XVII. Một số nhà Toán học
như Huygens, Bernoulli, De Moivre là những người có công đầu tiên tạo nên
cơ sở Toán học của Lý thuyết xác suất.
Chebyshev(1821 - 1894), Borel(1871 - 1956), Kolmogorov(1903 - 1987),
đã có nhiều đóng góp to lớn cho sự phát triển của Lý thuyết xác suất.
Ngày nay Lý thuyết xác suất đã trở thành một ngành Toán học lớn, chiếm
vị trí quan trọng cả về lý thuyết lẫn ứng dụng. Nó được ứng dụng rộng rãi
trong nhiều ngành Khoa học kĩ thuật, Khoa học xã hội và Nhân văn. Từ đó
Giải tích hiện đại trở thành một công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu các
vấn đề của Lý thuyết xác suất.
Để tìm hiểu sâu hơn một số vấn đề về xác suất trong Giải tích hiện đại,
em đã chọn đề tài: "Nghiên cứu một số tính chất của biến ngẫu nhiên và
hàm phân phối xác suất" làm khóa luận tốt nghiệp của mình.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
- Trình bày một số tính chất của biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác
suất, từ đó nhằm cung cấp tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên ngành
Toán trường Đại học Tây Bắc.
- Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân.
3
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về đại số và σ- đại số, độ đo trên
đại số tập hợp, mở rộng độ đo, độ đo Lebesgue trên đường thẳng, hàm đo
được, độ đo hữu hạn, hàm số Borel, tích phân. Từ đó làm cơ sở hình thành
nên một số khái niệm và tính chất cơ bản trong xác suất.
- Nghiên cứu một số tính chất của biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác
suất.
3. Phạm vi nghiên cứu
Trong khuôn khổ của khóa luận chỉ nghiên cứu về một số tính chất của
biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức.
- Trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hướng dẫn, qua đó tổng hợp
kiến thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hoàn
thành khóa luận.
5. Những đóng góp của khóa luận
Khóa luận đã tổng hợp và nghiên cứu cơ bản đầy đủ một số tính chất của
biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất.
6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận được chia thành 2 chương với những nội dung chính sau đây:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị: Trình bày, hệ thống hóa một số kiến thức
cơ bản về đại số và σ- đại số, độ đo trên đại số tập hợp, mở rộng độ đo, độ
đo Lebesgue trên đường thẳng, hàm đo được, độ đo hữu hạn, hàm số Borel,

tích phân. Các nội dung kiến thức chỉ phát biểu mà không chứng minh.
Chương 2. Không gian xác suất và biến ngẫu nhiên: Trình bày định
nghĩa không gian xác suất, biến ngẫu nhiên; tìm hiểu về hàm phân phối xác
suất, kỳ vọng và hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên, nghiên cứu về sự độc
lập và sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên.
4
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về đại số và σ- đại số, độ
đo trên đại số tập hợp, mở rộng độ đo, độ đo Lebesgue trên đường thẳng,
hàm đo được, độ đo hữu hạn, hàm số Borel, tích phân.
1.1 Đại số tập hợp
Định nghĩa 1.1. Cho X là tập tùy ý khác rỗng. Ta gọi một họ C các tập
con của X là một đại số trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:
a) X ∈ C,
b) Nếu A ∈ C thì CA ∈ C,
c) Nếu A, B ∈ C thì A ∪B ∈ C.
Bổ đề 1.2. C là một đại số các tập con của X nếu và chỉ nếu C thỏa mãn
các điều kiện sau:
a) X ∈ C,
b) Nếu A ∈ C thì CA ∈ C,
c’) Nếu A, B ∈ C thì A ∩ B ∈ C.
Nhận xét 1.3. Nếu C là một đại số thì C chứa X và đóng kín đối với các
phép toán hữu hạn về tập hợp (phép hợp và giao hữu hạn, phép lấy hiệu,
hiệu đối xứng).
Nếu {A
n
}
n∈N
∗

⊂ C là dãy các tập tùy ý trong đại số C thì tồn tại dãy các
tập rời nhau {B
n
}
n∈N
∗
⊂ C sao cho B
n
⊂ A
n
, (∀n ∈ N
∗
) và
∞

n=1
B
n
=
∞

n=1
A
n
.
5
Bổ đề 1.4. Giao của một họ tùy ý các đại số các tập con của X là một đại
số các tập con của X.
Cho A là một họ tùy ý các tập con của X. Bao giờ cũng tồn tại một đại
số các tập con của X chứa A, chẳng hạn đại số P(X) tất cả các tập con của

X. Kí hiệu C(A) là giao của tất cả các đại số các tập con của X chứa A, khi
đó C(A) là một đại số gọi là đại số các tập con của X sinh bởi A.
1.2 σ- đại số tập hợp
Định nghĩa 1.5. Cho X là một tập tùy ý khác rỗng. Một họ F các tập con
của X được gọi là một σ- đại số trên X nếu thỏa mãn các điều kiện:
a) X ∈ F,
b) Nếu A ∈ F thì CA ∈ F,
c) Nếu {A
n
}
n∈N
∗
⊂ F thì
∞

n=1
A
n
∈ F.
Bổ đề 1.6. F là một σ- đại số các tập con của X nếu và chỉ nếu F thỏa
mãn các điều kiện sau:
a) X ∈ F,
b) Nếu A ∈ F thì CA ∈ F,
c) Nếu {A
n
}
n∈N
∗
⊂ F thì
∞


n=1
A
n
∈ F.
Bổ đề 1.7. Giao của một họ tùy ý các σ- đại số các tập con của X là một
σ- đại số các tập con của X.
Cho A là một họ tùy ý các tập con của X. Kí hiệu F(A) là giao của tất
cả các σ- đại số các tập con của X chứa A, khi đó F(A) là một σ- đại số
gọi là σ- đại số các tập con của X sinh bởi A.
1.3 Độ đo trên đại số tập hợp
1.3.1 Hàm tập hợp
Định nghĩa 1.8. Cho X là tập tùy ý và C là họ các tập con của X chứa tập
∅. Ta gọi một hàm µ xác định trên C nhận giá trị trên R = R ∪{−∞; +∞}
6
là một hàm tập hợp. Chúng ta quy ước rằng các phép toán viết ra dưới đây
trên R đối với giá trị của hàm µ luôn có nghĩa.
a) Hàm tập hợp µ gọi là cộng tính nếu với A, B ∈ C, A ∩B = ∅, A ∪B ∈ C
thì µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B).
b) Hàm tập hợp µ được gọi là σ- cộng tính nếu với mọi dãy tập {A
n
}
n=1,∞
⊂ C
mà
A
i
∩ A
j
= ∅, (i = j),

∞

n=1
A
n
∈ C
thì
µ

∞

n=1
A
n

=
∞

n=1
µ(A
n
).
Nhận xét 1.9. 1) Nếu µ cộng tính thì µ hữu hạn cộng tính, nghĩa là nếu
A
1
, , A
m
∈ C, A
i
∩ A

j
= ∅, (i = j),
m

i=1
A
i
∈ C
thì
µ

m

i=1
A
i

=
m

i=1
µ(A
i
).
2) Nếu hàm µ là σ- cộng tính và µ(∅) = 0 thì µ hữu hạn cộng tính. Tuy
nhiên điều ngược lại không đúng.
1.3.2 Độ đo trên đại số các tập hợp
Định nghĩa 1.10. Một hàm tập hợp µ xác định trên đại số C các tập con
của tập hợp X được gọi là một độ đo trong X nếu µ thỏa mãn các điều kiện
sau:

a) 0  µ(A)  +∞ với mọi A ∈ C,
b) µ(∅) = 0,
c) µ là σ- cộng tính .
Định nghĩa 1.11. Cho µ là một độ đo trên đại số các tập con của X. Ta
nói:
a) Độ đo µ là hữu hạn nếu µ(X) < +∞;
7
b) Độ đo µ là σ- hữu hạn nếu tồn tại một dãy {X
n
}
n=1,∞
⊂ C sao cho
X =
∞

n=1
X
n
và µ(X
n
) < +∞ với mọi n ∈ N
∗
.
1.3.3 Các tính chất cơ bản của độ đo
Định lý 1.12. Giả sử µ là một độ đo trên đại số C các tập con của X. Khi
đó
a) Nếu A, B ∈ C, A ⊂ B thì µ(A)  µ(B);
b) Nếu A, B ∈ C, B ⊂ A, µ(B) < +∞ thì µ(A\B) = µ(A) − µ(B);
c) Nếu {A
n

}
n∈N
∗
⊂ C, A ∈ C, A ⊂
∞

n=1
A
n
thì µ(A) 
+∞

n=1
µ(A
n
);
d) Nếu {A
n
}
n∈N
∗
⊂ C, A
i
∩ A
j
= ∅, (i = j), A ∈ C,
∞

n=1
A

n
⊂ A thì
+∞

n=1
µ(A
n
)  µ(A).
Hệ quả 1.13. Nếu µ là độ đo σ- hữu hạn trên X thì mọi tập A ∈ C đều
biểu diễn được dưới dạng hợp đếm được các tập thuộc C có độ đo hữu hạn.
Định lý 1.14. Giả sử µ là độ đo trên đại số C. Khi đó
a) Nếu {A
n
} ⊂ C, µ(A
n
) = 0, (∀n ∈ N
∗
),
∞

n=1
A
n
∈ C thì µ

∞

n=1
A
n


= 0;
b) Nếu A, B ∈ C, µ(B) = 0 thì µ(A ∪ B) = µ(A).
Định lý 1.15. Cho µ là độ đo trên đại số C. Khi đó
a) Nếu {A
n
}
n∈N
∗
⊂ C, A
1
⊂ A
2
⊂ ⊂ A
n
⊂ ,
∞

n=1
A
n
∈ C thì
µ

lim
n→∞
A
n

= µ


∞

n=1
A
n

= lim
n→∞
µ(A
n
).
b) Nếu {A
n
}
n∈N
∗
⊂ C, A
1
⊃ A
2
⊃ ⊃ A
n
⊃ ,
∞

n=1
A
n
∈ C và µ(A

1
) < +∞
thì
µ

lim
n→∞
A
n

= µ

∞

n=1
A
n

= lim
n→∞
µ(A
n
).
Định lý 1.16. Cho µ là hàm tập hợp không âm, cộng tính trên đại số C sao
cho µ(∅) = 0. Khi đó µ là một độ đo nếu nó thỏa mãn một trong hai điều
kiện sau:
8
a) Nếu {A
n
}

n∈N
∗
⊂ C, A
1
⊂ A
2
⊂ ⊂ A
n
⊂ ,
∞

n=1
A
n
∈ C thì
µ

lim
n→∞
A
n

= µ

∞

n=1
A
n


= lim
n→∞
µ(A
n
).
b) Nếu {A
n
}
n∈N
∗
⊂ C, A
1
⊃ A
2
⊃ ⊃ A
n
⊃ ,
∞

n=1
A
n
= ∅ thì
lim
n→∞
µ(A
n
) = 0.
1.4 Mở rộng độ đo
1.4.1 Độ đo ngoài

Định nghĩa 1.17. Hàm tập hợp µ
∗
xác định trên σ- đại số P(X) tất cả các
tập con của X được gọi là một độ đo ngoài nếu µ
∗
thỏa mãn các điều kiện:
a) µ
∗
(A) ≥ 0 với mọi A ⊂ X;
b) µ
∗
(∅) = 0;
c) µ
∗
là σ- cộng tính dưới, nghĩa là nếu A ⊂
∞

n=1
A
n
thì µ
∗
(A) ≤
∞

n=1
µ
∗
(A
n

).
Từ điều kiện c) ta thấy nếu A ⊂ B thì µ
∗
(A) ≤ µ
∗
(B).
Định lí sau cho phép xây dựng một độ đo qua độ đo ngoài.
Định lý 1.18. (Carathéodory) Cho µ
∗
là một độ đo ngoài trên X và L là
họ tất cả các tập con A của X thỏa mãn:
µ
∗
(E) = µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E \ A)
với mọi E ⊂ X. Khi đó:
a) L là một σ- đại số;
b) µ = µ
∗
|
L
là một độ đo trên L.
Độ đo µ = µ
∗
|
L
tức là µ(A) = µ

∗
(A) với mọi A ∈ L, được gọi là độ đo cảm
sinh bởi độ đo ngoài µ
∗
và các tập A ∈ L được gọi là các tập µ
∗
- đo được.
1.4.2 Thác triển độ đo từ một đại số lên một σ- đại số
Định lý 1.19. Nếu m là một độ đo trên đại số C các tập con của tập X thì
hàm tập hợp µ
∗
xác định trên P(X) bởi công thức:
9
µ
∗
(A) = inf

∞

n=1
m(A
n
)|{A
n
}
n∈N
∗
⊂ C,
∞


n=1
A
n
⊃ A

(1.1)
là một độ đo ngoài trên X và µ
∗
(A) = m(A), ∀A ∈ C. Hơn nữa, mọi tập
thuộc σ- đại số F(C) sinh bởi C đều là µ
∗
- đo được.
Định nghĩa 1.20. Ta nói một độ đo µ trên σ- đại số F là độ đo đủ nếu
mọi tập con của một tập bất kì thuộc F có độ đo không đều thuộc F và do
đó có độ đo không.
Định lý 1.21. Nếu m là một độ đo trên đại số C các tập con của X thì tồn
tại một độ đo µ trên σ- đại số L ⊃ F(C) ⊃ C sao cho:
a) µ(A) = m(A) với mọi A ∈ C;
b) µ là độ đo hữu hạn nếu m hữu hạn, µ là σ- hữu hạn nếu m là σ- hữu hạn;
c) µ là độ đo đủ;
d) Tập A thuộc họ L khi và chỉ khi A có thể biểu diễn dưới dạng
A = B\N hoặc A = B ∪ N
với B ∈ F(C), N ⊂ E ∈ F(C), µ
∗
(E) = µ(E) = 0, µ
∗
là độ đo ngoài xác
định từ độ đo m trên đại số C bởi công thức (1.1).
1.5 Độ đo Lebesgue trên đường thẳng
Ta trang bị một độ đo m trên R xác định trên đại số C sinh bởi lớp J các

khoảng trên R mà độ đo m trên các khoảng hữu hạn trùng với khái niệm độ
dài đoạn thẳng đã biết, từ đó xây dựng một độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài
xác định từ độ đo m gọi là độ đo Lebesgue trên đường thẳng.
Với mỗi khoảng I với các mút trái a và mút phải b (hữu hạn hoặc vô hạn),
ta đặt
m(I) =











0 nếu I = ∅,
b − a nếu a, b ∈ R,
+∞ nếu a hoặc b vô hạn .
10
Nếu A ∈ C(J) thì A có thể viết dưới dạng: A =
n

i=1
I
i
với I
i
là các khoảng

rời nhau. Đặt:
m(A) =
n

i=1
m(I
i
). (1.2)
Ta thấy số m(A) ∈ [0, +∞] xác định bởi công thức trên không phụ thuộc
vào cách biểu diễn A dưới dạng hợp các khoảng rời nhau.
Định lý 1.22. Hàm tập hợp m xác định bởi công thức (1.2) là một độ đo
trên đại số C = C(J) sinh bởi họ tất cả các khoảng trên R.
Bây giờ áp dụng Định lý 1.21 đối với độ đo m trên đại số C = C(J), ta
thu được độ đo µ mở rộng của độ đo m tới σ- đại số L ⊃ F(C) ⊃ C. Từ đó
ta gọi tập A ∈ L là tập đo được Lebesgue trên R hay gọn hơn là L- đo được.
Vì F(J) là σ- đại số Borel trong R mà F(J) ⊂ F(C) ⊂ L nên mọi tập Borel
là L- đo được.
Ta có định lý tiêu chuẩn đo được Lebesgue trên R:
Định lý 1.23. Tập con A ⊂ R là đo được Lebesgue khi và chỉ khi A thỏa
mãn một trong hai điều kiện sau:
a) Với mỗi ε > 0 đều tồn tại tập mở G ⊃ A sao cho µ
∗
(G\A) < ε.
b) Với mỗi ε > 0 đều tồn tại tập đóng F ⊂ A sao cho µ
∗
(A\F ) < ε. Trong
đó, µ
∗
là độ đo ngoài xác định bởi độ đo m cảm sinh độ đo µ.
Định lý 1.24. Mọi tập con A ⊂ R là đo được Lebesgue khi và chỉ khi A sai

khác một tập Borel bởi một tập có độ đo không, tức là A có dạng A = B ∪N,
với B là tập Borel và N là tập có độ đo không.
1.6 Hàm đo được
1.6.1 Định nghĩa và các điều kiện tương đương
Định nghĩa 1.25. Ta gọi là không gian độ đo một bộ ba (X, F, µ), trong đó
X là tập tùy ý khác rỗng, F là σ- đại số các tập con của X và µ là độ đo
xác định trên σ- đại số F. Mỗi tập A ∈ F được gọi là tập đo được theo độ
đo µ.
11
Định nghĩa 1.26. Hàm f : A → R được gọi là đo được trên tập A ∈ F đối
với σ- đại số F hay là µ- đo được nếu:
(∀a ∈ R), {x ∈ A | f(x) < a} ∈ F.
Khi X = R
k
và µ là độ đo Lebesgue trên σ- đại số L thì ta nói hàm f đo
được Lebesgue hay gọn hơn là đo được (L). Khi F = B (σ- đại số Borel trên
R
k
) thì f được gọi là đo được theo nghĩa Borel và ta gọi f là một hàm số
Borel. Như vậy, mọi hàm số liên tục đều đo được (L) trên R.
Mệnh đề 1.27. Hàm f đo được trên A khi và chỉ khi một trong các điều
kiện sau thỏa mãn:
(∀a ∈ R), {x ∈ A | f(x) > a} ∈ F.
(∀a ∈ R), {x ∈ A | f(x)  a} ∈ F.
(∀a ∈ R), {x ∈ A | f(x)  a} ∈ F.
Hệ quả 1.28. 1) Nếu f đo được trên A thì f đo được trên mọi tập con đo
được của A.
2) Nếu f đo được trên A thì với mọi a ∈ R, {x ∈ A | f(x) = a} ∈ F.
3) Nếu (∀x ∈ A)f(x) = c (c là hằng số) thì f đo được trên A.
4) Nếu f đo được trên A thì với mọi hằng số k ∈ R, hàm kf đo được trên

A.
1.6.2 Các phép toán đối với hàm đo được
Định lý 1.29. 1) Nếu f đo được trên A thì với mọi α > 0 hàm |f|
α
cũng
đo được.
2) Nếu f, g đo được trên A thì các hàm
f ± g, fg, max(f, g), min(f, g)
cũng đo được. Ngoài ra nếu (∀x ∈ A) g(x) = 0 thì
f
g
cũng đo được.
12
Định lý 1.30. Nếu {f
n
}
n∈N
∗
là dãy hàm số đo được và hữu hạn thì các hàm
sup
n
f
n
, inf
n
f
n
, lim
n
f

n
, lim
n
f
n
, lim
n→∞
f
n
(nếu có)
cũng đo được.
1.6.3 Cấu trúc của hàm đo được
Cho không gian độ đo (X, F, µ) và A ⊂ X. Ta gọi hàm số χ
A
: X → R cho
dưới đây là hàm đặc trưng của tập A được xác định bởi
χ
A
(x) =





1 nếu x ∈ A
0 nếu x /∈ A
Với mỗi a ∈ R ta có:
{x ∈ X | χ
A
(x)  a} =












X nếu a  0
A nếu 0 < a  1
∅ nếu a > 1
Vì vậy hàm đặc trưng χ
A
đo được trên X khi và chỉ khi A đo được, nghĩa là
A ∈ F.
Định nghĩa 1.31. Hàm số f : X → R được gọi là hàm đơn giản trên tập
A ⊂ X nếu nó hữu hạn, đo được và chỉ nhận hữu hạn giá trị.
Giả sử f là hàm đơn giản trên A và f(A) = {a
1
; a
2
; ; a
n
}, (a
i
∈ R). Ta
đặt

A
i
= {x ∈ A | f(x) = a
i
}, (i = 1, n).
Suy ra các tập A
i
đo được và f =
n

i=1
a
i
χ
A
i
.
Định lý 1.32. Mọi hàm đo được f : A → R là giới hạn điểm của dãy các
hàm đơn giản {f
n
}
n∈N
∗
. Nếu f bị chặn trên A thì giới hạn này là giới hạn
hội tụ đều. Hơn nữa, nếu f  0 trên A thì có thể chọn dãy {f
n
}
n∈N
∗
là dãy

hàm đơn điệu tăng.
13
1.7 Độ đo hữu hạn
Định nghĩa 1.33. Một độ đo hữu hạn trên không gian độ đo (X, F, µ) là
một ánh xạ µ : F −→ [0, ∞) thỏa mãn
µ

∞

n=1
A
n

=
∞

n=1
µ(A
n
)
với A
1
, A
2
, . . . là dãy bất kì các tập rời nhau trong F.
Mệnh đề 1.34. Cho µ là độ đo hữu hạn trên F. Khi đó ta có
i) µ(∅) = 0;
ii) Nếu A
1
, . . . , A

n
∈ F, với A
i
∩ A
j
= ∅, i = j thì
µ(A
1
+ A
2
+ . . . + A
n
) = µ(A
1
) + µ(A
2
) + . . . + µ(A
n
);
iii) Nếu A, B ∈ F với A ⊆ B thì µ(A) ≤ µ(B);
iv) Nếu A
1
⊆ A
2
⊆ . . . với A
n
∈ F, n = 1, 2, . . . thì µ(A
n
) ↑ µ



m
A
m

khi
n → ∞;
v) Nếu A
1
⊇ A
2
⊇ . . . với A
n
∈ F, n = 1, 2, . . . thì µ(A
n
) ↓ µ


m
A
m

khi
n → ∞.
Mệnh đề 1.35. Giả sử µ : F → [0, ∞), µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) với mọi
A, B ∈ F, A∩B = ∅ (tức µ là hữu hạn cộng tính). Khi đó µ là σ- cộng tính
nếu và chỉ nếu µ(E
n
) ↓ 0 với mỗi dãy (E
n

) trong F thỏa mãn
E
1
⊇ E
2
⊇ . . . và

n
E
n
= ∅.
1.8 Hàm số Borel
1.8.1 σ- đại số Borel trong R
Định nghĩa 1.36. Giả sử C là tập hợp các tập con mở trong R. Khi đó F(C)
được gọi là σ- đại số Borel trong R, thường được viết tắt là B(R). Các tập
nằm trong B(R) được gọi là các tập Borel. Như vậy B(R) là σ- đại số sinh
bởi các tập con mở trong R.
Mệnh đề 1.37. Các tập con sau đây trong R thuộc B(R):
i) C
1
= (a, b)với bất kì a < b;
14
ii) C
2
= (−∞, a) với bất kì a ∈ R;
iii) C
3
= (a, ∞) với bất kì a ∈ R;
iv) C
4

= [a, b] với bất kì a ≤ b;
v) C
5
= (−∞, a] với bất kì a ∈ R;
vi) C
6
= [a, ∞) với bất kì a ∈ R;
vii) C
7
= (a, b] với bất kì a < b;
viii) C
8
= [a, b) với bất kì a < b;
ix) Tập con đóng bất kì trong R.
Mệnh đề 1.38. Cho F(đóng) là σ- đại số các tập con trong R sinh bởi các
tập con đóng trong R và F(compact) là σ- đại số các tập con trong R sinh
bởi các tập con compact trong R. Khi đó ta có
F(đóng) = F(compact) = B(R).
1.8.2 Hàm số Borel
Định nghĩa 1.39. Cho (X, F) là một không gian đo, f : X → R là một
hàm số. Khi đó f được gọi là hàm Borel nếu f
−1
(G) ∈ F với G là tập mở
trong R.
Mệnh đề 1.40. Hàm f : X → R là hàm Borel nếu và chỉ nếu f
−1
(A) ∈ F
với mỗi A ∈ B(R).
Mệnh đề 1.41. Cho C là tập hợp các tập con trong R thỏa mãn F(C) = B(R)
và hàm f : X → R. Khi đó f là hàm Borel nếu và chỉ nếu f

−1
(A) ∈ F với
mọi A ∈ C.
Nhận xét 1.42. Ta có thể chọn C là một tập bất kì trong Mệnh đề 1.37. Ví
dụ như ta có thể nói rằng f là hàm Borel nếu và chỉ nếu f
−1
((−∞, a]) ∈ F
với mỗi a ∈ R.
Mệnh đề 1.43. Cho f : X → R là hàm Borel và g : R → R là hàm số liên
tục. Khi đó g ◦ f : X → R là hàm Borel.
15
Mệnh đề 1.44. Giả sử f : X → R và g : X → R là các hàm Borel. Khi đó
tập
E = {x ∈ X : f(x) < g(x)}
đo được.
Mệnh đề 1.45. Cho (X, F) là không gian đo và f : X → R, g : X → R là
các hàm Borel. Khi đó
i) af + b là hàm Borel với bất kì a, b ∈ R;
ii) f + g là hàm Borel;
iii) |f|
α
là hàm Borel với bất kì α ≥ 0;
iv) Nếu f không bị triệt tiêu thì
1
f
là hàm Borel;
v) fg là hàm Borel;
vi) |f|, max{f, g}, min{f, g} là các hàm Borel.
Định lý 1.46. Cho (X, F) là không gian đo và {f
n

} là dãy các hàm Borel
trên X. Giả sử tồn tại f(x) = lim
n
f
n
(x) với mỗi x ∈ X. Khi đó f là hàm
Borel.
Định nghĩa 1.47. Cho (X, F) là không gian đo và f : X → C. Ta nói rằng
f là hàm Borel nếu Re f và Im f là các hàm Borel.
Mệnh đề 1.48. Cho f : X → C là hàm Borel. Khi đó |f| là hàm Borel và
tồn tại hàm Borel α : X → C với |α(x)| = 1, ∀x ∈ X thỏa mãn
f(x) = α(x)|f(x)|.
Định nghĩa 1.49. Với E ∈ F ta có hàm chỉ tiêu I
E
của E được xác định
bởi
I
E
(x) =





1 nếu x ∈ E
0 nếu x /∈ E
là một hàm Borel.
Một hàm s : X → R được gọi là hàm đơn giản nếu nó hữu hạn, đo được và
chỉ nhận hữu hạn giá trị.
16

Như vậy nếu s là hàm đơn giản với các giá trị α
1
, α
2
, . . . , α
n
nào đó và
A
j
= {x ∈ X : s(x) = α
j
, j = 1, n}
thì ta có
s(x) =
n

j=1
α
j
I
A
j
(x).
s là hàm Borel đơn giản nếu và chỉ nếu các A
j
đo được.
Định lý 1.50. Cho f : X → R là hàm Borel không âm. Khi đó tồn tại một
dãy các hàm Borel đơn giản không âm {s
n
} sao cho

i) 0 ≤ s
1
≤ s
2
≤ . . . ≤ f,
ii) s
n
(x) → f(x) khi n → ∞, ∀x ∈ X.
Định nghĩa 1.51. Một tập hợp M các tập con của X là một lớp đơn điệu
nếu
i) A
1
⊆ A
2
⊆ . . . là dãy tăng trong M thì
∞

i=1
A
i
∈ M.
ii) B
1
⊇ B
2
⊇ . . . là dãy giảm trong M thì
∞

i=1
B

i
∈ M.
Giao của một họ bất kì các lớp đơn điệu cũng là lớp đơn điệu. Cho C là tập
hợp các tập con của X, khi đó M(C) là lớp đơn điệu sinh bởi C, và đó lớp
đơn điệu "nhỏ nhất" chứa C.
Định lý 1.52. Cho A là một đại số các tập con của X. Khi đó
M(A) = F(A).
1.9 Tích phân
1.9.1 Tích phân của hàm đơn giản không âm
Định nghĩa 1.53. Giả sử s =
n

i=1
α
i
I
A
i
là một hàm đơn giản. Với E ∈ F,
ta định nghĩa tích phân của s trên E theo µ là

E
s dµ =
n

i=1
α
i
µ(A
i

∩ E).
17
Đặc biệt với A ∈ F, tích phân của hàm chỉ tiêu của A trên X chính là độ
đo của A:

X
I
A
dµ = µ(A).
Nếu µ là độ đo Lebesgue trên [0, 1] và A = [a, b] với 0 ≤ a ≤ b ≤ 1 thì ta có

[0,1]
I
[a,b]
dµ = b − a
thường gọi là tích phân của I
[a,b]
trên [0, 1].
Nếu X = R và µ là độ đo Lebesgue - Stieltjes trên R sinh bởi hàm
F (x) =
x

−∞
ρ(t)dt
với ρ là hàm khả tích Riemann không âm, khi đó với a < b ta có

R
I
[a,b]
dµ = µ([a, b]) = F(b) − F (a) =

b

a
ρ(t)dt.
Định nghĩa 1.54. Cho hàm f : X → R đo được và giả sử f ≥ 0. Với bất kì
E ∈ F, ta định nghĩa

E
fdµ = sup

E
s dµ
với s là hàm đơn giản không âm thỏa mãn 0 ≤ s(x) ≤ f(x), ∀x ∈ X. Nếu
vế phải không hữu hạn, ta nói rằng f không khả tích trên E.
Mệnh đề 1.55. Giả sử f, g là các hàm đo được và E ∈ F. Khi đó
i) Nếu 0 ≤ f ≤ g thì

E
fdµ ≤

E
g dµ.
ii) Nếu A ⊆ B, A, B ∈ F, f ≥ 0 thì

A
fdµ ≤

B
fdµ.
18

iii) Nếu f(x) = 0 với mọi x ∈ E thì

E
fdµ = 0.
iv) Nếu f ≥ 0, c ≥ 0, c là hằng số thì

E
cfdµ = c

E
fdµ.
v) Nếu µ(E) = 0, f ≥ 0 thì

E
fdµ = 0.
vi) Nếu f ≥ 0 thì

E
fdµ =

X
I
E
fdµ.
Mệnh đề 1.56. Cho s, t là các hàm đơn giản bất kì với s ≥ 0, t ≥ 0. Với
mỗi E ∈ F, đặt ϕ(E) =

E
s dµ. Khi đó ϕ là độ đo hữu hạn trên không gian
đo (X, F). Hơn nữa ta có


X
(s + t)dµ =

X
s dµ +

X
t dµ.
1.9.2 Tích phân của hàm đo được không âm
Định lý 1.57. (Định lý Lebesgue về sự hội tụ đơn điệu). Cho f
n
là
một dãy các hàm đo được trên X và giả sử
i) 0 ≤ f
1
(x) ≤ f
2
(x) ≤ . . . với x ∈ X,
ii) f
n
(x) → f(x) khi n → ∞, với x ∈ X.
Khi đó f đo được và

X
f
n
dµ →

X

fdµ
khi n → ∞.
Hệ quả 1.58. Giả sử f ≥ 0 và g ≥ 0, f và g khả tích. Khi đó f + g khả
tích và

X
(f + g)dµ =

X
fdµ +

X
g dµ.
19
1.9.3 Tích phân của hàm đo được giá trị phức
Định nghĩa 1.59. Hàm giá trị phức f trên X được gọi là khả tích (Lebesgue)
theo µ nếu |f| khả tích. Tập hợp tất cả các hàm f như thế được kí hiệu là
L
1
(X, µ).
Với f = u + iv ∈ L
1
(X, µ), ta có

X
fdµ =

X
u
+

dµ −

X
u
−
dµ + i

X
v
+
dµ − i

X
v
−
dµ.
Định lý 1.60. Nếu f, g ∈ L
1
(X, µ) và a, b ∈ C, khi đó af + bg ∈ L
1
(X, µ)
và

X
(af + bg)dµ = a

X
fdµ + b

X

g dµ.
Định lý 1.61. Với f ∈ L
1
(X, µ) bất kì ta có




X
f dµ



≤

X
|f|dµ.
Định lý 1.62. (Định lý Lebesgue về sự hội tụ bị chặn). Cho (f
n
) là
dãy các hàm đo được giá trị phức trên X thỏa mãn
i) f
n
(x) → f(x) khi n → ∞ với mọi x ∈ X,
ii) Tồn tại g ∈ L
1
(X, µ) sao cho |f
n
(x)| ≤ g(x) với mọi n ∈ N và x ∈ X.
Khi đó f ∈ L

1
(X, µ) và

X
f
n
dµ →

X
f dµ
khi n → ∞. Hơn nữa,

X
|f
n
− f|dµ → 0
khi n → ∞.
Định lý 1.63. Giả sử f là một hàm đo được bị chặn. Khi đó f ∈ L
1
(X, µ)
(µ là độ đo hữu hạn trên X).
Định lý 1.64. (Bất đẳng thức Schwarz). Giả sử |f|
2
∈ L
1
(X, µ) và
|g|
2
∈ L
1

(X, µ). Khi đó fg ∈ L
1
(X, µ) và




X
fg dµ



≤

X
|fg|dµ ≤


X
|f|
2
dµ

1
2


X
|g|
2

dµ

1
2
.
20
Chương 2
Không gian xác suất và biến ngẫu
nhiên
Chương này trình bày định nghĩa không gian xác suất, biến ngẫu nhiên,
tìm hiểu về đặc trưng cơ bản của biến ngẫu nhiên là hàm phân phối xác suất,
trình bày về hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên và một đặc trưng số quan
trọng của biến ngẫu nhiên là kỳ vọng, nghiên cứu sự độc lập của các biến
ngẫu nhiên cùng với hai dạng hội tụ của biến ngẫu nhiên: hội tụ hầu chắc
chắn, hội tụ theo xác suất. Đây là hai dạng hội tụ đóng vai trò then chốt
trong Luật số lớn.
2.1 Định nghĩa không gian xác suất và biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 2.1. Cho µ là một độ đo hữu hạn trên không gian độ đo
(X, F, µ). Nếu µ(X) = 1 thì µ được gọi là độ đo xác suất và (X, F, µ)
được gọi là không gian xác suất. X được gọi là không gian mẫu, F là σ- đại
số các biến cố.
Biến ngẫu nhiên là một hàm Borel trên không gian xác suất.
2.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Xét không gian xác suất (Ω, S, P) với Ω là không gian mẫu, S là σ- đại số
các biến cố và P là độ đo xác suất trên (Ω, S),f : Ω → R là biến ngẫu nhiên
(tức f là hàm Borel). Ta có định nghĩa sau:
21
Định nghĩa 2.2. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên f là hàm
F
f

: R → R được xác định bởi
F
f
(x) = P(f ≤ x) = P({ω : f(ω) ≤ x}).
F
f
được xác định rõ khi {ω : f(ω) ≤ x} ∈ S, với x ∈ R.
Mệnh đề 2.3. Hàm phân phối F
f
có các tính chất sau:
i) 0 ≤ F
f
(x) ≤ 1 với mọi x ∈ R.
ii) F
f
(x) ≤ F
f
(y) với x ≤ y.
iii) lim
x→−∞
F
f
(x) = 0 và lim
x→+∞
F
f
(x) = 1.
iv) F
f
liên tục phải, tức là với mỗi x ∈ R ta có F

f
(x) = lim
h↓0
F
f
(x + h).
Chứng minh. i) Ta có F
f
(x) = P(f ≤ x) ∈ [0; 1] với mọi x.
ii) Với bất kì x ≤ y, ta có {ω : f(ω) ≤ x} ⊆ {ω : f(ω) ≤ y} và do đó
F
f
(x) = P({ω : f(ω) ≤ x}) ≤ P({ω : f(ω) ≤ y}) = F
f
(y).
iii) Với n ∈ N, ta đặt E
n
= {ω : f(ω) ≤ −n}. Khi đó E
1
⊇ E
2
⊇ . . . và

n
E
n
= ∅. Áp dụng Mệnh đề 1.34 ta được
F
f
(−n) = P({ω : f(ω) ≤ −n}) = P(E

n
) → P


n
E
n

= P(∅) = 0
khi n → ∞. Với ε > 0 cho trước, chọn n
0
thỏa mãn P(E
n
0
) < ε. Khi đó với
mọi x < −n
0
ta có
0 ≤ F
f
(x) ≤ F
f
(−n
0
) = P(E
n
0
) < ε.
Do đó lim
x→−∞

F
f
(x) = 0.
Đặt A
n
= {ω : f(ω) ≤ n} với mọi n ∈ N. Khi đó A
1
⊆ A
2
⊆ . . . và

n
A
n
= Ω. Ta có
F
f
(n) = P({ω : f(ω) ≤ n}) = P(A
n
) → P


n
A
n

= P(Ω) = 1
khi n → ∞.
Với ε > 0 cho trước, ta chọn n
0

thỏa mãn P(A
n
0
) > 1 − ε. Khi đó với mọi
x > n
0
, ta có
1 ≥ F
f
(x) ≥ F
f
(n
0
) = P(A
n
0
) > 1 − ε.
22
Do đó ta có lim
x→+∞
F
f
(x) = 1.
iv) Cố định x ∈ R, với n ∈ N ta đặt B
n
= {ω : f(ω) ≤ x +
1
n
}. Ta có
B

n
∈ F, B
1
⊇ B
2
⊇ . . . và

n
B
n
= {ω : f(ω) ≤ x}. Lại áp dụng Mệnh đề
1.34 ta được
F
f
(x +
1
n
) = P({ω : f(ω) ≤ x +
1
n
}) = P(B
n
) → P


n
B
n

= F

f
(x).
Với ε > 0 cho trước, chọn n
0
sao cho
|P(B
n
0
) − F
f
(x)| < ε hay |F
f
(x +
1
n
0
) − F
f
(x)| < ε.
Ta có 0 ≤ F
f
(x +
1
n
0
) − F
f
(x) < ε.
Chọn h thỏa mãn 0 < h <
1

n
0
. Khi đó ta có
0 ≤ F
f
(x + h) − F
f
(x) ≤ F
f
(x +
1
n
0
) − F
f
(x) < ε.
Do đó F
f
(x) = lim
h↓0
F
f
(x + h).
Nhận xét 2.4. F
f
là một hàm tăng trên R và bị chặn bởi 1. Do đó nếu cho
trước a ∈ R ta có x ↑ a thì F
f
(x) tăng lên đến giá trị giới hạn nào đó chẳng
hạn như sup

x<a
F
f
(x).
Nếu F
f
là hàm tăng thì cận trên đúng của nó không lớn hơn F
f
(a). Nói cách
khác, F
f
(a) chặn trên tập {F
f
(x) : x < a} và do đó nó lớn hơn hoặc bằng
cận trên đúng của tập này. Như vậy F
f
có giới hạn trái tại mỗi điểm thuộc
R, nhưng giá trị giới hạn này có thể nhỏ hơn giá trị thực của F
f
tại điểm đó.
Nghĩa là nếu lim
x↑a
F
f
(x) = F
f
(a−) thì F
f
(a−) ≤ F
f

(a).
Định nghĩa 2.5. Bước nhảy của F
f
tại a ∈ R là hiệu F
f
(a) − F
f
(a−). Ta
nói rằng a là một điểm liên tục của F
f
nếu F
f
liên tục tại a, trong trường
hợp F
f
(a) = F
f
(a−) và do đó bước nhảy bằng 0.
Mệnh đề 2.6. Với bất kì a ∈ R, bước nhảy của F
f
tại a bằng P(f = a).
Chứng minh. Theo định nghĩa, ta có
F
f
(a) = P(f ≤ a) = P({ω : f(ω) ≤ a}).
Đặt A
n
= {ω : f(ω) ≤ a −
1
n

} với n ∈ N. Ta có
23
A
1
⊆ A
2
⊆ . . . và

n
A
n
= {ω : f(ω) < a}.
Theo Mệnh đề 1.34 ta có
F
f
(a −
1
n
) = P({ω : f(ω) ≤ a −
1
n
}) = P(A
n
) ↑ P


n
A
n


= P(f < a).
Nhưng ta lại có lim
n
F
f
(a −
1
n
) = F
f
(a−), do đó P(f < a) = F
f
(a−). Từ đó
ta có bước nhảy
F
f
(a) − F
f
(a−) = P(f ≤ a) − P(f < a) = P(f = a).
Ta nói một tập hợp là đếm được nếu nó hữu hạn (bao gồm cả tập rỗng)
hoặc vô hạn đếm được (nghĩa là có thể đặt tương ứng 1-1 với tập các số tự
nhiên N).
Mệnh đề 2.7. Các bước nhảy khác 0 của hàm phân phối F
f
tạo thành một
tập đếm được.
Chứng minh. Giả sử J là tập các bước nhảy khác 0 của F
f
và đặt
J

n
= {a ∈ J : "Bước nhảy của F
f
tại a" ≥
1
n
}.
Giả sử a
1
, a
2
, . . . , a
k
∈ J
n
với a
1
< a
2
< . . . < a
k
. Chọn a
0
là số thực bất kì
sao cho a
0
< a
1
. Khi đó 0 ≤ F
f

(a
0
) ≤ F
f
(a
k
) ≤ 1 (theo tính chất của F
f
)
và khi đó ta có F
f
(a
i
) − F
f
(a
i−1
) ≥
1
n
, do đó
1 ≥ F
f
(a
k
) − F
f
(a
0
) =

k

i=1
[F
f
(a
i
) − F
f
(a
i−1
)] ≥ k
1
n
.
Từ đó ta có k ≤ n, do đó J
n
hoặc là tập rỗng, hoặc là tập không chứa nhiều
hơn n phần tử. Mặt khác ta có J =

n
J
n
nên J đếm được.
Hệ quả 2.8. Với bất kì biến ngẫu nhiên f nào đều tồn tại tập đếm được
J ⊂ R sao cho P(f = x) = 0 với mọi x ∈ R\J.
Chứng minh. Với f là biến ngẫu nhiên, đặt J ⊂ R là tập các bước nhảy khác
0 của F
f
. Ta có J là một tập đếm được. Khi đó ta có P(f = x) = 0 với

x ∈ J do đó P(f = x) = 0 với x ∈ R\J.
24
Định lý 2.9. Với hàm f bất kì cho trước thỏa mãn các tính chất trong
Mệnh đề 2.3, luôn tồn tại một độ đo xác suất ν trên (R, B(R)) thỏa mãn
F (x) = ν((−∞, x]) với mọi x ∈ R. Hơn nữa ν là duy nhất.
Ta có một số kết quả sau:
ν((−∞, a]) = F(a−),
ν((a, b]) = F(b) − F(a+) với a < b,
ν((a, b)) = F(b−) − F(a+) với a < b,
ν([a, b)) = F(b−) − F(a−) với a < b,
ν([a, b]) = F(b) − F(a−) với a ≤ b.
Độ đo xác suất ν sinh bởi hàm F được gọi là độ đo Lebesgue - Stieltjes sinh
bởi F . Đặc biệt, giả sử F được xác định bởi
F (x) =











0, x < 0
x, 0 ≤ x ≤ 1
1, x > 1
thì ta có
ν((−∞, 0]) = F(0) = 0,

ν((1, ∞)) = ν(R) − ν((−∞, 1]) = 1 − F (1) = 0.
Với 0 ≤ a ≤ b ≤ 1, ta có
ν((a, b)) = ν([a, b)) = ν((a, b]) = ν([a, b]) = b − a.
Lúc này ν hoàn toàn là một độ dài.
Định lý 2.10. Giả sử ta có hàm F thỏa mãn các tính chất trong Mệnh đề
2.3. Khi đó tồn tại một biến ngẫu nhiên f sao cho F = F
f
.
Chứng minh. Trước tiên ta sẽ chỉ ra một không gian xác suất nơi mà f được
xác định. Đặt Ω = R, S = B(R) và P là độ đo xác suất Lebesgue - Stieltjes
trên (R, B(R)) sinh bởi F.
25