CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT </b>

<b>I. Phương pháp dự đoán và quy nạp: </b>

Trong một số trường hợp khi gặp bài tốn tính tổng hữu hạn

n 1 2 n

S = +a a + +... a (1)

Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết
kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được.

<b>Ví dụ 1: Tính tổng S</b>n =1+3+5 +… + (2n -1)

Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1

S2 = 1 + 3 =22

S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32

… … …
Ta dự đoán Sn = n2

Với n = 1; 2; 3 ta thấy kết quả đúng

Giả sử với n = k (k 1) ta có Sk = k 2 (2)

Ta cần phải chứng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 (3)

Thật vậy cộng 2 vế của (2) với 2k +1 ta có

1+3+5 +… + (2k – 1) + (2k +1) = k2_{+ (2k +1)}

Vì k2_{+ (2k +1) = (k +1)}2_{nên ta có (3) tức là S}

k+1 = ( k +1) 2

Theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh
Vậy Sn = 1+3 + 5 + … + ( 2n -1) = n2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2

2

3 3 3

2

5 5 5 2 2

n n 1
1)1 2 3 ... n

2

n n 1 2n 1

2)1 2 ... n

6
n n 1

3)1 2 ... n

2
1

4)1 2 ... n .n n 1 2n 2n 1

12
+
+ + + + =

+ +

+ + + =

+

 

+ + + _{= } _

 

+ + + = + + −

<b>II. Phương pháp khử liên tiếp: </b>

Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn a ,i 1, 2,3..., n_i = , qua hiệu hai số hạng liên
tiếp 1 dãy số khác, chính xác hơn, giả sử:

1 1 2

2 2 3

n n n 1

a b b

a b b

b
. .
a

.

b ₊
= −

= −

= −

Khi đó ta có ngay:

(

) (

)

(

)

n 1 2 2 3 n n 1

1 n 1

s b b b b .... b b

b b

+
+

= − + − + + −

= −

<b>Ví dụ 2: Tính tổng: </b>

1 1 1 1

S ...

10.11 11.12 12.13 99.100

= + + + +

Ta có: 1 1 1 , 1 1 1 ,..., 1 1 1

10.11=10 −11 11.12 =11 12− 99.100 =99 −100
Do đó:

1 1 1 1 1 1 1 1 9

S ...

10 11 11 12 99 100 10 100 100

= − + − + + − = − =

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

(

) (

)

n

1 1 1

S ... n 1

1.2 2.3 n n 1

1 n

1

n 1 n 1

= + + + 

+

= − =

+ +

<b>Ví dụ 3: Tính tổng </b>

(

)(

)

n

1 1 1 1

S ...

1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n 1 n 2

= + + + +

+ +

Ta có

(

) (

)(

)

n

1 1 1 1 1 1 1 1 1

S ...

2 1.2 2.3 2 2.3 3.4 2 n n 1 n 1 n 2

 

   

= _ − _+ _ − _+ + _ − _

+ + +

    _ _

(

) (

)(

)

n

1 1 1 1 1 1 1

S ...

2 1.2 2.3 2.3 3.4 n n 1 n 1 n 2

 

= _ − + − + + − _

+ + +

 

(

)(

)

(

(

)(

)

)

n

n n 3

1 1 1

S

2 1.2 n 1 n 2 4 n 1 n 2

  +

= _ − _=

+ + + +

 

<b>Ví dụ 4: Tính tổng </b>

(

)

n

S = +1! 2.2! 3.3! .... n.n!$$ n! 1.2.3...n+ + + =

Ta có:

(

)

1! 2! 1!
2.2! 3! 2!
3.3! 4! 3!
...

n.n! n 1 n!

= −
= −
= −

= + −

Vậy

(

)

(

)

(

)

n

S 2! 1! 3! 2! 4! 3! .... n 1 ! n!

n 1 ! 1! n 1 ! 1

= − + − + − + + + −

= + − = + −

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

( ) ( )

(

)

n 2 2 2

3 5 2n 1

S ....

1.2 2.3 n n 1

+

= + + +

+

 

 

Ta có:

( )

2 2

( )

2

2i 1 1 1

;i 1;2;3;...;n

i _{i 1}

i i 1

+ _{= −} ₌

+
+

 

 

Do đó

(

)

n 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

S 1 ....

2 2 3 n _{n 1}

 

   

= −_ _{ }+ − _+ +_ − _

    _ + _

(

)

2

(

(

)

2

)

n n 2

1
1

n 1 n 1

+

= − =

+ +

<b>III. Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính: </b>
<b>Ví dụ 6: Tính tổng </b>

S 1 2 2= + + + +2 .... 2100 (4)
Ta viết lại S như sau:

(

)

(

)

(

)

2 99

2 99 100 100

100

S 1 2 1 2 2 .... 2

S 1 2 1 2 2 .... 2 2 2

S 1 2 S 2

= + + + + +

= + + + + + + −

 = + −

(5)

Từ (5) suy ra
101
101
S 1 2S 2

S 2 1

= + −

 = −

<b>Ví dụ 7: Tính tổng </b>

S_n = + +1 p p2+p3+.... p+ n

(

p1

)

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

(

)

(

)

(

)

(

)

2 n 1

n

2 n 1 n n

n

n n n

n 1

n n

n 1
n

n 1
n

S 1 p 1 p p .... p

S 1 p 1 p p .... p p p

S 1 p S p

S 1 p.S p

S p 1 p 1

p 1

S

p 1

−
−

+
+
+

= + + + + +

= + + + + + + −

 = + −

 = + −

 − = −

−

 =

−

<b>Ví dụ 8: Tính tổng </b>

(

) (

)

2 n

n

S = +1 2p 3p+ +....+ n 1 p , p+ 1

Ta có:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

2 3 n 1

n

2 2 3 3 n n n n n 1

2 3 n n n 1

2 3 n 2 n n 1

n 1

n 1

n n

p.S p 2p 3p .... n 1 p

2p p 3p p 4p p .... n 1 p p n 1 p p n 1 p

2p 3p 4p .... n 1 p p p p ...p n 1 p

1 2p 3p 4p .... n 1 p 1 p p .... p n 1 p

P 1

p.S S n 1 P (VD7)

P 1

+

+
+

+
+

+

= + + + + +

= − + − + − + + + − + + − + +

= + + + + + − + + + + +

= + + + + + + − + + + + + +

−

= − + +

−

Lại có

(

)

(

)

n 1
n 1

n

p 1

p 1 S n 1 p

P 1
+

+ −

− = + −

−

(

)

(

)

n 1 n 1

n 2

n 1 p p 1

S

p 1 _{P 1}

+ +

+ −

 = −

</div>

<!--links-->