CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn chuyên đề:……………………………………………… 2
II. Mục đích, phạm vi của chuyên đề:………………………………… 3
PHẦN II: NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ.
A. NỘI DUNG:
I. Cơ sở lí luận:………………………………………………………… 3
II. Cơ sở thực tiễn:……………………………………………………… 3
III. Các kiến thức vận dụng …………………………………………... 4
IV. Một số dạng toán về dãy số viết theo quy luật và phương pháp giải. 6
1. Dạng 1: Tính tổng của các lũy thừa với cơ số là số tự nhiên .............. 8
2 . Dạng 2: Tính tổng của các tích: .......................................................... 9
3. Dạng 3: Dãy phân số: ……………………………………………… 13
4. Dạng 4: Tính tổng, tính số số hạng của dãy: ………………………

18

5. Dạng 5: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức: …

20

B. ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN VÀ CÔNG TÁC GIẢNG DẠY
1. Ứng dụng vào thực tiễn...................................................................... 22
2. Hiệu quả khi áp dụng chuyên đề........................................................ 22
3. Bài học kinh nghiệm........................................................................... 22
PHẦN III: KẾT LUẬN.
1. Kết quả nghiên cứu:............................................................................ 23

2. Đề xuất............................................................................................... 23
NHỮNG TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT
- THCS: Trung học cơ sở.
- SGK: Sách giáo khoa.
- GVG: Giáo viên giỏi
- BCNN: Bội chung nhỏ nhất.
1


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn chuyên đề:
Như chúng ta đã biết Toán học có một vị trí vô cùng quan trọng trong đời
sống, nó không những giúp chúng ta có khả năng tính toán, phát triển tư duy, suy
luận logic mà còn là tiền đề của các môn khoa học khác. Vì thế Toán học được
gọi là môn “công cụ” . Nhưng trong quá trình học toán đặc biệt là phần Đại số
việc nắm và vận dụng kiến thức, tìm ra phương pháp giải đối với học sinh là khó
khăn. Vì vậy với những người làm công tác giáo dục trong nhà trường có nhiệm
vụ trang bị kiến thức cũng như phương pháp giải đối với từng dạng toán cho học
sinh.
Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh, tôi đã không ngừng học hỏi và
trao đổi với đồng nghiệp. Tôi nhận thấy trong việc giảng dạy môn Đại số còn
nhiều mảng kiến thức mà học sinh chưa có phương pháp giải cụ thể như : Các bài
toán chia hết, các bài toán về cấu tạo số, các dạng toán về biểu thức, các dạng
phương trình ... Đặc biệt là dạng toán “Dãy số viết theo quy luật” đây là dạng
toán tương đối khó đối với học sinh THCS. Học sinh khó hiểu khi đứng trước
dạng bài toán này vì thế các em còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bài

tập (chưa tìm ra quy luật của dãy số). Trong khi đó dạng toán này chưa đề cập
nhiều trong sách giáo khoa, chủ yếu chỉ đưa ra một vài bài toán trong sách nâng
cao, không đưa ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự vận động kiến
thức của mình. Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài “Dãy số viết theo quy luật” để
giúp các em tháo gỡ khó khăn trên.
II. Mục đích, phạm vi của chuyên đề:
1. Mục đích của chuyên đề:
- Nhằm trao đổi kinh nghiệm giảng dạy phân môn Toán THCS.
- Giúp học sinh THCS có phương pháp giải đối với từng dạng bài tập dãy
2


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

số viết theo quy luật.
2. Phạm vi của chuyên đề:
- Áp dụng cho dạng toán dãy số viết theo quy luật ở bậc THCS.
PHẦN II: NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ.
A. NỘI DUNG:
I. Cơ sở lí luận:
Theo Polya thì phương pháp tìm lời giải thường được tiến hành theo 4 bước:
- Tìm hiểu đề toán.
- Xây dựng chương trình giải.
- Thực hiện chương trình giải.
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
- Khai thác, phát triển bài toán.
II. Cơ sở thực tiễn.
- Từ thực tế giảng dạy của giáo viên và học toán của học sinh THCS.

- Qua trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp.
III. Kiến thức vận dung:
1. Quy đồng mẫu số nhiều phân số:
- Tìm mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu)
- Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu.
- Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
2. Các phép tính của phân số:
a. Cộng, trừ phân số cùng mẫu:
A B A+B
+
=
(M ≠ 0)
M M
M
A B A−B
−
=
(M ≠ 0, A ≥ B)
M M
M

b. Cộng, trừ phân số không cùng mẫu:

3


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

- Quy đồng mẫu các phân số.
- Cộng các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫu
chung.
c. Nhân các phân số:
d. Chia 2 phân số:

A C A.C
. =
B D B.D

A C A.D
: =
B D B.C

(B, D ≠ 0)
(B, C, D ≠ 0)

3. Tính chất cơ bản của phép cộng và nhân phân số:
a. Tính chất giao hoán:
- Phép cộng:

a c c a
+ = +
b d d b

- Phép nhân:

a c c a
. = .
b d d b

(b, d ≠ 0)
(b, d ≠ 0)

b. Tính chất kết hợp :
a c m a c m
- Phép cộng :  +  + = +  +  (b, d, n ≠ 0)
b

d

n

b

d

n

a c m a c m
- Phép nhân:  . . = . .  (b, d, n ≠ 0)
b d n

b d n 

c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép công (trừ):
a c m a m c m
 + . = .. + .
(b, d, n ≠ 0)
b d n b n d n

4. Các phép tính về lũy thừa.
a.

§Þnh nghÜa luü thõa víi sè mò tù nhiªn
a.a.........a
an =      (n ∈ N*)

n thõa sè
b.

Mét sè tÝnh chÊt :
Víi a, b, m, n ∈ N
am. an = am+n,

am. an . ap = am+n+p (p ∈ N)

4


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

am : an = am-n

(a ≠ 0, m > n)

(a.b)m = am. bm

(m ≠ 0)

(am)n = am.n

(m,n ≠ 0)

Quy íc:
a1 = a
a0 = 1

(a ≠ 0)

Víi : x, y ∈ Q; m, n ∈ N; a, b ∈ Z
x.x.........
2 43x
xn = 14
n

(x ∈ N*)

n

an
a
  = n
b
b

(b ≠ 0, n ≠ 0)

xo = 1
xm . xn = xm+n
xm
= x m−n
xn

x-n =

(x ≠ 0)

1
xn

(x ≠ 0)

(xm)n = xm.n
(x.y)m = xm. ym
n

 x
xn
  = n
y
 y

(y ≠ 0)

5. Bất đẳng thức: Bất đẳng thức có dạng a > b, a < b
Tính chất:
- Tính chất bắc cầu: Nếu a > b, b > c thì a > c

- Tính chất đơn điệu của phép cộng:
Nếu a > b thì a + c > b + c
- Tính chất đơn điệu của phép nhân:
Nếu a > b thì a . c > b . c (c > 0)
5


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

- Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều:
Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d
IV. Một số dạng toán về dãy số viết theo quy luật và phương pháp giải.
1. Dạng 1: Tính tổng của các lũy thừa với cơ số là số tự nhiên.
1.1 Bài toán 1: Tính các tổng sau:
1) A= 1+3+32+33+…+ 399+3100
2) B= 1-2+22-23+24- … -299+2100
Giải
1) Ta có: 2A=3+32+33+…+ 399+3100+3101
=> 3A-A= 3

3101 − 1
-1 => A=
2

101

2) 2B=2-22+23-24+25- … -2100+2101
=> 2B+B=2101+1 => 3B=2101+1=> B=

2101 + 1
3

* Ta nghĩ tới bài toán tổng quát:
- Tính tổng: S= 1+a+a2+a3+…+ an-1+an ( a > 1; n ∈ N ) . Ta nhân cả 2 vế của
a n +1 − 1
S với a. Rồi trừ vế với vế ta được S=
.
a −1

- Tính tổng: P= 1-a+a2-a3+…+ a2n ( a > 1; n ∈ N ) . Ta nhân cả 2 vế của P
với a. Rồi cộng vế với vế ta được P=

a 2 n +1 + 1
.
a +1

* Khai thác bài toán: Vì S, P là các sổ nguyên nên (a n+1 − 1) ( a − 1) và
(a 2 n +1 + 1) ( a + 1) . Ta có bài toán 2

1.2 Bài toán 2:

Chứng minh rằng

a) 2009 2009 − 12008
b) 2009 2010 − 12010
Giải:
6

Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

a) Xét tổng S=1+2009+20092+20093+…+ 20092007+20092008 ( S∈ N)
=> 2009.S= 2009+20092+20093+…+ 20092008+20092009
=> 2009.S-S= 20092009-1
=> S=

2009 2009 − 1
 2009 2009 − 12008
2008

b) S=1-2009+20092-20093+…+ 20092008-20092009( S ∈ N)
=> 2009.S= 2009-20092+20093-…-20092010
=> 2009.S+S= -20092010+1
− (2009 2010 − 1)
=>S=
=> 2009 2010 − 12010
2010

1.3 Bài toán 3: Tính tổng
1) A= 1+32+34+…+ 398+3100
2) B= 1-23+26-29+ … +296-299
Giải:
a) Vấn đề đặt ra là nhân cả hai vế của A với số nào, để khi trừ 2 vế cho A
thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu? Ta thấy số mũ của hai số liền nhau cách
nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32, rồi trừ cho A, ta được:
32.A- A = (32+34+…+ 398+3100+3102) - (1+32+34+…+ 398+3100)

8.A=3102-1 =>A=

3102 − 1
8

b) Tương tự phần a, ta nhân cả hai vế của B với 2 3 rồi cộng vế với vế cho
B ta được:
23.B+B=(23-26+29- … -296+299)+( 1-23+26-29+ … +296-299+2102)
9.B=2

102

2102 + 1
+1B =
9

* Bài toán tổng quát:
- Tính tổng: S= 1+ad+a2d+a3d+…+and ( a > 1; n ∈ N ) .

7


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

Ta nhân cả 2 vế của S với ad. Rồi trừ vế với vế ta được S=

a ( n +1) d − 1
.

ad −1

- Tính tổng: P= 1-ad+a2d-a3d+…+ a2nd ( a > 1; n ∈ N ) .
a ( 2n+2 ) d + 1
Ta nhân cả 2 vế của S với a . Rồi cộng vế với vế ta được P= d
.
a +1
d

* Bài tập vận dụng:
1.Tính tổng:
a) A=2+33+ 25+…+ 399+3101
b) B=1-53+56-59+ … +596-599
2. Chứng minh rằng:
a) 3000 2009 − 12009
b) 3000 2009 + 13001
2. Dạng 2: Tính tổng của các tích:
2.1 Bài toán 1 :
Tính tổng A= 1.2+2.3+3.4+ …+ 98.99+99.100
Lời giải
Nhận xét: Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng là 1. Nhân cả
hai vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được:
3A=3.( 1.2+2.3+3.4+ …+ 98.99+99.100)
= 1.2(3-0)+2.3(4-1)+…+99.100(101-98)
= 1.2.3-1.2.3+2.3.4-2.3.4+ … + 98.99.100-98.99.100+99.100.101
= 99.100.101
=> A=

99.100.101
=333 300

3

Ta chú ý tới đáp số 99.100.101 là tích của 3 số, trong đó 99.100 là số hạng
cuối của A và 101 là số tự nhiên liền sau của 100, tạo thành tích của 3 số tự nhiên
liên tiếp. Ta có kết quả tổng quát như sau:

8


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật
A = 1.2+2.3+3.4+ …+ (n-1)n=

GV:

( n − 1) n( n + 1)
3

Khai thác 1
3A = 3.( 1.2+2.3+3.4+ …+ 98.99+99.100)
= 3(0.1+1.2+2.3+ …+ 99.100)
= 3[1( 0 + 2) + 3( 2 + 4) + 5( 4 + 6 ) + ... + 99( 98 + 100) ]
= 3(1.1.2+3.3.2+5.5.2+ …+ 99.99.2)
= 3.2(12+32+52+ … +992) = 6(12+32+52+ … +992)
Ta chưa biết cách tính tổng các bình phương các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ
1, nhưng liên hệ với bài toán 1, ta có:
6(12+32+52+ … +992)= 99.100.101
(12+32+52+ … +992)=

99.100.101
6

* Ta có bài toán tổng quát: P= 12+32+52+ ...+(2n+1)2=

( 2n + 1).( 2n + 2).( 2n + 3)
6

Khai thác 2
Xét biểu thức:
C= 1.2+2.3+3.4+ …+99.100+100.101
= (1.2+2.3)+( 3.4+4.5)+(5.6+6.7)+ … +(99.100+100.101)
= 2(1+3)+4(3+5)+6(5+7)+…+100(99+101)
= 2.4+4.8+6.12+…+100.200
= 2(22+42+62+…+1002)=
 22+42+62+…+1002 =

100.101.102
3

100.101.102
6

* Ta có bài toán tổng quát: M=22+42+62+…+(2n)2=

9

2n.( 2n + 1)( 2n + 2)
6


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

Khai thác 3
M=22+42+62+…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2) =

2n.( 2n + 1)( 2n + 2)
6

* Ta có bài toán tổng quát: Q=12+22+32+…+n2=

n.( n + 1)( 2n + 1)
6

2.2 Bài toán 2: Tính: A= 1.3+3.5+5.7+...+97.99
Giải:
• Nhận xét: khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2, nhân
hai vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được.
6A=1.3.6+3.5.6+5.7.6+...+97.99.6
= 1.3(5+1)+3.5(7-1)+5.7(9-3)+...+97.99(101-95)
= 3+97.99.101
A=

1 + 97.33.101
= 161651
2

Trong bài toán 1 ta nhân A với 3, trong bài toán 2 ta nhân A với 6. Ta có thể
nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần
khoảng cách k giữa hai thừa số trong mỗi hạng tử.

3.3 Bài toán 3:

Tính A = 1.2.3+2.3.4+…+98.99.100
Giải:

Trở lại bài toán 1, mỗi hạng tử của tổng A có hai thừa số thì ta nhân A với 3
lần khoảng cách giữa hai thừa số đó. Học tập cách đó, trong bài toán này ta
nhân hai vế của A với 4 lần khoảng cách đó vì ở đây mỗi hạng tử có 3 thừa số.
Ta giải được bài toán như sau.
4A= 1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+…+98.99.100.4
= 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5(6-2)+…+98.99.100(101-97)
= 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+…+98.99.100.101-97.98.99.100
= 98.99.100.101

10


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật
⇒A =

GV:

98.99.100.101
= 24 497 550
4

* Ta có bài toán tổng quát:
A=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-1)n(n+1)=

( n − 1) n( n + 1)( n + 2)

4

Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ở bài 3 ta có bài toán:
2.4 Bài toán 4: Tính:
A= 1.3.5+3.5.7+…+5.7.9+…+95.97.99
Giải:
8A=1.3.5.8+3.5.7.8+5.7.9.8+…+95.97.99.8
=1.3.5(7+1)+3.5.7(9-1)+5.7.9(11-3)+…+95.97.99(101-93)
=1.3.5.7+15+3.5.7.9-1.3.5.7+5.7.9.11-3.5.7.9+…+95.97.99.101
-93.95.97.99
=15+95.97.99.101

⇒ A=

15 + 95.97.99.101
=11 517 600
8
Trong bài 3 ta nhân A với 4(bốn lần khoảng cách). Trong bài 4 ta

nhân a với 8 (bốn lần khoảng cách). Như vậy để giải bài toán dạng
n

∑ n(n + k )(n + 2k ) ta nhân với 4k(bốn lần khoảng cách) sau đó tách:
n =1

4kn(n+k)(n+2k)=n(n+k)(n+2k)(n+3k)-(n-k)(n+k)n(n+2k)
Thay đổi sự kế tiếp lặp lại ở các thừa số trong bài toán 1 ta có bài toán:
2.5 Bài toán 5: Tính
A=1.2+3.4+5.6+…+99.100
Lời giải 1:

A= 2+(2+1)4+(4+1)6+…+(98+1).100
=2+2.4+4+4.6+6+…+98.100+100
11


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

=(2.4+4.6+…+98.100)+(2+4+6+8+..+100)
=98.100.102:6+102.50:2
=166600+2550
=169150
Lời giải 2:
A=1(3-1)+3(5-1)+5(7-1)+…+99(101-1)
=1.3-1+3.5-3+5.7-5+…+99.101-99
=(1.3+3.5+5.7+…+99.101)-(1+3+5+7+..+99)
=171650-2500
=169150
Trong bài toán này ta không nhân a với một số hạng mà tách ngay
một thừa số trong tích làm xuất hiện các dãy số mà ta biết cách tính hoặc dễ
dàng tính được. làm tương tự với các bài toán:
2.6 Bài toán 6: Tính:
A= 1.2.3+3.4.5+5.6.7+…+99.100.101
Giải:
A= 1.3(5-3)+3.5(7-3)+5.7(9-3)+…+99.101(103-3)
=(1.3.5+3.5.7+5.7.9+...+99.101.103)-(1.3.3+3.5.3+...+99.101.3)
=(15+99.101.103.105):8-3(1.3+3.5+5.7+...+99.101)
=13517400-3.171650
=13002450

2.7 Bài toán 7: Tính:
A=13+23+33+...+1003
Giải:
Sử dụng: (n-1)n(n+1)=n3-n
⇒ n3=n+(n-1)n(n+1)
⇒ A= 1+2+1.2.3+3+2.3.4+...+100+99.100.101
12


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

=(1+2+3+...+100)+(1.2.3+2.3.4+...+99.100.101)
=5050+101989800
=101994850
Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số ở bài toán 7 ta có bài toán:
2.7 Bài toán 8: Tính: A= 13+33+53+...+993
Giải:
Sử dụng (n-2)n(n+2)=n3-4n
⇒ n3=(n-2)n(n+2)+4n
⇒ A= 1+1.3.5+4.3+3.5.7+4.5+...+97.99.101+4.99
= 1+(1.3.5+3.5.7+...+97.99.101)+4(3+5+7+...+99)
= 1+ 12487503+9996
=12497500
Với khoảng cách là a ta tách: (n-a)n(n+a)=n3-a2n
Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 8 ta có:
2.9 Bài toán 9: Tính:
A= 1.22+2.32+3.42+...+99.1002
Giải:

A= 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...99.100(101-1)
=1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+99.100.101-99.100
=(1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+99.100.101)-(1.2+2.3+3.4+...+99.100)
=25497450-333300
=25164150
Với cách khai thác như trên ta có thể khai thác, phát triển các bài toán
trên thành rất nhiều bài toán hay mà trong quá trình giải đòi hỏi học sinh
phải có sự linh hoạt, sáng tạo.
Trong các bài toán trên ta có thể thay đổi số hạng cuối cùng của dãy số
bằng số hạng tổng quát theo quy luật của dãy.
13


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

* Vận dụng cách giải trên hãy giải các bài toán sau:
1. Tính

A = 1.99+2.98+3.97+...+49.51+50.50

2. Tính

B = 1.3+5.7+9.11+...+97.101

3. Tính

C = 1.3.5-3.5.7+5.7.9-7.9.11+...-97.99.101

4. Tính

D = 1.99+3.97+5.95+...+49.51

5. Tính

E = 1.33+3.53+5.73+...+49.513

6. Tính

F = 1.992+2.982+3.972+...+49.512

3. Dạng 3: Dãy phân số
Các kiến thức
1

1

1

1) n(n + 1) = n − n + 1 .
2)

k
1 
1
= k × −
÷.
n(n + 1)
 n n +1 

3)

1
1 1
1 
= × −
÷.
n( n + k ) k  n n + k 

4)

k
1 
1
= −
÷.
n( n + k )  n n + k 

5)

1
1
1  1
1  1 1
1 
=
= × −
÷ = × −
÷.

2n(2n + 2) 4n(n + 1) 2  2n 2n + 2  4  n n + 1 

6)

1
1  1
1 
= ×
−
÷.
(2n + 1)(2n + 3) 2  2n + 1 2n + 3 
1

1

1

7) n.(n + 1) < n 2 < (n − 1).n .
(Trong đó: n, k ∈ N∗ , n > 1 )
3.1 Bài toán 1: Chứng minh rằng

100 - 1 + + + ... +


1
2

1
3

1  1 2 3
99
 = + + + ... +
100  2 3 4
100

*) Hướng dẫn tìm lời giải:
Đây là bài toán chứng minh đẳng thức, ta phải biến đổi vế trái bằng vế phải.
14


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

Ở bài này ta thấy vế phải của đẳng thức là tổng của các phân số có mẫu lớn hơn
tử 1 đơn vị. Để tổng mỗi phân số đó với một phân số nào đó bằng 1 thì ta phải
cộng vế phải với biểu thức trong ngoặc của vế trái. Từ đó ta có điều phải chứng
minh.
*) Cách giải:

100 - 1 + + + ... +


1
2

1
3

1  1 2 3
99
 = + + + ... +
100  2 3 4
100


Cộng vào hai vế của đẳng thức trên với 1 + + + ... +
1
2



1
3

1 
 ta được đẳng thức
100 

mới như sau:

100 - 1 + + + ... +


1
2

1
3

1   1 1
1  1 2 3
99 
 + 1 + + + ... +
 =  + + + ... +

100   2 3
100   2 3 4
100 

+ 1 + + + ... +


1
2

1
3

1 

100 

1 
1 1  2 1  3 1
 99
+

100= 1+  +  +  +  +  +  +…+ 

2

2 3

3  4

4

 100

100 

100=1+1+1+1+…+1
100 số 1

100=100 (đpcm)
3.2 Bài toán 2: Chứng minh rằng:
a) Cho S =
b)

1 1 1
1
3
4
+ + + ... +
. Chứng minh rằng: < S <
31 32 33
360
5
5

1
1
1
1
<1
2 + 2 + 2 +...+
2
3
4
100 2

* Hướng dẫn tìm cách giải.
a) Chia S thành 3 nhóm. => S <
=> S >

10 10 10 47 48 4
+ +
=
<
=
30 40 50 60 60 5

10 10 10 37 36 3
+ +
=
<
=
40 50 60 60 60 5

b) Ta thấy các phân số trong tổng ở vế trái là các phân số có tử là 1 còn mẫu
15


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

là bình phương của một số tự nhiên n. (n ≥ 2 ).
1
1 1 1
= − ;
2 <
1.2 1 2
2

1
1 1 1
= −
2 <
2.3 2 3
3

1
1 1 1
= − ; ...
2 <
3.4 3 4
4
1

1
1
1
= −
2 <
99.100 99 100
100

Sau đó áp dụng tính chất:

a < b
 => a+c < b+d
c < d

Từ đó ta có điều phải chứng minh:
1
1 1 1
= − ;
2 <
1.2 1 2
2

1
1
1
1
<1
2 + 2 + 2 +...+
2
3

4
100 2

1
1 1 1
= −
2 <
2.3 2 3
3

1
1 1 1
1
1
1
1
= − ; ...
= −
2 <
2 <
3.4 3 4
99.100 99 100
4
100

Vậy

1
1
1

1
1
1
1
1
+ + +...+
2 + 2 + 2 +...+
2 <
99.100
2
3
4
100 1.2 2.3 3.4
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
1 − + − + − +...+ −
2 + 2 + 2 +...+
2 <
2 2 3 3 4
99 100
2
3
4
100
1

1
1
1
1
99
−
=
<1
2 + 2 + 2 +...+
2 <1
100 100
2
3
4
100

Hay

1
1
1
1
< 1 (Điều phải chứng minh).
2 + 2 + 2 +...+
2
3
4
100 2

Mở rộng bài toán: Chứng minh rằng: A=

1
1
1
1
2 + 2 + 2 +...+ 2 < 1
n
2
3
4

Chúng ta cùng bắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau để khai thác
bài toán:
3.3 Bài toán 3 : Tính tổng :
A=

1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
1.2 2.3 3.4
43.44 44.45

Lời giải :

16


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

1 1 1 1
1
1
1
1
A = − + − + ... + − +
−
1 2 2 3
43 44 44 45
1 44
A = 1−
=
45 45

Vì 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; ... ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta có bài toán khó hơn
chút xíu.
3.4 Bài toán 4: Tính tổng :

1 1 1
1
1
+ + + ... +
+

2 6 12
1892 1980

Và tất nhiên ta cũng nghĩ đến bài toán ngược.
3.5 Bài toán 5: Tìm x thuộc N biết :
1
1
1
44
+
+ ... +
=
1.2 2.3
x( x + 1) 45

Hơn nữa ta có :
1
1 1
1
1
1
<
; 2 <
;...; 2 <
2
1.2 3
2.3
44.45
2
45

ta có bài toán
3.6 Bài toán 6: Chứng minh rằng :
1
1
1
+ 2 + ... + 2 < 1
2
2
3
45
1
1
1
Mặt khác 0< 2 + 2 + ... + 2
2
3
45

Do vậy, cho ta bài toán “tưởng như khó”
3.7 Bài toán 7: Chứng tỏ rằng tổng :
1
1
1
+ 2 + ... + 2
2
2
3
45

không phải là số nguyên.
Chúng ta cũng nhận ra rằng nếu a 1 ; a2 ; ... ; a44 là các số tự nhiên lớn hơn 1
và khác nhau thì
1
1
1
+ 2 + ... + 2 ≤ 12 + 12 + ... + 1 2
2
a1
a2
a44
2
3
45

Giúp ta đến với bài toán Hay và Khó sau :
3.8 Bài toán 8: Tìm các số tự nhiên khác nhau a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a43 ; a44 sao cho
1
1
1
+ 2 + ... + 2 = 1
2
a1
a2
a44

Ta còn có các bài toán “gần gũi” với bài toán 5 như sau :
3.9 Bài toán 9: Cho 44 số tự nhiên a1 ; a2 ; ... ; a44 thỏa mãn
17

Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

1
1
1
+ 2 + ... + 2 = 1
2
a1
a2
a44

Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau.
3.10 Bài toán 10: Tìm các số tự nhiên a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a44 ; a45 thỏa mãn a1 < a2
1
1
1
1
44
+
+ ... +
+
=
a1 .a 2 a2 .a3
a 43 .a44 a 44 .a45 45

* Bài tập vận dụng

1: Tính nhanh:
1 1 1 1
1 1
+ 3 + 4 +L+ 7 + 8 .
2
3 3 3 3
3 3
1 1 1 1
1
1
b) B = + 2 + 3 + 4 + L + 2007 + 2008 .
3 3 3 3
3
3
1 1 1 1
1
1
c) C = + 2 + 3 + 4 + L + n −1 + n ; n ∈ N ∗ .
3 3 3 3
3
3

a) A = +

2: (Bài toán tổng quát của bài toán 2)
1
a

Tính nhanh: S = +

1 1 1
1
1
+ 3 + 4 + L + n −1 + n ; ( n ∈ N ∗ ; a ≠ 0) .
2
a a a
a
a

3: Tính tổng:
1
1
1
1
+
+
+L +
.
1.2.3 2.3.4 3.4.5
2006.2007.2008
1
1
1
1
∗
b) S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + L + n.(n + 1).(n + 2) ; (n ∈ N ) .

a) S =

4: Tính giá trị của biểu thức:

1 1
1
1
1+ + +L + +
3 5
97 99
a) A = 1
1
1
1
1 .
+
+
+L +
+
1.99 3.97 5.99
97.3 99.1
1 1 1
1
1
+ + +L + +
2
b) B = 99 3 984 97 99 100
1 .
+ + +L +
1
2
3
99

Hướng dẫn:
a) Biến đổi số bị chia:
(1 +

1
1 1
1 1
1 1
100 100 100
100
) + ( + ) + ( + ) +L+ ( + ) =
+
+
+L
99
3 97
5 95
49 51 1.99 3.97 5.95
49.51

Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50.

18


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

100 − 1 100 − 2 100 − 3

100 − 99
+
+
+L +
=
1
2
3
99
100   1 2 3
99 
 100 100 100
b) Biến đổi số chia: =  1 + 2 + 3 + L + 99 ÷ −  1 + 2 + 3 + L + 99 ÷ =
1 
1
1 
1 1
1 1
= 100 + 100  + + L + ÷− 99 = 1 + 100  + + L + +
÷
99 
99 100 
2 3
2 3
1
Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy B =
.
100

4. Dạng 4: Tính tổng, tính số số hạng của dãy.

1. Công thức tính số hạng thứ n của một dãy cộng (khi biết n và d)
- Xét dãy cộng a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,..., an trong đó a2 = a1 + d . Ta có:
a3 = a1 + 2d ; a4 = a1 + 3d ;...

Tổng quát: an = a1 + (n − 1)d (I)
Trong đó : n gọi là số số hạng của dãy cộng
d hiệu giữa hai số hạng liên tiếp
Từ (I) ta có: n =

an − a1
+1
d

(II)

Công thức (II) giúp ta tính được số số hạng của một dãy cộng khi biết : Số
hạng đầu a1 , số hạng cuối an và hiệu d giữa hai số hạng liên tiếp.
2. Để tính tổng S các số hạng của dãy cộng: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,..., an . Ta viết:
S = a1 + a2 + L + an −1 + an
S = an + an −1 + L + a2 + a1

Nên 2S = (a1 + an ) + (a2 + an −1 ) + L + (an −1 + a2 ) + (an + a1 ) = (a1 + an )n
Do đó: S =

(a1 + an )
2

(III)

3. Để tìm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau

cùng một số đơn vị, ta dùng công thức:
Số số hạng = ( số cuối – số đầu):(khoảng cách) +1
4. Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau

19


Chuyờn : Dóy s vit theo quy lut

GV:

cựng mt s n v, ta dựng cụng thc:
Tng = ( S u s cui).(s hng):2
* Bi tp vn dng:
Bi toỏn1: Tỡm ch s th 1000 khi vit liờn tip lin nhau cỏc s hng ca dóy
s l 1; 3; 5; 7;...
Bi toỏn 2: Cú s hng no ca dóy sau tn cựng bng 2 hay khụng?
1;1 + 2;1 + 2 + 3;1 + 2 + 3 + 4;...

Hớng dẫn: Số hạng thứ n của dãy bằng:

n(n + 1)
2

Nếu số hạng thứ n của dãy có chữ số tận cùng bằng 2 thì n(n + 1) tận cùng
bằng 4. Điều này vô lí vì n(n + 1) chỉ tận cùng bằng 0, hoặc 2, hoặc 6.
Bi toỏn 3: a) Vit liờn tip cỏc s hng ca dóy s t nhiờn t 1 n 100 to
thnh mt s A. Tớnh tng cỏc ch s ca A
b) Cng hi nh trờn nu vit t 1 n 1000000
Hng dn: a) ta b sung thờm ch s 0 vo v trớ u tiờn ca dóy s

(khụng lm thay i kt qu). Tm cha xột s 100. T 0 n 99 cú 100 s, ghộp
thnh 50 cp: 0 v 99; 1 v 98; 2 v 97; mi cp cú tng cỏc ch s bng 18.
Tng cỏc ch s ca 50 cp bng: 18.50 = 900. Thờm s 100 cú tng cỏc ch s
bng 1. S: 901
b) Tng t: S: 27000001
S1 = 1 + 2,
S 2 = 3 + 4 + 5,
Bi toỏn 4: Cho S3 = 6 + 7 + 8 + 9,
S 4 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14,
...
Tớnh S100 ?
Hng dn: S s hng ca S1,..., S99 theo th t bng 2; 3; 4; 5; 100

20


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

ĐS: S100 = 515100
Bài toán 5: Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số 100! chứa thừa số nguyên tố 7
với số mũ bằng bao nhiêu?
Bài toán 6: Tính số hạng thứ 50 của các dãy sau:
a) 1.6; 2.7; 3.8; ...
b) 1.4; 4.7; 7.10;..
Bài toán 7: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của các dãy sau:
1
1
1

1
1 1
1
1
;
;
;
;...
;
;
,...
a)
b) ;
6 66 176 336
1.2 2.3 3.4 4.5
Hướng dẫn:
b) Ta thấy 6 = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,…
Do đó số hạng thứ n của dãy có dạng (5n – 4)(5n + 1).
Bài toán 8: Tìm tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy:
1 1
1
1
1
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;...
3 8 15 24 35

Hướng dẫn: các số hạng đầu tiên của dãy được viết dưới dạng:
4 9 16 25 36
; ;
;

;
;...
3 8 15 24 35
22
32
42
52
62
;
;
;
;
;...
Hay 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7

992
Do đó số hạng thứ 98 có dạng
.
98.100
Ta cần tính:
A=

22 32 42 52 62
992
99
× × × × L
=
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50

5. Dạng 5: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức chứa dãy

số .
Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn:
S=S1+ S2+ S3+ …+ Sn
Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc bài toán chứng
21


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

minh được.
Ví dụ 1: Tính tổng: Sn=1+3+5+...+(2n-1)
S1 = 1
S2 = 1 + 3 = 22

Thử trực tiếp ta thấy:

S1 = 1 + 3 + 5 = 9 = 32
.............

Ta dự đoán: S=n2 .
Với n=1,2,3 ta thấy kết quả đúng.
Giả sử với n=k( k ≥ 1 ) ta có: Sk = k 2 (2)
Ta cần chứng minh Sk + 1 = ( k + 1)

2

(3)

Thật vậy cộng 2 với vế của (2) với 2k+1 ta có:
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1) = k 2 + (2k + 1)
Vì k 2 + ( 2k + 1) = ( k + 1) nên ta có (3) tức là Sk +1 = ( k + 1)
2

2

Theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh:
2
Vậy Sn = 1 + 3 = 5 + ... + ( 2n − 1) = n

Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán
học:
1,1 + 2 + 3 + ... + n =

n ( n + 1)
2

2,12 + 22 + ... + n 2 =

n ( n + 1) ( 2n + 1)
6

 n ( n + 1) 
3, 13 + 23 + ... + n3 = 

 2 
4, 15 + 25 + ... + n5 =

2

1 2
2
.n .( n + 1) ( 2n 2 + 2n − 1)
12

22


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

B. ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN VÀ CÔNG TÁC GIẢNG DẠY
1. Ứng dụng vào thực tiễn.
Căn cứ vào mục tiêu môn học, căn cứ vào thực trạng học sinh học môn Toán,
đặc biệt phân môn Đại số, trong những năm học vừa qua và cả năm học này tôi đã
áp dụng đề tài của mình một cách thường xuyên vào giảng dạy chủ yếu là BD HSG .
2. Hiệu quả khi áp dụng đề tài.
* Hiệu quả khi áp dụng đề tài được đánh giá qua các cuộc giao lưu HSG hàng
năm.
* Qua quá trình áp dụng đề tài, tôi thấy khả năng suy luận và chứng minh các
dãy số viết theo quy luật đã được nâng lên. Hầu hết các em chứng minh và giải
được những bài toán từ vận dụng thấp trở lên, nhiều em còn đưa ra được những bài
toán tổng quát, những bài toán ở mức độ vận dụng cao .
3. Bài học kinh nghiệm.
Từ bước đầu nghiên cứu chuyên đề “ Dãy số viết theo quy luật " tôi thấy vấn
đề này rất cần thiết không những đối với học sinh mà cả đối với giáo viên, nhất là
giáo viên đang BD HSG.
Vì vậy mỗi giáo viên chúng ta cần tích cực, thường xuyên trong công tác bồi

dưỡng và tự bồi dưỡng để tích luỹ chuyên môn, nghiệp vụ cho bản thân thông qua
các hình thức: học hỏi bạn bè đồng nghiệp,đọc tài liệu , xem truyền hình, tạp chí...

23


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

PHẦN III :KẾT LUẬN.
1. Kết quả nghiên cứu:
Trên đây là chuyên đề “ Dãy số viết theo quy luật " được rút ra trong quá trình
giảng dạy và bồi dưỡng HSG nhiều năm trở lại đây của trường THCS Thái Hòa cũng
như của bản thân. Hầu hết học sinh, (chủ yếu là học sinh khá, giỏi) khi được trang bị
chuyên đề “ Dãy số viết theo quy luật " đều trở lên tự tin khi gặp những bài toán dãy
số, có em đã đưa ra được nhiều phương pháp giải hay, khai thác, mở rộng được
nhiều bài toán. Bước đầu phát hiện học sinh có năng lực, từ đó GV có phương pháp
dạy , bồi dưỡng nhằm phát huy trí tuệ, tính say mê sáng tạo của các em .
Trước khi được áp dụng chuyên đề này nhiều em không làm được cũng như
không biết hướng giải bài toán dãy số viết theo quy luật. Nhưng khi áp dụng chuyên
đề nhiều em làm tốt những bài “ Dãy số viết theo quy luật ". Từ thực nghiệm nhỏ
này khẳng định tính đúng đắn của chuyên đề đồng thời nói lên phần nào tác dụng
của nó. Đó là kết quả khiêm tốn của chuyên đề mà tôi đã nghiên cứu.
2. Đề xuất.
Còn nhiều “ Dãy số viết theo quy luật " và nhiều ví dụ hấp dẫn khác mong
các bạn đồng nghiệp tiếp tục trao đổi vấn đề này.
Vì khả năng và thời gian có hạn, còn nhiều yếu tố khách quan chưa đáp ứng
kịp thời, đề tài này có thể chưa sâu và toàn diện, không tránh khỏi những thiếu sót,
rất mong các thầy, cô giáo, và đồng nghiệp biết đến, quan tâm để cùng nhau xây

dựng đề tài . Rất mong được sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo và các bạn
đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện, đạt hiệu quả và được dụng rộng rãi hơn.

24


Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

GV:

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bộ SGK, SBT môn Toán lớp 6, 7 ,8, 9 của NXB GD.
2. Nâng cao và phát triển Đại số lớp 6, 7, 8, 9 của tác giả Vũ Hữu Bình.
3. Thực hành giải toán của Vũ Dương Thuỵ NXB GD 1998.
4. Tuyển chọn những bài thi HSG Toán của Lê Hồng Đức.

Thái Hòa, ngày 20 tháng 3 năm 2015
Người thực hiện

Nguyễn Quốc Hùng

25